Anéis quânticos ideais

(1)

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

CURSO DE PÓS-GRADUAÇO EM FÍSICA

DIEGO RABELO DA COSTA

ANÉIS QUÂNTICOS SEMICONDUTORES IDEAIS

(2)

ANÉIS QUÂNTICOS SEMICONDUTORES

IDEAIS

Dissertação submetida à Coordenação do

Curso de Pós-Graduação em Físia da

Uni-versidade Federal do Ceará, omo requisito

parial para a obtenção do grau de Mestre

emFísia.

Orientador:

Prof. Dr. Gil de Aquino Farias

Co-orientador:

Dr. Andrey Chaves

Universidade Federal do Ceará

Centro de Ciênias e Tenologia

Departamento de Físia

Mestrado em Físia

(3)

Anéis quântios semiondutores ideais/ Diego Rabelo

da Costa. - Fortaleza: [s.n.℄, 2011.

180 f.:il.olor

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do

Ceará. Departamentode Físia.

Área de onentração: FísiadaMatéria Condensada.

Orientador: Prof. Dr. Gilde Aquino Farias.

Co-orientador: Dr. Andrey Chaves.

1. Semiondutores. 2. Heteroestruturas. 3. Anéis

quântios I. Título.

(4)

ANÉIS QUÂNTICOS SEMICONDUTORES IDEAIS

Dissertaçãosubmetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Físiada

Univer-sidade Federal do Ceará, omo requisito parial para a obtenção do grau de Mestre em

Físia.

Aprovada em: 08/08/2011.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Gilde Aquino Farias

Departamento de Físia UFC

Orientador

Dr. Andrey Chaves

Co - orientador

Prof. Dr. João Milton Pereira Júnior

(5)

(6)

Agradeimentos

Primeiramente,agradeço aDeuseàminhafamilia,emespeial aosmeuspais Manoel

Gonçalves da CostaNeto eMaria Vilaneide Rabelo da Costa, eaos meus irmãos Thiago

Rabelo e Thays Rabelo, aos quais devo o que sou hoje e por haverem me onedido a

oportunidadede estudar, por todoapoio eajuda queme deramdurante minha vida.

Gostaria de agradeer ao professor Gil de Aquino Farias pela dediação e onança

depositadas em minha pessoa ao longo da realização deste trabalho e nos ursos de

gra-duaçãoe mestrado.

Agradeço aomeu o-orientadorAndrey Chaves pelagrande olaboraçãoepornossas

disussões, que melevaram ainúmerosensinamentosesseniais à elaboraçãoda

disserta-ção.

SougratoaoprofessorRobson Ferreira,doLaboratoirePierreAigrain,EoleNormale

Superieure, Frane, por ter olaborado om esse trabalho, dando grandes ideias para a

realizaçãodo mesmo.

Aos membros da bana examinadora, os professores João Milton e Teldo Anderson,

pelaatenção, por ompareerem àdefesa e pordarem sugestões importantes para

onso-lidaçãoe aprimoramentodadissertação.

Tendoemvistaminhaformaçãoaadêmia,agradeçoasdisussõesetroas deideiasa

todososprofessoresdoDepartamentodeFísiadaUFC,emespeialJosuéMendes,Renan

Landim,Nilson Almeida, José Ramos, Ilde Guedes, André Auto, Murilo Pereira, Maros

Antnio,JeanlexSoares,EloneidFelipe,AntnioGomes,AlejandroAyala,EduardoBedê,

Carlos Alberto, Wandemberg Paiva e Raimundo Nogueira, porontribuirem diretamente

(7)

alunosdoursode graduaçãoepós-graduação,poissem oapoiodeles eu não teria

onse-guido,emespeial: AbraãoCefas,AdrianoPolegar,BrunoGondim,DanielGomes,Daniel

Marhesi, Davi Dantas, Davi Monteiro, Diego Luena, Diego Franklin UHUU, Diego

Ximenes, Felipe Moreira, Franiso Arthur, Franiso Leandro, Heitor Credidio, Hygor

Piaget,Hudson Paheo,Igor deBrito,JorgeRoberto, JosiasValentin, Júlio César,Kauã

Monteiro, Leandro Jader, Levi Leite, Rafael Alenar, Saulo Dantas, Saulo-Davi, Vagner

Bessa. Aos amigos do LSBD: Enedilton, Felipe Munarin, Franiso Florênio, Franiso

Neto, Franiso Wellery, Heitor Alves, Ítalo Pereira, João Cláudio, João Philipe, Jorge

André,Jorge Kapuan, Jorge Luiz, Jusiane da Costa, Lui Pinheiro, Marelo Montanha,

Thiago de Melo, Sílvia Helena.

A todos osfunionáriosdo Departamentode FísiadaUFC.

Ao CNPq eà CAPES pelo suporte naneiro.

