Resumos de AMIII. 10 de Dezembro de 2005

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Resumos de AMIII

10 de Dezembro de 2005

1. Revis˜oes e Complementos de C´alculo Diferencial

1. Se U ⊂ Rn _´_{e aberto, f : U → R}m _{uma fun¸}_c˜_{ao (portanto f = (f}1_{, . . . , f}m_{)), x}

0 ∈ U e

v ∈ Rn, ent˜ao a derivada direccional de f segundo v no ponto x0 ´e

∂vf (x0) = lim t→0 f (x0+ tv) − f (x0) t = d dtf (x0+ tv)|t=0 (caso o limite exista).

2. A i-ésima derivada parcial de f é a derivada direccional segundo o i-ésimo vector da base canónica e escreve-se

∂f ∂xi ≡ ∂if ≡      ∂f1 ∂xi . . . ∂fm ∂xi      ≡      ∂if1 . . . ∂ifn      def = ∂eif .

3. f diz-se diferenci´avel em x0 se existe uma transforma¸c˜ao linear Df (x0) : Rn→ Rm

(repre-sentada por uma matriz m × n) tal que lim

h→0

f (x0+ h) − f (x0) − Df (x0) · h

khk = 0.

4. Se f é diferenciável em x0 então

∂vf (x0) = Df(x0) · v.

Em particular, Df ´e representada na base can´onica pela matriz Jacobiana

Df =      ∂f1 ∂x1 . . . ∂f1 ∂xn . . . . ∂fm ∂x1 . . . ∂fm ∂xn      =      ∂1f1 . . . ∂nf1 . . . . ∂1fm . . . ∂nfm      . (1)

5. Uma norma num espa¸co vectorial V ´e uma fun¸c˜ao k · k : V → R+0 satisfazendo os seguintes

axiomas:

(i) kxk = 0 sse x = 0,

(2)

(iii) kx + yk ≤ kxk + kyk (Desigualdade triangular).

6. Se f : V → W ´e uma fun¸c˜ao entre espa¸cos vectoriais normados, dizemos que lim

x→af (x) = b

se

∀_>0∃_δ>0kx − ak_V < δ ⇒ kf (x) − bkW < .

Com esta no¸c˜ao de limite definimos as derivadas direccionais e derivadas de fun¸c˜oes entre espa¸cos vectoriais normados como acima.

7. Duas normas k · k1 e k · k2 num espa¸co vectorial V dizem-se equivalentes se existem

constantes A, B > 0 tais que para todo o x ∈ V

Akxk2 ≤ kxk1≤ Bkxk2.

Equivalentemente, duas normas são equivalentes se convergência para 0 significa o mesmo em ambas as normas, ou ainda se cada norma é cont´ınua como fun¸cão V → R+0 com

respeito `a no¸c˜ao de limite determinada pela outra norma.

8. Num espa¸co vectorial de dimensão finita quaisquer duas normas são equivalentes. Em par-ticular, a no¸cão de diferenciabilidade para uma fun¸cão entre espa¸cos vectoriais de dimensão finita é independente da escolha das normas nos espa¸cos em questão.

9. Se V é um espa¸co vectorial de dimensão finita com base {v1, . . . , vm} e f : Rn→ V é uma

fun¸c˜ao diferenci´avel, escrevendo

f (x) =

m

X

i=1

fi(x)vi,

a derivada f0(a) (quando existe) ´e representada pela matriz (1) nas bases can´onica de Rn e {vi}mi=1de V .

10. Escreve-se L(V, W ) para o espa¸co vectorial das transforma¸c˜oes lineares entre os espa¸cos vectoriais V e W .

11. A fun¸c˜ao derivada de f : U ⊂ Rn → Rm _´_{e a fun¸}_c˜_{ao f}0

: U → L(Rn; Rm) que associa a a a transforma¸cão linear f0(a). Uma vez que L(Rn, Rm) é um espa¸co vectorial de dimensão finita, podemos falar da derivada de f0 e mais geralmente definir a derivada de ordem k de f como uma fun¸cão

f(k): U → L(Rn; L(Rn; (. . . ; L(Rn, Rm) . . .))). 12. Se V1, . . . , Vk, W s˜ao espa¸cos vectoriais, uma transforma¸c˜ao multilinear

f : V1× . . . × Vk→ W

é uma fun¸cão que satisfaz a equa¸cão

f (v1, . . . , αvi+ βvi0, . . . , vk) = αf (v1, . . . , vi, . . . , vk) + βf (v1, . . . , vi0, . . . , vk),

ou seja, que é linear em cada variável separadamente. As transforma¸cões multilineares formam um espa¸co vectorial com a soma e o produto escalar definidos por

(αf + βg)(v1, . . . , vk) = αf (v1, . . . , vk) + βg(v1, . . . , vk).

(3)

13. H´a um isomorfismo can´onico L(V1; L(V2; W )) → L(V1, V2; W ) definido por

g 7→ ((v1, v2) 7→ (g(v1))(v2))

e com inverso

f 7→ (v1 7→ (v27→ f (v1, v2))) .

Mediante estes isomorfismos, a derivada de ordem k de uma fun¸c˜ao f : V → W identifica-se com uma transforma¸c˜ao multilinear

f(k): V × . . . × V → W.

14. O espa¸co vectorial V∗ = L(V ; R) diz-se o dual do espa¸co vectorial V . O espa¸co vectorial Tk_{(V ) = L(V, . . . , V ; R) diz-se o espa¸co dos tensores-k covariantes sobre V (portanto}

V∗= T1(V )).

15. Se {e1, . . . , ek} ´e uma base para V , a base dual para V∗ ´e a base {e1, . . . , ek} definida por

ei   n X j=1 αjej  = αi.

16. Dados φ1, . . . , φk∈ V∗, escrevemos φ1⊗. . . φk∈ Tk(V ) para o tensor definido pela f´ormula

(φ1⊗ . . . ⊗ φk)(v1, . . . , vk) = φ1(v1)φ2(v2) . . . φk(vk).

17. Se {e1, . . . , en} ´e uma base para V ,

{ei1_{⊗ . . . ⊗ e}ik_}n

i1,...,ik=1

´e uma base para Tk(V ).

18. Mais geralmente, se {ei,j}i=1,...,nj s˜ao bases para Vj e {fk}

m

k=1 ´e uma base para W , as

aplica¸c˜oes multilineares ei1

1 ⊗ . . . ⊗ e ik

k ⊗ fl: V1× . . . Vk → W

definidas pela f´ormula (ei1 1 ⊗ . . . ⊗ e ik k ⊗ fl)(v1, . . . , vk) = e i1 1(v1) . . . ei_kk(vk)fl

formam uma base para L(V1, . . . , Vk; W ).

19. As derivadas parciais de ordem 2 definem-se pela f´ormula ∂i∂jf = ∂2f ∂xi_∂xj = ∂ ∂xi ∂f ∂xj

e analogamente para as derivadas de ordem superior.

20. Nas bases can´onicas {e1, . . . en} de Rn e {e1, . . . , en} de Rn∗, a segunda derivada de uma

fun¸c˜ao f : U ⊂ Rn_{→ R ´}_{e representada pela matriz Hessiana de f}

     ∂2_f ∂x1_∂x1 . . . ∂2_f ∂x1_∂xn . . . . ∂2_f ∂x1_∂xn . . . ∂2_f ∂xn_∂xn     

(4)

21. Se f : U ⊂ Rn → Rm _´_{e uma fun¸}_c˜_{ao k vezes diferenci´}_{avel em x ∈ U , todas as derivadas}

parciais de ordem k existem em x e f(k)(x) ∈ Tk(Rn) ´e dada pela express˜ao f(k)(x) = m X j=1 n X i1,...,ik=1 ∂fj ∂xik. . . ∂xi1(x)e i1_{⊗ . . . e}ik_{⊗ e} j.

22. Se V ´e um espa¸co vectorial de dimens˜ao finita, f : U ⊂ Rn → V diz-se de classe Ck _se

as derivadas parciais de ordem menor ou igual a k das componentes fi de f numa base qualquer de V s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas.

23. Uma fun¸cão de classe Ck é k vezes diferenciável.

24. Lema de Schwarz: Se f ´e de classe C2, ent˜ao ∂i∂jf = ∂j∂if .

25. Um tensor T ∈ Tk(V ) diz-se sim´etrico se

T (v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vk) = T (v1, . . . , vj, . . . , vi, . . . , vk).

26. Se f : U ⊂ Rn→ R ´e de classe Ck_{, f}(k) _´_{e um tensor sim´}_etrico.

27. Se f : U ⊂ Rn→ Rm _´_{e diferenci´}_{avel em x}

0 ∈ U , e g : V ⊂ Rm → Rp ´e diferenci´avel em

f (x0) ∈ V , então g ◦ f : U ⊂ Rn→ Rp é diferenciável em x0 e

D(g ◦ f )(x0) = Dg(f (x0))Df (x0). Em coordenadas (x1, . . . , xn) em Rn e (y1, . . . , ym) em Rm, tem-se ∂gi ∂xj = m X k=1 ∂gi ∂yk ∂fk ∂xj (regra da cadeia).

