A pedagogia das matemáticas, vol. 63, 1957

A N D R E F O U C H E

A PEDAGOGIA

LUfS MAGALHAES DE ARACJO ANTONIO SALES CAMPOS

B I B L I O T E C A p e d a g O g i c a B R A S I L E I R A Série 3.» A T U A L I D A D E S PEDAGÔGICAS Volume 63 e GH00791

A PEDAGOGIA DAS MATEMATICAS

pOT

ANDRÉ FOUCHÊ

Traduçâo de

LUIS MAGALHAES DE ARAÛJO ANTONIO SALES CAMPOS

tépicosprincinak^ '• os

judiciosa proporcâo combinar, em

mélodo heuristico ^ ^°^atismo e o

expende, aliâs onL-?'

P e r t i n ê a c i a ) ' d a m a i o r

compreensâoïi'nÎe ahf "a

®ai resultados de invtlr embora

0 ensino tem c

considerâvel de crio^- Parte a Quem ^ Pessoal do

mes-«« e dar vida S "("If' 'J'"' «

i'iœ°aTOn,o°'"" ^ ° "oma^dSfe

g" outro lado, peK ™m'cuIo e,

f Possibilidades dn J diligente

S&ï#:îa-S5

Eï'jSîûi"""-nada com «dificii S®

C a s h 5 P ' a u e t i o d n n I c c i o

r a r ô , J j ' a t e m â t i

-aluno Ynp"'''°"^^n^emé ?m ®' "âo

">^^0 da^^- Nemé oùSP'"g'das aos

hidante sL'ï^'^^^'adticas" n? ®

obï ® que n 4 ® es-J ^ P r i m i r P a r a

^"Mov4:,^-daedSc:k^™bg.^

*

S^^IPANBîa ^

Sao Paulo

©[ga <^Uts^o. £^acfiata

A P E D A G O G I A

DAS MATEMATICAS

A T U A L I D A D E S P E D A G Ô G I C A S

Série S.°'

d a

BIBLIOTECA PEDAGOGICA BRASILEIKA

★

Dircçào de

J . B . D A M A S C O P E N N A

A relaçâo compléta dos livres publicados era "ATU AL ID AD ES PED AGOGIC AS"

e s t d n o fi m d C s t e v o l u m e

B I B L I O T E C A P E D A G O G I C A B R A S I L E I R A

S É R I E 3 . " < V O L . 6 3

★ ATUALIDADES PEDAGÔGICAS ★

A N D R É F O U C H É

Anligo aluno da Eactda Normal Superior de Paria. " A o r i g i " d a U n i o e r a i d a d e . D o u i o r c m C i i n c i a a ,

A

P E D A G O G I A

DAS MATEMÂTICAS

Frofcssôrcs clo Coldgio Rio Branco, Sâo Paulo

★

' O f g a " ^ F i e t e g a

r .

i

j COMPANHIA EDITORA NACIONAL

_ C O ^ i

-Do original francês

La pédagogie des mathématiques

publicado pelas

PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE (Pauls) c m s u a

"NOUVELLE ENCYCLOPÉDIE PÉDAGOGIQUE", 1952

I N D I C E

p A q s .

P r e f I c i o ( J . D e s f o r g e ) V I I

Introduçâo: Evoluçâo da Pedagogia das Matemdticas... 1

P R I M E I R A P A R T E

A l g e b r a Capftulos

I — A e s l r u l u r a d o c â l c u l o 1 1

II — 0 nûmero jracionârio e as operaçôes sôbre fraçOes 23 III — Os nûmeros gualijicados ou relatives e os parênteses 39

I V — 0 c d l c u l o a l g é b r i c o 5 0

V — Funçôes. Probleinas. EquaçOes e ineq^uaçôes 61

1 9 5 7

Direitos para a Ungua portuguÊsa adquiridos pela

C O M P A N H I A E D I T O R A N A C I O N A L

Rua dos Gusmôes, 639,

S A O P A U L O - B R A S I L

que se réserva a propriedade desta traduçâo Impreaso noa EetadoB Unidoa do Brasil

PnnUd tn the Vnittd State» of BratH

S E G U N D A P A R T E

G E O M E T R I A Capftulos

I — E v o l u ç â o e e s t r u t u r a d a G e o m e l r i a 7 5 II — Como analisar e resolver um problcma do segundo

i i p o : d e m o n s t r a ç â o d e p r o p r i e d a d e 8 1 III — Conio analisar e resolver um problema do quarto

i i p o : l u g a r e s g e o m é t r i c o s 9 3

IV — Como analisar e resolver um problema do terceiro I i p o : p r o b l e i n a s d e c o n s l r u ç O e s I Q O

V — 0 c u r s o 1 0 8

V I — A G e o m e l r i a e 0 c â l c u l o 1 1 8 V I I — A G e o m e l r i a n o e s p a ç o 1 3 0

P R E T A g i o

Querer expor, em algumas paginas, uma Pedagogia das

em um mundo movediço de jatos e de idêias; e, traiando-se de

Matemdiicas, pariicularmente de iniciaçào às Matcmdiicas, poder-se-d evitar tocar em àlguns dos dijiceis prohlemas que propoe a gênese dos Jundamentos do conhecimento e do pensamento

cieniijicos ?

0 autor delimitou precisamente o seu assunto: traiard essenciahnente das Matemdticas no ensino do segundo grau e

quase sô do inicio da Algebra e da Geomelria.

Digo Algebra, deveria dizer Cdlculo, pois, a maioria dos capitulos desta parie da obra rejere-se ao cdlculo e à técnica do

cdlculo. Poderemos surpreender-nos com a dijerença de

quali-dade que, assim, parece jicar esiabelecida entre Algebra e Geome

lria, ao menas na jase de iniciaçào. Pensa que ésie ponto deve

ser esclarecido para eviiarmos qualquer equivoco.

A Algebra {compreendendo a Aritmética jundamental e

iambém seu prolongamenio pela Andlise) esiuda entes cujo campo de açào e de exiensào é muito mais vasto do que os da Geometria

elemeniar; desde a sua criaçâo, neles surgem propriedades que ultrapassam injinitamente o objeto e a idéia elemeniar que Ihes deu origem. Sô pouce a pouco, por um trahalho lento, se revelam as propriedades varias que ocultam. Ordenar as aquisiçôes

pro-yUî A peda^osxa das, matemàticas

9 sivas para a realizaçào dêsse objetivo ê ohra de grande jôlego;

rfesco&erfas nêsee domînio ê, alias, ilimitado, por

estard ai a ezplicaçâo do lento progressa do

comn hp e do atraso de dois milênios que aparece,

elem ^ ^ aw/or, entre a constituiqdo de uma Gcomeiria

^lementar quase perfeita e a de uma Algebra coerenie?

corpo de dJu parece hoje codijicado e jorma lun

deseia Dn ^'^Wntos sâo indispensdveis a qiiem

0

c k u l

M a i e m d i i c a s ;

806 jorma alrael't""""fr Mciaçao e nos Imnsmile,

^'"Va'^mriinciadZn^Z t """"

àe mécanismes de ' ^ Vnncipalmente na aquisiçâo

interêsse nào voder^^ (automatisme, cuja importância e

<^888 oo^efeTo'tT; Enlretanto, nào se

UO inicio, dem .redm^-le -^kebra, particularmente

(io- memôria passiva N~ ^ memôria, talvez mesmo

treinar o principiante Algebra, de

<('Pre8eniar~lhe os entes ni aï. mdquina: trata-se de

0 seu manl 1 T' ' Wopriedades, de ensi.

quanta possivel, suai ^ projundamente

f a.«orear.so para que o espirito

^orma, em cada ocasiào utilizd~los da melhor

escoimo. obsenado, refletido, imaginado,

esta soUcitac^^ a .

ZT7 n" inielectuais çue um bom

ll^àeaoometria,e oT^Zrll '' " <=<""

-sem T"-/"™" "'^'o "wa ««i-re o asstmto,

i^ndZêeZlT' ° Ti

_{'®^^rfaocapifuZo(ios7,r.M ^^ffe6ra, especialmente}

Vroblemas (eguaçàes, ineguaçôes).

F r e f â c i o I X

Alids, indo mais adiante, além dos elementos, poderemos

ainda distinguir verdadeiramenie a Algebra da Geometria ? Nâo

joi tomando à Algebra, nào seus automatismos, mas seus entes

e propriedades projundas que a Geometria pôde ultrapassar os

limites que Ihe sâo jixados tradicionalmente e pôde vir também,

por sua vez, em auxilio da Anâlise e dar-lhe, coin êsle apoio,

novo impulsa ?

