PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E SUAS APLICAÇÕES

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOI ÁS INSTITUTO DE MATEM ÁTICA E ESTATÍSTICA

CURSO DE ESTAT´ISTICA

PROCESSOS ESTOC ´ ASTICOS E SUAS APLICAC ¸ ˜ OES

VALDIVINO VARGAS J ´UNIOR

GOI ˆANIA, 2015

(2)

VALDIVINO VARGAS J ´ UNIOR

PROCESSOS ESTOC ´ ASTICOS E SUAS APLICAC ¸ ˜ OES

vvjunior@gmail.com

(3)

Sum´ ario

1 Conceitos de Probabilidade 2

1.1 Introdu¸c˜ao . . . 2

1.2 Vari´aveis Aleat´orias . . . 4

1.3 Vetores Aleat´orios . . . 6

1.4 Desigualdades . . . 8

1.5 Teoremas Limites . . . 8

1.6 Exerc´ıcios . . . 10

2 Distribui¸c˜oes Condicionais 13 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 13

2.2 Distribui¸c˜oes Condicionais . . . 13

2.3 Esperan¸ca Condicional . . . 15

3 Introdu¸cão aos Processos Estocásticos 29 3.1 Introdu¸cão . . . 29

3.2 Caracteriza¸c˜ao de Processos Estoc´asticos . . . 31

3.2.1 Descri¸c˜ao Probabil´ıstica . . . 31

3.2.2 Fun¸c˜oes do Processo . . . 34

3.3 Classifica¸c˜ao de Processos Estoc´asticos . . . 36

4 Processo de Bernoulli 41 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 41

4.2 Caracteriza¸c˜ao Adicional do Processo de Bernoulli . . . 43

3

(4)

5 Processos de Poisson 48

5.1 Introdu¸c˜ao . . . 48

5.2 Superposi¸c˜ao de Processos de Poisson . . . 57

5.3 Decomposi¸c˜ao de Processos de Poisson . . . 58

5.4 Processo de Poisson Composto . . . 61

5.5 Processo de Poisson N˜ao Homogˆeneo . . . 62

6 Processos de Renova¸c˜ao 75 6.1 Introdu¸c˜ao . . . 75

6.2 Estrutura do Processo . . . 76

6.3 Teoremas Limite . . . 79

7 Cadeias de Markov a Tempo Discreto 86 7.1 Introdu¸c˜ao . . . 86

7.2 Propriedades da Matriz de Transi¸c˜ao . . . 88

7.3 Distribui¸c˜oes no Processo . . . 96

7.4 Estrutura do Espa¸co de Estados de um Processo Markoviano . . . 105

8 Passeios Aleatórios 135 8.1 Introdu¸cão aos Passeios Aleatórios . . . 135

8.2 Distribui¸c˜oes do Processo . . . 136

9 Processos de Ramifica¸c˜ao 154 9.1 Introdu¸c˜ao . . . 154

9.2 Probabilidade de Extin¸c˜ao . . . 155

10 Martingale 161 10.1 Introdu¸c˜ao . . . 161

10.2 Exemplos e Aplica¸c˜oes . . . 163

10.3 Exerc´ıcios . . . 164

(5)

11 Cadeias de Markov a Tempo Cont´ınuo 166

11.1 Introdu¸c˜ao . . . 166

11.2 Estrutura da Cadeia . . . 169

11.3 Gerador Infinitesimal . . . 170

11.5 Processos de Nascimento e Morte . . . 178

11.6 Filas . . . 183

11.7 Exerc´ıcios . . . 185

12 Modelos de Provas 195 12.1 Provas 2011 . . . 195

12.1.1 Prova 1 . . . 195

12.1.2 Prova 2 . . . 198

12.1.3 Prova 2- Segunda Chamada . . . 201

12.1.4 Prova 3 . . . 202

12.1.5 Prova Extra . . . 205

12.2 Provas 2013 . . . 207

12.2.1 Prova 1 . . . 207

12.2.2 Prova 2 . . . 211

12.2.3 Prova 3 . . . 214

12.3 Provas 2014 . . . 217

12.3.1 Prova 1 . . . 217

12.3.2 Prova 2 . . . 220

12.3.3 Prova 3 . . . 224

12.4 Provas 2015 . . . 227

12.4.1 Prova 1 . . . 227

12.4.2 Prova Extra . . . 230

12.4.3 Prova 2 . . . 231

(6)

Cap´ıtulo 1

Conceitos de Probabilidade

1.1 Introdu¸ c˜ ao

Defini¸cão 1.1.1. Um modelo probabil´ıstico é uma tripla (Ω,F,P) onde Ω é o espa¸co amostral que consiste dos poss´ıveis resultados do experimento, F é uma classe de eventos aleatórios e P é uma probabilidade. A classe de eventos aleatóriosF é uma classe de subconjuntos deΩsatisfazendo:

1. Ω∈ F;

2. Se A∈ F ent˜aoA^C∈ F;

3. Se An∈ F paran= 1,2, ... ent˜aoS∞

n=1An∈ F.

Defini¸cão 1.1.2. Uma Probabilidade é uma fun¸cãoP(.)a valores reais definida em uma classe F de eventos aleatórios de um espa¸co amostral Ω, tal que

(A1)0≤P(A)≤1, para todoA∈ F, (A2)P(Ω) = 1,

(A3) Aditividade enumer´avel: para qualquer sequˆenciaA₁, A₂, ...∈ F de eventos dois a dois disjuntos:

P

∞

[

i=1

Ai

!

=

∞

X

i=1

P(Ai).

Defini¸c˜ao 1.1.3. A tripla (Ω,F,P)´e chamada espa¸co de probabilidade.

Defini¸cão 1.1.4. Seja Ωum espa¸co amostral equiprovável, então P(A) = |A|

|Ω|, para todoA∈ F.

Observa¸cão 1.1.1. No caso de Ωfinito ou infinito enumerável, podemos definir a probabilidade na classeF de todos os subconjuntos deΩ, a qual é usualmente denotada por2^ΩouP(Ω)(conjunto das

2

(7)

partes deΩ). Neste caso, escrevendo Ω ={ω1, ω2, ...}, associamos a cadaωi,i= 1,2, ..., um n´umero p(ωi)tal quep(ωi)≥0 eP∞

i=1p(ωi) = 1. Parai= 1,2, ...,p(ωi)´e a probabilidade do evento simples ωi. A probabilidade de um eventoA∈ F ´e definida por:

P(A) = X

ωi∈A

p(ωi).

Defini¸cão 1.1.5. Seja (Ω,F,P) um espa¸co de probabilidade. Sejam A ∈ F e B ∈ F dois eventos aleatórios tais queP(B)>0. A probabilidade condicional deA dado queB ocorreu é dada por:

P(A|B) = P(A∩B) P(B) .

Teorema 1.1.1. Seja(Ω,F,P)um espa¸co de probabilidade. SejamA1, A2, . . . , An eventos aleat´orios emF tais queP(A1∩A2∩. . .∩A_n−1)>0. Ent˜ao

P(A₁∩A₂∩. . .∩A_n) =P(A₁).P(A₂|A₁).P(A₃|A₁∩A₂). . .P(A_n|A₁∩A₂∩. . .∩A_n−1).

Defini¸c˜ao 1.1.6. Seja (Ω,F,P) um espa¸co de probabilidade. Os eventos aleat´orios A1, A2, . . . , An

emF s˜ao ditos independentes se e somente se:

P(Ai₁∩Ai₂∩ · · · ∩Ai_k) =P(Ai₁).P(Ai₂).· · ·P(Ai_k) para todok= 2,3,4,· · ·n comij ∈ {1,2,3,· · ·, n}paraj = 1,2,· · ·k.

Teorema 1.1.2. Seja (Ω,F,P) um espa¸co de probabilidade e I um conjunto enumer´avel de ´ındices.