28. F´ormula de Taylor: Se f : U ⊂ Rn→ R ´e de classe Ck _{e a + th ∈ U para t ∈ [0, 1], existe}

θ ∈]0, 1[ tal que

f (a+h) = f (a)+f0(a)(h)+. . .+ 1 (k − 1)!f

(k−1)_{(a)(h, . . . , h)+} 1

k!f

(k)_{(a+θh)(h, . . . , h).}

29. Se f : U ⊂ Rn→ R tem um extremo em a e f é diferenciável em a, então f0(a) = 0. 30. Se f é diferenciável em a e f0(a) = 0, a diz-se um ponto de estacionariedade ou um ponto

cr´ıtico de f . Um ponto cr´ıtico que n˜ao ´e um ponto de extremo diz-se um ponto de sela. 31. Seja f de classe C2 e a um ponto cr´ıtico de f .

(i) Se f00(a)(h, h) > 0 para todo o h 6= 0 ent˜ao a ´e um ponto de m´ınimo relativo estrito de f .

(ii) Se f00(a)(h, h) < 0 para todo o h 6= 0 então a é um ponto de máximo relativo estrito de f .

(iii) Se a é um ponto de m´ınimo, então f00(a)(h, h) ≥ 0 para todo o h. (iv) Se a é um ponto de máximo, então f00(a)(h, h) ≤ 0 para todo o h.

32. Uma vez que f00(a)(h, h) = htH(f )h onde H(f ) denota a matriz Hessiana de f , as condi¸cões do ponto anterior são verificadas sse os valores próprios (da matriz simétrica) H(f ) são

(5)

(i) todos positivos, (ii) todos negativos, (iii) todos ≥ 0, (iv) todos ≤ 0.

2. Teoremas da fun¸c˜ao inversa e ´ımplicita

1. O jacobiano de uma fun¸c˜ao diferenci´avel f : D ⊂ Rn→ Rn_´_{e a fun¸}_c˜_ao

J f (x) = det Df (x).

2. Teorema da fun¸c˜ao inversa Seja f : D ⊂ Rn→ Rn_{uma fun¸}_c˜_{ao de classe C}1 _{com D aberto.}

Se J f (a) 6= 0, ent˜ao existe um aberto W ⊂ D com a ∈ W tal que (i) f (W ) ´e um aberto,

(ii) f|W ´e injectiva,

(iii) f−1: f (W ) → W ´e de classe C1 e

Df−1(f (a)) = Df (a)−1.

3. Seja (V, k · k) um espa¸co normado. Uma sucess˜ao xnem V diz-se uma sucess˜ao de Cauchy

se

∀>0∃Nn, m > N ⇒ kxn− xmk < .

O espa¸co V diz-se completo ou um espa¸co de Banach se toda a sucess˜ao de Cauchy converge.

4. Seja D ⊂ V . Uma aplica¸cão f : D → D diz-se uma contraçcão se existe λ < 1 tal que kf (x1) − f (x2)k ≤ λkx1− x2k.

5. x diz-se um ponto fixo de uma aplica¸c˜ao f se f (x) = x.

6. Teorema do ponto fixo. Se (V, k · k) é um espa¸co completo, D ⊂ V é fechado e f : D → D é uma contraçcão, então f tem um ponto fixo único.

7. Uma fun¸c˜ao f : A ⊂ Rn → Rm _´_{e cont´ınua se e s´}_{o se para todo o aberto V ⊂ R}m_{, existe}

um aberto W ⊂ Rn tal que

f−1(V ) = W ∩ A.

Recorde-se que f−1(V ) = {x ∈ A : f (x) ∈ V }. Uma interseçcão de um aberto de Rn com A diz-se um aberto em A pelo que este resultado diz que uma fun¸cão é cont´ınua sse transforma inversamente abertos em abertos.

8. Teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita Seja F : U ⊂ Rn→ Rm_{uma fun¸}_c˜_{ao de classe C}1_{com n > m.}

Escrevemos (x, y) ∈ Rncom x ∈ Rn−me y ∈ Rm. Dado (x0, y0) ∈ U com F(x0, y0) = 0,

se

det∂F

∂y(x0, y0) 6= 0

existem abertos V ⊂ Rn−m e W ⊂ Rm com (x0, y0) ∈ V × W ⊂ U e uma fun¸c˜ao

g : V → W de classe C1 tal que

(6)

9. As derivadas da fun¸cão impl´ıcita g no ponto x0 obtêm-se derivando a equa¸cão

F(x, g(x)) = 0. Obtemos a seguinte equa¸c˜ao matricial para a derivada de g:

∂F ∂x(x0, y0) + ∂F ∂y(x0, y0) ∂g ∂x(x0) = 0.

10. Se a fun¸cão f no enunciado do Teorema da Fun¸cão Inversa é de classe Ck(com 1 ≤ k ≤ ∞), o mesmo sucede com f−1 e analogamente, se a fun¸cão F no enunciado do Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita é de classe Ck o mesmo sucede com a fun¸cão g.

3. Variedades

1. O gr´afico de uma fun¸c˜ao f : D ⊂ Rm→ Rn−m _´_{e o conjunto}

Graf(f ) = {(x, y) ∈ Rn: x ∈ D e y = f (x)}.

2. Um conjunto M ⊂ Rn é uma variedade diferenciável de dimensão m ∈ {1, . . . , n − 1} e classe Ck (k ≥ 1) se para qualquer ponto x0 ∈ M existe uma vizinhan¸ca U 3 x0 e uma

fun¸c˜ao de classe Ck f : D ⊂ Rm→ Rn−m _{(D aberto) tais que}

M ∩ U = Graf(f ) ∩ U para alguma ordena¸c˜ao das fun¸c˜oes coordenadas de Rn.

3. Uma variedade de dimensão 0 é um conjunto do pontos isolados; uma variedade de dimensão n em Rn é um conjunto aberto.

4. Variedades como conjuntos de n´ıvel. M ⊂ Rn é uma variedade diferenciável de dimensão m e classe Ck sse para qualquer ponto x0 ∈ M existe um aberto U 3 x0 e uma fun¸cão de

classe Ck F : U → Rn−m tais que (i) M ∩ U = {x ∈ U : F(x) = 0};

(ii) A caracter´ıstica de DF(x0) é n − m (ou seja, é máxima).

5. Seja M ⊂ Rn uma variedade de dimens˜ao m, x ∈ M e U 3 x uma vizinhan¸ca aberta; g : V ⊂ Rm_{→ M ∩ U diz-se uma parametriza¸c˜}_{ao de classe C}q _{de M ∩ U se}

(i) g é uma bijeçcão de classe Cq,

(ii) A caracter´ıstica de Dg(t) ´e m para todo o t ∈ V , (iii) g−1: M ∩ U → V cont´ınua.1

A aplica¸c˜ao g−1: M ∩ U → V diz-se uma carta local para M e o conjunto M ∩ U diz-se uma vizinhan¸ca de coordenadas.

6. Variedades como conjuntos parametrizáveis. Um subconjunto M ⊂ Rn é uma variedade-m de classe Ck sse para cada x ∈ M existe um aberto U ⊂ Rn contendo x e uma parametriza¸cão g : V → M ∩ U de classe Ck _{com V um aberto de R}m_.

7. Um caminho é uma aplica¸cão cont´ınua g : I → Rncom I um intervalo de R. Um vector v ∈ Rn diz-se tangente a um conjunto X ⊂ Rn em x ∈ X se existe um caminho diferenciável g : (−, ) → X com g(0) = x e g0(0) = v.

1_{Isto ´}

(7)

8. Se M ⊂ Rn´e uma variedade-m e x0 ∈ M , o conjunto Tx0M de todos os vectores tangentes

a M em x0 ´e um espa¸co vectorial de dimens˜ao m chamado o espa¸co tangente a x0 em M .

9. Se g : V → M ∩ U ´e uma parametriza¸c˜ao com g(t0) = x0, as colunas de Dg(t0) formam

uma base de Tx0M .

10. Se M ∩ U = {x ∈ U : F(x = 0} com F de classe C1 _{e DF(x) sobrejectiva, T}

x0M ´e o

n´ucleo de DF(x0).

11. Se M ´e uma variedade e x0 ∈ M , o espa¸co normal a M em x0 ´e o complemento ortogonal

de Tx0M , e denota-se por T

⊥ x0M .

12. Se M é localmente definida pela equa¸cão F(x) = 0 com F satisfazendo as condi¸cões habituais, as linhas de DF(x0) formam uma base para Tx⊥0M .

13. Método dos multiplicadores de Lagrange. Seja M uma variedade, f : U → R uma fun¸cão diferenciável e x0 ∈ M ∩ U . Para que a restri¸cão de f a M tenha um extremo em x0 é

necess´ario que ∇f (x0) ∈ Tx⊥0M .

Dito de outra forma, se U é um aberto contendo x0 e F : U → Rn−m é uma fun¸cão de

classe C1 com derivada sobrejectiva e tal que M ∩ U = {x ∈ U : F(x) = 0}, existem λ1, . . . , λn−m∈ R chamados multiplicadores de Lagrange tais que

∇f (x0) + λ1∇F1(x0) + . . . + λn−m∇Fn−m(x0) = 0.

