30.1 Primeiras Defini¸ c˜ oes

(1)

Cap´ıtulo 30

Continuidade e Convergˆ encia em Espa¸ cos Topol´ ogicos

Conte´ udo

30.1 Primeiras Defini¸c˜oes . . . 1433

30.2 Espa¸cos Hausdorff . . . 1435

30.3 Redes e o Caso de Espa¸cos Topol´ogicos Gerais . . . 1436

30.3.1 Redes em Espa¸cos M´etricos . . . 1439

30.4 O Limite do ´Infimo e o Limite do Supremo . . . 1440

30.5 Continuidade de Fun¸c˜oes em Espa¸cos Topol´ogicos . . . 1443

30.5.1 Outras No¸c˜oes Associadas `a de Continuidade . . . 1445

30.5.1.1 Homeomorfismos e Mergulhos Topol´ogicos . . . 1446

30.5.2 Outras Caracteriza¸c˜oes do Conceito de Continuidade em Espa¸cos Topol´ogicos . . . 1447

30.5.3 Continuidade e Convergˆencia . . . 1448

V

âmosneste cap´ıtulo estudar dois assuntos de grande importância no contexto de espa¸cos topológicos, a saber, o conceito geral de convervência (de sequências ou de redes, vide defini¸cões adiante) e o conceito geral de continuidade de fun¸cões. O conceito de convergência foi introduzido anteriormente para o caso especial de sequências em espa¸cos métricos (vide Cap´ıtulo 24, página 1245). Aqui será dada particular aten¸cão aos espa¸cos topológicos do tipo Hausdorff.

Todo estudante possui uma no¸c˜ao mais ou menos clara do conceito usual de continuidade de fun¸c˜oes reais da reta real.

Aqui, vamos estender este conceito a fun¸cões entre espa¸cos topológicos gerais. A possibilidade de se estender o conceito de continuidade das situa¸cões mais comuns e familiares, encontradas na topologia usual da reta real, para situa¸cões mais gerais é, em verdade, uma das principais razões pelas quais topologias mais gerais que aquelas produzidas por métricas são definidas e estudadas. Percebeu-se que, tomados os devidos cuidados, muitos dos resultados pass´ıveis de demonstra¸cão no caso métrico estendem-se também para topologias não deriváveis de uma métrica. Fora isso, aprenderemos, ao elevar o n´ıvel de abstra¸cão com que o conceito de continuidade é apresentado, que muitas caracteriza¸cões distintas, gerais e

´

uteis do mesmo podem ser apresentadas. Uma consequência desse alargamento de horizontes é uma maior facilidade na demonstra¸cão de resultados importantes.

O leitor interessado na no¸cão de continuidade pode passar diretamente à Se¸cão 30.5, página 1443. Sua leitura dispensa a leitura das se¸cões que lhe precedem exceto, em parte, pela no¸cão de rede, a qual pode ser colhida na Se¸cão 30.3, página 1436.

30.1 Primeiras Defini¸ c˜ oes

Dado um espa¸co topológicoX, uma sequênciaxé uma fun¸cãox:N→X. Por vezes estamos interessados em considerar uma sequência apenas através de seu conjunto imagem: Imx={x(n)∈X, n∈N}. Os elementos da sequência são os valoresx(n), que frequentemente são denotados apenas porxn. Com um certo abuso de linguagem é costume referir-nos

`

a sequênciaxcomo sendo{x(n)∈X, n∈N}, ou denotamo-la por{xn, n∈N}ou mesmo por{xn}ou até apenas porxn. Em geral, essas nota¸cões são mais práticas e não causam confusão. A no¸cão tradicional de convergência de uma sequência em um espa¸co métrico é a seguinte:

SejaM um espa¸co métrico com métricade seja{an}uma sequência emM. Dizemos que {an}converge a um elementoa∈Mse para todoǫ >0 existirN≡N(ǫ)∈Ntal qued(an, a)< ǫsempre quen > N.

1433

Abaixo vamos apresentar uma nova no¸cão de convergência de sequências em espa¸cos topológicos gerais que é equivalente àquela apresentada acima no caso de espa¸cos métricos. Comecemos com duas no¸cões úteis. Sejaxuma sequência emXeA⊂X.

1. Dizemos que a sequˆenciaxest´a eventualmente emAse existir um naturalN ≡N(A) (que pode eventualmente depender deA) tal quexn∈Apara todon > N.

2. Dizemos que a sequˆenciaxest´a frequentemente emAse houver infinitos valores denpara os quaisxn∈A.

Se uma sequênciaxestá eventualmente emA, então ela está frequentemente emA, mas a rec´ıproca não é necessariamente verdadeira. Por exemplo, a sequência de números reaisan= (−1)ⁿestá frequentemente no intervalo (0,2), mas não eventualmente.

Nota.Nas defini¸cões aqui apresentadas estamos fazendo uso do ordenamento usual deN. Para o caso geral vide a Se¸cão 30.3, página 1436,

sobreredesem espa¸cos topol´ogicos. ♣

Definamos agora as no¸cões de ponto de acumula¸cão e ponto limite de uma sequênciaxemX, um conjunto dotado de uma topologiaτ.

1. Um pontoxemXé dito ser umponto de acumula¸cãoda sequênciaxem rela¸cão à topologiaτ deXsexestá frequentemente em todo abertoA⊂τque contémx.

2. Um pontoxemXé dito ser umponto limite, ou simplesmentelimite, da sequênciaxem rela¸cão à topologiaτde Xsexestá eventualmente em todo abertoA⊂τque contémx.

Note que todo limite é um ponto de acumula¸cão, mas a rec´ıproca não é verdadeira.

E. 30.1Exerc´ıcio. Mostre que{−1,+1}são os pontos de acumula¸cão da sequênciaxⁿ:= (−1)ⁿ+ 1/n,n∈N, na topologia usual deR. Essa sequência tem limites nessa topologia? E a sequênciaxⁿ:= 1/n²,n∈N? 6

E. 30.2Exerc´ıcio. Seja uma sequênciar:N→Rtal que Imr=Q(tais sequências existem poisQé contável). Mostre queRé o conjunto de todos os pontos de acumula¸cão derna topologia usual deR. Mostre quernão tem limites na topologia usual deR. 6

E. 30.3Exerc´ıcio. Seja a sequˆencia do exerc´ıcio anterior, mas agora tome a topologia discretaP(R). Mostre quern˜ao tem pontos

de acumula¸c˜ao nessa topologia se a fun¸c˜aorfor injetora. 6

Sex´e um limite da sequˆenciaxndizemos quexnconvergeaxe escrevemosx= lim

n→∞xn.

E. 30.4Exerc´ıcio. Mostre que as duas no¸cões de convergência que apresentamos acima são equivalentes no caso de sequências em

espa¸cos m´etricos. 6

O último exerc´ıcio nos afirma a equivalência, no caso de espa¸cos métricos, dos dois conceitos de convergência que apresentamos, mas é importante frisar que a convergência de uma sequência é fortemente dependente da topologia adotada. Isso pode ser claramente visto no exemplo discutido a seguir.

Uma sequˆencia{xn}emX´e dita sereventualmente constantese existirx∈XeN∈Ntais quexn=xpara todo n > N.

Seja, então,Xum conjunto não-enumerável (R, por exemplo) e seja a topologia co-contável¹emX:τcc(X). Então, nenhuma sequência que não seja eventualmente constante tem limites emXem rela¸cão aτcc(X). Isso segue do seguinte.

Sejaxuma sequência emXe sejax∈Xum ponto qualquer e seja aindaA:= (Imx)^c∪ {x}= (Imx∩ {x}^c)^c. Como Imx∩ {x}^cé contável, entãoAé aberto emτcc(X) e contémx. Porém,xnão está eventualmente emAse não for eventualmente constante, pois Imx∩A= Imx∩ {x}. Assim, para qualquerx∈Xpodemos achar um aberto que contém xondexnão está eventualmente. Logo, nenhuma sequênciaxtem limites na topologia considerada.

1A topologia co-contável foi definida à página 1362.

(2)

Um exemplo ilustrativo é o da sequênciaxn= 1/n,n∈N, emR. Na topologia co-contávelτcc(R) essa sequência não converge a zero, ao contrário do que ocorre na topologia usual, pois o conjuntoA:=R\ {1/n, n∈N}é aberto, contém x= 0, mas não contém nenhum elemento da sequênciaxn.

Em fun¸cão de exemplos como esses, há geralmente pouca utilidade no conceito de convergência de sequências em certos espa¸cos topológicos não-métricos. O que então normalmente se faz nesses casos é considerar uma generaliza¸cão do conceito de sequência, conhecido comorede(“net” em inglês). Para esse novo conceito há uma defini¸cão análoga de convergência que funciona de modo mais efetivo em espa¸cos topológicos gerais. Disso trataremos na Se¸cão 30.3.

30.2 Espa¸ cos Hausdorff

Vamos neste momento introduzir um conceito que será retomado na Se¸cão 32.2, página 1518, mas que está intimamente ligado ao discutido acima.

