Processamento Digital de Sinais. Notas de Aula. Série e Transformada Discreta de Fourier DFS / DFT. Transformadas para sinais de tempo discreto

(1)

Processamento Digital de Sinais

Notas de Aula

S´ erie e Transformada Discreta de Fourier

DFS / DFT

Ricardo Tokio Higuti

Departamento de Engenharia El´etrica - FEIS - Unesp

Observa¸c˜ao: Estas notas de aula est˜ao baseadas no livro: “Discrete-Time Signal Processing”, A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Prentice Hall, 1989/1999.

Transformadas para sinais de tempo discreto

DTFT: X(e

^jω

) =

^X^∞

n=−∞

x[n]e

^−jωn

• E uma transformada da vari´avel cont´ınua ´ ω

• Usada para sinais de dura¸c˜ao finita/infinita

• N˜ao pode ser implementada de maneira exata num computador

• Uso de outras ferramentas matem´aticas que a aproximam DFT:

• Aplicada a sinais de tempo discreto de dura¸c˜ao finita

• O resultado é um sinal de frequência discreta e de dura¸cão finita

• Pode ser implementada de maneira exata num computador

• E uma aproxima¸c˜ao da DTFT ´

• Existem algoritmos eficientes para seu c´alculo (FFT - Fast Fourier Transform )

• Est´a relacionada com sinais peri´odicos (DFS - Discrete Fourier Series ) Aplica¸c˜ oes:

• An´alise espectral de sinais, resposta em frequˆencia

• Implementa¸c˜ao de SLITs

(2)

S´ erie Discreta de Fourier - DFS

Seja um sinal de tempo discreto peri´odico, com per´ıodo N, que obedece a:

˜

x[n] = ˜ x[n + rN ], r, N inteiros, em que define-se a frequˆ encia fundamental do sinal por:

ω

0

= 2π N

Analogamente ao caso de tempo cont´ınuo, este sinal também pode ser representado por uma série, composta por uma soma de exponenciais complexas de tempo discreto, cujas frequências são m´ ultiplas da frequência fundamental:

˜

x[n] =

^X

k

X ˜

_k

N e

^j^2π^N^kn

Devido à periodicidade das frequências das exponenciais complexas, há apenas N frequências distintas:

e

_k

[n] = e

^j^2π^N^kn

Para k inteiro, fica-se com as exponenciais e

0

[n], e

1

[n], ..., e

N−1

[n].

Quando k = N , tem-se:

e

_N

[n] = e

^j^2π^N^{N n}

= e

^j2πn

= 1 = e

₀

[n]

De forma an´aloga, e

_N₊₁

[n] = e

₁

[n] e assim por diante.

S´ erie Discreta de Fourier - DFS

Portanto, h´a apenas N diferentes frequˆencias:

ω

_k

= 2π

N k, para k = 0, 1, 2, · · · , N − 1 e portanto a s´erie fica:

˜ x[n] = 1

N

N−1 X k=0

X ˜

_k

e

^j^2π^N^kn

= 1 N

N−1 X k=0

X ˜ [k]e

^j^2π^N^kn

Os valores ˜ X [k] são os coeficientes da série discreta de Fourier (DFS), que representam a contribui¸cão de cada componente de frequência 2πk/N na composi¸cão do sinal periódico. Os coeficientes são obtidos por:

X ˜ [k] =

^N−1^X

n=0

˜

x[n]e

^−j^2π^N^kn

, −∞ < k < +∞

Chagando-se ao par transformado:

˜

x[n] ←→

^{DF S}

X[k] ˜ Observa¸c˜ oes:

• X ˜ [k] é de frequência discreta. Para cada k há uma frequência 2πk/N

• X ˜ [k] ´e peri´odico com N : ˜ X [k + N] = ˜ X [k], por isso basta observar

seus valores no intervalo entre 0 e N − 1.

(3)

Exemplo - DFS

Calcule a DFS da sequˆencia:

˜

x[n] = A cos(πn/2)

Inicialmente verifica-se que a sequência é periódica, com per´ıodo N = 4, e valores {A, 0, −A, 0} em um per´ıodo (0 ≤ n ≤ 3).

