O problema da braquistócrona

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O problema da braquistócrona

Do grego brachistos (brevíssimo) e chronos (tempo).

Denomina-se braquistócrona a trajetória de uma partícula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. Note-se que a questão não é qual o percurso mais curto entre os dois pontos, cuja resposta nas condições dadas é, obviamente, a reta que os une, mas sim, qual trajetória é percorrida no menor tempo.

O problema começou por ser publicado na Acta Eruditorum de Leipzig, de Junho de 1696, onde Johann Bernoulli anunciava possuir uma solução e desafiava os cientistas para, num prazo de seis meses, fazerem o mesmo. Em Janeiro de 1697 publica uma nova proclamação anunciando que apenas Leibniz lhe comunicara ter chegado à solução, mas pedia um adiamento do prazo até à Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio científico, o que foi aceito.

Acabariam por ser apresentadas cinco soluções nas Actas de 1697: a do próprio, a do seu tio Jacob, a de Leibniz, a de L'Hôpital e uma sob anonimato (que seria a de Isaac Newton, como este veio a reconhecer mais tarde).

Ao contrário do que nossa intuição possa sugerir, o percurso mais rápido de uma esfera (por exemplo) ao longo de uma calha que una dois pontos a diferentes alturas não é uma linha reta. Esse menor tempo é obtido se a bola percorrer uma linha em forma de cicloide.

Na noite de 29 de janeiro de 1697, quando recebeu a carta-desafio, Newton não dormiu até resolver o problema, o que se deu por volta de quatro horas da manhã. Em seguida, a solução foi remetida anonimamente para Bernoulli. Ao ler a solução chegada da Inglaterra, Johann Bernoulli, segundo suas próprias palavras, reconheceu imediatamente o seu autor "como se reconhece o leão por sua pata".

https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Brachistochrone.gif#/media/File:Brachistochrone.gif

A solução encontrada por Newton foi em forma de equações paramétricas da seguinte forma 𝑦 = 𝐶 ∗ 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃

(3)

(4)

4

Questão 1 – Resposta D

Pergunta

Raciocínio

(5)

5

Raciocínio

𝑅

𝑁

𝐹

𝑅

𝑁

𝐹

(6)

6

Questão 3 – Resposta B

Pergunta

(7)

7

(8)

8

Questão 5 – Resposta B

Pergunta

Dados

𝐹₁= 5 𝑁 𝐹2 = 80 𝑁 𝑑₁= 2 𝑚 𝑑2= 10 𝑁

Raciocínio

Cálculo

𝑀1= 𝐹1∗ 𝑑1= 5 ∗ 2 = 10 𝑁 ∗ 𝑚 𝑀₂= 𝐹₂∗ 𝑑₂ = 80 ∗ 0,1 = 8 𝑁 ∗ 𝑚

(9)

9

(10)

10

Questão 7 – Resposta A

Pergunta

Raciocínio

𝑇 𝑃𝑏 𝑇 𝑃_𝑏

(11)

11

Raciocínio

Cálculo

෍ 𝑀− = ෍ 𝑀+ 𝑀_𝐹 = 𝑀_𝐵 𝐹 ∗ 0,03 = 𝑃 ∗ 0,3 𝐹 ∗ 0,03 = 5,3 ∗ 0,3 𝐹 = 53 𝑁 𝑃 Ԧ 𝐹 𝑁 𝑃 Ԧ 𝐹 𝑁 𝑃 Ԧ 𝐹 𝑁

(12)

12

Questão 9 – Resposta B

Pergunta

Dados

𝑚𝑏 = 0,5 𝑘𝑔

Raciocínio

Cálculo

෍ 𝑀−= ෍ 𝑀+ 𝑀_𝑃 = 𝑀_𝑃𝑏 𝑃 ∗ 10 = 𝑃_𝑏∗ 20 𝑚 ∗ 10 = 𝑚𝑏∗ 20 𝑚 ∗ 10 = 0,5 ∗ 20 𝑚 = 1 𝑘𝑔 𝑃_𝑏 𝑃 𝑃𝑏 20 𝑐𝑚

(13)

