SOLVABILIDADE E DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM SISTEMA DE EDP NÃO LINEAR COM ACOPLAMENTO NA FONTE

(1)

SERVIÇ O P ÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR Á CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS

PROGRAMA DE P ÓS - GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA E ESTATÍSTICA - PPGME

SOLVABILIDADE E DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM SISTEMA DE EDP N ˜ AO LINEAR

COM ACOPLAMENTO NA FONTE

Por: Renato Fabr´ıcio Costa Lobato

Orientador

Prof. Dr. Ducival Carvalho Pereira

Bel´ em

2006

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Livros Grátis

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Renato Fabr´ıcio Costa Lobato

SOLVABILIDADE E DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM SISTEMA DE EDP N ˜ AO LINEAR

COM ACOPLAMENTO NA FONTE

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática e Estat´ıs tica da Universidade Federal do Pará pa ra a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ma

tem´atica

Area de Concentra¸ ´ c˜ ao: Equa¸ c˜ oes Diferenciais Parciais

Bel´ em

2006

(4)

Renato Fabr´ıcio Costa Lobato

SOLVABILIDADE, DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM SISTEMA DE EDP N ˜ AO LINEAR

COM ACOPLAMENTO NA FONTE

Essa disserta¸cão, foi julgada e aprovada, para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática pelo Corpo Docente do Programa de Pós - Gradua¸cão em Matemática e Estat´ıstica da Universidade Federal do Pará

Conceito:

Bel´ em, 15 de Dezembro de 2006

...

Prof. Dr. Marcus Pinto da Costa da Rocha Coordenador do PPGME-UFPA

Banca Examinadora

... ...

Prof. Dr. Ducival Carvalho Pereira Prof. Dr. Carlos A. Raposo da Cunha

FACI UFSJ

Orientador Examinador

... ...

Prof. Dr. Giovany de Jesus Malcher Prof. Dr. Mauro de Lima Santos

UFPA UFPA

Examinador Examinador

(5)

Ao nosso futuro: Lucas, Beatriz e Byanca

(6)

Agradecimentos

• A Deus por me conceder sempre sua prote¸c˜ao nos momentos dif´ıceis.

•A Universidade Federal do Par´a - UFPA.

•Ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática e Estat´ıstica - PPGME.

•Ao professor Marcus, pela forma como conduz a dire¸c˜ao do nosso programa.

•Gostaria de aqui fazer uma referência especial a pessoa do professor Jorge Ferreira, por ter proposto uma primeira versão desta disserta¸cão e por ter sido sempre atencioso e compreensivo.

• Ao meu orientador professor Ducival, por me conceder o prazer do seu valioso aux´ılio, se mostrando sempre sol´ıcito as minhas infind´aveis d´uvidas.

• Ao professor Mauro por ter contribuido de modo decivo na conclus˜ao da disserta¸c˜ao e ter sido amigo na longa jornada.

•Faz-se necessário lembrar dele, que sempre dá um jeitinho pra tudo, professor João Protázio.

•Agrade¸co de um modo especial a professores importantes, que de um certo modo me incentivaram para que eu chegasse até aqui, são eles: Giovany, José Augusto e Adilson.

•Aos meus pais, C´elio e Roza que nunca exitaram em me conceder a oportunidade de buscar o conhecimento. Devo minha vida a eles.

• A fam´ılia Torres Lobato, meu querido irm˜ao e cumpadre, Tinho, do qual tenho muito orgulho e amor,minha cunhada Rosilene, a qual considero como irm˜a e aos meus sobrinhos Byanca e Lucas.

•A minha fam´ılia de um modo geral, em especial aos av´os Teca e Salo.

• Aos bons amigos do mestrado que de um modo geral, foram pessoas que me aturaram em momentos dif´ıceis e felizes. Dentre eles, Reiville, Hercio, Edilson, dona Rosinha, Fábio, An- drelino, Antenor, Irazel, Luiz Neto, Silvana, Helena, Pedrão, Baena, Raquel, Adiel, Aubedir, Márcio Bahia, Elizardo, Lindomar, Leandro e outros.

•Agrade¸co de modo especial a trˆes grandes amigas, que sempre me foram fi´eis desde o tempo

(7)

de gradua¸c˜ao: Elize, Paula e Silvia.

•Vai aqui tamb´em meu reconhecimento a dois grandes parceiros: Heleno e Carlos Alessandro.

•Também não poderia deixar de lembrar de dois bons amigos estat´ısticos: Marco Pollo e Zé Gracildo.

•Agrade¸co a parceria com o amigo Toninho, a qual me rendeu bons frutos.

• Novas e sinceras amizades s˜ao sempre bem vindas. A vocˆes minhas queridas: Carla e Deiziane.

•A querida amiga Telma.

• Esse ficou por último, pois deve ser lembrado de modo muito especial, meu grande irmão Nego-Sabá. Parceiro das horas fáceis e principalmente das dif´ıceis.

• Agrade¸co as pessoas que contribuiram negativamente, pois me incentivaram sobremaneira para continuar a luta.

•Enfim, agrade¸co a todos que de alguma forma contribuiram de maneira positiva.

(8)

Ah, essas cordas de a¸co Este min´usculo bra¸co

Do viol˜ao que os dedos meus acariciam Ah, este bojo perfeito

Que trago junto ao meu peito Só você violão

Compreende porque perdi toda alegria E no entanto meu pinho

Pode crer, eu adivinho Aquela mulher

Até hoje está nos esperando Solte o teu som da madeira Eu você e a companheira Na madrugada iremos pra casa Cantando...

Agenor Oliveira (Cartola)

(9)

Resumo

Neste trabalho vamos estudar existência, unicidade e comportamento assintótico de solu¸cão fraca global do problema misto de evolu¸cão (P)

(P)











ut−a(l(u))∆u=f1(v) em Q= Ω×(0, T) v_t−a(l(v))∆v =f₂(u) em Q= Ω×(0, T) u(t) = v(t) = 0 sobre P

=∂Ω×(0, T) u(x,0) =u₀(x) em Ω

v(x,0) =v₀(x) em Ω

Onde a : IR−→ IR ´e um operador cont´ınuo, f_i ∈ Lip_γ_i, com f_i : Ω×IR−→ IR,i = 1,2 e l :L²(Ω)−→IR ´e uma forma linear e cont´ınua.

A existência será feita via método de Faedo-Galerkin, teorema de compacidade de Aubin- Lions e algumas desigualdades relevantes da Análise Funcional, para unicidade, usaremos o método tradicional e para o comportamento assintótico usaremos o método da energia.

Palavras Chaves: Existência, Unicidade, Solu¸cão Fraca Global , Comportamento Assintótico

(10)

Abstract

In this work we study the existence, uniqueness and asymptotic behaviour of global weak solutions for the mixed evolution problem (P)

(P)











ut−a(l(u))∆u=f1(v) in Q= Ω×(0, T) v_t−a(l(v))∆v =f₂(u) in Q= Ω×(0, T) u(t) = v(t) = 0 on P

=∂Ω×(0, T) u(x,0) =u₀(x) in Ω

v(x,0) =v₀(x) in Ω

Where a : IR−→ IR is a continuous operator, f_i ∈Lip_γ_i, with f_i : Ω×IR−→ IR,i = 1,2 and l :L²(Ω)−→IR is a continuous linear form.

For the existence we used Faedo Galerkin Method, Aubin Lions’ theorem of compactness, important inequalities of Functional Analysis, while for the uniqueness we used the standard method and for the asymptotic behaviour we used the energy method .

