IFMG-Formiga
Lógica para
Ciência da Computação
Profª. Danielle Costa
Métodos para determinação de
validade de fórmulas
Tabela verdade
Considere uma fórmula H com 6 símbolos proposicionais. H possui 64 linhas. O método da tabela verdade é viável em fórmulas que contém um pequeno número de símbolos proposicionais.
Árvore semântica
Determina a validade de uma fórmula a partir da estrutura de dados denominada árvore.
Método da negação ou absurdo
Considera-se inicialmente a negação daquilo que se pretende demonstrar. Assim, dada uma fórmula H, se o objetivo é
Método da
árvore semântica
1
2 3
4 5
6 7 8
Nós - números Raiz – 1
Folhas – 2,6,7,8
Nó 1:
H=(P
→
Q)
↔
((
¬
Q)
→
(
¬
P))
T
F
F
T
Nó 2:
H=(P
→
Q)
↔
((
¬
Q)
→
(
¬
P))
T T
F F
T F T F
Nó 4:
H=(P
→
Q)
↔
((
¬
Q)
→
(
¬
P))
=(T
→
T)
↔
((
¬
T)
→
(
¬
T)) =T
1
2 3
Método da
árvore semântica(cont.)
I[P]= T I[P]= F
1
2 3
I[P]=T I[P]=F
I[Q]=T I[Q]=F
4 5
Método da
árvore semântica(cont.)
Nó 5:
H=(P
→
Q)
↔
((
¬
Q)
→
(
¬
P))
=(T
→
F)
↔
((
¬
F)
→
(
¬
T)) =T
Nó 3:
H=(P
→
Q)
↔
((
¬
Q)
→
(
¬
P))
=(F
→
?)
↔
((
¬
?)
→
(
¬
F))
=(T)
↔
((
¬
?)
→
(T))
=(T)
↔
(T)
= T
1
2 3
I[P]=T I[P]=F
I[Q]=T I[Q]=F
4 5
T T
1
2 3
T
I[P]=T I[P]=F
I[Q]=T I[Q]=F
4 5
Método da
árvore semântica(cont.)
H é válida, contraditória ou factível?
É válida se todas as folhas forem rotuladas com T
É contraditória de todas as folhas forem rotuladas com F
Para provar que H é uma tautologia
Supõe-se inicialmente, por absurdo que
H NÃO é uma tautologia
As deduções desta fórmula levam a um
fato contraditório (ou absurdo)
Portanto, a suposição inicial é falsa e:
H é uma tautologia
(A não-validade de H é um absurdo)
Exemplo do método da negação
ou absurdo
Lei da transitividade para → :
((P → Q)^(Q → R)) →(P → R)
Por absurdo:
Suponha que H não é uma tautologia. Então é possível interpretar H como falsa.
I[((P → Q)^(Q → R)) →(P → R)]=F
Como I[H]=F, então:
I[(P → Q)^(Q → R) ]=T e I[(P → R)]=F
A partir desses valores de verdade, os valores de verdade das outras subfórmulas são obtidos:
((P → Q)^(Q → R)) →(P → R)
T T T F
É possível concluir que P é T. Assim: ((P → Q)^(Q → R)) →(P → R)
Exemplo do método da negação
ou absurdo (cont.)
Exercícios
Determine as propriedades usando árvore
semântica:
A) ¬(¬H) ↔ H
B) ¬(P→Q) ↔ (P ^ (¬Q))
C) ¬(P ↔ Q) ↔ (¬ P ↔ Q)
Aplicações do método da
negação ou absurdo
Para provar que H é contraditória
Supõe-se que H não é contraditória, ou seja, existe pelo menos uma interpretação I tal que I[H]=T. O raciocínio segue análogo ao descrito.
Fórmulas com o conectivo
→
Só existe uma possibilidade de absurdo I[Antecedente]=T e I[Conseqüente]=F
Fórmulas com o conectivo ^
Supõe a veracidade da fórmula. Também 1 só forma: I[A]=T e I[B]=T
Fórmulas com o conectivo v
Ausência de absurdo
Se uma asserção é negada, mas o absurdo
não aparece,
Nada se pode concluir sobre a veracidade
da asserção inicial.
Exemplo: H:(P
→
Q)
↔
((
¬
P)
→
(
¬
Q))
Suponha I[H]=
F
Possibilidade 1: T
F
Exemplo de Ausência de absurdo
Exemplo: H= (P
→
Q)
↔
((
¬
P)
→
(
¬
Q))
Possibilidade 1: T
F
F T T
F
Possibilidade 2: F
T
T F F
T
Exercício do método de negação
ou absurdo
Determine pelo método do absurdo a validade
das sentenças:
a) (F and G) and H iff
F and (G and H) b) F iff (F and F) c) If F then F
d) (P^Q) ↔((¬PvQ)) é tautologia?
