CAPêTULO
3
Movimento uniformemente
variado
Da esquerda para a direita, pedais de embreagem, freio e acelerador. Joh n T u rne r/ G e tt y I m a g e s
Todos sabemos que um automóvel não se locomove sempre à mesma velocida-de. Ora ele anda mais rápido, ora reduz a velocidade — e também, em outros momentos, permanece em repouso.
O motorista tem à sua disposição os pedais do veículo para, de acordo com sua necessidade, acionar:
• o acelerador, a fim de aumentar a velocidade; • o freio, para reduzir a velocidade.
Depois de estudar o movimento uniforme de um móvel, condição em que ele se locomove com uma velocidade escalar constante, abordaremos agora o movi-mento uniformemente variado, que, como o próprio nome revela, realiza-se com alterações na grandeza velocidade, determinadas pela atuação de uma variável conhecida como aceleração.
Chamamos de movimentos variados aqueles que ocorrem com variações de velocidade.
Acelerar, desacelerar
É comum que palavras pertencentes inicialmente a determinado domínio de co-nhecimento sejam posteriormente utilizadas por outros segmentos, ganhando com isso novos sentidos, semelhantes aos originais ou completamente diferentes.
Veja alguns exemplos:
“Se quisermos cumprir as metas do período, devemos acelerar a produção.” “Estou trabalhando num ritmo intenso demais. Eu preciso ‘desa ce lerar’.”
O que queremos dizer com acelerar e desacelerar? Que outros significados essas palavras possuem?
acelerar [Do lat. accelerare.] V. t. d. 1. Tornar célere ou mais célere; aumentar a
velo-cidade de; apressar: Acelerou a marcha e chegou antes da hora. 2. Dar pressa a; fa-zer progredir ou andar mais rápido; apressar, ativar: acelerar o andamento de um processo. 3. Instigar, estimular. 4. Autom. Imprimir maior velocidade a (o veículo automóvel), mediante aceleração progressiva do motor. Int. 5. Tornar-se célere ou mais célere; apressar-se, acelerar-se: “A mão desvia, sobe o ombro, acelera, corre o braço” (José Cardoso Pires, O Delfim, p. 341). 6. Aumentar de velocidade. 7. Autom. Imprimir maior velocidade de rotação ao motor de um veículo automóvel. P. 8. Tor-nar-se célere ou mais célere; adquirir maior velocidade; acelerar. [Cf. aceleirar.]
desacelerar [De des + acelerar.] V. t. d. Reduzir a velocidade de, retardar.
Novo Dicion‡rio AurŽlio da L’ngua Portuguesa. 2. ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1986.
Ambos os termos traduzem a ideia de variação de ritmo ou de velocidade (de aumento, em um, e de diminuição, no outro); foi o que quisemos transmitir com aquelas duas sentenças acima. No domínio da Física, acelerar é fazer a intensidade e/ou a direção e/ou o sentido da velocidade do móvel alterar-se, seja aumentando-a, seja diminuindo-a — quando a velocidade de um móvel é reduzida, podemos dizer que houve uma desaceleração.
AtividAde PráticA
Investigando o movimento em planos inclinados
NÃO escreva NOlivrO
FaÇa NO caderNO
Galileu Galilei foi o primeiro cientista a tratar matematicamente o movimento acelerado, anali-sando o com portamento de objetos em planos inclinados. Nesta atividade, vamos recriar o seu experimento.
Galileu investigava o tempo necessário para um objeto descer uma rampa de inclinação variável. Como deve variar o tempo para um objeto descer uma rampa de comprimento constante, à medida que a sua inclinação em relação à horizontal aumenta? É uma relação direta?
Esse tempo depende das dimensões ou da massa do objeto que vai descer a rampa?
Material
• uma tábua de passar roupa, de aproximadamente 1 m de comprimento • uma bolinha de gude e uma bola de bilhar • um relógio que marque segundos • fita adesivaProcedimento
Meçam o comprimento da tábua e marquem a metade dela com fita adesiva.
1o experimento
Inclinem a tábua ligeiramente — basta erguer uma das extremida-des, 2 a 3 cm, colocando um ou dois apoios embaixo dela, para fir-mar a posição. Façam a bolinha rolar duas vezes, a partir do repouso, colocando-a na extremidade mais alta.
• Da primeira vez, cronometrem o tempo de rolagem até a metade da tábua marcada com fita adesiva; chamem esse tempo de t1.
• Da segunda vez, cronometrem o tempo total até a chegada à extremidade de baixo; chamem esse tempo de t2.
• Façam o mesmo com a bola de bilhar e anotem os tempos t1 e t2.
2o
experimento
Aumentem o desnível entre as extremidades em mais 2 cm. Repitam a experiência. Comparem t1 e t2: o efeito se repete? Qual é a relação entre os t1 das duas experiências? E a relação entre os t2?
3o
experimento
Finalmente, aumentem o desnível entre as extremidades em mais 2 cm e repitam os procedimentos.
Movimentos que ocorrem com aumento do módulo da velocidade são chamados
movimentos acelerados.
Movimentos que ocorrem com diminuição do módulo da velocidade são chamados
movimentos retardados.
Contrariando o senso comum, é importante enfatizar que em um móvel se deslocan-do em alta velocidade a aceleração não está, necessariamente, atuandeslocan-do. No instante em que a velocidade de um móvel parou de aumentar, mantendo-se constante, a acelera-ção deixou de operar, mesmo que ele continue movimentando-se bem rá pido.
Fo to g ra fi as : F er n a n d o F a vo re tt o /C ri a r I m ag em
Repitam o procedimento tantas vezes quantas forem necessárias, até que tenham a certeza de que não foram cometidos erros grosseiros nas tomadas de tempo.
Discussão
1. Comparem t1 para os dois objetos e depois comparem t2 para os dois objetos: há diferença? 2. Comparem t1 e t2, para qualquer objeto: o que vocês en contraram?
t15 t2 2? t1. t2 2? t1, t2 2?
3. A que conclusão vocês chegaram: as bolas se deslocam sempre em movimento uniforme ou em movimento
uniformemente acelerado? Justifiquem.
4. O que vocês podem dizer sobre a aceleração nos três experimentos?
5. O que acontece com t1 à medida que a inclinação aumenta? Acontece o mesmo com t2?
6. Se vocês desejassem saber a relação matemática entre os valores de tempo e as respectivas inclinações, o que
deveria ser feito?
7. Os resultados que vocês obtiveram confirmaram suas hipóteses preliminares? Em caso afirmativo, o que vocês
acham que deixaram de considerar?
A aceleração escalar média e a instantânea
Dois veículos transitando à mesma velocidade, na pista de uma estrada, estão em repouso relativo. Um deles só po-derá ultrapassar o outro se incrementar a sua velocidade; para isso, ele deverá acelerar o veículo durante certo tempo.
Sabemos que, quanto maior for o aumento de velocidade requerido, tanto maior deverá ser a aceleração imprimida no veí -culo. Do mesmo modo, quanto menor for o tempo necessário para promover essa variação, maior terá que ser a aceleração.
Supondo que a velocidade de um veículo tenha se elevado de 30 km/h para 84 km/h (acréscimo de 54 km/h), em 10 s, a velocidade dele terá crescido, em média, 5,4 km/h por segun-do. Observe que não nos interessa se a velocidade do veículo foi aumentando de maneira regular ou não, por isso estamos tratando de médias. Assim:
Aceleração escalar (a) é a taxa de variação da velocidade escalar de um móvel
em função do tempo, enquanto a aceleração escalar média (am) é a variação total
da velocidade de um móvel em determinado intervalo de tempo.