Um espa¸co topol´ogicoHdotado de uma topologiaτ´e dito possuir apropriedade de Hausdorff²se para quaisquer pontos distintosx,y∈Hexistirem dois abertosAxeAyemτtais quex∈Ax,y∈AymasAx∩Ay=∅.

Um espa¸co topológico que tem a propriedade Hausdorff é dito simplesmente ser umespa¸co Hausdorff, ou dotipo Hausdorff. Vamos primeiro a alguns exemplos de espa¸cos que não tem a propriedade Hausdorff.

SejaXqualquer com a topologia indiscreta. Esse espa¸co não tem a propriedade de Hausdorff. SejaXnão finito com a topologia co-finita. Esse espa¸co não tem a propriedade de Hausdorff. SejaXnão-contável com a topologia co-contável.

Esse espa¸co não tem a propriedade de Hausdorff. Para esses dois últimos exemplos, vide página 1362.

E. 30.5Exerc´ıcio. Prove as afirmativas do ´ultimo par´agrafo. 6

Agora temos a seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 30.1Todo espa¸co m´etrico tem a propriedade de Hausdorff. 2

Demonstra¸cão.SejaMespa¸co métrico com métricad, sejamx,y∈Mdistintos e sejar=d(x, y)>0. Sejam então os abertosAx=Bd(x, r/3) eAy=Bd(y, r/3). Suponha que exista um pontoz∈Ax∩Ay. Então, comozpertence ao mesmo tempo aBd(x, r/3) eBd(y, r/3), vale qued(x, z)< r/3 ed(z, y)< r/3. Agora, pela desigualdade triangular tem-ser=d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y)<2r/3. Porém, a desigualdader <2r/3 é absurda. Da´ı, não pode existir qualquer pontozemAx∩Ay.

Nem todo espa¸co Hausdorff é métrico. A topologia de Sorgenfrey³τ[S] deR(vide Se¸cão 27.2.1.1, página 1364) é Hausdorff (prove isso!) mas não é métrica (vimos isso à página 1382).

Chegamos agora a uma propriedade importante de espa¸cos Hausdorff, sejam eles espa¸cos m´etricos ou n˜ao.

Proposi¸cão 30.2Uma sequência em um espa¸co Hausdorff pode ter no máximo um ponto limite. 2

Prova. Suponha que uma sequˆenciaaem um espa¸co HausdorffHcom topologiaτtenha dois limites distintosxey.

SejamVx∋xeVy∋ydois abertos disjuntos deτcontendoxey, respectivamente. Que tais abertos sempre existem é garantido pela propriedade de Hausdorff, que está sendo suposta. Então, comoaconverge axe ay, temos quean∈Vx

para todon > N(Vx) ean∈Vypara todon > N(Vy). Logo,an∈Vx∩Vypara todon >max{N(Vx), N(Vx)}. Isso contraria a hip´otese queVx∩Vy=∅.

Corolário 30.1Uma sequência em um espa¸co métrico pode ter no máximo um limite. 2

Note que sequˆencias em espa¸cos Hausdorff podem ter muitos pontos de acumula¸c˜ao.

2Felix Hausdorff (1868-1942).

3Robert Henry Sorgenfrey (1915–1996).

E. 30.6Exerc´ıcio. SejaAa cole¸c˜ao de todos os subconjuntos deR²do tipo{(x, y)∈R², coma < y < bpara− ∞< a < b <

∞}(fa¸ca um desenho de um tal conjunto). Sejaτ[A]a topologia gerada por tais conjuntos.

1. Mostre queτ[A]não é Hausdorff. Para tal, tente ver se é poss´ıvel encontrar dois abertos nessa topologia que contenham os pontosx= (0,0)ey= (1,0), respectivamente, mas que não se intersectem.

2. Mostre que a sequênciaxⁿ= (0,1/n),n∈N, tem por limite todos os pontos da forma(x,0)para todox∈R. (Na topologia usual deR²o único limite dessa sequência é o ponto(0,0)).

6

30.3 Redes e o Caso de Espa¸ cos Topol´ ogicos Gerais

Recordemos a defini¸cão de conjunto dirigido introduzida à página 55. Um conjuntoIé dito ser umconjunto dirigidose for dotado de uma rela¸cão de pré-ordenamento que denotaremos por “≺”, e se for dotado da seguinte propriedade: para quaisquer dois elementosaebdeIexiste pelo menos um terceiro elementoc∈Ital quea≺ceb≺c.

Como usualmente, denotaremos alternativamente a afirma¸c˜ao quea≺bporb≻a.

SejaIum conjunto dirigido com respeito à uma rela¸cão de pré-ordenamento≺. SeXé um conjunto não-vazio, uma fun¸cãof:I→Xé denominada umaredebaseada no conjunto dirigidoIcom respeito a≺. O estudante deve observar que uma sequência é uma rede baseada emN, que é um conjunto dirigido com respeito à ordem usual dos naturais.

Redes são, portanto, generaliza¸cões da no¸cão de sequências e assumem em espa¸cos topológicos gerais um papel semelhante ao de sequências em espa¸cos métricos. A no¸cão de rede foi introduzida na Topologia por Moore⁴e Smith⁵ em 1922⁶. Alguns autores referem-se a redes comosequências de Moore-Smith.

De modo an´alogo ao que costumeiramente se faz com sequˆencias, designaremos uma redex:I→Xpor{xλ}λ∈I, por{xλ, λ∈I}, ou simplesmente porxλ, sendoIe≺subentendidos.

Vamos a algumas defini¸c˜oes. Seja uma rede{xλ}λ∈IemXcomIsendo dirigido por≺.

1. Dizemos que{xλ}λ∈Iest´afrequentementeemA⊂Xse para todoλ∈Iexistir umλ^′∈Icomλ≺λ^′tal que xλ′∈A.

2. Dizemos que{xλ}λ∈IestáeventualmenteemA⊂Xse existeλ0∈Ital quexλ∈Apara todoλ≻λ0. 3. Se (X, τ) for um espa¸co topológico, dizemos quex∈Xé um ponto de acumula¸cão de{xλ}λ∈Icom respeito aτse

{xλ}λ∈Iestiver frequentemente em qualquerτ-aberto que cont´emx. Nesse caso, dizemos que{xλ}λ∈Iacumula-se emxcom respeito aτ.

4. Se (X, τ) for um espa¸co topol´ogico, dizemos quex∈X´e um ponto limite de{xλ}λ∈Icom respeito aτse{xλ}λ∈I

estiver eventualmente em qualquerτ-aberto que cont´emx. Nesse caso, dizemos que{xλ}λ∈Iconvergeaxcom respeito aτ.

O estudante deve notar que essas defini¸cões correspondem perfeitamente àquelas introduzidas para sequências à página 1434 e seguinte.

•Sub-redes

Seja{xα}α∈Iuma rede emX. Uma outra rede{yβ}β∈JemX´e dito ser umasub-redede{xα}α∈Ise existir uma fun¸c˜aoh:J→Ital que

1.yβ=xh(β)para todoβ∈J,

2. para todoα∈Iexisteβ1∈Jtal queh(β)≻Iαpara todoβ∈Jque satisfa¸caβ≻Jβ1.

4Eliakim Hastings Moore (1862–1932).

5Herman Lyle Smith (?–?).

6E. H. Moore and H. L. Smith. “A General Theory of Limits”. American Journal of Mathematics44(2), 102–121 (1922).

(3)

Acima,≻Ié a rela¸cão de pré-ordenamento do conjunto dirigidoIe≻Jé a rela¸cão de pré-ordenamento do conjunto dirigidoJ.

Uma situa¸cão de interesse é aquela na qualJ⊂I. Nesse caso podemos tomarh:J→Icomo sendo a identidade h(β) =βpara todoJe as condi¸cões acima podem ser fraseadas da seguinte forma:{yβ}β∈Jé uma sub-rede de{xα}α∈I

se

1.yβ=xβpara todoβ∈J,

2. para todoα∈Iexisteβ1∈Jtal queβ≻Iαpara todoβ∈Jque satisfa¸caβ≻Jβ1.

•Redes e convergˆencia

Se (X, τ) for um espa¸co topológico ex∈X, sejaI_xa cole¸cão de todos osτ-abertos que contêmx. Então,I_xé um conjunto dirigido pelo ordenamento parcial definido pela inclusão de conjuntos “⊆” (i.e.,M≻N se e somente se M⊂N).

E. 30.7Exerc´ıcio. Prove essa afirma¸c˜ao. 6

Seja (X, τ) um espa¸co topológico,x∈XeB⊂X. A cole¸cãoI_{x, B}:={A∩B, A∈I_x}é um conjunto dirigido pelo ordenamento parcial definido pela inclusão de conjuntos “⊆” (i.e.,M≻N se e somente seM⊂N).