13 𝑚1 = 25 𝑘𝑔 𝑚₂ = 54 𝑘𝑔

Raciocínio

Cálculo

෍ 𝑀− = ෍ 𝑀+ 𝑀𝑃1+ 𝑀𝑃 = 𝑀𝑃1 𝑃1∗ 2 + 𝑃 ∗ 0,5 = 𝑃2∗ 1 Dividindo por g 𝑚1∗ 2 + 𝑚 ∗ 0,5 = 𝑚2∗ 1 25 ∗ 2 + 𝑚 ∗ 0,5 = 54 ∗ 1 𝑚 = 8 𝑘𝑔 𝑁 2 𝑚 𝑃2 𝑃1 𝑁 𝑃2 𝑃1 𝑁 𝑃2 𝑃₁ 𝑃 𝑃 𝑃 1 𝑚 0,5 𝑚 2 𝑚 𝑁 𝑃₂ 𝑃₁ 𝑃 1 𝑚 0,5 𝑚

(14)

14

Questão 11 – Resposta 36

Pergunta

Dados

𝑃 = 48 𝑁

Raciocínio

𝑁1

Cálculo

෍ 𝑀−= ෍ 𝑀+ 𝑀_𝑁2= 𝑀_𝑃 𝑁2∗ 2,4 = 𝑃 ∗ 1,8 𝑁2∗ 2,4 = 48 ∗ 1,8 𝑁2= 36 𝑁 𝑁₁ _𝑃 𝑁₂ 𝑁1 _𝑃 𝑁2 𝑁₁ _𝑃 𝑁₂ 1,8 𝑚 2,4 𝑚 𝑁₁ _𝑃 𝑁₂ 1,8 𝑚 2,4 𝑚

(15)

15 𝑚 = 40 𝑘𝑔 𝑚𝑏 = 60 𝑘𝑔

Raciocínio

𝑁

Cálculo

෍ 𝑀− = ෍ 𝑀+ 𝑀_𝑃𝑏 = 𝑀_𝑃 𝑃_𝑏∗ 0,5 = 𝑃 ∗ 1 − 𝑥 60 ∗ 0,5 = 40 ∗ 1 − 𝑥 60 ∗ 0,5 = 40 − 40𝑥 𝑥 = 0,25 𝑚 = 25 𝑐𝑚 𝑃𝑏 _𝑃 𝑁 𝑃𝑏 _𝑃 𝑁 𝑃𝑏 _𝑃 𝑁 1𝑚 − 𝑥 0,5 𝑚 𝑃_𝑏 _𝑃 𝑁 1𝑚 − 𝑥 0,5 𝑚

(16)

16

Questão 13 – Resposta A

Pergunta

Raciocínio

(17)

17

Raciocínio

𝑃

(18)

18

Questão 15 – Resposta E

Pergunta

Raciocínio

Cálculo

෍ 𝑀− = ෍ 𝑀+ 𝑀𝑃 = 𝑀𝑃𝑏 𝑃 ∗ 3𝑢 = 𝑃𝑏∗ 1𝑢 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 3𝑢 = 𝑚_𝑏∗ 𝑔 ∗ 1𝑢 𝑚_𝑏 = 3 ∗ 𝑚 = 3 ∗ 5 = 15 𝑘𝑔 𝑃 𝑃𝑏 𝑁 𝑃 𝑃𝑏 𝑁 𝑃 𝑃_𝑏 𝑁 3𝑢 1𝑢 𝑃 𝑃𝑏 𝑁 3𝑢 1𝑢

−

+

(19)

19

Raciocínio

Cálculo

𝑀1= 𝐹 ∗ 20 + 𝐹 ∗ 20 = 40𝐹 𝑀2 = 𝐹 ∗ 30 = 30𝐹 𝑀₃= 𝐹 ∗25 2 + 𝐹 ∗ 25 2 = 25𝐹 Ԧ 𝐹 Ԧ 𝐹 Ԧ 𝐹 Ԧ 𝐹 Ԧ 𝐹 x

.

Legenda Entrando no papel Saindo do papel x

.