No intervalo de tempo (∆t = tf – t0) em que há uma variação de velocidade (∆v = vf – v0), calcula-se a aceleração escalar média (am) pela relação:
am = ∆v ∆t =
vf – v0 tf – t0
E por que aceleração mŽdia? Porque esse valor não informa como se deu essa variação: se a velocidade foi aumentando 5,4 km/h segundo a segundo, ou foi acrescida em 5 km/h no primeiro segundo, se permaneceu constante no próximo segundo e pulou para 5,8 km/h no seguinte etc., neste caso, pouco importa. Há muitas combinações possíveis para realizar o trajeto, mas sabemos que, em média, a cada segundo, a velocidade aumentou 5,4 km/h.
Ultrapassagens devem ser feitas pela esquerda, em local com boa visibilidade. Qual é o veículo que está sendo ultrapassado? O veículo azul está
ultrapassando o veículo branco.
R u b e n s C h a ve s/ P uls a r I ma g e n s v0 (t0) (tf) s vf Fe rna n d o M o n te ir o
Quando os intervalos de tempo considerados são muito pequenos, a aceleração média vai ficando muito próxima daquela que age em cada instante; neste caso, a ace-leração escalar média passa a ser chamada de aceace-leração escalar instantânea (a). Aceleração escalar instantânea (a) é a aceleração escalar média tomada em
um intervalo de tempo muito pequeno, tendendo a zero (∆t → 0); é o valor da ace-leração em determinado instante.
A aceleração média que calculamos era de 5,4 km/h por segundo; lembrando que 3,6 km/h correspondem a 1 m/s, então a aceleração média também pode ser descrita como 1,5 m/s a cada segundo [5,4
3,6 = 1,5 ] , 1,5 m/s
s ou ainda 1,5 m/s 2.
Unidades de aceleração mais utilizadas SI Outras unidades
m/s2 cm/s2, km/h2, km/s2 etc.
Uma interpretação dos sinais da aceleração e da velocidade
Do modo como é definido, o valor da aceleração escalar média (am) tem um sinal algébrico que depende da velocidade, porque am = ∆v∆t = vf – v0
tf – t0 .
Uma maneira de interpretar o sinal da aceleração escalar média é associá-lo ao efeito que ela exerce sobre a velocidade escalar:
Retome mais tarde a definição de sentido e o argumento utilizado para se representar aceleração e velocidade por meio de setas. Saída do carro de
uma garagem
Meio do quarteirão Final do quarteirão Próximo ao semáforo Velocidade zero
Velocidade 60 km/h Velocidade 60 km/h Velocidade 20 km/h
Se vf > v0, então vf – v0 > 0. Logo am > 0, ou seja, o valor algébrico
da velocidade escalar aumenta entre t0 e tf.
Se vf = v0, então vf – v0 = 0. Logo Se vf < v0, então vf – v0 < 0. Logo am = 0, ou seja, o valor
algé-brico da velocidade escalar é o mesmo nos instantes t0 e tf.
am < 0, ou seja, o valor algébri-co da velocidade escalar diminui
entre t0 e tf. S el m a C a pa rr o z
Outra maneira de interpretar o sinal algébrico da aceleração é compreender que ela, assim como a velocidade, age ao longo de uma trajetória, a favor ou contra o sentido tomado arbitrariamente como positivo.
Podemos, por ora, apresentar esses sinais com o auxílio de setas, sobre a trajetória orientada. Veremos que essa forma de representação é bastante conveniente para entender o que ocorre com os movimentos:
• Se a velocidade e a aceleração escalar estiverem voltadas para o mesmo sentido durante todo o intervalo de tempo, o módulo da velocidade aumentará e o movi-mento será acelerado. Veja os exemplos na página a seguir.
• um veículo com velocidade 8 m/s sujeito à aceleração de 5 m/s2; observe como seria a evolução desse movimento;
v (m/s) 8 13 18 23
t (s) 0 1 2 3
• outra situação: um objeto com velocidade de –2 cm/s e aceleração de –3 cm/s2:
v (cm/s) –2 –5 –8 –11
t (s) 0 1 2 3
Repare que, independentemente de qual seja o sentido do deslocamento, o móvel fica ”mais rápido” a cada instante.
v s
a
Movimento progressivo e acelerado
v s
a
Movimento retr—grado e acelerado
Movimentos acelerados sobre uma trajet—ria.
• Se a velocidade e a aceleração escalar estiverem atuando em sentidos contrários durante todo o intervalo de tempo, o módulo da velocidade diminuirá e o movi-mento será retardado; exemplos:
• velocidade inicial 80 km/h, aceleração –20 km/h2:
v (km/h) 80 70 60 50
t (h) 0 0,5 1,0 1,5 • velocidade inicial –200 m/s, aceleração 25 m/s2:
v (m/s) –200 –150 –100 –50
t (s) 0 2 4 6
Repare que, independentemente do sentido do movimento, o móvel fica ”mais lento” a cada instante.
Movimento progressivo e retardado
v s
a
Movimento retr—grado e retardado
v s
a Movimentos retardados sobre uma trajet—ria.
Como você viu, a atuação de uma aceleração positiva sobre um móvel não redun-da, necessariamente, em um movimento acelerado. Tampouco uma aceleração nega-tiva implica um movimento retar dado.
Assim, a oposição entre movimento retardado e acelerado é determinada pela dife-rença de sentidos ou não na atuação da aceleração e no desenvolvimento da velocidade. a ⬎ 0
O valor algébrico da velocidade escalar aumenta com o decorrer
do tempo.
a ⫽ 0
A velocidade escalar
permanece constante.
a ⬍ 0
O valor algébrico da velocidade escalar diminui com o decorrer
do tempo.
Observe que valor algébrico não é o mesmo que valor absoluto ou módulo. Se uma velocidade passa de –5 m/s para –3 m/s, o seu valor algébrico aumenta mas seu valor absoluto diminui, configurando movimento retardado.
O movimento uniformemente variado
Se o acelerador de um veículo for pressionado em uma posição fixa, a aceleração produzida permanecerá constante, aumentando a velocidade do móvel a taxas pro-porcionais ao tempo sucedido.
Todo deslocamento cuja aceleração escalar instantânea é constante e não nula é denominado movimento uniformemente variado (MUV).
Decorre daí que a aceleração a do movimento uniformemente variado é igual à aceleração média:
a = am = ∆v ∆t
Movimentos uniformemente variados podem ocorrer em qualquer tipo de traje-tória; se ela for reta, o movimento será retilíneo e uniformemente variado (MRUV).
Exercícios resolvidos
ER1. Um veículo é submetido a testes de desempenho em um autódromo. No instante t1 = 12 s, sua velocida-de escalar é v1 = 15 m/s e, no instante t2 = 20 s, v2 = 55 m/s. Qual é a aceleração escalar média do veí-culo no referido intervalo de tempo?
Resolução:
v0 = v1 = 15 m/s; vf = v2 = 55 m/s; t0 = t1 = 12 s; tf = t2 = 20 s am = ∆v ∆t = vf – v0 tf – t0 = 55 – 15 20 – 12 = 40 8 = 5 Então, am = 5 m/s 2 .ER2. Feita uma cobrança de pênalti, no futebol de campo, o goleiro defende agarrando a bola chutada pelo adversário. Se a bola for imobilizada em um inter-valo de 0,1 s, com aceleração média de –300 m/s2, com que velocidade, em km/h, a bola chegou às mãos do goleiro? Desconsidere a resistência do ar.
Resolução:
A aceleração média é am = –300 m/s2 e o intervalo de tempo é ∆t = 0,1 s; substituindo os valores em am = ∆v
∆t ) –300 = ∆v0,1 ) ∆v = –30 m/s; como ∆v = vf – v0, temos: –30 = 0 – v0; logo, v0 = 30 m/s; transformando de m/s para km/h, obtemos: 30 ∙ 3,6 =
= 108 km/h; portanto, a bola chegou às mãos do goleiro a 108 km/h .