E. 30.8Exerc´ıcio. Prove essa afirma¸c˜ao. 6

Esses dois exerc´ıcios nos preparam para as seguintes proposi¸c˜oes relevantes.

Proposi¸cão 30.3Sejam(X, τ)um espa¸co topológico,x∈XeI_xa cole¸cão de todos osτ-abertos que contêmx. Seja {xA}A∈Ixuma rede emXcom base no conjunto dirigidoI_x. Se a rede{xA}A∈Ixtiver a propriedade quexA∈Apara

cadaA∈I_x, ent˜ao{xA}A∈Ixconverge ax. 2

A prova ´e quase imediata pelas defini¸c˜oes e deixada ao leitor como exerc´ıcio.

Proposi¸cão 30.4Se(X, τ)for um espa¸co topológico eB⊂X, entãox∈Bse e somente se existir uma rede emB

que converge ax. 2

Prova.Precisamos primeiro provar que sex∈Bentão existe uma rede{xλ}λ∈Ique converge axcom a propriedade que xλ∈Bpara todoλ∈I. Sabemos que todo elemento deI_xtem interseçcão não-vazia comB, pela defini¸cão de fecho de um conjunto. Assim o conjuntoI_{x, B}, definido em exerc´ıcio acima, é não-vazio, é um subconjunto deBe é um conjunto dirigido pelo ordenamento parcial definido pela inclusão de conjuntos⊆. Por uma ligeira varia¸cão da proposi¸cão anterior,

é fácil ver que qualquer rede baseada emI_{x, B}e que a cadaA∈I_{x, B}associexA∈Aconverge axe está, claramente, contida emB.

Vamos agora provar que se uma rede{xλ}λ∈Icomxλ∈Bpara todoλ∈Iconverge ax, ent˜aox∈B. Se{xλ}λ∈I

converge ax, então{xλ}λ∈Iestá eventualmente em cada abertoAque contémx. Isso implica que cada abertoAque contémxcontém elementos de{xλ}λ∈I, que estão emB. Logo,A∩B6=∅, provando quex∈B.

•Sub-redes e pontos de acumula¸c˜ao

O seguinte teorema relaciona sub-redes e o conjunto de todos os pontos de acumula¸cão de uma rede. O mesmo será importante na discussão da propriedade de Bolzano-Weierstrass de espa¸cos topológicos compactos feita na Se¸cão 32.3, página 1536. Vide, em particular, o Teorema 32.7, página 1542.

Teorema 30.1 Seja{xα}α∈I uma rede em um espa¸co topológico(X, τ). Um pontoxé um ponto de acumula¸cão de {xα}α∈Ise e somente se for ponto limite de uma sub-rede de{xα}α∈I. 2

Prova.Para cadax∈Xdenotemos porτxo conjunto de todos abertos deτque contémx. SeDé um conjunto dirigido denotamos por≻Da rela¸cão de pré-ordenamento emD.

Parte I: sexé um ponto de acumula¸cão de{xα}α∈Ientãoxé ponto limite de uma sub-rede de{xα}α∈I.

Sexé um ponto de acumula¸cão de{xα}α∈I, então para todo abertoA∈τxque contémxvale que{xα}α∈Iestá frequentemente emA. Pela defini¸cão, isso significa dizer que para todoα∈Iexiste umβA(α)∈Icomα≺βA(α) e xβA(α)∈A.

SejaJ⊂Idefinido por

J := n βA(α)

A∈τx, α∈Io .

Estabelecemos emJuma rela¸cão de pré-ordenamento dizendo queβA(γ)≻J βA^′(γ^′) seβA(γ)≻I βA^′(γ^′) eA⊂A^′ (deixamos como exerc´ıcio ao estudante mostrar que≻Jé realmente uma rela¸cão de pré-ordenamento).

DadosβA(γ) eβB(γ^′)∈J, sejaγ^′′tal queγ^′′≻IβA(γ) eγ^′′≻IβB(γ^′) (a existência de um talγ^′′é garantida pelo fato deIformar um conjunto dirigido por≻I). Tem-se que⁷βA∩B(γ^′′)≻JβA(γ) eβA∩B(γ^′′)≻JβB(γ^′). Isso prova que Jforma um conjunto dirigido por≻J. Portanto,{xβ}β∈Jé uma rede emX.

ComoJ⊂I, tem-se{xβ}β∈J⊂ {xα}α∈I. Além disso, seβB(γ)∈JsatisfazβB(γ)≻JβA(α), entãoβB(γ)≻IβA(α) e, como pela defini¸cão das fun¸cõesβAvaleβA(α)≻Iα, segue queβB(γ)≻Iα. Isso provou que{xβ}β∈Jé uma sub-rede de{xα}α∈I.

Notemos agora que seA∈τx, então seλ0:=βA(γ0) para algumγ0fixo, tem-se que seβB(γ)≻Jγ0, entãoB⊂A eβB(γ)≻Iγ0. Como, por constru¸cãoxβB(γ)∈B⊂A, conclu´ımos que a sub-rede{xβ}β∈Jestá eventualmente emA.

Como essa afirma¸c˜ao vale para todoA∈τx, isso provou que essa sub-rede converge ax.

Parte II: sexé ponto limite de uma sub-rede de{xα}α∈I, entãoxé um ponto de acumula¸cão de{xα}α∈I.

Vamos agora supor quex´e ponto limite de alguma sub-rede{yβ}β∈Jde{xα}α∈I. Ent˜ao, paraA∈τxexisteλ0∈J tal queyβ∈Apara todoβ≻Jλ0.

Como{yβ}β∈Jé uma sub-rede de{xα}α∈I, existe para cadaα∈Iumβ1∈Jtal queh(β)≻Iαpara todoβ∈J comβ≻Jβ1(para a defini¸cão deh, vide a defini¸cão de sub-rede à página 1436). Fixemosα∈I. ComoJé um conjunto dirigido por≻J, existeβ^′∈Jtal que(a):β^′≻Jβ1e(b):β^′≻Jλ0. Logo, por(a),h(β^′)≻Iαe, por(b),yβ^′∈A.

Lembrando queyβ′ =xh(β′)(vide defini¸cão de sub-rede à página 1436), conclu´ımos que para cadaα∈Iexiste α^′=h(β^′)∈Icomα^′≻Iαexα^′ ∈A. Ora, isso é precisamente a afirma¸cão que a rede{xα}α∈Iestá frequentemente emA. Como essa afirma¸cão vale para todoA∈τxconclu´ımos que a rede{xα}α∈Iacumula-se emx. Isso completa a demonstra¸cão.

•Redes e espa¸cos Hausdorff

O conceito de rede permite mais uma caracteriza¸cão de espa¸cos Hausdorff. A proposi¸cão abaixo generaliza um fato bem conhecido de espa¸cos métricos.

Proposi¸cão 30.5Um espa¸co topológico(X, τ)é do tipo Hausdorff se e somente se toda rede emXque for convergente

tiver apenas um ponto limite. 2

Nota¸cão.SeXé um espa¸co topológico Hausdorff, denotamos por limλxλo limite de uma redeI∋λ7→xλ∈X, se o

mesmo existir. ◭

Prova da Proposi¸cão 30.5. Seja (X, τ) um espa¸co topológico do tipo Hausdorff e seja{xλ}λ∈I uma rede emXque converge aae abcoma6=b. Podemos encontrarA∈τcontendoaeB∈τcontendobtais queA∩B=∅. Mas isso é imposs´ıvel, pois se{xλ}λ∈Iconverge aae ab, então{xλ}λ∈Iestá eventualmente emAeB, o que contradizA∩B=∅.

Vamos agora supor que o espa¸co topológico (X, τ) tem a propriedade que toda rede emXque for convergente tem apenas um ponto limite. Se (X, τ) não é do tipo Hausdorff então existemaeb, elementos distintos deX, tais que cada elemento deI_atem interseçcão não-vazia com cada elemento deI_b.

7Lembrar que seA∈τxeB∈τxentãoA∩B∈τxe é não-vazio, poisxpertence aAe aBe ambos são abertos.

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Então, para cada par (A, B) comA∈I_aeB∈I_bpodemos escolher um elemento emx(A, B)∈A∩Ba com isso, construir uma aplica¸cãoI_a×I_b→X. Gostar´ıamos agora de identificar uma rela¸cão de pré-ordenamento que fa¸ca de I_a×I_bum conjunto dirigido. Essa rela¸cão é a seguinte: (A, B)≺(A^′, B^′) seA⊃A^′eB⊃B^′.

E. 30.9Exerc´ıcio. Verifique que isso faz deIa×Ibum conjunto dirigido. Para tal, constate que sea= (A, B)eb= (C, D)∈Ia×Ib,

ent˜aoc= (A∩C, B∩D)∈Ia×Ibe valema≺ceb≺c. 6

Note agora que seA∈I_aent˜aox(A, B)∈A∩B⊆Ae se (A^′, B^′)≻(A, B) ent˜aox(A^′, B^′)∈A^′∩B^′⊆A∩B⊆A.

