 384)96(418)1728(418)12(4)º360(3)º60.()12(4)º360(3.4 cmRV 33 m

(1)

3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br LISTA DE ESFERAS - GABARITO

(Fonte: Colégio Estadual Augusto Meyer – RS) 1) Uma esfera tem raio 15 cm. Calcule:

a) Seu volume

b) Sua área c) A área da secção feita a 9 cm do centro Solução. A figura ilustra a esfera indicada. Aplicando as fórmulas, temos:

a) ³

3 3

4500 )

1125 ( 3 4

) 3375 ( 4 3

) 15 ( 4 3

4

R cm

V _



_



_



_



_



b) A4R² 4(15)² 4(225)900cm²

c) ₂ ₂ ₂

sec

2 2 2

. 144 ) 12 .(

.

12 144 144

81 225 )

9 ( ) 15 (

cm r

A

cm r

r

ção    















2) Calcule o volume da esfera circunscrita a um cone eqüilátero cujo raio da base mede 3 3 m.

Solução. O apótema do triângulo eqüilátero coincide corresponde a um terço da altura, pois vale a distância do baricentro do triângulo à base. Como o triângulo é eqüilátero, o lado vale o dobro do raio do cone. Aplicando as fórmula do triângulo eqüilátero e esfera, temos:

      

3 3

3

2 2 2 3

3

. 288 )72 3 (4

) 216 (4 3

)6(

4 3 4

6 36 3 3 )3(

3 3 9 3

2 9 )3)(

6(

2 3 3 6 2

3 3 6 3 32 2

R cm V

cm R R

h cm ap

l cm h

cm r

l

esfera

         











 





 









3) Calcule o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 12cm e ângulo central de 60º.

Solução. A figura ilustra a situação. Observe que a área total da cunha envolve a área do fuso e a soma das áreas de duas semicircunferências máximas que corresponde a um círculo

máximo. Aplicando as fórmulas, temos:

a)

3 3

384 ) 96 ( 18 4

) 1728 ( 4 18

) 12 ( 4 )

º 360 ( 3

) º 60 .(

) 12 ( 4 ) º 360 ( 3

.

4

R cm

V_cunha             

(2)

b)

 

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 240 144

96 144 )

12 ( .

96 ) 24 ( 6 4

) 144 ( 4 6

) 12 ( 4 º

360 )º 60 .(

) 12 ( 4 º 360

. 4

cm cm

cm A

cm R

A

R cm A

cunha círculo

fuso



 















 

 





4) Uma esfera de raio 9cm é seccionada por um plano que dista 6cm do seu centro. Calcule:

a) O volume dessa esfera b) A área da superfície esférica c) A área da secção determinada pelo mencionado plano de corte Solução. A figura ilustra a esfera indicada. Aplicando as fórmulas, temos:

a) ³

3 3

972 ) 243 ( 3 4

) 729 ( 4 3

) 9 ( 4 3

4

R cm

V _



_



_



_



_



b) A4R² 4(9)² 4(81)324cm²

c) sec ²

 

² ²

2 2 2

. 45 5 3 . .

5 3 45 45

36 81 ) 6 ( ) 9 (

cm r

A

cm r

r

ção    















5) Calcule a capacidade de uma esfera cuja superfície esférica tem área igual a 144



m². Solução. Utilizando as fórmulas correspondentes, temos:

3 3

3 2 2

2 288 )72 ( 3 4

) 216 ( 4 3

)6(

4 3 4

6 36 4 36

144 144 144 4

4 R cm V

m R

R A R

R A



 



 













 

 



6) Seccionando-se uma esfera por um plano que dista 3m do seu centro, obtém - se uma secção de área

72 

m2,determine o volume dessa esfera.

Solução. Aplicando as fórmulas de área e relação de Pitágoras no triângulo formado pelos raios da secção e da esfera, temos;

   

3 3

3 2 2 2

2 2

2 sec

972 ) 243 ( 3 4

) 729 ( 4 3

)9 ( 4 3 4

9 81 81

72 9 2 6 3

2 6 72 72

72 72

R cm V

m R

R

m r

r A r

r A

_ção



 



 

























 

 





(3)

7) Considerando uma esfera cuja superfície tenha área 676



m. A que distância do seu centro deve-se traçar um plano de corte para que a secção assim determinada tenha área de 25



m²? R:

12

m

Solução. Com as áreas informadas calculamos os respectivos raios da esfera e secção.

    ^R ^r ^d ^m

d

m r

r A r

r A

m R

R A R

R A

ção esfera

12 144 25

169 )5(

)13 (

5 25 25

25 25

13 4 169

676 676 676 4

4 2 2 2

2 2

2 sec

2 2

2 

























 

 













 

 







 



 



8) Calcule o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 9cm e ângulo central de 20º.