Keywords: Existence, Uniqueness, Global Weak Solution, Asymptotic Behaviour

(11)

Sum´ ario

Resumo 8

Abstract 9

Introdu¸c˜ao 12

1 Prolegˆomenos de An´alise Funcional 13

1.1 Espa¸cos M´etricos . . . 13

1.1.1 Espa¸cos Normados . . . 14

1.1.2 Espa¸cos M´etricos Completos . . . 14

1.2 Espa¸cos de Banach . . . 16

1.2.1 O Espa¸co Dual . . . 16

1.2.2 Espa¸cos Reflexivos . . . 17

1.3 Os Espa¸cos L^p(Ω) . . . 18

1.3.1 Defini¸c˜ao e Principais Resultados . . . 18

1.4 Outros Resultados Importantes . . . 21

2 Introdu¸cão à Teoria das Distribui¸cões e aos Espa¸cos de Sobolev 31 2.1 Teoria das Distribui¸cões Escalares . . . 31

2.1.1 Espa¸cos Fun¸c˜oes Testes . . . 31

2.1.2 Convergˆencia em C₀^∞(Ω) . . . 32

2.1.3 Distribui¸c˜oes Escalares . . . 33

2.1.4 Convergˆencia e Derivada Distribucional . . . 36

2.2 Espa¸cos de Sobolev . . . 37

2.2.1 O espa¸co H^m(Ω) . . . 37

(12)

2.3 Espa¸cos L^p(0, T;X) e Distribui¸c˜oes Vetoriais . . . 43

2.4 Um Resultado de Regularidade . . . 46

3 O Sistema Acoplado 50 3.1 Apresenta¸c˜ao do Problema de Evolu¸c˜ao . . . 50

3.2 Hip´oteses . . . 51

3.3 Existˆencia de Solu¸c˜ao Fraca Global . . . 51

3.3.1 Problema Aproximado . . . 52

3.3.2 Estimativas a Priori . . . 56

3.3.3 Passagem ao Limite . . . 61

3.3.4 Verifica¸c˜ao das Condi¸c˜oes Iniciais . . . 65

3.4 Unicidade . . . 66

3.5 Decaimento Exponencial . . . 71

Considera¸c˜oes Finais 74

Bibliografia 75

(13)

Introdu¸ c˜ ao

O objetivo deste trabalho é estudar a existência e unicidade de solu¸cão fraca global, bem como decaimento exponencial para o sistema não linear de equa¸cões diferenciais parciais com acoplamento na fonte (P) da seguinte forma:

(P)











u_t−a(l(u))∆u=f₁(v) em Q= Ω×(0, T) v_t−a(l(v))∆v =f₂(u) em Q= Ω×(0, T) u(t) = v(t) = 0 sobre P

=∂Ω×(0, T) u(x,0) =u₀(x) em Ω

v(x,0) =v₀(x) em Ω

O sistema (P) se originou a partir do problema misto P

, por meio de um acoplamento na fonte, onde:

P

u_t−a(l(u))∆u=f(u) em Q= Ω×(0, T)

u(x, t) = 0 sobre P

=∂Ω×(0, T) u(x,0) = u₀(x) em Ω

O problema P

foi estudado em sua parte estacionária e evolutiva por Corrêa, Menezes e Ferreira [5], onde o mesmo descreve diversos modelos que aparecem em várias situa¸cões f´ısicas.

Por exemplo, quando queremos estudar a questão relacionada com a cultura de bactérias u, a equa¸cão em questão pode descrever a popula¸cão dessas bactérias, sujeita ao espalhamento onde o coeficiente de difusãoa é suposto dependente da popula¸cão inteira.

Nos cap´ıtulos 1 e 2 fizemos uma introdu¸cão preliminar a alguns resultados e defini¸cões de Análise Funcional e Espa¸cos de Sobolev respectivamente. No cap´ıtulo 3 é que de fato estudamos o trabalho proposto em questão, onde se mostra a solvabilidade e o comportamento assintótico.

(14)

Cap´ıtulo 1

Prolegˆ omenos de An´ alise Funcional

1.1 Espa¸ cos M´ etricos

Defini¸cão 1.1.1: Define-se uma métrica em um conjunto M, a fun¸cão d : M ×M −→ IR que faz associar a cada par (x, y)∈M ×M um número reald(x, y), demominado a distância de x a y. Para tal fun¸cão, considerando-se x, y, z∈M devem ser satisfeitas as seguintes condi¸cões:

d1)d(x, x) = 0

d₂) Se x6=y ent˜ao d(x, y)>0 d₃)d(x, y) = d(y, x)

d₄)d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z)

Podemos condensar as propriedades d₁ e d₂, dizendo simplesmente que d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 se, e somente se, x = y, a propriedade d3 nos diz que d é uma fun¸cão simétrica e por fim d₄ trata da desigualdade do triângulo.

Agora podemos dizer que, um espa¸co métrico é um par (M, d), ondeM é um conjunto eduma métrica. Quando não houver ambiguidade, vamos simplesmente nos referir ao espa¸co mértricoM

Exemplo 1.1.1: ConsidereX um conjunto arbitrário ef :X −→IR uma fun¸cão real. Sabe- mos que f é dita limitada em X se existe uma constante k = k_f > 0, de modo que |f(x)| ≤ k para todo x∈X

Indicando por B(X; IR) o conjunto das fun¸cões limitadas f : X −→ IR, podemos neste conjunto definir uma métrica, pondo paraf, g ∈B(X; IR) arbitrárias,

d(f, g) = sup

x∈X

|f(x)−g(x)|

(15)

Esta métrica é denominada métrica da convergência uniforme ou do sup. Temos portanto que B(X; IR) munido da métrica do sup é um espa¸co métrico

1.1.1 Espa¸ cos Normados

Os espa¸cos normados s˜ao um caso partibular de um espa¸co m´etrico.

SejaE um espa¸co vetorial real, uma norma ´e uma aplica¸c˜ao k k:E −→IR, que satisfaz:

i)kξk ≥0 para todo ξ∈E e kξk= 0 ⇐⇒ξ = 0 (comprimento positivo) ii)kλξk=|λ|kξk para todo ξ∈E e λ∈IR (dilata¸c˜ao)

iii)kξ+ζk ≤ kξk+kζk para todo ξ, ζ ∈E (desigualdade do triˆangulo) O par (k · k, E) ´e denominado um espa¸co normado.

Observa¸cão 1.1.1: Note que a defini¸cão de espa¸co normado exige que E seja um espa¸co vetorial. Em particular todo espa¸co normado é um espa¸co métrico. É fácil verificar que toda norma, define ou induz uma métrica d em E, basta por: d=kξ−δk, onde ξ, δ ∈E.

Exemplo 1.1.2: DefinamosL¹(a, b) como sendo o espa¸co de todas as fun¸cões definidas sobre [a, b] integráveis a Lebesgue. É fácil verificar que este é um espa¸co normado. Basta muni-lo da seguinte aplica¸cão:

k k:L¹(a, b)−→IR, dada por:

kfk₁ = Z b

a

|f(x)|dx

a qual vˆe-se facilmente que ´e uma norma.

1.1.2 Espa¸ cos M´ etricos Completos

Seja (M, d) um espa¸co métrico. Uma sequência (x_n)n∈N é dita de Cauchy no espa¸co métricoM, se dado ε >0, de modo arbitrário existe N ∈IN, tal que para todon, m > N =⇒ kx_n−x_mk< ε

Defini¸cão 1.1.2: Um espa¸co métrico é dito completo, quando toda sequência de Cauchy

(16)

nele ´e convergente.

