Rigidez de planos projetivos minimizantes de área em 3-Variedades

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(1)˜ o - UFMA Universidade Federal da Maranha ˆncias Exatas e Tecnologia CCET Centro de Cie ´ s-Graduac ˜ o em Matema ´ tica - PPGMAT Programa de Po ¸a ˜ o de Mestrado Dissertac ¸a. Rigidez de Planos Projetivos Minimizantes de ´ Area em 3-Variedades. Geovan Carlos Mendonc ¸ a Campos. S˜ ao Lu´ıs - MA 2016.

(2) Rigidez de Planos Projetivos Minimizantes de ´ Area em 3-Variedades. Geovan Carlos Mendonc ¸ a Campos. Disserta¸caõ. de. Mestrado. apresentada. ao. Colegiado da Pós-Gradua¸caõ em Matemática da Universidade Federal do Maranhão como requisito parcial para obten¸caõ do t´ıtulo de Mestre em Matemática. Orientador: Profo . Dro . Ivaldo Paz Nunes.. S˜ ao Lu´ıs-MA 2016.

(3) Rigidez de Planos Projetivos Minimizantes de ´ Area em 3-Variedades. Geovan Carlos Mendonc ¸ a Campos. Disserta¸caõ. de. Mestrado. apresentada. ao. Colegiado da Pós-Gradua¸caõ em Matemática da Universidade Federal da Maranhão como requisito parcial para obten¸caõ do t´ıtulo de Mestre em Matemática, aprovada em 30/03/2016.. Banca examinadora:. Prof. Dr. Ivaldo Paz Nunes - UFMA. Prof. Dr. Feliciano Marc´ılio Aguiar Vitório - UFAL. Prof. Dr. Maxwell Mariano de Barros - UFMA.

(4) ` minha fam´ılia e amigos. A.

(5) ˆ “Eu sou o Alfa e o Omega, o princ´ıpio e o fim, o primeiro e o derradeiro.” (Apocalipse 22:13 - B´ıblia Sagrada).

(6) Agradecimentos Agrade¸co a` Deus, por ter me dado a oportunidade de chegar onde cheguei, por me dar for¸cas todos os dias e por sempre estar presente em todos os momentos da minha vida. A toda minha fam´ılia, pelo apoio, incentivo, educa¸cão e dedica¸caõ, por todo o amor e respeito que me deram. A todos os meus amigos, que sempre estiveram ao meu lado. Ao meu orientador, professor Dr. Ivaldo Paz Nunes pela aten¸cão e colabora¸caõ. Aos meus professores que acreditaram em mim e que me fizeram gostar cada vez mais desta a´rea. ` Universidade Federal do Maranhão por propiciar a realiza¸caõ deste trabalho. A Enfim, agrade¸co a todos..

(7) Resumo Neste trabalho, dissertamos sobre o artigo “Area-minimizing Projective Planes in 3Manifolds” devido a Hubert Bray, Simon Brendle, Michael Eichmair e André Neves. Neste artigo eles consideram uma 3-variedades Riemannianas compactas (M 3 , g) com curvatura escalar positiva e que admitem planos projetivos mergulhados. Nestas condi¸cões eles provam uma estimativa superior, em termo do ´ınfimo da curvatura escalar de (M, g), para a a´rea do plano projetivo que possui a menor a´rea dentro da classe de todas as superf´ıcies Σ ⊂ M homeomorfas ao plano projetivo. Além disso, eles provam que esta desigualdade é ótima. Mais precisamente, eles obtém que se a igualdade ocorre então a. variedade Riemanniana (M 3 , g) é isométrica ao espa¸co projetivo tridimensional RP3 com a métrica de curvatura seccional constante.. Palavras-chave: Variedade Riemanniana, Plano projetivo minimizante, Superf´ıcie m´ınima..

(8) Abstract In this work, we talk about the article “Area-Minimizing Projective Planes in 3Manifolds” due to Hubert Bray, Simon Brendle, Michael Eichmair and André Neves. In this article they consider a compact Riemannian 3-manifold (M, g) with positive scalar curvature and an embedded projective plane. In these conditions they prove a higher estimate of curvature, in term of infimum of the scalar curvature of (M, g), for the area of the projective plane that has the smallest area within the class of all surfaces Σ ⊂ M. homeomorphic to projective plane. Furthermore, they prove that this inequality is great. More precisely, they get that if this equality hold in (M 3 , g), so M is isometric to the three-dimensional projective space RP3 with constant sectional curvature.. Keywords: Riemanniana manifold, minimizing Projective Plan, Minimal surface..

(9) Sum´ ario Introdu¸c˜ ao. 1. 1 Preliminares. 4. 1.1. 1.2. 1.3. Variedades Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.1.1. Estrutura Diferenciável e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.1.2. Aplica¸cões Suaves e Diferencial de uma Aplica¸caõ . . . . . . . . . .. 6. 1.1.3. Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.1.4. Variedades Orientáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.1.5. Campos de Vetores e Colchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Conceitos de Geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1. Métricas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. 1.2.2. Comprimento de Curvas e Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 1.2.3. Conexão Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 1.2.4. Transporte Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. 1.2.5. Conexão de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 1.2.6. Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 1.2.7. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. Imersão Isométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.1. Primeira varia¸caõ da área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 1.3.2. Segunda varia¸caõ da a´rea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. 1.4. Variedades Riemannianas Completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. 1.5. Variedades com Curvatura Seccional Constante . . . . . . . . . . . . . . . 37. 1.6. Fluxo de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38. 1.7. Grupo fundamental e Espa¸co de recobrimento . . . . . . . . . . . . . . . . 40. 1.8. Transversalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. ´ 2 Planos Projetivos Minimizantes de Area 2.1. 45. Prova do Teorema 2.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 9.

(10) 2.2. 2.1.1. Prova da desigualdade (2.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46. 2.1.2. Prova da desigualdade (2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48. Prova do Teorema 2.0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. Referˆ encias. 58.

(11) Introdu¸c˜ ao A Teoria das Superf´ıcies M´ınimas é um tópico de estudo bastante clássico em Geometria Diferencial, tendo origem nos trabalhos de Lagrange no século XVIII sobre Cálculo das Varia¸co˜es, e uma a´rea de pesquisa bastante ativa nos dias atuais. Uma superf´ıcie m´ınima em uma variedade Riemanniana é uma superf´ıc´ıe que é ponto cr´ıtico do funcional a´rea. Apesar de ser um interessante objeto geométrico por si mesmo, superf´ıcies m´ınimas podem ser utilizadas como ferramentas para obter conclusões sobre a topologia e a geometria do espa¸co ambiente. Por exemplo, no término da década de 70, R. Schoen and S. T. Yau [12] observaram que se (M 3 , g) é uma variedade Riemanniana compacta orientável com curvatura escalar positiva e Σ ⊂ M é uma superf´ıcie compacta orientável m´ınima e estável (isto é, possui. segunda varia¸caõ do funcional a´rea não-negativa), então Σ é homeomorfa à esfera S2 . No caso em que Σ é não-orientável, tem-se que Σ é homeomorfa ao plano projetivo RP2 . Inspirados por esta observa¸caõ, eles provaram o seguinte teorema o qual afirma que a existência de curvatura escalar positiva impõe restri¸co˜es sobre a topologia da variedade ambiente. Teorema (Schoen and Yau, 1979). Seja M uma variedade tridimensional compacta e orient´ avel. Se π1 (M ) contém um subgrupo isomorfo ao grupo fundamental de uma superf´ıcie compacta orientável com gênero g > 1, ent˜ ao M não admite métrica Riemanniana com curvatura escalar positiva. Como aplica¸caõ do teorema acima, temos, por exemplo, que o toro T3 = S1 × S1 × S1. não admite métrica com curvatura escalar positiva.. Dois exemplos básicos de variedades Riemannianas tridimensionais orientáveis com curvatura escalar positiva que admitem, respectivamente, esferas e planos projetivos m´ınimos estáveis (de fato, minizantes de a´rea) são o cilindro S2 ×R com a métrica produto canônica e o espa¸co projetivo RP3 com a métrica de curvatura constante.. Neste trabalho, iremos dissertar sobre o resultado do artigo [3], devido a H. Bray, S. Brendle, M. Eichmair e A. Neves em 2010. Neste artigo, eles provam um teorema de 1.

(12) 2 rigidez para o espa¸co projetivo RP3 em termos da área de planos projetivos minimizantes de área. Mais precisamente, considere uma variedade Riemanniana compacta (M 3 , g) com curvatura escalar positiva. Suponha que F = {Σ ⊂ M : Σ é homeomorfa a` RP2 } = 6 ∅ e seja A(M, g) = inf area(Σ, g). Σ∈F. Além disso, seja sys(M, g) a s´ıstole de (M, g), ou seja, sys(M, g) = inf{L(γ) : γ é uma curva fechada não contrátil em M }. O primeiro resultado provado em [3] é o seguinte: Teorema A (Bray, Brendle, Eichmair and Neves, 2010). Nas condi¸co˜es acima, temos que A(M, g) inf Rg 6 12π M. (1). e. 2 sys(M, g)2 > 0, π onde Rg denota a curvatura escalar de M . A(M, g) >. (2). Obverse que combinando as desigualdades (1) e (2), obtém-se sys(M, g)2 inf Rg 6 6π 2 . M. No espa¸co projetivo RP3 com a métrica g com curvatura seccional constante igual a 1 temos Rg ≡ 6 e sys(M, g) = π. Logo, segue que A(RP3 , g) = 2π. Em particular, em (RP3 , g) temos a igualdade nas desigualdades acima.. No segundo resultado temos o teorema de rigidez: Teorema B (Bray, Brendle, Eichmair and Neves). Seja (M 3 , g) uma variedade Riemanniana compacta com curvatura escalar positiva. Suponha que F 6= ∅. Se A(M, g) inf M R =. 12π, ent˜ ao (M, g) é isométrica ao espa¸co projeto RP3 com a métrica de curvatura constante. Observamos que um resultado análogo de rigidez para o cilindro S2 × R em termos da. a´rea de esferas minimizantes de área, foi provado por H. Bray, S. Brendle and Neves no artigo [4]..

