LISTA DE EXERC´ICIOS 02 – v. 1.0 Assuntos:

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UFPE — MA989 — 2013.1 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´ ICIOS 02 – v. 1.0

Assuntos: Conjuntos universais de conectivos (operadores) l´ogicos; formas normais disjuntiva e conjuntiva; mapas de Karnaugh; somas minimais de produtos no caso de poucas vari´aveis proposicionais.

Orienta¸ c˜ ao: Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Só conferir a solu¸cão de um item após tentar resolvê-lo seriamente.

Nota¸ c˜ ao: Nesta lista, ⇐⇒ denotará a equivalência lógica entre fórmulas.

Nesta questão, os conectivos (operadores) lógicos nega¸cão (“não”), conjun¸cão (“e”), disjun¸cão (“ou”), disjun¸cão exclusiva (“ou exclusivo”), nega¸cão disjunta

¹

(“n˜ao-e”), nega¸c˜ao conjunta

¹

(“não-ou”), condicional (“se . . . então”) e bicon- dicional (“se, e somente se,”), e as constantes lógicas “falso” e “verdadeiro”

serão denotados, respectivamente, por: ¬, ∧, ∨, ˙ ∨, ↑, ↓, −→, ←→, F e V . Observar que a nega¸cão possui precedência sobre outras opera¸cões.

Ex.: ¬A ∨ B significa (¬A) ∨ B, e n˜ao significa ¬(A ∨ B).

Quest˜ ao 1. Recordar que:

− Um operador (conectivo) lógico é dito n−´ ario quando recebe e conecta n variáveis proposicionais A

1

, . . . , A

n

. n pode ser qualquer n´ umero natural;

− Podemos ver as constantes lógicas F e V como operadores 0−ários de valor lógico constante. Também temos, para cada natural n > 0, dois operadores lógicos (distintos) de valor constante ( F ou V ), os quais são logicamente equivalentes aos operadores constantes (0−ários).

Ex.: Se n = 3 e f(A, B, C) = V é o operador 3−ário constante de valor lógico V , então f equivale, logicamente, ao operador constante 0−ário V ;

− Um conjunto de operadores lógicos C é dito universal ou funcionalmente completo se, e somente se, para cada natural n, todo operador lógico n −ário nas variáveis A

1

, . . . , A

n

pode ser escrito

²

como uma expressão lógica que consiste apenas de aplica¸cões, àquelas variáveis proposicionais, de operadores pertencentes ao conjunto C;

1

Recordar que ↑ e ↓ s˜ ao deﬁnidos, semanticamente, por:

A B A ↑ B A ↓ B

F F V V

F V V F

V F V F

V V F F

2

Ou seja, o operador ´e logicamente equivalente ` aquela express˜ ao.

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− Um conjunto universal de operadores lógicos C é dito minimal se, e somente se, nenhum subconjunto próprio de C é universal. Em outras palavras, não podemos retirar operador algum de C sem perdermos sua universalidade;

− {∧, ∨, ¬} é universal devido, por exemplo, à F.N.D. (ou à F.N.C.);

− Em particular, utilizando equivalências lógicas já estudadas, obtemos:

A −→ B ⇐⇒ ¬ A ∨ B ; A ←→ B ⇐⇒ ( A −→ B ) ∧ ( B −→ A ), donde A ←→ B ⇐⇒ (¬A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B); F ⇐⇒ A ∧ ¬A; V ⇐⇒ A ∨ ¬A;

A ∨B ˙ ⇐⇒ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B) ⇐⇒ (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B);

A ↑ B ⇐⇒ ¬( A ∧ B ) ⇐⇒ (¬ A ∨ ¬ B );

A ↓ B ⇐⇒ ¬(A ∨ B) ⇐⇒ (¬A ∧ ¬B);

− Devido às leis de De Morgan, também são universais {∧, ¬} e {∨, ¬}. De fato: A ∨ B ⇐⇒ ¬(¬ A ∧ ¬ B ); e A ∧ B ⇐⇒ ¬(¬ A ∨ ¬ B ). Por isto, {∧, ∨, ¬} não é minimal (enquanto conjunto universal);

− Todo conjunto de operadores lógicos C que produz {∧, ¬} (ou {∨, ¬}) é universal. Para provarmos a universalidade de C , é suficiente expressarmos um destes conjuntos em termos de operadores pertencentes a C !