Portanto, a os coeficientes da DFS s˜ao:

X ˜ [k] =

^N^X⁻¹

n=0

˜

x[n]e

^−j^2π^N^kn

= A(1 − e

^−j^2π⁴^2k

) Com valores:

• X ˜ [0] = A(1 − e

^−jπ0

) = 0

• X ˜ [1] = A(1 − e

^−jπ1

) = 2A

• X ˜ [2] = A(1 − e

^−jπ2

) = 0

• X ˜ [3] = A(1 − e

^−jπ3

) = 2A

e percebe-se que ˜ X [4] = ˜ X[0], e assim por diante.

Outra forma de verificar o resultado ´e reescrevendo a sequˆencia ˜ x[n] em termos de exponenciais complexas:

˜

x[n] = A cos(πn/2) = A

2 e

^j^π²ⁿ

+ A

2 e

^−j^π²ⁿ

= A

2 e

^j^2π⁴ⁿ

+ A 2 e

^−j^2π⁴ⁿ

Deve-se notar que e

^−j^2π^N^kn

= e

^j^2π^N^(N−k)n

, e portanto ˜ x[n] pode ser escrito como:

˜ x[n] = A

2 e

^j^2π⁴ⁿ

+ A 2 e

^j^2π⁴³ⁿ

Como a expans˜ao de ˜ x[n] em termos da DFS ´e:

˜ x[n] = 1

4

N−1 X k=0

X ˜ [k]e

^j^2π⁴^kn

Nota-se que:

• X ˜ [0] = 0

• X ˜ [1]/4 = A/2, portanto ˜ X[1] = 2A

• X ˜ [2] = 0

• X ˜ [3]/4 = A/2, portanto ˜ X[3] = 2A

Rela¸c˜ ao entre a DFS e a DTFT

Seja um sinal peri´odico de tempo discreto, ˜ x[n], com per´ıodo N . Tomando- se um per´ıodo desse sinal, fica-se com o sinal x[n]:

x[n] =







˜

x[n], n = 0, 1, ..., N − 1 0, caso contr´ario A DTFT de x[n] ´e:

X (e

^jω

) =

^N^X⁻¹

n=0

x[n]e

^−jωn

=

^N^X⁻¹

n=0

˜

x[n]e

^−jωn

E a DFS de ˜ x[n]:

X ˜ [k] =

^N−1^X

n=0

˜

x[n]e

^−j^2π^N^kn

, −∞ < k < +∞

Comparando as equa¸cões, tem-se que a DFS e a DTFT, nessas condi¸cões, estão relacionadas por:

X ˜ [k] = X(e

^jω

)|

_ω=^2π

Nk

, −∞ < k < +∞

ou seja, a DFS ´ e composta por amostras da DTFT em N pontos

equiespa¸cados de 2π/N , entre ω = 0 e 2π.

(4)

Exemplo

x[n] = {1, 1, 1, 1, 1, 0, 0}, N = 7, L = 5 X (e

^jω

) =

^X⁴

n=0

e

^−jωn

= e

^−j2ω

sin(5ω/2) sin(ω/2) X[k] = ˜

^X⁴

n=0

e

^−j(2π/7)n

= e

^−j(4π/7)k

sin(5πk/7) sin(πk/7)

−2 0 2 4 6 8 10 12 14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

n

0 0.5 1 1.5 2

0 1 2 3 4 5

x[n], ˜x[n]

|X(e^jω)|, |X[k]|˜

ω/π, ωk/π= 2k/N

Exemplo

x[n] = {1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0}, N = 10, L = 5 X(e

^jω

) =

^X⁴

n=0

e

^−jωn

= e

^−j2ω

sin(5ω/2) sin(ω/2) X ˜ [k] =

^X⁴

n=0

e

^{−j(2π/10)n}

= e

^{−j(4π/10)k}

sin(πk/2) sin(πk/10)

n

x[n], x[n]˜

|X(e^jω)|, |X[k]|˜

(5)

Exemplo

x[n] = {1, 1, 1, 1, 1}, N = 5, L = 5 X (e

^jω

) =

^X⁴

n=0

e

^−jωn

= e

^−j2ω

sin(5ω/2) sin(ω/2) X[k] = ˜

^X⁴

n=0

e

^−j(2π/5)n

= e

^−j(4π/5)k

sin(πk) sin(πk/5)

−2 0 2 4 6 8 10 12 14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

n

0 0.5 1 1.5 2

0 1 2 3 4 5 6

x[n], x[n]˜

|X(e^jω)|, |X[k]|˜

ω/π, ωk/π= 2k/N

Exemplo

0 0.5 1 1.5 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

|X(e^jω)|, |X[k]|,˜ N= 20

ω/π, ωk/π= 2k/N

0 0.5 1 1.5 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

|X(e^jω)|, |X[k]|,˜ N= 40

ω/π, ωk/π= 2k/N

(6)