Quanta à Pedagogia, se nào é concebivel que as pesquisas nesse domînio possam, um dia, "dar certo", isto é, ehegar a conchisôes dejinitivas, ou reconhecidas unânimemente como tais,

é, no entanto, indispensdvel que essas pesquisas sejam conti-nuadas, levando em conta tanto as injormaçôes que jornecem os incessantes progressas da Fisiologia e da Psicologia, como a rejlexào Jilosôjica sôbre a Lôgica e a Ciência.

0 pequeno livra de A. Fauché traz, na concepçâo e nos desenvolvimentos, contribuiçào muito intéressante para o estxido dêsses problemas dijiceis e sempre atuais. Se a jorma viva e dgil parece, por vêzes, imperativa, é, creio, para impressionar mais 0 espirito do leitor, provocando às vêzes a contradiçâo e,

certamente, a rejlexào; parque o autor sabe muito bem que nào

é razodvel, em seïnelhante matéria, dizer "rfeye-se" ou "nào se

se deve . A qualidade das observaçôcs, bem malizadas, que jonnam

a trama dêste seu trabalho nos dd, indubitàvelmente, a prova disso.

J . D e s f o r g e

I N T R O D U Ç A O

Evoluçâo da Pedagogia das Matemâticas

UANDO ESTUDAMOS do ponto de vista histôrico

a evoluçâo da Pedagogia das Matemâticas,

o que mais nos impressiona é a alternância de dois

métodos opostos.

Algumas vêzes o dogmatismo triunfa, impôe sua

intransigência. Cumpre aprender antes de

compre-ender, à custa de exemples, de problemas-tipo, de resumes ; tudo toma o carâter de verdade revelada. Cumpre crer, obedecer às regras, saber de cor os

teoremas, agir e agir depressa; o êrro é uma vergonlia

inexpiâvel. O professer vai puxando o rebanho dos alunos ; e tante pior se alguns nao compreendem, pois nâo têm razâo e o lôbo mau da ignorância os

comerâ. O professer é infalivel, inumano, é o super-homem que tudo sabe, que nunca se engana e nin-guém imagina tenha podido ser alimo outrera, hâ jâ muito tempo.

Outras vêzes o método heuristico volta à moda, admite a discussâo. Deve-se compreender antes de

aprender ; tudo toma o aspecto de uma descoberta. Cumpre procurar, redescobrir os teoremas, repensar

A peda^o^ia das matemâticas

as regras ; o tempo gasto nao importa, o traballio

menos amda. 0 êrro nâo é mais que um acidente,

acilmente reparâvel e até instrutivo, visto ensinar o

que nao é a verdade. 0 professor empurra para diante

o seu rebanho ; é necessârio que todos compreendaui :

n alguns vâo depressa demais ; mas

um hoTYi fome. 0 mestre nâo é senao

r i e n t p ^ c o l e g a m a i s e x p e

-e -e n t -e s -e m s -e -e n v -e r g o n h a r -e a

friança sofrimentos de

mente nn^ entre os dois extremes,

exata-torna todos ^ '^^r'iade, o bom método que

adCar-îos nf P'°^^®®ôres e alunos. Podemos

cido desde muitr^Hâ

começamos a conhecer ''''' ® razôes que mal

nâo se linSta da Matemâticas

apresenta também um^nrL opostos ;

pressâo de causas py+p?" medio regular, sob a

dessas causas é o mmentT ^ principal

dade, dos conhecimpi? ' quantidade e

quaU-Pre durante o mesmo tl^^® devemos adquirir,

sem-buscar melhorar o rPTiri^^^*^ ' ^ necessârio

^açâo feliz de dogmatic''' ^ uma combi-

_{é iâ antiga e é ela nron^*^ ^ descoberta. Essa busca}

nancia entre os dois ainda a

alter-r f p q u a n d o t i v e alter-r m o » d a alter-r

_{s Matemâticas, consideranri ^-odo o ensino}

S 'd "odetSo°^ "-^os que fer

mente, da onança. ^^omena e,

principal-I n t r o d u ç à o

As pesquisas atuais, levadas a efeito nas classes novas(*) onde o fator humano desempenha grande

papel, jâ mostraram que nâo é sômente o ensino que deve ser modificado. Serâ precise em certas partes

reconsiderar também o encadeamento lôgico das prô-prias Matemâticas. A.busca de um mellior rendi-mento nâo é, pois, ùnicamente de ordem psicolôgica, como se acreditou de inicio; é também do dominio

da Lôgica pura.

Necessârio se faz uma aproximaçâo util entre

nossas preocupaçôes pedagôgicas e as da mdùstria moderna, que exige, também, rendimento melhor.

Com efeito, este é obtido na indùstria per uma orga-nizaçâo mais bem estudada da fabricaçâo cm série, uma utilizaçâo mais racional do fator tempo e mais perfeita compreensâo do fator humano. Os dois pro-blemas têm muitos pontes comuns e as pesquisas de

um podem auxiliar as do outre. As Âlatemâticas

nâo devem ser uma tôrre de marfim, devem perder o aspecto rébarbative, desagradâvel, inumano; devem

ser, no comêço pelo menos, acessiveis a todos e o

ensino, mais bem planejado, mais bem organizado,

deve apoiar-se em combinaçâo harmoniosa e eficaz

d o s d o i s m é t o d o s c o n t r â r i o s .

O fator tempo. — Quando se estuda, lôgica-mente, a contradiçâo entre o dogmatisme e a

desco-(•) Refere-se o Autor ao ensino secuncidrio francês, no quai, a partir de outubro de 1945, foram estabelecidas (pela reforma Langevin) classes expérimentais, corn inspiraçâo pedagôgica sensivelmente diferente da tradiçào no ensino dêsse grau. V., a tal respeito, Paul Foulqcié, As esco?as Tioros, trad. port, de Luiz Damasco Peuua, vol. 55 destas "Atualidades

1

A peda^o^ia das matemâticas

mesmo ritrnn^f^^^+métodos nao tern o

da mesma forma 'îi a o tempo

entre a m-inn; ' mesma oposiçâo existante

riti^taTTnTrro^'rnW^f' ° engenheiro e

doffmatismn n /obot e o cientista. Para o

tempo é dbheirT^'p?.^' ° o "robot" o

artista, o cientista o + ^ descoberta, o artifice, o

0 verH^Jf ' é sempre vida,

geralmente muito T descoberta consome,

nha-lo. Com eSo P°''

d e s c o b e r t a é a s e d e s p e n d e n a

a c^cunstâncias novas e^imT ^ ^ adaptaçâo

muitas vêzes longo npuno ^ esfôrço

cbega a bom têrmn o ^ ^ mgrato. Se a descoberta

estabelecer uma regra^onp simples e pode-se

de adaptaçâo, ouaTirln mais fâcil o esfôrço

se renovam ; mn Tiou^f '^^l'cunstâncias imprevistas

sepiida, pelas renetionpo^ ^ desenvolver-se, em

fal hâbito se traduz ou freqlientes, e

Gm ganho de tempo' ^ quase acessôriamente,

descoberta,'^mas, sub-produto da

J^portância primordial ®^b-produto tem

_{ir 0 esfôrço da descoberta muito tentador}

supri-egra, mas o ganho dp ^'^smar dogmàticamente

o h^bitHe comprometido,

8 ° . s " " s „ , r " • " "

da d«c l^glcamentT' ®er ensinadas,

o t e m n ° a c a b a o m é t o d o

om efeito, o esfôrço

I n t r o d u ç â o

de adaptaçâo que a descoberta impôe, favorece a

compreensâo da regra encontrada e apressa a

aqui-siçâo do hâbito correspondente. 0 enunciado da

regra conserva seu conteùdo inteligente'pelo fato de

indicar 0 que é precise fazer e pelo fato de saber-se porque é precise agir como diz. Se nos couber, em seguida, ensinar uma outra regra que se ligue

lôgica-mente à anterior, uma parte do esfôrço de descoberta jâ esta feita, a adaptaçâo é mais fâcil e adquire-se o hâbito mais depressa. 0 dogmatisme, ao con

trario, justapôe as regras sucessivas, exigindo para

cada uma a repetiçào do mesmo trabaÙio. As regras jâ

nâo sâo inteligentes, mas apenas inteligiveis ; dizem

imicamente o que é precise fazer, mas nâo se sabe

porque é precise obedecer-Uies. A memôria faz todo

o trabalho, s6 se adquii'e o hâbito por numerosos

exercicios e o tempo despendido para cada regra sô

pode aumentar, por fôrça da fadiga da compreensâo.