Provar que cada um dos conjuntos abaixo ´e universal minimal. Para uso futuro, expressar os quatro conectivos ¬, ∨, ∧, −→ nos dois primeiros itens:

1.a. {↑} (Charles S. Peirce, 1880, n˜ao publicado; Henry M. Sheffer, 1913);

1.b. {↓};

1.c. {→ , ¬};

1.d. {→, F }, com F constante 0−´ario

³

; 1.e. {→, 6→}, onde A 6→ B ⇐⇒ ¬(A → B);

1.f. {→ , 6↔}, onde A 6↔ B ⇐⇒ ¬( A ↔ B );

1.g. {←, ¬}, onde A ← B ⇐⇒ B → A;

1.h. {∨ , ↔ , 6↔}.

3

O(a) estudante pode querer se aprofundar neste t´opico devido a Jan Lukasiewicz lendo

o verbete C´ alculo proposicional implicacional na Wikip´edia. Para tal leitura, ´e ´ util observar

que, para toda vari´ avel proposicional P , a proposi¸c˜ao P → P ´e (sempre) verdadeira (ou

seja, é uma tautologia) e, portanto, a proposi¸c˜ ao ¬(P → P ) é (sempre) falsa (ou seja, é

uma contradi¸c˜ ao). Esta ´ ultima proposi¸c˜ ao pode ser tomada como a proposi¸c˜ao constante

F naquele hipertexto, onde a nega¸c˜ ao ¬ ´e substitu´ıda por uma proposi¸c˜ ao universalmente

falsa (uma contradi¸c˜ ao), permitindo ao(` a) leitor(a) adaptar a discuss˜ ao sobre o conjunto

{→, F } no artigo ao conjunto {→, ¬} acima.

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Nota¸ c˜ ao: No restante desta lista, os conectivos (operadores) lógicos ne- ga¸cão (“não”), conjun¸cão (“e”), disjun¸cão (“ou”) e disjun¸cão exclusiva (“ou exclusivo”), e as constantes “falso” e “verdadeiro” serão denotados, respecti- vamente, por: barra (como em A para a nega¸cão de A)

⁴

, multiplica¸c˜ao (como em AB), adi¸c˜ao, L

, 0 e 1. Em suma,será utilizada uma nota¸cão algébrica.

Cuidado: A B = ¬ A ∧ ¬ B ; já AB = ¬( A ∧ B ) ⇐⇒ ¬ A ∨ ¬ B = A + B . Quest˜ ao 2. Consideremos a seguinte fun¸cão booleana (operador lógico):

f ( A, B, C, D ) = A ⊕ B ⊕ D

+ AB C + A B C D.

2.a. Escrever f em sua forma normal disjuntiva (F.N.D.);

2.b. Escrever f em sua forma normal conjuntiva (F.N.C.);

2.c. Descrever f por meio de um mapa de Karnaugh para 4 vari´aveis;

2.d. Utilizando o mapa de Karnaugh, obter todas

⁵

as express˜oes de f como soma minimal de produtos.

Quest˜ ao 3. Consideremos as 26 letras do alfabeto da l´ıngua portuguesa, ordenadas de 0 a 25 (na base decimal). A fun¸c˜ao booleana f das vari´aveis booleanas A, B, C, D, E tem valor 1 ( V , verdadeiro), exatamente nos seguin- tes valores de entrada (l etras): a, b, c, e, f, h, i, k, o, q, r, s, t, u, v, x, y, z.

f n˜ao est´a definida

⁶

para os valores correspondentes aos n´ umeros 26 a 31.

3.a. Escrever a tabela l´ogica de f (com valores de sa´ıda no conjunto {0 , 1 , X}, onde X significa “irrelevante”);

3.b. Utilizando um mapa de Karnaugh para 5 variáveis ( A, B, C, D, E ), e permitindo a inclusão de valores irrelevantes para a otimiza¸cão dos impli- cantes primos, simplificar a expressão da fun¸cão booleana f, escrevendo-a como soma minimal de produtos.

4

Tamb´em poderia ter sido utilizada a linha, como em A

^′

.

5

Todas a menos de comutatividade da conjun¸c˜ ao e da disjun¸c˜ao.

6

Em alguns textos, isto seria dito, aproximadamente, do seguinte modo: a fun¸c˜ ao f

´e incompletamente determinada , tendo valores irrelevantes (”don’t-care values”) para

as palavras-c´ odigo correspondentes aos n´ umeros 26 a 31 (na base decimal)

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algumas resolu¸ c˜ oes e respostas

1.a – solu¸ c˜ ao parcial. Nega¸c˜ao: sendo A ↑ B ⇐⇒ ¬( A ∧ B ), temos que A ↑ A ⇐⇒ ¬(A ∧ A). Da idempotˆencia de A (ou seja, A ∧ A ⇐⇒ A), segue-se que ¬A ⇐⇒ A ↑ A pela .