4. Integral de Riemann

1. I ⊂ Rn ´e um intervalo se I = I1 × . . . × In, onde cada Ik ´e um intervalo de R. I

é limitado/aberto/fechado sse cada Ik é limitado/aberto/fechado. Se I é um intervalo

limitado com Ik= |ak, bk| (em que | designa aberto ou fechado), o seu volume n-dimensional

´e

Vn(I) = (b1− a1)(b2− a2) . . . (bn− an).

Uma parti¸c˜ao do intervalo limitado I ⊂ R ´e um conjunto finito P = P1× . . . × Pn, onde

cada Pk é uma parti¸cão do intervalo Ik = |ak, bk| (i.e., Pk é um subconjunto finito de Ik

contendo ak, bk). Uma parti¸c˜ao de I subdivide I num n´umero finito de subintervalos Jα.

Uma fun¸cão s : I → R diz-se uma fun¸cão em escada se existe uma parti¸cão P de I tal que s é constante (igual a sα) no interior de cada subintervalo Jα, sendo o seu integral o

n´umero real _Z

I

s =X

α

sαVn(Jα). (2)

2. Uma parti¸c˜ao P0 diz-se um refinamento de P se P ⊂ P0.

3. O integral de uma fun¸cão em escada definido em (2) é independente da parti¸cão escolhida. 4. Seja I ⊂ Rn um intervalo limitado e f : I → R uma fun¸cão limitada. O integral superior

de f em I é o número real Z I f = inf Z I t : t é em escada e t(x) ≥ f (x) ∀x ∈ I . O integral inferior de f em I é o número real

Z I f = sup Z I s : s ´e em escada e s(x) ≤ f (x) ∀x ∈ I .

(8)

A fun¸cão f diz-se integrável à Riemann em I se os seus integrais superior e inferior coinci-dem, e nesse caso define-se o seu integral como sendo

Z I f = Z I f = Z I f.

As seguintes nota¸cões são também utilizadas para o integral de f : Z I f = Z I f dVn= Z I f (x)dVn(x) = Z I f x1, . . . , xn dx1. . . dxn.

5. Uma fun¸cão em escada é integrável à Riemann e o integral de Riemann é o número definido pela fórmula (2).

6. Se I é um intervalo limitado, P uma parti¸cão de I e {Jα} são os subintervalos da parti¸cão

escrevemos

mα= inf{f (x) : x ∈ int Jα}

e

Mα= sup{f (x) : x ∈ int Jα}.

A soma superior determinada pela parti¸cão é U (f, P ) =X α MαVn(Jα) e a soma inferior é L(f, P ) =X α mαVn(Jα).

7. Seja I um intervalo limitado. Uma fun¸cão limitada f : I → R é integrável à Riemann sse para todo o > 0 existe uma parti¸cão P de I tal que

U (f, P ) − L(f, P ) < .

8. Propriedades do integral. Sejam f, g : I → R fun¸cões integráveis à Riemann. (i) Se f (x) ≤ g(x) para todo o x ∈ I então R_If ≤R_Ig.

(ii) Se α, β ∈ R, αf + βg ´e integr´avel em I e Z I (αf + βg) = α Z I f + β Z I g.

Ou seja, o conjunto das fun¸cões integráveis à Riemann é um espa¸co vectorial e o integral é uma transforma¸cão linear.

(iii) |f | ´e integr´avel em I e R If ≤ R I|f |.

9. Uma fam´ılia {Uα} de subconjuntos de Rndiz-se uma cobertura de A ⊂ Rn se A ⊂SαUα.

A cobertura diz-se aberta se cada um dos conjuntos Uα⊂ Rn´e aberto. Uma subcobertura

de {Uα} ´e uma subfam´ılia de {Uα} que ´e ainda uma cobertura de A.

10. Diz-se que um conjunto A ⊂ Rn tem conte´udo nulo se para todo o > 0 existe uma cobertura de A por uma fam´ılia finita {I1, . . . , Ik} de intervalos limitados tal que

k

X

j=1

(9)

11. Diz-se que um conjunto A ⊂ Rntem medida nula se para todo o > 0 existe uma cobertura de A por uma fam´ılia cont´avel {I1, . . . , Ik, . . .} de intervalos limitados tal que

∞

X

j=1

Vn(Ij) < .

12. Propriedades dos conjuntos de conteúdo nulo e medida nula. (i) Se A tem conteúdo nulo então tem medida nula. (ii) Um conjunto com conteúdo nulo é limitado.

(iii) Se A ⊂ B e B tem conteúdo (medida) nulo, então A também tem. (iv) Uma união finita de conjuntos com conteúdo nulo tem conteúdo nulo.

(v) Uma uni˜ao cont´avel de conjuntos com medida nula tem medida nula.

(vi) O gráfico de uma fun¸cão cont´ınua f : I → R com I ⊂ Rnum intervalo compacto tem conteúdo nulo em Rn+1.

(vii) O gr´afico de uma fun¸c˜ao cont´ınua f : I ⊂ Rn→ R com I um intervalo qualquer, tem medida nula em Rn+1.

(viii) Um intervalo de Rn com interior não vazio não tem conteúdo nulo.

13. Teorema de Heine-Borel: Um subconjunto A ⊂ Rn´e compacto sse toda a cobertura aberta de A tem uma subcobertura finita.

14. Se A ⊂ Rn é compacto, então A tem medida nula sse A tem conteúdo nulo. 15. Se A ⊂ Rn tem interior não vazio, então A não tem medida nula.

16. Seja f : U ⊂ Rn→ R uma fun¸cão limitada. A oscila¸cão de f em D ⊂ U é o número real não negativo o(f, D) = sup x∈D f (x) − inf x∈Df (x). A oscila¸cão de f no ponto x ∈ U é o(f, x) = lim δ→0+o(f, Bδ(x) ∩ U ).

17. Uma fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em x sse o(f, x) = 0.

18. Seja A ⊂ Rn e P (x) uma proposi¸cão dependente do ponto x. Diz-se que P é válida quase em toda a parte em A (abreviado q.t.p. em A) se

{x ∈ A : P (x) não é válida.} tem medida nula em Rn.

19. Critério de integrabilidade de Lebesgue. Seja I ⊂ Rn um intervalo compacto. Uma fun¸cão limitada f : I → R é integrável à Riemann sse f é cont´ınua quase em toda a parte em I. 20. A fun¸cão caracter´ıstica de um conjunto A ⊂ Rn é a fun¸cão

χA(x) =

(

1 se x ∈ A 0 caso contr´ario.

(10)

21. Um conjunto limitado A ⊂ Rn diz-se mensurável à Jordan se a fun¸cão χA é integrável

nalgum intervalo limitado I ⊃ A (esta defini¸cão é independente da escolha de I). O conteúdo ou volume n-dimensional de A é

Vn(A) =

Z

I

χA.

22. Seja I ⊂ Rn um intervalo limitado, f : I → R uma fun¸c˜ao limitada e A ⊂ I. Define-se o integral de f em A por Z A f = Z I f χA.

Esta defini¸c˜ao depende apenas de A e n˜ao do intervalo I.

23. Se f, g são integráveis em I, f g é integrável. Em particular, se f é integrável em I e A ⊂ I é mensurável à Jordan, f é integrável em A.

24. Um conjunto A ⊂ Rné mensurável à Jordan sse A é limitado e front(A) tem medida nula. 25. Seja J a fam´ılia dos subconjuntos mensuráveis à Jordan em Rn. Dados A, B ∈ J tem-se

(i) A ∩ B ∈ J , (ii) A \ B ∈ J , (iii) A ∪ B ∈ J ,

(iv) Se A ∩ B = ∅, ent˜ao Vn(A ∪ B) = Vn(A) + Vn(B).

26. Teorema de Fubini. Sejam I ⊂ Rn e J ⊂ Rm são intervalos limitados e f : I × J → R é uma fun¸cão integrável, então

Z I×J f = Z I Z J fx = Z I Z J fx ! .

onde para x ∈ I, a fun¸c˜ao fx: J → R ´e definida por fx(y) = f (x, y). Analogamente

tem-se Z I×J f = Z J Z I fy = Z J Z I fy ! . 27. As seguintes nota¸c˜oes s˜ao usadas para o integral de f : A → R:

Z A f = Z A f (x1, . . . , xn)dx1. . . dxn= Z · · · Z A f (x1, . . . , xn)dx1. . . dxn= Z A f (x)dVn(x).

28. Aplica¸c˜oes do integral.

(i) O volume n-dimensional de A ´e

Vn(A) =

Z

A

1, (ii) A média de uma fun¸cão f : A → R é

f = 1

Vn(A)

Z

A

(11)

(iii) Se ρ : A → R+é a densidade de massa, então a massa de A é M =

Z

A

ρ (iv) A coordenada k do centro de massa de A ´e

xk_CM = 1 M

Z

A

xkρ, (v) A coordenada k do centr´oide ´e

xk = 1

Vn(A)

Z

A

xk, (vi) O momento de inércia de A em rela¸cão ao eixo ` é

I`=

Z

A

ρd2_` onde d` é a fun¸cão distância ao eixo `.