Adota-se freqtientemente um método

interme-diârio, enunciando primeiramente a regra e

demons-trando-a ou justificando-a em seguida. Suprime-se

0 esfôrço da descoberta e aproveita-se o

encadea-mento lôgico das regras. Daî decorre um ganho

duplo de tempo imediato; mas forma-se o hâbito

mais lentamente e é menps seguro que pelo método

de descoberta pura.

^ O professer que dispôe de um dado tempo, para

ensinar um programa também dado, acha-se, pois, em

face de um verdadeiro problema de economia. 0

ritmo da descoberta é muito lento para ser sempre

empregado, é preciso reservâ-lo para os pontos mais

A pedagogia das matematicas

da Geometria e algumas regras do câlculo algébrico.

0 ritmo mais râpido do método intermediârio é

neces-sdrio frequeBtemente, em algumas passagens do curso e, às vêzes, o dogmatismo puro se impôe, como para

cartas regras de câlculo aritmético, por exemple.

0 método pedagôgico que apresentarâ o melhor

rendimento nâo poderâ ser uma combinaçâo fLxa e

unica de descoberta e dogmatismo, definida por uma

quîmica misteriosa dos espîritos. Quaisquer que sejara

os progresses que possamos fazer em nossas pesquisas,

a Pedagogia serâ sempre tanto arte quanto ciência.

O fator humano. — A afirmaçâo que

acaba-mos de formular relaciona-se com o aluno médio

ideal, que sô se encontra raramente, e é reforçada

pelo estudo do fator humano. Alguns de nossos

aunos tem a mentalidade de espeetador, sâo

con-îormstas, demasiado obedientes, passives e

indife-rentes; cumpre reeducâ-los por uma dose mais forte

p o s t e ^ ^ t â o s e m p r e n o

Ihes muito d^grnktlmm

de um OTâtion^- Pedagogo sâo as mesmas

seuralSt °bem i^dividualmente

Progr^l^î^que dTve Zina'r

se alguns de sens slnr. ~ saber também que

é d e v i d o i s s o M o

razôes de saûde ou afetivas elf®- mas a

mente, porque têm ^ mesmo,

tola-Matemâtica, mêdo de parecerem^TsÏ5dos"'®'^°

I n t T o d u ç à o 7

0 escopo a que visamos nesta obra é

principal-m e n t e a n a l i s a r o s principal-m o t i v e s e r a z ô e s d o h o r r o r à s

Matemàticas e indicar os meios pedagôgicos e lôgicos

que têm side achados para vencê-lo. Queremos pro-var que o ''dom para a Alatemâtica'^ nâo existe, que essa misteriosa e fabulosa faculdade nâo passa de um preconceito que, infelizmente, tem desenco-rajado e feito sofrer muitas crianças.

Muitos alunos classificados como ''mal dotados"

por seus pais e às vêzes também por certes

profes-sôres, sofrem na realidade de um simples complexe de inferioridade, que bastaria analisar para atenuar

e depois fazer desaparecer. Em alguns o complexe

se apresenta como mêdo da derrota; em outres

mani-festa-se por uma predileçâo môrbida pelo

excepcio-nal, entretido pelas mâs vulgarizaçôes cientificas, que

procuram mais distrair o leitor que instrui-lo ; e

outros, ^ ainda, têm uma sunples falta de vitalidade

fisiolôgica que os faz procurai* o menor esfôrço', o

t r a b a l h o m a i s f â c i l .

^ Ao contrario, os alunos considerados "bem

dota-dos'' sâo, por vêzes, crianças que um bom êxito tornou

sùbitamente apaixonadas pelas Matemàticas e que um

desenvolvimento progressive hipertrofiou, em

detri-mento de outras matérias. Essa hipertrofia torna-se

ràpidamente perigosa porque se transforma em

com-pensaçâo de fraqueza em outras disciplinas e a

evo-luçào em "bola de neve" acentua-se

irremediàvel-m e n t e .

• Nâo poderâ ser objeto dêste pequeno trabalho

estudar todo o curso de Matemàticas. Analisaremos

8 A pedagogia das matematicas

apenas a fundo o princfpio do calcule algébrico e o

da Geometria Plana; quanto ao reste, daremes indi- |

caçôes ligeiras, sejam peculiares a cartas partes de ; curso, sejam para mostrar e prelengamento de que '

desenvoivemos a proposite des referidos estudes

intro-d u t ô r i o s .

I

^

A L G E B R A

C A P I T U L O I

A e s t r u t u r a d o c a l c u l e

Evoluçào do câlculo

A palavra câlculo provém da raiz khalk, cujo

significado é cal. Khalix e ka-khlex em grego, calculus

em latim, querem dizer pedra, cdlcvlo, calhau, seixo. As crianças aprendiam o câlculo com pedrinhas. Com estas, as crianças e os comerciante de antanho nao poderiam fazer senao contagem e operaçôes

ele-m e n t a r e s .

Ho je o câlculo é feito com auxilio de mâqui-nas eletrônicas gigantescas, cuja potência e veloci-dade desafiam a imaginaçao. Estas mâquinas podem calcular todos os pormenores de sua propria fabri-caçâo; é quase a geraçâo espontânea.

Os hindus foram os precursores e seus antigos poemas didâticos mostram a prôdigiosa potência men tal dos primeiros trabalhos. Mais tarde, os ârabes

recolheram e depois nos transmitiram as descobertas

dos hindus, apos have-las enriquecido consideràvel-mente. Pouco a pouco, o câlculo sistematizou-se coerentemente e desenvolveu-se com uma velocidade

1 2 A pedagogia das matemâticas

crescente. Atualmente, o progresse atingiu tal rapidez

que, durante sua vida ativa, um homem deve rever

varias vezes seus conhecimentos para estar a par

das transformaçôes ocorridas.

Os progresses do calcule foram mais lentos e

tardios^^ que os da Geometria. No século XVI, a

operaçâo de divisâo que ensinamos às crianças de

01 0 anos, era ainda uma proeza reservada aos

espe-cia istas, enquanto hâ dois mil anos a Geometria

m a ja, no seu ativo, descobertas que nâo se

ensi-e l ensi-e m ensi-e S a r ensi-e s M a t ensi-e m â t i c a s

atraso é a mesma que

c â S o

^

t é c n i c a

d o

den^ 1 ^ tornar-se fâcU senâo

aepo^ de numerosos exercîcios.

deverifl^T(?rn ^ trabalho de nossos jovens

S as\orr;f â'-duo, à medida

no ensino eleme"

porque OS nrno-rûo^ • ^ebzmente, isto nâo é exato,

nuir o esfôrco tnr^ ^ecnicos tendem sempre a

dimi-à custa de novos tiîfvf calcules mais simples, e

aoonteceu, por 6x011101^' mais fâcil. Assim

relativamente hâ nni?r.r>'^ bicicleta, inventada

depressa e mais iLo-p permite ir mais

esfôrço muscular. E^idpu+p^® f O mesmo

a andar de bicicleta ®^nte é précise aprender

adquirirnovoshâbitos equilibrio,

_{compreensâo que o adulto L possui mener}

epressa e com maior faciliri^^ geralmente mais

dos nossos des^eUeS?e ;

®°"doa-j ao contrârio,

volva-A estrutura do câlculo 13

mes uma recordaçâo comovida aos romanes, que deviam fazer multiplicaçôes, servindo-se do seu

sis-tema de numeraçâo.

O ensino do câlculo, seja aritmético, algébrico,

trigonométrico, vetorial, depende do ensino de téc-nicas, da aquisiçâo de hâbitos que nâo sâo naturals às crianças e o pedagogo précisa cuidar de duas ordens de dificuldades, de natureza e origem

diferentes.-Todos os que se tornam técnicos e que desejam

ensinar sua técnica conhecem bem uma delas; é a das dificuldades lôgicas e técnicas que surgem

das prôprias particularidades técnicas. Se todos os

homens nâo as dominam da mesma forma, tais dificuldades sâo constantes e sô podem ser atenuadas

por um aperfeiçoamento técnico, em principle

aces-sivel a todos.