Exemplo - DFS

Calcule a DFS de um trem de impulsos peri´odico:

˜

x[n] =

^X^∞

r=−∞

δ[n − m + rN ]

Um per´ıodo do sinal, para 0 ≤ n ≤ N − 1 ´e dado por δ[n − m], com m uma constante inteira. Os coeficientes da DFS s˜ao dados por:

X ˜ [k] =

^N^X⁻¹

n=0

˜

x[n]e

^−j^2π^N^kn

=

^N^X⁻¹

n=0

δ[n − m]e

^−j^2π^N^kn

= e

^−j^2π^N^km

Portanto, a representa¸c˜ao do sinal peri´odico fica:

˜ x[n] = 1

N

N−1 X k=0

X ˜ [k]e

^j^2π^N^kn

= 1 N

N−1 X k=0

e

^−j^2π^N^km

e

^j^2π^N^kn

= 1 N

N−1 X k=0

e

^j^2π^N^k(n−m)

E tem-se a identidade:

˜

x[n] =

^X^∞

r=−∞

δ[n − m + rN] = 1 N

N−1 X k=0

e

^j^2π^N^k(n−m)

Esta identidade ser´a ´ util quando for relacionada a DFS com a DTFT.

Amostragem da DTFT

Foi visto que, se, a partir de uma sequência de dura¸cão finita L, x[n], se produz uma sequência periódica ˜ x[n] com per´ıodo N ≥ L, os coeficientes da DFS ˜ X [k] são as amostras da DTFT X (e

^jω

), nas frequˆencias ω

k

= 2πk/N.

x[n] ⇒ x[n] = ˜

^+∞^X

m=−∞

x[n + mN] ←→

^{DF S}

X[k] = ˜ X (e

^jω

)|

_ω=^2π_N_k

Suponha agora que se tenha uma DTFT de um sinal x[n] qualquer, dada por X(e

^jω

), e se tomam amostras da DTFT, formando coeficientes de uma DFS:

X[k] = ˜ X(e

^jω

)|

_ω=^2π

Nk

em que a DTFT ´e dada por:

X(e

^jω

) =

^+∞^X

m=−∞

x[m]e

^−jωm

A sequˆencia peri´odica ˜ x[n] resultante pode ser calculada por meio da DFS inversa:

˜

x[n] = 1 N

N−1 X k=0

X ˜ [k]e

^j^2π^N^kn

= 1

N

N−1X

k=0



 +∞X

m=−∞

x[m]e

^−j^2π^N^km





e

^j^2π^N^kn

=

^+∞^X

m=−∞

x[m]





1 N

N−1 X k=0

e

^j^2π^N^k(n−m)





O termo entre colchetes representa a DFS de um trem de impulsos peri´odico:

1 N

N−1 X k=0

e

^j^2π^N^k(n−m)

=

^+∞^X

r=−∞

δ[n − m + rN ] Portanto:

˜

x[n] =

^+∞^X

m=−∞

x[m]

^+∞^X

r=−∞

δ[n − m + rN ]

= x[n] ∗

^+∞^X

r=−∞

δ[n + rN]

=

^+∞^X

r=−∞

x[n + rN ]

(7)

Amostragem da DTFT

Logo, ao se tomar N amostras da DTFT de um sinal x[n], obtendo-se coeficientes de uma DFS, a sequência periódica correspondente pode ser obtida por meio da adi¸cão de infinitas cópias de x[n], deslocadas de m´ ultiplos de N.

DTFT

DFS

x[n] X(e

^jω

)

X[k] = ˜ X(e

^jω

)|

_ω=^2π

Nk

˜

x[n] =

^+∞^X

r=−∞

x[n + rN]

N amostras

Logo: se a sequência x[n] possuir um comprimento L > N , haverá sobreposi¸cão no dom´ınio do tempo, e um per´ıodo de ˜ x[n] não representará corretamente a sequência x[n].

H´a um n´ umero m´ınimo de amostras de X (e

^jω

) para que a sequˆencia x[n]

possa ser recuperada a partir de ˜ x[n] (ou a partir das amostras da DTFT).

Amostragem da DTFT: Exemplo

Seja x[n] um pulso de dura¸c˜ao 5 amostras (L = 5).