(13) 3 Este trabalho está organizado em dois cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1, apresentaremos os pré-requisitos necessários para o bom entendimento dos resultados acima e de suas respectivas demonstra¸cões. Nas se¸co˜es 1.1 a 1.5, fornecemos os conceitos básicos referentes a` variedades diferenciáveis, geometria Riemanniana e imersões isométricas. Na se¸caõ 1.6, definimos o fluxo de Ricci e enunciamos os fatos básicos que serão utilizados neste trabalho. Nas se¸cões 1.7 e 1.8 apresentamos alguns conceitos e resultados sobre grupo fundamental, espa¸cos de recobrimento e transversalidade. Finalmente, no cap´ıtulo 2, provamos os teoremas A e B, objetivos principais deste trabalho..

(14) Cap´ıtulo 1 Preliminares 1.1. Variedades Diferenci´ aveis. 1.1.1. Estrutura Diferenci´ avel e Exemplos. Defini¸c˜ ao 1.1.1. Uma variedade diferenci´ avel de dimensão n é um conjunto M e uma fam´ılia de aplica¸co˜es biun´ıvocas xα : Uα ⊂ Rn → M de abertos Uα de Rn tais que: 1.. S. xα (Uα ) = M .. α. −1 2. Para todo par α, β, com xα (Uα ) ∩ xβ (Uβ ) = W 6= ∅, os conjuntos x−1 α (W ) e xβ (W ). ao diferenci´ aveis. s˜ ao abertos em Rn e as aplica¸co˜es x−1 β ◦ xα s˜. 3. A fam´ılia {(Uα , xα )} é m´ axima relativamente às condi¸co˜es 1 e 2. O par (Uα , xα )(ou aplica¸caõ) com p ∈ xα (Uα ) é chamado uma parametriza¸caõ (ou. sistema de coordenadas) de M em p; xα (Uα ) é então chamada vizinhan¸ca coordenada em p. Uma fam´ılia {(Uα , xα )} satisfazendo 1 e 2 é chamada uma estrutura diferenci´ avel em. M.. Observa¸c˜ ao 1.1.2. Uma estrutura diferenci´ avel em um conjunto M induz de uma maneira natural uma topologia em M . Basta definir que A ⊂ M é um aberto de M se ´ imediato verificar que M e o vazio x−1 e um aberto de Rn para todo α. E α (A ∩ xα (Uα )) ´. s˜ ao abertos, que a uni˜ ao de abertos é aberto e que a interseçcaõ finita de abertos é aberto. Observe que a topologia é definida de tal modo que os conjuntos xα (Uα ) s˜ ao abertos e as aplica¸co˜es xα s˜ ao cont´ınuas.. Exemplo 1.1.3 (Rn ). O espa¸co euclidiano Rn , com a estrutura diferenci´ avel dada pela identidade é um exemplo trivial de variedade diferenci´ avel. 4.

(15) 5 Exemplo 1.1.4 (Esfera S n ). Seja S n = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 ;. Pn+1 i=1. x2i = 1} ⊂ Rn+1 .. Podemos introduzir uma estrutura de superf´ıcie regular em S n , definindo parametriza¸co˜es. − n n ′ x+ i : Ui → S , xi : Ui → S , i = 1, . . . , n+ ,. obtidas do seguinte modo: Ui = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 ; xi = 0, x21 + · · · + x2i−1 + x2i+1 + · · · + x2n+1 < 1}, x+ i (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn+1 ) = (x1 , . . . , xi−1 , Di , xi+1 , . . . , xn+1 ), x− i (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn+1 ) = (x1 , . . . , xi−1 , −Di , xi+1 , . . . , xn+1 ), p onde Di = 1 − (x21 + · · · + x2i−1 + x2i+1 + · · · + x2n+1 ). Portanto, a fam´ılia − {(Ui , x+ i ), (Ui , xi )}, i = 1, . . . , n + 1. é uma estrutura diferenci´ avel em S n . Geometricamente, isto equivale a cobrir a esfera S n com vizinhan¸cas coordenadas que s˜ ao semiesferas perpendiculares aos v´ arios eixos xi . Exemplo 1.1.5 (RPn ). O espa¸co projetivo real RPn . Indicaremos por RPn o conjunto das retas de Rn+1 que passam pela origem 0 = (0, . . . , 0) ∈ Rn+1 ; Isto é RPn é o conjunto. das “dire¸co˜es” de Rn+1 .. Vamos introduzir em RPn uma estrutura diferenci´ avel. Para isto, seja (x1 , . . . , xn+1 ) ∈. Rn + 1 e observe, inicialmente, que RPn é o espa¸co quociente de Rn+1 − {0} pela rela¸caõ de equivalência:. (x1 , . . . , xn ) ∼ (λx1 , . . . , λxn+1 ), λ ∈ R, λ 6= 0 os pontos de RPn serão indicados por [x1 , . . . , xn+1 ]. Observe que, se xi 6= 0, xi−1 xi+1 xn+1 x1 . ,..., , 1, ,..., [x1 , . . . , xn ] = xi xi xi xi . Definamos em RPn subconjuntos V1 , . . . , Vn+1 , dados por: Vi = {[x1 , . . . , xn+1 ]; xi 6= 0}, i = 1, . . . , n + 1. Geometricamente, Vi é o conjunto das retas do Rn+1 que passam pela origem e não pertencem ao hiperplano xi = 0. Vamos mostrar que podemos tomar os Vi ′ s como vizinhan¸cas coordenadas, onde as coordenadas em Vi s˜ ao y1 =. x1 xi−1 xi+1 xn+1 , . . . , yi−1 = , yi = , . . . , yn = . xi xi xi xi.

(16) 6 Para isto, definamos aplica¸co˜es xi : Rn → Vi por xi (y1 , . . . , yn ) = [y1 , . . . , yi−1 , 1, yi , . . . , yn ], (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn . e mostramos que a fam´ılia {(Rn , x)} é uma estrutura diferenci´ avel em RPn . S Com efeito, cada aplica¸caõ xi é evidentemente biun´ıvoca e xi (Rn ) = RPn . Resta. e a´ı diferenci´ avel, j = 1, . . . , n + 1. mostrar que x−1 e aberto em Rn e x−1 i (Vi ∩ Vj ) ´ j ◦ xi ´ ao da forma: Ora, os pontos de x−1 i (Vi ∩ Vj ) s˜. {(y1 , . . . , yn ) ∈ Rn ; yj 6= 0}. e um aberto em Rn , e, supondo i > j Portanto x−1 i (Vi ∩ Vj ) ´ −1 x−1 j ◦ xi (y1 , . . . , yn ) = xj [y1 , . . . , yi−1 , 1, yi , . . . , yn ] yj−1 yj+1 yi−1 1 yi yn −1 y1 ,..., , 1, ,..., , ,..., = xj yj yj yj yj yj yj yj yj−1 yj+1 yi−1 1 yi yn y1 ,..., , ,..., , , ,..., = yj yj yj yj yj yj yj. que é evidentemente diferenci´ avel.. 1.1.2. Aplica¸ co ˜es Suaves e Diferencial de uma Aplica¸c˜ ao. Defini¸c˜ ao 1.1.6. Sejam M1n e M2m variedades diferenci´ aveis. Uma aplica¸caõ ϕ : M1 → M2 é diferenci´ avel em p ∈ M se dada uma parametriza¸caõ y : V ⊂ Rm → M2 em ϕ(p). existe uma parametriza¸caõ x : U ⊂ Rn → M1 em p tal que ϕ(x(U )) ⊂ y(V ) e a aplica¸caõ y−1 ◦ ϕ ◦ x : U ⊂ Rn → Rm. é diferenci´ avel em x−1 (p). ϕ é diferenci´ avel em um aberto de M1 se é diferenci´ avel em todos os pontos deste aberto. Exemplo 1.1.7. As fun¸co˜es reais diferenci´ aveis s˜ ao as aplica¸co˜es diferenci´ aveis f : M →. R. Para todo sistema de coordenadas x : U → Rm em M, a fun¸caõ composta f ◦ x−1 :. x(U ) → R deve ser uma fun¸caõ diferenci´ avel de m vari´ aveis reais, definida num aberto. x(U ) ⊂ Rm ..

(17) 7 Exemplo 1.1.8. Sejam M, N1 , N2 variedades diferenci´ aveis. Uma aplica¸caõ f : M → N1 × N2 é de classe C k se, e somente se, f = (f1 , f2 ), onde as coordenadas f1 : M → N1. e f2 : M → N2 s˜ ao de classe C k . Realmente, considerando em N1 × N2 os sistemas. de coordenadas locais do tipo y1 × y2 : V1 × V2 → Rn1 × Rn2 , vê-se que (y1 × y2 ) ◦ f ◦ x−1 = (y1 ◦ f1 ◦ x−1 , y2 ◦ f2 ◦ x−1 ). Lembremos, em seguida, que uma aplica¸caõ. g = (g1 , g2 ) : x(U ) → Rn1 × Rn2 é de classe C k se, e somente se, ambas g1 : x(U ) → Rn1. e g2 : x(U ) → Rn2 s˜ ao de classe C k .. Defini¸c˜ ao 1.1.9. Seja M n uma variedade diferenci´ avel. Uma aplica¸caõ diferenci´ avel α : (−ǫ, ǫ) → M é chamada curva em M . Suponha que α(0) = p ∈ M e seja D o conjunto das fun¸co˜es diferenci´ aveis em p. O vetor tangente à curva α em t = 0 é a. fun¸caõ α′ (0) : D → R dada por α′ (0)f =. d(f ◦ α) |t=0 = f ∈ D. dt. Um vetor tangente em p é o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : (−ǫ, ǫ) → M. com α(0) = p. O conjunto dos vetores tangentes a M n em p será indicado por Tp M , ao qual podemos munir com uma estrutura de espa¸co vetorial de dimensão n. Se (U, ϕ) = (U, x1 , . . . , xn ) é um sistema de coordenadas em p ∈ M , então o espa¸co. tangente Tp M tem base. ∂ ∂ ,..., . ∂x1 ∂xn Proposi¸c˜ ao 1.1.10. Sejam M1n e M2m variedades diferenci´ aveis e seja ϕ : M1 → M2. uma aplica¸caõ diferenci´ avel. Para cada p ∈ M1 e cada v ∈ Tp M1 , escolha uma curva. diferenci´ avel α : (−ǫ, ǫ) → M1 com α(0) = p, α′ (0) = v. Fa¸ca β = ϕ ◦ α. A aplica¸caõ. dϕp : Tp M1 → Tϕ(p) M2 dada por dϕp (v) = β ′ (0) é uma aplica¸caõ linear que não depende da escolha de α.. Demonstra¸c˜ ao: Sejam x : U → M1 e y : V → M2 parametriza¸co˜es em p e ϕ(p), respectivamente. Exprimindo ϕ nestas parametriza¸co˜es, podemos escrever. y−1 ◦ϕ◦x(q) = (y1 (x1 , . . . , xn ), . . . , ym (x1 , . . . , xn )), q = (x1 , . . . , xn ) ∈ U, (y1 , . . . , ym ) ∈ V. Por outro lado, exprimindo α na parametriza¸caõ x, obteremos x−1 ◦ α(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)). Portanto, y−1 ◦ β(t) = (y1 (x1 (t), . . . , xn (t)), . . . , ym (x1 (t), . . . , xn (t)))..