Ao contrârio, a outra ordem de dificuldades é bem

menos conhecida, particularmente pelos técnicos que se esforçam, quase sempre inconscientemente, para esquecê-la na medida do desenvolvimento de sua

instruçâo. Sabem que este ponte é delicado mas,

em gérai, nâo sabem mais porque, e sâo incapazes de voltar ao estado de ignorância, para reconstituir

a natureza exata da dificuldade que encontraram e nem sabem como venceram. E isso é assim porque

êste tipo de dificuldade é quase totalmente efetivo. 0 primeiro tipo de dificuldade depende do

dogma-tismo ou do método de descoberta, segundo o tempo

de que se dispôe ; mas o segundo, em que a adapta-bilidade représenta papel mais importante que a compreensâo, impôe o método da descoberta. A

1 4 _{A pedago^ia das matematicas}

combinaçâo dos dois métodos é muito sutil, muito

dehcada e a Pedagogia que decorre delà é mais uma

ar e o que uma ciência, porque depende muito dos

caractères e temperamentos dos alunos e do profes

sor. Jintretanto, podemos emitir algumas leis gérais.

Umas relacionam-se corn a apresentaçâo da técnica

^ ^ outras com o comportamento psicolôgico

o ^ conseqUências résultantes para

s i

e

i n d e p e n d e n t e s

e n t r e

esDecifll ^^^^^outo técnico ou um auditôrio

ta^trL n concorrer para modificâ-las.

Entre-decorrer dn ^ ® citaremos no

utilizâvel em nn<iL + "^^uos, um valor normativo

tância e o nûmero S! casos. A

impor-se compararmos r» podem surpreender

Isto decorre Tfato dL'^-i''''^ Geometria.

Çâo, ter construfdn nr^ ' durante sua

evolu-de base muito estreita elevadissimo e

tomou-se muito PrnTiriL P^^or de açâo do câlculo

®âo ficasse fâcil fnî « ' ^

compreen-"condensados" de racioM^f ^®ëi*as, isto é,

aos olhos dos alunos pst«Q°^* muito tempo,

pela coerêneia; a lôdfs, ?^o se ligam senâo

bom sense vulgar e-Tinr ^ oonjunto nâo aparece.

s à o p o s t o s a p r o p r i e d a d e

S i :

:

A estrutura do câlculo 1 5

Generalidades sobre as regras de câlculo

Uma regra é, essencialmente, um meio de açâo, um meio que dispensa de refletir, de raciocinar.

Uma regra deve ser inteligîvel, expor claramente 0 que é necessârio fazer, mas nâo é preciso que seja inteligente, que diga porque é preciso fazer o que

i n d i c a .

Uma regra é a descriçâo e mesmo a definiçâo de um hâbito que devemos adquirir; portanto, a

aplicaçâo de uma regra deve tornar-se" mecânica, inconsciente e seu enunciado deve ser esquecido, tâo

logo 0 hâbito se forme.

É muito diflcil destruir um hâbito, portanto nâo convém dar regras, introduzir hâbitos, criar reflexes que serao abandonados mais tarde. Nâo é

conveniente uma sistematizaçâo que nâo venha a

integrar-se em uma sistematizaçâo ulterior, nada de

hâbitos que nâo participarâo de'hâbitos mais gérais.

Nâo convém apresentar sinônimos mais ou menos aproximados. Cumpre cuidar da correçâo e exatidâo

da linguagem. Convém esperar que as palavras novas

sejam totalmente adotadas pela linguagem corrente,

antes de nos utilizarmos delas para définir novas

idéias.

As palavras regra e régua vêm ambas da palavra

latina régula (a raiz é reg, do verbo regere, dirigir)(*).

Assim, à idéia de regra associa-se estreitamente à de linha reta, isto é, de uma linha de açâo onde

nada muda, onde o espîrito pode descansar, onde o

(*) No original: Le mot rhgle et le mot droite viennent tous deux

1 6 A pedagogic das matematicas

aluno espera uma posiçâo quase confortavel. Uma

regra deve, pois, ter um mmimo de exceçôes. É

melhoi'j por exemplo, escrever la: ao invés de x, sem

coeficiente. Convém nâo recuar diante das

dificulda-des de câlculo e de sinais que podem aparecer na

aplicaçâo de uma regra e nâo contornâ-las com

a r t m c i o s .

Uma regra dada pode fazer parte de duas gene

ra izaçôes distintas que so se relacionarâo numa ordem

maB elevada. Assim, (a/6) X 6 = a, résulta da

defi-mçao e divisao. Esta operaçâo pode ser

conside-a conside-a como multiplicconside-açâo de umconside-a frconside-açâo por um

( u ^ o p e r a d o r i n v e r s o

r ^ operaçâo inversa da divisâo).

stas duas generahzaçôes fundem-se na idéia de grupo.

r C m - P ^ e i r a d L L

mesmos o modo

abre-regra.' oportuno reexaminar a primeira

atençâo, gradu^^entT^'^^^^''^^^^' convém chamar a

Çâo coml ^^^rência de uma

dedu-conjunto dedutivo ' p ^ P^^'^ a logica do

d e m o n s t r a ç L s u n A u m a

_{dades évidentes para an? ™ ^i^cadeamento de}

ver-do aluno que, geralmentp ° P^^®^ seletor mental

l^to do que as minûcias' a ^ ^

_{i^cia para as articulaofip« ri ^ P^-rticular}

impor-generahzaçào e para as anli™®-'™^ sua

figurem os nWos o! ^^«^^ricas em que

A estrutura do câlculo 17

Inversamente, para certas regras um pouco ele-vadas (Relaçâo de Chasles), uma demonstraçâo cuja coerência foi bem fixada permite reclamar a con-fiança dos alunos para uma regra que compreendem,

mas a que se adaptam com esfôrço. Pode-se, entao, por meio de numerosos exemples, criar um hâbito artificial para forçar a passagem dificil e facilitar a adaptaçâo. O hâbito criado se liga aos outros ja adquiridos, perde seu carater artificial, e o campo mental de observaçâo fica mais amplo.

0 câlculo algébrico deve ser sempre considerado como sendo escrito em estenografia, as letras repre- .

sentando numéros anônimos (nâo falar em incog

nitas senao a partir das equaçôes). É portante

inad-missivel que um aluno cometa, com as letras, erros que nâo cometia com os numéros. Para evitar esses erros, o unico método eficaz é o do ensino das Ifnguas estrangeiras. Cumpre fazer versoes (traduçôes em linguagem corrente e valores numéricos) e temas, nâo

esquecendo que o tema é mais dificil que a traduçâo, que é um exercicio de especialista, de técnico.

Uma dificuldade suplementar apresenta-se com

relaçâo à escrita algébrica ; é precise convencer o

aluno de sua validade, de sua coerência e de sua

universalidade. Os dois primeiros caractères podemos

estabelecê-los lôgicamente e por exercfcios de tradu

çâo e de temas, mas o terceiro sô pode ser estabele-cido com segurança por meio de exercicios

combi-nados e correçâo miitua. Exemplificando, o professor

dita em linguagem corrente, com o mener numéro

18 A pedagogia das matematicas

durante o ditado, os alunos devem fazer o tema;

OS cademos sao trocados entre os alunos e cada um

deve fazer a traduçâo do que foi escrito pelo seu

colega.

As regras e os alunos

^ Nao se devem dar explicaçôes muito longas,

arriscam-se a distrair a atençao. 0 aluno nao é capaz

de um esfôrço contmuo de atençâo superior a dez

segundos. Sua atençâo é, na realidade, oscilante, seu

céjebro recebe pedaços de frases que ouve, mas

_{nâo entende, que nâo penetraram no seu espîrito.}

Faz-se mister repetir a explicaçâo mudando um pouco

0 ntmo oratorio; Consequentemente, deve o pro

essor cuidar de perto da correçâo e da exatidâo da

sua ngua. Por causa da atençâo oscilante, que

1 a o poder de compreensâo, cumpre nâo abusar

e no açoes novas e nem mudâ-las no decurso de

uma exposiçâo.

o fin? ser râpido, principalmente

Que aci adaptam menos fàcilmente

nacâo baver uma como que

impreg-» £ a s " ^

q» o m«„ d. err„ ï ,, e>q"«qr

é um mêdo naturel ^pbcaçao de uma regra

,hâbito. ' normal na aquisiçâo de um

A e s t r u t i i m d o c â l c u J o 1 9

esta demanda tempo e muitos exercicios, mas

pre-cisamos nâo esquecer que o que parece simples e

fâcil apôs luna longa prâtica, pode ser simples e

difîcil {Relaçcio de Chastes, derivadas, etc.), ou

com-plicado e fâcil (operaçoes aritméticas).