0 5 10 15 20

0 1 2 3

sequências

0 0.5 1 1.5 2

0 5

| DTFT | , | DFS |

0 5 10 15 20

0 1 2 3

0 5 10

0 5

0 5 10 15 20

0 1 2 3

0 2 4

0 5

0 5 10 15 20

0 1 2 3

amostra n

0 1 2 3 4

0 5

amostra k

x[n] |X(e^jω)|

N= 10, X˜1[k] =X(e^jω)|ω=^2π₁₀k

˜ x1[n] =

+∞

X r=−∞

x[n+ 10r]

N= 5, X˜2[k] =X(e^jω)|ω=^2π5k

˜ x2[n] =

+∞

X r=−∞

x[n+ 5r]

N= 4, X˜3[k] =X(e^jω)|ω=^2π₄k

˜ x3[n] =

+∞

X r=−∞

x[n+ 4r]

(8)

Amostragem da DTFT - Exemplo

x[n] = (7/10)

ⁿ

u[n] ⇔ X (e

^jω

) = [1 − (7/10)e

^−jω

]

⁻¹

Amostrando a DTFT com N = 4 pontos, a sequˆencia no dom´ınio do tempo fica (em preto: amostras de x[n], em vermelho: amostras de ˜ x[n]):

0 1 2 3

0 0.5 1 1.5

0 1 2 3

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1 0

amostra n

˜ x[n] =

+∞

X r=−∞

x[n+ 4r]

Erro:x[n]−˜x[n]

Para N = 8 pontos:

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0.5 1 1.5

0 1 2 3 4 5 6 7

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0

amostra n

˜ x[n] =

+∞

X r=−∞

x[n+ 8r]

Erro:x[n]−x[n]˜

DTFT de Sinais Peri´ odicos

Um sinal peri´odico ˜ x[n] pode ser representado por sua DFS:

˜ x[n] = 1

N

N−1X

k=0

X ˜ [k]e

^j^2π^N^kn

Usando as propriedades da DTFT:

x[n]

^{DT F T}

←→ X(e

^jω

) x[n] · e

^jω⁰ⁿ ^{DT F T}

←→ X(e

^j(ω−ω⁰⁾

)

1

^{DT F T}

←→ 2πδ(ω), 0

−

≤ ω < 2π (um per´ıodo) 1 · e

^jω⁰ⁿ ^{DT F T}

←→ 2πδ(ω − ω

₀

), 0

₋

≤ ω < 2π

Logo, a DTFT do sinal peri´odico, representado por uma soma de exponenciais complexas, fica:

˜ x[n] = 1

N

N−1X

k=0

X ˜ [k]e

^j^2π^N^kn ^{DT F T}

←→ 2π N

N−1 X k=0

X[k]δ ˜ ω − 2π N k

!

, 0

−

≤ ω < 2π Na prática, a informa¸cão contida no espectro da DTFT é a mesma da DFS de um sinal periódico, a menos de uma constante (2π/N ) e a substi- tui¸cão das amostras para cada k ( ˜ X[k]) pelos impulsos nas frequências 2πk/N, com áreas (2π/N ) ˜ X [k].

...

0 1

0 2p 2p

2p( -1)

n

k

ω NN

N N

N

N N

−1

−1 x[n], x[n]˜

X(e^jω) X[k]˜

(9)

Propriedades da DFS

Sequˆencias ˜ x[n] e ˜ y[n], e suas s´eries, de per´ıodo N.

Propriedade Sequˆencia DFS, per´ıodoN

Linearidade a˜x[n] +b˜y[n] aX[k] +˜ bY˜[k]

Atraso no tempo x[n˜ −m] e^{−j(2π/N)km}X[k]˜

Deslocamento em frequˆencia e^j(2π/N)k⁰ⁿx[n]˜ X[k˜ −k0]

Dualidade X˜[n] Nx[−k]˜

Convolu¸c˜ao peri´odica y[n] =˜

N−1 X m=0

˜

x[m]˜h[n−m] Y˜[k] = ˜X[k]·H[k]˜

Modula¸c˜ao v[n] = ˜˜ x[n]·w[n]˜ V˜[k] = 1

N

N−1 X l=0

X[l] ˜˜ W[k−l]

Simetria x˜^∗[n] X˜^∗[−k]

˜

x^∗[−n] X˜^∗[k]

ℜ{˜x[n]} X˜e[k] =X˜[k] + ˜X^∗[−k]