Suponha que os eventos aleatórios Bi, i∈I formem uma parti¸cão do espa¸co amostral Ω, isto é i)Bi∩Bj=∅,∀i6=j;

ii)[

i∈I

B_i= Ω;

iii)P(B_i)>0 ∀i.

Dado um evento aleat´orioA∈ F temos:

P(A) =X

i∈I

P(A|Bi).P(Bi).

Teorema 1.1.3. (Continuidade da Probabilidade) Seja(Ω,F,P)um espa¸co de probabilidade e{An} uma sequência de eventos aleatórios em F tal queAn ⊂An+1 para todon. SeA= lim_n→∞An então

P(A) = lim

n→∞P(A_n).

De forma análoga, se{An}é uma sequência de eventos aleatórios emF tal queA_n+1⊂A_n para todo neA= lim_n→∞A_n então

P(A) = lim

n→∞P(A_n).

(8)

1.2 Vari´ aveis Aleat´ orias

Defini¸cão 1.2.1. Uma variável aleatória X em um espa¸co de probabilidade(Ω,F,P)é uma fun¸cão a valores reais definida emΩ, tal que

{X ≤x}={ω∈Ω :X(ω)≤x} ∈ F;

Defini¸cão 1.2.2. A fun¸cão de distribui¸cão acumulada de uma variávelX é a fun¸cãoF =F_xdefinida por

F(x) =P(X≤x) =P(ω∈Ω :X(ω)≤x), x∈R. Propriedades fundamentais de uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao:

(F1)F é uma fun¸cão não-decrescente: x < y, entãoF(x)≤F(y).

(F2)F ´e cont´ınua a direita: sexn↓x, ent˜aoF(xn)↓F(x).

(F3) Sexn↓ −∞, ent˜ao F(xn)↓0; sexn↓+∞, ent˜aoF(xn)↓1.

Observa¸cão 1.2.1. Uma fun¸cãoF :R→Rque satisfaz (F1), (F2) e (F3) é a fun¸cão de distribui¸cão de alguma variável aleatória X.

Defini¸cão 1.2.3. Seja X uma variável aleatória discreta. A fun¸cão p(x) = P(X =x) é chamada fun¸cão de probabilidade deX.

Defini¸cão 1.2.4. Seja X uma variável aleatória cont´ınua. Então, existe uma fun¸cão f(x)≥0 tal que

F(x) = Z x

−∞

f(t)dt, ∀x∈R. A fun¸cãof(x)é chamada fun¸cão de densidade de probabilidade deX.

Observa¸c˜ao 1.2.2. Temos que

i) Sef(x)´e densidade de probabilidade deX, ent˜ao Z +∞

−∞

f(t)dt= 1.

ii) Sef(x)´e densidade de probabilidade deX, ent˜ao P(a≤X ≤b) =

Z b a

f(x)dx.

Defini¸cão 1.2.5. A esperan¸ca (média, valor esperado) de uma variável aleatória X é definida por µ_X =E(X) =X

x

xP(X =x), se X ´e discreta;

µX =E(X) = Z +∞

−∞

xf(x)dx, se X ´e cont´ınua com densidade f.

(9)

Observa¸cão 1.2.3. A esperan¸ca está definida somente quando a soma (integral) é bem definida.

Teorema 1.2.1. Seja X uma variável aleatória eh(X)uma fun¸cão de X. Então E(h(X)) =X

x

h(x)P(X=x), seX ´e discreta;

E(h(X)) = Z ∞

−∞

h(x)f(x)dx, seX ´e cont´ınua.

Defini¸cão 1.2.6. A variância de uma variável aleatóriaX integrável com esperan¸caµé dada por V ar(X) =X

x

(x−µ)²P(X =x), seX ´e discreta;

V ar(X) = Z +∞

−∞

(x−µ)²f(x)dx, seX ´e cont´ınua.

Proposi¸c˜ao 1.2.1.

V ar(X) =E(X²)−[E(X)]²=E(X²)−µ².

Defini¸cão 1.2.7. Seja X uma variável aleatória. A fun¸cão caracter´ıstica de X é uma fun¸cão ϕ: R→Cdefinida por:

ϕ(t) =E(e^itX), t∈R.

SeX ´e discreta

ϕ(t) =X

k

e^itk·P(X =k).

SeX ´e cont´ınua

ϕ(t) = Z +∞

−∞

e^itxf(x)dx,

Defini¸cão 1.2.8. SejaX uma variável aleatória. A fun¸cão geradora de momentos deX é uma fun¸cão M :R→Rdefinida por:

ϕ(t) =E(e^tX), para todo ttal que|E(e^tX)|<∞.

SeX ´e discreta

ϕ(t) =X

k

e^tk·P(X =k).

SeX ´e cont´ınua

ϕ(t) = Z +∞

−∞

e^txf(x)dx,

Defini¸cão 1.2.9. Dizemos que a variável aleatóriaXé integrável seE(X)é finita. Isto é equivalente a queE(|X|)≤ ∞.

(10)

1.3 Vetores Aleat´ orios

Defini¸c˜ao 1.3.1. Vetor Aleat´orio

Um vetor (X₁, X₂,· · · , X_n) onde X_i é variável aleatória para todo i = 1,2,· · ·, n é chamado vetor aleatório.

Defini¸c˜ao 1.3.2. Vetor Aleat´orio Discreto

Um vetor aleatório (X1, X2,· · ·, Xn) é discreto caso todas as variáveis aleatórias Xi, i= 1,2,· · ·, n sejam discretas.

Defini¸c˜ao 1.3.3. Vetor Aleat´orio Cont´ınuo

Um vetor aleatório(X1, X2,· · ·, Xn)é cont´ınuo caso todas as variáveis aleatórias Xi, i= 1,2,· · ·, n sejam cont´ınuas.

Defini¸cão 1.3.4. Fun¸cão de Distribui¸cão Acumulada Conjunta

Seja (X1, X2,· · · , Xn) um vetor aleatório. A fun¸cão Seja (X1, X2,· · · , Xn) um vetor aleatório discreto. A fun¸cão

F_X₁_;X₂_;···_;X_n(x₁;x₂;· · ·;x_n) =P(X₁≤x₁;X₂≤x₂;· · ·;X_n≤x_n)

é chamada fun¸cão de distribui¸cão acumulada conjunta do vetor aleatório(X1, X2,· · · , Xn). Defini¸cão 1.3.5. Fun¸cão de Probabilidade Conjunta

Seja(X1, X2,· · ·, Xn)um vetor aleat´orio discreto. A fun¸c˜ao

p_X₁_;X₂_;···_;X_n(x₁;x₂;· · · ;x_n) =P(X₁=x₁;X₂=x₂;· · ·;X_n=x_n)

´e chamada fun¸c˜ao de probabilidade conjunta.

Defini¸c˜ao 1.3.6. Fun¸c˜ao Densidade Conjunta

Seja (X1, X2,· · ·, Xn) um vetor aleatório cont´ınuo. A fun¸cão densidade de probabilidade conjunta, denotada porfX₁;X₂;···;x_n(x1;x2;· · ·;xn)é definida como an-ésima derivada da fun¸cão de distribui¸cão acumulada conjunta onde ela existe. Ou seja,

f_X₁_;X₂_;···_;x_n(x₁;x₂;· · ·;x_n) = ∂ⁿF_X₁_;X₂_;···_;X_n(x₁;x₂;· · ·;x_n)

∂x1∂x2· · ·∂xn

Defini¸c˜ao 1.3.7. Fun¸c˜ao de Probabilidade Marginal

Seja(X1, X2,· · ·, Xn)um vetor aleat´orio discreto. A fun¸c˜ao pX₂;···;X_n(x2;· · ·;xn) =X

x₁

pX₁;X₂;···;X_n(x1;x2;· · ·;xn)

´e chamada fun¸c˜ao de probabilidade marginal de(X₂, X₃,· · · , X_n).