A propósito, a velocidade de 108 km/h é muito próxi ma da velocidade máxima de 110 km/h > 30,6 m/s permiti-da para o tráfego de veículos em várias rodovias no Brasil.
A lb e rt o D e S te fa n o
Diagramas a
×
t no MUV
Nos diagramas de aceleração escalar instantânea (a) em função do tempo, no movimento uniformemente variado, a aceleração é representada por uma reta parale-la ao eixo t, uma vez que ela permanece inalterada entre quaisquer instantes t1 e t2.
a t 0 a t 0 a ⬎ 0 a ⬍ 0
O diagrama a × t fornece informações relevantes sobre o comportamento da velocidade durante a locomoção do móvel. Lembre-se: no MUV, a = am; como am = ∆v
∆t = v2 – v1
t2 – t1, então v2 – v1 = a · (t2 – t1). Mas o que é a · (t2 – t1) no diagrama?
Notação: u∆vu =N
área(a × t)
Lê-se: O módulo da variação da velocidade é, no diagrama a × t, numericamen-te igual à área compreendida entre a curva de a e o eixo t (no intervalo de tempo t2 – t1).
No diagrama 1, ao lado, o móvel está transitando durante 50 s. Nos primeiros 30 s, ele anda sob a ação de uma aceleração cons-tante de 2 m/s2, e, nos 20 s finais, ele passa a locomover-se a –1 m/s2. Como cal cular a variação de velocidade do móvel nos dois intervalos de tempo?
Para encontrar as variações de velocidade do móvel, é preciso calcular as áreas A1 e A2 do diagrama 2:
• de 0 a 30 s: ∆v1 = N A1 = 2 · 30 ) ∆v1 = 60 m/s • de 30 a 50 s: ∆v2== N A2 = 1 · 20 ) ∆v2 = –20 m/s; ∆v2 é nega-tivo, pois a área A2 se encontra abaixo do eixo do tempo, em que a aceleração tem valores negativos; em termos da trajetó-ria, o objeto sofreu uma variação de velocidade de 20 m/s no sentido contrário à orientação positiva da trajetória; logo, não deixe de observar o valor algébrico da aceleração no intervalo para determinar a variação da velocidade do móvel, no interva-lo de tempo determinado.
• de 0 a 50 s: ∆v = ∆v1 + ∆v2 = 60 + (–20) \ ∆v = 40 m/s Note que só é possível saber a variação da velocidade, permanecendo desco-nhecidas as velocidades inicial e final do movimento. A locomoção tanto poderia ter começado a 17 m/s e terminado com 57 m/s, como iniciado a –29 m/s (em movi-mento retrógrado) e encerrado a +11 m/s (em movimovi-mento progressivo). Em ambos os casos, a variação de velocidade seria 40 m/s.
A função horária de velocidade no MUV
O movimento uniformemente variado tem para si uma função horária de velocidade. Sabemos que a aceleração escalar no MUV é constante e, portanto, igual à aceleração escalar média: a = am) ∆v
∆t = vf – v0
tf – t0.
A área da região compreendida en-tre a curva de a e o eixo do tempo t, no intervalo de tempo t1 a t2, representa o valor absoluto da variação da velocida-de ∆v. a t t1 ∆v t2 0
Aproveite esta oportunidade para reforçar a interpretação dos sinais algébricos da velocidade e da aceleração. Deixe claro que variações no sentido contrário da trajetória tanto podem significar que o módulo da velocidade diminuiu no sentido positivo como também aumentou no sentido negativo. a (m/s2) t (s) 2 –1 0 10 20 40 50 1 30 Diagrama 1 Diagrama 2 a (m/s2) t (s) A1 2 –1 0 10 20 40 50 1 30 A2
Exercícios resolvidos
ER3. No diagrama 1 mostrado na página 53, qual é a aceleração média no intervalo de tempo considerado?
Resolução:
A aceleração média é dada por: am = ∆v
∆t = 40
50 ) am = 0,8 m/s 2
ER4. Uma partícula eletrizada, deslocando-se em MUV, obedece à função horária v = –6 + 8 · t (SI). Determine:
a) v0 (velocidade inicial) e a (aceleração escalar); b) v (velocidade), quando t = 2 s;
c) t (instante) em que o movimento muda de sen tido.
Resolução:
a) Por comparação de v = –6 + 8 · t com a fórmula
geral v = v0 + a · t (SI), temos: v0 = –6 m/s e a = 8 m/s2
O que significam esses valores? O movimento co-meça com a partícula movendo-se no sentido contrário ao estabelecido como positivo na tra-
jetória orientada, a 6 m/s; sobre a partícula age uma aceleração que aumenta algebricamente a sua velocidade em 8 m/s a cada segundo; deve-mos esperar então que o módulo da velocidade se altere, assumindo valores como (–6 + 8) m/s após 1 s, (–6 + 8 · 2) m/s após 2 s etc. Ou seja, é de se esperar que em algum instante a velocidade deixe de ser negativa e passe eventualmente a as-sumir valores positivos.
b) Para t = 2 s em v = –6 + 8 · t, v = –6 + 8 · 2 )
) v = 10 m/s , conforme previsto no item a. c) De 0 a 2 s, a velocidade da partícula pas-
sou de –6 m/s (6 m/s para trás) para 10 m/s (10 m/s para a frente); isso só pode ter aconteci-do se, em algum instante entre 0 e 2 s, a partí-cula parou e passou a se deslocar com seu sen-tido de movimento inversen-tido. Nesse instante, a velocidade escalar instantânea tornou-se nula (v = 0), então:
v = –6 + 8 · t = 0 ) 8 · t = 6 ) t = 0,75 s
O móvel em MUV só poderá mudar de sentido se a velocidade inicial (v0) e a aceleração (a) tiverem si-nais opostos. Durante o deslocamento, deve haver um instante (t) em que o móvel para (v = 0) em algu-ma posição (s) da trajetória. Veja o que acontece se v0. 0 e a , 0: a , 0 v0 . 0 s0 (t = 0) s P
Em P o móvel para e começa a voltar.
ER5. Um carro de corrida, durante um treino, parte do repouso com uma aceleração constante de 0,7 m/s2. Que velocidade escalar, em km/h, ele atinge após 1 min 10 s?
Considerando que, no instante inicial t0 = 0, a velocidade é v0 e, no instante tf = t, a velocidade é vf = v, então a = v – v0
t – 0 ou v – v0 = a · t; portanto, v = v0 + a · t é a função horária de velocidade para o MUV.
v = v(t) = v0 + a · t Veja alguns exemplos na tabela abaixo.
Funções horárias de velocidades expressas em unidades do SI v = v0 + a á t (SI) v0 (m/s) a (m/s2) v = 20 + 3 · t 20 3 v = −5 − t −5 −1 v = t 0 1 v = 35 – 0,75 · t 35 −0,75 v = –53 + 0,2 · t −53 0,2
Descreva cada uma das situações retratadas pelas funções horárias. Ressalte que essas expressões não informam a posição inicial do móvel na trajetória.
Resolução:
Utilizando a função horária de velocidade escalar: v = v0 + a · t (SI) ) v = 49 m/s ou v =176,4 km/h ER6. A tabela mostra valores da velocidade escalar, em função do tempo, de um móvel em MUV.
v (cm/s) –7 –2 3 8 13 18
t (s) 0 10 20 30 40 50 Determine:
a) a função horária de velocidade escalar; b) o instante em que o móvel muda de sentido; c) a classificação do movimento no instante t = 10 s
quanto ao sentido (acelerado ou retardado) e à va-riação da velocidade escalar (movimento progres-sivo ou retrógrado).