2 ℑ{˜x[n]} X˜o[k] =X[k]˜ −X˜^∗[−k]

2

˜

xe[n] =x[n] + ˜˜ x^∗[−n]

2 ℜ{X[k]}˜

˜

xo[n] =x[n]˜ −x˜^∗[−n]

2 ℑ{X[k]}˜

˜

x[n] real X[k] = ˜˜ X^∗[−k]

|X[k]|˜ =|X[−k]|˜

6 {˜X[k]}=−⁶ {˜X[−k]}

Exemplo - Convolu¸c˜ ao peri´ odica

Deseja-se fazer a convolu¸cão periódica entre as sequências:

˜

x

₃

[n] =

^N^X⁻¹

m=0

˜

x

₁

[m]˜ x

₂

[n − m]

Nota-se que a somat´oria ´e realizada em um per´ıodo apenas. Para n = 0, deve-se ter o sinal ˜ x

₂

[0 − m],e multiplic´a-lo por ˜ x

₁

[m]:

Deve-se perceber que, como o sinal é periódico, deslocamentos posteri- ores do sinal serão da forma:

e amostras que “saem” pelo lado direito “entram” pelo lado esquerdo, quando se considera um per´ıodo dos sinais.

Para obter os valores da sa´ıda, deve-se multiplicar as duas sequˆenciase

realizar a soma das amostras em um per´ıodo.

(10)

Exemplo - Convolu¸c˜ ao peri´ odica

Deseja-se fazer a convolu¸cão periódica entre as sequências:

... ...

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 ...

...

n

n N

N

−N

˜ x[n]

˜h[n]

˜

y[n] =

^N^X⁻¹

m=0

˜

x[m]˜ h[n − m]

Para n = 0: ˜ y[0] =

^N−1^X

m=0

˜

x[m]˜ h[0 − m]

0 1 2 3 4 ...

...

... ...

0 1 2 3 4

_m

m

N N

−N

˜ x[m]

˜h[−m]

Exemplo - Convolu¸c˜ ao peri´ odica

Para n = 1: ˜ y[1] =

^N^X⁻¹

m=0

˜

x[m]˜ h[1 − m]

0 1 2 3 4 ...

...

... ...

0 1 2 3 4

_m

m

N N

−N

˜ x[m]

h[1˜ −m]

Para n = 2: ˜ y[2] =

^N^X⁻¹

m=0

˜

x[m]˜ h[2 − m]

0 1 2 3 4 ...

...

... ...

0 1 2 3 4

_m

m

N N

−N

˜ x[m]

h[2˜ −m]

(11)

Exemplo - Convolu¸c˜ ao peri´ odica

Para n = 3: ˜ y[3] =

^N^X⁻¹

m=0

˜

x[m]˜ h[3 − m]

0 1 2 3 4 ...

...

... ...

0 1 2 3 4

_m

m

N N

−N

˜ x[m]

˜h[3−m]

Para n = 4: ˜ y[4] =

^N−1^X

m=0

˜

x[m]˜ h[4 − m]

0 1 2 3 4 ...

...

... ...

0 1 2 3 4

_m

m

N N

−N

˜ x[m]

˜h[4−m]

Transformada Discreta de Fourier - DFT

Seja um sinal x[n] de dura¸c˜ao finita N (ou de comprimento L ≤ N ):

x[n] = 0 para n < 0 e n ≥ N

Pode-se montar, com essa sequˆencia, uma outra, peri´odica, tal que:

˜

x[n] =

^X^∞

r=−∞

x[n + rN ] = x[n modulo N] = x[((n))

_N

]

Dessa sequência periódica, pode-se calcular a DFS, ˜ X [k], que é periódica com per´ıodo N.

X[k] = ˜

^N^X⁻¹

n=0

˜

x[n]e

^−j^2π^N^kn

.

Para manter a dualidade entre os dom´ınios do tempo e frequência, toma- se um per´ıodo dessa sequência periódica e dá-se o nome de X[k]:

X [k] =







X ˜ [k], k = 0, 1, ..., N − 1 0, caso contr´ario de modo que:

X ˜ [k] = X [k modulo N ] = X [((k))

_N

]

Exemplo para L = 6 e N = 8:

...

x[n]

˜ x[n]

X[k]

X[k]˜

DFS DFT

n

n k

k

L−1 N−1

N

N −N

−N

0

0 0

0

(12)

DFT

Dessa forma, tem-se:

X[k] =









 N−1

X n=0

x[n]e

^−j^2π^N^kn

, k = 0, 1, ..., N − 1

0, caso contr´ario

x[n] =











1 N

N−1 X n=0

X[k]e

^j^2π^N^kn

, n = 0, 1, ..., N − 1

0, caso contr´ario

x[n] ←→

^{DF T}

X [k]

OBSERVAC ¸ ˜ OES:

• Os sinais x[n] e X [k] s˜ao ambos discretos e de dura¸c˜ao finita N

• Da mesma forma que antes, a DFT pode ser vista como amostras da DTFT do sinal x[n], nas frequˆencias ω

_k

= 2πk/N , k = 0..N − 1.