Exemplo 1.1.3: Seja o espa¸co métrico M =C(a, b) o conjunto das fun¸cões cont´ınuas sobre o intervalo [a, b] com a métrica:

d(f, g) = sup

x∈[a,b]

|f(x)−g(x)|

Afirmamos que C(a, b) ´e um espa¸co m´etrico completo

Com efeito, sejaf_numa sequencia de Cauchy em C(a, b), ent˜ao para todoε >0 existeN >0 tal que

n, m≥N =⇒d(f_n, f_m)< ε, ou seja,

n, m≥N =⇒ sup

x∈[a,b]

|f_n(x)−f_m(x)|< ε

Sabemos que na reta real IR toda sequência de Cauchy é convergente, teremos portanto que para cada x, (f_n(x))n∈N converge, isto é, f_n(x)−→f(x)

Denotemos por f(x) o limite em quest˜ao. Para mostrarmos a completeza de C(a, b), basta verificar a continuidade def. Com efeito, sejaε >0, devido a convergˆencia existem N₁ eN₂ tais que:

n > N₁ =⇒ |f_n(x)−f(x)|< ε

3, da mesma forma, n > N₂ =⇒ |f_n(y)−f(y)|< ε 3

Tomemos,N = max{N₁, N₂}. Da continuidade def_ne usando o fato de ser de Cauchy, ent˜ao existe δ >0, tal que:

|x−y|< δ =⇒ |f_n(x)−f_n(y)|< ε 3 Da desigualdade triangular, segue-se que:

|f(x)−f(y)| ≤ |f(x)−f_n(x)|+|f_n(x)−f_n(y)|+|f_n(y)−f(y)|

(17)

Agora, tomando n > N e|x−y|< δ, vem que:

|f(x)−f(y)| ≤ ε 3+ ε

3+ ε 3 =ε

Donde tem-se a continuidade de f. Dessa forma f ∈ C(a, b), o que mostra que a sequˆencia de Cauchy f_n convergiu no pr´oprio espa¸co e isso acaba por demonstrar a completeza de C(a, b)

1.2 Espa¸ cos de Banach

Um espa¸co normado E é dito um espa¸co de Banach, se o mesmo é completo, isto é, se toda sequência de Cauchy converge em E.

Vamos a partir de agora estender o conceito de convergência. O que faremos é enfraquecer nossa condi¸cão de convergência. Vejamos:

Se a sequência (x_ν) é convergente, então para toda fun¸cão cont´ınua F teremos que F(x_ν) também é convergente. Definiremos então uma condi¸cão mais fraca que a anterior. Em vez de exigir que a convergência se realize para toda fun¸cão cont´ınua, exigiremos apenas para as lineares e cont´ınuas. Diremos dessa forma que uma sequência x_n converge fracamente para x, se f(x_n) converge para f(x), para todas as fun¸cões lineares e cont´ınuas definidas nela. Este espa¸co é denominado espa¸co dual.

1.2.1 O Espa¸ co Dual

Defini¸cão 1.2.1: Denotemos porE⁰ o conjunto das fun¸cõesf :E −→IR lineares e cont´ınuas, isto é:

E⁰ ={f :E −→IR; f e linear e cont´ı´ nua}. O conjunto E⁰ ´e chamado o dual deE.

Proposi¸cão 1.2.1: Uma aplica¸cão linear f é cont´ınua se, e somente se, ela é limitada.

Demonstra¸c˜ao:

Com efeito, pela continuidade def teremos que para todo ε >0 existe δ >0 tal que:

kxk< δ =⇒ |f(x)|< ε

(18)

Isso significa que para cada y ∈ E, δ

kyky satisfaz a condi¸c˜ao:

δ kyky

≤ δ, da´ı ent˜ao segue-se que:

f

δ kyky

< ε=⇒ |f(y)| ≤ ε

δkyk, donde concluimos que f ´e uma fun¸c˜ao limitada.

De maneira rec´ıproca, vamos supor quef seja limitada. Mostraremos quef deve ser cont´ınua.

Lembremos que f ´e limitada se existe C >0 tal que|f(x)| ≤ Ckxk. Portanto, para todo ε >0, existe δ >0 tal que se:

kx−yk< δ =⇒ |f(x)−f(y)|< ε. Basta tomarδ = ε

C e aplicar a linearidade de f

1.2.2 Espa¸ cos Reflexivos

Assim como construimos o espa¸co dual de um espa¸co vetorial, tamb´em podemos construir o espa¸co dual do dual. Isto ´e:

E⁰⁰={f :E⁰ −→IR; f e linear e cont´ı´ nua}

Este espa¸co E⁰⁰ ´e tamb´em um espa¸co normado e completo. A norma do espa¸co bidual esta dada por:

kfk∗∗= sup

g∈E⁰,kgk∗≤1

f(g)

Em geral dado um espa¸co vetorial E qualquer, podemos definir o espa¸co dual e bidual. In- clusive podemos relacionar o espa¸co E com o bidual E^∗∗, atrav´es da seguinte aplica¸c˜ao:

J :E −→E⁰⁰, x7−→J(x)∈E⁰⁰, ondeJ(x) :E⁰ −→IR

Definimos de forma natural: hJ(x), fi=f(x), para todo f ∈E⁰ Note que J ´e uma isometria entre os espa¸cosE e E⁰⁰

Com efeito,

kJ(x)k_∗∗ = sup

f∈E⁰,kfk∗≤1

hJ(x), fi= sup

f∈E⁰,kfk∗≤1

hf, xi=kxk

(19)

De onde obtemos uma aplica¸cão injetora entre os espa¸cos E e E⁰⁰. A aplica¸cãoJ é chamada de proje¸cão canônica. Não é verdade, em geral, que J definida acima, seja sobrejetora. Os espa¸cos nos quais J seja sobrejetora são chamados de Reflexivos.

Defini¸cão 1.2.2: SejaE um espa¸co de Banach, diremos queEé um espa¸co reflexivo, quando a aplica¸cãoJ definida acima é sobrejetora.

Defini¸cão 1.2.3: Diremos que um espa¸co normadoE é separável, se existe um subconjunto enumerável e denso em E.

1.3 Os Espa¸ cos L

^p

(Ω)

Vamos agora introduzir os espa¸cosL^p, o que nos ser´a de grande importˆancia como ferramenta.

Faremos uma breve defini¸c˜ao e mostraremos alguns resultados relevantes para o que se segue.

Aqui fixaremos um espa¸co de medida (Ω,M, µ) e identificamos fun¸cões mensuráveis que são iguais quase sempre.

1.3.1 Defini¸ c˜ ao e Principais Resultados

Sejap∈IR, 0< p <∞, definimos:

L^p(Ω) ={f : Ω−→IR; f ´e mensur´avel e |f|^p ∈L¹(Ω)}

Considerando agora p=∞ tem-se:

L^∞(Ω) ={f : Ω−→IR; f ´e mensur´avel e∃ c≥0 tal que |f(x)| ≤c q.s em Ω}

Definimos tamb´em as normas: k · kp : L^p(Ω) −→ IR⁺, para 0 < p < ∞ e k · k∞, para p=∞, dadas respectivamente por:

kfk_p = Z

Ω

|f(x)|^pdµ 1/p

e kfk_∞=inf{c:|f(x)| ≤c q.s. em Ω}

Para efeito ilustrativo, mostremos a seguir que, para 0< p < ∞, L^p(Ω) ´e um espa¸co vetorial e k · k_p de fato ´e norma.

Nota¸c˜ao: Se 1≤p≤ ∞ denotamos por q o n´umero definido por:

a) 1 p+ 1

q = 1 se 1< p <∞

(20)

b)q= 1, se p=∞e q=∞ sep= 1

O n´umerop ´e denominado expoente conjugado de q.

Lema 1.3.1 (A Desigualdade de Young): Se 1 < p < ∞ e a, b são números reais não negativos então:

ab≤ 1 pa^p+1

qb^q a igualdade s´o ocorre quando a^p =b^q

Prova: Seϕ(t) = (1−λ) +λt−t^λ =⇒ ϕ⁰(t) =λ(1−t^λ−1) e se λ−1<0 temos que:

• ϕ⁰(t)<0 para t <1

• ϕ⁰(t)>0 para t >1

Logo para t6= 1, temos ϕ(t)> ϕ(1) = 0, de onde (1−λ) +λt≥t^λ (a igualdade s´o vale se t= 1)

Seb 6= 0 a desigualdade segue substituindot por a^p

b^q. Por outro lado, se b= 0 o lema ´e trivial.