Na mesma ordem de idéias, certas simplifica-çôes da escrita algébrica (supressâo do coeficiente um, do sinal de multiplicaçâo entre numéros e lêtras, dos parênteses nos produtos...) nada têm de lôgico, ou, mais exatamente, nâo sâo coerentes com a lôgica

do câlculo. Parecem artiffeiais, arbitrârias aos olhos dos alunos e originam outras dificuldades se nâo

forem logo justificadas. Convém, para isto, apelar

para uma Lôgica mais elementar que conduz a sim-plificaçôes semelhantes, na linguagem corrente. Dare-mos exemples pormenorizados.

Muita atençâo para a difusâo entre^duas regras

de formas prôximas (produtos de somas e produtos de

! produtos..As crianças julgam-se perfeitamente

16-gicas e generalizam naturalmente, por extensâo, mas o

î que sucede realmente é que sâo igualitârias,

preocupa-das com uma justiça distributiva por simpatia pelo

simples, o simétrico, por uma estética subjetiva ou,

antes, quando sâo mais instruîdos, colocam a

propor-cionalidade em-tudo. As regras de formas prôximas

devem ser rejustificadas, redemonstradas, senâo

re-descobertas periôdicamente, para conservai- um

mîni-nio de conteûdo inteligente, que assegurarâ a

dis-tmçâo dos habites respectives.

Geralmente, 50% dos alunos que dizem ter

com-1 preendido uma demonstraçâo, dizem-no para agradar

para evitar um novo esfôrço do professor, 30% podem

2 0 A pedagogia das matematicas A estrutura do calculo 2 1

o

o

ser sinceros, mas se acham mais espantados do que

v e r d a d e i r a m e n t e c o n v e n c i d o s . P o d e a c o n t e c e r q u e

a segunda taxa atinja 100% e que todos os alunos

de uma classe pretendam ter compreendido, a partii'

do momento exato em que deixaram de compreender

inteiramente. É, pois, util e prudente verificar a

suposta compreensâo dos alunos, perguntando queiu

se sente capaz de refazer a demonstraçâo ou, de

uma vez por outra, mandar ao quadro um dos que pretendem tê-la compreendido.

Dificuldades reais, técnicas

d e lôgicas do calcula

d 1*. ^^gébrica é composta de numéros,

^ de operaçâo. Nâo hâ diferença entre

r t T ï S q u e s â o n u m é r o s a n ô n i m o s .

nùmeros^oii ^^smo, à_ primeira vista, entre os

^ dades smais operatôrios. As

dificul-{$ Qâo e emnr^ffn A decorrentes da

cria-sâo as da^ f>nTy.K°^ s^bolos. As dificuldades lôgicas

^ os nûmeros. ^^^^oes dos sîmbolos entre si e com

a técnica e^a babitualmente entre

ficial e perigosa • fnl^ p^lculo, é, na realidade,

super-~ S s , - ! ^ e r o q u e t ê m

gue aos sinais de onpro ~ ™ material inerte

entre-eialmente o nùmero abstmto °

espe-os operadores, é o operad^nr^' ^ P™eiro de todespe-os

lia prâtica do ensii^rdo Jaleul®""

caicuio passa-se muito

de-pressa do numéro concreto ao abstrato, despojando o primeiro do que o multiplica. 0 numéro abstrato, isolado, parece perder seu carâter de adjetivo

multi-plicador e nâo ser mais que um nome comum.

Quando se passa da Aritmética à Algebra, onde o

numéro abstrato, perdendo tôda individualidade, é representando por uma letra, o mal estâ feito, o

n u m é r o n â o t e m m a i s n e n h u m s e n t i d o . A t é c n i c a e

a lôgica dos sîmbolos operatôrios permanecem o ûnico alvo de nossa solicitude e, como nâo têm mais apoio concreto,. vemos nossos discîpulos escrever, sem

hesi-tar, erros énormes, que nâo teriam cometido anos

antes, em Aritmética. Veremos que bastarâ

resta-belecer o nûmero em seu carâter ativo de multipli-cador, para reduzii- as dificuldades do ensino do

câlculo, particularmente no caso das fraçôes.

Além da idéia de nùmero que, a certa altura, é

precise melhorar no espîrito de nossos discîpulos,

hâ outras dificuldades de Lôgica pura que vâo sendo

encontradas, no decorrer do curso. A principal é relativa à idéia de operador inverso.

Freqiiente-mente coloca-se o professor sob o ponto de vista técnico para expô-la. Somos do parecer que é um

êrro, convém pelo menos acompanhar a exposiçâo técnica de um raciocînio feito em linguagem corrente, cuja essência consiste em inverter uma frase, ao invés de uma operaçâo. Demais, os alunos nâo apre-ciam muito êste gênero de raciocînio que exige com

preensâo e adaptabilidade ; preferem a boa regra

técnica que, cômodamente, os dispensa de refletir, mas que nâo os educa.

2 2 A pedagogic das matematicas

TJma outra dificuldade é que as operaçôes suces-sivas sao lidas da esquerda para a direita, como se

apresentam escritas e os alunos tendem a efetud-las

na mesma ordem. Cumpre inventar regras de

prio-ridade, bem dificeis de justificar, ou colocar

parcnte-ses por toda parte.

Outra dificuldade ainda é o emprego dos

parên-teses e dos traços de fraçôes algébricas, bem como

as suas combinaçôes.

Hâ muitas outras dificuldades mais ou menos

graves no ensino do câlculo, mas é impossivel, numa

obra_ tâo pequena, citd-las a tôdas, seguindo o

desen-volyimento de um curso normal. Isso nos levaria

muito longe. Pareceu-nos mais intéressante e mais

eficaz, grupâ-las em tôrno de uma combinaçâo da

idéia de momero e do operador inverso. Isto nos conduzirâ, muito naturabnente, aos numéros

fracio-nârios e as operaçôes com mlmeros fraciofracio-nârios •

depois aos numéros relativos, aos parênteses clâssicos

e, finalmente, as fraçôes algébricas racionais

C A P I T U L O I I

O n u m é r o f r a c i o n â r i o

e as operaçôes sobre fraçôes

O n u m é r o i n t e i r o

e o n û m e r o i n v e r s o d o i n t e i r o

0 nûmero é uma palavra, ou um grupo de

pala-vras, que permite lembrar e refazer em outro lugar

e em outro instante, uma grandeza simples por

com-paraçâo com uma outra grandeza simples da mesma natureza. Para que tal comparaçâo seja util, é con-veniente que se possa escolher a segunda grandeza de tal forma que seja fâcil recorda-la. Tal grandeza chama-se padrâo ou unidade.

Assim, um rebanho de carneii'os contém certo nûmero de carneiros ; uma cidade, certo nûmero

de casas ; uma distâneia, certo nûmero de passos ou de dias de viagem ou, ainda, certo nûmero de vêzes o comprimento do'bordâo que serviu de ben-gala ao viajor.

Quando se trata de carneiros ou de casas,

obtém-se um nûmero inteiro. Quando obtém-se trata de

compri-mentos, pode-se nâo obter um nûmero inteiro. 0

2 4

A pedagogia das matemâticas

entre dois numéros inteiros consécutives e veremos,

mais adiante, como melhorar a aproximaçâo dêsse

resultado. Estudemos primeiramente o significado

do numéro inteiro, independentemente das grandezas

que êle serve para comparai e medii*.

Quando dizemos que um rebanho tem dezessete

carneiros, a palavra dezessete tem o carâter passive

de um resultado, mas, quando se diz que para refazer

um rebantio do mesmo tamanho é preciso tomar

dezessete vêzes um carneiro, a palavra dezessete tem

o carâter ativo de um multiplicador. Emprega-se

entâo a palavra dezessete, com a palavra vêzes; torna-se abstrata e a idéia expressa existe indepen

dentemente das grandezas particulares que ela serviu

para comparai ou medir.

Assim, sâo équivalentes as expressôes :

1) dezessete carneiros ;

2) dezessete vêzes um carneiro ;

3) um carneiro multiplicado por dezessete e

4) um carneiro X 17. Devemos destacar a

inver-sâo entre as expressôes 2 e 3 e a substituiçâo

das palavras ''multiplicado por" pelo

sim-bolo operatôrio "X".

Ipalmente, a palavra dezessete pode ter o carâ

ter atrvo de um divisor, quando se diz que para teri

um carneiro é preciso dividir nnr 7 ^

inteiro. Dir-se-â também que y® ? rebanho

dezessete avo do rebanlin ^ ^ carneu'o é um

para distinguir, na generalidadfoTnW

} os numeios mversos

O numéro fracionârio 2 5

de inteiros, atuando como divisores de ndmeros intei ros que, normalmente, atuam como multiplicadores(*).