Isso significa que a rede{x(A, B),(A, B)∈I_a×I_b}está eventualmente emA. Como isso vale para todoA∈I_a, então a rede{x(A, B),(A, B)∈I_a×I_b}converge aa.Mutatis mutandis, constata-se analogamente que a rede{x(A, B),(A, B)∈ I_a×I_b}converge ab. Comoa6=b, isso contradiz a hipótese e, portanto, (X, τ) é do tipo Hausdorff.

A no¸cão de rede é também importante por permitir uma caracteriza¸cão do conceito de continuidade de fun¸cões em espa¸cos topológicos. Trataremos disso na Se¸cão 30.5.3 e à página 1449.

30.3.1 Redes em Espa¸ cos M´ etricos

SejaM um conjunto dotado de uma métricade seja Ium conjunto dirigido com respeito a uma rela¸cão de pré- ordenamento≺. Uma redef:I→Mé dita ser umarede de Cauchyem rela¸cão à métricadse para todoǫ >0 existir umn(ǫ)∈I(possivelmente dependente deǫ) tal qued(f(i), f(j))< ǫpara todosiejtais quei≻n(ǫ) ej≻n(ǫ).

E bastante claro que essa defini¸c˜´ ao generaliza a no¸cão de sequência de Cauchy encontrada à página 1253. Naquele caso o conjunto dirigido é o conjunto dos naturaisNcom a rela¸cão de ordem usual.

Lembremos que um conjuntoM dotado de uma métricadé dito sercompleto(ousequencialmente completo) em rela¸cão a essa métrica se vale a afirma¸cão que uma sequência converge emM se e somente ser for uma sequência de Cauchy.

Para entendermos a rela¸cão entre as no¸cões de sequências de Cauchy e redes de Cauchy em espa¸cos métricos completos a seguinte proposi¸cão é essencial.

Proposi¸cão 30.6SejaMcompleto em rela¸cão à métricad, ou seja, tal que uma sequência converge emMse e somente ser for uma sequência de Cauchy. Então vale a afirma¸cão que uma rede converge emM se e somente ser for uma rede

de Cauchy. 2

Prova. Se uma redef:I→Mé convergente, então existem∈M tal que para todoǫ >0 existen(ǫ)∈Ital que d(f(i), m)< ǫpara todoi∈Icom a propridadei≻n(ǫ). Assim, seiej∈Isão tais quei≻n(ǫ) ej≻n(ǫ), vale pela desigualdade triangulard(f(i), f(j))≤d(f(i), m) +d(m, f(j))≤ǫ+ǫ, o que prova quefé uma rede de Cauchy.

Provemos agora a rec´ıproca. Sejaf :I→Muma rede de Cauchy. Ent˜ao, para todok∈N, existen(1/k)∈I tal qued(f(i), f(j))<1/kpara todosiejtais quei≻n(1/k) ej≻n(1/k). Seja definidoz1:=n(1) e escolhamos indutivamente para cadak∈N,k≥2, um elementozk∈Ital quezk≻zk−1ezk≻n(1/k). ´E claro que

z1 ≺ z2 ≺ z3 ≺ z4 ≺ · · · comn(1/k) ≺ zkpara todok∈N. Logo,

n(1/k) ≺ zk≺ zk+1 ≺ zk+2 ≺ · · ·.

Assim, para todosn > m > kvaled(f(zm), f(zn))<1/k. Portanto,{f(zl), l∈N}é uma sequência de Cauchy emM e comoMé (sequencialmente) completo, segue que{f(zl), l∈N}converge a um certo elementom∈M, o que equivale a dizer que para todoǫ >0 existeN(ǫ)∈Ntal qued(f(zn), m)< ǫsempre quen > N(ǫ).

Seja agoraǫ >0 fixo e escolhamosk∈Nde forma que 1/k < ǫ. Sei∈Isatisfazi≻n(1/k), valed(f(i), m)≤ d(f(i), f(zn)) +d(f(zn), m). Tomandon >max{N(ǫ), k}teremosd(f(i), f(zn))< ǫpoisi≻n(1/k) ezn≻n(1/k) e tamb´em teremosd(f(zn), m)< ǫpoisn > N(ǫ). Logo,d(f(i), m)≤2ǫ, provando quefconverge (am∈M). Isso completa a prova.

30.4 O Limite do ´ Infimo e o Limite do Supremo

SejaIum conjunto dirigido eα:I→Ruma fun¸c˜ao deIemR. Denotaremos porαio valor deαno pontoi∈I.

Define-se olimite do ´ınfimoda fun¸c˜aoαcomo sendo lim inf

I α := sup

n∈I

k≻ninfαk, (30.1)

ou, numa nota¸c˜ao mais completa (e algo pedante), lim inf

I α:= supn inf

αk, k≻n, k∈I , n∈Io

. (30.2)

Analogamente, define-se olimite do supremoda fun¸c˜aoαcomo sendo lim sup

I α:= inf

n∈Isup

k≻nαk, (30.3)

ou,

lim sup

I

α := infn sup

αk, k≻n, k∈I , n∈Io

. (30.4)

As defini¸c˜oes acima indicam que tanto o limite do supremo quanto o do ´ınfimo dependem da pr´e-ordenamento adotada

≺. Omitiremos essa dependência para não carregar a nota¸cão.

E f´´ acil provar que sempre se tem

lim inf

I α≤ lim sup

I

α . (30.5)

Caso lim infIα= lim supIαolimite deα´e definido como sendo limI α = lim inf

I α= lim sup

I

α . (30.6)

•Invariˆancia por redu¸c˜ao inicial do dom´ınio

Que interesses há nas defini¸cões acima? Há vários. Um deles reside na seguinte propriedade. Suponha queIpossa ser escrito como uma uniãoI=I0∪JondeI0eJtêm as seguintes propriedades

1. Para todoi0∈I0existe pelo menos umj∈Jtal quei0≺j.

2.Jé um conjunto dirigido pela mesma rela¸cão de pré-ordenamento≺.

3. Para todoj∈Jvale que sek≻jent˜aok∈J.

Ent˜ao, vale que

lim inf

J α = lim inf

I α

e que

lim sup

J

α = lim sup

I

α ,

ou seja, os limites do ´ınfimo e do supremo de uma fun¸cão em um conjunto dirigido não mudam se subtrairmos deIum conjunto do “come¸co” deI(no caso,I0). Essa propriedade, que é uma das principais razões de ser das defini¸cões de limite acima e que tem uma importância fundamental, será denominada aquiinvariância por redu¸cão inicial do dom´ınio.

Vamos prová-la para o limite do ´ınfimo. O caso do limite do supremo é análogo. Como sup(A∪B) = max{sup(A),sup(B)},

(5)

segue que

lim inf

I α = max{α, β}, onde (30.7)

α := sup

inf

αk, k≻n, k∈I , n∈I0

! ,

β := sup

inf

αk, k≻n, k∈I , n∈J

! .

Pelas hip´oteses, existe para todoi0∈I0pelo menos um elementoj(i0)∈Jcom a propriedade quej(i0)≻i0. Logo, para cadai0∈I0tem-se

ak, k≻j(i0), k∈I ⊂

ak, k≻i0, k∈I e, assim,

inf

ak, k≻j(i0), k∈I

≥ inf

ak, k≻i0, k∈I . Dado que

sup

inf

αk, k≻j, k∈I , j∈J

!

≥ inf

αk, k≻j(i0), k∈I segue que para cadai0∈I0fixo

sup

inf

!

≥ inf

ak, k≻i0, k∈I .

Assim, sup

inf

!

≥ sup

inf

αk, k≻n, k∈I , n∈I0

! .

Como lim infIαé o máximo entre os elementos de cada lado da última desigualdade (veja (30.7)), provou-se que lim inf

I α = sup

inf

αk, k≻n, k∈I , n∈J

! . Claramente, para cadan∈J,

αk, k≻n, k∈I =

αk, k≻n, k∈J ,

pois sek≻ncomn∈Jent˜ao tem-se quek∈J(propriedade 3 da defini¸c˜ao deI0eJ). Assim, lim inf

I α= sup

inf

αk, k≻n, k∈J , n∈J

!

= lim inf

J α .

•Limite do supremo e limite do ´ınfimo de um conjunto

Recordemos a seguinte defini¸cão. SejaXum conjunto com uma topologiaτ. SejaAum subconjunto deX. Um pontox∈Xé dito ser umponto limitedeAse todo abertoT∈τque contiverxcontiver pelo menos um ponto deA distintox. Ou seja, sex∈Tentão (T∩A)\ {x} 6=∅.

Denotaremos por pt(A) o conjunto de pontos limite deA. Vamos supor queXseja parcialmente ordenado. Definimos ent˜ao

lim sup

τ A= sup(pt(A)) e

lim inf

τ A = inf(pt(A)).

desde, ´e claro, que os supremos e ´ınfimos existam emX. Como antes essa defini¸c˜ao depende do ordenamento adotado emX.