29. Seja I ⊂ Rnum intervalo compacto, f : I×]a, b[→ R uma fun¸cão cont´ınua. Então a fun¸cão ϕ : ]a, b[→ R definida pela expressão

ϕ(t) = Z

I

f (x, t)dVn(x)

´e cont´ınua.

30. Regra de Leibniz. Seja I ⊂ Rn um intervalo compacto, e f : I×]a, b[→ R uma fun¸cão cont´ınua e tal que ∂n+1f existe e é cont´ınua em I×]a, b[. Então a fun¸cão ϕ : ]a, b[→ R

definida por ϕ(t) = Z I f (x, t)dVn(x) ´e de classe C1 e ϕ0(t) = Z I ∂n+1f (x, t)dVn(x).

31. O suporte de uma fun¸c˜ao f : U ⊂ Rn→ R ´e

supp(f ) = f−1_{(R \ {0}) ⊂ R}n_.

32. Teorema da parti¸cão da unidade. Seja A ⊂ Rn e U uma cobertura aberta de A. Então existe uma fam´ılia Φ de fun¸cões ϕ : Rn → R de classe C∞ _{e suporte compacto com as}

seguintes propriedades:

(i) 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1 para todo o x ∈ Rn,

(ii) Para cada x ∈ Rn existe um aberto Ux tal que apenas um n´umero finito de ϕ ∈ Φ

n˜ao se anula identicamente em Ux.

(iii) Para cada x ∈ A tem-se

X

ϕ∈Φ

φ(x) = 1 (Note-se que esta soma ´e finita por (ii)).

(12)

(iv) Para cada ϕ ∈ Φ existe um aberto U ∈ U tal que supp(ϕ) ⊂ U . Φ diz-se uma parti¸c˜ao da unidade subordinada a U .

33. (i) Se A ⊂ Rn é compacto, qualquer parti¸cão da unidade Φ para A contém apenas um número finito de fun¸cões que não se anulam identicamente num aberto contendo A. (ii) Em qualquer parti¸cão da unidade Φ há no máximo um conjunto contável de ϕ ∈ Φ

que n˜ao se anulam identicamente.

34. Uma cobertura aberta U de um aberto A ⊂ Rn diz-se admiss´ıvel se A = ∪U ∈UU.

35. Uma fun¸cão f : A → R diz-se localmente integrável se para todo o x ∈ A existe um intervalo aberto limitado Ixcontendo x tal que f|Ixé integrável (ou seja, limitada e cont´ınua

q.t.p.).

36. Seja A ⊂ Rn um aberto, f : A → R uma fun¸cão localmente integrável, U uma cobertura admiss´ıvel de A e Φ uma parti¸cão da unidade para A subordinada a Φ. Então f diz-se integrável em A se a série de termos positivos

X

ϕ∈Φ

Z

A

ϕ|f |

converge e nesse caso define-se o integral de f por X

ϕ∈Φ

Z

A

ϕf.

37. Seja A um aberto e f : A → R uma fun¸c˜ao localmente integr´avel.

(i) Se f é integrável no sentido do item anterior e Ψ é outra parti¸cão da unidade para A subordinada à cobertura admiss´ıvel U0, então

X ψ∈Ψ Z A |ψf | < ∞ e X ϕ∈Φ Z A ϕf = X ψ∈Ψ Z A ψf. (ii) Se A é limitado e f : A → R é limitada, então f é integrável.

(iii) Se A é mensurável à Jordan e f : A → R é limitada, as duas defini¸cões de integral de f estão de acordo.

38. Uma transforma¸cão de coordenadas é uma aplica¸cão de classe C1, g : A ⊂ Rn→ Rn _com

A aberto tal que g ´e injectiva e J g(t) 6= 0.

39. Teorema de mudan¸ca de vari´avel. Seja g : A ⊂ Rn → Rn _{uma transforma¸}_c˜_{ao de}

coorde-nadas. Ent˜ao Z A f = Z g−1_(A) f ◦ g|J g|

onde a igualdade significa que f é integrável em A sse f ◦ g|J g| é integrável em g−1(A) e nesse caso os integrais coincidem.

(13)

5. Formas diferenciais

1. Se T ∈ Tk(V ) e S ∈ Tl(V ), o produto tensorial de T e S ´e o tensor T ⊗ S ∈ Tk+l(V ) definido por

(T ⊗ S)(v1, . . . , vk+l) = T (v1, . . . , vk)S(vk+1, . . . , vk+l).

2. Propriedades do produto tensorial: (i) (S + T ) ⊗ U = S ⊗ U + T ⊗ U , (ii) S ⊗ (T + U ) = S ⊗ T + S ⊗ U , (iii) (cS) ⊗ T = c(S ⊗ T ) = S ⊗ (cT ), (iv) S ⊗ (T ⊗ U ) = (S ⊗ T ) ⊗ U ,

(v) S ⊗ T 6= T ⊗ S em geral.

3. Se f : V → W ´e uma aplica¸c˜ao linear, o pullback de T ∈ Tk_{(W ) por f ´}_{e o tensor f}∗_{(T ) ∈}

Tk_{(V ) definido por}

f∗(T )(v1, . . . , vk) = T (f (v1), . . . , f (vk)).

Tem-se

f∗(T ⊗ S) = f∗(T ) ⊗ f∗(S)

4. Um tensor ω ∈ Tk(V ) diz-se alternante, ou anti-sim´etrico, ou um covector -k se ω(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vk) = −ω(v1, . . . , vj, . . . , vi, . . . , vk).

Os tensores alternantes formam um subespa¸co vectorial de Tk(V ) designado por Λk(V ). 5. O conjunto das permuta¸cões do conjunto {1, . . . , k} é designado por Σk. Este conjunto é

dotado de um produto (composi¸cão de permuta¸cões) que é associativo e dispôes de inversos (ou seja Σk com o produto de composi¸cão é um grupo).

Uma transposi¸cão é uma permuta¸cão diferente da identidade que afecta apenas dois ele-mentos i, j ∈ {1, . . . , k}. Qualquer permuta¸cão se pode escrever como uma composi¸cão de transposi¸cões

σ = τ1. . . τN

(não de forma única). O sinal da permuta¸cão σ é sgn σ = (−1)N.

A paridade do número de transposi¸cões na factoriza¸cão de uma permuta¸cão é independente da factoriza¸cão pelo que o sinal da permuta¸cão está bem definido.

Note-se que sgn(σ) sgn(η) = sgn(ση).

6. Um tensor T ∈ Tk(V ) ´e alternante sse para todo o σ ∈ Σk se tem

T (v1, . . . , vk) = sgn(σ)T (vσ(1), . . . , vσ(k)). 7. Define-se a aplica¸c˜ao Alt : Tk(V ) → Tk(V ) pela f´ormula Alt(T )(v1, . . . , vk) = 1 k! X σ∈Σk sgn(σ)T (vσ(1), . . . , vσ(k)).

(14)

8. Propriedades de Alt:

(i) Se T ∈ Tk(V ), ent˜ao Alt(T ) ∈ Λk(V ), (ii) Alt ´e linear,

(iii) Se T ∈ Λk(V ) ent˜ao Alt(T ) = T .

Ou seja, Alt é uma projeçcão de Tk(V ) no subespa¸co Λk(V ). 9. O produto exterior de ω ∈ Λk(V ) e η ∈ Λl(V ) é o covector-k + l

ω ∧ η = (k + l)!

k! l! Alt(ω ⊗ η) ∈ Λ

k+l_{(V ).}

10. Propriedades do produto exterior: (i) ω ∧ (α + β) = ω ∧ α + ω ∧ β, (ii) ω ∧ (cα) = c(ω ∧ α),

(iii) Se ω ∈ Λk_{(V ) e η ∈ Λ}l_{(V ), ent˜}_{ao ω ∧ η = (−1)}kl_{η ∧ ω.}

(iv) ω ∧ (η ∧ θ) = (ω ∧ η) ∧ θ,

(v) Se f : V → W é uma aplica¸cão linear, então f∗(ω ∧ η) = f∗(ω) ∧ f∗(η). 11. Se {ϕ1, . . . , ϕn} é uma base para V∗ _{= Λ}1_{(V ), ent˜}_ao

{ϕi1_{∧ . . . ∧ ϕ}ik_{: 1 ≤ i}

1 < . . . < ik≤ n}

´e uma base para Λk(V ). Em particular

dim Λk(V ) =n k e Λk_{(V ) = {0} para k > n.} 12. Dados ϕi ∈ Λ1_{(V ) tem-se} ϕ1∧ . . . ∧ ϕk₌ X σ∈Σk sgn(σ)ϕσ(1)⊗ . . . ⊗ ϕσ(k)_.

13. O tensor alternante (v1, . . . , vn) 7→ det[v1. . . vn] que designamos simplesmente por det ´e

uma base de Λn(Rn).

14. Seja V um espa¸co de dimens˜ao n e ω ∈ Λn(V ). Se {v1, . . . , vn}, {w1, . . . , wn} ⊂ V e

wi = n X j=1 aj_ivj ent˜ao ω(w1, . . . , wn) = det(aij)ω(v1, . . . , vn).