Enm, agradeço a todos osque me ajudaram, diretaou indiretamente, para a

(8)

A iênia serve para nos dar uma ideia

(9)

Nos últimos anos, numerosos avanços alançados nas ténias de resimento de

ma-teriais deram origem à formação de várias heteroestruturas de semiondutores, onde se

podem onnar elétrons e buraos em uma ou mais direções, através de barreiras de

potenial. Muitos pesquisadores reentemente têm estudado estruturas de baixas

dimen-sionalidades, tais omo pontos e os quântios, devido à sua importânia em inúmeras

apliações tenológias em dispositivos opto-eletrnios omo, por exemplo, LASERS,

sensores biológios, diodos e transistores. Um exemplo interessante que é alvo de

es-tudonessetrabalhoéaestruturahamadaanel quântio,uma estruturade onnamento

tridimensionalobtidaapósumproessode annealing noresimentode pontosquântios.

No estudo das propriedades opto-eletrnios de anéis quântios, é de grande

impor-tânia alular os níveis de energia dos portadores de arga e as funções de onda a m

deanalisaros autoestadosdosistema. Desse modo,resolvemos aequaçãode Shrödinger

independente do tempo para elétrons onnados em um anel quântio semiondutor na

presença de um ampo magnétio, perpendiular ao plano do anel, utilizando a

aproxi-mação da massa efetiva. Sob algumas aproximações, onsideramos que o onnamento

dentro da região do anel é muito forte, tal que o problema é reduzido à variável

angu-lar, onde a largura e altura ontribuem somente om termos onstantes para a energia

total. Avaliamosnumériae analitiamenteo problema doanel naausênia de qualquer

força externa, obtendo o Efeito Aharonov-Bohm, no qual o espetro de energia osila

periodiamenteom a variaçãodo ampo magnétio.

Estudamos também os efeitos de poteniais perturbativos no espetro de energia de

anéisquântios. Primeiramente, onsideramosoaso de umpotenialgeradopela

aplia-çãode um ampoelétrionoplanodoanel. Enontramos soluçõesanalítiasenumérias

para o problema do anel om e sem um ampo magnétio axial. Mostramos que a

pre-sençadeampoelétrioergueadegeneresêniaangulardosestadosdeenergiadoelétron,

suprimindo asosilaçõesAharonov-Bohm para os níveismais baixos de energia.

Investi-gamos também as inuênias no espetro de energia devido à presença de uma ou mais

impurezaspositivasloalizadasde maneirasimétriaeassimetriamenteaolongodoanel.

Para

N

impurezasigualmenteespaçadas, observamos as osilaçõesAharonov-Bohm para osestadosde menorenergiae aformação de sub-bandasde energiaompostas por

N

es-tados,enquanto parasistemasassimétrios oefeitonão foivistoeosestados queformam

(10)

em sub-bandas, devido à simetria rotaional do anel quântio. Analisamos também o

omportamentodasminibandas,formadaspelosestadosligadosdasuperrede, om

rela-ção aoonnamentodopotenialeomparamoso espetrode energia oma variaçãodo

ampo magnétiopara um e mais poços quadrados. Porm, disutimos os efeitos no

es-petrodeenergiadoexitonnoanelquântio devidoàpresençadeumampoelétrioede

umaimpureza negativa. Mostramosqueos estadosde mais baixaenergia doexitonnão

osilam quando onsideramos o potenial oulombiano de interação elétron-burao, mas

a presença de uma impureza em ertas loalizaçõesergue as osilações Aharonov-Bohm,

que podem ser suprimidas pela adição do ampo elétrio no plano do anel. Expomos

assim o omportamento instável das osilações nas energias exitnias na presença de

(11)

Inreent years,the advanesinthematerialsgrowth tehniquesleadtotheformation

of several semiondutor heterostrutures, where eletrons and holes an be onned in

one or more diretions by potential barriers. Lately, many researhers have studied low

dimensionalstruturessuhasquantumdotsandquantumwires,duetotheirimportane

and untold tehnologialappliations in opto-eletroni devies suh as LASERS,

biolo-gial sensors, diode and transistors. An interesting example is the quantum ring, whih

is the subjet of study in this work. This is a three-dimensional onnement struture

obtained afteranannealing proess inquantum dots growth.

In the study of opto-eletroni properties of quantum rings it is quite important

to alulatethe harge arriers energy levelsand wave funtions in order to analyze the

eigenstatesof thesystem. Therefore, wesolvethetime-independentShrödingerequation

foreletrons onned insemiondutorquantum rings inthepresene of amagneti eld

perpendiulartotheplaneoftheringusingtheeetivemassapproximation. Undersome

approximations,we onsider that the onnement insidethe quantum ring region isvery

strong, so that the problemis redued to the angular variable, where the width and the

heightontributeonlywithonstanttermstothetotalenergy. Weinvestigatenumerially

and analytially the problem of a ring in the absene of any external fore, whih leads

to the Aharonov-Bohm eet, where the energy spetrum osillates periodially as the

magneti eld varies.