• Ao se trabalhar com as sequências x[n] e X[k] e a DFT, deve-se sempre lembrar que há sequências periódicas envolvidas.

• Ao se usar a DFT, deve-se trabalhar com as sequências considerando que estas são periódicas e, ao final toma-se apenas um per´ıodo (0 ≤ n ≤ N − 1, 0 ≤ k ≤ N − 1). Fora desse intervalo, considera-se que as sequências têm valor zero (sinais de dura¸cão finita N).

Opera¸c˜ oes com (( ))

_N

Ao se trabalhar com a DFT, lembrar que as sequências (de dura¸cão finita no tempo e na frequência) são na verdade um per´ıodo das sequências periódicas correspondentes (˜ x[n] e ˜ X [k]).

x[n]

n

˜

x[n] =x[((n))5]

˜ x[n−2]

x[n−2]

x[n]

n

˜

x[n] =x[((n))5]

˜ x[n+ 2]

x[n+ 2]

(13)

Opera¸c˜ oes com (( ))

_N

x[n]

n

˜

x[n] =x[((n))5]

˜ x[−n]

x[−n]

˜ x[−n−2]

n

x[−n−2]

˜ x[−n+ 2]

x[−n+ 2]

Propriedades da DFT

Sequˆencias x[n], y[n], X[k] e Y [k] (etc.) com comprimento N (iguais a zero para n < 0 e n ≥ N ).

Propriedade Sequˆencia DFTN pontos

Linearidade ax[n] +by[n] aX[k] +bY[k]

Atraso no tempo x[((n−nd))N] e^{−j(2π/N)kn}^dX[k]

Deslocamento em freq. e^j(2π/N)k⁰ⁿx[n] X[((k−k0))N]

Dualidade X[n] Nx[((−k))N]

Convolu¸c˜ao circular y[n] =x[n](N)h[n]

=

N−1 X m=0

x[m]h[((n−m))N] Y[k] =X[k]·H[k]

Janelamento v[n] =x[n]·w[n] V[k] = 1

N

N−1 X l=0

X[l]W[((k−l))N]

Simetria x^∗[n] X^∗[((−k))N]

x^∗[((−n))N] X^∗[k]

ℜ{x[n]} Xep[k] =X[((k))N] +X^∗[((−k))N] 2

ℑ{x[n]} Xop[k] =X[((k))N]−X^∗[((−k))N] 2

xep[k] =x[((n))N] +x^∗[((−n))N]

2 ℜ{X[k]}

xop[k] =x[((n))N]−x^∗[((−n))N]

2 ℑ{X[k]}

x[n] real X[k] =X^∗[((−k))N]

|X[k]|=|X[((−k))N]|

6 {X[k]}=−⁶ {X[((−k))N]}

(14)

Convolu¸c˜ ao Linear Usando a DFT

• Em SLITs, a sa´ıda ´e obtida pela convolu¸c˜ao linear entre a entrada e a resposta impulsiva

• A opera¸cão de convolu¸cão pode ser muito custosa (somas e multi- plica¸cões)

• Quando se usa a DFT, tem-se a convolu¸c˜ao circular

• Existem algoritmos eficientes para o c´alculo da DFT (FFT)

• Como usar a DFT para implementar a convolu¸c˜ao linear?

Para fazer a convolu¸c˜ao linear entre duas sequˆencias x

₁

[n] e x

₂

[n] (DTFT):

y[n] = x[n] ∗ h[n] =

^X^∞

k=−∞

x[k]h[n − k] ↔ Y (e

^jω

) = X(e

^jω

) · H(e

^jω

) Usando-se a DFT, tem-se a convolu¸c˜ao circular:

y

p

[n] = x[n](N )h[n] ↔ Y [k] = X [k] · H [k]

Quest˜ ao: Sob que condi¸c˜oes y

_p

[n] = y[n] ?