(18) 8. Decorre da´ı que a expressão de β ′ (0) na base {(. triza¸caõ y, é dada por. n X ∂y1. β ′ (0) =. i=1. ∂xi. ∂ )} de Tϕ(p) M2 , associada à parame∂yi. x′i (0), . . . ,. n X ∂ym i=1. ∂xi. !. x′i (0) .. (1.1). A rela¸caõ (1.9) mostra imediatamente que β ′ (0) não depende da escolha de α. Além disso, (1.9) pode ser escrita como ′. β (0) = dϕp (v) = . . ∂yi ∂xj. . (x′j (0)), i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n,. ∂yi onde indica uma matriz m × n e x′j (0) indica uma matriz coluna com n elementos. ∂xj Portanto, dϕp é uma aplica¸cão linear de Tp M1 em Tϕ(p) M2cuja matriz nas bases associadas ∂yi . a`s parametriza¸cões x e y é precisamente a matriz ∂xj Defini¸c˜ ao 1.1.11. A aplica¸caõ linear dϕp dada pela proposi¸caõ acima é chamada diferencial de ϕ em p.. 1.1.3. Fibrado Tangente. Defini¸c˜ ao 1.1.12. Seja M uma variedade diferenci´ avel. O fibrado tangente de M é a uni˜ ao disjunta de todos os espa¸cos tangentes de M : TM =. [. p∈M. {p} × Tp M.. ´ poss´ıvel munir o conjunto T M de uma estrutura diferenciável. Seja {(Uα , xα )} a E. estrutura ndiferenciável omáxima de M . Indicaremos por (xα1 , . . . , xαn ) as coordenadas de. Uα e por. ∂ , . . . , ∂x∂α ∂xα n 1. as bases associadas nos espa¸cos tangentes de xα (Uα ) Para cada. α, defina. yα : Uα × Rn → T M, por yα (xα1 , . . . , xαn , u1 , . . . , un ) =. xα (xα1 , . . . , xαn ),. n X i=1. ∂ ui α ∂xi. !. , (u1 , . . . , un ) ∈ Rn .. Geometricamente, isto significa que tomamos como coordenadas de um ponto n (p, v) ∈ ToM as coordenadas xα1 , . . . , xαn de p junto com as coordenadas de v na base. ∂ , . . . , ∂x∂α ∂xα n 1. ..

(19) 9. S α. Mostremos agora que {(Uα × Rn , yα )} é uma estrutura diferenciável em T M . Como. xα (Uα ) = M e (dxα )q (Rn ) = Txα (q) M, q ∈ Uα , temos que [ α. yα (Uα × Rn ) = T M,. o que verifica a primeira condi¸caõ da Defini¸caõ 1.1.1. Seja agora (p, v) ∈ yα (Uα × Rn ) ∩ yβ (Uβ × Rn ). Então (p, v) = (xα (qα ), dxα (vα )) = (xβ (qβ ), dxβ (vβ )), onde qα ∈ Uα , qβ ∈ Uβ , vα , vβ ∈ Rn . Portanto, −1 yβ−1 ◦ yα (qα , vα ) = yβ−1 (xα (qα ), dxα (vα )) = ((x−1 β ◦ xα )(qα ), d(xα ◦ xα )(vα )).. em o é. Decorre da´ı que yβ−1 ◦ yα é e diferenciável, d(x−1 Como x−1 β ◦ xα ) tamb´ β ◦ xα ´. diferenciável.. Proposi¸c˜ ao 1.1.13. T M é uma variedade diferenci´ avel de dimensão 2n. Além disso, com respeito a estrutura dada acima, a proje¸caõ natural π : T M → M dada por π(p, v) = p é suave. Demonstra¸c˜ ao: Ver [10].. 1.1.4. . Variedades Orient´ aveis. Defini¸c˜ ao 1.1.14. Seja M uma variedade diferenci´ avel. Diz-se que M é orientável se M admite uma estrutura diferenci´ avel {(Uα,xα )} tal que: 1. para todo par α, β, com xα (Uα ) ∩ xβ (Uβ ) = W 6= ∅, a diferencial da mudan¸ca de coordenadas xβ ◦ x−1 α tem determinante positivo.. Caso contrário, diz-se que M é não-orient´ avel. Se M é orientável, a escolha de uma estrutura diferenciável satisfazendo o item acima é chamada uma orienta¸caõ de M e M é orientada..

(20) 10 Exemplo 1.1.15. Se M pode ser coberta por duas vizinhan¸cas coordenadas V1 e V2 de modo que a interseçcaõ V1 ∩V2 é conexa, ent˜ ao M é orientável. Pois como o determinante. Jacobiano da mudan¸ca de coordenadas é 6= 0, ele não muda de sinal em V1 ∩ V2 ; se é negativo em um ponto, basta trocar o sinal de uma das coordenadas para que ele passe a positivo nesse ponto, donde em V1 ∩ V2 . Em particular. Sn =. (. (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 ;. n+1 X. x2i = 1. i=1. ). ⊂ Rn+1. é orientável. Com efeito, seja N = (0, . . . , 0, 1) o pólo norte e S = (0, . . . , 0, −1) o pólo sul de S n . Defina uma aplica¸caõ π1 : S n − {N } → Rn (proje¸caõ estereográfica a partir. do polo norte) que leva p = (x1 , . . . , xn+1 ) de S n − {N } na interseçcaõ do hiperplano ´ imediato verificar que xn+1 = 0 com a reta que passa por p e N . E xn x1 π1 (x1 , . . . , xn+1 ) = . ,..., 1 − xn+1 1 − xn+1 A aplica¸caõ π1 é diferenci´ avel, injetiva e aplica S n − {N } sobre o hiperplano xn+1 = 0.. A proje¸caõ estereográfica π2 a partir do pólo sul sobre o hiperplano xn+1 possui as mesmas propriedades.. Portanto, as parametriza¸co˜es (Rn , π1−1 ), (Rn , π2−1 ) cobrem S n . Observe que a interseçcaõ π1−1 (Rn ) ∩ π2−1 (Rn ) = S n − {N ∪ S} é conexa, logo S n é orientável. Defini¸c˜ ao 1.1.16. Sejam E, F espa¸cos vetoriais orientados, com mesma dimensão. Dizemos que um isomorfismo linear T : E → F preserva orienta¸caõ se transforma bases. positivas de E em bases positivas de F . Caso contrário, dizemos que T inverte orienta¸caõ. Exemplo 1.1.17. Provemos agora que RPn é orientável quando n é ´ımpar e não orient´ avel quando n é par. Com isto em mente, consideramos a proje¸caõ canônica π : S n → RPn , que é um difeomorfismo local, e a aplica¸caõ ant´ıpoda α : S n → S n . Te-. mos que π ◦ α = π. Se n é ´ımpar, definimos uma orienta¸caõ em cada espa¸co tangente Ty RPn , y = π(x), exigindo que o isomorfismo linear π ′ (x) : Tx S n → Ty RPn seja posi-. tivo. Veja que, desde que π ′ (−x) ◦ α′ (x) = π ′ (x) e α′ (x) é positivo, o isomorfismo π ′ (−x) induziria a mesma orienta¸caõ em Ty RPn . Isto define uma orienta¸caõ em RPn .. Por outro lado, assuma que RPn é orientável. Desde que S n seja conexo, podemos escolher uma orienta¸caõ para RPn de tal maneira que π : S n → RPn é positivo. Agora. fixe x ∈ S n . Desde que o isomorfismo π ′ (−x) e π ′ (x) s˜ ao ambos positivos, seque que α′ (x) = π ′ (−x)−1 ◦ π ′ (x) é positivo e portanto n é ´ımpar.. f → M , de Defini¸c˜ ao 1.1.18. Um recobrimento duplo orientável é uma aplica¸caõ p : M. classe C k , com as seguintes propriedades:.

(21) 11 f é uma variedade orientável, e p é um difeomorfismo a) M é uma variedade conexa, M local;. b) Para cada y ∈ M , a imagem inversa p−1 (y) contém exatamente dois pontos; f→ c) Se p(x1 ) = p(x2 ) com x1 6= x2 , ent˜ ao o isomorfismo linear p′ (x2 )−1 ◦ p′ (x1 ) : Tx1 M f é negativo. Tx2 M. Exemplo 1.1.19. Quando n é par, a aplica¸caõ quociente π : S n → RPn é um recobri-. mento duplo orientável do espa¸co projetivo.. 1.1.5. Campos de Vetores e Colchete de Lie. Defini¸c˜ ao 1.1.20. Um campo de vetores X em uma variedade diferenci´ avel M é uma correspondência que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ Tp M . Em termos de. aplica¸co˜es, X é uma aplica¸caõ de M no fibrado tangente T M . O campo é diferenci´ avel. se a aplica¸caõ X : M → T M é diferenci´ avel. Considerando uma parametriza¸caõ x : U ⊂ Rn → M é poss´ıvel escrever X(p) =. n X. ai (p). i=1. ∂ , ∂xi. ∂ } é a base associada a x, i = 1, . . . , n. ∂xi X é diferenciável se e só se as fun¸cões ai são diferenciáveis para alguma parametriza¸cão. ` vezes é conveniente pensar em um campo de vetores como uma aplica¸caõ X : D → F As. onde cada ai : U → R é uma fun¸cão em U e {. do conjunto D das fun¸co˜es diferenciáveis em M no conjunto F das fun¸co˜es em M , definida. do seguinte modo. (Xf )(p) =. n X i=1. ai (p). ∂f (p), f ∈ D, ∂xi. A interpreta¸cão de X como um operador em D permite-nos considerar os inteirados de. X. Por exemplo, se X e Y são campos diferenciáveis em M e f : M → R é uma fun¸cão. diferenciável, podemos considerar as fun¸cões X(Y f ) e Y (Xf ). Em geral, tais opera¸cões. não conduzem a campos vetoriais, por envolverem derivadas de ordem superior a` primeira. Entretanto temos o seguinte. Lema 1.1.21. Sejam X e Y campos diferenci´ aveis de vetores em uma variedade diferenci´ avel M. Ent˜ ao existe um u ńico campo vetorial Z tal que, para todo f ∈ D, Zf = (XY − Y X)f ..