Resolução:
a) Quando t = 0, a velocidade escalar é de –7 cm/s: v0 = –7 cm/s; a cada 10 s o móvel varia sua
veloci-dade escalar em 5 cm/s; então: a = ∆v ∆t = 5 10 = 0,5 ) a = 0,5 m/s 2 Substituindo v0 e a na função v = f(t) = v0 + a · t, vem: v = –7 + 0,5 · t (cm, s) b) Na mudança de sentido, v = 0: 0 = –7 + 0,5 · t ) 0,5 · t = 7 ) t = 14 s c) Em t = 10 s, a velocidade escalar é de –2 cm/s e a aceleração escalar é de +0,5 cm/s2; v , 0 e
a . 0 e caracterizam o movimento como
retrógrado (v , 0) e retardado (aceleração com sinal oposto ao da velocidade).
• Se v0. 0, o movimento será sempre progressivo e acelerado. v t v0 • Se v0, 0, teremos três situações: v0 v 0 t' t
1. de 0 a t : v , 0 ) o MUV é retrógrado e retardado. 2. quando t = t: v = 0 ) mudança de sentido. 3. quando t . t : v . 0 ) MUV progressivo e acelerado.
• Se v0, 0, o movimento será sempre retrógrado acelerado. v t v00 • Se v0. 0, teremos três situações: v0 v 0 t' t
1. de 0 a t: v . 0 ) MUV progressivo e retardado. 2. quando t = t: v = 0 ) mudança de sentido. 3. de t em diante: v , 0 ) MUV retrógrado e acelerado. b) Se a , 0, v(t) será uma função decrescente (o valor algébrico da velocidade diminui com o tempo), sendo assim
uma reta descendente.
Diagrama v
× t no MUV
Os diagramas da velocidade escalar em função do tempo (v × t), de um objeto em MUV, trazem in-formações sobre o seu deslocamento. Vamos, então, aprender a interpretá-los.
Classificação do movimento pelo diagrama v
× t
Perceba que a função horária de velocidade é uma função afim. Analogamente, no diagrama v × t ela
es-tará representada por uma reta, cujo crescimento dependerá do sinal da aceleração escalar a, que é o coeficiente de t.
a) Se a . 0, v(t) será uma função crescente (o valor algébrico de v aumenta com o decorrer do tempo), sendo, portanto, uma reta ascendente.
t v(t) 0 v0 1 v0 + a · 1 2 v0 + a · 2 3 v0 + a · 3 t v0 + a · t
Deslocamento no MUV
No capítulo anterior, vimos que a área sob o diagrama v × t de um móvel em MU permite determinar o seu deslocamento entre dois instantes t1 e t2 quaisquer. Será que no caso do movimento uniformemente variado vale o mesmo?
Para um movimento efetivado com duas velocidades distintas, podemos calcular o espaço percorrido pelo móvel como a soma algébrica das duas áreas A1 e A2 sob o diagrama v × t.
Para obter o mesmo resultado, podemos “aproxi-mar” trechos da reta de v(t) para pequenos segmentos em que a velocidade é considerada constante em dimi-nutos intervalos de tempo e calcular o deslocamento do mesmo modo que para o diagrama anterior. Veja o es-quema ao lado. Erraremos por falta ou por excesso, fa-zendo essa “aproximação”?
Em relação à área calculada por meio dos retângu-los é a área sob a curva: observe que a região que falta para completar o retângulo é precisamente a que foi incluída no retângulo adjacente. E, como a soma da área dos retângulos dá o deslocamento, podemos en-tão calcular a locomoção de móveis em MUV da mes-ma mes-maneira que no movimento uniforme.
O deslocamento de um móvel pode ser calculado pela área sob o gráfico da velocidade escalar em função do tempo, entre dois instantes quaisquer.
Esse artifício vale para todo tipo de movimento, uniforme ou variado.
A inclinação da reta v(t) no diagrama v × t
A inclinação da reta da função horária de velocidade no MUV no diagrama v × t confere a medida da aceleração do movimento:
• retas de v(t) paralelas ao eixo horizontal representam movimentos uniformes, em que a aceleração é nula;
• nas retas ascendentes, a aceleração é constante e positiva; • nas retas descendentes, a aceleração é constante e negativa.
Os diagramas mostrados a seguir descrevem o comportamento de dois móveis A e B, que sofrem a mesma variação de velocidade. Como comparar as acelerações aA e aB desses deslocamentos? v t v1 v2 t2 B v t v1 v2 A t1
A inclinação da reta v(t), nos dois diagramas v × t, é a aceleração do móvel em MUV. Qual dos dois móveis tem a maior aceleração? v t A2 A1 v2 v1 t1 t2 A1 + A2 = v1· t1 + v2· (t2 – t1) = = ∆s1 + ∆s2 v t v3 A3 A2 I II A1 v2 v1 t1 t2 t3 III IV V VI
Observe que a área sob a reta v × t também representa o espaço percorrido até t3,
pois os triângulos I e II são congruentes, assim como III e IV e como V e VI.
É fácil ver nos diagramas da página anterior que, se t2, t1, então a reta B tem uma inclinação maior que A, pois o móvel B alcança a mesma velocidade v2 antes de A (ambos partindo com a velocidade v1), e assim aB. aA.
Sabemos que a aceleração pode ser determinada pela razão entre ∆v e ∆t; no diagrama ao lado, ∆v
∆t é a tangente de q, ângulo de inclinação da reta v(t) em re-lação ao eixo horizontal.
Exercício resolvido
ER7. Com base no diagrama v × t abaixo, determine: a) o deslocamento cumprido entre 0 e 0,1 s;
b) a velocidade média do móvel nesse intervalo de tempo. t (s) 0 v (km/h) 108 0,1
Resolução:
De início, vamos observar as unidades das grandezas estabelecidas nos dois eixos.
A velocidade inicial de 108 km/h deve ser convertida para m/s: 108 : 3,6 = 30.
a) O deslocamento pode ser calculado pela área do triângulo sob a reta, delimitada pelo intervalo de tempo considerado: h = 30 b = 0,1 123 144424443 A = b · h 2 = 0,1 · 30 2 = 1,5 ) ∆s = 1,5 m b) Por definição, a velocidade média é dada por: vm = ∆s ∆t = 1,5 0,1 ) vm = 15 m/s v ∆v tg θ = θ ∆t t v1 v2 ∆v ∆t t2
A fun•‹o hor‡ria de espa•o no MUV
Você já sabe que a área sob a reta v(t) representa o deslocamento escalar efetuado em certo intervalo de tempo.
Observe na figura ao lado que o deslocamento ∆s = s – s0 é representado pela área do trapézio, de bases b e B e altura h:
∆s = s – s0 = b + B
2 · h
Como as medidas de b, B e h são, respectivamente, v0, v e t, ∆s = s – s0 =
v0 + v
2 · t
Lembrando que v = v0 + a · t, então: ∆s = s – s0 = v0 + v0 + a · t 2 · t = 2 · v0· t + a · t2 2 = v0· t + a · t 2 2 Assim, s = s0 + v0· t + a · t2
2 é a expressão que procurávamos: ela determina a posição do móvel em MUV a cada instante.
A sentença s = s(t) = s0 + v0· t + a · t2
2 é a lei ou função horária de espaço no MUV.
b = v0 0 v0 v v t B = v t h = t çrea 123 1442443 1444442444443
A função horária de espaço para o MUV é do tipo qua-drática (expressa por um polinômio de 2o
grau). Ela, em rela-ção à funrela-ção de espaço para o movimento uniforme, consi-dera uma terceira parcela
1
a · t2
2
2
, atribuível à existência da aceleração, que, alterando a velocidade do móvel, faz com que ele se desloque ainda mais ou menos, de acordo com a combinação entre os valores da velocidade e da aceleração.Exemplos de s = s(t), com unidades no SI s = s0 + v0 · t + a · t2 2 (SI) s (m) v0 (m/s) a (m/s 2) s = 100 + 15 · t + 8 · t2 100 15 16 s = –60 + t + 2 · t2 –60 1 4 s = 10t – t2 0 10 –2 s = 50 – 10 · t2 50 0 –20 s = 0,2 – t – 0,5 · t2 0,2 –1 –1 s = 0,25 · t2 0 0 0,5 Em cada expressão de 2o grau em t, o termo independente corres-ponde a s0, o coeficiente de t corresponde a v0 e o coeficiente de t2 corres-ponde a a 2.