(11)

Defini¸c˜ao 1.3.8. Fun¸c˜ao Densidade Marginal

Seja(X1, X2,· · ·, Xn)um vetor aleat´orio cont´ınuo. A fun¸c˜ao f_X₂_;···;X_n(x₂;· · · ;x_n) =

Z ∞

−∞

f_X₁_;X₂_;···;X_n(x₁;x₂;· · · ;x_n)dx₁

´e chamada fun¸c˜ao densidade marginal de (X₂, X₃,· · ·, X_n).

Defini¸cão 1.3.9. Independência de Variáveis Aleatórias

Seja(X1, X2,· · ·, Xn)um vetor aleatório. As variáveis aleatóriasX1, X2,· · ·, Xn são ditas independentes se para quaisquer conjuntosAi⊂R(boreliano), i= 1,2,· · ·, nvale

P(X1∈A1;X2∈A2;· · ·;Xn ∈An) =

n

Y

i=1

[P(Xi∈Ai)].

Defini¸cão 1.3.10. Covariância entre Variáveis Aleatórias Seja(X1, X2)um vetor aleatório bivariado. A fun¸cão

Cov(X1;X2) =E[(X1−E(X1))(X2−E(X2))]

é chamada covariância entre as variáveis aleatórias X₁ eX₂.

Teorema 1.3.1. Seja (X₁, X₂,· · ·, X_n) um vetor aleatório e h(X₁, X₂,· · · , X_n) uma fun¸cão de (X1, X2,· · ·, Xn). Então se(X1, X2,· · · , Xn)é discreto,

E(h(X1, X2,· · · , Xn)) =X

x₁

X

x₂

· · ·X

x_n

h(x1, x2,· · ·, xn)P(X1=x1, X2=x2,· · ·Xn=xn).

Por outro lado,(X1, X2,· · ·, Xn)se ´e cont´ınuo E(h(X1, X2,· · ·, Xn)) =

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

· · · Z ∞

−∞

h(x1, x2,· · · , xn)f(x1, x2,· · · , xn)dx1dx2· · ·dxn.

Corolário 1.3.1. Seja(X₁, X₂,· · ·, X_n)um vetor aleatório. Então seE(X₁+X₂+· · ·X_n)faz sentido

E

n

X

i=1

Xi

!

=

n

X

i=1

E(Xi).

Corolário 1.3.2. Se as variáveis aleatóriasX1, X2,· · ·, Xn são independentes então E

n

Y

i=1

X_i

!

=

n

Y

i=1

E(X_i).

Teorema 1.3.2. Se as variáveis aleatórias X₁, X₂,· · · , X_n são independentes então V ar

n

X

i=1

Xi

!

=

n

X

i=1

V ar(Xi).

(12)

1.4 Desigualdades

Teorema 1.4.1. Desigualdade de Markov

SejaX uma variável aleatória comP(X ≥0) = 1. Então, para qualquer >0, P(X ≥)≤ E(X)

. Teorema 1.4.2. Desigualdade de Markov

SejaX uma variável aleatória qualquer. Então, para qualquer >0 e para todo t >0, P(|X| ≥)≤ E(|X|^t)

^t . Teorema 1.4.3. Desigualdade de Chebyshev

SejaX uma variável aleatória comE(X)<∞. Então, para qualquer >0, P(|X−E(X)| ≥)≤ V ar(X)

² . Teorema 1.4.4. Desigualdade de Jensen

Sejah:R→R uma fun¸cão convexa. Se a variável aleatóriaX é integrável, então E(h(X))≥h(E(X)).

Teorema 1.4.5. Limitantes de Chernoff

SejaX uma variável aleatória qualquer eauma constante real. Então P(X≥a)≤e^−taMX(t)para todot >0;

P(X≤a)≤e^−taM_X(t)para todot <0.

Teorema 1.4.6. Desigualdade de Cauchy-Schwarz:

SejamX e Y variáveis aleatórias com variâncias finitas. Então

|E(XY)| ≤[E(X²)E(Y²)]¹².

Teorema 1.4.7. Desigualdade de Holder:

Suponha quep eq satisfazem p >1,q >1 e ¹_p+¹_q = 1. SejamX eY variáveis aleatórias tais que E(|X|^p)<∞eE(|Y|^q)<∞. Então

E(|XY|)≤[E(|X|^p)]¹^p[E(|Y|^q)]¹^q.

1.5 Teoremas Limites

Defini¸c˜ao 1.5.1. Convergˆencia em Probabilidade

SejamX₁, X₂, ..., X vari´aveis aleat´orias em um espa¸co de probabilidade (Ω,F,P). Dizemos que X_n

(13)

converge paraX em probabilidade (Xn

−→P X) se para qualquer >0,

P(|Xn−X|> )→0quando n→ ∞.

Defini¸c˜ao 1.5.2. Convergˆencia Quase Certa

SejamX₁, X₂, ..., X vari´aveis aleat´orias em um espa¸co de probabilidade (Ω,F,P). Dizemos que X_n converge paraX quase certamente (X_n−→^q.c. X) se o evento {ω∈Ω :X_n(ω)→X(ω)quandon→ ∞}

tem probabilidade 1.

Defini¸cão 1.5.3. Convergência em Distribui¸cão

SejamX1, X2, ..., X variáveis aleatórias. Dizemos que Xn converge para X em distribui¸cão (Xn

−→D

X) se

P(Xn ≤x)→P(X ≤x)quando n→ ∞.

Teorema 1.5.1. Lei Fraca dos Grandes N´umeros

SejaX1, X2, X3, ...uma sequência de variáveis independentes e identicamente distribu´ıdas, com média comum (µ) finita. DefinaS_n=X₁+X₂+...+X_n. Então, ^S_nⁿ −→^P µ.

Teorema 1.5.2. Lei Forte dos Grandes N´umeros

SejaX₁, X₂, X₃, ...uma sequência de variáveis independentes e identicamente distribu´ıdas, com média comum (µ) finita. DefinaS_n=X₁+X₂+...+X_n. Então, ^S_nⁿ −→^q.c. µ.

Teorema 1.5.3. Teorema Central do Limite

SejaX1, X2, X3, ...uma sequência de variáveis independentes e identicamente distribu´ıdas, com média µ(µ <∞) e variância σ² ( 0< σ²<∞). DefinaSn =X1+X2+...+Xn e Zn = ^Sⁿ_σ^−nµ^√_n . Então Zn

−→D Z, ondeZ ´e normal padr˜ao.

Teorema 1.5.4. Lema de Borel Cantelli

Seja(Ω,F,P)um espa¸co de probabilidade e{An}n≥1 eventos alat´orios emF.

a) Se os eventosA_n satisfazem

∞

X

n=1

P(A_n)<∞ent˜ao P(A_n Infinitas Vezes) = 0.

b) Se os eventosAn s˜ao independentes e satisfazem

∞

X

n=1

P(A_n) =∞ent˜aoP(A_n Infinitas Vezes) = 1.

(14)

Teorema 1.5.5. Sejam X1, X2,· · · eX variáveis aleatórias inteiras e não-negativas. Então, X_n−→^D X ⇔limP(X_n=k) =P(X=k) para todok∈N.

Teorema 1.5.6. Sejam X1, X2,· · · e X variáveis aleatórias em um mesmo espa¸co de probabilidade (Ω,F,P). Então,

X_n−→^q.c. X ⇔P(|X_n−X|> Infinitas Vezes) = 0, para todo >0.

Teorema 1.5.7. Teorema de Scheff´e

Sejam X1, X2,· · · e X variáveis aleatórias cont´ınuas com densidades respectivas f1, f2,· · · e f. Se fn(x)→f(x)quandon→ ∞ para quase todox, então Xn

−→D X. Teorema 1.5.8. Teorema da Convergˆencia Mon´otona

Sejam X1, X2,· · · e X variáveis aleatórias não negativas. Se Xn ↑ X quase certamente quando n→ ∞, entãoE(Xn)↑E(X)quandon→ ∞.