(22) 12 Demonstra¸c˜ ao: Primeiro provaremos que se Z existe, ele é u ńico. Admitamos, portanto, a existência de um tal Z. Seja p ∈ M e x : U → M uma parametriza¸caõ em p, e sejam X=. X i. ai. X ∂ ∂ ,Y = bj ∂xi ∂xj j. as expressões de X e Y nesta parametriza¸caõ. Então para todo f ∈ D, XY f = X(. X j. Y Xf = Y (. X i. X ∂bj ∂f X ∂f ∂ 2f )= ai + ai bj , bj ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj i,j i,j ai. X ∂ai ∂f X ∂ 2f ∂f )= + . bj ai b j ∂xi ∂x ∂x ∂x ∂x j i i j i,j i,j. Portanto, Z é dado, na parametriza¸cão x, por. Zf = XY f − Y Xf =. X i,j. (ai. ∂bj ∂aj ∂f − bi ) ∂xi ∂xj ∂xj. o que mostra a unicidade de Z. Para a demonstra¸caõ da existência, define-se Zα em cada vizinhan¸ca coordenada xα (Uα ) de uma estrutura diferenciável {(Uα , xα )} de M pela expressão anterior. Por unicidade, Zα = Zβ em xα (Uα ) ∩ xβ (Uβ ) 6= ∅, o que permite definir z em toda a variedade M .. . O campo vetorial Z dado pelo lema cima é chamado colchete [X, Y ] = XY − Y X de. X e Y ; Z é evidentemente diferenciável.. 1.2 1.2.1. Conceitos de Geometria Riemanniana M´ etricas Riemannianas. Defini¸c˜ ao 1.2.1. Uma métrica Riemanniana em uma variedade diferenci´ avel M é uma correspondência que associa a cada ponto p de M um produto interno h, ip no espa¸co. tangente Tp M , que varia diferencialmente no seguinte sentido: Se x : U ⊂ Rn → M. é um sistema de coordenadas locais em torno de p, co x(x1 , x2 , . . . , xn ) = q ∈ x(U ) e ∂ ∂ ∂ (q) = dx(0, . . . , 1, . . . , 0), ent˜ ao (q), (q) = gi,j (x1 , . . . , xn ) é uma fun¸caõ ∂xi ∂xi ∂xj q diferenci´ avel em U . Exemplo 1.2.2 (Toros). O Toro mergulhado em R3 é uma superf´ıcie de revolu¸caõ gerada pelo c´ırculo. Tomando o c´ırculo com centro em (R, 0) e raio r < R com parametriza¸caõ.

(23) 13 γ(t) = (R + r cos t, r sin t) obtemos a parametriza¸caõ para o toro bidimensional como superf´ıcie de revolu¸caõ ϕ(t, φ) = ((R + r cos t) cos φ, (R + r cos t) sin φ, r sin t) cuja respectiva métrica é dada por G(t, φ) =. ". r2. 0. 0 (R + r cos t)2. #. .. Outra métrica induzida de Rn importante para o toro, não localmente isométrica à métrica dada acima é a métrica plana do toro: considerando o toro como a superf´ıcie n-dimensional T n = S 1 × · · · × S 1 ⊂ R2n , a métrica euclidiana de R2n induz uma métrica no toro. Com. a parametriza¸caõ ϕ : Rn → T n dada por. ϕ(φ) = ϕ(φ1 , . . . , φn ) = (cos φ1 , sin φ1 , . . . , cos φn , sin φn ), temos gij (φ) = δij .. 1.2.2. Comprimento de Curvas e Volume. Seja c : (−ǫ, ǫ) → M uma curva diferenciável. O campo vetorial dc. . ∂ ∂t. . indicado por. dc , é chamado campo velocidade de c. A restri¸cão de uma curva c a um intervalo fechado dt [a, b] ⊂ I chama-se um segmento. Se M é Riemanniana, definimos o comprimento de um segmento por. lba (c). =. Z b a. dc dc , dt dt. 12. dt;. Seja p ∈ M e seja x : U ⊂ Rn → M uma parametriza¸caõ, com p ∈ x(U ), na orienta¸cão. de M . Considere uma base ortonormal positiva {e1 , . . . , en } em Tp M e escreva Xi (p) = P ∂ (q) na base {ei } : Xi (p) = ij aij ej . Então ∂xi gik (p) = hXi , Xk i (p) =. X jl. aij akl hej , el i =. X. aij akj .. j. Como o volume Vol(X1 (p), . . . , Xn (p)) do paralelep´ıpedo formado pelos vetores X1 (p), . . . , Xn (p) em Tp M é igual a Vol(e1 , . . . , en ) = 1 multiplicado pelo determinante da matriz (aij ), temos que.

(24) 14. Vol(X1 (p), . . . , Xn (p)) = det(aij ) =. q (gij )(p).. se y : V ⊂ Rn → M é outra parametriza¸caõ positiva em torno de p, com Yi (p) =. e hij (p) = hYi , Yj (p)i, teremos. ∂ (p) ∂yi. q det(gij )(p) = Vol(X1 (p), . . . , Xn (p)) q = Jvol(Y1 (p), . . . , Yn (p)) = J det(hij )(p),. ∂yi ) = det(dy−1 ◦ dx)(p) > 0 é o determinante da diferencial da mudan¸ca ∂xj de coordenadas.. onde J = det(. Seja agora R ⊂ M um conjunto aberto conexo, cujo fecho é compacto. Suporemos que. R está contida em uma vizinhan¸ca coordenada x(U ) de uma parametriza¸caõ x : U → M. positiva, e que a fronteira de x−1 (R) ⊂ U tem medida nula em Rn . Definimos o volume Vol(R) em R pela integral em Rn Z Vol(R) =. x−1 (R). q det(gij )dx1 . . . dxn .. A defini¸caõ acima não depende do sistema de coordenadas. Proposi¸c˜ ao 1.2.3. Sejam g e h métricas em uma variedade Riemannina M n compacta tais que g ≤ h, ou seja, gp (v, v) ≤ hp (v, v) ent˜ ao Vol(M, g) ≤ Vol(m, h). Demonstra¸c˜ ao: De fato, seja p ∈ M e um sistema de coordenadas (U, xi ) em p, temos. que. dVolg = e. Basta ver que. q det(gij )dx1 ∧, . . . , ∧dxn ,. q dVolh = det(hij )dx1 ∧, . . . , ∧dxn . q q det(gij ) ≤ det(hij ).. De fato, primeiro observe que se {u1 , . . . , un } é uma base ortonormal com respeito ao. produto interno g, ∂j = aij ui e a = [aij ], então. det(gij ) = (det(a))2 . Escolhemos agora {u1 , . . . , un } satisfazendo as seguintes condi¸cões.

(25) 15 i) {u1 , . . . , un } é ortonormal com respeito a` métrica g; ii) h(ui , uj ) = λi δij , ou seja, {u1 , . . . , un } diagonaliza h. √ aij λi Observe que ∂j = √ . Logo, u i λi p det(hij ) = (det(aij λi ))2 = λ1 . . . λn det(gij ).. Como, g ≤ h temos que λi ≥ 1 para todo i. Portanto det(gij ) ≤ det(hij ). Indicaremos por X (M ) o conjunto dos campos de vetores de classe C. ∞. em M e por. D(M ) o anel das fun¸co˜es reais de classe C ∞ definidas em M .. 1.2.3. Conex˜ ao Afim. Defini¸c˜ ao 1.2.4. Uma conex˜ ao afim ∇ em uma variedade diferenci´ avel M é uma aplica¸caõ ∇ : X (M ) × X (M ) → X (M ) que satisfaz as seguintes propriedades: 1. ∇f X+gY Z = f ∇X Z + g∇Y Z, 2. ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z, 3. ∇X (f Y ) = f ∇X Y + X(f )Y , onde X, Y, Z ∈ X (M ) e f, g ∈ D(M ). Proposi¸c˜ ao 1.2.5. Seja M uma variedade diferenci´ avel com uma conex˜ ao afim ∇. Ent˜ ao. existe uma u ńica correspondência que associa a um campo vetorial V ao longo da curva DV diferenci´ avel c : I → M u outro campo vetorial ao longo de c, denominado derivada dt covariante de V ao longo de c, tal que: a). D DV DW (V + W ) = + . dt dt dt. b). df DV D (f V ) = V +f , onde W é um campo de vetores ao longo de c e f é uma dt dt dt fun¸caõ diferenci´ avel em I.. c) Se V é induzido por um campo de vetores Y ∈ X (M ), ent˜ ao. DV = ∇ dc Y . dt dt.

(26) 16 Observa¸c˜ ao 1.2.6. A u ´ltima linha de c) faz sentido, pois ∇X Y (p) depende s´ o do valor. de X(p) e do valor de Y ao longo de uma curva tangente a X em p. Com efeito, a parte (3) da defini¸caõ 1.2.4 permite mostrar que a no¸caõ de conex˜ ao afim é, de fato, uma no¸caõ local. Escolhemos um sistema de coordenadas (x1 , . . . , xn ) em torno de p e escrevendo. X=. X. xi X i , Y =. i. onde Xi =. X. yj X j ,. j. ∂ , teremos ∂xi ∇X Y. =. X i. =. X ij. Fazendo ∇Xi Xj =. P. k. xi ∇xi (. X. yj Xj ). j. x i y j ∇X i X j +. X. Xi (yj )Xj .. ij. Γkij Xk , conclu´ımos que Γkij s˜ ao fun¸co˜es diferenci´ aveis e que. ∇X Y =. XX ( xi yj Γkij + X(yk ))Xk , k. ij. o que mostra que ∇X Y (p) depende de xi (p), yk (p) e das derivadas X(yk )(p) de yk segund0. X.. Demonstra¸c˜ ao: Suponhamos inicialmente que existe uma correspondência satisfazendo a),b) e c). Seja x : U ⊂ Rn → M um sistema de coordenadas com c(I) ∩ x(U ) 6= ∅ e seja ∂ . Então podemos (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) a expressão local de c(t), t ∈ I. Seja Xi = ∂xi P j j j expressar o campo V localmente como V = j v Xj , j = 1, . . . , n onde v = v (t) e Xj = Xj (c(t)).. Por a) e b), tem-se X dv j X DXj DV = Xj + vj . dt dt dt j j Por c) e 1 da defini¸cão 1.2.4, DXj dt. = ∇ dc Xj = ∇ dxi Xj P Xi ) ( dt dt X dxi = ∇Xi Xj , i, j = 1, . . . , n. dt i.