Uma ferramenta matemática
Muitos fenômenos naturais, além do movimento uniformemente variado, são regidos por funções quadráticas, expressas por trinômios do segundo grau: f(x) = ax2 + bx + c, com a ? 0.
Em várias ocasiões, você deverá descobrir os valores de x que tornam a função f(x) nula, e isso é feito encontrando as raízes da equação ax2 + bx + c = 0. É possível resolver essa equação usando a fórmula resolutiva x = –b ± √ b2 – 4ac
2a ou técnicas de fatoração.
A curva associada à função quadrática é uma parábola de eixo de simetria vertical. A concavidade da parábola (para baixo ou para cima) dependerá do sinal do coeficiente a de x2.
y x V eixo de simetria x1 x2 y0 = f(0) y x V eixo de simetria x1 x2 y0 = f(0)
Exemplos de parábolas, eixos e pontos notáveis. O eixo vertical que passa pelo vértice V divide a parábola em dois ramos simétricos.
• Algumas parábolas de eixo de simetria vertical cruzam o eixo x em pontos x1 e x2 tais que f(x) = 0, ou seja,
x = –b ± √ b2 – 4ac
2a .
Você aprenderá mais sobre a função quadrática (e sobre a parábola) e suas propriedades no curso de Mate mática. Parábola de concavidade voltada para baixo, a , 0. Parábola de concavidade
voltada para cima, a . 0.
s = s0 + v0· t + a · t 2 2 deslocamento devido à velocidade inicial deslocamento devido à variação da velocidade espaço inicial espaço no instante t
Diagrama s × t para o MUV
Você já sabe que a função horária de espaço do MUV é do tipo quadrática em t: • o coeficiente do termo em t2 corresponde à metade da aceleração;
• o coeficiente do termo em t corresponde à velocidade inicial; • o termo independente corresponde ao espaço inicial.
O diagrama é um arco de parábola, definido em t > 0, que pode estar voltado para cima ou para baixo conforme for o sinal algébrico da aceleração.
Exemplos:
a) f(x) = 5 · x2 + 3 · x + 7: aceleração positiva, concavidade para cima; b) f(x) = –2 · x2 + 4 · x + 10: aceleração negativa, concavidade para baixo.
Veja que informações podemos obter analisando cuidadosamente os diagra-mas s × t.
Observe no gráfico 1 que, mesmo sob aceleração constante, o móvel realiza dois tipos de movimento:
• de 0 a t, os valores de espaço estão diminuindo e o movimento é retrógrado; como o móvel realiza deslocamentos cada vez menores em intervalos de tempo de mesma duração, isso indica que o módulo da velocidade está diminuindo, ou seja, o movimento é retardado;
• de t em diante, os valores de espaço estão crescendo, configurando um movi-mento progressivo; como o móvel percorre distâncias cada vez maiores em in-tervalos de tempo de mesma duração, isso significa que o módulo da velocidade está ficando maior, caracterizando um movimento acelerado;
• se o movimento passa de retrógrado para progressivo em t = t, então ele muda de sentido em t , ou seja, fica com velocidade nula.
De modo análogo, é possível ver que um diagrama como o gráfico 2, representa um movimento progressivo e retardado entre 0 e t , que o móvel está em repouso em t e, finalmente, que o movimento é retrógrado e acelerado de t em diante.
O diagrama s × t de uma partí cula em movimento uniformemente variado, como ao lado, apresenta um arco de parábola, em que o espaço (s) é uma função quadrática em t, com as seguintes caracterís ticas:
a) concavidade para baixo: a , 0.
b) para 0 < t < 2 s: o espaço aumenta e v . 0; portanto, o MUV é progressivo e retardado.
c) em t = 2 s: o móvel muda de sentido (v = 0).
d) para t > 2 s: o espaço diminui e v , 0; portanto, o MUV é retrógrado e acele rado. e) em t = 6 s: o móvel passa pela origem dos espaços (s = 0).
s (m) t (s) 16 12 8 4 0 2 4 6 arco de par‡bola s t t' s' 0 De 0 a t : MUV progressivo e retardado. Em t : repouso instantâneo. De t em diante: MUV retrógrado e acelerado. Gráfico 2 Gráfico 1 De 0 a t : MUV retrógrado e retardado. Em t : repouso instantâneo. De t em diante: MUV progressivo acelerado. s t t' s' 0
f) visualizando esquematicamente: s (m) 0 (t = 6 s) (t = 0) (t = 4 s) (t = 2 s) 4 8 12 16 espa•o inicial
Não se conhece a forma exata da trajetória porque o diagrama não fornece tal informação. g) determinando s = f(t), sendo (t, s): s = s0 + v0 · t + a · t2 2 : • (2, 16): 16 = 12 + v0 · 2 + a · 2 2 2 • (6, 0): 0 = 12 + v0 · 6 + a · 6 2 2 Resolvendo o sistema de equações, temos v0 = 4 m/s e a = –2 m/s2. Portanto: s = 12 + 4 · t – t2 (SI)
Visão global dos diagramas na Cinemática
s × t v × t a × t repouso s t v t a t MU movimento uniforme s s t t v v t t a a t t MUV movimento uniformemente variado s s t1 t2 t t t1 t2 v v t t a a t t movimento variado s t3 t4t5 t t3 t4t5 v t t3 t4t5 a t
Equação de Torricelli
As funções horárias de espaço e de velocidade no MUV permitem a dedução, a partir delas, de uma terceira expressão. Façamos isso por meio da análise da situação que segue.
Um motorista, correndo no tráfego urbano, precisa frear o veículo em um trecho de exatos 20 m para poder respeitar o sinal fechado à frente. Se, antes de iniciar a frenagem com desaceleração constante, a velocidade do auto for de 36 km/h, qual deve ser a desaceleração a ser aplicada para que ele pare antes da faixa de pedestres?
Sabemos que a velocidade deve cair de 10 m/s para 0 em um deslocamento de 20 m, mas não sabemos quanto tempo é necessário para que isso aconteça.
Lembrando que s = s0 + v0 · t + a · t2 2 , 20 = 0 + 10 · t + a · t2 2 ) 20 = 10 · t + a · t 2 2 ① v = v0 + a · t ) 0 = 10 + a · t ) a · t = –10 ②
Substituindo ② em ①, obtemos uma equação em t que nos permite descobrir o tempo necessário para o veículo parar:
20 = 10 · t + –10 · t
2 ) 20 = 5t ) t = 4 s
São necessários 4 s para que o veículo pare nas condições estabelecidas pelo problema.
Levando essa informação em ②: a · 4 = –10 ) a = –2,5 m/s2
Um pouco de Matemática – Equação de Torricelli
Na situação descrita, observe que, como o tempo de frenagem não foi fornecido, foi necessário calculá--lo antes para se chegar ao valor da aceleração, combinando as funções de posição e de velocidade no MUV.
Em um caso geral, sabemos que:
s = s0 + v0 · t + a · t2
2 ) ∆s = v0 · t + a · t 2 2 Multiplicando a equação por 2a:
2a · ∆s = 2a · v0 · t + a² · t² ① Elevando ao quadrado a expressão v = v0 + a · t, tem-se:
v2 = v2
0 + 2 · v0 · a · t + a
2 · t2 ②
2a · ∆s
E, substituindo ① em ②, temos: v² = v20 + 2 · a · ∆s
Essa sentença matemática, conhecida como equação de Torricelli, expressa a velocidade obtida por um móvel que se desloca um espaço ∆s com velocidade inicial (v0) e aceleração constante (a), sem envolver a grandeza tempo.