(20)

20

Questão 17 – Resposta D

Pergunta

Raciocínio

(21)

21 𝑀 = 100 𝑁 ∗ 𝑚 𝐹 = 250 𝑁

Raciocínio

Cálculo

𝑑 =𝑀 𝐹 = 100 250= 0,4 𝑚

(22)

22

Questão 19 – Resposta E

Pergunta

Raciocínio

𝐹𝑑 𝐹𝑡 𝐹𝑑

Cálculo

෍ 𝑀−_{= ෍ 𝑀}+ 𝑀𝐹𝑑 = 𝑀𝑃 𝐹𝑑∗ 3 = 𝑃 ∗ 1 𝐹𝑑 = 𝑃 3 = 6 ∗ 103∗ 10 3 = 20000 𝑁 ෍ 𝐹 = ෍ 𝐹 𝐹𝑑+ 𝐹𝑡 = 𝑃 20000 + 𝐹𝑡 = 60000 𝐹𝑡 = 40000 𝑁 𝐹𝑑 𝐹𝑡 𝑃 𝐹𝑑 𝐹𝑡 𝑃

−

+

𝐹𝑑 𝐹𝑡 𝑃

(23)

23

Raciocínio

Cálculo

෍ 𝑀−= ෍ 𝑀+ 𝑀𝐹 = 𝑀𝑝+ 𝑀𝑃 𝐹 ∗ 𝑑𝐹 = 𝑝 ∗ 𝑑𝑝+ 𝑃 ∗ 𝑑𝑃 𝐹 ∗ 4 = 2,3 ∗ 10 ∗ 20 + 10 ∗ 10 ∗ 35 𝐹 = 990 𝑁

+

−

(24)

24

Questão 1 – Resposta C

Pergunta

Raciocínio

(25)

25

Raciocínio

Δ𝑈 = −𝜏 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜏 < 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 Δ𝑈 > 0 𝑄 = 𝜏 𝜏 > 0 𝑄 > 0 Δ𝑈 = −𝜏 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜏 > 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 Δ𝑈 < 0

(26)

26

Questão 3 – Resposta 44

Pergunta

Raciocínio

Δ𝑈 = 𝑄 − 𝜏 Δ𝑈 = 𝑄 − 𝜏 𝜂 = 1 −𝑇2 𝑇1

(27)

27 𝑄1= 1000 𝑐𝑎𝑙 𝜏 = 4186 𝐽 1 𝑐𝑎𝑙 = 4,186 𝐽

Raciocínio

Cálculo

𝜂 = 𝜏 𝑄1 =1000 𝑐𝑎𝑙 4186 𝐽 = 4186 𝐽 4186 𝐽= 1 = 100%

(28)

28

Questão 5 – Resposta C

Pergunta

(29)

29

(30)

30

Questão 7 – Resposta A

Pergunta

(31)

31 𝑄1= 1 ∗ 105𝐽

Raciocínio

𝜂 = 1 −𝑇2 𝑇1 𝜂 = 1 −𝑄2 𝑄1 𝜂 = 𝜏 𝑄1

Cálculo

𝜏 = 4 − 1 ∗ 10 5_{∗ (0,50 − 0,20)} 2 𝜏 = 4500 𝐽 𝜂 = 𝜏 𝑄₁= 4500 105 = 0,45 = 45%

(32)

32

Questão 9 – Resposta D

Pergunta

Dados

𝜏 = 3 ∗ 104𝐽 𝜂 = 60%

Raciocínio

𝜂 = 𝜏 𝑄1 𝜂 = 1 −𝑄2 𝑄1

Cálculo

𝜂 = 𝜏 𝑄1 𝑄1 = 𝜏 𝜂 = 3 ∗ 104 0,6 = 5 ∗ 10 4_𝐽 𝜂 = 1 −𝑄2 𝑄1 𝑄2= 1 − 𝜂 ∗ 𝑄1= 1 − 0,6 ∗ 5 ∗ 104= 2 ∗ 104𝐽 Δ𝑈 = 0

(33)