(27) 17 Portanto, X dv j X dxi DV = Xj + v j ∇X i X j . dt dt dt j i,j. (1.2). A expressão acima nos mostra que existe uma correspondência satisfazendo às condi¸co˜es da proposi¸cão 1.2.5, então a tal correspondência é u ńica. DV ´ imediato verificar que Para mostrar a existência, definamos em x(U ) por (1.2). E dt (1.2) possui as propriedades desejadas. Se y(W ) é uma outra vizinhan¸ca coordenada, DV em y(W ) por (1.2), as defini¸cões “concordam” em com y(W ) ∩ x(U ) 6= ∅ e definimos dt DV y(W ) ∩ x(U ), pela unicidade de em x(U ). Segue que a defini¸caõ pode ser estendida dt para todo M , e isto conclui a demonstra¸cão. . 1.2.4. Transporte Paralelo. Defini¸c˜ ao 1.2.7. Seja M uma variedade diferenci´ avel com uma conex˜ ao afim ∇. Um DV = 0, campo vetorial V ao longo de uma curva c : I → M é chamado paralelo quando dt para todo t ∈ I. Proposi¸c˜ ao 1.2.8. Seja M um variedade diferenci´ avel com uma conex˜ ao afim ∇. Seja c : I → M uma curva diferenci´ avel em M e V0 um vetor tangente a M em c(t0 ), t0 ∈ I. Ent˜ ao existe um u ńico campo de vetores paralelo V ao longo de c, tal que V (t0 ) = V0 . Demonstra¸c˜ ao: Ver [6]. Defini¸c˜ ao 1.2.9. Seja M uma variedade diferenci´ avel com uma conex˜ ao afim ∇ e uma. métrica h, i. A conex˜ ao é dita compat´ıvel com a métrica h, i, quando para toda curva. diferenci´ avel c e quaisquer pares de campos de vetores paralelos P e P ′ ao longo de c, tivermos hP, P ′ i = constante. A defini¸cão 1.2.9 é justificada pela proposi¸cão seguinte que mostra que ∇ é compat´ıvel. com h, i, então podemos diferenciar o produto interno pela “regra do produto” usual.. Proposi¸c˜ ao 1.2.10. Seja M uma variedade Riemanniana. Uma conex˜ ao ∇ em M é compat´ıvel com a métrica se e somente se para todo par V e W de campos de vetores ao. longo da curva diferenci´ avel c : I → M tem-se DW DV d hV, W i = , W + V, , t ∈ I. dt dt dt. (1.3).

(28) 18 ´ obvio que a equa¸cão (1.3) implica a Defini¸caõ 1.2.9. Mostremos, porDemonstra¸c˜ ao: E tanto, a rec´ıproca. Escolhendo uma base ortonormal {P1 (t0 ), . . . , Pn (t0 )} de Tc(t0 ) (M ), t0 ∈. I. Agora, estenda paralelamente cada um dos vetores Pi (t0 ), i = 1, . . . , n, ao longo de c. Como ∇ é compat´ıvel com a métrica, {P1 (t), . . . , Pn (t)} é uma base ortonormal de. Tc(t) (M ),para todo t ∈ I. Podemos ,portanto, escrever V =. X i. v i Pi , W =. X. wi Pi , i = 1, . . . , n. i. onde v i e wi são fun¸cões diferenciáveis em I. Segue-se da´ı que X dv i X dwi DV DW = Pi , = Pi . dt dt dt dt i i Portanto, . DV ,W dt. . ( ) X i i X d DW dv i dw i d = + V, w + v = hV, W i . vi wi = dt dt dt dt dt i i . 1.2.5. Conex˜ ao de Levi-Civita. Teorema 1.2.11. Dada uma variedade Riemanniana M , existe uma u ńica conex˜ ao afim ∇ em M satisfazendo: a) ∇ é simétrica,ou seja, [X, Y ] = ∇X Y − ∇Y X para todo X, Y ∈ X (M ). b) ∇ é compat´ıvel com a métrica Riemanniana. Demonstra¸c˜ ao: Suponhamos inicialmente a existência de uma tal ∇. Então X hY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi ,. (1.4). Y hZ, Xi = h∇Y Z, Xi + hZ, ∇Y Xi ,. (1.5). Z hX, Y i = h∇Z X, Y i + hX, ∇Z Y i ,. (1.6). Somando (2.2) e (2.3) e subtraindo de (2.5), teremos, usando simetria de ∇, que.

(29) 19. X hY, Zi + Y hZ, Xi − Z hX, Y i = h[X, Y ], Y i + h[Y, Z], Xi + h[X, Y ], Zi + 2 hZ, ∇Y Xi . Portanto 1 hZ, ∇Y Xi = {X hY, Zi + Y hZ, Xi − Z hX, Y i − h[X, Z], Y i − h[Y, Z], Xi − h[X, Y ], Zi}. 2 A expressão acima mostra que ∇ está univocamente determinada pela métrica h, i.. Portanto, caso exista, ela será u ńica. Para mostrar a existência, defini ∇ pela expressão ´ fáil verificar que ∇ está bem definida e que satisfaz às propriedades desejadas. acima. E . ´ conveniente dizer que as fun¸co˜es Γk definidos em U por ∇X Xj = P Γk Xk são os E ij i k i,j. coeficientes da conex˜ ao ∇ em U . Temos que X l. ∂ ∂ 1 ∂ Γkij glk = { gjk + gki − gij }, 2 ∂xi ∂xj ∂xk. onde gij = hXi , Xj i .. Como a matriz (gkm ) admite uma inversa (g km ), teremos que. Γm ij =. 1X ∂ ∂ ∂ gjk + gki − gij }g km . { 2 k ∂xi ∂xj ∂xk. (1.7). A equa¸caõ (1.7) é a expressão clássica dos s´ımbolos de Christoffel. Em termos dos s´ımbolos de Christoffel, a derivada covariante tem a expressão clássica X dv k X dxi DV = { + Γkij v j }Xk . dt dt dt i,j k Observe que a derivada covariante difere da derivada usual no espa¸co euclidiano por termos que envolvem os s´ımbolos de Christoffel.. 1.2.6. Geod´ esicas. Defini¸c˜ ao 1.2.12. Uma curva parametrizada γ : I → M é uma geodésica em t0 ∈ I se D dγ ( ) = 0 no ponto t0 ; se γ é geodésica em t, para todo t ∈ I, dizemos que γ é uma dt dt geodésica..

(30) 20 Se γ : I → M é uma geodésica, então d dt. . dγ dγ , dt dt. . =2. . D dγ dγ , dt dt dt. . = 0,. dγ é constante. dt Vamos agora determinar as equa¸cões locais satisfeitas por uma geodésica γ em um. isto é, o comprimento do vetor tangente. sistema de coordenadas (U, x) em torno de γ(t0 ). Em U ,. γ(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)). γ será uma geodésica se e só se X D dγ 0= ( )= dt dt k. d2 xk X k dxi dxj + Γij dt2 dt dt i,j. !. ∂ . ∂xk. Logo o sistema de equa¸co˜es diferenciais de segunda ordem d2 xk X k dxi dxj + Γij = 0, k = 1, . . . , n, dt2 dt dt i,j fornece as equa¸cões procuradas. Exemplo 1.2.13 (Geodésicas em Rn ). Seja M = Rn . Como a deriva¸caõ covariante coincide com a usual, as geodésicas s˜ ao retas parametrizadas proporcionalmente ao comprimento de arco. Exemplo 1.2.14 (Geodésicas em S n ). Seja M = S n ⊂ Rn+1 a esfera unit´ aria de dimensão n. Os c´ırculos m´ aximos de S n parametrizados pelo comprimento de arco s˜ ao. geodésicas. Dado p ∈ S n e um vetor unit´ ario v ∈ Tp S n , a interseçcaõ com S n do plano. que contém a origem de Rn+1 , o ponto p e o vetor v é um c´ırculo m´ aximo que pode ser parametrizado como a geodésica passando por p com velocidade v. Proposi¸c˜ ao 1.2.15 (Teorema de Existência e Unicidade de Geodésicas). Seja M uma variedade Riemanniana. Ent˜ ao para todos p ∈ M e v ∈ Tp M , e para cada t0 ∈ R, existe. um intervalo aberto I ⊂ R contendo t0 e uma u ńica geodésica γ : I → M tal que γ(t0 ) = p e γ ′ (t0 ) = v.. Lema 1.2.16. se a geodésica γ(t, q, v) est´ a definida no intervalo (−δ, δ), ent˜ ao a geodésica δ δ γ(t, q, av), a ∈ R, a > 0, est´ a definida no intervalo (− , ) a a γ(t, q, av) = γ(at, q, v)..