15. Diz-se que duas bases {vi} e {wi} de V tˆem a mesma orienta¸c˜ao se, quando escrevemos

wi =Pnj=1a j

ivj, obtemos det(aij) > 0. Caso contrário diz-se que as bases têm a orienta¸cão

oposta.

16. Uma orienta¸c˜ao de um espa¸co vectorial ´e um conjunto de bases

[v1, . . . , vn] = { {w1, . . . , wn} : {wi}ni=1 tem a mesma orienta¸c˜ao que {vi}ni=1 }.

(15)

17. Um elemento ω ∈ Λn(V ) \ 0 determina uma orienta¸c˜ao de V {{w₁, . . . , wn} : ω(w1, . . . , wn) > 0}.

Consequentemente uma orienta¸cão de V corresponde precisamente a um elemento não nulo de Λn(V ) a menos de multiplica¸cão por um escalar positivo.

18. Se V é um espa¸co vectorial de dimensão n com um produto interno e uma orienta¸cão, o elemento volume de V é o único elemento ω ∈ Λn(V ) tal que

ω(v1, . . . , vn) = 1

para toda a base ortonormada {v1, . . . , vn} com a orienta¸c˜ao dada de V .

19. O elemento volume de Rncom o produto interno usual e a orienta¸c˜ao can´onica [e1, . . . , en]

´e o determinante.

20. Temos a seguinte f´ormula para os elementos da base can´onica de Λk(Rn): (ei₁∧ . . . ∧ eik_)(v

1, . . . , vk) = det(v ij

l )

Isto ´e, se (v_lm) ´e a matriz n × k que tem por colunas as componentes dos vi, ei1∧ . . . ∧ eik

calcula o determinante da matriz k × k desta matriz determinada pelas linhas (i1, . . . , ik)

de (v_lm). Em particular

det = e1∧ . . . ∧ en.

21. Há uma identifica¸cão natural entre um espa¸co vectorial V de dimensão finita e o dual do seu dual (V∗)∗ dada por

v 7→ (ϕ 7→ ϕ(v)) .

Se {v1, . . . , vm} é uma base de V e {ϕ1, . . . , ϕn} é a base dual de V∗, então a aplica¸cão

anterior envia vi no i-´esimo elemento da base de (V∗)∗ dual a {ϕ1, . . . , ϕn}.

22. Um multivector -k ´e um elemento de Λk(V∗). Identificamos os multivectores-1 com os vectores pelo isomorfismo do ponto anterior, logo se {v1, . . . , vn} ´e uma base para V , uma

base para Λk_(V∗_{) ´}_{e dada por}

{v_i₁ ∧ . . . ∧ v_i_k: 1 ≤ i1< . . . < ik≤ n} .

23. Se U ⊂ Rn´e um aberto, o espa¸co tangente a U ´e o conjunto

T U = a

p∈U

Tp(U ) ∼= U × Rn

onde` denota a uni˜ao disjunta. Escrevemos vp para o elemento (p, v) em TpU ⊂ T U .

24. Da mesma maneira definimos

Λk(T U ) = a

p∈U

Λk(Tp(U )) ∼= U × Λk(Rn)

(16)

25. Um campo vectorial em U ´e uma aplica¸c˜ao ~F : U → T U da forma ~

F (p) = (F1(p), . . . , Fn(p))p

Uma forma diferencial de grau k ou simplesmente uma forma-k ´e uma aplica¸c˜ao ω : U → Λk(T U )

que associa a p ∈ U um covector ωp ∈ Λk(TpU ). Qualquer forma diferencial se pode

escrever de maneira ´unica na forma

ω(x) = X

i1<...<ik

ωi1...ik(x)e

i1

x ∧ . . . ∧ eixk

com ωi1...ik: U → R. A forma diz-se de classe C

m _{se as suas componentes ω}

i1...ik s˜ao

fun¸c˜oes de classe Cm. O espa¸co vectorial das formas-k de classe C∞em U ´e denotado por Ωk(U ).

26. Por conven¸cão, uma forma-0 é uma fun¸cão. Assim Ω0(U ) = C∞(U ). Também por con-ven¸cão, o produto exterior de uma forma-0 g por uma forma-k ω é simplesmente o produto

g ∧ ω = gω.

27. Se f : U → R é uma fun¸cão diferenciável, a sua derivada exterior é a forma-1 determinada pela expressão

vp 7→

∂f ∂v(p).

Em termos da base can´onica de Λ1(TpE) = (TpE)∗ a derivada exterior escreve-se

df = n X i=1 ∂f ∂xi e i_.

Note-se que se f é a i-ésima fun¸cão coordenada (x1, . . . , xn) 7→ xi

então df é a forma diferencial que associa a cada p ∈ U o covector ei_p. Esta forma diferencial é denotada por dxi e por essa razão qualquer forma-k se escreve

ω(x) = X

i1<...<ik

ωi1...ik(x)dx

i1 _{∧ . . . ∧ dx}ik_.

28. Sejam U ⊂ Rn, V ⊂ Rm são abertos, f : U → V é C∞ e ω ∈ Ωk(V ). A derivada de f determina para cada x uma aplica¸cão

TxU → Tf (x)V

dada pela express˜ao

vx 7→ (Df (x)v)f (x).

Para k ≥ 1 definimos o pull-back de ω por f ´e a forma-k f∗ω ∈ Ωk(U ) definida por f∗ω(x)(v1, . . . , vk) = ω(f (x))(Df (x)v1, . . . , Df (x)vk)

para v1, . . . , vk∈ TxU .

(17)

29. Propriedades do pull-back: (i) f∗(ω + η) = f∗ω + f∗η; (ii) f∗(ω ∧ η) = f∗ω ∧ f∗η; (iii) f∗g∗ω = (g ◦ f )∗(ω).

30. Se U ⊂ Rn e f : U → Rn ´e uma fun¸c˜ao de classe C∞, tem-se

f∗(h(x)dx1∧ . . . ∧ dxn_{) = det Df (x)h(x)dx}1_{∧ . . . ∧ dx}n_. 31. Se U ⊂ Rn´e aberto e ω ∈ Ωk(U ), ω(x) = X 1≤i1<...<ik≤n ωi1...ik(x)dx i1 _{∧ . . . ∧ dx}ik_,

a sua derivada exterior dω ∈ Ωk+1(U ) ´e dada por

dω = X 1≤i1<...<ik≤n n X i=1 ∂iωi1...ikdx i_{∧ dx}i1 _{∧ . . . ∧ dx}ik_.

32. Propriedades da derivada exterior: (i) d(ω + η) = dω + dη;

(ii) d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη, onde ω ∈ Ωk(Rn); (iii) d(dω) = 0 (abreviadamente, d2 = 0);

(iv) d(f∗ω) = f∗(dω).

33. Seja U ⊂ Rn. Uma forma ω ∈ Ωk(U ) diz-se fechada se dω = 0. Diz-se exacta se existe η ∈ Ωk−1(U ) tal que dη = ω. Nesse caso diz-se que η ´e um potencial para ω.

34. Uma forma exacta ´e fechada.

35. Um conjunto A ⊂ Rn _{diz-se um conjunto em estrela se existe a ∈ A tal que para todo o}

x ∈ A se tem

{ta + (1 − t)x : t ∈ [0, 1]} ⊂ A.

36. Lema de Poincaré: Se U ⊂ Rn é um conjunto em estrela, então toda a forma fechada em U é exacta.

37. Se U ⊂ R3, as formas-3 podem ser identificadas com fun¸c˜oes f (x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz ←→ f (x, y, z) as formas-1 com campos vectoriais

ωF = F1(x, y, z)dx + F2(x, y, z)dy + F3(x, y, z)dz ←→ F = (F1, F2, F3)

e as formas-2 tamb´em com campos vectoriais

ΩF = F1(x, y, z)dy ∧ dz + F2(x, y, z)dz ∧ dx + F3(x, y, z)dx ∧ dy ←→ F = (F1, F2, F3).

(18)

i. O gradiente de uma fun¸c˜ao f ´e o campo vectorial grad f = ∇f definido por ω∇f = df ou seja ∇f = ∂f ∂x, ∂f ∂y, ∂f ∂z .

ii. O rotacional de um campo vectorial ~F ´e o campo vectorial rot ~F = ∇ × ~F definido por Ω_{∇× ~}_F = dω_F~ ou seja ∇ × ~F = e1 e2 e3 ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z F1 F2 F3 = ∂F 3 ∂y − ∂F2 ∂z , − ∂F3 ∂x + ∂F1 ∂z , ∂F2 ∂x − ∂F1 ∂y

iii. A divergência de um campo vectorial ~F é a fun¸cão div ~F = ∇ · ~F definida por dΩ_F~ = (div ~F )dx ∧ dy ∧ dz ou seja div ~F = ∇ · ~F = ∂F 1 ∂x + ∂F2 ∂y + ∂F3 ∂z .

iv. Tem-se rot grad f = 0, div rot ~F = 0. Se rot ~F = 0 diz-se que ~F é um campo fechado, e se existe f tal que ~F = grad f diz-se que ~F é um campo gradiente ou conservativo e que f é um potencial escalar para ~F . Um campo ~F tal que div ~F = 0 diz-se solenoidal. Se existe ~A tal que ~F = rot ~A, ~A chama-se um potencial vector para ~F .