33 𝑇1 = 800 𝐾 𝑇₂ = 400 𝐾 𝑄1= 1000 𝐽

Raciocínio

𝜂 = 1 −𝑇2 𝑇1 𝜂 = 1 −𝑄2 𝑄₁ 𝑇₂ 𝑇₁ = 𝑄₂ 𝑄₁ 𝑄₂ 𝜂 = 𝜏 𝑄₁

Cálculo

𝑇2 𝑇1 =𝑄2 𝑄1 400 800= 𝑄2 1000 𝑄2 = 500 𝐽 𝜂 = 1 −𝑇2 𝑇1 = 1 −400 800= 0,5 𝜂 = 𝜏 𝑄1 → 𝜏 = 𝜂 ∗ 𝑄1= 0,5 ∗ 1000 = 500 𝐽

(34)

34

Questão 11

Pergunta

Dados

𝑇1= 127 °𝐶 = 400 𝐾 𝑇₂= 31,4 °𝐶 = 304,4 𝐾 𝑄1 = 106𝐽 1 𝑐𝑎𝑙 = 4,18 𝐽

Raciocínio

𝜂 = 1 −𝑇2 𝑇1 𝜂 = 𝜏 𝑄₁

Cálculo

𝜂 = 1 −𝑇2 𝑇₁ 𝜂 = 1 −304,4 400 = 0,239 = 23,9% 𝜂 = 𝜏 𝑄1 → 𝜏 = 𝜂 ∗ 𝑄1= 0,239 ∗ 106 = 2,39 ∗ 105𝐽

(35)

35 𝐶 = 1,3 ∗ 107𝐽/°𝐶 𝑇1 = 66 °𝐶 = 339 𝐾 𝑇₁ = 30 °𝐶 = 303 𝐾 𝑇𝑓 = 46 °𝐶 = 319 𝐾

Raciocínio

෍ 𝑄 = 0 ෍ 𝑄 = 𝑄𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝜂 = 1 −𝑇2 𝑇1 𝜂 = 𝜏 𝑄1

Cálculo

෍ 𝑄 = 𝑄_{𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜} 𝐶 ∗ Δ𝑇1+ 𝐶 ∗ Δ𝑇1 = 𝑄𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 1,3 ∗ 107∗ 46 − 66 + 1,3 ∗ 107∗ 46 − 30 = 𝑄_{𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜} 𝑄_{𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜}= 5,2 ∗ 107_𝐽 𝜂 = 1 −𝑇2 𝑇1 = 1 −303 339≅ 0,10 = 10% 𝜂 = 𝜏 𝑄₁→ 𝜏 = 𝜂 ∗ 𝑄1= 0,10 ∗ 5,2 ∗ 10 7 _{= 52 ∗ 10}6_𝐽

(36)

36

Questão 13 – Resposta A

Pergunta

Dados

𝑚𝑔𝑒𝑙𝑜 = 10 𝑘𝑔 𝑇_{𝑔𝑒𝑙𝑜} = −20 °𝐶 𝑇𝑙𝑎𝑔𝑜 = 27 °𝐶 𝑐𝑔𝑒𝑙𝑜 = 0,5 𝑐𝑎𝑙 𝑔 °𝐶 𝑐_{á𝑔𝑢𝑎} = 1 𝑐𝑎𝑙 𝑔 °𝐶 𝐿_{𝑓𝑖𝑠ã𝑜} = 80𝑐𝑎𝑙 𝑔

Raciocínio

Cálculo

𝑄 = 𝑚 ∗ 𝑐 ∗ ∆𝜃 𝑄 = 10000 ∗ 0,5 ∗ 20 = 105cal 𝑄 = 𝑚 ∗ 𝐿 𝑄 = 10000 ∗ 80 = 8 ∗ 105𝑐𝑎𝑙 𝑄 = 𝑚 ∗ 𝑐 ∗ ∆𝜃 𝑄 = 10000 ∗ 1 ∗ 27 = 2,7 ∗ 105cal 𝑄_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} = 1,17 ∗ 106𝑐𝑎𝑙 Δ𝑆 =𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑇 = −1,17 ∗ 106 300 = −3,9 𝑘𝑐𝑎𝑙/𝐾

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37

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38

Questão 15 – Resposta C

Pergunta

(39)

39

(40)

40

Questão 17 – Resposta C

Pergunta

(41)

41

Raciocínio

(42)

42

Questão 19 – Resposta E

Pergunta

Raciocínio

𝑄 = 𝑊 + Δ𝑈 𝑊 = 𝑃 ∗ Δ𝑉 𝑉 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

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