(31) 21 Proposi¸c˜ ao 1.2.17. Dado p ∈ M , existe uma vizinhan¸ca V de p em M , um n´ umero ǫ > 0. e uma aplica¸caõ C ∞ , γ : (−2, 2) × U → M, U = {(q, w) ∈ T M ; qnV, w ∈ Tq M, |W | < ǫ}. tal que t → γ(t, q, w), t ∈ (−2, 2), é a u ńica geodésica de M que no instante t = 0 passa. por q com uma velocidade w, para cada q ∈ V e cada w ∈ Tq M , com |w| < ǫ.. Demonstra¸c˜ ao: A geodésica γ(t, q, v) está definida para |t| < δ e para |v| < ǫ1 . Pelo δv δǫ1 lema anterior, γ(t, q, ) está definida para |t| < 2. Tomando ǫ < , a geodésica 2 2 γ(t, q, w) está definida para |t| < 2 e |w| < ǫ. A proposi¸caõ 2.1.2 nos permite introduzir o conceito de aplica¸cão exponencial na se-. guinte maneira. Seja p ∈ M e U ⊂ T M um aberto dado pela proposi¸caõ 2.1.2. Então a aplica¸caõ exp : U → M dada por. . v exp(q, v) = γ(1, q, v) = γ |v|, q, |v|. . , (q, v) ∈ U. é chamada a aplica¸caõ exponencial em U . Proposi¸c˜ ao 1.2.18. Dado q ∈ M , existe um ǫ > 0 tal que expq : Bǫ (0) ⊂ Tq M → M é. um difeomorfismo de Bǫ (0) sobre um aberto de M . Demonstra¸c˜ ao: Calculemos d(expq )0 :. d d (expq (tv))|t=0 = (γ(1, q, tv))|t=0 dt dt d = (γ(t, q, v))|t=0 = v dt. d(expq )0 (v) =. Logo d(expq )0 é a identidade de Tq M , donde pelo teorema da fun¸caõ inversa, expq é um difeomorfismo local numa vizinhan¸ca de 0.. 1.2.7. . Curvatura. Defini¸c˜ ao 1.2.19. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que associa a cada par X, Y ∈ X (M ) uma aplica¸caõ R(X, Y ) : X → X (M ). dada por. R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z, Z ∈ X (M ), onde ∇ é a conex˜ ao Riemanniana de M . Proposi¸c˜ ao 1.2.20. A curvatura R de uma variedade Riemanniana goza das seguintes propriedades:.

(32) 22 1. R é bilinear em X (M ) × X (M ); 2. Para todo par X, Y ∈ X (M ), o operador curvatura R(X, Y ) : X (M ) → X (M ) é linear.. Proposi¸c˜ ao 1.2.21. O tensor curvatura satisfaz R(X, Y )Z = −R(Y, X)Z. Demonstra¸c˜ ao: De fato, temos R(Y, X)Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z + ∇[Y,X] Z = −∇Y ∇X Z + ∇X ∇Y Z + ∇−[X,Y ] Z = −∇Y ∇X Z + ∇X ∇Y Z − ∇[X,Y ] Z = −R(X, Y )Z. Proposi¸c˜ ao 1.2.22 (Primeira identidade de Bianchi). R(X, Y )Z+R(Y, Z)X+R(Z, X)Y = 0. De agora em diante, escreveremos por conveniência, hR(X, Y )Z, T i = (X, Y, Z, T ). Proposi¸c˜ ao 1.2.23. a) (X, Y, Z, T ) + (Y, Z, X, T ) + (Z, X, Y, T ) = 0 b) (X, Y, Z, T ) = −(Y, X, Z, T ) c) (X, Y, Z, T ) = −(X, Y, T, Z) d) (X, Y, Z, T ) = (Z, T, X, Y ). Defini¸c˜ ao 1.2.24. Um tensor T de ordem r em uma variedade Riemanniana é uma aplica¸caõ multilinear T : X (M ) × · · · × X (M ) → D(M ). | {z } rf atores. Isto que dizer que, dados Y1 , . . . , Yr ∈ X (M ), T (Y1 , . . . , Yr ), é uma fun¸cão diferenciável. em M , e que T é linear em cada argumento, isto é,. T (Y1 , . . . , f X + gY, . . . , Yr ) = f T (Y1 , . . . , X, . . . , Yr ) + g(Y1 , . . . , Y, . . . , Yr ), pra todo X, Y ∈ X (M ), f, g ∈ D(M ). Defini¸c˜ ao 1.2.25. Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante ∇T de T é. um tensor de ordem (r + 1) dada por. ∇T (Y1 , . . . , Yr , Z) = Z(T (Y1 , . . . , Yr )) − T (∇Z Y1 , . . . , Yr ) − · · · − T (Y1 , . . . , Yr−1 , ∇Z Yr )..

(33) 23 Para cada Z ∈ X (M ), a derivada covariante ∇Z T de T em rela¸caõ a Z é um tensor. de ordem r dado por. ∇Z T (Y1 , . . . , Yr ) = ∇T (Y1 , . . . , Yr ). Proposi¸c˜ ao 1.2.26 (Segunda identidade de Bianchi). ∇R(X, Y, Z, W, T )+∇R(X, Y, W, T, Z)+. ∇R(X, Y, T, Z, W ) = 0.. ´ conveniente escrever o que foi visto acima em um sistema de coordenadas (U, x) em E torno do ponto p ∈ M . Ponhamos R(Xi , Xj )Xk =. X. l Rijk Xl .. l. l Assim Rijk são as componentes da curvatura R em (U, x). Se. X=. X. ui X i , Y =. X. v j Xj , Z =. j. i. X. w k Xk ,. k. obtemos, pela linearidade de R,. R(X, Y )Z =. X. l ui v j w k X l . Rijk. i,j,k,l. Fazendo. hR(xi , Xj )Xk , Xs i =. X. Rijk gls = Rijks ,. l. podemos escrever as identidades da Proposi¸cão 1.2.23 como:. Rijks + Rjkis + Rkijs = 0 Rijks = −Rjiks Rijks = −Rijsk Rijks = Rksij . Exemplo 1.2.27. Observe que se M = Rn , ent˜ ao R(X, Y )Z = 0 para todo X, Y, Z ∈. X (Rn ). Com efeito, se indicarmos por Z = (z1 , . . . , zn ) as componentes do campo Z nas. coordenadas naturais do Rn , obtemos que. ∇X Z = (Xz1 , . . . , Xzn ),.

(34) 24 donde ∇Y ∇X Z = (Y Xz1 , . . . , Y Xzn ), o que implica que R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z = 0. No que se segue convém usar a seguinte nota¸caõ. Dado um espa¸co vetorial V , indicaremos por |X ∧ Y | a expressão q. |x|2 |y|2 − hx, yi2 ,. que representa a a´rea do paralelogramo bidimensional determinado pelo par x, y ∈ V . Defini¸c˜ ao 1.2.28. Dado um ponto p ∈ M e um subespa¸co bidimensional σ ⊂ Tp M o (x, y, x, y) = K(σ), onde {x, y} é uma base qualquer de σ, é n´ umero real K(x, y) = |x ∧ y|2 chamado curvatura seccional de σ em p. Lema 1.2.29. Sejam M uma variedade Riemanniana e p um ponto de M . Defina uma aplica¸caõ trilinear R′ : Tp M × Tp M × Tp M → Tp M por hR′ (X, Y, W )Zi = hX, W i hY, Zi − hY, W i hX, Zi , para todo X, Y, W, Z ∈ Tp M . Ent˜ ao M tem curvatura seccional constante igual a K0 se e s´ o se R = K0 R′ , onde R é a curvatura de M .. Demonstra¸c˜ ao: Admita que K(p, σ) = K0 para todo σ ⊂ Tp M , e fa¸ca hR′ (X, Y, W ), Zi =. (X, Y, W, Z)′ . Observe que R′ satisfaz as propriedades a),b),c) e d) da proposi¸caõ 1.2.23. Como. (X, Y, X, Y )′ = hX, Xi hY, Y i − hX, Y i2 , temos que, para todo par de vetores X, Y ∈ Tp M , R(X, Y, X, Y ) = k0 (|X|2 |Y |2 − hX, Y i2 ) = K0 R′ (X, Y, X, Y ). Isto implica que, para todo X, Y, W, Z, R(X, Y, W, Z) = k0 R′ (X, Y, W, Z),.

(35) 25 donde R = k0 R′ . A rec´ıproca é imediata.. . Algumas combina¸cões das curvaturas seccionais aparecem com tanta frequência que elas merecem nomes. Seja x = zn um vetor unitário em Tp M ; tomemos uma base ortonormal {z1 , z2 , . . . , zn−1 }. do hiperplano de Tp M ortogonal a x e consideremos a seguinte média:. Ricp (x) =. 1 X hR(x, zi )x, zi i , i = 1, 2, . . . , n − 1, n−1 i. com j = 1, . . . , n. Ela é chamada curvatura de Ricci na dire¸caõ x. Defini¸c˜ ao 1.2.30. Uma variedade riemanniana M é chamada uma variedade de Einstein se existe uma fun¸caõ f : M → R tal que Ric = f g. Neste caso, dizemos também que g é uma métrica de Einstein. Lema 1.2.31 (Schur). Seja M n uma variedade conexa e de Eintein, ou seja Ric(X, Y ) = Λg(X, Y ), onde Λ : M → R é uma fun¸caõ real. Temos que Λ é constante com n ≥ 3 e M 3 tem curvatura seccional constante.. Demonstra¸c˜ ao: Seja {ei }, i = 1, . . . , n ≥ 3, um referencial ortonormal e geodésico em. um ponto p ∈ M (ou seja, numa vizinhan¸ca U ⊂ M de p, os e′i s são ortonormais para. todo q ∈ U e, em p, ∇ei ej = 0.). A segunda identidade de Bianchi em p se escreve. es (Rhijk ) + ej (Rhiks ) + ek (Rhisj ) = 0, onde Rhijk são as componentes do tensor curvatura neste referencial e levando-se em conta que ∇ei ej (p) = 0, observe que hei , eki = gik = δik = δ ik . Multiplicando a expressão acima por δik δhj e somando em i, j, h e k, obteremos: para a primeira parcela. X. δhj δik es (Rhijk ) = es (. ikjh. X. δhj δik Rhijk ). ikjh. = es (. X. δhj Rhj ). hj. = es (. X. δhj (Λδhj )). hj. = nes (Λ)..

