COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
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MÉDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E DISPERSÃO - GABARITO
1. (UERJ) Um proprietário pretende pagar, em cota única, o IPTU de dois imóveis. Em uma delas, com o desconto de 15%, será pago o valor de R$ 1.530,00. Na outra, com o desconto de 7%, será pago o valor de R$ 2.790,00. O desconto percentual médio total obtido com o pagamento desses valores é igual a:
(a) 6% (b) 10% (c) 11% (d) 22%
Solução. Aplicando regra de três nos dois casos, descobrimos os preços originais:
i) R $ 1800 , 00
85 ) 1530 )(
100 P (
% 85 1530
% 100
P
1
1
ii)
00 , 3000
$ 7 R
) 2790 )(
100 P (
% 93 2790
% 100
P
2
2
O valor pago com desconto foi (R$1530,00 + R$2790,00) = R$4320,00.
O valor pago sem o desconto seria (R$1800,00 + R$3000,00) = R$4800,00.
Logo, a diferença paga, devido ao desconto, corresponde em relação ao original:
% 10 10 , 4800 0
480 4800
4320
4800
.
2. (ENEM) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006. A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo?
a) 6 gols b) 6,5 gols c) 7gols d) 7,3 gols Solução. As quantidades apresentadas no gráfico na ordem cronológica formam o conjunto:
} 5 , 8 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 7 , 10 , 9 , 4 , 13 , 11 , 9 , 7 , 5 , 8
{ .
Para o cálculo da mediana é necessário a formação do rol (conjunto ordenado). Temos:
Rol: { 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 7 , 7 , 8 , 8 , 9 , 9 , 10 , 11 , 13 } .
Como há 18 termos (par), a mediana será a média aritmética dos termos centrais:
5 , 2 6
7 6 2
x x
M
2 1n 2 n
d
.
3. (ENEM) O quadro mostra o desempenho de um time de futebol no
último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols
marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time
marcou aquele número de gols. Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então:
a) X = Y < Z b) Z < X = Y c) Y < Z < X d) Z < X < Y e) Z < Y < X.
Solução. Os dados já estão ordenados. A quantidade de partidas corresponde à freqüência em que os números de gols ocorreram. Temos:
i) 2 , 25
20 45 1
2 2 3 4 3 5
1 ).
7 ( 2 ).
5 ( 2 ).
4 ( 3 ).
3 ( 4 ).
2 ( 3 ).
1 ( 5 ).
0 M (
X
a
ii)
2 2 2 2 2
x x M
Y
2 120 2 20
d
iii) Z M
o 0 ( maior frequência )
4. (FGV) Uma cesta básica de produtos contém 2kg de arroz, 1kg de feijão e 3kg de farinha. Inicialmente todos com o mesmo preço. No período de 1 ano, o preço do quilograma de arroz subiu 10%, o do feijão subiu 36%, e o da farinha aumentou 15%. O aumento percentual do preço da cesta básica, no período, foi de aproximadamente:
a) 20,4% b) 19,5% c) 18,6% d) 17,7% e) 16,8%
Solução. Considerando os preços iniciais do arroz, feijão e farinha, por P (mesmo preço), a cesta básica custaria (2P + P + 3P) = 6P. Com os aumentos percentuais indicados os novos preços seriam:
Arroz: 1,1P; feijão: 1,36P e a farinha: 1,15P. Com isto a cesta básica passaria a custar:
(2,2P + 1,36P + 3,45P) = 7,01P. Logo, o aumento percentual foi:
% 8 , 16 168 , 6 0 01 , 1 P
6 P 6 P 01 ,
i 7 .
5. (UFMG) Na reta numérica mostrada, o segmento AB está dividido em cinco partes iguais. As coordenadas De A e B são a e b, respectivamente. Define-se a média ponderada dos
números a e b com pesos m e n, respectivamente por
) n m (
) nb ma (
. Para
localizar o ponto da reta cuja coordenada é
) n m (
) nb ma (
, pode-se usar a equivalência
( b a )
n m a n ) n m (
nb ma
( . O ponto da reta de coordenada
5 ) b 3 a 2 (
é:
a) R b) Q c) S d) P Solução. Repare que da coordenada A até a B há cinco divisões iguais de medida
5 ) a b (
. O ponto
5 ) b 3 a 2 (
pode ser escrito como 2 3
) b 3 a 2 (
, que comparado à definição indica m = 2 e n = 3.
Aplicando a equivalência mostrada, vem:
a 3 divisões
5 ) a b . ( 3 a ) a b 3 ( 2 a 3 3 2
) b 3 a 2
(
. Três divisões após o ponto A está o
ponto R.
6. (U.F. Uberlândia-MG) Em uma classe de 40 alunos as notas obtidas em um teste formaram a seguinte distribuição.
Nesse caso, a nota mediana é:
a) 3 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5
Solução. As notas já estão ordenadas (rol). O número de alunos é 40. Logo, a nota mediana será a
média aritmética dos valores centrais: 6
2 6 6 2
x x
M
2 140 2 40
d
.
