UFPE – MA534 (introdu¸c˜ao `a matem´atica i) – 2011.1 prof. fernando j. o. souza
EXAME SIMULADO 1 v. 1.0
Orienta¸c˜ao: Numa primeira tentativa, fazer os exerc´ıcios abaixo em 120 minutos. Em caso de n˜ao conseguir fazer todos bem, tentar novamente com tempo livre, detectando e anotando as dificuldades encontradas.
Dar solu¸c˜oes leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades, f´ormulas e resultados utilizados. Mostrar todos os c´alculos e racioc´ınios: S´o as respostas n˜ao servem ! Subconjuntos pr´oprios de Rdevem ser dados por uni˜oes disjuntas de intervalos reais e conjuntos fi- nitos de n´umeros reais (Ex.: (−∞,3]⊔[6,8)⊔ {4,9, 17}). Est´a fixado um sistema de coordenadas cartesiandas Oxy para o plano.
QUEST ˜OES
1. Expressar a seguinte d´ızima peri´odica como fra¸c˜ao de inteiros: −81,74321.
2. Dar a equa¸c˜ao reduzida da reta que passa pelos pontos de coordenadas (3,4) e (7,−6).
Quest˜ao adicional (ap´os o simulado): Dar uma fun¸c˜ao quadr´atica cujo gr´afico ´e a par´abola que passa pelos pontos (5,0), (3,4) e (7,−6).
3. Resolver a equa¸c˜ao |x+ 5|=|2−3x| para x.
4. Resolver a inequa¸c˜ao 2x+ 3
(x+ 2)4 ≤0 parax.
5. Dar o maior subconjuntoS deRque pode ser dom´ınio da fun¸c˜ao abaixo:
f : S −→R x 7−→f(x) =
√5−4x x2+ 9
(Em outras palavras, f pode ser definida para quais n´umeros reais x ?)
Quest˜oes adicionais (ap´os o simulado): Repetir o exerc´ıcio para cada um dos trˆes denominadores alternativos a seguir: x+ 9; (x+ 9)2; e x2−9.
6. Considere-se a fun¸c˜ao
f : R− {5} −→R− {2} x 7−→f(x) = 2x−1
x−5
Calcular, explicitamente, a lei de forma¸c˜ao de sua fun¸c˜ao inversa f−1. 1
7. Considere-se a fun¸c˜ao quadr´atica de lei de forma¸c˜aof(x) = 9x2−x. Dar, no formato g(x) = ax2 +bx+c, a lei de forma¸c˜ao da fun¸c˜ao quadr´atica g cujo gr´afico resulta das seguintes transforma¸c˜oes geom´etricas efetuadas, na ordem abaixo, sobre o gr´afico de f:
1. Dilata¸c˜ao horizontal por um fator de 3;
2. Transla¸c˜ao vertical 2 unidades para cima;
3. Reflex˜ao com rela¸c˜ao ao eixo das ordenadas ←Oy→ .
Obs.: Essencialmente, pede-se que se calculem os coeficientes reais a, b e c.
Quest˜oes adicionais(ap´os o simulado): Descrever uma seq¨uˆencia de trans- forma¸c˜oes geom´etricas com efeito inverso ao da seq¨uˆencia acima. Verificar que ela transforma o gr´afico de g no def;
Calcular as ra´ızes def por fatora¸c˜ao do polinˆomio de grau 2, e conferir a resposta pela f´ormula para tais ra´ızes. Com isto, tˆem-se os pontos em que o eixo das abscissas ←Ox→
intercepta a par´abola que ´e o gr´afico def. Calcular, tamb´em, as coordenadas do v´ertice daquela par´abola, bem como as do ponto em que ela intercepta o eixo das ordenadas. Observar, ent˜ao, como as trans- forma¸c˜oes geom´etricas agem sobre estes pontos (v´ertice da par´abola original e pontos em que ela intercepta os eixos). Finalmente, repetir o c´alculo dos pontos para o gr´afico de g.
8. Dentre os retˆangulos que possuem per´ımetro igual a 40 metros, quais s˜ao aqueles que possuem a maior ´area ? Cada retˆangulo da resposta deve ser especificado por seu comprimento e sua altura.
9. Resolver a inequa¸c˜aox4−x2−12<0 para x.
Dica: Fazer uma substitui¸c˜ao (mudan¸ca de vari´avel) e resolver o problema para a nova vari´avel antes de voltar `a vari´avel x.
Quest˜oes adicionais (ap´os o simulado): De forma semelhante, resolver x6−x3−12<0 para x. Repetir os dois problemas trocando a desigualdade estrita (<por >).
10. Utilizando o princ´ıpio de indu¸c˜ao finita, demonstrar que n3 +n ≤ 3n para todo n´umero natural n ≥4.
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