Lema 1.3.2 (Desigualdade de H¨older): Sejam f ∈L^p(Ω) e g ∈L^q(Ω), com 1≤p ≤ ∞.

Ent˜ao f, g∈L¹(Ω) e:

Z

Ω

|f.g|dx≤ kfkpkgkq

Prova: Os casosp= 1 e p=∞ seguem de modo imediato. Agora se 1< p <∞ temos que:

|f(x)||g(x)| ≤ 1

p|f(x)|^p+1

q|g(x)|^q, devido a desigualdade de Young.

Dessa forma, temos que:

Z

Ω

|f.g|dx≤ 1

pkfk^p_Lp +1 qkgk^q_Lq

mostrando portanto, quef.g ∈L¹(Ω). Substituindof porλf, λ >0, segue-se que

(21)

Z

Ω

|f.g|dx≤ λ^p−1

p kfk^p_Lp+ 1 λqkgk^q_Lq

Por outro lado, minimizando o lado direito da desigualdade acima para λ ∈ (0,∞), temos que o m´ınimo ocorre para λ=kfk⁻¹_Lpkgk^q/p_Lq e o resultado segue.

Teorema 1.3.1 (da Convergˆencia Dominada de Lebesgue):

Seja (fn)_n uma seqüência de fun¸cões integráveis definidas emX. Suponha que:

1. (fn)_n converge q.s. para uma fun¸cão real, mensurável, f. 2. Existe uma fun¸cão integrável g, tal que |f_n| ≤g,∀n. Então,

Z

f dµ = lim

n

Z

f_ndµ.

Demonstra¸c˜ao: Ver [3]

Teorema 1.3.2 (Representa¸c˜ao de Riez)

Sejam 1≤p < ∞ eϕ ∈(L^p)⁰. Ent˜ao existe um ´unico u∈L^p⁰ tal que:

hϕ, fi= Z

uf,∀ f ∈L^p

Al´em disso, kuk_Lp0 =kϕk_Lp0

Como conseqüência destes resultados temos as seguintes identifica¸cões:

i)L² ∼= (L²)⁰ ii)L^p⁰ ∼= (L^p)⁰

Demonstra¸c˜ao: Ver [16].

Dizemos que uma seq¨uˆencia (ϕ_ν) converge para ϕ em L^p(Ω) se kϕ_ν −ϕk_Lp(Ω) → 0, 1≤ p≤

∞. Se p e q são ´ındices conjugados, isto é, ¹_p + ¹_q = 1 com 1≤ p < ∞, então o dual topológico de L^p(Ω), que denotaremos por [L^p(Ω)]⁰, é o espa¸co L^q(Ω). No caso de 1 ≤ p < ∞ o espa¸co vetorial L^p(Ω) é separável e, para 1< p <∞, L^p(Ω) é reflexivo.

(22)

Defini¸cão 1.3.1: Seja H um espa¸co de Hilbert. Chama-se base Hilbertiana de H uma seqüência de elementos (ωn) de H tais que:

i) |ω_n|= 1 ∀n,(ω_n, ω_m) = 0 ∀n, m, m6=n;

ii) O espa¸co gerado pela (ω_n) ´e denso emH.

A seguinte proposi¸cão estabelece que a convergência emL^p(Ω) dá origem a uma convergência pontual.

Proposi¸cão 1.3.1: Sejam Ω ⊂ Rⁿ um aberto, 1 ≤ p ≤ ∞ , u ∈ L^p(Ω) e (uk)_k∈_N uma seqüência em L^p(Ω) convergindo para u em L^p(Ω). Então existe uma subseqüência de (u_k), ainda denotada por (uk), tal que:

i) u_k(x)−→u(x),q.s. em Ω;

ii)|u_k(x)| ≤h(x),q.s. em Ω,∀k ∈N, com h∈L^p(Ω) Demonstra¸c˜ao: Ver [3].

1.4 Outros Resultados Importantes

A seguir enunciaremos algumas defini¸cões e resultados, de grande relevância, que serão utilizados posteriormente.

Defini¸cão 1.4.1 (Convergência Fraca): Sejam E um espa¸co de Banach e (uν)_ν∈_N uma sequência de E. Entãoo u_ν * u se, e somente se,hϕ, u_νi → hϕ, ui,∀u∈E⁰

Defini¸c˜ao 1.4.2 (Convergˆencia Fraca Estrela): Sejam Eum espa¸co de Banach,ϕ∈E⁰e (ϕ_ν)_ν∈

N uma seq¨uˆencia de E⁰. Diz-se ϕ_ν →ϕ fraco ? se, e somente se,hϕ_ν, ui → hϕ, ui,∀u∈E Teorema 1.4.1- (Banach - Steinhaus):

Sejam E e F dois espa¸cos de Banach. Seja (T_i)i∈I uma fam´ılia (n˜ao necessariamente enumer´avel) de operadores lineares e cont´ınuos de E em F.

Suponhamos que sup

i∈I

kTiXk<∞, ∀ x∈E. Ent˜ao: sup

i∈I

kTiXkL(E,F) <∞

Dito de outro modo, existe uma constante C tal que kT_ixk ≤Ckxk, ∀ x∈E e∀ i∈I

(23)

Demonstra¸c˜ao: Veja [3]

Proposi¸c˜ao 1.4.1: Seja E um espa¸co de Banach e (x_n) uma sucess˜ao em E. Se verifica:

(I) [x_n * xem σ(E, E⁰)] [hf, x_ni → hf, xi,∀ f ∈E⁰]

(II) Se x_n→x fortemente, ent˜ao x_n* x fracamente paraσ(E, E⁰)

(III) Sex_n * xfracamente para σ(E, E⁰), ent˜aokx_nk´e limitada ekxk ≤lim infkx_nk

(IV) Sex_n * xfracamente emσ(E, E⁰) e sef_n→f fortemente emE⁰(isto ´e,kf_n−fk_E⁰ →0), ent˜ao hf_n, x_ni → hf, xi

Observa¸cão 1.4.1- A parte (III) da proposi¸cão (1.1) é uma consequência do teorema de Banach-Steinhaus.

Proposi¸c˜ao 1.4.2 - Seja E um espa¸co de Banach e (f_n) uma sucess˜ao emE⁰. Se verifica:

(I) [f_n* f em σ(E^? ⁰, E)]⇐⇒ [hf_n, xi −→ hf, xi,∀ x∈E]

(II) Se f_n →f forte, ent˜ao f_n * f em σ(E⁰, E⁰⁰)

(III) Sef_n * f em σ(E⁰, E⁰⁰), ent˜ao f_n* f^? em σ(E⁰, E)

(IV) Sef_n* f^? em σ(E⁰, E), ent˜ao kf_nk esta limitada e kfk ≤lim infkf_nk.

(V) Se Sef_n* f^? em σ(E⁰, E) e se x_n→x fortemente em E, ent˜aohf_n, x_ni → hf, xi.

Teorema 1.4.2: Seja E um espa¸co de Banach separável e seja (f_n) uma sucessão limitada em E⁰. Então existe uma subsucessão (f_n_k) que converge na topologia σ(E⁰, E).

Teorema 1.4.3 (Banach-Alaoglu):

(24)

Sejam E um espa¸co de Banach separável eE⁰ o seu dual topológico. Então o conjunto:

B_E⁰ ={f ∈E⁰;kfk ≤1}´e compacto na topologia fraca estrela.