7. (U.F. Uberlândia-MG) Uma equipe de futebol realizou um levantamento dos pesos dos seus 40 atletas e chegou à distribuição de
freqüência dada pela tabela a seguir e o correspondente histograma.
i) Com base nesses dados, pode-se afirmar que o valor da mediana dos pesos é igual a:
a)75 b) 72 c) 74 d) 73
ii) Qual a classe modal dessa distribuição? 4ª classe.
iii) E a média aritmética? 73,2.
Solução. O cálculo da mediana em dados agrupados em classe é feito mantendo a consistência na definição de mediana em manter 50% dos dados abaixo do seu valor e 50% acima. Como são 40 atletas a classe onde estará a mediana será a 4ª classe (72 a 76). Analisando as áreas pintadas, temos que a parte em azul corresponde a 50% da área total. Todos os retângulos possuem base igual a 4. As alturas serão as frequências.
- Área total: ( 2 5 10 12 6 3 2 ).( 4 ) ( 40 ).( 4 ) 160 . - Área até a Mediana: ( 2 5 10 ).( 4 ) ( x ).( 12 ) 68 12 x .
- 1
12 12 12
68 x 80
80 x 12 2 68
x 160 12 68 ) total Área
%(
50 Mediana a
até
Área .
i) Logo, a Mediana corresponde a (72 + 1) = 73.
OBS: Em alguns casos onde as frequências de cada classe não diferem muito entre si, pode haver coincidência entre o ponto médio da classe da Mediana e o valor calculado pela área. Mas os resultados mais consistentes encontram-se pelo método apresentado.
ii) A classe modal é aquela onde a freqüência é maior: 4ª classe.
iii) A média aritmética em dados agrupados utiliza o ponto médio de cada classe:
2 , 40 73
2928 40
2 ).
86 ( 3 ).
82 ( 6 ).
78 ( 12 ).
74 ( 10 ).
70 ( 5 ).
66 ( 2 ).
62
X (
.
8. (UMC-SP) Um grupo de 10 pesquisadores teve dois de seus integrantes substituídos. A soma de suas idades era 112 anos. Com a chegada dos substitutos, a idade média do grupo diminuiu em 5 anos. Sabendo- se que um dos novos pesquisadores tem 30 anos, a idade do outro deve ser:
a) 25 anos b) 32 anos c) 30 anos d) 45 anos e) 46 anos Solução. Sejam A e B os integrantes substituídos. Logo, idade (A) + idade(B) = 112. Considerando a média aritmética inicial como X , temos:
10
112 ) idades 8
X (
. Os novos pesquisadores têm as
idades 30 e C anos (desconhecida). A nova média será: X 5 10
C 30 ) idades 8
' (
X
.
Organizando as equações e resolvendo, vem:
32 80 112 C
C 80 X 10 112 X 10 C 30 50 X 10 ) idades 8(
5 10 X
C 30 ) idades 'X 8(
112 X 10 ) idades 10 8(
112 ) idades X 8(
.
9. (FEI-SP) Foram inspecionados dois lotes de peças. A média dos diâmetros das peças do primeiro lote é 4,3cm. A média dos diâmetros do segundo é 3,5cm. Juntando os dois lotes a média é 4,0cm. Quantas peças há no total, se o primeiro lote possui 4 peças a mais do que o segundo?
a) 10 b) 11 c) 14 d) 15 e) 16
Solução. Considere D
1e D
2os diâmetros dos primeiro e segundo lotes, respectivamente, com
quantidades X e Y. As médias individuais são
5 , Y 3
) D X (
3 , X 4
) D X (
2 2 1 1
. Juntando as peças e utilizando a
relação entre as quantidades, temos:
16 6 10 Y X, Logo .10 4 Y X 2,0 6 Y 2,1 2,1 Y2, 0
16 Y8 2, 17 Y8, 7 )4 Y Y(4 Y5, 3 )4 Y(3, 4 4
Y X
)Y X(4 Y5, 3 X3, 4 Y 4 X
)D(
) )D(
total
(X 1 2
.
10. (U.E. Londrina – PR) Um automóvel subiu uma ladeira à velocidade média de 60km/h e, em seguida, desceu a mesma ladeira à velocidade média de 100km/h. A velocidade média desse veículo no percurso inteiro foi:
a) 72km/h b) 75km/h c) 78km/h d) 80km/h e) 84km/h
Solução. A velocidade média nesse caso não é a média aritmética das velocidades, e sim a média harmônica. Isto é, o inverso da média aritmética dos inversos das velocidades. Observe com a Física:
h/
km 4 75 300 d8 ).d 300 2(
300 d8 d2 300
d3 d5
d2 100
d 60
d d2 t
t d v d 100
d v t: d Descida
60 d v t: d Subida
2 1 m
2 2
1 1
.
Média Harmônica: 75 km / h
4 300 300
4 2
. 1 300
8 2
300 8 2
300 3 5 2
100 1 60
1 M
1 1
1 1
1
H
.