(36) 26 para a segunda parcela, X ikjh. δhj δik ej (Rhiks ) = −( = (. X. δhj ej (. jh. X. X. δik Rhisk )). ik. δhj ej (Λδhs )). jh. = −es (Λ). e para a terceira parcela, X ikjh. δhj δik ek (Rhisj ) = −es (Λ).. Portanto, implica que, para todo s, (n − 2)es (Λ) = 0. Pela arbitrariedade de p, Λ é. constante em M .. Considerando agora n = 3. Seja e1 , e2 , e3 ∈ Tp M um base ortonormal, e seja K(ei , ej ) =. K(ej , ei ) a curvatura seccional do espa¸co 2-dimensional de Tp M gerado por ei e ej . Então:. − Ric(e1 , e1 ) = K(e1 , e2 ) + K(e1 , e3 ) − Ric(e2 , e2 ) = K(e2 , e1 ) + K(e2 , e3 ) − Ric(ei , ej ) = K(e3 , e1 ) + K(e3 , e2 ) portanto. − Ric(e1 , e1 ) − Ric(e2 , e2 ) + Ric(e3 , e3 ) = 2K(e1 , e2 ).. Λ . 2 Defini¸c˜ ao 1.2.32. A cuevatura escalar de uma variedade Riemanniana é dada por X 1 1X Ricp (zj ) = hR(zi , zj )zi , zj i , K(p) = n j n(n − 1) ij. Como para i = 1, 2, 3, Ric(ei , ei ) = −Λ, temos K(e1 , e2 ) =. . com j = 1, . . . , n e {z1 , . . . , zn } representa uma base ortonormal para Tp M .. 1.3. Imers˜ ao Isom´ etrica. Seja (M , g) uma variedade Riemanniana de dimensão m = n+k. Se M é uma variedade diferenciável com dimensão n, existe uma imersão f :M →M.

(37) 27 e M é dotada da métrica induzida por esta imersão, então dizemos que f é uma imersão isométrica de (M, g) em (M , g). Dessa forma, se f : M n → M. n+m=k. é uma imersão, então, para cada p ∈ M , existe. uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p tal que f (U ) ⊂ vM é uma subvariedade de M . Isto quer dizer que existem uma vizinhan¸ca U ⊂ M de f (p) e um difeomorfismo ϕ : U → V ⊂ Rk. em um aberto v do Rk , tais que ϕ aplica difeomorficamente f (U ) ∩ U em um aberto do subespa¸co Rn ⊂ Rk . Para simplificar a nota¸caõ, identificaremos U com f (U ) e cada vetor v ∈ Tq M, q ∈ U , com dfq (v) ∈ Tf (q) M .. Para cada p ∈ M , o produto interno em Tp M decompõe Tp M na soma direta Tp M = Tp M ⊕ (Tp M )⊥ ,. onde (Tp M )⊥ é o complemento ortogonal de Tp M em Tp M . A conexão Riemanniana de M será indicada por ∇. Se X e Y são campos locais de. vetores em M , e X, Y são extensões locais a M , definimos. ∇X Y = (∇X Y )T Queremos definir a segunda forma fundamental da imersão f : M → M . Para isto. convém introduzir previamente a seguinte defini¸caõ. Se X, Y são campos locais em M ,. B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y é um campo local em M normal a M . B(X, Y ) não depende das extensões X, Y . Proposi¸c˜ ao 1.3.1. Se X, Y ∈ X (U ), a aplica¸caõ B : (U ) × X (U ) → C(U )⊥ dada por B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y é bilinear e simétrica. Como B é bilinear, conclu´ımos, exprimindo B em um sistema de coordenadas, que o valor de B(X, Y )(p) depende apenas de X(p) e Y (p). Agora podemos definir a segunda forma fundamental. Seja p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ . A. aplica¸caõ Hη : Tp M × Tp M → R dada por. Hη (x, y) = hB(x, y), ηi , x, y ∈ Tp M, é uma aplica¸caõ bilinear simétrica..

(38) 28 Defini¸c˜ ao 1.3.2. A forma quadrática IIη definida em Tp M por. IIη = Hη (x, x) é chamada a segunda forma fundamental de f em p segundo o vetor normal η. Observe que à aplica¸caõ bilinear Hη fica associada uma aplica¸caõ linear auto-adjunta Sη : Tp M → Tp M por hSη , yi = Hη (x, y) = hB(x, y), ηi . A proposi¸caõ seguinte nos dá uma expressão da aplica¸caõ linear associada à segunda forma fundamental em termos da derivada covariante. Proposi¸c˜ ao 1.3.3. Seja p ∈ M, x ∈ Tp M e η ∈ (Tp M )⊥ . Seja N uma extensão local de η normal a M . Ent˜ ao. Sη (x) = −(∇x N )T . Demonstra¸c˜ ao: Seja y ∈ Tp M e X, Y extensões locais de x, y, respectivamente, e tan-. gentes a M . Ent˜ ao hN, Y i = 0, e portanto. para todo y ∈ Tp M .. ∇X Y − ∇X Y, N (p). = ∇X Y, N (p). = − Y, ∇X N (p). = −∇X N, y ,. hSη (x), yi = hB(X, Y )(p), N i =. . Teorema 1.3.4 (Equa¸caõ de Gauss). Sejam p ∈ M e x, y vetores ortonormais de Tp M . Ent˜ ao. K(x, y) − K(x, y) = hB(x, x), B(y, y)i − |B(x, y)|2 .. Demonstra¸c˜ ao: Sejam X, Y extensões locais ortogonais de x, y respectivamente, e tangentes a M ; indicaremos por X, Y as extensões locais de X, Y a M . Então.

(39) 29. ∇Y ∇X X − ∇X ∇Y X − (∇Y ∇X X − ∇X ∇Y X), Y (p) E D + ∇[X,Y ] X − ∇[X,Y ] X, Y (p). K(x, y) − K(x, y) =. Observe inicialmente que o u ´ltimo termo se anula, pois D. E. D. N. E. ∇[X,Y ] X − ∇[X,Y ] X, Y (p) = − (∇[X,Y ] X) , Y (p) = 0.. Por outro lado, se indicarmos por E1 , . . . , Em , m = dimM − dimM , campos locais. ortonormais e normais a M , teremos que. B(X, Y ) =. X. Hi (X, Y )Ei , Hi = HEi , i = 1, . . . , m.. i. Portanto, em p,. ∇Y ∇X X = ∇Y (. X i. Hi (X, X)Ei + ∇X X) =. X i. {Hi (X, X)∇Y Ei + Y Hi (X, X)Ei } + ∇Y ∇X X.. Logo em p,. X. ∇Y ∇X X, Y = − Hi (X, X)Hi (Y, Y ) + h∇Y ∇X X, Y i .. (1.8). i. Analogamente,. X. ∇X ∇Y X, Y = − Hi (X, Y )Hi (X, Y ) + h∇X ∇Y X, Y i .. (1.9). i. Usando (1.8) e (1.9), o resultado segue. No caso de hiperf´ıcies f : M n → M. n+1. , a formula de Gauss admite uma expressão mais. simples. Sejam p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ , |η| = 1. Seja {e1 , . . . , en } uma base ortonormal. de Tp M para a qual Sη = S é diagonal, isto é, S(ei ) = λi ei , i = 1, . . . , n, onde λ1 , . . . , λn. são os valores próprios de S. Então H(ei , ei ) = λi e H(ei , ej ) = 0, se i 6= j. Portanto, podemos escrever. K(ei , ej ) − K(ei , ej ) = λi λj ..

(40) 30 Uma imersão f : M → M é geodésica em p ∈ M se para todo η ∈ (Tp M )⊥ a segunda. forma fundamental IIη é identicamente nula em p. A imersão f é totalmente geodésica se ela é geodésica para todo p ∈ M . Proposi¸c˜ ao 1.3.5. Uma imers˜ ao f : M → M é geodésica em p ∈ M se e s´ o se toda geodésica γ de M partindo de p é geodésica de M em p.. Defini¸c˜ ao 1.3.6. Seja f : M n → M. n+p. uma imers˜ ao isométrica. O vetor curvatura. média de f em p é definido por. ~ H(p) =. n X i=1. B(ei , ei )(p) ∈ (Tp M )⊥. onde {e1 , . . . , en } é uma base ortonormal para Tp M Na defini¸caõ acima, quando p = 1. Seja η ∈ (Tp M )⊥ , |η| = 1. Neste caso, temos ~ H(p) = =. D. E ~ H(p), η η. n X i=1. =. n X i=1. hB(ei , ei ), ηi η. hSη (ei ), ei i η. = (k1 + k2 + · · · + kn )η = H(p)η. Defini¸c˜ ao 1.3.7. Uma imers˜ ao f : M → M é m´ınima se para todo p ∈ M e todo η ∈ (Tp M )⊥ tem-se que o tra¸co Sη = 0.. ´ claro que f é m´ınima se e só se H(p) ~ E = 0. Exemplo 1.3.8 (Helicóide). O helic´ oide é dado pela parametriza¸caõ ϕ(t, s) = (t cos s, t sin s, s), onde s, t ∈ R. Seja f : M → M. n+1. uma hiperf´ıcie. Sejam p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ . Temos B(x, y) = hB(x, y), ηi η = Hη (x, y)η.. Escolha agora uma base ortonormal {e1 , . . . , en } de Tp M e seja hij = Hη (ei , ej ). Logo,. B(ei , ej ) = hij η. Portanto, pela equa¸cão de Gauss (1.3.4) temos.

(41) 31. Figura 1.1: O helicóide é uma superf´ıcie m´ınima. Rij = Rij + hii hjj − h2ij . Tomando o somatório em i, j de 1 a n temos n X. n X. Rij =. i,j=1. i,j=1 n X. =. i,j=1. somando e subtraindo 2 K =. n X. i,j=1. Pn. j=1. Rij + 2. Rij +. n X. hii. i=1. !. n X. hjj. j=1. !. −. n X. h2ij. i,j=1. Rij + H 2 − |B|2 .. R(ei , η, ei , η) obtemos,. n X j=1. R(ei , η, ei , η) − 2 2. 2. = K − 2 Ricg (η, η) + H − |B| .. n X j=1. R(ei , η, ei , η) + H 2 − |B|2 .. Defini¸c˜ ao 1.3.9. Sejam M n uma variedade diferenci´ avel com uma métrica g, f : M → R, X ∈ X (M ),p ∈ M e u, v ∈ Tp M , definimos por divX =. n X i=1. h∇ei X, ei i. o divergente de um campo X. E por ∆g f = trHessf =. n X. Hessf (ei , ei ) = div(∇g f ). i=1. o laplaciano da fun¸caõ f . Onde {e1 , . . . , en } é uma base para tM . Teorema 1.3.10. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana com bordo. Para algum campo de vetores suave com suporte compacto X em M , Z Z hX, N ig dVge. divXdVg = M. ∂M.