Solução. A figura ilustra a situação. Observe que a área total da cunha envolve a área do fuso e a soma das áreas de duas semicircunferências máximas que corresponde a um círculo máximo. Aplicando as fórmulas, temos:

a)

3 3

54 ) 5 , 13 ( 54 4

) 729 ( 4 54

) 9 ( 4 )

º 360 ( 3

) º 20 .(

) 9 ( 4 ) º 360 ( 3

.

4

R cm

V_cunha             

b)

 

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 99 81

18 81 )9 ( .

18 )5 ,4 ( 18 4

) 81 ( 4 18

)9 ( 4 º

360 )º 20 .(

)9 ( 4 º 360

. 4

cm cm

cm A

cm R

A

R cm A

cunha círculo

fuso



 















 



 





9) Calcule o volume da esfera inscrita num cubo cuja área total é 216 cm². Solução. Observando que o raio da esfera mede a metade da aresta do cubo, temos:

(4)

3 3 3

2 2

2 3 36 )27 (4 3

)3(

4 3

4 2 3 6 2

6 36 6 36

216 216 216 6

6 cm R V

V a cm r

cm a

a A a

a A

esfera esfera

cubo cubo

 



    

 



 













 

 



10) Calcule a área de uma esfera circunscrita a um cubo cujo perímetro de suas arestas é 24 3cm.

Solução. Lembrando que a esfera circunscrita passa pelos oito vértices do cubo, seu diâmetro possui a mesma medida da diagonal do cubo. Aplicando as fórmulas, temos:

  

3 3 3

3 36 )27(

4 3

)3(

4 3

4 2 3

6 2

6 3 32 3

12 32 3 3 24

24 3 12

24 2

12 2

cm R V

cm V r d

cm a

d

cm a

P a a P

esfera esfera

cubo esfera

cubo cubo cubo

 



    



 

 









 

 





11) Calcule o volume de uma esfera inscrita num cone eqüilátero cujo volume é 72 3  cm³.

Solução. A altura do cone é a altura do triângulo eqüilátero. O raio da esfera inscrita no cone coincide com o apótema do triângulo eqüilátero. A geratriz do cone eqüilátero (lado do triângulo) vale o diâmetro da base do cone. Utilizando estas informações, temos:

(5)

 

    ³ ³

3 3 3 3

3 2

3 .3 3 32

3 24 4 3

32 4 3

.4 3 32

36 3

6 216 216

3 3 72

3 3

3 2 3

3 2 2

3 cm r V

V h cm ap r

cm R

R R R R V R

R R h l

esfera esfera

cone

 



 







 



 















 



 





12) Uma esfera de raio 11cm é seccionada por um plano distante 5cm do seu centro. Calcular as distâncias polares.

Solução. Há duas distâncias polares. São as hipotenusas dos triângulos retângulos formados pela secção. Repare que os catetos dos triângulos são 6 e 16, respectivamente. Temos:

   

 

   

^cm

dp

cm dp

cm R

r

22 4 352 96

256 6

4 16 '

33 2 132 96

36 6

4 6

6 4 96 96

25 121 5

11

2 2 2 2

2 2 2































13) Uma esfera é seccionada por um plano distante 8 cm de seu centro. Calcule

as distâncias polares, sabendo-se que o raio da esfera é 10cm.

Solução. Aplicando as fórmulas, temos:

   

 

   

cm

dp

cm dp

cm R

r

10 6 360 36

324 6

18 '

10 2 40 36 4 6

2

6 36 36

64 100 8

10

2 2 2 2

2 2 2































14) Calcule a área da esfera circunscrita ao cone reto de raio 6 cm e altura 18 cm.

R:

400 

cm²

Solução. Observe que o centro da esfera não coincide com o centro do cone. O triângulo é isósceles e não eqüilátero. Calculamos o raio da esfera pela relação de Pitágoras indicada na figura.

   

2 2

2

2 2 2

2 2

400 ) 10 ( 4 4

36 10 36 360

324 36 18

6

cm R

A

R R R R

R R

esfera      





















15) Se duplicarmos o raio de uma esfera, o que acontece com o volume? E com a área da superfície?

(6)

Solução. Considerando V e A como o volume e a área iniciais da esfera e aplicando as transformações, temos:

    ^{ }

     

 

 





 





 





 



A R R

R A

R V R

V R R raio

R A V R R raio

.4 44

4 4 2 4 '

3 .8 4 8 3 8 4 3 2 ' 4 2

4 3 4

2 2 2

3 3 3

2 3



Logo, o volume multiplica por 8 e a área da superfície quadruplica.