Lema 1.4.1: (Compacidade de Aubin-Lions): Sejam 1 < p_i < ∞, i = 0,1 e B₀, B, B₁ espa¸cos de Banach sendo que B0 e B1 s˜ao reflexivos tais que B0

,→c B ,→B1 (,→^c indica imers˜ao compacta). Para 0< T <∞, consideremos o espa¸co

W ={w; w∈L^p⁰(0, T;B₀) e w⁰ ∈L^p¹(0, T;B₁)}, com a norma kwk_W =kwk_L^P0(0,T;B0)+kwk_L^P1(0,T;B1). Ent˜ao:

(I)W ´e um espa¸co de Banach (II)W ,→^c L^P⁰(0, T;B)

Observa¸cão 1.4.1: Como conseqüência da Compacidade de Aubin-Lions, temos que se (u_ν)_ν∈IN é uma seqüência limitada emL²(0, T;B₀) e (u⁰_ν)_ν∈IN uma seqüência limitada emL²(0, T;B₁) então (u_ν)_ν∈

N é limitada em W. Da´ı, segue que existe uma subseqüência (u_ν_k)_k∈IN de (u_ν) tal que u_ν_k −→uforte em L²(0, T;B).

Teorema de Carath´ eodory - Prolongamento de Solu¸ c˜ ao

O próximo resultado, é de grande importância para solu¸cão de nosso problema principal, visto que, nos permite prolongar a solu¸cão, ou seja, a solu¸cão se torna global. Vejamos primeiramente algumas condi¸cões para depois enunciarmos e demonstrarmos o teorema a seguir.

Sejam D⊂ IRⁿ⁺¹ e f :D→IRⁿ. Dizemos que f satisfaz as condi¸c˜oes de Carath´eodory sobre D se:

i)f(t, x) ´e mensur´avel emt, para cadax fixo;

ii)f(t, x) ´e cont´ınua em x, para cadat fixo;

iii) Para cada compactoK em D, existe uma fun¸c˜ao real integr´avel m_K(t) tal que:

|f(t, x)| ≤m_K(t),∀(t, x)∈D (1.1)

(25)

Consideremos o retˆangulo R=

(t, x)∈IRⁿ⁺¹; |t−t₀| ≤a,|x−x₀| ≤b} , com a, b >0.

Teorema 1.4.4 (Carathéodory): Sejaf :R→IRⁿsatisfazendo as condi¸cões de Carathéodory sobre R. Então, sobre algum intervalo |t−t₀| ≤ β (β >0), existe uma solu¸cão do problema de valor inicial:

( X⁰ =f(t, X) X(t₀) =X₀

(1.2)

Prova: Vamos mostrar para o caso t≥τ.Definimos a fun¸c˜ao M

M(t) = 0 (t < τ) (1.3)

M(t) = Z t

τ

m(s)ds (τ ≤t≤τ +a) (1.4)

M ´e cont´ınua e n˜ao decrescente, pois m(t)≥0 M(τ) = 0

Portanto, (t, ξ±M(t))∈R para algum intervalo τ ≤t≤τ +β. Escolhendo β de modo que τ +β ≤τ +a definimos as seguintes aproxima¸c˜oesϕj (j = 1,2, . . .) por:

ϕ_j(t) =ξ

τ ≤t≤τ +β j

(1.5)

ϕ_j(t) =ξ+

Z t−β/j τ

f(s, ϕ_j(s))ds

τ +β

j < t≤τ+β

(1.6)

Note que ϕ₁(t) = ξ ∀t ∈(τ, τ +β)

Fixadoj ≥1 a integral em (1.6) s´o tem sentido se:

τ < t− β

j < τ +β

j ⇔τ+ β

j < t≤τ +2β j

Da´ı segue, que em (1.6) tem-seϕ_j cont´ınua emτ ≤t≤τ+β

j e, pelo exposto acima, desde que (t, ξ)∈R a equa¸c˜ao (1.6) define ϕ_j como uma fun¸c˜ao cont´ınua no intervaloτ+β

j < t≤τ+2β j e al´em disso, temos:

(26)

ϕ_j(t) =ξ+

Z t−β/j τ

f(s, ϕ(s))ds ⇒ |ϕ_j(t)−ξ|=

Z t−β/j τ

f(s, ϕ(s))ds

|ϕ_j(t)−ξ| ≤

Z t−β/j τ

|f(s, ϕ(s))|ds⇒ |ϕ_j(t)−ξ| ≤

Z t−β/j τ

m(s)ds, por (1.1) e, portanto,

|ϕ_j(t)−ξ| ≤M

t− β j

(1.7)

Afirma¸c˜ao:

ϕ_j(t) é uma fun¸cão cont´ınua emτ ≤t≤τ+β.Provamos essa afirma¸cão usando indu¸cão finita

Paran = 1 ok!

Suponha que paran =k,ϕ_j esteja definida emτ ≤t ≤τ+kβ

j para 1< k < j. Assim temos que:

ϕ_j(t) =ξ+

Z τ−^kβ_j τ

f(s, ϕ_j(s))ds.

De modo an´alogo, conclu´ımos queϕj(t) ´e cont´ınua emτ+kτ

j ≤t≤τ+(k+ 1)τ

j .Portanto, ϕ_j(t) ´e cont´ınua em τ ≤t≤τ +(k+ 1)τ

j . E f´´ acil ver que ϕ_j satisfaz (1.7).

Segue-se então que, por indu¸cão, (1.6) define ϕ_j como uma fun¸cão cont´ınua emτ ≤t ≤τ+β, para todo j ∈IN satisfazendo:

ϕ_j(t) = ξ τ ≤t≤τ +β j

|ϕ_j(t)−ξ| ≤ M

t−β j

τ+ β

j ≤t≤τ+β Afirma¸c˜ao:

ϕj ´e equicont´ınua

Devemos mostrar que dado >0 existeδ >0 tal que para quaisquert₁, t₂ tais que|t₁−t₂|< δ temos |ϕ_j(t₁)−ϕ_j(t₂)|< ∀j. Sabemos que:

(27)

|ϕ_j(t₁)−ϕ_j(t₂)| ≤

M

t₁− β j

−M

t₂− β j

SendoM cont´ınua em [τ, τ +β] vem queM ´e uniformemente cont´ınua. Logo,

|t1−t2|=

t1 −β

j

−

t2−β j

< δ ⇒

M

t1−β j

−M

t2−β j

< .

Donde segue nossa afirma¸c˜ao.

Afirma¸c˜ao:

ϕ_j ´e equilimitada

Note que |ϕ_j(t)−ξ| ≤M

t− β j

∀j ∈IN

SendoM cont´ınua em [τ, τ+β] logo limitada, ent˜ao existeC > 0 tal que |M(t)| ≤C. Desde que:

|ϕ_j(t)−ξ| ≤M

t− β j

Segue que|ϕ_j(t)| ≤ |ξ|+C ∀j ∈IN

Desta forma, a sequência (ϕ_j) está nas condi¸cões do teorema de Àrzela-Ascoli, Assim existe uma subsequência (ϕ_j_k) que converge uniformemente em [τ, τ +β] para uma fun¸cão continuaϕ.

Mostremos que tal fun¸cão limite, é solu¸cão de (1.2)

Sendof(t, x) cont´ınua em x para cada t fixo decorre que: f(t, ϕ_j_k(t))−→f(t, ϕ(t)) ∀t∈IR Usando (1.1) segue que: |f(t, ϕ_j_k)(t)| ≤m(t)

Desde que m(t) é Lebesgue integrável a fun¸cão f está nas condi¸cões do teorema da con- vergência dominada de Lebesgue, resultando portanto:

k→∞lim Z t

τ

f(s, ϕ_j_k(s))ds= Z t

τ

f(s, ϕ(s))ds

(28)

Para todo t∈[τ, τ +β] temos:

ϕ_j_k(t) =ξ+ Z t

τ

f(s, ϕ_j_k(s))ds− Z t

t−β/j_k

f(s, ϕ_j_k(s))ds

Quando, k→ ∞ o segundo termo integral tende a zero, e usando as considera¸c˜oes anteriores vem que:

ϕ(t) = ξ+ Z t

τ

f(s, ϕ(s))ds

Donde segue o resultado.