6. Integra¸c˜ao em variedades

1. Seja M uma variedade de classe Ck e gi: Ui→ M com i = 1, 2 parametriza¸c˜oes de classe

Ck com g1(U1) ∩ g2(U2) 6= ∅. Ent˜ao

g−1₂ ◦ g₁: g−1₁ (g1(U1) ∩ g2(U2)) → g−12 (g1(U1) ∩ g2(U2))

´e uma fun¸c˜ao de classe Ck e J (g₂−1◦ g₁)(t) 6= 0.

2. Uma orienta¸c˜ao µ de uma variedade M consiste numa escolha de orienta¸c˜ao µp para cada

espa¸co tangente TpM satisfazendo a seguinte condi¸c˜ao

• Para qualquer parametriza¸c˜_{ao g : U → M com U ⊂ R}m _{conexo e t, s ∈ U}

µg(t)= [∂1g(t), . . . , ∂mg(t)] sse µg(s) = [∂1g(s), . . . , ∂mg(s)]

onde [v1, . . . , vm] designa a orienta¸c˜ao determinada pela base {v1, . . . , vm}.

(19)

3. Se g : U → M ´e uma parametriza¸c˜ao,

µg(t) = [∂1g(t), . . . , ∂mg(t)]

determina uma orienta¸c˜ao da vizinhan¸ca de coordenadas g(U ), dita a orienta¸c˜ao induzida por g.

4. Se µ é uma orienta¸cão para M e a orienta¸cão induzida por uma parametriza¸cão g coincide com µ em g(U ) diz-se que g é compat´ıvel com a orienta¸cão µ.

5. Seja M ⊂ Rn uma variedade-m. As seguintes afirma¸cões são equivalentes: (i) M é orientável,

(ii) Existe ω ∈ Ωm(Rn) tal que ω|TpM 6= 0 para todo o p ∈ M ,

(iii) Existe ω ∈ Ωm(Rn) tal que g∗ω(t) 6= 0 para toda a parametriza¸cão g e parâmetro t. (iv) Para quaisquer duas parametriza¸cões gi: Ui → M com i = 1, 2, J (g−1₂ ◦ g1)(t) tem

sinal constante.

(v) Existe uma cobertura de M por vizinhan¸cas de coordenadas gi(Ui) tais que J (g−1i ◦

gj)(t) > 0 sempre que esta fun¸c˜ao esteja definida.

6. Uma forma ω ∈ Ωm(Rn) tal que ω|TpM 6= 0 para todo o p determina a orienta¸c˜ao µp

formada pelas bases {v1, . . . , vm} de TpM para as quais

ωp(v1, . . . , vm) > 0.

7. Uma variedade orient´avel conexa tem exactamente duas orienta¸c˜oes.

8. Uma variedade-1 ´e orient´avel sse admite um campo vectorial tangente cont´ınuo e que nunca se anula. 2

9. Uma variedade-(n − 1) em Rn ´e orient´avel sse admite um campo vectorial normal n : M → Rn com n(p) ∈ Tp(M )⊥

cont´ınuo e que nunca se anula.

A orienta¸c˜ao µp determinada pelo vector normal n(p) ´e a determinada pela forma Ωn ∈

Ωn−1_{(M ). Equivalentemente, µ}

p ´e formada pelas bases {v1, . . . , vn−1} de TpM tais que

n(p) · (v1× . . . × vn−1) > 0.

10. A orienta¸cão positiva de Rn é a orienta¸cão determinada pela base canónica, ou equivalen-temente, a orienta¸cão determinada pela forma dx1∧ . . . ∧ dxn_{. Se U ⊂ R}n _´_{e um aberto,}

U+ designa o aberto U com a orienta¸c˜ao positiva. Se ω = f (x)dx1 ∧ . . . ∧ dxn _´_{e uma}

forma-m define-se _Z U+ ω = Z U f.

11. Seja M uma variedade-m com orienta¸cão µ, g : U → M uma parametriza¸cão compat´ıvel com a orienta¸cão, A ⊂ g(U ), e ω ∈ Ωm_{(A). Define-se o integral da forma-m ω sobre a}

variedade M com orienta¸c˜ao µ pela f´ormula Z Mµ ω = Z U+ g∗(ω).

(20)

O integral é independente da escolha de parametriza¸cão compat´ıvel com a orienta¸cão. Além disso, designando por −µ a orienta¸cão oposta a µ tem-se

Z M−µ ω = − Z Mµ ω.

12. Seja M uma variedade-m com orienta¸c˜ao µ, U = {gi(Ui)} uma cobertura numer´avel de

M por vizinhan¸cas de coordenadas e Φ uma parti¸c˜ao da unidade subordinada `a cobertura U . Se A ⊂ M e ω ∈ Ωm_{(A), diz-se que ω ´}_{e integr´}_{avel em A se a s´}_erie

X

φi∈Φ

Z

Ui∩g−1i (A)

|g∗_i(φiω)|

converge e nesse caso define-se o integral Z Aµ ω = X φi∈Φ Z A∩gi(Ui)µ φiω.

Esta defini¸cão é independente das escolhas da cobertura e da parti¸cão da unidade.

13. É poss´ıvel demonstrar que se M é uma variedade-m existe uma vizinhan¸ca de coordenadas U tal que M \ U tem medida m-dimensional nula (isto é a imagem deste conjunto por qualquer carta tem medida m-dimensional nula), logo para calcular um integral de uma forma nunca é necessário recorrer a uma parti¸cão da unidade.

14. Seja M uma variedade-m em Rncom uma orienta¸c˜ao µ. O elemento de volume de M dVm

´e a forma-m sobre M que associa a cada p ∈ M o elemento volume de TpM determinado

pela orienta¸c˜ao µp e pelo produto interno em Rn restrito a TpM .

15. Se g : U → M é uma parametriza¸cão compat´ıvel com a orienta¸cão de M e dVm é o

elemento volume de M , tem-se g∗(dVm) =

q

det(gij)dt1∧ . . . ∧ dtm

onde (gij) = (∂ig · ∂jg) = DgtDg.

16. Se M é uma variedade-1 o elemento volume também se escreve ds e a fórmula anterior é g∗(ds) = kg0(t)kdt.

17. Se M ´e uma variedade-(n − 1) em Rn, tem-se

g∗(dVn−1) = k∂1g × . . . × ∂n−1gkdt1∧ . . . dtn−1.

Se n = 3 o elemento de volume tamb´em se escreve dS.

18. Se M é uma variedade-m em Rn com orienta¸cão µ e A ⊂ M define-se o integral de uma fun¸cão (ou campo escalar) f : A → R por

Z A f = Z Aµ f dVm

(21)

19. Uma vez que existe sempre uma vizinhan¸ca de coordenadas U de M cujo complementar tem medida m-dimensional nula, pode definir-se o integral de um campo escalar sobre uma variedade n˜ao orient´avel por meio do integral de f sobre U .

20. Aplica¸c˜oes do integral de um campo escalar: (i) O volume m dimensional de M ´e Vm(M ) =

R

M1,

(ii) As coordenadas do centr´oide de M s˜ao dadas por xi= 1 Vm(M ) Z M xi.

(iii) Se σ : M → R+é uma fun¸cão densidade de massa, a massa de M é dada pelo integral M =

Z

M

σ. (iv) As coordenadas do centro de massa s˜ao dadas por

xi_CM = 1 M

Z

M

xiσ. (v) O momento de inèrcia de M em rela¸cão ao eixo ` é

I`=

Z

M

σd2_` onde d` é a fun¸cão distância ao eixo.

21. Integral de linha de um campo vectorial. Seja M uma variedade-1 em Rn com orienta¸c˜ao µ e ~F : M → Rn_{. Define-se o integral de linha de ~}_{F ao longo de M percorrida no sentido}

determinado por µ pela f´ormula Z M ~ F · d~r = Z Mµ ω_F~

onde ω_F~ = F1dx1+ . . . + Fndxn. Se ~t : M → Rn´e um campo vectorial tangente unit´ario

tal que ~t(p) ∈ µp para cada p ∈ M , tem-se

Z M ~ F · d~r = Z M ( ~F · ~t) ds.

Se g : ]a, b[→ M é uma parametriza¸cão compat´ıvel com a orienta¸cão µ tem-se Z g(]a,b[) ~ F · d~r = Z b a ~ F (g(t)) · g0(t)dt.

22. Interpreta¸cão f´ısica do integral de linha. Se ~F é um campo de for¸cas e M a trajectória de uma part´ıcula, R_MF · d~~ r representa o trabalho realizado pela for¸ca ~F sobre a part´ıcula ao longo da trajectória.

(22)

23. Fluxo de um campo vectorial através de uma hiper-superf´ıcie. Seja M uma variedade-(n−1) em Rne ~n : M → Rn um campo vectorial normal unitário. O fluxo de ~F através de M no sentido dado por ~n é

Z M ~ F · ~ndVn−1= Z Mµ Ω_F~

onde Ω_F~ = F1dx2∧ . . . ∧ dxn+ . . . + (−1)n−1Fndx1∧ . . . ∧ dxn−1 e µ denota a orienta¸c˜ao

de M determinada por ~n. Como a nota¸c˜ao indica, o fluxo coincide com o integral do campo escalar ~F · ~n sobre M .