Convolu¸c˜ ao Linear Usando a DFT

Sejam duas sequˆencias:

• x[n] de comprimento L

• h[n] de comprimento M

O resultado da convolu¸c˜ ao linear entre x[n] e h[n] ter´a comprimento L + M − 1

n

x[n]

h[n]

x[n]∗h[n]

(15)

Convolu¸c˜ ao Linear Usando a DFT

Vimos que se um sinal de dura¸c˜ao finita x[n] tem DTFT X (e

^jω

), as amostras de X(e

^jω

) nas frequˆencia ω

k

= 2πk/N formam um per´ıodo de uma DFS cuja sequˆencia ´e:

˜

x[n] = x[((n))

_N

] =

^X^∞

r=−∞

x[n + rN ] e

X [k] =







X(e

^j(2πk/N)

), k = 0..N − 1

0, caso contr´ario

´e a DFT de um per´ıodo de ˜ x[n]:

x[n] =







˜

x[n], n = 0..N − 1 0, caso contr´ario

Note que, se o comprimento de x[n] for menor ou igual a N , não haverá sobreposi¸cão no tempo, e um per´ıodo de ˜ x[n] será igual a x[n].

Convolu¸c˜ ao Linear Usando a DFT

No caso da convolu¸c˜ao linear, tem-se:

y[n] = x[n] ∗ h[n] =

^X^∞

k=−∞

x[k]h[n − k] ↔ Y (e

^jω

) = X(e

^jω

) · H (e

^jω

) Definindo a DFT:

Y [k] = Y (e

^j(2πk/N⁾

), k = 0..N − 1 Ent˜ao,

Y [k] = X (e

^j(2πk/N⁾

) · H(e

^j(2πk/N)

) = X[k] · H[k], k = 0..N − 1 E a DFT inversa de Y [k] corresponde a:

y

_p

[n] =











∞ X r=−∞

y[n + rN], n = 0..N − 1

0, caso contr´ario

em que y[n] ´e a convolu¸c˜ao linear entre x[n] e h[n], e y

_p

[n] ´e o resultado da convolu¸c˜ao circular entre x[n] e h[n]:

y

_p

[n] = x[n](N )h[n]

Ou seja, a convolu¸cão circular entre duas sequências pode ser vista como a convolu¸cão linear entre essas sequências seguida de uma sobreposi¸cão no tempo. Com isso, conclui-se que a convolu¸cão circular será igual à convolu¸cão linear, se e se somente se N for maior que o comprimento de x

₃

[n]:

N ≥ L + M − 1

(16)

Convolu¸c˜ ao Circular

x[n]

h[n]

x[n](4)h[n]

n

x[n]

h[n]

x[n](5)h[n]

Convolu¸c˜ ao Circular

n

x[n]

h[n]

x[n](6)h[n]

n

x[n]

h[n]

x[n](7)h[n]

(17)

Convolu¸c˜ ao Linear Usando a DFT

Conclus˜ao: sendo

• x[n] de comprimento L;

• h[n] de comprimento M ;

• A convolu¸cão circular entre x[n] e h[n] é igual à convolu¸cão linear se N ≥ L + M − 1.

Convolu¸c˜ ao r´ apida (Fast Convolution)

1. Calcular a DFT X[k], de comprimento N ≥ L + M − 1;

2. Calcular a DFT H[k], de comprimento N ; 3. Obter Y [k] = X [k] · H[k];

4. Calcular a DFT inversa de Y [k] para obter y[n]

Nestas opera¸cões se utilizam algoritmos eficientes para o cálculo da DFT, que são os algoritmos de FFT (Fast Fourier Transform).

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸

flops

Convolução rápida Convolução linear

L=M (N= 2L)

Convolu¸c˜ ao por Blocos

• Convolu¸cão rápida: para sinais de dura¸cão finita;

• Sistemas pr´aticos: a entrada pode ter dura¸c˜ao muito grande;

• Se a resposta impulsiva tiver dura¸cão finita, pode-se separar a entrada em blocos de comprimento finito e utilizar a convolu¸cão rápida, aplicada aos blocos - linearidade da opera¸cão de filtragem;

• O comprimento da convolu¸c˜ao linear entre dois sinais ´e maior que

a dura¸c˜ao de cada sinal - necess´ario um ajuste entre resultados de

convolu¸c˜oes aplicadas a blocos adjacentes;

(18)

Overlap-Add

Neste m´etodo, considera-se o seguinte:

• O sistema FIR tem resposta impulsiva h[n], com comprimento M;

• O sinal de entrada x[n] tem comprimento muito maior que M ;

• Separa-se o sinal x[n] em blocos de comprimento L, produzindo sinais x

_i

[n];

• Calcula-se a convolu¸c˜ao r´apida entre x

_i

[n] e h[n], produzindo os sinais y

_i

[n].