•Advertˆencia

SejaI como antes um conjunto dirigido e seja uma fun¸c˜aoα:I →R. Denotemos por Im(α) a imagem deα.

Adotemos emRa topologia usualτRe o ordenamento usual.

E ent˜ao tentador fazermos a seguinte pergunta: ser´a verdade que lim inf´ Iα= lim infτRIm(α) e que lim supIα= lim supτRIm(α)?

A resposta pode ser sim ou n˜ao dependendo do tipo de ordenamento adotado emI. Vejamos os seguintes exemplos.

Exemplo 1. AdotemosI=Ne emNadotemos o ordenamento usual. Tomemos como fun¸c˜ao a sequˆenciaαdefinida da seguinte forma

αn :=











−1−1/n, paranpar 1 + 1/n, paran´ımpar

.

O conjunto Im(α) tem dois pontos limite, a saber,−1 e +1. Assim, lim inf

τR Im(α) = −1 e lim sup

τR

Im(α) = 1. E tamb´em f´´ acil de provar que

lim inf

N α= −1 e lim sup

N α= 1.

E. 30.10Exerc´ıcio. Verifique isso. 6

Exemplo 2. AdotemosX=Ne emNadotemos o seguinte pr´e-ordenamento≺: senems˜ao ambos pares ou ambos

´ımpares entãon≺msen≤m. Entanto, sené par emé ´ımpar temos sempre quen≺m.

Esse pr´e-ordenamento coloca todos os pares como “menores” que todos os ´ımpares. Entre os pares e entre os ´ımpares o ordenamento ´e o usual.

Tomemos a mesma sequˆenciaαdefinida acima. Claramente continuamos tendo lim inf

τR Im(α) = −1 e lim sup

τR

Im(α) = 1. Por´em, com o ordenamento dos naturais adotado, temos que

lim inf

N,≺ α= 1 e lim sup

N,≺

α = 1.

E. 30.11Exerc´ıcio. Verifique isso. 6

•Mais sobre o limite do supremo e sobre o limite do ´ınfimo

Verificamos acima que não é verdadeira em geral a afirmativa que o limite do supremo de uma sequência coincide com o supremo dos pontos limite de sua imagem. Há porém uma rela¸cão entre o limite do supremo e os pontos de acumula¸cão da sequência.

TomemosIcomo sendo o conjunto dos naturais com o ordenamento usual e sejaα:I→Ruma sequˆencia. Adotamos emRa topologia usual e o ordenamento usual.

Seja Ac(α) o conjunto de todos os pontos de acumula¸c˜ao da sequˆenciaα.

Tem-se ent˜ao que

lim inf

I α = inf(Ac(α))

(6)

e que

lim sup

I

α = sup(Ac(α)).

Não apresentaremos a prova aqui. Observamos, porém, que esse fato é verdadeiro qualquer que seja o ordenamento adotado emN. Para provar isso precisamos ainda introduzir o conceito de ponto de acumula¸cão para fun¸cões definidas em conjuntos dirigidos gerais, o que faremos na Se¸cão 30.3 sobre redes.

E. 30.12Exerc´ıcio. Seja a sequˆenciacⁿ= sen (1/n),n= 1,2, 3, . . .. Determine seus pontos de acumula¸c˜ao,lim supcⁿe

lim infcⁿ. 6

E. 30.13Exerc´ıcio. Sejamcⁿedⁿduas sequˆencias limitadas de n´umeros reais. Mostre as seguintes desigualdades.

1.lim sup

n→∞(cⁿ+dⁿ)≤lim sup

n→∞ cⁿ+ lim sup

n→∞ dⁿ. 2.lim sup

n→∞

(cⁿdⁿ)≤

lim sup

n→∞

cⁿ lim sup

n→∞

dⁿ

. 3. Para todoa >0valelim sup

n→∞(acⁿ) =alim sup

n→∞ cⁿ. 4. Para todoa <0valelim sup

n→∞(acⁿ) =alim inf_n→∞cⁿ.

6

O estudante pode estar se perguntando por que não temos sempre simplesmente a igualdade lim sup(cn+dn) = lim supcn+ lim supdn. Veja o que ocorre no exemplo simples ondecn= (−1)ⁿedn=−(−1)ⁿ. Aqui temos lim sup(cn+ dn) = lim sup 0 = 0, mas lim supcn= +1 e lim supdn= +1. Logo, lim sup(cn+dn)0<2 = lim supcn+ lim supdne a igualdade, portanto, não é válida nesse caso.

E. 30.14Exerc´ıcio. Sejaaⁿuma sequˆencia de n´umeros reais. Mostre que lim sup

n→∞

(−aⁿ) = −lim inf

n→∞aⁿ.

6

E. 30.15Exerc´ıcio. Sejamcⁿedⁿduas sequˆencias de n´umeros reais tais quecⁿ≤dⁿpara todon∈N. Mostre que lim sup

n→∞

cⁿ ≤lim sup

n→∞

dⁿ e lim inf

n→∞cⁿ≤lim inf

n→∞dⁿ.

6

30.5 Continuidade de Fun¸ c˜ oes em Espa¸ cos Topol´ ogicos

Nesta se¸cão apresentaremos diversas defini¸cões do conceito de continuidade de fun¸cões em espa¸cos topológicos, discutiremos a equivalência dessas defini¸cões e estudaremos suas consequências. Como já dissemos, a possibilidade de definir a no¸cão de continuidade de fun¸cões entre espa¸cos topológicos é parte da razão de ser da própria no¸cão de topologia.

Vamos a uma defini¸cão de continuidade, que chamaremos de defini¸cão de continuidade número 1.

DC 1.SejamMeNdois conjuntos não-vazios, o primeiro dotado de uma topologiaτMe o segundo de uma topologia τN. Uma fun¸cãof: M→Né dita ser uma fun¸cão cont´ınua em rela¸cão às topologiasτMeτNsef⁻¹(A)∈τMpara todo abertoAdeτN.

Em outras palavras, uma fun¸c˜ao ´e dita ser cont´ınua se a imagem inversa de qualquer conjunto aberto na topologia do seu contradom´ınio for igualmente um conjunto aberto na topologia do conjunto dom´ınio.

A seguinte afirma¸cão é uma consequência imediata da defini¸cão acima.

Proposi¸cão 30.7SejamM1, M2 eM3 espa¸cos topológicos com topologias τM1, τM2 eτM3, respectivamente. Seja f:M1→M2, cont´ınua em rela¸cão às topologiasτM1eτM2, eg:M2→M3, cont´ınua em rela¸cão às topologiasτM2e τM3. Entãog◦f:M1→M3é cont´ınua em rela¸cão às topologiasτM1eτM3. 2

Prova.←→Exerc´ıcio.

Uma série de questões vêm à mente de qualquer estudante que se depara com a defini¸cão acima pela primeira vez.

Por exemplo, as seguintes: 1) No caso de fun¸cões reais definidas na reta real o que a defini¸cão acima tem a ver com a no¸cão de continuidade tão bem conhecida e ensinada? 2) Na defini¸cão acima, o conceito de continuidade parece ser fortemente dependente das topologiasτMeτNescolhidas no dom´ınio e na imagem da fun¸cão. Pode acontecer de uma fun¸cão dada ser cont´ınua em rela¸cão a algumas topologias mas não em rela¸cão a outras? 3) É estranho que na defini¸cão acima a no¸cão de continuidade seja apresentada em termos de uma propriedade da imagem inversaf⁻¹da fun¸cãof. Isso tem mesmo que ser assim? 4) Será poss´ıvel caracterizar a propriedade de continuidade diretamente em termos de propriedades daf?

Essas questões são muito pertinentes e serão respondidas uma a uma no que segue.

Fazemos notar que, na defini¸cão nova de continuidade que apresentamos acima, as topologiasτMeτNsão genéricas, não necessitando ser, por exemplo, topologias métricas emM ouN, respectivamente. Vamos, porém, discutir agora o caso tradicional em queMeNsão iguais à reta real dotada da topologia métrica usualτR.

•A no¸c˜ao usual de continuidade em espa¸cos m´etricos

Sejaf: R→Ruma fun¸cão. A no¸cão usual de continuidade diz quefé cont´ınua emRse e somente se para todo x∈Re para todo númeroǫ >0 existir um númeroδ=δ(x, ǫ)>0 (eventualmente dependente dexeǫ) tal que, sempre que para algumytivermos|y−x|< δ(x, ǫ) então|f(y)−f(x)|< ǫ.

Essa defini¸c˜ao pode ser facilmente generalizada para o caso de espa¸cos m´etricos gerais.

DCEM 1. SejamM eN dois conjuntos não-vazios dotados de métricasdM edN, respectivamente. Uma fun¸cão f:M →N é dita ser cont´ınua (no sentido usual) em rela¸cão às métricasdM edN se para todox∈M e para todo númeroǫ >0existir um númeroδ(x, ǫ)>0tal que sey∈BdM(x, δ(x, ǫ)), entãof(y)∈BdN(f(x), ǫ).