24. Interpreta¸cão f´ısica do fluxo. Se ~F = ρ~v é a densidade de fluxo de um fluido (onde ρ denota a densidade e ~v a velocidade) então o fluxo de ~F através de uma superf´ıcie M é a quantidade de matéria que atravessa a superf´ıcie por unidade de tempo.

25. Se M ⊂ Rné uma variedade-(n − 1) e g : U → M é uma parametriza¸cão compat´ıvel com a orienta¸cão induzida pela normal unitária ~n, tem-se

Z g(U ) ~ F · ~ndVn−1= Z U ~ F (g(t)) · (∂1g × . . . × ∂n−1g).

26. Um subconjunto M ⊂ Rn ´e uma variedade-m de classe Ck sse para todo o p ∈ M existe um aberto U ⊂ Rn _{contendo p, um aberto V ⊂ R}n _{contendo 0 e um difeomorfismo de}

classe Ck (isto ´e, uma fun¸c˜ao de classe Ck com inversa de classe Ck) ϕ : V → U tal que ϕ(0) = p e

ϕ({x ∈ V : xm+1 = . . . = xn= 0}) = M ∩ U.

27. Um subconjunto M ⊂ Rn diz-se uma variedade-m com bordo de classe Ck se para cada p ∈ M existe um aberto U ⊂ Rn contendo p, um aberto V ⊂ Rm contendo 0 e um difeomorfismo ϕ : V → U satisfazendo uma das seguintes condi¸c˜oes:

(i) ϕ({x ∈ V : xm+1 = . . . = xn= 0}) = M ∩ U ,

(ii) ϕ({x ∈ V : x1 ≤ 0, xm+1 _{= . . . = x}n_{= 0}) = M ∩ U .}

Note-se que pelo teorema da fun¸cão inversa, as duas condi¸cões são mutuamente exclusivas. Os pontos que satisfazem a segunda condi¸cão dizem-se os pontos do bordo de M e formam o conjunto ∂M . Os restantes formam o interior de M que se nota ˙M .

28. Se M é uma variedade-m com bordo, ˙M é uma variedade-m e ∂M é uma variedade-(m−1). 29. Uma variedade-m com bordo M diz-se orientável se ˙M o for e nesse caso uma orienta¸cão de M é, por defini¸cão, uma orienta¸cão para ˙M . O integral de uma forma-m sobre M com orienta¸cão µ é definido por

Z Mµ ω = Z ˙ Mµ ω.

30. Seja m > 1. Se µ é uma orienta¸cão para M , e ϕ : V → U é um difeomorfismo como em (ii) na defini¸cão de variedade com bordo tal que a parametriza¸cão

(t1, . . . , tm) 7→ ϕ(t1, . . . , tm, 0, . . . , 0)

é compat´ıvel com a orienta¸cão µ (para t1 < 0), a orienta¸cão induzida por µ no bordo ∂M é a orienta¸cão determinada pelas parametriza¸cões do bordo

(23)

Estas orienta¸cões em vizinhan¸cas de coordenadas para ∂M definem de facto uma orienta¸cão em ∂M que é ainda denotada por µ.

Uma orienta¸cão de uma variedade-0 (que é um conjunto de pontos isolados) é uma atribui¸cão a cada ponto de um sinal ±. A orienta¸cão determinada no bordo de uma variedade-1 C é a atribui¸cão do sinal + a um ponto do bordo para o qual exista um difeomorfismo como em (ii) tal que t17→ ϕ(t1_{, 0, . . . , 0) seja compat´ıvel com a orienta¸}_c˜_{ao dada a C e a atribui¸}_c˜_ao

do sinal − aos restantes.

31. Se M é uma variedade-n com bordo, (portanto ˙M é um aberto de Rn) a orienta¸cão induzida pela orienta¸cão positiva de M em ∂M é a correspondente à normal a ∂M que aponta para o exterior de M .

32. Se M é uma variedade-2 com bordo em R3, com orienta¸cão dada por uma normal unitária ~n, a orienta¸cão induzida no bordo é dada pela regra da mão direita.

33. Teorema de Stokes: Seja M ⊂ Rn uma variedade-m com bordo compacta e com ori-enta¸c˜ao µ e ω ∈ Ωm−1 uma forma de classe C1 em M . Ent˜ao

Z Mµ dω = Z ∂Mµ ω. 34. Se M ´e uma variedade-m compacta ent˜ao

I

M

dω = 0. (O s´ımboloH

usa-se para recordar que M é fechada, isto é, que não tem bordo.) 35. O Teorema de Stokes diz-nos em particular que

• Se ω ´e uma forma-m fechada de classe C1, podemos ”deformar”a variedade-m M1

em que estamos a integrar noutra variedade M2 com o mesmo bordo desde que exista

uma variedade-(m + 1) W contida no dom´ınio de ω tal que ∂W = M1∪ M2.

• Se ω é uma forma exacta de classe C1o integral de ω só depende do bordo da variedade de integra¸cão e portanto podemos substituir a variedade M1 em que estamos a integrar

por qualquer outra variedade M2 com o mesmo bordo.

36. O Teorema de Stokes d´a-nos imediatamente os seguintes Teoremas fundamentais do c´alculo para os integrais de campos vectoriais:

(i) Teorema Fundamental do C´alculo para Integrais de Linha: Se ~F : U ⊂ Rn _{→ R}n _´_e

um campo gradiente (isto ´e ~F = ∇ϕ com ϕ de classe C1) e C ⊂ U ´e uma variedade-1

com bordo _Z

C

~

F · d~r = ϕ(b) − ϕ(a)

onde ∂C = b − a. Em particular, o integral de linha de um campo gradiente depende apenas dos pontos inicial e final do caminho de integra¸c˜ao.

(ii) Teorema da Divergˆencia: Seja V ⊂ Rn uma variedade-n com bordo, e ~F : V → Rn um campo vectorial de classe C1. Ent˜ao

Z V div ~F = Z ∂V ~ F · ~ndVn−1

(24)

onde ~n designa a normal exterior a V , e div ~F = ∂F 1 ∂x1 + . . . + ∂Fn ∂xn.

Para n = 3 o Teorema da divergˆencia chama-se tamb´em Teorema de Gauss (ou Teorema de Gauss-Ostrogradsky).

(iii) Teorema de Green: Seja A ⊂ R2 uma variedade-2 com bordo e ~

F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) um campo vectorial de classe C1. Ent˜ao

Z Z A ∂Q ∂x − ∂P ∂ydxdy = I ∂A ~ F · d~r = I ∂A P (x, y)dx + Q(x, y)dy

onde ∂A ´e percorrido de forma a que A esteja sempre `a esquerda.

(iv) Teorema de Stokes: Seja S ⊂ R3 uma variedade-2 com normal unit´aria ~n e bordo C, e ~F : S → R3 _{um campo vectorial de classe C}1_{. Ent˜}_ao

Z Z S rot ~F · ~ndS = I C ~ F · d~r onde C ´e percorrido no sentido dado pela regra da m˜ao direita.

37. Lema da localiza¸cão. Seja U ⊂ Rn um aberto e f : U → R uma fun¸cão cont´ınua. Então f (a) = lim →0 1 Vn(B(a)) Z B(a) f

38. Interpreta¸cão geométrica da divergência. Se ~F : U → Rn é um campo vectorial de classe C1

div ~F(a) = lim

→0 1 Vn(B(a)) Z ∂B(a) ~ F · ~ndVn−1

onde ~n designa a normal exterior `a bola.

39. Interpreta¸cão geométrica do rotacional. Se ~F : U → R3é um campo vectorial de classe C1. Se ~n é um vector unitário,

rot ~F(a) · ~n = lim

→0 1 π2 I C ~ F · d~r

onde C ´e a uma circunferˆencia de raio centrada em a, no plano perpendicular a ~n e

percorrida no sentido dado pela regra da mão direita. Em particular, rot ~F(a) aponta na direçcão perpendicular ao plano em que a circula¸cão de ~F é máxima.

40. Seja U ⊂ Rn um aberto e ω ∈ Ω1(U ) uma forma-1 cont´ınua. Então ω é exacta sse uma das seguintes condi¸cões equivalentes se verifica.

(i) O integral de linha de ω depende apenas dos extremos de integra¸c˜ao. (ii) H

Cω = 0 para cada variedade-1 fechada contida em U .

Equivalentemente, um campo vectorial ~F : U → Rn´e um campo gradiente (ou conservativo) sse o integral de linha depende apenas dos extremos do caminho de integra¸c˜ao, sse o integral de ~F ao longo de qualquer curva fechada se anula.

(25)

41. Seja U ⊂ Rn um aberto. Dois caminhos γ0, γ1: [a, b] → U com γ0(a) = γ1(a) e γ0(b) =

γ1(b) dizem-se homot´opicos se existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua (dita uma homotopia entre

γ0 e γ1)

H : [a, b] × [0, 1] → U satisfazendo

H(t, 0) = γ0(t), H(t, 1) = γ1(t), H(a, s) = γ0(a) = γ1(a), H(b, s) = γ0(b) = γ1(b).