Vamos resolver novamente o mesmo problema, usando agora essa equação. Temos os seguintes dados fornecidos:
• ∆s = 20 m;
• v0 = 36 km/h ou 10 m/s; • v = 0.
Aplicamos, então, a equação de Torricelli: v2 = v2
0 + 2 · a · ∆s ) 0
2 = 102 + 2 · a · 20 ) a = −2,5 m/s2
O sinal negativo da aceleração indica movimento retardado quando a veloci- dade for positiva (progressivo) e movimento acelerado quando a velocidade for negativa (retrógrado).
Observe que o módulo mínimo da “desaceleração” é de 2,5 m/s2 e que esse valor teria que ser maior se quisessemos parar o automóvel antes dos 20 m.
Exercícios resolvidos
ER8. Um ponto material obedece à função horária: s = –30 + 5 · t + 5 · t2 (SI), t > 0. Determine:
a) o instante em que o móvel passa pela origem; b) a função horária de velocidade escalar do móvel; c) o instante em que o móvel muda de sentido; d) a velocidade escalar média do móvel entre 0 e 3 s.
Resolução:
A função horária dá todas as informações para que possamos esquematizar o movimento do móvel:
v0 = 5 m/s s0 = –30 m (t = 0) s = 0 (origem) s (m) a) Na origem, s = 0: 0 = –30 + 5 · t + 5 · t2 ) t² + t – 6 = 0 t = –1 ± √ 25 2 ) t = 2 ou t = –3 Como t > 0, então t = 2 s b) s(t) = –30 + 5 · t + 5 · t2, logo: s0 = –30 m, v0 = 5 m/s e, como a 2 = 5, a = 10 m/s 2 Assim, v(t) = v0 + a · t = 5 + 10 · t (SI) . c) Na mudança de sentido, v = 0: 0 = 5 + 10 · t ) 10 · t = –5 ) t = –0,5 s
Como t > 0, o resultado t = –0,5 s não é possí- vel; então conclui-se que o móvel não muda de
sentido em nenhum instante do movimento. d) No capítulo anterior vimos que vm = sf – s0
tf – t0; para t0 = 0, tem-se s0 = –30 m e, para tf = 3 s,
sf = –30 + 5 · 3 + 5 · 32 ou s
f = 30 m; desse modo, a velocidade escalar média no intervalo 0 < t < 3 s é: vm = 30 – (–30)
3 – 0 = 20 m/s
ER9. Os valores da velocidade escalar em função do tem-po, de uma joaninha em MUV, estão na tabela a seguir:
t (s) 0 0,5 1,0 1,5 2,0
v (m/s) –1 0 1 2 3
Sabe-se que, no instante t = 0, a joaninha localiza-se no espaço igual a 3 m.
Determine:
a) a função horária de velocidade escalar; b) a função horária de espaço.
Resolução:
a) Quando t = 0, v0 = –1 m/s. Como há variação da veloci-dade escalar de ∆v = 1 m/s a cada ∆t = 0,5 s, a acelera-ção escalar do MUV é: a = ∆v
∆t = 1
0,5 = 2 m/s 2
Desse modo, v(t) = –1 + 2 · t (SI) . b) Sendo s0 = 3 m e a = 2 m/s2, então: s = s0 + v0· t + a · t2 2 = 3 + (–1) · t + 2 · t 2 2 \ s(t) = 3 – t + t² (SI)
ER10. Dois móveis, A e B, encontram-se em uma mesma posição, no instante t = 0. O móvel A mantém uma velocidade escalar constante de 10 m/s. O
móvel B parte do repouso em t = 0 e mantém uma
aceleração escalar constante de 0,2 m/s2. Sabendo- -se que ambos percorrem a mesma trajetória, indo no mesmo sentido, determine:
a) o instante em que B alcança A;
b) a velocidade escalar de B no instante em que estiver ultrapassando A;
c) a velocidade escalar de B em relação a A no item anterior.
Resolução:
a) No instante inicial t0 = 0: s A Bs0 v0 = 0 vA = 10 m/sPouco depois, A segue à frente de B e vai aumen-tando a distância relativa até o momento em que
B atinge a velocidade de 10 m/s: s s0 vA = 10 m/s vB = vA A B v0 = 1 m/s s0 = 3 m (t = 0) s Ilu st ra çõ e s: F e rn a n d o M o n te ir o
Com o aumento da velocidade de B, vai diminuindo a distância que o separa de A, até B alcançá-lo e ultrapassá-lo: s vB . vA vA = 10 m/s A B s0A = s0B; vA = 10 m/s; v0B = 0 aB = 0,2 m/s2 Em MU, sA = s0A + v · t. sA = s0A + 10 · t Em MUV, sB = s0B + v0· t + a · t2 2 . sB = s0B + 0,1 · t2 (SI) Quando B alcança A, sA = sB: s0A + 10 · t = s0B + 0,1 · t2, e, como s 0A = s0B, então 10 · t = 0,1 · t2⇒ 0,1 · t2 – 10 · t = 0, portanto t = 0 ou t = 100 s.
Como t = 0 é o instante da partida, conclui-se que
B alcança A quando t = 100 s .
Observe que, nesse caso, desconsiderou-se t = 0 porque nesse instante os dois móveis já estavam juntos, enquanto, em t = 100 s, B alcança A. b) vB = v0B + aB· t = 0,2 · t (SI)
Quando t = 100 s:
vB = 0,2 · 100 = 20 ) vB = 20 m/s
c) Velocidade escalar relativa de B em relação a A: vBA = vB – vA = 20 – 10 = 10 ⇒ vBA = 10 m/s
ER11. Uma partícula parte
do ponto A e atinge o
ponto B, em MU, com
ve-locidade de 10 m/s, em
0,3 s. A partir do ponto B, ela é retardada de manei-ra uniforme a 20 m/s2, em valor absoluto, até parar no ponto C. Calcule o espaço de A a C.
Resolução:
MU no segmento AB: v = 10 m/s; ∆t = 0,30 s ∆s = v · ∆t = 10 · 0,30 ⇒ ∆sAB = 3,0 m No segmento BC: MUV v0 = 10 m/s; a = –20 m/s2; v = v f = 0 v2 = v2 0 + 2a · ∆s 0 = 102 + 2(–20) · ∆s ⇒ ∆s BC = 2,5 m Então: ∆sAC = ∆sAB + ∆sBC = 3,0 + 2,5 ⇒ ∆sAC = 5,5 mER12. Uma partícula que parte da origem (s0 = 0) tem sua velocidade escalar em função do tempo mos-
A
B
C
trada no gráfico. Esboce os diagramas s × t e a × t correspondentes. t (s) v (cm/s) 10 0 10 20 30 40
Resolução:
Cálculos de ∆s pela área e a = ∆v
∆t nos seguintes in-tervalos: • 0 < t < 10 s: ∆s1 = 10 · 10 2 ⇒ ∆s1 = 50 cm e a1 = 10 10 = 1,0 ⇒ a1 = 1,0 cm/s 2 • 10 s , t < 20 s: ∆s2 = 10 · 10 ⇒ ∆s2 = 100 cm e a2 = 0, porque a velocidade é constante.