• Como visto anteriormente, a convolu¸cão rápida deve ser realizada com um n´ umero de pontos N ≥ L +M −1, que é o comprimento resultante das sequências y

i

[n].

No processamento por blocos:

• Na pr´atica, adicionam-se zeros a x

_i

[n] e h[n] para que atinjam o comprimento N .

• A sa´ıda y

0

[n] corresponde `as amostras entre 0 e N − 1;

• A sa´ıda y

₁

[n] corresponde `as amostras entre L e L + N − 1 ;

• H´a uma sobreposi¸c˜ao entre y

₀

[n] e y

₁

[n], para L ≤ n ≤ N − 1. Essas amostras devem ser somadas na resposta total;

• H´a um atraso no processamento.

Overlap-Add

...

(M−1) zeros

(M−1) zeros (M−1) zeros

L L

L

adiciona adiciona

M−1 M−1

pontos pontos

x[n]

x0[n]

x1[n]

x2[n]

y[n]

y0[n]

y1[n]

y2[n]

x

_i

[n] = x[n + iL], 0 ≤ n ≤ L − 1; i = 0, 1, ...

y

_i

[n] = DFT

⁻¹

{H[k] · X

_i

[k]}, N = L + M − 1

y[n] = y

₀

[n] + y

₁

[n − L] + y

₂

[n − 2L] + ...

(19)

Overlap-Add - Exemplo

1

1 2

2

2 3

3

3 4

4

4 1

1 1

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

...

M= 4, L= 5, N= 8 h[n]

x[n]

n n n n

n n n

n n

x0[n]

x1[n]

x2[n]

y[n]

y0[n]

y1[n]

y2[n]

Overlap-Save

Neste método, se faz a sobreposi¸cão dos blocos de entrada, de modo que não seja necessário adicionar sa´ıdas adjacentes.

• Separa-se a entrada x[n] em sequˆencias de comprimento L = N > M ;

• Calcula-se a DFT com comprimento N ;

• O comprimento de h[n] ´e igual a M < L, e adicionam-se N − M zeros para que fique com comprimento N ;

• Faz-se uma sobreposi¸c˜ao das entradas, em que as M − 1 ´ ultimas amostras de x

_i

[n] ser˜ao as M − 1 primeiras amostras de x

_i+1

[n].

• A sequˆencia x

0

[n] ´e montada com zeros nas primeiras M − 1 amostras e depois com as L − (M − 1) primeiras amostras de x[n].

• A convolu¸c˜ao circular entre h[n] e x

_i

[n] (y

_i

[n]) ter´a valores diferentes

da convolu¸c˜ao linear nas M − 1 primeiras amostras. Essas M − 1

primeiras amostras de y

_i

[n] s˜ao descartadas;

(20)

Overlap-Save

...

(M−1) (M−1)

(M−1) zeros

L L L−(M−1)

descarta

sobreposi¸c˜ao pontos

pontos x[n]

x0[n]

x1[n]

x2[n]

y[n]

y0[n]

y1[n]

y2[n]

x

_i

[n] = x[n + iL − i(M − 1) − (M − 1)], 0 ≤ n ≤ L − 1, i > 0

x

₀

[n] =







0, 0 ≤ n ≤ M − 2

x[n], M − 1 ≤ n < L − (M − 1) y

_i

[n] = DFT

⁻¹

{H[k] · X

_i

[k]}, N = L, 0 ≤ n ≤ L − 1

y

li

[n] = y

i

[n], M − 1 ≤ n < L − 1

y[n] =

^+∞^X

i=0

y

_li

[n − iL − i(M − 1) − (M − 1)]

Overlap-Save - Exemplo

1

1 1

1

1 1

2

2 2

2

2 2

3

3 3

3

3 3 4

4 4

4

4 4 3 1

1 1

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

...

M= 4, L=N= 8 h[n]

x[n]

n n

n n n

n n

x0[n]

x1[n]

x2[n]

y[n]

y0[n]

y1[n]

y2[n]