Hâ eqiiivalência entre as expressôes : 1) um dezessete avo de rebanho 2) rebanho dividido por dezessete e

3) rebanho : 17. Destaque-se a inversâo

exis-tente da primeii'a para a segunda expressâo e a substituiçâo das palavras "dividido por"

pelo sinal operatôrio " :

Primeiras tentativas de generalizaçào

d o n u m é r o i n t e i r o

Vimos que quando se quer comparai um com-primento com outro menor, que serve de base à comparaçâo, pode-se nâo chegar a um nûmero inteiro.

Ahâs, é o caso gérai, como nos mostra a experiência.

Isso nâo é certo, dizem as crianças.

Consideremos dois segmentos de reta ÂB e 'cD (convidamos o leitor a fazer a figura, tomando 7cm para AB 10cm p^ CD). Transportemos

mental-mente o segmento AB sobre CC, de modo que

coin-cidam os pontos A e C e que os pontos B q D fiquem

sobre a mesma semi-reta, cuja origem é o ponto A,

a alterar os valores numéricos do exemple. Para dar, contudo na intecra a argumentaçâo do Autor, reproduzimos a seguir a porçâo do texto nn^

figura no original, a esta altura. "0 emprôgo do sufixo "ième" também usado no caso dos numéros ordmais, que definem um lugar node

car-se pelo fato de que, depois de haver dividido, em sete m>tes i3," uma grandeza dada, contam-se essas partes para verificar-lh^ o nûrnem e toma-se em gérai a ùltima." (Nota dos trads.). numéro

2 6

A pedagogifl das matemâticas

coincidente em C. Os dois segmentes têm, entâo,

uma extremidade e uma parte comum e po

constatai que CD é maior que AB.

Para sermos mais précises, somos conduzidos à

comparai o excesso ou diferença, BP, com. o sCo

mente Jb e constataremos que_.BD é mener

Xs. Podemos entâo dizer q^ CD é maior^ que AB

e mener que duas vêzes AB. Poder-se-â chegai,

per comparaçôes sucessivas, a dizer que um segmen o

é quatre vêzes maior que um outre e mener que

cinco vêzes o mesmo. O resultado da cemï)araçao

dos dois segmentes é um ndmero inteii'o e diremes

que a medida do primeiro segmento é "4 per falta

ou "5 per excesso", quando se toma o segundo seg

mento para padrâo ou unidade.

O espirito das crianças nâo pode ir além. Elas

vêem muito bem que a operaçâo que descrevemos

nâo é outra coisa senâo uma divisâo concreta a menes

de uma unidade, mas, o resto torna-se imprecise e

sem grande interêsse, o resultado obtido Ihes é

sufi-ciente. Entretanto, se Ihes perguntarmes corne

pede-riam fazer para melbor conbecer o resto, voltar-se-iam

para o segmento menor, que serviu como unidade e

diriam, no primeiro exemple, que o resto ^ estâ

contido duas vêzes em AB, mas nâo très vêzes

T r x m o r i p m H T P . S t O R I ) . n i l P Q n r r i v r t  ^

/

Tomariam o resto BD, que agora é

mento, como uma nova unidade e dêle nfîiî

zariam para medir a antiga ; nâo • w. ,

comparar BD corn a metade ou a tÏ! 'n

Ê foxçoso reçonhecer que é 1 ^

ver e dizer que BD estâ contido dnn^®^

uuas vezes em ab

O numéro fracionârio 2 7

e nâo très, do que ver e dizer que BD é maior que 1/3 de e menor que a sua metade, Nâo hâ apenas um artificio de linguagem na intençâo de introduzir os numéros divisores, hâ duas transposiçôes de

pen-samento e o fato concrete de dividir TË em duas e

depois em très partes.

Para ir adiante, é indispensâvel manter Zfî como base de comparaçâo e para levar-se em consideraçâo

o resto BD, é necessârio recorrer a uma unidade auxiliar, menor que AB, mas delà dependendo dire-tamente. Tomar-se-â, para tanto, um segmento que

esteja contido em Zb um numéro inteiro de vêzes,

a isto chamaremos parte aliquota de Zb.

Os egipcios procuravam, sistemàticamente, a maior parte aliquota da unidade que pudesse estar contida no resto, que séria 1/3, em nosso exemple, e

para o novo resto, procuravam uma nova parte ali

quota, a maior possîvel que pudesse ser contida e assim sucessivamente. O resultado destas medidas

apresentava o carâter curioso de ser formado por

um numéro inteiro e por uma série de numéros inver

sos de inteiro, ou como diriamos, por uma série de

fraçôes tendo tôdas como numerador 1. Este método é muito intéressante na prâtica e constitui um

exce-lente exercicio para os alunos. IDe fato, nao liâ

hesi-taçâo na escollia das partes aliquotas sucessivas e muito ràpidamente, somos conduzidos a um resul

tado com aproximaçâo que quisermos. Entretanto,

o inconveniente estâ em sermos obrigados a

2 8

A pedagogia das matemâticas

O nûmero fracionàrio

O método que hoje seguimos para comparai' dois comprimentos consiste em procurar diretamente se

existe um segmento que seja parte alîquota, tanto

de AB como de CD.

Designemos per u tal segmento, se o descobrii-mos, e suponhamos que êle esteja contido n vêzes em e m vêzes em CD, m e n sendo numéros intei-ros. Dizemos que a medida de CD, quando tomamos

AB por unidade, é o numéro fracionàrio min e,

inversamente, que a medida de AB, quando tomamos CD por unidade, é o nûmero fracionàrio njm.

Antes de explicar a origem e o sentido dêstes nûmeros fracionârios, que sâo combinaçôes de dois numéros inteiros, convém assinalar que a procura do segmento u, se existir, nâo é simples nem fâcil. Com efeito, nâo se pode dizer, à primeira vista,

quai parte alîquota de ÂD serâ também de CD,

nem mesmo se existe alguma. Convém nâo esquecer também que o nosso raciocinio se aplica apenas a com

primentos dados geomètricamente, para os quais nâo

conhecemos nenhum valor numérico, em relaçao com

um terceiro segmento, que serviu como unidade

auxi-liar. O ûnico método que pode conduzir a um resul"

tado é uma extensâo do método de comparaçâo do"

crianças e que inspira, em Aritmética, a promra do

mâxuno divisor comum, pelo processo das divisôp^

s u c e s s i v a s .

Kepisamos que nâo podemos estar

acbar uma parte alîquota comum a ^ de

dois

compri-O nûmero fracionàrio 2 9

mentos dados, isto é, estar seguros de que tais com primentos sejam mensurâveis um pelo outro ou, como se diz, comensurâveis. Parece, entretanto, que se

prolongarmos por muito tempo a procura, cliegarâ

um momento em que, tornando-se os restos cada

yez menores, chegaremos a um reste nulo. P] uma idéia muito humana, onde se mesclam o sentimento

de uma possibilidade tornar-se mais e mais provâvel,

depois certa, apôs um nûmero suficientemente grande

de^ ensaios, e uma confusa noçâo do infinito, que dâ

_{a impressâo de que, se um segmento se torna cada}

yez menor, acabarâ por tornar-se nulo. Esta dupla

idéia é inexata e demonstra-se que dois comprimentos

dados sâo, em gérai, incomensurâveis. Veremos exem

ples relatives às raizes quadradas, e a noçâo de infi

nito serâ estudada no capitulo V, relative às

fun-çôes. Na prâtica concreta- somos forçados a

con-tentar-nos com comparaçôes e medidas aproximadas

e a reconhecer que, se nâo houvessem inventado as

fraçôes décimais, o método dos egîpcios séria ainda

0 m e l h o r .

Carâter ativo do tiUTneTo fio-cioncirio

_ Recordemos, antes de tudo, para evitar

confu-soes, o que se entende por niimero fraciondrio no

ensino do primeno grau : um nûmero fracionàrio é

a soma de um nûmero mteiro corn uma fraçâo. Esta

noçao composta tem origem no fato de ser uma

fraçao normalmente inferior à unidade, jâ que Toi

s o A pedagogia das matematicas O numéro fraciondrio 31

mais geral, um comprimento menor que o

compri-mento empregado como unidade. Entretanto, a

adi-çâo de fraçôes pode conduzir, tècnicamente, a um resultado de mesmo aspecto que uma fraçâo, mas

onde o numerador é maior que o denominador. Acs

ollios das crianças isto é um contra-senso logico e

etimologico, pois, a palavra o indica, uma fraçâo é

uma parte da unidade. Cumpre entao extrair as unidades do resultado que, desta forma, Ihes aparece

mais claro e mais fâcil de imaginar. Tal ponto de

vista é perfeitamente aceitavel, se se tratar do resul

tado final, mas, se tivermos que trabalhar com estes nùmeros mistos, arriscar-nos-emos a sérias

complica-çôes. É por esta razâo que, mais tarde, renunciamos

a êsse gênero de numéros, que apresentam também

o inconveniente de ser escritos justapondo-se

sim-plesmente o inteiro à fraçâo, sem que o sinal de adiçâo

indique tratar-se de uma soma.