42. Se ω ∈ Ω1(U ) é uma forma-1 fechada, e γ0,γ1 são parametriza¸cões de variedades-1 que

são homotópicas por uma homotopia de classe C1, então Z γ0(]a,b[) ω = Z γ1(]a,b[) ω.

43. Um conjunto aberto U ⊂ Rndiz-se simplesmente conexo se ´e conexo e uma das seguintes condi¸c˜oes equivalentes se verifica:

(i) Todo o caminho fechado em U é homotópico a um caminho constante. (ii) Dois caminhos em U com o mesmo ponto inicial e final são homotópicos. 44. Se U é simplesmente conexo, uma forma-1 ω ∈ Ω1(U ) é fechada sse é exacta.

45. Teorema (de Rham): Se U ⊂ Rn ´e um aberto. Uma forma ω ∈ Ωm(U ) ´e exacta sse R

Mω = 0 para toda a variedade-m compacta sem bordo M ⊂ U .

46. Se U ⊂ Rn é tal que toda a variedade-m compacta sem bordo M ⊂ U é o bordo de uma variedade-(m + 1) W ⊂ U , então uma forma ω ∈ Ωm(U ) é fechada sse é exacta.

7. Integral de Lebesgue

1. Uma fam´ılia U de subconjuntos de X diz-se uma ´algebra de conjuntos se (i) ∅, X ∈ U ,

(ii) A, B ∈ U ⇒ A ∩ B ∈ U , (iii) A, B ∈ U ⇒ A \ B ∈ U ,

U diz-se uma σ-´algebra se al´em disso, (iv) An∈ U ⇒ ∪∞n=1An∈ U .

2. Seja U uma álgebra de conjuntos. Uma fun¸cão φ : U → [0, +∞] diz-se aditiva se é não constante e para A, B ∈ U com A ∩ B = ∅ se tem

φ(A ∪ B) = φ(A) + φ(B).

φ diz-se σ-aditiva se para An∈ U com Ai∩ Aj = ∅ e ∪∞i=1Ai ∈ U se tem necessariamente

φ(∪∞_i=1Ai) = ∞

X

i=1

φ(Ai).

3. Propriedades das fun¸c˜oes aditivas. (i) φ(∅) = 0,

(26)

(iii) φ(A \ B) = φ(A) − φ(B),

(iv) φ(A ∪ B) = φ(A) + φ(B) − φ(A ∩ B),

(v) φ(A1∪ . . . ∪ An) = φ(A1) + . . . + φ(An) se Ai∩ Aj = ∅.

4. Se U é uma σ-álgebra, An∈ U , com An⊂ An+1, e φ : U → [0, +∞] é uma fun¸cão aditiva

ent˜ao

φ(∪iAi) = lim φ(Ai).

5. A medida exterior de Lebesgue de A ⊂ Rn´e µ∗(A) = inf{

∞

X

k=1

Vn(Ik) : Ik intervalo aberto , A ⊂ ∪∞k=1Ik}.

6. Propriedades da medida exterior. (i) µ∗(∅) = 0

(ii) µ∗(B) ≤ µ∗(A) se B ⊂ A,

(iii) µ∗(I) = Vn(I) se I ´e um intervalo,

(iv) µ∗(x + A) = µ∗(A) para todo o x ∈ Rn, (v) µ∗(∪∞_j=1Aj) ≤P∞_j=1µ∗(Aj).

7. A diferen¸ca sim´etrica entre dois conjuntos A, B ´e

A ∆ B = A \ B ∪ B \ A.

8. Um conjunto A ⊂ Rndiz-se mensurável à Lebesgue se para todo o > 0 existe uma fam´ılia contável {Ik} de intervalos abertos tal que

µ∗(A ∆ ∪∞_k=1Ik) < .

9. A fam´ılia M dos conjuntos mensuráveis à Lebesgue formam uma σ-álgebra e a restri¸cão da medida exterior de Lebesgue a M é uma fun¸cão σ-aditiva chamada a medida de Lebesgue e denotada µ.

10. Seja A ⊂ Rn_{um conjunto Lebesgue mensur´}_{avel. Uma fun¸}_c˜_{ao f : A → R diz-se mensur´avel}

se para todo o c ∈ R, se tem

f−1(] − ∞, c[) ∈ M. 11. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes

(i) Para todo o c ∈ R, f−1(] − ∞, c[) ∈ M, (ii) Para todo o c ∈ R, f−1(] − ∞, c]) ∈ M, (iii) Para todo o c ∈ R, f−1(]c, +∞[) ∈ M, (iv) Para todo o c ∈ R, f−1([c, +∞[) ∈ M. 12. Propriedades das fun¸c˜oes mensur´aveis.

(i) Uma fun¸cão cont´ınua é mensurável,

(ii) Se f é mensurável e c ∈ R, cf é mensurável, (iii) Se f é mensurável, |f | é mensurável,

(27)

(v) Se f, g são mensuráveis, max{f, g}, min{f, g} e em particular f+ e f− são men-suráveis.

(vi) Se F : R2 → R é cont´ınua e f, g são mensuráveis, então F (f, g) é mensurável. Em particular f + g, f − g e f g são mensuráveis.

13. Uma fun¸cão simples s : Rn → R é uma fun¸cão que toma apenas um número finito de valores {c1, . . . , cn}. Escrevendo Ai = s−1(ci) temos s =Pn_i=1ciχAi. Uma fun¸cão simples

é mensurável sse cada Ai é mensurável.

14. Se s é uma fun¸cão simples mensurável e A ⊂ Rné mensurável, define-se Z A s = n X i=1 ci µ(A ∩ Ai)

desde que esta soma n˜ao contenha infinitos de sinais contr´arios.

15. Dada f : A → R, existe uma sucess˜ao sk de fun¸c˜oes simples tais que sk(x) → f (x) para

todo o x ∈ A. Se f é mensurável podemos escolher sk mensuráveis e se f ≥ 0 podemos

escolher sk tais que sk(x) seja uma sucess˜ao crescente para todo o x ∈ A.

16. Se f : A → R é uma fun¸cão mensurável não negativa define-se o integral de Lebesgue de f por Z A f = sup{ Z A

s : s(x) ≤ f (x), s simples e mensurável} ∈ [0, +∞] Se f : A → R é mensurável define-se o integral de Lebesgue pela expressão

Z A f = Z A f+− Z A f−∈ [−∞, +∞]

desde que um dos termos do lado direito seja finito. Se o integral é finito, f diz-se integrável. O conjunto das fun¸cões integráveis em A designa-se por L(A).

17. Critério da compara¸cão. Se f : A → R é mensurável, |f | ≤ g e g ∈ L(A), então f ∈ L(A). 18. Propriedades do integral:

(i) f (x) ≤ g(x) ⇒R

Af ≤

R

Ag,

(ii) f ∈ L(A) sse |f | ∈ (A) e nesse caso, R Af ≤ R A|f |,

(iii) Se f é mensurável e limitada e µ(A) < ∞ então f é integrável, (iv) Se µ(A) = 0 entãoR

Af = 0 para toda a fun¸c˜ao f ,

(v) Se B ⊂ A são mensuráveis e f ∈ L(A) então f ∈ L(B)

(vi) σ-aditividade do integral: Se f ≥ 0 é mensurável e A = ∪∞_i=1Ai com Ai mensuráveis

e disjuntos dois a dois, temos Z A f = ∞ X i=1 Z Ai f.

(vii) Se B ⊂ A são mensuráveis e A \ B tem medida nula entãoR_Af =R_Bf para qualquer f ∈ L(A).

(28)

19. Teorema da Convergência Monótona: Seja A um conjunto mensurável, e fn: A → R+0 uma

sucessão de fun¸cões mensuráveis tais que

fn(x) ≤ fn+1(x) ∀n, ∀x ∈ A, e seja f (x) = lim n→∞fn(x). Ent˜ao _Z A f = lim n→∞ Z A fn.

20. Teorema da Convergˆencia Dominada: Seja A um conjunto mensur´avel, e fn: A → R uma

sucessão de fun¸cões mensuráveis. Suponhamos que (i) Existe g ∈ L(A) tal que

|f_n(x)| ≤ g(x) ∀n, ∀x ∈ A, (ii) O limite

f (x) = lim

n→∞fn(x)

existe para quase todo o x ∈ A. Ent˜ao f ∈ L(A), e Z A f = lim n→∞ Z A fn. 21. _x1α ∈ L([1, +∞[) ⇔ α > 1 e _x1α ∈ L(]0, 1]) ⇔ α < 1.

22. Regra de Leibniz: Seja A ⊂ Rn mensurável, U ⊂ Rn aberto e f : A × U → R mensurável tal que f (x, y) é integrável para cada y ∈ U . Se existe g ∈ L(A) tal que

∂f ∂y(x, y) ≤ g(x)

para x ∈ A e y numa vizinhan¸ca de y0, ent˜ao a fun¸c˜ao F : U → R definida por

F (y) = Z A f (x, y) ´e diferenci´avel em y0 e F0(y0) = Z A ∂f ∂y(x, y0).

23. Se f é integrável à Riemann (no sentido generalizado) então f é integrável à Lebesgue e os integrais coincidem.