(42) 32 onde N é um campo de vetores normal unit´ ario que aponta para fora ao longo de ∂M e ge é a métrica Riemanniana induzida em ∂M .. fn+1 uma imers˜ f → R é Proposi¸c˜ ao 1.3.11. Seja ϕ : M n → M ao isométrica, se f : M. uma fun¸caõ suave, ent˜ ao. ∆gef = ∆g f − nH(f ) − Hessgef (N, N ) em cada p ∈ M , onde H é o vetor curvatura média da imers˜ ao e N é um campo unit´ ario normal à M em uma vizinhan¸ca de p.. e as conexões de Levi-Civita de M e M f respectivaDemonstra¸c˜ ao: Denote por ∇ e ∇ mente. Se {e1 , e2 , ...en = N } é um referencial adaptativo em uma vizinhan¸ca de p ∈ M f, temos em p em M ∆gef = =. n+1 X i=1. n X i=1. e e ei )(f )) (ei (ei f ) − (∇ i. e N N )(f ) (ei (ei f ) − (∇ei ei )(f ) − B(ei , ei )(f )) + N (N f ) − (∇. = ∆g f − Hessgef (N, N ) −. n X. B(ei , ei )(f ). i=1. = ∆g f − nH(f ) − Hessgef (N, N ). Corol´ ario 1.3.12. Seja x : (S 2 , h) → R3 a imers˜ ao canônica e xj a fun¸caõ coordenada definida em R3 ent˜ ao. ∆h xj + 2xj = 0 Demonstra¸c˜ ao:Seja N = −x o campo normal unitário, temos e v N )T Sη (v) = −(∇ e v x)T = (∇ = v.. Então.

(43) 33. 1 trSη N n 1 n(−x) = n = −x.. Hx =. Seja γ(t) = (1 + t)x, temos. Hx (xj ) = −x(xj ) d = − xj ((1 + t)x)|t=0 dt d = − (1 + t)xj |t=0 dt = −xj . Portanto ∆δ xj = ∆h xj − 2H(xj ) − Hessδ xj (N, N ) 0 = ∆h xj − 2(−xj ). . 1.3.1. Primeira varia¸ c˜ ao da ´ area. Seja F : Σ × (−ǫ, ǫ) → M uma varia¸caõ de Σ com suporte compacto e bordo fixado.. Isto é, F = Id em K c , com K ⊂ M compacto,. F (x, 0) = x, e para todo x ∈ ∂Σ,. F (x, t) = x.. O campo variacional da varia¸cão F é o campo Ft , onde temos Ft ≡ 0 em K c .. Para calcular a primeira varia¸caõ da a´rea para esta fam´ılia de superf´ıcies, tomemos um. sistema de coordenadas em Σ e definimos para cada Σt a métrica gij (t) = g(Fxi , Fxj ) Defina ν(t) =. q. det(gij (t)). p det(g ij (0)).

(44) 34 A fórmula da área é Vol(F (Σ, t)) = Usando a regra de Leibniz, segue que d Vol(F (Σ, t)) = dt t=0. Z Z. ν(t) Σ. Σ. q det(gij (0)). d ν(t) dt t=0. q. det(gij (0)). d ν(t) em um ponto x, podemos escolher um sistema de coordenadas dt t=0 tal que em x este é ortonormal, ou seja Para calcular. gij (0) = δij Usando isso e o fato das derivadas com respeito a xi e t comutarem, obtemos em x, 1 d ν(t) = tr(gij′ (0)) dt t=0 2 k 1X ′ = g (0) 2 i=1 kk k. = =. 1X d < F xi , F xi > 2 1 dt. k X 1. < ∇ F t F xi , F xi > =. = divΣ Ft .. k X 1. < ∇ F x i F t , F xi >. Como Ft ∈ Tx M este pode ser decomposto em uma parte tangente e outra normal a`. Σ. Temos, k X 1. < ∇Fxi Ft , Fxi > = =. n−k X k X. l=1 i=1 n−k k XX. < ∇Fxi < Ft , Nl > Nl , Fxi > + divΣ Ft T < Ft , Nl >< ∇Fxi Nl , Fxi > + divΣ Ft T. l=1 i=1 n−k X k X. = − = −. l=1 i=1 n−k k XX. < Ft , Nl >< II(Fxi , Fxi ), Nl > + divΣ Ft T < II(Fxi , Fxi ), < Ft , Nl > Nl > + divΣ Ft T. l=1 i=1. = − < H, Ft > +divΣ Ft T Onde Nl é uma base ortonormal do fibrado normal de Σ em x. Retomando e usando R o Teorema de Stoke’s para ver que Σ divFt T = 0, temos Z d − < H, Ft > Vol(F (Σ, t)) = dt t=0 Σ.

(45) 35. 1.3.2. Segunda varia¸ c˜ ao da ´ area. Suponha Σk ⊂ M n uma subvariedade m´ınima. Queremos calcular a segunda derivada. do funcional a´rea para uma varia¸cão de Σ. Seja F uma varia¸caõ de Σ com suporte compacto. Assumiremos que F é uma varia¸caõ normal, isto é, em Σ temos. Ft T ≡ 0 Como antes, seja xi coordenadas locais em Σ e seja gij (t) = g(Fxi , Fxj ) Defina ν(t) = Derivando ν(t). q p det(gij (t)) det(g ij (0)). Z q d2 d2 Vol(F (Σ, t)) = ν(t) det(gij (0)) 2 dt2 t=0 Σ dt t=0 Relembrando que a primeira derivada pode ser escrita como d 2 ν(t) = tr(gij′ (t)g lm (t))ν(t), dt P ′ onde o tra¸co, aqui, significa i,j gij (t)g ij (t). Para ver isso, relembramos que. (1.10). d det(δij + taij ) = tr(aij ). dt t=0. d2 ν(t) em algum ponto x ∈ Σ, podemos escolher um sistema de coordt2 denadas xi ortogonal em x. Derivando (1.10) em x, temos Para calcular. 2. d2 1 ′ ν(t) = tr(gij′′ (0)) − tr(gij′ (0)glm (0)) + [tr(gij′ (0))]2 . 2 dtt=0 2. (1.11). Desde que Σ é m´ınima, temos tr(g ′ (0)) = 0 e, portanto, obtemos 2. d2 ν(t) = tr(g ′′ (0)) − tr(g ′ (0)g ′ (0)) = tr(g ′′ (0)) − |g ′ (0)|2 , 2 dtt=0. onde a u ´ltima igualdade é tr(M 2 ) = |M 2 |, com M uma matriz simétrica. Lema 1.3.13. Em um ponto x, obtemos |g ′ (0)|2 = 4| hII(., .), Ft i |2 ,. 2 tr(g ′′ (0)) = 2| hII(., .), Ft i |2 + 2|∇N Σ Ft | + 2tr hRM (., Ft )Ft , .i + 2divΣ (Ftt ).. (1.12).

(46) 36 Demonstra¸c˜ ao: Ver [7].. . Portanto, obtemos em x, d2 ν(t) = −| hII(., .), Ft i |2 dt2t=0 2 +|∇N Σ Ft | − trΣ hRM (ei , Ft )ei , Ft i + div(Ftt ). Agora integrando e usando a minimalidade de Σ obtemos d2 Vol(F (Σ, t)) = − dt2t=0. Z. Σ. hFt , LFt i ,. onde L é um operador auto-adjunto chamado operador de estabilidade definido em um campo de vetores normal X de Σ por. LX = ∆N Σ X + tr[RM (., X).] +. k X. g(II(ei , ej ), X)II(ei , ej ),. i,j=1. e ∆N e o Laplaciano no fibrado tangente. Σ ´ Lema 1.3.14 (Desigualdade de estabilidade). Suponha que Σn−1 ⊂ M n é uma hiperf´ıcie d2 m´ınima est´ avel, ou seja 2 Vol(F (Σ, t)) ≥ 0, com fibrado normal trivial, ent˜ ao para dtt=0 toda fun¸caõ Lipschitz η com suporte compacto Z Z 2 2 |∇Σ η|2 . (inf RicM (ν, ν) + |II| )η ≤ Σ M. Σ. Demonstra¸c˜ ao: Ver [7].. 1.4. . Variedades Riemannianas Completas. Defini¸c˜ ao 1.4.1. Uma variedade Riemanniana M é completa se para todo p ∈ M , a aplica¸caõ exponencial, expp , est´ a definida pata todo v ∈ Tp M , i.e., se as geodésicas γ(t). que partem de p est˜ ao definidas para todos os valores do parâmetro t ∈ R.. Defini¸c˜ ao 1.4.2. A distˆ ancia d(p, q) é definida por d(p, q)=´ınfimo dos comprimentos de todas as curvas fp,q , onde fp,q é uma curva diferenci´ avel por partes ligando p a q. ´ fácil mostrar que com a distância d, definida acima, M é um espa¸co métrico e que a E topologia induzida pela mesma coincide com a topologia inicial de M ..

(47) 37 Teorema 1.4.3 (Hopf e Rinow). Seja M uma variedade Riemanniana e seja p ∈ M . As. seguintes afirma¸co˜es s˜ ao equivalentes:. a) expp est´ a definida em todo o Tp M . b) Os limitados e fechados de M s˜ ao compactos. c) M é completa como espa¸co métrico. d) M é geodesicamente completa. e) Para todo q ∈ M existe uma geodésica γ ligando p a q com l(γ) = d(p, q). Corol´ ario 1.4.4. Se M é compacta ent˜ ao M é completa. Corol´ ario 1.4.5. Uma subvariedade fechada de uma variedade Riemanniana completa é completa na métrica induzida; em particular, as subvariedades fechadas de um espa¸co euclidiano s˜ ao completas.. 1.5. Variedades com Curvatura Seccional Constante. Podemos mencionar algumas variedades com curvatura seccional constantr, a saber, o espa¸co euclidiano Rn com K ≡ 0 e a esfera unitária S n ⊂ Rn+1 com curvatura seccional. K ≡ 1. Nesta se¸caõ introduziremos uma variedade Riemanniana, o espa¸co hiperbólico. H n de dimensão n, que tem curvatura seccional K ≡ −1. As variedades Rn , S n e H n são completas e simplesmente conexas.. Teorema 1.5.1. Seja M n uma variedade Riemanniana completa e de curvatura seccional f de M , com a métrica do recobrimento, constante K. Ent˜ ao o recobrimento universal M. é isométrico a:. a) H n , se K = −1, b) Rn , se K = 0, c) S n , se K = 1..