Corol´ario 1.4.1 (Prolongamento de solu¸c˜ao):

Seja D = [0, ω]×B, com 0 < ω < ∞, B = {x∈Rⁿ;|x| ≤b}, b > 0 e f nas condi¸cões de Carathéodory. Seja ainda ϕ(t) uma solu¸cão de:







X⁰ =f(t, X)

X(0) =X₀, |X₀| ≤b.

Suponhamos que em qualquer intervaloI ondeϕ(t) está definida, se tenha,|ϕ(t)| ≤M, para todo t∈I, M independente det e M < b. Entãoϕ tem um prolongamento até [0, ω].

Lema 1.4.1 (Lema de Gronwall) : Sejam ϕ, ψ : [a, b] → IR fun¸c˜oes cont´ınuas e n˜ao- negativas.

Seϕ(t)≤α+ Z t

a

ϕ(s)ψ(s)ds, (com α≥0), ent˜ao: ϕ(t)≤αexp Z t

a

ψ(s)ds

,∀t ∈[a, b].

Em particular, ϕ(t) ´e limitada e se α = 0, ent˜aoϕ ≡0.

Demonstra¸c˜ao:

Fazendo ω(t) = α+ Z t

a

ϕ(s)ψ(s)ds, decorre da hip´otese que ϕ(t) ≤ ω(t) e pelo teorema fundamental do c´alculo, segue que ω⁰(t) =ϕ(t)ψ(t). Logo,ω⁰(t)≤ω(t)ψ(t), donde segue:

ω⁰(t)

ω(t) ≤ψ(t)

(29)

Integrando a ´ultima desigualdade dea at´e t, obtemos:

Z t a

ω⁰(s) ω(s)ds≤

Z t a

ψ(s)ds

Assim, Z t

a

d

dsln (ω(s))ds≤ Z t

a

ψ(s)ds Portanto,

ln

ω(t) ω(a)

≤ Z t

a

ψ(s)ds, isto ´e,

ω(t)≤αexp Z t

a

ψ(s)ds

, t∈[a, b]

Desta desigualdade e de ϕ(t)≤ ω(t), segue o Lema.

Lema 1.4.2: Seja γ(t) cont´ınua e n˜ao-negativa em [0, T]. Se:

γ(t)≤C₁+C₂ Z t

a

γ(t) +γ(t)²

ds, 0≤t≤T, ent˜ao existemT₀ >0 e C > 0 tais que:

γ(t)≤C,∀t ∈[0, T₀] C₁, C₂ ≥0.

Demonstra¸c˜ao:

Sejam ϕ(t) = Z t

a

γ(t) +γ(t)²

ds e Y (t) =C₁+C₂ϕ(t).

Decorre da hip´otese que:

γ(t)≤C₁+C₂ϕ(t) Ou ainda,

γ²(t)≤[C₁+C₂ϕ(t)]²

E pelo Teorema Fundamental do C´alculo segue,

(30)

ϕ⁰(t) =γ(t) +γ(t)², logo,

ϕ⁰(t)≤Y (t) +Y²(t) (1.8)

Por outro lado,Y⁰(t) = C₂ϕ⁰(t)≤C₂[Y (t) +Y²(t)], da´ı segue:

Y⁰(t)≤C₂[Y (t) +Y²(t)], 0≤t≤T (1.9)

Observando que:

d dt

Y (t)e^−c²^t

=Y⁰(t)e^−c²^t+C₂Y (t)e^−c²^t e aplicando em (1.9), segue d

dt

Y (t)e^−c²^t

≤C₂Y²(t)e^−c²^t (1.10)

Integrando a ´ultima desigualdade de 0 at´eT e notando que Y (0) =C₁, resulta:

Y (t)≤C₁e^c²^t+C₂e^c²^t Z t

0

Y²(s)e^−c²^sds (1.11)

Seja z(t) = Z t

0

Y²(s)e^−c²^sds. Assim resulta de (1.11) que Y (t) ≤ [C1+C2z(t)]e^c²^t e, novamente pelo Teorema Fundamental do C´alculo:

z⁰(t) = Y²(t)e^−c²^sdt Logo,

z⁰(t)≤[C1+C2z(t)]²e^c²^t, donde segue, z⁰(t)

[C₁+C₂z(t)]² ≤e^c²^t Integrando a ´ultima desigualdade de 0 at´et, obtemos:

Z t 0

z⁰(t)

[C₁+C₂z(t)]²dt ≤ Z t

0

e^c²^tdt

Da´ı segue,

− 1

[C₁+C₂z(t)] + 1

C₁ ≤ e^c²^t C₂ − 1

C₂, ou ainda, 1

[C₁ +C₂z(t)] ≥ 1

C₁ −e^c²^t C₂ + 1

C₂ Agora suponha que,

(31)

1

C₁ −e^c²^t C₂ + 1

C₂ >0 ⇐⇒ 1 C₁ + 1

C₂ > e^c²^t

C₂ ⇐⇒ C₂t <ln

1 + C₂ C₁

Logo, t < 1

C2

ln

1 + C₂ C1

SejaT^∗ = 1 C₂ ln

1 + C2

C₁

onde T^∗ >0

EscolhaT₀ tal que 0< T₀ < T^∗, ent˜ao 0 ≤t ≤T₀ isto implica que:

C1+C2z(t)≤ 1

C₁ − e^c²^t C₂ + 1

C₂ −1

, ou ainda, C1 +C2z(t)≤ 1

C₁ − e^c²^T⁰ C₂ + 1

C₂ ⁻¹

Assim,

Y (t)≤(C₁+C₂z(t))e^c²^t

Por outro lado,

(C₁+C₂z(t))e^c²^t≤ 1

C₁ − e^c²^T⁰ C₂ + 1

C₂

e^c²^T⁰

Portanto,

Y (t)≤C, 0≤t ≤T₀

Desta desigualdade eγ(t) =Y (t), segue o Lema

(32)

Cap´ıtulo 2

Introdu¸ c˜ ao ` a Teoria das Distribui¸ c˜ oes e aos Espa¸ cos de Sobolev

Neste cap´ıtulo vamos introduzir à teoria de Distribui¸cões e os Espa¸cos de Sobolev, tais tópicos, nos permitem extender o conceito de solu¸cão de uma e.d.p. No que se segue, estaremos fazendo defini¸cões, nota¸cões, proposi¸cões, lemas e teoremas que servirão de base teórica para o bom entendimento do problema principal. Dessa maneira, não nos preocuparemos com todas as demonstra¸cões dos resultados utilizados de forma preliminar, mas mencionaremos o referencial bibliográfico para posterior consulta.

2.1 Teoria das Distribui¸ c˜ oes Escalares

2.1.1 Espa¸ cos Fun¸ c˜ oes Testes

Sejam Ω ⊂ Rⁿ um aberto limitado e ϕ : Ω → R, uma fun¸c˜ao cont´ınua. Denominamos suporte de ϕ, ao fecho, em Ω, do conjunto dos pontos x pertencentes a Ω onde ϕ n˜ao se anula.

Denota-se o suporte de ϕ por supp(ϕ). Simbolicamente, tem-se:

supp(ϕ) ={x∈Ω;ϕ(x)6= 0} em Ω.

Usando a defini¸cão conclui-se que o supp(ϕ) é o menor fechado fora do qual ϕ se anula e valem as seguintes rela¸cões:

1)supp(ϕ+ψ)⊂supp(ϕ)∪supp(ψ) 2)supp(ϕψ)⊂supp(ϕ)∩supp(ψ) 3)supp(λϕ) = λ supp(ϕ), λ∈R− {0}.