Teorema 1.5.9. Teorema da Convergˆencia Dominada

SejamX1, X2,· · · eX variáveis aleatórias. Suponha que |Xn| ≤Y para todo n, ondeY é integrável e queXn →X. Então,X eXn são integráveis e quase certamentelimE(Xn) =E(X).

1.6 Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 1.6.1. SejamA1, A2, ... eventos aleat´orios independentes em um espa¸co de probabilidade (Ω,F,P). Prove que

P

∞

\

k=1

Ak

!

=

∞

Y

k=1

P(Ak)

Exerc´ıcio 1.6.2. Um dado honesto ´e lan¸cado infinitas vezes, de maneira independente. Seja A o evento “ Ocorre face cinco pelo menos uma vez” e B o evento “Ocorre face cinco em todos os lan¸camentos”. Mostre que

P(A) = 1eP(B) = 0.

Exerc´ıcio 1.6.3. Um experimento ´e realizado de maneira independente infinitas vezes. Seja pn a probabilidade de sucesso na n-´esima tentativa. Calcule a probabilidade dos eventos A:“Ocorrer pelo menos um sucesso” e B:“Ocorrer sucesso em todas as tentativas” quando

p_n= 1− 1

(n+ 1)² e p_n= 1− 1 n+ 1

Exerc´ıcio 1.6.4. Suponha que a vida útil de certo tipo de lâmpada tenha distribui¸cão exponencial com parâmetroλ. Seja T a vida útil de uma lâmpada desse tipo. Mostre que

P(T > t+s|T > t) =P(T > s),∀ s e t >0.

(15)

Interprete esse resultado.

Exerc´ıcio 1.6.5. Considere a seguinte situa¸cão hipotética. Uma crian¸ca entra em uma lan house para jogar determinado “game”e decide que só irá parar de jogar quando passar por determinada fase do jogo. Suponha que o tempoT para ela alcan¸car o objetivo seja uma variável aleatória exponencial de parâmetro 2 (quando o tempo é medido em horas). Admita que a hora de uso de um computador custe R$ 5,00 e que o excesso de alguns minutos no tempo de uso final é cobrado como 1 hora. Por exemplo, se um cliente usa o computador por 3 horas e 20 minutos, pagará por 4 horas. Seja X o valor pago pela crian¸ca após realizar seu objetivo.

a) Calcule com todos os detalhes o valor esperado deT.

b) Calcule com todos os detalhes o valor esperado deX.

Exerc´ıcio 1.6.6. Sejam X₁, X₂,· · · , X_n variáveis aleatórias independentes cada uma com distribui¸cão exponencial de parâmetro λ. Seja Y_i =X₁+X₂+· · ·+X_i,i= 1,2,· · · , n.

a) Mostre queY_n tem distribui¸c˜ao gama(n, λ).

b) CalculeE(Yn).

Exerc´ıcio 1.6.7. Um dado honesto é lan¸cado infinitas vezes independentemente. SejamX1, X2,· · · as variáveis aleatórias definidas por

Xi=







1, se o i-ésimo e o (i + 1)-ésimo lan¸camentos resultam em face cinco, 0, caso contrário.

a) Obtenha E(Xi) e Var(Xi).

b) Mostre que

Cov(X_i, X_j) =







5

1296, se j=i+ 1, 0, se j > i+ 1.

c) SejaSn=Pn

i=1Xn. Determine E(Sn) e Var(Sn).

d) Mostre que ^S_nⁿ →^P ₃₆¹.

Exerc´ıcio 1.6.8. A quantidade de tempo que certo tipo de componente funciona antes de falhar é uma variável aleatória com fun¸cão densidade de probabilidade

f(x) =







2x, 0< x <1;

0, caso contr´ario.

(16)

Assim que o componente falha, ele ´e imediatamente substitu´ıdo por outro do mesmo tipo. Se Xi

representa o tempo de vida do i-ésimo componente utilizado, entãoSn = Σⁿ_i=1Xirepresenta o instante dan-ésima falha. A taxa de falhas r a longo prazo é definida por

r= lim

n→∞

n Sn

.

Supondo que as vari´aveis aleat´oriasX_i,i≥1, sejam independentes, determiner.

Exerc´ıcio 1.6.9. a) Enuncie o Teorema Central do Limite para variáveis aleatórias independentes e identicamente distribu´ıdas. Fa¸ca um breve comentário da prova desse resultado. Dica: Lembre-se que seX ∼Normal(0,1) então

ϕX(t) =e⁻^t

2 2.

b) Considere o experimento de lan¸car um dado honesto 6000 vezes. Qual ´e a probabilidade de se obter mais que 1024 vezes a face cinco?

c) SejaX uma variável aleatória Cauchy padrão, isto éX tem densidade dada por f(x) = 1

π(1 +x²), −∞< x <∞.

Mostre que

ϕX(t) =e^−|t|. Obs.:Pode usar

1 π

Z ∞

−∞

cos(tx)

1 +x²dx=e^−|t|.

d) SejamX₁, X₂,· · ·, X_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribu´ıdas com distribui¸cão comum Cauchy padrão. Mostre que

Sn

n = X1+· · ·+Xn

n também é Cauchy padrão. O TCL vale nesse caso?

Exerc´ıcio 1.6.10. Um ônibus parte com 20 pessoas e tem em seu trajeto 10 pontos diferentes, pa- rando em um ponto somente se uma ou mais pessoas solicitarem. Suponha que cada passageiro escolhe com igual probabilidade o ponto em que vai parar e que as escolhas são independentes de passageiro para passageiro. Determine o número esperado de paradas feitas pelo ônibus.

(17)

Cap´ıtulo 2

Distribui¸ c˜ oes Condicionais

2.1 Introdu¸ c˜ ao

2.2 Distribui¸ c˜ oes Condicionais

Defini¸c˜ao 2.2.1. Fun¸c˜ao de Probabilidade Condicional

Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas. A fun¸cão de probabilidade condicional de X dado que Y =y é definida por

p_X|Y(x|y) =P(X=x|Y =y) =pX,Y(x, y)

p_Y(y) , desde que p_Y(y)>0.

Analogamente, a fun¸c˜ao de probabilidade condicional deY dado queX=x´e definida por p_Y_|X(y|x) =P(Y =y|X=x) =pX,Y(x, y)

p_X(x) , desde que pX(x)>0.

Exemplo 2.2.1. A fun¸cão de probabilidade conjunta de uma variável aleatória bivariada (X, Y) é dada por

pX,Y(x, y) =







k(2x+y) x= 1,2 e y= 1,2.

0 caso contr´ario.

ondek ´e uma constante.

a) Obtenhak.

b) Calcule as fun¸c˜oes de probabilidade condicionaispY|X(y|x)e p_X|Y(x|y).

c) Calculep_Y_|X(y|x= 1) ep_X|Y(x|y= 1).

d) CalculeP(X=x|Y)eP(Y =y|X).

13

(18)

Defini¸c˜ao 2.2.2. Fun¸c˜ao Densidade Condicional

SejamX e Y variáveis aleatórias cont´ınuas. A fun¸cão densidade condicional deX dado queY =y

´e definida por

f_X|Y(x|y) = f_X,Y(x, y)

fY(y) , desde quef_Y(y)>0.

Analogamente, a fun¸c˜ao densidade condicional deY dado queX =x´e definida por f_Y_|X(y|x) =fX,Y(x, y)

f_X(x) , desde quefX(x)>0.

Exemplo 2.2.2. A densidade conjunta de uma variável aleatória bivariada(X, Y)é dada por

fX,Y(x, y) =







kxy 0< x < y <1 0 caso contr´ario.

a) Obtenhak.

b) Calcule as densidades condicionaisf_Y_|X(y|x)ef_X|Y(x|y).

(19)

2.3 Esperan¸ ca Condicional

Defini¸c˜ao 2.3.1. Esperan¸ca Condicional- Caso Discreto

SejamX eY variáveis aleatórias discretas. A esperan¸ca condicional deX dado queY =yé definida por

E(X|Y =y) =X

x

xp_X|Y(x|y), desde quepY(y)>0.