Wealsostudytheeetsofperturbativepotentialsontheenergyspetrumofquantum

rings. Firstly,weonsidertheaseofapotentialduetoaneletrieldintheplaneofthe

ring. Wendanalytialandnumerialsolutionstotheproblemwithandwithoutanaxial

magnetield. Weshowthat thepresene of aneletrield liftsthe angulardegeneray

of the eletron's energy state, suppressing the Aharonov-Bohm osillationsfor the lower

energylevels. Wealsoinvestigatetheinueneontheenergyspetrumduetothepresene

of one ormore positiveimpurities arranged symmetriallyand asymmetriallyalong the

ring. For

N

impurities equally spaed, we observe Aharonov-Bohm osillations for the lowerenergy statesaswellastheformationofsubbandsofenergy,omposed by

N

states, while for asymmetri systems the eet was not observed and the states that form the

subbands no longer ross. Similarly to the ase with impurities, we observe that the

presene of superlatties of square potential wells groups the energy states in subbands

(12)

potential and we ompare the energy spetrum with the variation of the magneti eld

forone ormoresquarewells. Finallywedisusstheeetsintheexitonenergyspetrum

due to the presene of an eletrield and a negativeimpurity. We show that the lower

energy states of the exiton do not osillate when we onsider the Coulomb interation

potential between the eletron and the hole, but the presene of an impurity in ertain

positionslifts the Aharonov-Bohmosillations, whih an befurther suppressed whenan

eletriel is added. So, we expose the instability of the Aharonov-Bohm osillationsof

(13)

Sumário

1 INTRODUÇO p.25

1.1 Um pouo de história: dispositivossemiondutores . . . p.25

1.2 Estrutura de bandas . . . p.29

1.2.1 Análise qualitativa . . . p.29

1.2.2 O teoremade Bloh. . . p.32

1.2.3 Condições de ontorno de Born-VonKarman . . . p.34

1.2.4 Formação das bandas de energia: os números

n

do teorema de

Bloh . . . p.36

1.2.5 Esquema de zona reduzida: primeirazona de Brillouin . . . p.38

1.2.6 Modelo de Kronig-Penney . . . p.41

1.3 Condutores, isolantes esemiondutores . . . p.44

1.4 Massa efetiva . . . p.47

1.5 Heteroestruturas . . . p.51

1.6 Connamento quântio . . . p.54

1.7 Anéis quântios . . . p.56

1.8 Efeito Aharonov-Bohm . . . p.59

1.9 Exiton em nanoestruturas . . . p.64

(14)

2 ANÉIS QUÂNTICOS IDEAIS p.70

2.1 Modelo teório . . . p.70

2.1.1 Algumas aproximações . . . p.72

2.1.2 A invariânianaesolha dogauge . . . p.73

2.1.3 O Hamiltonianoefetivo doanel quântio ideal . . . p.78

2.2 Solução de um anel quântio ideal na ausênia de perturbação . . . p.80

2.3 Perturbação: Algumas onsiderações . . . p.83

2.3.1 Transformação de gauge . . . p.83

2.4 Método numério . . . p.87

2.4.1 Ténia de disretização: solução unidimensional . . . p.88

2.4.2 Numério versus analítio . . . p.93

3 EFEITOS DE IMPUREZAS E CAMPOS ELÉTRICOS SOBRE O

ESPECTRO DE ENERGIA DE ANÉIS QUÂNTICOS p.95

3.1 Efeitos devido aamposelétrios noplano . . . p.95

3.1.1 Campomagnétio igual a zero . . . p.96

3.1.2 Campomagnétio diferentede zero . . . p.99

3.2 Efeitos de impurezas . . . p.100

3.3 Resultados e disussões . . . p.103

4 POÇOQUÂNTICOSIMPLESESUPERREDESEMANÉIS

QUÂN-TICOS IDEAIS p.116

4.2 Poços quântios simples . . . p.121

4.3 Superredes . . . p.122

4.3.1 Com profundidades iguais . . . p.122

(15)

4.4.1 Poços quântios simples . . . p.128

4.4.2 Superredes . . . p.132

4.4.2.1 Com profundidades iguais . . . p.132

4.4.2.2 Com profundidades aleatórias . . . p.138

5 EXCITONS EM ANÉIS QUÂNTICOS IDEAIS p.145

5.2 Método numério . . . p.155

5.3 Anel rugoso . . . p.156

5.4 Resultados e disussões . . . p.159

6 CONCLUSÕES GERAIS E PERSPECTIVAS p.170

(16)

Lista de Figuras

1 (a) Fotograa do primeirotransistor bipolar, onheido omo transistor

de pontodeontato,riadoemdezembrode1947naBellLabs. (b)F

oto-graa dos inventores do transistor: John Bardeen (àesquerda), William

Shokley (ao entro) e Walter Brattain (àdireita)divulgada naapa da

revista Eletronis em setembro de 1948 om título Crystal Triode [5℄. . p.27

2 (a) Fotograa de Jak S. Kilby, da empresa Texas Instruments (à

es-querda),eRobertNoye,daempresaFairhildSemiondutor(àdireita)

[6℄. (b)Fotograadoprimeiroiruitointegradodahistóriadesenvolvido

por Jak S. Kilbyem 1958 [5℄. . . p.28

3 (a)Esquemadeníveisdeenergiaparadoisátomosisolados. (b)Esquema

de níveis de energiapara osmesmos dois átomos em uma moléula

dia-tmia. () Esquema de níveisde energiapara quatroátomos domesmo

tipoemumristalrudimentar unidimensional. Observequeonívelmais

baixonãoédesdobradoapreiavelmenteporque asautofunçõesatmias

para esse nível não sesuperpõem de formasigniativa[9℄. . . p.31

4 Formação de bandas de energia devido à aproximação para N átomos

de sódio, uja onguração eletrnia é

(1s

2 _)(2s

2 _)(2p

6 _)(3s)