Voltemos, agora ao nûmero fracionârio, tal como o definimos antes e que é usado no ensino de um

grau mais elevado, especiabnente a partir do comêço

da Algebra. A idéia diretiva é a da hoçâo de relaçao,

que encontramos em Geometria, na comparaçâo de

dois comprimentos nâo medidos em relaçâo a um

terceiro, sem que seja preciso fLxar quai o menor

Esta noçâo de relaçao é essencialmente recîproca e

pode ser invertida, conforme se tomar para base de

comparaçâo um ou outro dos segmentes dados

A idéia de numéro fracionârio é li"-eirampn+o

diferente, porque o nùmero fracionârio é -Ta

numérica composta que mede uma relaçao cnuT®'''®

se escolha um ou outro dos

como unidade. Pode-se dizer que ao mesmo pensa-mento de uma razâo geométrica correspondem dois

numéros fracionârios, inversos um do outro. Esta

reversibilidade atrapalha durante muito tempo os

alurios, porque hâ grande esfôrço da compreensâo

na inversâo da frase que expressa a relaçâo. Além

disso, um dos numéros fracionârios résultantes é uma

fraçâo ordinâria, inferior à unidade, enquanto o outro

parece ser um verdadeiro ndmero fracionârio, maior

que 1.

Cumpre vencer absolutamente êsse incômodo

afetivo résultante de Mm antigo habito contrai'do

nâ alguns anos, que naquele tempo tinha razâo de

^r, mas que é, agora, causa de numerosos erros.

0 melhor processo é dar ao nùmero fracionârio seu

carâter ativo, reversivel, de ser a combinaçao de um

nùnaero inverso de um inteiro, divisor, e de um nùmero

inteiro, multiplicador. Hâ uma passagem delicada,

que é preciso forçar, sobretudo pela descoberta e',

por vêzes, por um pouco de dogmatisme. Julgamos

que séria intéressante modificar a ordem de

expo-siçâo das operaçôes sobre os nùmeros fracionârios

como o indicamos adiante. ^tionaiios,

Tomemos um exemple numérico, para nos

exprès-d e T t a l l ' e s e g m e n t e s

V contida t?ês

3 2 A pedagogia das mafemnticas O numéro fracionârio 3 3

AS = (CD : 5) X 3

e CD vale cinco vezes um têrço de AS, ou seja,

CD = (Zs ; 3) X 5.

As expressoes precedentes, que sac as unicas que

podem expressar corretamente a idéia do numéro

.fracionârio com as palavras e os sinais de que

dis-pomos, sâomuito compridas para que as conservemos. As expressoes em linguagem corrente podem ser

reduzidas pelo emprego do plural, que faz

desapa-recer a palavra vêzes. Exemplificando, dizemos que

"as é très quintos de CD" ou, menos corretamente,

que "as é o très quintos de CD". Quanto às expres

soes estenogrâficas, escritas com auxilio dos sinais

de divisâo, de multiplicaçao e dos parênteses,

pode-mos simplificâ-las utilizando o traço de fraçâo, hori

zontal ou oblîquo (empregaremos, geralmente, o traço

obliquo, que é mais cômodo para a impressâo) 0

numéro escrito embaixo do traço é o divisor ou

denommador e o escrito acima é o multiplicador

o u n u m e r a d o r . ^

_ J^mi, M perfeita eqUivalência entre as

esnres-que c^siderimos ambas

um ultimo passo que'dev^'s'^

pareceraplvra'^de" S

micial. Nâo é simples neTn da frase

convençâo a que cheeamn^ realidade, a

muito os alunos, por bastanto ^

inverter 8/5 e CD e trocar a n^i ^^'^^siste em

de multipplicaçâo, da mesma f

_{a mesma forma que para os}

intei-ros, quando se substitui a expressâo clara "3 vêzes

por "râ X 3".

Devemos reconhecer que os alunos têin o direito de se surpreender pois a palavra vêzes nada tem de

comum com a palavra "de" e, traduzindo a forma

CD X 3/5, serâo tentados a dizer : CD vêzes 3/5,

0 que nâo tem sentido. Além disse, na expressâo CD X 3/5, a multiplicaçao por 3 é apresentada antes

da divisâo por 5 e nâo tinha sido provado que se

tivesse o dh-eito de agir assiin.

É precisamente o que dissemos na ultima frase

que^permite explicar a colocaçâo do sinal de multipli

caçao antes do niimero fracionârio, em substituiçâo à

palavra de. De fato, se demonstarmos que (CD : 5) X

X 3 = (Cû X 3) : 5, a forma CD X 3/5 justifioa-se

plenamente. Os parênteses sâo dispensâveis, se

to-marmos a ordem de leitura, da esquerda para a

dueita, por ordem logica das operaçôes sucessivas e

o sinal de divisâo fôr substituîdo pelo traço de fracâo

A demonstraçào é simples, podendo inspirar-se na

comutatividade do produto de dois nûmeios inteiros

O nûmero fracionârio e a noçào

de quociente exato

Acabamos de utilizar n j

dividir um comprimento por 5 den équivalente

34 A peda^o^ia das mateinaticas

resurtado obtido por outro mimero inteirOj

ao mesmo resultado que se multiplicâssemos

primento dado pelo quociente do primeiro niu

pelo segundo, quando a divisao exata é i:)0ssiye .

A divisao exata do numerador de um^

fracionario pelo denominador nao é possivei, e

geral, mas, nao obstante, o resultado

correspondente existe. Assim, somos Icvados a

que o mimero fracionario 3/5 représenta o qiioaen^

exato de 3 por 5, e que as formas 3/5 e 3 - o

équivalentes.

Podemos entretanto ir além, valendo-nos àos

numéros décimais, supondo que estes tenham sido

definidos pela convençâo da posiçao dos algarisrnos,

segundo a qual todo algarismo colocado à esquerda

de um outro représenta unidades dez vêzes maiores,

a virgula determinando a posiçâo da unidade prii^'

cipal. Poderîamos dizer, entâo, que

3/5 = 3 :5 = 0,6

Mas isso é apenas um progresso na escrita ;

bâ sempre duas operaçôes na determinaçâo

geomé-trica de CD X 0,6. É precise primeiro dividir CD

por 10, depois multiplicar o resultado por 6 Contudo

M um grande, progresso técnico se, porventura rn

fôr conhecido por sua medida em refagao a um

to-c e i r o to-c o m p r i m e n t o , q u e t e n Vi a i u u i u e i

auxiliar. De fato, a multiplicacao rl umd^

per 0,6 podemos fazê-la em umn ^

métioa e podemos dizer one n « x operaçâo

ant-d e 3 p o r 5 . ' ® ^ q u o c i e n t e e x a t o

O n û m e r o f r a c i o n â r i o 3 5

Esta extensâo da idéia de quociente exato, com a ajuda de décimais exatos, isto é, limitados em seu desenvolvimento além da virgula, é muito

res-trita, visto que a base do nosso sistema de numeraçâo é 10. Por exemplo, o quociente de 2 por 7 nâo é

limitado em seu desenvolvimento decimal ; sê-lo-ia

se a base fosse 7 ou mûltiplo de 7. O quociente

exato de 2 por 7 nâo pode ser definido e nem cômo-damente escrito, senâo com o auxilio do nûmero fracionârio 2/7.

Comparaçôes sucessivas de varias grandezas

Produtos de nûmeros fracionârios

Sejam très segmentos de reta Âd, cd e EF.

Suponhamos que ab e CD tenham uma parte

ali-quota comumjw, contida 3 .vêzes em AD e 5 em CD,

e que CD e EF tenham também uma parte aliquota

comun^i', diferente de xi, contida 7 vêzes em râ e

4 em ef. Teremos :

dD = 3/5 de =CD X 3/5 e

CD = 7/4 de EF = ~ËF X 7/4 e,

conseqliente-mente,

• ~ 3/5 de (7/4 de df) = (ËF X 7/4) X 3/5 ;

isto é, se supusermos dado o segmente DF,_ para

obter AB é preciso dividir ~ËF por 4 e multiplicar

o resultado por 7, depois, dividir este segundo resul

tado por 5, multiplicando-o por 3.