Disjun¸cão: sendo A ↑ B ⇐⇒ ¬ A ∨ ¬ B , da involu¸cão de ¬ (dupla nega¸cão), obtemos ¬A ↑ ¬B ⇐⇒ ¬¬A ∨ ¬¬B ⇐⇒ A ∨ B. Combinando isto com a ex- pressão da nega¸cão obtida acima, temos que: A ∨ B ⇐⇒ (A ↑ A) ↑ (B ↑ B).

Como obtivemos ¬ e ∨, temos que o conjunto {↑} é universal. Por ser uni- tário, ele é, necessariamente, minimal. Procedamos, agora, à pergunta pelos demais conectivos.

Conjun¸cão: Sendo A ↑ B equivalente à nega¸cão da conjun¸cão de A e B , temos que a nega¸cão de A ↑ B equivale à conjun¸cão A ∧ B. Utilizando a expressão da nega¸cão por meio de ↑, obtemos que: A ∧ B ⇐⇒ (A ↑ B ) ↑ (A ↑ B ).

1.a – respostas restantes: A → B ⇐⇒ A ↑ (B ↑ B) ⇐⇒ A ↑ (A ↑ B).

1.b – respostas: ¬ A ⇐⇒ A ↓ A ; A ∨ B ⇐⇒ ( A ↓ B ) ↓ ( A ↓ B );

A ∧ B ⇐⇒ (A ↓ A) ↓ (B ↓ B); A → B ⇐⇒ ((A ↓ A) ↓ B) ↓ ((A ↓ A) ↓ B).

1.c – solu¸ c˜ ao: Dadas as variáveis proposicionais A e B , podemos produzir sua disjun¸cão A ∨ B a partir de C = {→, ¬} facilmente: é ´ util lembrarmos que, para todas as variáveis proposicionais P e Q, a condicional P → Q está definida com valor F se e somente se P = V e Q = F , enquanto a disjun¸cão desejada tem valor F se e somente se A = F = B , diferindo da condicional apenas com rela¸cão à primeira variável. Assim, uma adapta¸cão simples para que a condicional passe a ter valor F apenas quando os dados de entrada forem ambos F é usarmos Q = B mas P = ¬ A : A ∨ B ⇐⇒ ¬ A → B . Uma vez que o conjunto C já inclui ¬, segue-se que C é universal. A minimalidade de C pode ser demonstrada do seguinte modo:

{¬} não é universal porque, sendo ¬ um operador unário, ele não nos permite produzir operadores n−ários não-triviais para n > 1;

{→} não é universal porque, por exemplo, o operador constante F não é produzido por este conjunto. De fato, se bem formarmos uma fórmula a partir de n variáveis proposicionais (n > 0) por aplica¸cão de instâncias da condicional, o operador resultante obtém valor lógico V (ao invés de F ) na palavra-código em que todas as variáveis têm valor V .

2.a – solu¸ c˜ ao: Os mintermos da forma normal disjuntiva s˜ao identificados

através das palavras-código em que a fun¸cão booleana tem valor 1. Podemos

fazer uma tabela l´ ogica. ´ E um m´etodo seguro, mas moroso. Aqui, tomare-

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mos um caminho menos pr´atico, mas que explora a estrutura da fun¸c˜ao dada e, portanto, esperamos que seja um exerc´ıcio educativo.

Observemos que f é uma disjun¸cão de dois termos e, portanto, terá valor 1 quando ao menos um dos dois tiver tal valor. O primeiro é a disjun¸cão exclusiva de A , B e D , a qual tem valor 1 quando ou apenas um dos três literais tem valor 1, ou todos os três o têm. Isto dá quatro possibilidades.

Além disto, C pode ter qualquer valor (0 ou 1). Assim, há oito palavras- código em que f tem valor 1, a saber (na base decimal): 0, 2 (só D = 1, isto é, D = 0); 5, 7 (só B = 1); 9, 11 (só A = 1); 12 e 14 (os três têm valor 1).

Já o segundo termo, que é ( AB C + A B C ) D = ( A + B ) C D + A B C D , terá valor 1 na palavra-código (em decimal) 9, correspondente ao mintermo A B C D, e nas três em que C = D = 1 mas A e B não são simultaneamente 1, a saber: 3, 7, 11. Combinando os resultados, obtemos que:

f (A, B, C, D) = P

m(0, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14) = A B C D + A B C D+

A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D.

2.b – solu¸ c˜ ao: Os maxtermos da forma normal conjuntiva (produto de maxtermos) são identificados através das palavras-código em que a fun¸cão booleana tem valor 0, as quais obtemos do Item 2.a por complemento, pois são as palavras-código que simbolizam (na base binária) os n´ umeros de 0 a 15 não utilizados naquele somatório: f(A, B, C, D) = Q

M (1, 4, 6, 8, 10, 13, 15).