, mostrando

expliitamenteo gap entre elas [7℄. . . p.32

5 Potenialperiódioristalinorepresentadograamenteaolongodeuma

linha de íons e ao longo de uma linha nomeio de um plano de íons. Os

írulos fehados são os sítios de íons de equilíbrio; as urvas sólidas

forneem o potenial ao longo da linha de íons; as urvas pontilhadas,

(17)

6 Cristal nito em forma de paralelepípedo om 4 élulas na direção de

ada vetor que ompõea élula unitária. . . p.35

7 Energiaspermitidasemfunçãodovetor

k

,paraumaredeunidimensional de periodiidade

a

. A linha traejada é a energia para o aso de um elétron livre. As bandas de energia permitidas e proibidas resultantes

apareem à direita [9℄. . . p.37

8 Primeira zona de Brillouin para uma estrutura úbia de fae entrada

para ristais tipo Si, GaAs, AlAs, ZnSe e outros. Os pontos marados

são dadosna Tabela1. . . p.38

9 Estrutura de banda de GaAs[12℄. . . p.39

10 (a)Osníveisdeenergiamostradosemumesquemadezonareduzida. (b)

Repetição por todo o espaço

k

da primeirazona de Brillouin formando

o esquema de zona repetida [11℄.. . . p.40

11 (a)Ilustraçãododesloamentodas bandasnasegunda zonade Brillouin

de

±

2π/a

. (b)Esquemade bandasreduzidasàprimeirazona, resultante

desse desloamento [7℄. . . p.40

12 Representação esquemátia de (a) dois estados de energia ligados para

um elétronemum poçode potenialisolado,(b) duasbandasde energia

para um elétron em um onjunto de poços e barreiras periodiamente

espaçados [14℄. . . p.41

13 Representação esquemátia de um (a) ristal de parâmetro de rede

a

e

(b) seu potenialreal eaproximado pelomodelo de Kronig-Penney [9℄. p.42

14 Representaçãoesquemátiadeumpotenialperiódioformadoporpoços

de barreiranita. . . p.43

15 (a) Gráo qualitativo mostrando o omportamento da quebra de

de-generesênia

E

omo função do parâmetro

∆

. (b) Curva de dispersão

(18)

16 Esquema das bandasde valênia ede ondução de materiais

semiondu-tores, isolantes e ondutores, onde as regiões em or inza representam

a oupação de elétrons para o estado fundamental,

T

= 0K

. Os mate-riais semiondutores possuem um gap de energiada ordem de

KBT

, ao ontrário dos isolantes, que tipiamente têm um gap muito maior que

KBT

. Jáos metaispossuema banda de ondução semi-preenhidas à

0

K. p.47

17 Representação esquemátia das bandas de ondução (BC) e de valênia

(BV). Para a banda de valênia, apresentam-se as bandas para buraos

pesados(HH, heavy hole) eleves(LH, lighthole) [17℄. . . p.50

18 Representação esquemátia de uma heterojunção entre dois

semiondu-tores om gaps diferentes, formandodegraus de potenial parao elétron

na bandade ondução epara o burao nabanda de valênia [19℄. . . . p.52

19 Representação esquemátia do potenialgerado por (a) uma

heterojun-ção dotipo A/B/A entre dois semiondutores diferentes e(b) uma

su-perrede de semiondutores A eB [19℄. . . p.52

20 Representaçãoesquemátiadoalinhamentodasbandasdeonduçãoede

valêniagerado poruma heteroestrutura (a)Tipo-I e(b) Tipo-II [19℄. . p.53

21 Representação esquemátia de uma heterojunção entre dois

semiondu-tores diferentes: (a) formando um potenial de onnamento em um

poço, (b) em um oquântio e () em um ponto quântio. . . p.53

22 Connamento das heteroestruturas em relação à dimensionalidade, de

um materialbulk-3D (a) até o pontoquântio-0D(d), passando porum

poço-1D(b) eum o quântio-2D().. . . p.56

23 Representaçãodomovimentode umportadornoplanodopoço,

apresen-tando um diagramaesquemátio das urvasde dispersão

(kx,y)

no plano

xy

e estrutura das sub-bandas [19℄. . . p.57

24 Imagem de um ponto quântio InAs/GaAs, obtida por Mirosopia de

Força Atmia[17℄. . . p.57

25 (a), (b), () Imagens de Mirosópio de Força Atmiailustrando a

evo-lução de um anel quântio de InGaN [32℄. . . p.58

(19)