Ota, é possîvel demonstrar, em

3 6 A peda^o^îa das matemâticas

caçâo e divisâo, que podemos grupar as operaçôes da

mesma natureza e substituir cada grupo de nùmeros

operatôrios pelo produto dêles. Assim *. (ËF X 7/4) X

X 3/5 = { KËF : 4) X 7] ; 5) X 3 = { [{ËF X 7) X

X 3] : 4 ) : 5 = [IF X (7 X 3)] : (4 X 5) =

= EF X (7 X 3)/(4 X 5). Portanto, o produto de

dois nùmeros fracionârios é um nùmero fracionârio,

que tem por numerador o produto dos numeradores

dos nùmeros fracionârios dados e, por denominador,

o produto dos denominadores dêsse mesmos nùmeros

f r a c i o n â r i o s .

Pode-se também dizer, mais ràpidamente : ob-tém-se o produto de dois nùmeros fracionârios

mul-tiplicando os numeradores entre si e fazendo o mesmo

aos denominadores.

Divisào por numéro fracionârio

Por definiçâo, o quociente de uma grandeza por

um nùmero é uma segunda grandeza, cujo produto

pelo nùmero iguala a grandeza dada.

Por extensâo, podemos escrever • se Tr =

= CD X 3/5, que CD = AB_. 3/5. Sabemos que

CD - AB X 5/3, portante, AB : 3/5 = Zg v 5/3

Podemos, pois, dizer'que para dividir por um ntoero

fracionârio, podemos multiplicar pelo nirme^ri!

c l o n â n o i n v e r t i d o . u m e r o f r a

-O nitmero fracionârio 3 7

transformando-se em multiplicador. Podemos mesmo chegar a imaginai* uma regra para a combinaçâo dos sinais X e analoga à da combinaçâo dos si-nais + e -, que caracterizam os nùmeros relativos.

«

Simpîificaçâo e complicaçào de numéros

fracionârios

Em Aritmética, podemos também mostrar que

uma expressâo numérica, composta ùnicamente de

multiplicaçôes e divisées de nùmeros inteiros, nâo

tem o resultado alterado se suprimirmos nùmeros

cujas açôes se destruam. Igualmente, podemos

acres-centar quantidades cujas açôes se compensem.

Podemos, assim, deduzir que um nùmero fra

cionârio pode ser simplificado ou complicado,

supri-mmdo-se ou ajuntando-se simultâneamente ao nume

rador e ao denominador um ou mais fatôres,

efe-tuando as operaçôes que indicarem.

Por exemple, 3/5 = (3 X 2)/(5 X 2) = 6/10, isto é

u que chamamos complicar uma fraçao ;

15/20 = (15 : 5)/(20 : 5) = 3/4, que chamamos

^irnplijicar. Podemos concluir que : o valor de um

nùmero fracionârio nâo muda se multiplicarmos ou

diyidirmos numerador e denominador pelo mesmo

n ù m e r o .

Comparaçào, adiçâo e subtraçào de numéros

f r a c i o n â r i o s .

Podemos, enfim, utilizar a

3 8 A pedagogia das matematicas

trair fraçôes, reduzindo-as ao mesmo denominador,

segundo o método clâssico.

Estas operaçôes sâo mais complicadas que a

multiplicaçâo e a divisâo de fraçôes, podendo

enco-brir a siAplicidade daquelas, no espirito dos alunos.

Parece-nos que devemos apresentar a comparaçâo,

a adiçâo e a subtraçâo em ultimo lugar.

Esta inversâo na ordem de apresentaçâo das operaçôes pode surpreender os alunos, mas tal sur-prêsa é util: acentua mais a diferença das regras e évita tôda difusâo de habites, de técnica de opera

çôes, de uma regra para a outra.

Temos escrito varias vêzes a palavra fraçâo no lugar das palavras nùmero fracionârio. E um uso

generalizado contra o quai é diffcil lutar. Entretanto,

a idéia^ de nùmero fracionârio, combinaçâo de um

multiplicador e de um divisor, é mais gérai que a

de fraçâo de que proveio, e nâo convém que o uso

da palavra "fraçao" évoqué a idéia primitiva. É no

entante, o que deve de dar-se no espîrito de nossos

alunos, o que é um mal, porque a idéia ativa de

numéro fracionârio é necessâria para simplificar n

e n s m o d a A l g e b r a . P ^ ^ ^ i t a r o C A P I T U L O I I I

Os numéros qualificados

ou relativos e os parênteses

Definimos, de um modo gérai, o nùmero relativo como uma combinaçâo do sinal + ou do sinal

-com um nùmero aritmético inteiro ou fracionârio.

Servem para medir grandezas orientâveis, isto é,

susceptiveis de ser consideradas em dois sentidos

opostos. Por exemple, um avanço ou um recuo, um

lucro ou uma perda.

Os alunos aceitam fàcilmente os nùmeros rela

tives e adaptam-se logo ao fato de empregarmos

sinais de adiçâo e de subtraçâo para caracterizar a

idéia de orientaçâo, que êles representam. Os alunos

geralmente se surpreendem quando o professor tenta

justificar esse emprêgo, que a êle, professor, parece,

no entanto, dever ser demonstrado. Tal surprêsa

poderâ ser explicada pelo conhecimento das medidas de temperaturas(*), que criou um hâbito fâcil de

(*) Na França, onde, no invemo, a temperatura é inferior a zero graus Celsius, os alunos jd têm essa noçâo. Aqui, ficam surpresos e s<5

trads.)-4 0

A pedagogic das matemâticas

generalizar e pela existência de uma idéia lôgica natu ral, présente na criança e nâo explorada pelo ensino. Entretanto, tal idéia natural nâo deve existir igual-mente para tôdas as crianças e deve ser muito frâgil

para os que a conhecem. Verificamo-lo a

propô-sito das interpretaçôes das soluçôes negativas dos

problemas de Âlgebra. Quaisquer que sejam as razôes

desta surprêsa, ela existe e evidencia-se quando o

aluno é colocado diante de uma demonstraçâo mais

técnica do que lôgica. De fato, começamos por

expli-car o numéro negativo como sendo o resultado de

uma subtraçâo em que o subtraendo é maior que o

minuendo, ou por uma "convençâo" de escrita ou,

amda, em virtude de "razôes" de comodidade, que

so virao a^ser justificadas muito tarde.

Ha, nâo obstante, uma razâo tanto para o desejo

f demonstraç^ como paJa

çao, mas esta deve versar sômente «sôKm

onstra-dos valores ativos onstra-dos

passives, e isto é quase nul «A ® valores

g r a m â t i c a . ^ ^ q u e s t â o d e

O sentido ativo do sinal j_

Os numéros relativos 4 1

evitar o verbo "aumentar", que pressupôe uma

orien-taçâo no resultado. O sentido ativo do sinal - ,

na subtraçâo, é dado pelos verbos : "tirar, suprimir, subtrair". Nâo hâ uma palavra para subentender

tais verbos, e cumpre evitar também o verbo

"dimi-n u i r " .

Os sentidos passives sâo dados pelos mesmos verbos, no participio passade, mas é aqui que surge

a verdadeira difieuldade lôgica ; os sentidos passives

podem também ser dados pelas palavras "avanço"

ou "reçue", "lucro" ou "perda", quando se trata de grandezas com sentido duplo. Estas ultimas pala

vras indicam que a orientaçâo dos resultados passives

esta escolhida prèviamente, no .espirito daquele que

efetua a operaçâo e que, evidentemente, a escolheu no

sentido favorâvel aos seus intéresses. Na realidade,

é a pessoa que opera que estâ orientada e impôe a

mesma orientaçâo às grandezas com que opera. Assim,

um pedestre dira -f- 3 para um avanço de 3, isto é,

para um deslocamento de 3 no sentido que tem em

mira, à sua trente. Igualmente, um guarda-Kvros

empregarâ o nùmero relative - 5 para um prejuizo

ou despesa de 5, pois, tal prejuizo ou despesa condù-lo

a diminuir 5 do que tem em caixa, o que significa

fazer uma subtraçâo.

. Vemos, desta forma, o porque da nâo

conveniên-cia de usar as palavras "aumentar" e "diminuir"

para exprimir os sentidos ativos dos sinais + e estas palavras sâo orientadas por antecipaçâo. Tinham

um valor claro, natural, para os numéros aritméticos

que medem grandezas com sentido ùnico,