Acima,Bd(a, r) é a bola aberta de raiorcentrada em torno deasegundo a métricad. Uma outra forma de apresentar a defini¸cão acima é:

DCEM 1’. SejamM eN dois conjuntos não-vazios dotados de métricasdM edN, respectivamente. Uma fun¸cão f:M →N é dita ser cont´ınua (no sentido usual) em rela¸cão às métricasdM edN se para todox∈M e para todo númeroǫ >0existir um númeroδ(x, ǫ)>0tal quef

BdM x, δ(x, ǫ)

⊂BdN

f(x), ǫ .

Vejamos um exemplo de uma fun¸cão real que não é cont´ınua segundo a defini¸cão acima. Seja a fun¸cão

H(t) :=











1, set≥0, 0, set <0.

(30.8)

Então, parax= 0 e paraǫ= 1/10 (por exemplo) não é poss´ıvel achar um númeroδtal que se|y−x|=|y|< δtenhamos

|H(y)−H(x)|=|H(y)−1|<1/10. A razão é que para qualquery≥0 temos|H(y)−1|= 0 que é menor que 1/10, mas para qualquery <0 temos|H(y)−1|= 1 que, obviamente, é sempre maior que 1/10.

E. 30.16Exerc´ıcio. Seja a fun¸cãog(t) =t². Mostre explicitamente quegé cont´ınua pela defini¸cão acima. Como pode serδ(x, ǫ)

como fun¸c˜ao dexeǫnesse caso? 6

As linhas acima recordam-nos a defini¸cão usual de continuidade de fun¸cões definidas emR, tal como aprendida nos cursos iniciais de Cálculo. Qual a conexão com a nova no¸cão de continuidadeDC 1que apresentamos acima? Vamos esclarecer este ponto agora, provando que as duas defini¸cões são equivalentes.

Seja uma fun¸cãof: M→N tal quef⁻¹(A) é um aberto emτMpara todoA∈τN. Sejam um pontoxno dom´ınio dafef(x) sua imagem. SejaA=BdN(f(x), ǫ) (comǫ >0) um aberto emτN. Pelas hipóteses, o conjuntof⁻¹(A)

(7)

´e um aberto emM que deve conter o pontox(poisf(x)∈A). Deve, portanto, haver uma bola abertaBdM(x, δ), centrada emxe de raio deδ=δ(x, ǫ)>0 (em geral, o raio deve depender deAe, portanto, dexeǫ) inteiramente contida no abertof⁻¹(A). ComoBdM(x, δ)⊂f⁻¹(A), segue quef BdM(x, δ

)⊂A=BdN(f(x), ǫ). Isso, finalmente,

é exatamente a afirma¸cão quefé cont´ınua no sentido da defini¸cãoDCEM 1.

Vamos agora supor quefseja uma fun¸cão cont´ınua no sentido da defini¸cãoDCEM 1e provar que ela também é cont´ınua no sentido da defini¸cãoDC 1. Isso, junto com o visto no último parágrafo, mostra que as duas no¸cões são equivalentes.

SejaA∈τNum aberto qualquer emNe vamos supor, sem perder a generalidade, queAcontém elementos da imagem def. Sejax∈f⁻¹(A). Seja, para algumǫ >0,BdN(f(x), ǫ) a bola aberta de raioǫcentrada emf(x). ComoAé aberto ef(x)∈A, teremosBdN(f(x), ǫ)⊂Ase escolhermosǫpequeno o suficiente (ainda comǫ >0). Pela hipótese quefé cont´ınua no sentido da defini¸cãoDCEM 1, existeδ(x, ǫ) tal que sey∈BdM(x, δ(x, ǫ)) entãof(y)∈BdN(f(x), ǫ)⊂A.

Logo,y∈f⁻¹(A). Mas isso significa dizer que para todox∈f⁻¹(A) somos capazes de identificar um raioδ=δ(x, ǫ) (para oǫescolhido) tal que todo elemento que dista dexmenos queδ´e tamb´em elemento do conjuntof⁻¹(A). Isso

é afirmar quef⁻¹(A) é um conjunto aberto, pela própria defini¸cão de conjuntos abertos na topologia métrica dedM, provando a validade das condi¸cões da defini¸cãoDC 1.

Isso provou a equivalˆencia que quer´ıamos estabelecer e, para o caso de fun¸c˜oes na reta real com a topologiaτRusual, respondeu a pergunta 1) acima.

30.5.1 Outras No¸ c˜ oes Associadas ` a de Continuidade

Além da no¸cão de continuidade de fun¸cões entre espa¸cos métricos estabelecida acima existe também a no¸cão decontinuidade uniforme. Sobre ela falaremos com mais detalhe à página 1550.

•Fun¸c˜oes Lipschitz-cont´ınuas em espa¸cos m´etricos

Já nos encontramos anteriormente, por exemplo, no Cap´ıtulo 25, página 1307, com a no¸cão de fun¸cão Lipschitz⁸- cont´ınua, ao menos no caso de fun¸cões reais. Essa no¸cão pode ser facilmente generalizada para fun¸cões entre espa¸cos métricos gerais.

Defini¸cão. SejamM eN dois conjuntos não-vazios dotados de métricasdM edN, respectivamente. Uma fun¸cão f:M→Né dita ser Lipschitz-cont´ınua em rela¸cão às métricasdMedNse existir uma constanteL≥0 tal que

dN f(x), f(y)

≤ L dM(x, y), (30.9)

para todosx, y∈M. ♠

A condi¸cão (30.9) é denominada condi¸cão de Lipschitze uma constanteLque a fa¸ca verdadeira é denominada constante de Lipschitzpara a fun¸cãof. É elementar provar que toda fun¸cão Lipschitz-cont´ınua é cont´ınua no sentido usual, caracterizado pela defini¸cãoDCEM 1.

E. 30.17Exerc´ıcio.Prove isso! 6

•Continuidade por partes

Uma outra no¸c˜ao importante ´e a decontinuidade por partes.

Defini¸cão. SejamMeNnão-vazios e dotados de topologiasτMeτN, respectivamente. Uma fun¸cãof:M→Né dita ser uma fun¸cãocont´ınua por partesem rela¸cão às topologiasτMeτNse existir um conjunto finito de abertos disjuntos A1, . . . , AmemMsatisfazendoM=

m

[

k=1

Ake tais que:

1. Para todokvale que (f↾Ak) :Ak→N, a restri¸cão defao abertoAk, é cont´ınua, em rela¸cão à topologia induzida porτMsobreAke em rela¸cão àτN.

8Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (1832-1903).

2. Para todokexiste uma extensão def↾Aksobre o fechadoAka qual é cont´ınua em rela¸cão à topologia induzida porτMsobreAke em rela¸cão àτN.

♠ Alguns autores permitem enfraquecer a condi¸cão de que a cole¸cão de abertosAkseja finita, permitindo que seja contável.

30.5.1.1 Homeomorfismos e Mergulhos Topol´ ogicos

Duas no¸cões de grande importância no estudo de espa¸cos topológicos são a de homeomorfismo e a de mergulho topológico.

Sejam (X, τX) e (Y, τY) dois espa¸cos topológicos. Uma fun¸cãof:X→Y é dita ser umhomeomorfismoentre (X, τX) e (Y, τY) se for cont´ınua, bijetora e sua inversa também for cont´ınua.

Uma fun¸cãof:X→Yé dita ser ummergulho topológico, ou simplesmente ummergulho, de (X, τX) em (Y, τY) se ffor um homeomorfismo entreXe sua imagemf(X) (adotando neste conjunto a topologia relativa deτY).

Dizemos que dois espa¸cos topológicos (X, τX) e (Y, τY) sãoespa¸cos homeomorfosse existir um homeomorfismo f:X→Y. Dizemos que o espa¸co topológico (X, τX) émergulhávelno espa¸co topológico (Y, τY) se existir um mergulho topológicof:X→Y.

Denotamos simbolicamente o fato de (X, τX) e (Y, τY) serem homeomorfos por (X, τX)≃(Y, τY) (ou simplesmente porX≃Y, quando as topologias forem subentendidas).

As no¸cões de homeomorfismo e de mergulho topológico desempenham um papel importante na Topologia Diferen- cial e na Geometria Diferencial. A no¸cão de homeomorfismo é importante na Topologia em geral devido às seguintes observa¸cões.

E claro que todo espa¸co topol´´ ogico satisfaz (X, τX)≃(X, τX) (adote-se a fun¸cão identidade). É também claro que se (X, τX)≃(Y, τY), então (Y, τY)≃(X, τX) (pois sef:X→Y é um homeomorfismo então sua inversaf⁻¹:Y→X também é um homeomorfismo). Por fim, se (X, τX), (Y, τY) e (Z, τZ) são espa¸cos topológicos e f : X →Y e g:Y →Zsão homeomorfismos, entãog◦f:X→Zé um homeomorfismo, o que nos diz que se (X, τX)≃(Y, τY) e (Y, τY)≃(Z, τZ) então (X, τX)≃(Z, τZ).