27 Esquemadeumexperimentodeduplafendanapresençadeumsolenóide

longo (íruloinza), quegera um ampo magnétio

B

~

em seu interior. As linhas pontilhadas representam os aminhos pelos quais os elétrons

passam, e as setas ao redor do solenóide representam a direção do

po-tenial vetor, devido o ampo magnétio estar na direçãoperpendiular

à folha,saíndo damesma. . . p.62

28 (a) Representação esquemátia de geração de exitons [19℄. (b) Níveis

de energia dos exitons em uma estrutura de bandas simples om gap

direto, mostrando que os níveis exitnios estão loalizados abaixo da

banda de ondução [13℄. . . p.64

29 (a) Absorção de fótons em semiondutores de gap direto, mostrando o

limiarde energianeessáriaparaqueaonteçaatransição. (b) Transição

eletrnia do topo da banda de valênia para dois mínimos da banda

de ondução em semiondutores de gap indireto. A transição indireta

envolve fnonsetem energia

Eg

. Atransição diretatem energia

Eg

+

E

′

[7℄. . . p.65

30 (a)RepresentaçãoesquemátiamostrandoosexitonsdeFrenkele

Wannier-Mott emuma estrutura ristalina[17, 63℄. . . p.67

31 Representação de um anel quântio (a) bidimensional (plano

xy

) (b)

tridimensionalom altura

Lz

, formado por

GaAs

naregião doanel. . . p.71

32 Representação esquemátia do potenialdo anel quântio nadireção de

ρ

. p.71

33 Representação esquemátia da função de Heaviside, também hamada

de função degrau. Ela é uma função desontínua de valor zero para

argumento negativo, e

1

para argumentopositivo. . . p.72 34 Espetro de energia sob a inuênia do uxo magnétio, veriando o

efeito Aharonov-Bohm. . . p.82

35 Variaçãounidimensionalaolongodoeixozompassohentredoispontos

adjaentes. . . p.89

36 Espetro de energia de um anel quântio ideal sob inuênia de um

ampomagnétioperpendiularaoplanodoanel,ondeseveriaoefeito

(20)

37 Representação da direção do ampo elétrio noplano do anel, ao longo

do eixo

x

. . . p.96

38 Gráo mostrando aforma dopotenial elétrio. . . p.97

39 Representação daloalizaçãodaimpureza ionizada(a) vistadotopo do

anel, e (b) vista emperspetiva. . . p.100

40 Representaçãodaloalizaçãodasimpurezasespaçadasdemaneira

aleató-ria. Oparâmetro

w

éopesodaaleatoriedade,representadopeloaroem

azul na gura. . . p.102

41 Asloalizaçõesdasinoimpurezasompesos

w

= 0, π/N,

2π/N

, respe-tivamente representadas pelos pontos pretos, vermelhose azuis. O aro

emazuldelimitaointervalomáximopara oposiionamentodaimpureza

ao seonsiderar o peso máximo

2π/N

. . . p.103 42 Variaçãodoespetro de energiaomaintensidade doampoelétrio,na

ausênia de ampomagnétio externo. . . p.104

43 Módulo quadrado das funções de onda do elétron

(Ψ

∗

_{Ψ =}

_|

_Ψ

_|

2 ₎

omo

função da oordenada angular

θ

, para os ino primeiros estados, na ausênia de ampomagnétio externo e onsiderandoampoelétrio no

plano doanel om diferentes intensidades. . . p.105

44 Variação do espetro de energia om as intensidades do ampo

magné-tio e do ampo elétrio em duas perspetivas diferentes para melhor

visualizaçãoda supressão doefeito Aharonov-Bohm. . . p.106

45 Espetrode energiaomofunção doampomagnétioemumanel

quân-tio napresença de (a)uma eduas impurezaspositivas(diametralmente

opostas), (b) três impurezas positivas loalizadas simétria e

assimetri-amente. . . p.107

46 Potenias para três impurezas loalizadas simetriamente (vermelho) e

assimetriamente (preto)aolongo do anel. . . p.107

quân-tio na presença de três, quatro e ino impurezas positivas igualmente

espaçadas, expliitando(a)aformaçãodassub-bandasompostaspor

N

(21)

quân-tio napresença de três, quatro e ino impurezas loalizadas

aleatoria-menteomumpesoxo,dadopor

w

=

π/N

,expliitando(a)aformação

das sub-bandasompostaspor

N

estadose(b)os

N

+ 1

primeirosestados.p.110 49 Comportamento médio da inuênia do ampo magnétio sobre o

es-petro de energia de um anel quântio na presença de três, quatro e

ino impurezas loalizadasaleatoriamenteom um peso xo, dado por

w

=

π/N

,obtidopelamédiade dezrealizaçõesdistintasinluindoo des-viopadrão,expliitando (a) aseparaçãodasub-bandaom ossuessivos

níveisde energiae (b) os

N

+ 1

primeirosestados. . . p.112 50 Comportamento médio da inuênia do ampo magnétio sobre o

es-petro de energia de um anel quântio na presença de três, quatro e

ino impurezas loalizadasaleatoriamenteom um peso xo, dado por

w

= 2π/N

, obtido pela média de dez realizações distintas inluindo o desvio padrão, expliitando (a) a separação dos níveis sem formação de

sub-bandas e (b) os

N

+ 1

primeirosestados. . . p.113 51 Espetro deenergiaomofunçãodoampomagnétioedopeso da