11. (PUCCAMP-SP) Sabe-se que os números x e y fazem parte de um conjunto de 100 números, cuja média aritmética é 9,83. Retirando-se x e y desse conjunto, a média aritmética dos números restantes será 8,5. Se 3x – 2y = 125, então:
a) x = 75 b) y = 55 c) x = 80 d) y = 65 e) x = 95
Solução. O conjunto de números pode ser representado como: {x
1, x
2,..., x
98, x, y}. Representando as médias, temos:
65 85 150 y, Então .85 x 425 125 x5
y2 x3
300 y2 x2 125 y2 x3
150 , yx
Logo
150 yx 983 yx 833 833
)5,8 ).(
98(
)X ( 98 5,8
)X X (
983 )83, 9).(
100(
yx )X ( 100 83,9
yx )X ( 100
) X X(
98 98 98
98 98 100 100
.
12. (ESPM-SP) Considere todos os pares ordenados (x,y) do produto cartesiano A X B onde A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5}. Tomando-se todos os 12 produtos x.y, podemos afirmar que a média, a moda e a mediana desse conjunto são respectivamente:
a) 9,5; 7,5 e 5,5 b) 7,5; 5,5 e 3,0 c) 7,5; 3,0 e 5,5 d) 5,5; 5,5 e 5,5 e) 7,5; 3,0 e 6,0 Solução. O conjunto formado pelos produtos será {1, 3, 5, 2, 6, 10, 3, 9, 15, 4, 12, 20}. Ordenando o conjunto em ordem crescente, temos {1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20}. Calculando os valores, temos:
5 , 2 5
6 5 2
x x 2
x x M
frequência maior
3 M
5 , 12 7 90 12
20 15 12 10 9 6 5 4 2 ).
3 ( 2 X 1 M
7 1 6
2 12 2 12 d 0 a
.
13. O Departamento de Aviação Civil registrou durante cinco dias o percentual diário de vôos de duas companhias aéreas, A e B, que decolaram sem atraso. Os dados estão relacionados a seguir:
Companhia A: 90% - 92% - 95% - 88% - 91% Companhia B: 97% - 88% - 98% - 86% - 90%
a) Qual companhia apresentou percentual médio mais alto?
b) Qual companhia apresentou desempenho mais regular?
Solução. A análise de desempenho está relacionada na relação entre a média aritmética e o desvio
padrão.
a)
% 8 , 5 91
% 459 5
% 90
% 86
% 98
% 88
% X 97
% 2 , 5 91
% 456 5
% 91
% 88
% 95
% 92
% X 90
B A
. Logo B apresentou maior percentual
médio.
b) Calculando a variância e desvio padrão em cada companhia, vem:
% 31 , 2
% 36 , 5
% 36 , 5 5
% 80 , 26 5
% 04 , 0
% 24 , 10
% 44 , 14
% 64 , 0
% 44 , ) 1
A (
Var
2
.
% 83 , 4
% 36 , 23
% 36 , 5 23
% 8 , 116 5
% 24 , 3
% 64 , 33
% 44 , 38
% 44 , 14
% 04 , ) 27
B (
Var
2
.
O desvio padrão em relação à média foi maior na companhia B. Logo, a companhia A obteve melhor desempenho.
14. Que número deve ser acrescentado ao conjunto de valores 2, 6, 5 e 7 a fim de que a variância aumente de 3,3 unidades?
Solução. Calculando a variância deste conjunto, temos:
Considerando N o número a ser acrescentado, a nova variância deve ser 3,5 + 3,3 = 6,8.
Expressando a nova variância em
relação à nova média aritmética,
temos a tabela ao lado:
Resolvendo a equação da nova variância, vem:
10 N ou
0 N 0 ) 10 N ( N 20 0 N 200 N
20 850 850 N 200 N
20
) 8 , 6 ).(
125 ( 850 N 200 N
20 8 , 125 6
850 N 200 N
8 20 , 5 6
25
850 N 200 N
20
2 2
2 2
2
.
Logo, acrescentando o número 0 ou 10, a variância será 6,8.
15. Seja o conjunto de valores 4,1, 8, 7 e n. Qual o valor de n que minimiza a variância desses valores? Qual é nesse caso o valor da variância?
Solução. A média aritmética é dada por:
5 n
X 20 . Calculando a expressão da variância, temos:
125
1250 n 200 n 20
125
400 n 160 n 16 225 n 30 n 400 n 40 n 225 n 30 n n
5
5 n 4 20 5
15 n 5
20 n 5
15 n 5 n
5
5 n n 7 20
5 n 8 20
5 n 1 20
5 n 4 20
5 n 20
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2
.
A expressão é uma equação do 2º grau. Ela será mínima se o numerador for mínimo, já que o denominador é constante. Logo, 5
40 ) 200 n
Min (
. Para esse valor mínimo de n, o valor da
variância será: 6
125 750 125
1250 1000
500 125
1250 ) 5 ( 200 ) 5 ( 20 125
1250 n 200 n
20
2 22