Analogamente, a esperan¸ca condicional deY dado queX =x´e definida por E(Y|X =x) =X

y

yp_Y_|X(y|x), desde quep_X(x)>0.

Exemplo 2.3.1. A fun¸cão de probabilidade conjunta de uma variável aleatória bivariada (X,Y) é dada por

pX,Y(x, y) =







k(2x+ 3y) x= 1,2,3 e y= 1,2,3.

0 caso contr´ario.

a) Obtenhak.

b) Obtenha as fun¸c˜oes de probabilidade marginal deX eY. c) CalculeE(X|Y = 1),E(X|Y = 2) eE(X|Y = 3).

d) CalculeE(X|Y =y)eE(Y|X =x).

e) CalculeE(X|Y),E(Y|X),E[E(X|Y)]eE[E(Y|X)].

(20)

Defini¸c˜ao 2.3.2. Esperan¸ca Condicional- Caso Cont´ınuo

SejamX eY variáveis aleatórias cont´ınuas. A esperan¸ca condicional deX dado queY =yé definida por

E(X|Y =y) = Z ∞

−∞

xf_X|Y(x|y)dx.

Analogamente, a esperan¸ca condicional deY dado queX =x´e definida por E(Y|X =x) =

Z

−∞

yf_Y_|X(y|x)dy.

Exemplo 2.3.2. A densidade de probabilidade conjunta de um vetor aleat´orio bivariado ´e dada por

fX,Y(x, y) =







kxy 0< x <2, 0< y < x 0 caso contr´ario.

a) CalculeE(X|Y = 1) eE(Y|X = 1) d) CalculeE(X|Y =y)eE(Y|X =x).

e) CalculeE(X|Y),E(Y|X),E[E(X|Y)]eE[E(Y|X)].

(21)

Proposi¸cão 2.3.1. SejamX eY variáveis aleatórias discretas. SeB⊂Rentão P(X ∈B|Y =y) =X

x∈B

P(X =x|Y =y).

Exemplo 2.3.3. A fun¸cão de probabilidade conjunta de uma variável aleatória bivariada (X, Y) é dada por

p_X,Y(x, y) =







k(2x+y) x= 1,2 e y= 1,2.

0 caso contr´ario.

CalculeP(X= 1|Y = 1).

(22)

Proposi¸cão 2.3.2. SejamX eY variáveis aleatórias cont´ınuas. SeB⊂Rentão P(X∈B|Y =y) =

Z

x∈B

f_X|Y(x|y)dx.

Exemplo 2.3.4. A densidade de probabilidade conjunta de um vetor aleat´orio bivariado ´e dada por

fX,Y(x, y) =







x+y

8 0< x <2, 0< y <2 0 caso contr´ario.

a) CalculeP(X <1|Y = 1).

b) CalculeE(X|Y = 1).

(23)

Teorema 2.3.1. Princ´ıpio da Substitui¸cão para a Esperan¸ca Condicional Sejah(X, Y)uma fun¸cão das variáveis aleatóriasX eY. Então

E(h(X, Y)|Y =y) =E(h(X, y)|Y =y).

Exemplo 2.3.5. Um minerador está preso em uma mina contendo 3 portas. A primeira porta leva a um túnel que o levará a sa´ıda após 2 horas de viagem. A segunda porta leva a um túnel que fará com que ele retorne à mina após 3 horas de viagem. A terceira porta leva a um túnel que fará com que ele retorne à mina após 8 horas. Considere que em todo o tempo o minerador escolhe qualquer uma das portas com igual probabilidade. SejaT o tempo até o minerador sair livre. Defina uma sequência de v.a.i.i.d. X1, X2,· · · e um tempoN (número de vezes que o minerador abre portas antes de escolher a porta para sa´ıda) tal que

T =

N

X

i=1

X_i

Obs.: Vocˆe pode supor que o minerador continua escolhendo portas aleatoriamente mesmo ap´os ele alcan¸car a liberdade.

Calcule

E

"_N X

i=1

Xi|N =n

# .

Esta quantidade ´e igual a E

" _n X

i=1

Xi

#

?

(24)

Corolário 2.3.1. Sejamg(X)eh(Y)fun¸cões das variáveis aleatóriasX eY, respectivamente. Então E(g(X).h(Y)|Y =y) =h(y)E(g(X)|Y =y).

Teorema 2.3.2. Sejam X e Y variáveis aleatórias tais queE(X)é finita . Então E(E(X|Y)) =E(X).

Ou seja, seY ´e discreta, ent˜ao

E(X) =X

y

E(X|Y =y)P(Y =y).

Por outro lado, seY ´e cont´ınua com fun¸c˜ao densidadef_Y E(X) =

Z ∞

−∞E(X|Y =y)f_Y(y)dy.

(25)

Exemplo 2.3.6. Um minerador está preso em uma mina contendo 3 portas. A primeira porta leva a um túnel que o levará a sa´ıda após 2 horas de viagem. A segunda porta leva a um túnel que fará com que ele retorne à mina após 3 horas de viagem. A terceira porta leva a um túnel que fará com que ele retorne à mina após 8 horas. Considere que em todo o tempo o minerador escolhe qualquer uma das portas com igual probabilidade. SejaT o tempo até o minerador sair livre. Defina uma sequência de v.a.i.i.d. X₁, X₂,· · · e um tempoN (número de vezes que o minerador abre portas antes de escolher a porta para sa´ıda) tal que

T =

N

X

i=1

Xi

Obs.: Vocˆe pode supor que o minerador continua escolhendo portas aleatoriamente mesmo ap´os ele alcan¸car a liberdade. Calcule E(T).

Corolário 2.3.2. Seja Y uma variável aleatória discreta. Então P(A) =X

y

P(A|Y =y)P(Y =y).

(26)

Exemplo 2.3.7. O tempo para um menino terminar a disputa de qualquer fase de um jogo de v´ıdeo game é uma variável aleatória exponencial de parâmetro λ. O menino decide que após terminar a disputa de cada fase irá lan¸car um dado honesto e caso saia face cinco irá parar de jogar e iniciar as tarefas da escola imediatamente. Caso saia face diferente de cinco iniciará uma nova fase. Considere desprez´ıvel o tempo gasto com os lan¸camentos do dado. Seja X o tempo até que o menino inicie as tarefas escolares. Qual a distribui¸cão de X?

(27)

Corolário 2.3.3. Seja Y uma variável aleatória cont´ınua com densidadefY. Então P(A) =

Z ∞

−∞

P(A|Y =y)fY(y)dy.

Exemplo 2.3.8. Suponha que num clássico entre Goiás e Vila Nova a partir do tempot= 0 torcedores do Goiás chegam a bilheteria do Estádio Serra Dourada segundo um processo de Poisson de taxa λtorcedores por minuto. De forma análoga, torcedores do Vila Nova chegam a bilheteria do Estádio Serra Dourada segundo um processo de Poisson de taxaµ torcedores por minuto. A partir do tempo t= 0 qual é a probabilidade do primeiro torcedor a chegar ser do Goiás?

(28)

Exemplo 2.3.9. O número de e-mails que chegam a um servidor no intervalo de tempo [0, t] dado em minutos é, para cadat >0, uma variável aleatóriaNtcom distribui¸cão de Poisson com parâmetro λt. Somente um computador é conectado ao servidor para ler os e-mails recebidos.

a) Dado que trˆes e-mails chegaram no primeiro minuto, qual ´e a probabilidade de que exatamente dois tenham chegado nos primeiros 15 segundos?

b) Se o tempo de vidaT desse computador tem distribui¸cão exponencial de parâmetroθ. Além disso, NteT são independentes para todo t. Obtenha a distribui¸cão do número de e-mails lidos até o computador falhar.