alea-toriedade na loalização da impureza em um anel quântio na presença

de três, quatro e inoimpurezas. . . p.114

52 Módulo quadrado das funções de onda do elétron

(Ψ

∗

_{Ψ =}

_|

_Ψ

_|

2 ₎

omo

função da oordenada angular

θ

, para os dez primeirosestados, na pre-sençadetrês,quatroeinoimpurezaspositivasloalizadas(a)simétria

e (b) assimetriamente, de maneiraaleatóriaom peso da aleatoriedade

w

= 2π/N

, aolongo doanel. . . p.115

53 Poço de potenial de largura

θW

e profundidade

V

0

ao longo da direção

angular doanel. . . p.121

54 (a) Esboço de duas superredes om

N

= 2

e

N

= 3

poços de poten-iais quântios simples na direção angular do anel. (b) Poteniais das

superredes om

N

= 2

e

N

= 3

poços, para oaso em que

V

0 = 100ER

. p.123 55 Os em primeiros números aleatórios gerados om as sementes inteiras

-37, 0 e 23.. . . p.127

56 Superrede de poços de potenialom profundidadesaleatórias, formada

(22)

57 Variaçãodas autoenergiasomo função daprofundidade dopoçode

po-tenial quadradosimples. . . p.128

58 Variação das energias om a largura angular do poço sem ampo

mag-nétio om uma profundidade dopotenial xae de valor

V

0 = 10ER

. . p.130 59 Inuênia do ampo magnétio sobre o espetro de energia do poço no

anel. . . p.131

60 Relaçãode dispersãopara(a)seise(b)novepoçossemampomagnétio

om

θW

=

θB

=

π/N

e

V

0 = 35ER

. . . p.133 61 (a) Relação de dispersão para dez poços sem ampo magnétio no

es-quema de zona reduzida om

θW

=

π/N

e

V

0 = 35ER

; (b) Banda ligada darelação de dispersãomostrada separadamenteom osírulos

verme-lhos representando apenas os valores inteiros de

k

. . . p.133

62 Comportamentodos estadosligadosom relaçãoaoonnamentodo

po-tenial para (a) oito, (b) dez e () dezesseis poços om

θW

=

π/10

. A urvaentralomorvermelharepresentaasoluçãoparaumpoço

quân-tio simples om a mesmalargura angular

θW

=

π/10

. . . p.134 63 Comportamento dos estados de energia om relação à profundidade do

potenialpara dezesseis poços, sendo opontode referêniaparaas

ener-giastomadonofundo dos poços. A urvaentralemor azul representa

a solução para um poço quântio simples om a mesma largura angular

θW

=

π/10

. Alinhapontilhadaemorverderepresentaasoluçãopara o anel quântio ideal

E/ER

=

n

2

. A setaemor azul mostraadiminuição

da larguradaminibanda quando

V

0 → ∞

para os

N/2 + 1

estados. . . p.136

64 Inuêniadoampomagnétiosobreoespetrodeenergiadeuma

super-rede formada om (a)três, (b) quatro e () ino poços om

θW

=

π/N

e

V

0 = 35ER

. . . p.137 65 Variação dos estados ligados da superrede om o aumento das

profun-didades dos poços de poteniais para oito, dez e dezesseis poços, (a)

omprofundidadesiguaise(b)omprofundidadesaleatórias,semampo

(23)

66 Comportamento da média e do desvio padrão para dez realizações

fei-tas das variação dos níveis de energia da superrede om o aumento das

profundidades dos poços de poteniais para (a) oito e (b) dez poços

om profundidadesaleatóriasnaausênia de ampomagnétiotomando

θW

=

π/10

. . . p.140

67 Esboço dos poteniais das superredes para (a)

N

= 3

, (b)

N

= 4

e ()

N

= 5

poçosomprofundidadesiguais(pontilhadoempreto)ealeatórias

(pontilhado emvermelho). . . p.142

68 Inuênia do ampo magnétio sobre o espetro de energia para

super-redes formadas ompoços de poteniaispara três,quatro e ino poços,

(a) om profundidades iguais e (b) om profundidades aleatórias, om

θ

W

=

π/10

e

V

0 =

−

10

meV. . . p.143

69 Comportamentomédiodainuênia doampomagnétio sobreo

espe-tro de energia para superredes formadas om poços de poteniais para

três, quatroeino poços omprofundidadesaleatórias, om

θW

=

π/10

e

V

0 =

−

10

meV, obtido pela média de dez realizações distintas in-luindo o desvio padrão, para (a)os

2N

estados om as duas primeiras

sub-bandas e para apenas (b) os

N

primeirosestados. . . p.144

70 Representaçãoesquemátia dosvetoresposiçãodoelétron

re

~

edoburao

~

rh

noplano do anel.. . . p.146

71 Esboço da matriz pentadiagonal em bloos proveniente do esquema de

diferenças nitas no modelo de massa efetiva em duas dimensões. A

matriz é toda nula, exeto nas diagonais representadas pelas linhas

só-lidas e traejadas, isto é, para as diagonais prinipais e suas diagonais

adjaentes dos bloos de matrizes que formam as diagonal prinipal da

matriztotal,paraoselementos

((j

−

1)Ne

+ 1, jNe)

e

(jNe,

(j

−

1)Ne

+ 1)

dos bloos dadiagonalprinipal,para asdiagonaisprinipaisdos bloos

de matrizes adjaentes aos bloos de matrizes que formam a diagonal

prinipal da matriz total e para a diagonal prinipal nas duas matrizes

inferior esquerda e superior direita. Cada bloo onsistede uma matriz

quadrada

(Ne

×

Ne)