O constatado acima permite entender o fato de dois espa¸cos topológicos serem homeomorfos como uma espécie de rela¸cão de equivalência, no¸cão que introduzimos na Se¸cão 1.1.1.3, página 48. Estritamente falando, porém, não se trata de rela¸cões de equivalência usuais pois, devido a certas obstru¸cões lógicas presentes na Teoria dos Conjuntos, não faz sentido falar no “conjunto de todos os espa¸cos topológicos” e, portanto, não podemos falar em rela¸cões de equivalência no sentido usual entre tais objetos. O quadro onde essa no¸cão pode ser inserida, porém, é a Teoria das Categorias, mas por ora não iremos nos estender nesses comentários. A ideia que homeomorfismos induzem rela¸cões de equivalência entre espa¸cos topológicos é, porém,moralmenteválida e podemos pensar em classificar espa¸cos topológicos (e suas propriedades) de acordo com “classes de homeomorfia”. Esse é o principal objetivo de certas áreas da Topologia, como por exemplo a Topologia Algébrica. Remetemos o estudante interessado aos bons livros para uma continua¸cão da discussão sobre esse importante tema.

•A inclus˜ao como um mergulho topol´ogico

SejamXeY dois conjuntos não-vazios comY ⊂X. A fun¸cãoi≡iY, X:Y →Xdefinida pori(y) :=ypara todo y∈Y, é denominadainclusãodeY emX, oufun¸cão inclusãodeY emX.

E evidente que a imagem de´ Y poriY, Xé o próprio conjuntoY: iY, X(Y) =Y e queiY, Xé uma bije¸cão deY em sua imagem. É também trivial que iY, X−1

:Y →Y ´e dada por iY, X−1

(y) =y.

Seja (X, τX) um espa¸co topológico e sejaY ⊂X, não-vazio. SejaτI a topologia induzida emY porτX, a qual consiste, recordando, na cole¸cão de todos os conjuntos da formaA∩Y comA∈τX.

Temos o seguinte fato, que listamos na forma de uma proposi¸c˜ao para futura referˆencia:

Proposi¸cão 30.8Sejam(X, τX)e(Y, τY)dois espa¸cos topológicos, sendo queY⊂X(assumimosXeY não-vazios).

Então, a fun¸cão inclusãoiY, X :Y →Xé um mergulho topológico de(Y, τY)em(X, τX)se e somente seτY for a

topologia induzida emY pela topologiaτX. 2

(8)

Prova.Já vimos queiY, X:Y →Xé uma bije¸cão em sua imagem e queiY, X(Y) =Y. Já que iY, X

−1

(A) =AeiY, X(A) =Apara todoA⊂Y eiY, X(Y) =Y, então, seτY =τI, a inclusãoiY, X será evidentemente um homeomorfismo entre (Y, τY) e iY, X(Y), τI

= (Y, τI). ComoiY, X(Y) =Y, isso significa queiY, X

´e um mergulho topol´ogico de (X, τX) e (Y, τY).

Vamos agora supor queiY, X seja um mergulho topológico de (Y, τY) em (X, τX). Então, por defini¸cão,iY, Xé um homeomorfismo entre (Y, τY) e (Y, τI) (poisiY, X(Y) =Y). ComoiY, Xé cont´ınua, valerá para todoA∈τIque

iY, X−1

(A)∈τY. Como iY, X−1

(A) =A, isso implica queA∈τY, mostrando queτI ⊂τY. Como iY, X−1

´e cont´ınua, valer´a para todoA∈τY queiY, X(A)∈τI. ComoiY, X(A) =A, isso implica queA∈τI, mostrando que τY⊂τI. Isso demonstrou queτY=τI.

30.5.2 Outras Caracteriza¸ c˜ oes do Conceito de Continuidade em Espa¸ cos Topol´ ogicos

A caracteriza¸cãoDC 1do conceito de continuidade de uma fun¸cão entre dois espa¸cos topológicos que apresentamos no in´ıcio da subse¸cão anterior é equivalente a uma série de outras caracteriza¸cões que discutiremos agora, as quais podem, eventualmente, ser mais úteis que a descrita acima.

Vamos a uma outra defini¸cão de continuidade, que chamaremos de defini¸cão de continuidade número 2.

DC 2.SejamMeNdois conjuntos não-vazios, o primeiro dotado de uma topologiaτMe o segundo de uma topologia τN. Uma fun¸cãof : M →N é dita ser uma fun¸cão cont´ınua em rela¸cão às topologiasτM eτNsef⁻¹(F)for um conjunto fechado para a topologiaτMpara todo conjunto fechadoFsegundoτN.

Em outras palavras, uma fun¸c˜ao ´e dita ser cont´ınua se a imagem inversa de qualquer conjunto fechado na topologia do conjunto imagem for igualmente um conjunto fechado na topologia do conjunto dom´ınio.

Desejamos provar a equivalˆencia das defini¸c˜oesDC 1eDC 2. Para tal, notemos que, para qualquer conjuntoC⊂N, valef⁻¹(C) =f⁻¹(C^c)^c, ou seja,

f⁻¹(C) =M\f⁻¹(N\C).

E. 30.18Exerc´ıcio (f´acil). Demonstre essa rela¸c˜ao. 6

Com essa rela¸cão em mãos fica fácil provar que seffor cont´ınua segundoDC 1então a imagem inversa de qualquer conjuntoCfechado emN é fechado emM. Mutatis mutandis, sefe cont´ınua segundoDC 2então a imagem inversa de qualquer abertoCemNé aberto emM. Isso estabelece que as duas defini¸cões são equivalentes.

Vamos agora a uma terceira defini¸cão de continuidade que será útil quando tratarmos do conceito de continuidade em espa¸cos métricos.

DC 3.SejamMeNdois conjuntos não-vazios, o primeiro dotado de uma topologiaτMe o segundo de uma topologia τN. Uma fun¸cãof: M→Né dita ser uma fun¸cão cont´ınua em rela¸cão às topologiasτM eτNsef D

⊂f(D)para todo conjuntoD⊂M. Aqui,D´e o fecho deDna topologiaτMef(D)´e o fecho def(D)na topologiaτN.

Note-se aqui dois fatos: 1) nesta nova defini¸cão a continuidade é caracterizada em termos de propriedades das imagens da fun¸cãof e não em termos das suas imagens inversas; 2) acimaDé um conjunto qualquer deM, não apenas um aberto ou um fechado.

Vamos provar agora que a defini¸cãoDC 3é equivalente à defini¸cãoDC 2(e, portanto, à defini¸cãoDC 1). Para tal, usaremos o fato (vide (1.12), página 42) que paraA⊂MeB⊂N entãof(f⁻¹(B))⊂Bef⁻¹(f(A))⊃A. Usaremos também que seA⊂MeB⊂Nsão tais quef(A)⊂B, entãof⁻¹(B)⊃A.

Seja ent˜aofcont´ınua segundoDC 3e sejaF⊂N, fechado. Teremos que f

f⁻¹(F)

⊂ f(f⁻¹(F)) ⊂ F = F , ou seja,

f f⁻¹(F)

⊂ F .

Logo,

f⁻¹(F) ⊃ f⁻¹(F).

Como um conjunto qualquer é sempre subconjunto e seu fecho, essa última rela¸cão diz quef⁻¹(F) =f⁻¹(F), que é o mesmo que dizer quef⁻¹(F) é fechado. Assim, sefé cont´ınua segundoDC 3é também segundoDC 2.

Seja agorafcont´ınua segundoDC 2. E sejaD⊂M, qualquer. TomandoY=f(D), vimos acima que f

f⁻¹ f(D)

⊂ f(D). (30.10)

Agora,

D ⊂ f⁻¹(f(D)) ⊂ f⁻¹ f(D)

. Masf⁻¹

f(D)

é fechado, poisfé cont´ınua segundoDC 2ef(D) é fechado. Assim,D⊂f⁻¹ f(D)

, poisD´e o menor fechado que cont´emD. Disso segue quef D

⊂f f⁻¹

f(D)

. Juntando-se isso `a (30.10), conclu´ımos que f D

⊂f(D), provando a equivalˆencia desejada.

•Continuidade em um ponto. Continuidade em termos de vizinhan¸cas

Vamos a mais uma caracteriza¸cão útil da no¸cão de continuidade, dessa vez em termos da no¸cão de vizinhan¸ca, introduzida à página 1359. Vamos antes definir o que se entente por continuidade de uma fun¸cão em um ponto.

Continuidade em um ponto.SejamM eNdois conjuntos não-vazios, o primeiro dotado de uma topologiaτMe o segundo de uma topologiaτN. Sejax∈M. Uma fun¸cãof:M→Né dita ser uma fun¸cão cont´ınua emxse para toda vizinhan¸caVf(x)⊂Ndef(x)o conjuntof⁻¹(Vf(x))⊂Mfor uma vizinhan¸ca dex.