(33)

Exemplo 2.1.1: Seja ϕ: (0,1)→IR tal que ϕ(x) = 1,∀x∈(0,1) : Verifica-se que o supp(ϕ) = (0,1),n˜ao ´e um conjunto compacto.

Neste nosso estudo, damos um destaque especial as fun¸cões ϕ : Ω −→IR, com suporte compacto contido em Ω que , sejam infinitamente diferenciáveis. Com esse intuito defininamos o espa¸cos C₀^∞(Ω), como sendo o espa¸co vetorial das fun¸cões indefinidamente diferenciáveis e suporte compacto contido em Ω. Os elementos de C₀^∞(Ω) são denominados fun¸cões testes em Ω.

Exemplo 2.1.2: Dados x₀ ∈ Rⁿ, r > 0, denotamos por B_r(x₀) a bola aberta de centro x₀de raior, isto ´e,B_r(x₀) ={x∈Rⁿ;kx−x₀k< r}. SeB_r(x₀)⊂Ω , define-seϕ: Ω−→Rpor:

ϕ(x) =









 exp

r² kx−x₀k²−r²

se kx−x₀k< r 0 se kx−x₀k ≥r.

Neste exemplo, verificamos que supp(ϕ) =B_r(x₀) é um compacto e que C₀^∞(Ω) é não vazio.

O espa¸co C₀^∞(Ω) ´e de grande importˆancia para o nosso estudo, visto que estamos interessados em estudar funcionais lineares continuos definidos em C₀^∞(Ω)

Observa¸cão 2.1.1: Por um multi-´ındice, entendemos, uma n-upla α = (α1, . . . , αn) de números inteiros não negativos. Denotamos por |α| = α₁+· · ·+α_n a ordem do multi-´ındice e por D^α o operador deriva¸cão parcial, de ordem |α|,

D^α= ∂^|α|

∂x^α1¹. . . ∂_x^α_nⁿ

Paraα = (0, . . . ,0), temos por defini¸c˜aoD⁰ϕ =ϕ

A seguir daremos no¸cões de convergência em C₀^∞(Ω), tornando-o um espa¸co vetorial topológico.

2.1.2 Convergˆ encia em C

₀^∞

(Ω)

Dizemos que uma sucessão (ϕ_n)n∈Nde fun¸cões emC₀^∞(Ω) converge paraϕ emC₀^∞(Ω) quando forem satisfeitas as seguintes condi¸cões:

i) Existe um conjunto compactoK ⊂Ω tal que supp(ϕ)⊂K e supp(ϕ_n)⊂K,∀n∈IN

(34)

ii)D^αϕ_n−→D^αϕ uniformemente em K para todo multi-´ındiceα.

O espa¸co vetorial C₀^∞(Ω), junto com a no¸cão de convergência definida acima é um espa¸co vetorial topológico que denotamos por D(Ω), e é denominado espa¸cos das fun¸cões testes.

Observa¸c˜ao 2.1.2: Sendo Ω limitado, obtemos D(Ω) ,→ L^p(Ω) ∀ p, tal que 1 ≤ p < ∞, com imers˜ao cont´ınua e densa. De fato, dado ϕ∈ D(Ω), temos que:

Z

Ω

|ϕ(x)|^pdx≤sup

x∈Ω

|ϕ(x)|^pm(Ω)<∞

Isto prova a inclus˜ao alg´ebrica. Para a continuidade, sejaϕ_n →ϕemD(Ω). Mostraremos que:

Z

Ω

|ϕ_n(x)−ϕ(x)|^pdx→0 note que,

Z

Ω

|ϕ_n(x)−ϕ(x)|^pdx= Z

K

|ϕ_n(x)−ϕ(x)|^pdx

Logo pelo Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue,

n→∞lim Z

Ω

|ϕn(x)−ϕ(x)|^pdx= lim

n→∞

Z

K

|ϕn(x)−ϕ(x)|^pdx

= Z

K

n→∞lim |ϕ_n(x)−ϕ(x)|^pdx= 0

Podemos ainda mostrar que a imers˜ao anterior ´e densa. Para isso ver [12]

2.1.3 Distribui¸ c˜ oes Escalares

Com o intuito de generalizar o conceito de fun¸c˜oes sobre Ω, introduz-se o conceito de distribui¸c˜oes escalares.

Denomina-se distribui¸cão escalar sobre Ω a toda forma linear e cont´ınua sobre D(Ω), isto é, uma fun¸cãoT :D(Ω) −→R que satisfaz as seguintes condi¸cões:

i)T (αϕ+βψ) = αT(ϕ) +βT(ψ),∀ϕ, ψ∈ D(Ω),∀α, β ∈R. ii)T ´e cont´ınua, isto ´e, se (ϕ_ν)_ν∈

N converge paraϕ, em D(Ω), ent˜aoT (ϕ_ν)→T (ϕ) em IR.

(35)

O valor da distribui¸cão T na fun¸cão teste ϕ, é denotado por hT, ϕi. Muniremos o espa¸co vetorial das distribui¸cões escalares da seguinte no¸cão de convergência:

Considera-se o espa¸co de todas as distribui¸cões sobre Ω. Neste espa¸co, diz-se que a sucessão (T_ν)ν∈N, converge para T, quando a sucessão (hT_ν, ϕi)_ν∈

N converge para hT, ϕi em IR para toda ϕ ∈ D(Ω). O espa¸co das distribui¸cões sobre Ω, com esta no¸cão de convergência é denotado por D⁰(Ω).

As distribui¸cões que aparecem com mais freqüência são aquelas definidas a partir de fun¸cões localmente integráveis.

Defini¸cão 2.1.1: Diz-se que uma fun¸cãou: Ω−→Ré localmente integrável em Ω.quando u

´

e integrável á Lebesgue em todo compacto K ⊂Ω. O espa¸co das fun¸cões localmente integráveis

´

e denotado por L¹_loc(Ω). Em s´ımbolo temos:

u∈L¹_loc(Ω)⇐⇒

Z

K

|u(x)|dx <∞ para todo compactoK ⊂Ω.

Exemplo 2.1.3: Seja u∈L¹_loc(Ω) e definamos T_u :D(Ω) −→Rpor:

hT_u, ϕi= Z

Ω

u(x)ϕ(x)dx Nestas condi¸cões T_u é uma distribui¸cão escalar sobre Ω.

De fato, n˜ao ´e dif´ıcil mostrar a linearidade de T_u, pois segue da linearidade da integral.

Resta-nos mostrar que Tu é cont´ınua; seja dada uma seqüência (ϕν)_ν∈_N de fun¸cões testes sobre Ω convergindo em D(Ω) para uma fun¸cão teste ϕ. Então:

|hT_u, ϕ_νi − hT_u, ϕi|=|hT_u, ϕ_ν −ϕi|= Z

Ω

u(x) (ϕ_ν−ϕ) (x)dx

≤ Z

Ω

|u(x) (ϕν−ϕ) (x)|dx

≤sup|ϕ_ν −ϕ|

Z

Ω

|u(x)|dx→0.

Pois,ϕ_ν →ϕ uniformemente.

A distribui¸cãoT_u assim definida é dita “gerada pela fun¸cão localmente integrávelu”e, usando

(36)

Lema Du Bois Raymond, tem-se que T_u é univocamente determinada poru, no seguinte sentido: Tu =Tv se, e somente se, u =v quase sempre em Ω. Neste sentido identificamos u com a distribui¸cão T_u e o espa¸co L¹_loc(Ω) das fun¸cões localmente integráveis pode ser visto como parte do espa¸co das distribui¸cõesD⁰(Ω).

Lema 2.1.1 (de Du Bois Raymond): Seja u ∈ L¹_loc(Ω). Ent˜ao T_u = 0 se, e somente se, u= 0 quase sempre em Ω.