, sendo

Ne

o número de pontosdisretizados na o-ordenada

θe

. Existem

(Nh

×

Nh)

bloos namatriz de

Hef f

(

exc

)

,onde

Nh

é o número de pontos disretizados na oordenada

θh

. Dessa forma, o

(24)

72 Função de onda proveniente doesquema de diferençasnitas nomodelo

de massa efetiva em duas dimensões.

Ψ

é representada por uma matriz

oluna omposta por

Nh

matrizes

(1

×

Ne)

. . . p.158 73 Imagens de AFM 2D e 3D mostrando ambos pontos e anéis quântios.

Temperatura de resimento igual a

680

0

C. Os diâmetros externos dos

anéis e pontos são de

550 −

580

e

230 −

340

nm om alturas

7 −

16

e

3 ₋

10

nm, respetivamente [78℄. . . p.158

74 Perlesquemátio das superfíiesinternaeexterna de um anel

bidimen-sional om rugosidade [31℄. . . p.159

75 Espetro de energia omo função do ampo magnétio para um elétron

noanelquântioomrugosidadeformadapelopotenialdesuperredeEq.

(5.55) om em, duzentas e quinhentas amadas, tomando-se a largura

angular onstante e de valor igual à

θ

W

= 2π/N

CAM

, para as

profundi-dades de (a) -10meV, (b) -20meVe () -30 meV. . . p.164

76 Pers do potenial rugoso om em, duzentas e quinhentas amadas,

formados tomando-seas largurasangulares de ada amadaomosendo

onstante e de valorigual à

θW

= 2π/NCAM

. . . p.165 77 Espetrode energiadoexitonnoanelquântionaausêniade potenial

oulombianode interaçãoelétron-burao. . . p.165

78 Espetro de energia em função doampo magnétio napresença de

po-tenial oulombiano atrativo, dado pela Eq. (5.42), tomando

a

= 50

Å

sem apresença de nenhum agente externo. . . p.166

79 Potenialde interaçãoexitnioem meVnapresença de uma impureza

loalizada no ângulo

π

(a) sem e (b) om a presença de rugosidade, om potenialrugoso

Vrugoso

dadopela Eq. (5.55) para aoordenada do elétron

(θe)

e do burao

(θh)

, formado por um potenial aleatório om

ento einquenta amadas eom valormáximo

V

0

de

−

5

meV.. . . p.166 80 Energia doestado fundamental emmeV, eixo

z

, omo função doampo

(25)

81 Comportamento dos três primeiros estados do exiton omo função do

ampomagnétio para quatro valores de ampo elétriodistintos(a)na

ausêniae(b)napresençadeumaimpurezanegativaloalizadaem

θ

=

π

e

zimp

= 45

Å. . . p.168 82 Espetro de energia do exiton omo função do ampo magnétio om

uma impureza loalizadaem

θ

=

π

e

z

imp

= 45

Å variando (a)onúmero de amadas dopoteniale (b) aamplitude darugosidade,e naausênia

(26)

Lista de Tabelas

1 Coordenadas dos pontosespeiais daprimeira zona de Brillouin. . . p.38

2 Partedatabelaperiódiaqueontemalgunselementosapazesdeformar

ompostos semiondutores. . . p.47

3 Sistemas de dimensionalidade reduzida e seus respetivos números de

graus de liberdade

Dl

e de direçõesde onnamento

Dc

. . . p.55

4 Energia e natureza, direta(d) ou indireta(i),do gap de semiondutores

importantes (àtemperaturaambiente) [7℄. . . p.66

(27)

Capítulo 1

Introdução

Neste apítulofaremosuma breveintrodução,abordando demaneirabásiaoneitos

teórios fundamentais que serão de extrema importânia para o entendimento dos

apí-tulossubsequentes. Iniialmentedaremos umavisão doontexto histórioom ênfase na

importâniadananotenologiaesuas apliações. Emseguida,disutiremosoneitos

físi-osqueompõem aanálisedaspropriedadesdeanéisquântios,omoateoriadasbandas

de energia,ateoria damassa efetiva,asonsequênias daredução da dimensionalidadee

apresença de exitons eimpurezas em nanoestruturas.

1.1 Um pouo de história: dispositivos semiondutores

O mundo no séulo XX experimentou grandes transformações eonmias e soiais

devido prinipalmente ao advento da eletrnia e das tenologias relaionadas a ela. O

iníiodo séuloXX, notadamentedurante osanos 1920, foi fundamentalpara tais

trans-formações e desenvolvimento, pois houve um enorme progresso na físia teória om o

apareimento da meânia quântia, fundamentada por Bohr, de Broglie, Heisenberg,

Shrödinger e outros. Os subsequentes investimentos em pesquisa básia e apliada

ga-rantiramospresentes avançosnas áreasientíaetenológia,oqueulminounariação

doramo datenologia mais marante doséulo XX: a eletrnia.