Corolário 2.3.4. Seja h(X)é uma variável aleatória com média finita, então E(h(X)) =E[E(h(X)|Y)].

(29)

Exemplo 2.3.10. Defina SN = X1+X2+X3 +· · ·+XN onde as variáveis aleatórias Xi são independentes e identicamente distribu´ıdas com distribui¸cão comum exponencial de parâmetro λeN tem distribui¸cão geométrica de parâmetro p. Encontre a distribui¸cão deSN.

Teorema 2.3.3.SejaXuma variável aleatória cont´ınua com densidadefXeY uma variável aleatória discreta. Então

f_X|Y(x|y) =P(Y =y|X =x)

P(Y =y) .f_X(x), desde queP(Y =y)>0.

(30)

Exemplo 2.3.11. O tempo para um menino terminar a disputa de qualquer fase de um jogo de v´ıdeo game é uma variável aleatória exponencial de parâmetro λ. O menino decide que após terminar a disputa de cada fase irá lan¸car um dado honesto e caso saia face cinco irá parar de jogar e iniciar as tarefas da escola imediatamente. Caso saia face diferente de cinco iniciará uma nova fase. Considere desprez´ıvel o tempo gasto com os lan¸camentos do dado. Seja X o tempo até que o menino inicie as tarefas escolares e N o número de fases disputadas por ele antes de iniciar as tarefas escolares.

CalculeP(N=n|X =x)e E(N|X).

(31)

2.4 Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 2.4.1. A fun¸cão de probabilidade conjunta de uma variável aleatória bivariada (X,Y) é dada por

p_X,Y(x, y) =







k(2x+ 3y) x= 1,2,3 e y= 1,2,3.

0 caso contr´ario.

onde k ´e uma constante.

a) Obtenha k.

b) Obtenha as fun¸c˜oes de probabilidade marginal de X e Y.

c) CalculeE(X|Y = 1),E(X|Y = 2) eE(X|Y = 3).

Exerc´ıcio 2.4.2. A fun¸cão de probabilidade conjunta de uma variável aleatória bivariada (X, Y) é dada por

pX,Y(x, y) =







1

30x²y sex= 1,2, y= 1,2,3.

0 caso contr´ario.

a) CalculeE(X|Y = 2).

b) CalculeE(Y|X).

Exerc´ıcio 2.4.3. A densidade de probabilidade conjunta de um vetor aleat´orio bivariado ´e dada por

f_X,Y(x, y) =







8xy 0< x < y <1 0 caso contr´ario.

a) CalculeE(Y|X= 0,5).

b) CalculeP(X ≤0,5|Y = 0,8).

Exerc´ıcio 2.4.4. O número de clientes Y que chegam a um caixa eletrônico tem distribui¸cão de Poisson com parâmetro X, sendo X a intensidade com que os clientes chegam ao caixa eletrônico.

Supondo queX tem distribui¸cão Gama(α, 1), encontre a fun¸cão de probabilidade da variável aleatória Y.

Exerc´ıcio 2.4.5. O número de e-mails que chegam a um servidor no intervalo de tempo [0, t]é, para cadat > 0, uma variável aleatória Nt com distribui¸cão de Poisson com parâmetro λt. Somente um computador é conectado ao servidor para ler os e-mails recebidos. O tempo de vidaT desse computador tem distribui¸cão exponencial de parâmetro θ. Além disso, Nt eT são independentes para todo t.

(32)

Obtenha a distribui¸cão do número de e-mails lidos até o computador falhar.

Exerc´ıcio 2.4.6. Sejam X e Y variáveis aleatórias binomiais independentes com parâmetros ne p idênticos, calcule o valor esperado condicional de X dado queX+Y =n.

Exerc´ıcio 2.4.7. Uma part´ıcula se movimenta ao longo do conjunto dos inteiros da seguinte maneira.

Se ela está na posi¸cãoientão se movimenta para a posi¸cãoi+ 1com probabilidade ¹₃ e para a posi¸cão i−1 com probabilidade ²₃. Iniciando na posi¸cão 0, seja p a probabilidade dela em algum momento atingir a posi¸cão 1. Calcule p.

(33)

Cap´ıtulo 3

Introdu¸ c˜ ao aos Processos Estoc´ asticos

3.1 Introdu¸ c˜ ao

Defini¸c˜ao 3.1.1. Processo Estoc´astico

Um processo estocástico {Xt, t ∈ T}, onde T é um conjunto de ´ındices, é uma fam´ılia de variáveis aleatórias. Isto é, para cadat∈T,Xté uma variável aleatória

Exemplo 3.1.1. Sejam X1, X2,· · · , Xn,· · · vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas tais que

P(Xn= 1) =peP(Xn =−1) = 1−p Seja

Sn=

n

X

i=1

Xi, n= 1,2,· · ·

eS0 = 0. A cole¸cão {Sn, n≥0} é um processo estocástico chamado passeio aleatório simples unidi- mensional. Nesse caso,T={0; 1; 2;· · ·;n;· · · }.

Defini¸c˜ao 3.1.2. Espa¸co de Estados

O conjunto E de todos os valores que um processo estoc´astico {Xt, t∈ T} pode assumir ´e chamado espa¸co de estados.

Exemplo 3.1.2. No Exemplo 3.1.1E={· · ·;−2;−1; 0; 1; 2;· · · }.

Defini¸c˜ao 3.1.3. Processo Estoc´astico a Tempo Discreto

Um processo estocástico {X_t, t∈T} é dito a tempo discreto se o conjunto de ´ındices T associado é enumerável.

29

(34)

Exemplo 3.1.3. Sejam X1, X2,· · · , Xn,· · · vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas tais que

Sn=

n

X

i=1

Xi, n= 1,2,· · ·

eS0= 0. A cole¸cão {Sn, n≥0}é um processo estocástico a tempo discreto.

Defini¸c˜ao 3.1.4. Processo Estoc´astico a Tempo Cont´ınuo

Um processo estoc´asticoX={Xt, t∈T}´e dito a tempo cont´ınuo se o conjunto de ´ındicesT associado

é não enumerável.

Exemplo 3.1.4. Considere um processo aleat´orioX(t)definido por X(t) =Ycos(ωt+ Θ)

ondeX e Y são variáveis aleatórias independentes tais queY ∼Uniforme (−A, A) e Θ∼Uniforme (−π, π). O processo X(t)é um processo a tempo cont´ınuo.

Defini¸c˜ao 3.1.5. Processo Estoc´astico Discreto

Um processo estocástico X = {Xt, t ∈ T} é dito discreto se o espa¸co de estados E associado é enumerável.

Exemplo 3.1.5. Considere o espa¸co de estados {0,1,· · · , d} e vari´aveis aleat´orias independentes entre si tais que

SeSn∈ {1,2,· · ·, d−1} ent˜ao P(Xn+1= 1) =peP(Xn+1=−1) = 1−p=q SeSn= 0ent˜aoP(Xn+1= 1) =pe P(Xn+1= 0) = 1−p=q

SeS_n=dent˜ao P(X_n+1= 0) =peP(X_n+1=−1) = 1−p=q

O processo assim descrito é chamado passeio aleatório com barreiras de reten¸cão. Trata-se de um processo estocástico discreto.

Defini¸c˜ao 3.1.6. Processo Estoc´astico Cont´ınuo

Um processo estocástico X ={Xt, t∈T} é dito cont´ınuo se o espa¸co de estadosE associado é não enumerável.

Exemplo 3.1.6. Considere um processo aleat´orioX(t)definido por X(t) =Ycos(ωt+ Θ)

ondeX e Y são variáveis aleatórias independentes tais queY ∼Uniforme (−A, A) e Θ∼Uniforme (−π, π). O processo X(t)é um processo estocástico cont´ınuo.

(35)

Defini¸cão 3.1.7. Realiza¸cão de um Processo Estocástico

Seja um ponto amostral ω de Ω. A esse ponto associamos Xt(ω) para todo t ∈ T. Esa fun¸cão é chamada realiza¸cão do processo X ={Xt, t∈T}.