• 20 s , t < 40 s: ∆s3 = 20 · 10 2 ⇒ ∆s3 = 100 cm e a3 = –10 20 ⇒ a3 = –0,5 cm/s 2 s (cm) t (s) 250 150 50 0 10 20 30 40 ∆s3 ∆s2 ∆s1 Diagrama s × t segmento de reta arco de parábola de concavidade para baixo arco de parábola de concavidade para cima Diagrama a × t 1,0 0 –0,5 10 20 30 40 a (cm/s2) t (s) Ilu st ra çõ e s: F e rn a n d o M o n te ir o
OutrAs PAlAvrAs NÃO NOescrevalivrO FaÇa NO
caderNO
Análise cinemática de um movimento de kung fu
Para que mais serve a Cinemática? Veja uma aplicação para a compreensão dos movimentos de kung fu. Três indivíduos foram requisitados a golpear uma bola de basquete usando o movimento de kung fu Yau-Man conhecido como “palma”. As posições consecutivas da mão, durante o golpe, foram filmadas em intervalos de tempo muito pequenos, da ordem de milissegundos (1 ms = 10–3 s). O estudo confirmou que o esforço mecânico, ou a força
me-cânica desenvolvida, faz com que o movimento da mão seja uniformemente acelerado. Veja como no texto a seguir. Embora a Mecânica já fosse conhecida desde o
século XVII, apenas no século XX surgiu a biome-cânica, que, desde a década de 1960, percorre um caminho estreito entre o que se faz nos laborató-rios e a sua aplicação prática na compreensão do movimento humano. Todavia, o seu uso em artes marciais ainda é pouco frequente, especialmente no Brasil ou em movimentos de kung fu.
Muitos benefícios propiciados pela arte mar-cial, tanto na saúde física quanto mental de seus praticantes, são conhecidos através dos tempos. Tendo em vista esses benefícios, hoje em dia al-guns estudos sobre artes marciais estão sendo rea-lizados. Os estudos biomecânicos das artes marciais buscam sua compreensão e quantificação, para que futuramente possibilitem que as artes mar-ciais possam ser aplicadas largamente na prepa-ração física de atletas de outras modalidades, bem como na terapia de pessoas com problemas moto-res ou portadomoto-res de alguma necessidade especial. A arte marcial chinesa wushu, também conheci- da como kung fu, tem uma história de milhares de anos. Ela nasceu da necessidade do ser humano de se defender dos ataques de predadores e de outros seres humanos. Devido à extensa história de guerras entre diferentes reinos que hoje constituem a China e seus países vizinhos, as artes militares ou marciais sempre desempenharam um papel importante na ci-vilização chinesa. Na tradição chinesa, um guerreiro preocupa-se primeiro em defender-se, e tem como principal objetivo instaurar a “grande paz” (taiping). Para isso, através da história, diferentes guerreiros de-senvolveram diferentes sistemas ou estilos de autode-fesa, cada sistema com ideias e movimentos próprios. Muitos estilos diferentes de artes marciais surgi-ram na China no decorrer dos últimos 1 500 anos e vários deles são praticados ainda hoje. A maioria de-les evoluiu a partir das escolas fundadoras. As duas principais escolas fundadoras estão ligadas a dois fa-mosos centros religiosos da China: o Templo Shaolin (centro budista) e o monte Wudang (centro taoísta).
A lloy /C o rb is /L at in st o ck
Os movimentos do kung fu Yau-Man são curtos (de pouca
amplitude) e poderosos (alta força de impacto).
O estilo Yau-Man (“andarilho”) foi criado durante a Dinastia Ch’ing (1644-1911) a partir do estudo dos conhecimentos das diversas escolas de artes mar-ciais. Os movimentos do kung fu Yau-Man têm como características principais serem curtos (de pouca am-plitude) e poderosos (alta força de impacto). Essas características fazem deles movimentos ideais para um estudo biomecânico.
Nos estudos biomecânicos as avaliações cine-máticas são normalmente realizadas utilizando-se diferentes sistemas. Esses sistemas normalmente são constituídos de uma ou mais câmeras de vídeo que possibilitam realizar avaliações 2D (plano sagital, pla-no frontal) ou 3D (plapla-nos sagital, frontal e transverso) em diferentes taxas de amostragem. Após a filmagem, o movimento é digitalizado, reconstruído e quantifica-do através de softwares específicos para cada sistema.
Os três movimentos foram analisados de ma-neira a gerar posições a cada 5 ms, desde o início dos movimentos até o instante antecedendo o im-pacto. […]. Foram obtidos então os valores de po-sição e velocidade através da solução da equação diferencial proposta.
Os resultados confirmam a hipótese que a força muscular resultante de um movimento de kung fu Yau-Man é constante antes do impacto.
Pinto neto, O.; Magini, M.; Saba, M.; M. F. Análise cinemática de um movimento de kung fu: a importância de uma apropriada interpretação física para dados obtidos através de câmeras rápidas. Revista Brasileira de Ensino de F’sica. Disponível em: <www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/060212.pdf>. Acesso em: 23 set. 2015.
Organizando as ideias do texto
1. Nos dois diagramas, os valores obtidos experimentalmente concordam em boa medida com as previsões
teóricas (modelo). Calcule, então, a aceleração média da mão.
2. Como você sabe, valores experimentais apresentam desvios em relação às previsões teóricas. O valor obtido
da aceleração, neste caso, deve ser maior ou menor que o previsto? Justifique. Professor, veja Orientações Didáticas.
vídeo 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0 0,05 0,15 0,1 0,2 0,25 0,3 modelo Gráfico da posição através do tempo
posição (cm)
tempo (s)
Gráfico do deslocamento da mão de um dos praticantes em função do tempo, obtido a partir da análise de vídeo e da solução da equação do modelo proposto para o movimento. O estudo concluiu que a curva do deslocamento em função do tempo é um arco de parábola, típica do movimento unifor-memente acelerado. 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
Gráfico da velocidade através do tempo
velocidade (m/s)
tempo (s)
velocidade média modelo
Gráfico dos valores de velocidade média obtido pela análise de vídeo e aqueles gerados a partir do modelo. Observe que a curva experimental está muito próxima da reta teórica do modelo, o que confirma movimento uniformemente acelerado.
Aplicativo
Parábola: Ciência à mão – Instituto de Física – USP
Disponível em: <www.cienciamao.usp.br/tudo/exibir.php?midia=tex&cod=_mexendonaparabola>. Acesso em: 23 set. 2015.
O aplicativo discute o que é uma parábola, sua construção, como obter uma parábola que passa por três pontos. Em seguida é abordada a função quadrática, expressa por um trinômio do segundo grau e a pesquisa de raízes reais. Finalmente, mostra-se como podemos traçar uma tangente por um ponto da parábola e obter sua equação.
Para saber mais
b) Para que o avião atinja a velocidade de 270 km/h, num intervalo de 25 s, que aceleração média deve ser aplicada, em m/s2? 3 m/s²
EP2. Segundo informações do manual do proprietário, um veículo atinge a velocidade de 108 km/h, a partir do EP1. Quando um avião, inicialmente em repouso,
reali-za o procedimento de decolagem, precisa atingir certa velocidade, num intervalo de tempo.
a) Durante esse procedimento, o avião pode manter um movimento uniforme do início ao fim? Por quê?