Cada maxtermo é a soma das nega¸ c˜ oes dos literais correspondentes a 0 ou 1 como valor das respectivas variáveis. Por exemplo, a palavra-código 0001 fornece o maxtermo A + B + C + D. Assim: f(A, B, C, D) =

( A + B + C + D )( A + B + C + D )( A + B + C + D )( A + B + C + D ) ( A + B + C + D )( A + B + C + D )( A + B + C + D )

2.c – solu¸ c˜ ao: O mapa de Karnaugh com vari´aveis AB \ CD ´e:

AB

\

^CD

00 01 11 10

00 1 1 1

01 1 1

11 1 1

10 1 1

2.d – solu¸ c˜ ao: O mapa de Karnaugh acima fornece os seguintes implican-

tes primos: A B D, A B C, A B D, A B D, A B D (na horizontal), A C D e

B C D (na vertical). Devido `as palavras-c´odigo (na base decimal) 0, 5, 12 (ou

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14) e 9, respectivamente, os implicantes primos A B D, A B D, A B D e A B D são os essenciais. Eles cobrem todas as palavras-código exceto 3, a qual é co- berta pelos três implicantes primos não-essenciais. Assim, há três expressões distintas poss´ıveis, a saber, f (A, B, C, D) = A B D+A B D+A B D+A B D+

qualquer um dos seguintes produtos: ou A B C, ou A C D, ou B C D.

3.a – solu¸ c˜ ao: Abaixo, são necessárias apenas as colunas “Val.” com valores de f (A, B, C, D, E ), e as colunas de um dos dois tipos: “Bin.” (palavras- código) e “Dec.” (n´ umeros naturais na base decimal correspondentes a estas palavras-código vistas como n´ umeros naturais na base binária):

Letra Dec. Bin. Val. Letra Dec. Bin. Val.

a 0 00000 1 q 16 10000 1

b 1 00001 1 r 17 10001 1

c 2 00010 1 s 18 10010 1

d 3 00011 0 t 19 10011 1

e 4 00100 1 u 20 10100 1

f 5 00101 1 v 21 10101 1

g 6 00110 0 w 22 10110 0

h 7 00111 1 x 23 10111 1

i 8 01000 1 y 24 11000 1

j 9 01001 0 z 25 11001 1

k 10 01010 1 26 11010 X

l 11 01011 0 27 11011 X

m 12 01100 0 28 11100 X

n 13 01101 0 29 11101 X

o 14 01110 1 30 11110 X

p 15 01111 0 31 11111 X

3.b – solu¸ c˜ ao. A = 0 : A = 1 :

BC

\

^DE

00 01 11 10

00 1 1 1

01 1 1 1

11 1

10 1 1

BC

\

^DE

00 01 11 10

00 1 1 1 1

01 1 1 1

11 X X X X

10 1 1 X X

Apreciemos, antes de tudo mais, a concis˜ao desta apresenta¸c˜ao quando com-

parada à tabela lógica do item anterior. Da´ı, seu interesse para a visualiza¸cão

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de fun¸cões booleanas de poucas variáveis. Recordemos que a mudan¸ca de va- lor lógico da variável A é representada pela passagem de um dos quadros com as demais variáveis para o outro.

Os implicantes primos sem literal A ou A, isto é, que correspondem a qua- dr´ıculos preenchidos em ambos os lados são os seguintes: B D , C E , B C E e B D E. Todos eles são essenciais devido aos quadr´ıculos correspondentes às palavras-código 00001, 00010, 00111 e 01110, respectivamente.

Não há implicantes primos com literal A , isto é, implicantes primos cor-

respondentes apenas a quadr´ıculos na metade esquerda do mapa. Final-

mente, os implicantes primos com literal A , isto ´e, correspondentes apenas

a quadr´ıculos da metade direita do mapa s˜ao os seguintes: A B, A C, A D

e A E. Nenhum deles ´e essencial, mas devemos fazer escolhas para que se

cubram os quadr´ıculos com valor 1 que n˜ao s˜ao cobertos pelos implican-

tes primos essenciais mencionados no par´agrafo anterior, a saber, aqueles

correspondentes `as palavras-c´odigo 10011 e 11001 (letras “t” e “z”, respec-

tivamente). Existem precisamente dois implicantes primos que as cobrem

simultaneamente, a saber, A C e A E. Um (e somente um) deles deve ser

utilizado, pois o primeiro critério de minimiza¸cão de somas de produtos é

a minimiza¸c˜ao do n´ umero de produtos utilizados. Segue-se que as poss´ıveis

respostas s˜ao: f (A, B, C, D, E ) = B D + C E + B C E + B D E + A C e

f (A, B, C, D, E ) = B D + C E + B C E + B D E + A E.