Exemplo 3.1.7. No Exemplo 3.1.1 um exemplo de realiza¸c˜ao seria A ={0; 1; 2; 3; 4; 5;· · · }. Neste caso,S_n=npara todo n. Ou seja, todos os movimentos ocorrem para a direita.

3.2 Caracteriza¸ c˜ ao de Processos Estoc´ asticos

3.2.1 Descri¸ c˜ ao Probabil´ıstica

Defini¸c˜ao 3.2.1. Especifica¸c˜ao de Primeira Ordem

Um processo estocástico X = {Xt, t ∈ T} está especificado até a primeira ordem caso a fun¸cão de distribui¸cão FX_t(x)seja conhecida para todo valor de t∈T. A fun¸cão de distribui¸cão acumulada

FXt(x) =P(Xt≤x)

´e chamada de distribui¸c˜ao de primeira ordem deX_t.

Exemplo 3.2.1. Sejam X₁, X₂,· · · , X_n,· · · vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas tais que

Sn=

n

X

i=1

Xi, n= 1,2,· · ·

eS0= 0. Dˆe a especifica¸c˜ao de Primeira Ordem para este processo.

(36)

Exemplo 3.2.2. Considere que as temperaturas medidas em um determinado aeroporto ao meio dia, à cada dia do ano, geram uma sequência C(1), C(2),· · · , C(365) de poss´ıveis valores aleatórios (cont´ınuos). Essas medi¸cões foram tomadas ao longo dos últimos 50 anos. Foi observado que em qualquer dia do verão a temperatura se comporta uniformemente distribu´ıda entre 19 ôC e 35 ôC.

Calcule a probabilidade que na v´espera do natal os passageiros do aeroporto, ao desembarcarem, sintam uma temperatura acima de 25^oC.

Defini¸c˜ao 3.2.2. Especifica¸c˜ao de Segunda Ordem

Um processo estocástico X = {Xt, t ∈ T} está especificado até a segunda ordem caso a fun¸cão de distribui¸cão acumulada conjunta F_X_t

1,Xt2(x₁;x₂) seja conhecida para todo para de valores (t₁;t₂), t₁∈T et₂∈T. A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada conjunta

F_X_t

1,Xt2(x₁;x₂) =P(X_t₁ ≤x₁;X_t₂≤x₂)

é chamada de distribui¸cão de segunda ordem deXt. Defini¸cão 3.2.3. Especifica¸cão de Ordem m

Um processo estocástico X = {Xt, t ∈ T} está especificado até a ordem m caso a fun¸cão de distribui¸cão acumulada conjunta FX_t₁,X_t₂,···,X_tm(x1;x2;· · · ;xm) seja conhecida para todo conjunto de valores(t1;t2;· · ·;tm),ti∈T parai= 1; 2;· · · ;m. A fun¸cão de distribui¸cão acumulada conjunta

F_X_t

1,Xt2,···,X_tm(x₁;x₂;· · · ;x_m) =P(X_t₁ ≤x₁;X_t₂ ≤x₂;· · ·;X_t_m≤x_m)

´e chamada de distribui¸c˜ao de ordemm deX.

Exemplo 3.2.3. Numa partida do Goiás pela Copa do Brasil, torcedores esmeraldinos chegam ao Serra Dourada em instantes aleatórios pontuais. Seja Sn o tempo em segundos até a chegada do n-ésimo esmeraldino. Podemos escrever:

Sn=

n

X

i=1

Ti, n= 1,2,· · ·

(37)

eS0= 0, ondeTi é o tempo em minutos entre a chegada do i−1-ésimo torcedor e doi-ésimo torcedor. Suponha que o tempo entre a chegada de dois torcedores esmeraldinos consecutivos é uma variável aleatória exponencial de parâmetroλ= 100.

a) Dê a especifica¸cão de Primeira Ordem para o processo estocástico {Sn, n≥0}.

b) Dê a especifica¸cão de Ordemm para o processo estocástico{T_n, n≥0}.

Defini¸c˜ao 3.2.4. Incrementos de Um Processo Estoc´astico

SejaX ={Xt, t∈T} um processo estoc´astico eXt_i, i= 1,2,· · ·, ntais queti∈T com0< t1< t2<

· · ·< tn. As vari´aveis aleat´orias

X0;Xt₁−X0;Xt₂−Xt₁;· · · ;Xt_n−Xtn−1

s˜ao chamadas incrementos do processoX.

Exemplo 3.2.4. Seja {Xn, n ≥ 0} um processo estocástico tal que as variáveis aleatórias Xi são independentes e identicamente distribu´ıdas com leiP(X_n = 1) =p= 1−P(X_n = 0). Escreva t_i =i.

As variáveis aleatórias X_i−X_i−1 são exemplos de incrementos para o processo{X_n, n≥0}. Qual é a distribui¸cão destes incrementos?

(38)

3.2.2 Fun¸ c˜ oes do Processo

Defini¸cão 3.2.5. Fun¸cão Média

SejaX ={X_t, t∈T} um processo estocástico. A fun¸cão média deX_t é dada por µ_X(t) =E(X_t).

Defini¸cão 3.2.6. Fun¸cão Variância

SejaX ={Xt, t∈T} um processo estocástico. A fun¸cão variância de Xté dada por σ²_X(t) =V ar(Xt).

Exemplo 3.2.5. SejamX1, X2,· · ·, Xnvari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas tais que

Sn=

n

X

i=1

Xi, n= 1,2,· · ·

eS₀= 0.

a) Dˆe a distribui¸c˜ao de primeira ordem desse processo.

b) Calcule a média e a variância deSn. Qual é o valor máximo para a variância deSn?

Defini¸cão 3.2.7. Fun¸cão Autocorrela¸cão

Seja X = {Xt, t ∈ T} um processo estocástico. A fun¸cão de autocorrela¸cão é uma medida de de- pendência entre as variáveis aleatórias Xt. É dada por

R_X(t, s) =E(X_t.X_s), t∈T es∈T.

(39)

Defini¸cão 3.2.8. Fun¸cão Autocovariância

Seja X ={Xt, t∈ T} um processo estocástico. A fun¸cão de autocovariância do processoX é dada por

K_X(t, s) =Cov(X_t;X_s), t∈T es∈T.

Exemplo 3.2.6. Considere um processo aleat´orio definido por X(t) =Acos(ωt+ Θ),−∞< t <∞

ondeA eω s˜ao constantes e Θ∼Uniforme (-π, π).

a) Calcule a m´edia deX(t).

b) Calcule a variˆancia de X(t).

c) A autocorrela¸c˜ao deX(t).

d) A autocovariˆancia deX(t).

(40)

3.3 Classifica¸ c˜ ao de Processos Estoc´ asticos

Defini¸c˜ao 3.3.1. Processo Estacion´ario

Um processo estocásticoX =X_t, t∈T é dito estritamente estacionário se todas as distribui¸cões finito dimensionais permanecem as mesmas sob transla¸cões no tempo, ou seja,

F_X_t

1,Xt2,···,X_tn(x₁;x₂;· · ·;x_n) =F_X_t

1 +τ,Xt2 +τ,···,X_tn+τ(x₁;x₂;· · ·;x_n) para todon, para todoτ e todo conjunto de instantes de tempo t_i∈T, i= 1,2,· · · , t_n. Defini¸c˜ao 3.3.2. Processo Estacion´ario no Sentido Amplo

SejaX ={Xt, t∈T} um processo estoc´astico. Se a condi¸c˜ao de estacionariedade FX_t₁,X_t₂,···,X_tn(x1;x2;· · ·;xn) =FX_t_{1 +}_τ,X_t_{2 +}_τ,···,X_tn+τ(x1;x2;· · ·;xn)

para todoτ e todo conjunto de instantes de tempoti∈T, i= 1,2,· · · , tn, vale paran≤kdizemos que X é estacionário de ordemk. SeX é estacionário de ordem 2 dizemos que é estacionário no sentido amplo.