Demonstra¸c˜ao: ver [12].

Vale ressaltar que existem distribui¸cões não definidas por fun¸cões de L¹_loc(Ω), como pode ser visto no exemplo a seguir.

Exemplo 2.1.4: Seja x0 um ponto de Ω e definamos a fun¸c˜ao δx0 :D(Ω)→IR dada por:

< δ_x₀, ϕ >=ϕ(x₀)

E f´´ acil verificar que δx0 é uma distribui¸cão. Tal distribui¸cão é conhecida por Distribui¸cão de Dirac, em homenagem ao f´ısico inglês Paul A.M. Dirac (1902-1984). Entretanto, mostra-se que a distribui¸cãoδx0 não é definida por uma fun¸cão u∈L¹_loc(Ω), isto é, não existeu∈L¹_loc(Ω) tal que:

Z

Ω

u(x)ϕ(x)dx=ϕ(x₀),∀ϕ ∈ D(Ω)

De fato, suponhamos que a distribui¸cãoδ_x₀ é definida por alguma fun¸cão u∈L¹_loc(Ω). Então tem-se:

< δ_x₀, ϕ >=

Z

Ω

u(x)ϕ(x)dx=ϕ(x₀),∀ϕ∈ D(Ω) Tomandoξ ∈ D(Ω) definida por: ξ(x) = kx−x0k²ϕ(x), segue-se que:

ξ(x₀) =< δ_x₀, ξ >=

Z

Ω

u(x)kx−x₀k²ϕ(x)dx= 0,∀ξ∈ D(Ω)

Portanto, tem-se kx−x₀k²u(x) = 0 quase sempre em Ω, logo u(x) = 0 quase sempre em Ω, isto é, < δx0, ϕ >= 0,∀ϕ∈ D(Ω), ou seja, ϕ(x0) = 0, ϕ∈ D(Ω), que é uma contradi¸cão.

(37)

Com essa no¸cão de convergência,D⁰(Ω) passa a ser um espa¸co vetorial topológico e temos a seguinte cadeia de inje¸cões cont´ınuas e densas:

D(Ω) ,→L^P (Ω),→L¹_loc(Ω) ,→D⁰(Ω),1≤p < ∞

2.1.4 Convergˆ encia e Derivada Distribucional

Com o intuito de estudar os espa¸cos de Sobolev, introduz-se o conceito de derivada distribucional para objetos de D⁰(Ω)

A motiva¸cão no conceito de derivada fraca e, posteriormente, o conceito de derivada distribucional, dado por Sobolev, se deve a fórmula de integra¸cão por partes do Cálculo, sendo este conceito generalizado para distribui¸cões quaisquer em D⁰(Ω).

SejaT uma distribui¸cão sobre Ω eαum multi-´ındece. A derivada (no sentido das distribui¸cões de ordem α de T é definida como sendo o funcional linear:

D^αT :D(Ω) →IR, tal que:

hD^αT, ϕi= (−1)^|α|hT, D^αϕi, ϕ∈ D(Ω)

Segue da defini¸c˜ao acima que cada distribui¸c˜aoT sobre Ω possui derivadas de todas as ordens.

Assim as fun¸c˜oes deL¹_loc(Ω) possuem derivadas de todas as ordens no sentido das distribui¸c˜oes.

Observe que a aplica¸c˜ao:

D^α :D⁰(Ω)→ D⁰(Ω)

´

e linear e cont´ınua no sentido da convergˆencia definida em D⁰(Ω). Isto significa que:

v−→∞lim T_v =T em D⁰(Ω) ent˜ao lim

v−→∞D^αT_v =D^αT em D⁰(Ω)

Observa¸cão 2.1.2: Outro resultado interessante a ser mercionado é que a derivada de uma fun¸cãoL¹_loc(Ω), que não é, em geral, uma fun¸cãoL¹_loc(Ω), como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo 2.1.5: Seja u a fun¸cão de Heaviside, isto é, u é definida em IR e tem a seguinte forma:

(38)

u(x) =

1 se x >0 0 se x <0 , assumindo qualquer valor em x= 0.

Esta fun¸c˜ao u pertence a L¹_loc(Ω) mas sua derivada u⁰ = δ0 n˜ao pertence a L¹_loc(Ω). Como δ₀ ∈/ L¹_loc(Ω), basta verificar que u⁰ =δ₀.

De fato:

< u⁰, ϕ >=−< u, ϕ⁰ >=− Z ∞

0

ϕ⁰(x)dx= Z 0

∞

ϕ⁰(x)dx =ϕ(0) =δ₀, ϕ >,∀ϕ ∈ D(Ω)

Tal fato, motivará a defini¸cão de uma classe significativa de espa¸cos de Banach de fun¸cões, conhecidos sob a denomina¸cão de Espa¸cos de Sobolev.

Observa¸cão 2.1.3: Seu∈C^k(IRⁿ), para cada|α| ≤k , então a no¸cão de derivada no sentido clássico coincide com a no¸cão derivada no sentido das distribui¸cões, isto é:

D^αT_u =T_D^α_u∀ |α| ≤k,

´

e uma conseqüência simples da fórmula de integra¸cão deGauss.

2.2 Espa¸ cos de Sobolev

Apresentaremos nesta se¸cão uma classe de espa¸cos fundamentais para o estudo das Equa¸cões Diferenciais Parciais, que são os espa¸cos de Sobolev.

2.2.1 O espa¸ co H

^m

(Ω)

Seja Ω um aberto do IRⁿ com fronteira bastante regular Γ. Foi observado na se¸cão anterior que se u ∈ L^p(Ω), u possui derivadas de todas as ordens no sentido das distribui¸cões. Viu-se que D^αu não é, em geral, uma distribui¸cão definida por uma fun¸cão de L^p(Ω), pois estamos interessados em espa¸cos de distribui¸cões u∈L^p(Ω) cujas derivadas distribucionais permane¸cam em L^p(Ω); tais espa¸cos serão denominados Espa¸cos de Sobolev.

(39)

O espa¸co vetorial L^p(Ω), 1 ≤ p < ∞, é o espa¸co das (classes de) fun¸cões reais v : Ω → R, mensuráveis, tais que |v|^p é integrável a Lebesgue em Ω.

Este espa¸co quando munido da norma:

|v|_Lp(Ω) = Z

Ω

|v(x)|^pdx 1/p

,

´

e espa¸co de Banach Ver [3].

O conjunto de todas as fun¸cões mensuráveisv essencialmente limitadas em Ω é denotado por L^∞(Ω), define-se a norma de v por:

kvkL∞(Ω) =supess|v(x)|,∀v ∈L^∞(Ω) O espa¸co L^∞(Ω) ´e tamb´em um espa¸co de Banach Ver [3].

No caso particular ondep= 2, temos queL²(Ω) ´e um espa¸co deHilbert. Neste caso o produto interno ´e dado por:

(u, v)

L2(Ω) = Z

Ω

u(x)v(x)dx, cuja norma induzida ´e:

|u|L2(Ω) = Z

Ω

|u|²dx 1/2

Dados um inteiro m >0 e 1 ≤p≤ ∞, o espa¸co de Sobolev de ordemm sobre Ω, ´e o espa¸co vetorial denotado por W^m,p(Ω), constitu´ıdo das fun¸c˜oesu∈L^p(Ω) para as quaisD^αu∈L^p(Ω), para todo multi-´ındice α, com |α| ≤m. Em s´ımbolo temos:

W^m,p(Ω) ={u∈L^p(Ω) : D^αu∈L^p(Ω),∀α,multi-´ındice, com |α| ≤m}

O espa¸co W^m,p(Ω) ser´a munido da norma

kuk_Wm,p(Ω) =



 X

|α|≤m

kD^αuk^p_Lp(Ω)





1/p

,1≤p < ∞