A seguinte defini¸cão da no¸cão de continudade de fun¸cões entre espa¸cos topológicos é equivalente às anteriormente apresentadas.

DC 4.SejamMeN dois conjuntos não-vazios, o primeiro dotado de uma topologiaτMe o segundo de uma topologia τN. Uma fun¸cãof:M→Né dita ser uma fun¸cão cont´ınua em rela¸cão às topologiasτM eτNse for cont´ınua em todo x∈M(no sentido da defini¸cão acima).

Vamos estabelecer a equivalência dessa defini¸cão com a defini¸cãoDC 1. Suponhaf:M→Ncont´ınua segundoDC 1. Sejax∈M e sejaVf(x)uma vizinhan¸ca def(x) emN. Então existe um abertoA∈τNtal quef(x)∈A⊂Vf(x). Mas isso implica que,x∈f⁻¹(A)⊂f⁻¹(Vf(x)). Como por hipótesef⁻¹(A)∈τM, provamos quef⁻¹(Vf(x)) é uma vizinhan¸ca dex. Comox∈Mé arbitrário, provou-se quefé cont´ınua em todox∈M.

Vamos estabelecer a rec´ıproca, supondo agora quef: M →N seja cont´ınua em todox∈M. SejaA∈τN. Se f⁻¹(A) =∅não há o que provarmos. Seja entãof⁻¹(A)6=∅e sejax∈f⁻¹(A). ClaramenteAé uma vizinhan¸ca de f(x). Logo,f⁻¹(A) é uma vizinhan¸ca dex, por hipótese. Assim, existeBx∈τMtal quex∈Bx⊂f⁻¹(A). Ora, essa afirma¸cão é válida para cadax∈f⁻¹(A). Assim, provamos que

f⁻¹(A) = [

x∈f⁻¹(A)

{x} ⊂ [

x∈f⁻¹(A)

Bx ⊂ [

x∈f⁻¹(A)

f⁻¹(A) = f⁻¹(A).

Isso provou quef⁻¹(A) =S

x∈f−1(A)Bx, que é umτM-aberto, por ser uma união de abertos. ComoAé um aberto arbitrário deN, estabelecemos quefé cont´ınua no sentido da defini¸cãoDC 1.

30.5.3 Continuidade e Convergˆ encia

•Continuidade e convergˆencia em espa¸cos m´etricos

Vamos agora tratar de mais uma caracteriza¸cão do conceito de continuidade de fun¸cões, caracteriza¸cão esta especia- lizada ao caso de fun¸cões entre espa¸cos métricos. Uma primeira defini¸cão do conceito de continuidade de fun¸cões entre espa¸cos métricos é a defini¸cãoDCEM 1, que encontra-se à página 1444. O ponto importante da caracteriza¸cão que aqui descreveremos é que a mesma trata a no¸cão de continuidade em termos de convergência de sequências, sendo por isso de especial importância prática.

(9)

Temos a seguinte defini¸c˜ao:

DCEM 2. SejamMeN dois conjuntos n˜ao-vazios dotados de m´etricasdM edN, respectivamente. SejamτdM eτdN

as topologias induzidas por essas métricas emMeN, respectivamente. Uma fun¸cãof:M→Né cont´ınua em rela¸cão

`

as métricasdMedNse para todox∈Me para toda sequência{xn∈M, n∈N}que converge axem rela¸cão à métrica dMtivermos

f(x) = lim

n→∞f(xn), ou seja,

f

nlim→∞xn

= lim

n→∞f(xn), onde a convergência def(xn)∈Nse dá em rela¸cão à métricadN.

Vamos mostrar que esta última defini¸cão de continuidade é, no caso de espa¸cos métricos, equivalente às defini¸cões DC 1, 2e3. No caso de espa¸cos topológicos não-métricos tal equivalência pode não ser válida. Lembramos o comentário que fizemos na Se¸cão 30.1 que há espa¸cos topológicos não-métricos nos quais nenhuma sequência é convergente, fora as sequências eventualmente constantes. Um exemplo é o de um conjuntoXnão contável dotado da topologia co-contável.

Essa é a raiz da dificuldade em se estender a defini¸cãoDCEM 2para espa¸cos topológicos não-métricos.

Prova da equivalência.Vamos supor quefseja cont´ınua segundoDCEM 2e provar quefé então cont´ınua segundo DC 3. SejaD⊂Mgenérico e não-vazio e sejax∈D(o casoD=∅é trivial). Então, comoMé um espa¸co métrico existe uma sequênciaxn∈Dque converge ax. Pelas hipóteses então,f(x) = lim

n→∞f(xn). Comoxpode ser qualquer elemento deDe como os pontosf(xn) s˜ao elementos do conjuntof(D), isso significa quef D

⊂f(D), o que prova quef´e cont´ınua segundoDC 3.

Vamos agora suporfcont´ınua segundoDC 1e vamos mostrar que ela então o é segundoDCEM 2. Suponha que parax∈Mhaja uma sequênciaxnemMconvergindo axsegundodMe suponha quef(xn) não converge af(x). Então existe um abertoAdeN contendof(x) e tal quef(xn) não está eventualmente emA. Isso significa quexnnão está eventualmente emf⁻¹(A) (por quê?). Como pelas hipótesesf⁻¹(A) é um aberto ex∈f⁻¹(A) (por que?), isso diz que xnnão converge ax, uma contradi¸cão. Logo lim

n→∞f(xn) =f(x) e a equivalˆencia est´a provada.

E. 30.19Exerc´ıcio. Seja a fun¸c˜aoHdefinida em (30.8). Adotando a topologia usual deRtanto na imagem quanto no dom´ınio deH, exiba sequˆenciasxⁿemRconvergindo ax= 0tais que lim

n→∞H(xⁿ)6=H(0). 6

•Continuidade e convergˆencia em espa¸cos topol´ogicos gerais

Como observamos acima, a defini¸cão de continuidadeDCEM 2não pode ser diretamente transposta a espa¸cos topológicos gerais, pois nesses casos ocorrem dificuldades especiais concernentes à convergência de sequências. Como aprendemos e discutimos na Se¸cão 30.3, página 1436, essas dificuldades podem ser superadas com o emprego da no¸cão mais geral derede, como alternativa às sequências. De fato, é poss´ıvel apresentar mais uma defini¸cão do conceito de continuidade, equivalente às anteriores, nas mesmas linhas deDCEM 2, mas com a no¸cão de rede substituindo a de sequência.

Para uma melhor compreensão do que segue, recomendamos uma re-leitura da Se¸cão 30.3, página 1436. Temos a seguinte defini¸cão:

DC 5.SejamMeNdois conjuntos não-vazios, o primeiro dotado de uma topologiaτMe o segundo de uma topologia τN. Uma fun¸cãof:M→Né dita ser uma fun¸cão cont´ınua em rela¸cão às topologiasτMeτNse para todox∈Me para toda rede{xλ, λ∈I}emM que temxcomo ponto limite na topologiaτM, a rede{f(xλ), λ∈I}emNtiverf(x) como ponto limite na topologiaτN.

Note que, acima, as redes{xλ, λ ∈ I}e{f(xλ), λ∈ I} podem tem outros pontos limite além dex ef(x), respectivamente, poisMeN não são necessariamente do tipo Hausdorff nas suas respectivas topologias.

Vamos mostrar que esta última defini¸cão de continuidade equivale às defini¸cõesDC 1, 2e3.

Prova da equivalência. Vamos supor quefseja cont´ınua segundoDC 5e provar quefé então cont´ınua segundo DC 3. SejaD⊂M genérico e não-vazio e sejax∈D(o casoD=∅é trivial). Então, pela Proposi¸cão 30.4, página 1437, existe uma rede{xλ, λ∈I}emDtemxcomo ponto limite emτM. Pelas hipóteses então,f(x) é ponto limite de {f(xλ), λ∈I}emτN. Comoxpode ser qualquer elemento deDe como os pontosf(xλ) são elementos do conjunto

f(D), isso significa, também pela Proposi¸cão 30.4, página 1437, quef D

⊂f(D), o que prova quef´e cont´ınua segundo DC 3.

Vamos agora suporfcont´ınua segundoDC 1e vamos mostrar que ela, então, o é segundoDC 5. Suponha que para x∈Mhaja uma rede{xλ, λ∈I}emMque temxcomo ponto limite emτMe suponha quef(x) não é ponto limite de {f(xλ), λ∈I}emτN. Então existe um abertoAdeNcontendof(x) e tal que{f(xλ), λ∈I}não está eventualmente emA. Isso significa que{xλ, λ∈I}não está eventualmente emf⁻¹(A) (por quê?). Como pelas hipótesesf⁻¹(A) é um aberto ex∈f⁻¹(A) (por quê?), isso diz quexnão é ponto limite de{xλ, λ∈I}emτM, uma contradi¸cão. Logof(x) é ponto limite de{f(xλ), λ∈I}emτNe a equivalência está provada.