Defini¸c˜ao 3.3.3. Processos Independentes

Seja X ={Xt, t∈T} um processo estocástico. Se Xt_i, i= 1,2,· · ·, n são variáveis aleatórias independentes de modo que para todon= 2,3,· · ·

FX_t₁,X_t₂,···,X_tn(x1;x2;· · · ;xn) =

n

Y

i=1

FX_ti(xi)

ent˜ao o processo X ´e dito independente.

Defini¸c˜ao 3.3.4. Processo com Incrementos Independentes

Seja X ={Xt, t∈ T} um processo estoc´astico. X tem incrementos independentes se para qualquer escolha de ´ındicesti∈T com0< t1< t2<· · ·< tn os incrementos

X0;Xt₁−X0;Xt₂−Xt₁;· · · ;Xt_n−Xt_n−1

são variáveis aleatórias independentes.

Defini¸cão 3.3.5. Processo com Incrementos Independentes Estacionários SejaX ={Xt, t∈T} um processo estocástico com incrementos independentes. Se dados s ∈ T e t ∈ T arbitrários (s < t) X_t−X_s tem a mesma distribui¸cão que X_t+h−X_s+h para qualquer escolha de h diz-se que X tem incrementos independentes estacionários.

Defini¸c˜ao 3.3.6. Processo de Markov

Um Processo EstocásticoX ={X_t, t∈T}, ondeT é um conjunto de ´ındices é um processo de Markov se para qualquer escolha de ´ındicest₁< t₂<· · ·< t_n< t_n+1 temos

P(X_t_n+1≤x_n+1|X_t₁=x₁, X_t₂ =x₂,· · · , X_t_n =x_n) =P(X_t_n+1 ≤x_n+1|X_t_n=x_n). (3.1)

(41)

Exemplo 3.3.1. SejamX1, X2,· · ·, Xnvari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas tais que

S_n=

n

X

i=1

X_i, n= 1,2,· · ·

eS0= 0. A cole¸cão {Sn, n≥0}é um processo aleatório chamado passeio aleatório simples.

Mostre que este processo ´e uma Cadeia de Markov.

3.4 Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 3.4.1. Pede-se:

a) Defina processo estoc´astico.

b) O que é uma realiza¸cão de um processo estocástico. Dê um exemplo.

c) Como se classifica um processo estoc´astico quanto ao tipo de seus estados? Dˆe exemplos.

d) Como se classifica um processo estoc´astico quanto ao seu conjunto de ´ındices T? Dˆe exemplos.

e) Defina distribui¸c˜ao de primeira ordem.

f ) Defina distribui¸c˜ao de ordem n.

g) O que ´e processo estacion´ario?

h) Defina processo estacion´ario no sentido amplo.

i) Defina processo estacion´ario com incrementos independentes.

j) Defina processo markoviano.

Exerc´ıcio 3.4.2. SejamX₁, X₂,· · · , X_nvari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas tais que

P(X_n= 1) =peP(X_n =−1) = 1−p

(42)

Seja

Sn=

n

X

i=1

Xi, n= 1,2,· · ·

e S0 = 0. A cole¸cão {Sn, n≥0} é um processo aleatório chamado passeio aleatório simples unidi- mensional.

a) Descreva o passeio aleat´orio simples.

b) Construa uma realiza¸c˜ao deste processo.

c) Calcule a média e a variância deS_n. Qual é o valor máximo para a variância deS_n? d) ParaS_n, calcule a fun¸cão autocorrela¸cão.

e) Mostre queSn ´e uma cadeia de Markov.

Exerc´ıcio 3.4.3. Seja {Sn, n≥0} um passeio aleat´orio simples. Defina um processo aleat´orio S(t) tal que

S(t) =S_n, n≤t≤n+ 1 a) DescrevaS(t).

b) Construa uma realiza¸c˜ao deS(t).

c) Qual a m´edia e a variˆancia deS(t).

Exerc´ıcio 3.4.4. Numa partida do Goiás pela Copa do Brasil, torcedores esmeraldinos chegam ao Serra Dourada em instantes aleatórios pontuais. Seja Xn o tempo em segundos até a chegada do n-ésimo esmeraldino. Podemos escrever:

Xn =

n

X

i=1

Ti, n= 1,2,· · ·

eX₀= 0, onde T_i é o tempo entre a chegada do n−1-ésimo torcedor e don-ésimo torcedor.

a) Descreva o processo aleat´orio X(n) ={Xn, n≥1}.

b) Construa uma realiza¸c˜ao t´ıpica do processo.

c) Suponha que o tempo entre a chegada de dois torcedores esmeraldinos consecutivos é uma variável aleatória exponencial de parâmetro λ. Neste caso, obtenha a média,a variância e a distribui¸cão de primeira ordem deXn.

Exerc´ıcio 3.4.5. Considere um processo estocástico a tempo discreto X(n) ={Xn, n≥1} onde as X_n são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribu´ıdas com médiaµ e variância σ². a) Calcule a distribui¸cão de ordem n de X_n.

b) Encontre a m´edia e a variˆancia deX_n.

(43)

c) Encontre a fun¸cão autcorrela¸cão de Xn. d) Encontre a fun¸cão autocovariância deXn.

Exerc´ıcio 3.4.6. Mostre que um processo estocástico que é estacionário de ordem n também esta- cionário de todas as ordens menores que n.

Exerc´ıcio 3.4.7. Seja {Xn, n≥0} uma sequência aleatória de v.a.i.i.d. com média 0 e variância 1.

Mostre que{Xn, n≥0}´e um processo estacion´ario no sentido amplo.

Exerc´ıcio 3.4.8. Seja {Xn, n≥0} um processo estoc´astico com incrementos estacion´arios independentes e assuma queS(0) = 0. Mostre que

E[X(t)] =µ₁t,

ondeµ1=E[X(1)].

Exerc´ıcio 3.4.9. SejamX₁, X₂,· · · , X_nvari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas tais que

P(Xn= 2) =peP(Xn = 1) = 1−p Seja

Sn=

n

X

i=1

Xi, n= 1,2,· · ·

eS₀= 0.

a) Descreva o processo aleat´orio {Sn, n= 0,1,2,· · · }.

b) Construa uma realiza¸c˜ao deste processo.

c) Dˆe a distribui¸c˜ao de primeira ordem desse processo.

d) Calcule a média e a variância deSn. Qual é o valor máximo para a variância deSn?

Exerc´ıcio 3.4.10. Considere um processo aleat´orioX(t)definido por X(t) =Ycos(ωt+ Θ)

ondeX e Y são variáveis aleatórias independentes tais queY ∼Uniforme (−A, A) e Θ∼Uniforme (−π, π).

a) Descreva este processo aleat´orio.

b) Calcule a m´ediaµ[X(t)]e a variˆancia Var[X(t)].

(44)

c) Encontre a fun¸c˜ao autocorrela¸c˜ao RX(t, s).

d) Encontre a fun¸c˜ao autocovariˆancia KX(t, s).

Exerc´ıcio 3.4.11. Considere uma sucessão infinita de provas de Bernoulli. Seja X_t o número de provas até obter um sucesso pela t-ésima vez, t = 1,2,· · · (a) Defina o exposto como um processo estocástico, indicando o espa¸co dos parâmetros e dos estados.

(b) Determine para cadat a fun¸c˜ao de probabilidade deXt. (c) Represente graficamente uma trajet´oria.

(d) Determine a lei conjunta de (X2, X3, X4).

(e) CalculeP(X4=x|X3=x3, X2=x2) e P(X4=x|X3=x3). Comente o resultado.

(f ) Determine a lei da variável aleatória “tempo ou número de provas entre dois sucessos de Ber- noulli”.

(g) Determine a lei da variável aleatória “número de provas necessárias até à ocorrência de dois sucessos consecutivos de Bernoulli”.