Exercícios propostos
NÃO escrevaNOlivrO
FaÇa NO caderNO
repouso, em 12 s. Se a velocidade de 108 km/h for alcan-çada com uma aceleração constante, de quanto será essa aceleração? 2,5 m/s²
EP3. Em um autódromo, um carro é submetido a tes-tes de desempenho para avaliar aspectos técnicos e econômicos. No instante t1 = 10 s, sua velocidade é v1 = 6 m/s e, no instante t2 = 20 s, a velocidade é v2. Sendo a aceleração média do carro igual a 5,5 m/s2, qual é o valor de v2? 61 m/s
EP4. Que informações podemos obter de um diagrama a × t (aceleração escalar em função do tempo)? EP5. Com base no diagrama a × t fornecido, determi-ne a aceleração escalar média no intervalo de tempo de 0 a 24 s. 1 m/s2 a (m/s2) 6 0 –3 8 16 24 t (s)
EP6. Em uma experiência realizada em laboratório, uma partícula carregada positivamente passou a locomover--se em movimento uniformemente variado, obedecendo à função horária de velocidade v = −2 + 7 ∙ t (SI). Então, determine:
a) v0 (velocidade inicial) e a (aceleração);
v0 = −2 m/s e a = 7 m/s2
b) v (velocidade) quando t = 3 s. v = 19 m/s
EP7. Determine a função horária de velocidade de um movimento representado na tabela a seguir. Sabe-se que a aceleração à qual é submetido o móvel permanece cons-tante ao longo do tempo. v = 30 + 2,5 ∙ t (SI)
v (m/s) v0 35 40 45 50
t (s) 0 2 4 6 8
EP8. Um robô eletromecânico movimenta-se obede-cendo à função horária v = –3 + 0,5 · t (SI). Classifique o movimento quanto ao sentido e à variação da veloci-dade escalar nos instantes:
a) t = 2 s; b) t = 6 s; c) t = 7 s.
a) retrógrado e retardado; b) repouso instantâneo (instante da mudança de sentido); c) progressivo e acelerado.
EP9. De acordo com o diagrama v × t abaixo, determine: a) a função horária de velocidade com que o móvel
transita em MUV; v = 8 · t (SI)
b) o deslocamento realizado entre 0 e 15 s; 900 m
c) a velocidade média do móvel nesse intervalo de tempo. 60 m/s
120
15
0 t (s)
v (m/s)
Professor, veja se os estudantes entenderam a diferença entre mover-se com aceleração constante e com aceleração variável.
EP4. Ele mostra os valores da aceleração de um móvel correspondentes aos instantes considerados. Além disso, é possível determinar a variação da velocidade (∆v) entre um intervalo de tempo por meio do cálculo da área formada pela linha do gráfico.
EP10. A função horária de espaço do movimento de uma bola de bilhar, que se desloca em linha reta, é dada pela expressão s = 2 + 3 ∙ t − 0,2 ∙ t2 (com uni-dades do SI).
a) Qual é a função horária de velocidade do movimento? b) Em que instante a bola muda de sentido? 7,5 s
EP11. A velocidade de um móvel aumenta, de forma uniforme, em 1,2 m/s a cada 3,0 s. Em dado instante, sua velocidade é de 0,6 m/s. Então, a partir desse ins-tante, nos 4,0 s seguintes, qual será a distância per- corrida pelo móvel? 5,6 m
EP12. Um ciclista passa ao lado de outro em um instante
t0. Em t0, o ciclista Norberto está em repouso, mas ime-diatamente passa a acelerar a 0,5 m/s2. O ciclista Edson mantém uma velocidade constante de 5 m/s. Ambos percorrem trajetórias retilí neas e paralelas , correndo no mesmo sentido. Deter mine:
a) o instante em que Norberto fica lado a lado, nova-mente, com Edson;20 s
b) a velocidade que Norberto desenvolve nesse instante. EP13. Um carro de corrida, durante os testes efetua dos para seu desenvolvimento, parte do repouso e acelera constantemente a 7 m/s².
a) Que velocidade, em km/h, ele atingiu após 10 s? b) Qual foi a distância coberta por ele nesse intervalo
de tempo? 350 m
EP14. Um automóvel trafegou ao longo de uma rodo-via. Sua posição em função do tempo está representada no diagrama abaixo: 100 30 0 s (m) t (s)
Então, de acordo com o diagrama, responda:
a) Qual foi a distância máxima que o automóvel se afastou do ponto de partida?
b) Depois de quanto tempo ele retornou à origem? c) Nos primeiros 10 s do percurso, em que sentido
(progressivo ou retrógrado) o automóvel rodou? O movimento efetuado foi acelerado ou retardado? EP15. Uma bola de futebol, que se move a 2 m/s, recebe a aplicação de uma aceleração constante de 50 m/s2, no mesmo sentido do deslocamento.
Então, ao perfazer 45 cm sob ação da aceleração, a bola estará com que velocidade? 7 m/s
EP16. No diagrama, mostram-se as posições de dois móveis (M e T) transitando sobre a mesma trajetória.
v = 3 − 0,4 ∙ t (SI)
10 m/s
252 km/h
a) 100 m; b) 30 s; c) progressivo e retardado
suas posições (s) dadas em função do tempo (t), confor-me o gráfico abaixo. s (m) t (s) a b 0 3 4
O arco de parábola que representa o movimento da partí-cula b e o segmento de reta que representa o movimento de a tangenciam-se em t = 3 s. Sendo a velocidade inicial da partícula b de 8 m/s, o espaço percorrido pela partícula
a do instante t = 0 até o instante t = 4 s, em metros, vale
a) 3,0 b) 4,0 c) 6,0 d) 8,0 X
EP22. (Acafe-SC) Para garantir a segurança no trânsito, deve-se reduzir a velocidade de um veículo em dias de chu-va, senão vejamos: um veículo em uma pista reta, asfaltada e seca, movendo-se com velocidade de módulo 36 km/h (10 m/s) é freado e desloca-se 5,0 m até parar. Nas mesmas circunstâncias, só que com a pista molhada sob chuva, ne-cessita de 1,0 m a mais para parar. Considerando a mesma situação (pista seca e molhada) e agora a velocidade do veículo de módulo 108 km/h (30 m/s), a alternativa correta que indica a distância a mais para parar, em metros, com a pista molhada em relação à pista seca é:
a) 6 b) 2 c) 1,5 d) 9 X
EP23. (UFPA) Uma criança, brincando com um cami-nhãozinho, carregando uma garrafa com água, que pinga constantemente, molha o chão da casa com pin-gos espaçados, como se observa na ilustração abaixo.
Considerando-se essa situação, como é possível classifi-car o movimento do caminhão no trecho percorrido? EP24. Você concorda com a construção de uma estra-da que facilite a locomoção de pessoas entre localiestra-da- localida-des, mas que necessite derrubar árvores e alterar algu-mas condições ambientais? Justifique sua resposta com argumentações. A lb e rt o D e S te fa n o
Acelerado e depois retardado.
Resposta pessoal. 80 T M 10 20 s (m) t (s)
Quais afirmativas estão corretas?
a) Ambos os móveis partem do mesmo local. b) O móvel T acaba ultrapassando o móvel M. c) No início, M estava mais rápido que T.
d) A ultrapassagem acontece pouco antes do instante 20 s.
e) Os móveis se encontram na posição 80 m.
f) No instante 10 s, o móvel M estava à frente de T e a distância entre eles era menor que 40 m.
EP17. Um veículo está a 45 m de um semáforo quando este muda para amarelo. Se o motorista conseguir acio-nar o freio imediatamente, aplicando uma desacelera-ção constante de 10 m/s2, calcule com que velocidade máxima o veículo deverá estar andando, a fim de que ele pare no semáforo. Dê a resposta em m/s e em km/h. EP18. Em uma corrida de automóveis, um competidor se aproxima de uma curva a 180 km/h. Acionando o freio com um retardamento constante, ele consegue reduzir a velocidade do veículo para 108 km/h, tendo andado com isso uma distância de 160 m. Calcule a intensidade da aceleração aplicada. −5 m/s2
EP19. No diagrama v × t abaixo, a área colorida tem um valor numericamente igual ao deslocamento efetuado pelo móvel. Então, se a aceleração for igual a 5 m/s², determine: a) o deslocamento; 160 m b) o valor de x. 8 s 0 40 x v (m/s) t (s)
EP20. De acordo com os dados do diagrama v × t, cal-cule a mudança de posição do móvel, tendo ele sido submetido à aceleração de 2 m/s2. 600 m 0 50 10 t v (m/s) t (s)
EP21. (EPCAr-MG) Duas partículas, a e b, que se movi-mentam ao longo de um mesmo trecho retilíneo têm as
Todas as afirmativas estão corretas.