Oiníiodahistóriadodesenvolvimentodosdispositivoseletrniosiniiou-seem1874,

quando Karl Ferdinand Braun (1850 - 1918) onstruiu um retiador om um ristal de

Galena, ou omo é omumente onheido, sulfeto de humbo (PbS), soldado om um

(28)

superfíie domaterial,talque airulação daorrenteatravésdoristal é menorem um

dossentidos. Destaformadesobriu-seum aráterassimétriodaonduçãoelétriaentre

metaise semiondutores [1℄.

Lee DeForest,nosEstadosUnidos,inventouem1906aválvulatriodo,umdispositivo

que tornou possível a ampliação de sinais elétrios através de três eletrodos ontidos

em umtuboà váuo: oatodo, queemiteelétronsquando aqueido;o anodo, que reebe

oselétrons; ea grade, situadaentre o atodo eo anodo, que serve para ontrolar ouxo

de elétrons e possibilitar a amplição dos sinais. Existe também o diodo, que possui

apenas dois eletrodos, assim omo o pentodo, que possui ino. O funionamento de

qualquer válvulaé baseado noontrole domovimentodos elétrons entre oseletrodos por

meio de um ampo elétrio atuante sobre sua arga. A ampliação dos sinais, dentre

outros aspetos importantes, possibilitou o surgimento do primeiro e muito importante

produtoda eletrnia: orádio. Nos Estados Unidos, foramanos de pesquisas, tentativas

eaprimoramentosatéLee DeForestinstalaraprimeiraestação-estúdio deradiodifusão,

emNovaIorque, noano de 1916,aonteendo entãoo primeiroprograma de rádiode que

setem notíia [2,3℄. Lee De Forest tambémfoi o primeiroa transmitirmúsia de ópera

pelo rádio e o primeiro a transmitir programas humorístios. Mas foi a Westinghouse

EletriCo. queteveahonrade promoveraprimeiradifusoraomerialdomundo,abem

onheida "K. D. K. A." de Pittsburgh. Elaomeçou a funionarregularmenteem 1920

eapartirdessepontonahistória,diaapósdia, vemaumentando adavezmais onúmero

de estações de rádio pelomundo [4℄.

Entretanto,aeletrniabaseadaemválvulasaváuopossuíaertaslimitações,omoo

elevadoaqueimento,avidaurta,fabriaçãodispendiosa,eramgrandesefrágeis,alémde

váriasoutrasdesvantagensténias. Estasdesvantagensinentivaramoiníiodepesquisas

paraodesenvolvimentodedispositivosbaseadosemristais. Foidessaformaque,apartir

de1940,oquímioRusselShoemakerOhl(1898-1987),trabalhandonaobtençãodesilíio

altamente puriado, onseguiu produzir bastões de silíioom dopagem tipo p e n nas

extremidadesopostas, que onstituio primeirodiodo de junção p-n.

Apesar dessesdiodos primitivosterem umagrandeimportâniapara posterior

deso-berta naeletrnia, aindaexistiam naépoaalguns problemas quesó foramontornados

em 23de dezembro de 1947nos LaboratóriosdaBell Telephone (Murray Hill, NJ,USA),

quando os físios John Bardeen, Walter Brattaun e WilliamShokley, enquanto

(29)

transistor,um transistor bipolarom omostrado naFigura1,um dispositivode três

ele-mentos que possibilitavao ontrole da orrente elétria nointerior do semiondutor, que

substituiriaaválvulatriodo. Taldesobertadeu aeles oprêmioNobelde Físiaem1956.

Figura 1: (a)Fotograa doprimeiro transistor bipolar, onheidoomo transistorde ponto de

ontato, riado emdezembro de 1947 na BellLabs. (b) Fotograa dosinventores dotransistor:

JohnBardeen(àesquerda),WilliamShokley(aoentro)eWalterBrattain(àdireita)divulgada

naapa da revistaEletronisemsetembro de1948 om títuloCrystalTriode [5 ℄.

As seguintes déadas mararam a eletrnia om advento dos iruitos integrados

(CI), ompostos porváriostransistores reunidos emum únio ristalde silíio,formando

um iruito eletrnio ompleto, e om sua miniaturização, em que os CI's passavam a

possuir elementos ada vez menores (

≈

10 −

6

m), o que deu origem à miroeletrnia. O

iruitointegradofoidesenvolvidodeformaindependentenaempresaTexasInstruments,

porJak Kilby, em 1958, e na empresa FairhildSemiondutors, por Jean Hoerni e

Ro-bertNoyeem1959(verFigura2). Nadéadade1960,ontinuou-sedemaneiraontínua

adiminuiçãodas dimensõesdos iruitos, tornando possível ariaçãodos

miroproessa-dores,om osquaisfoi possívelfabriar osmiroomputadoresque, omsua onsequente

evolução,modiaramoomportamentosoialeultural,tornando aeletrnia umadas

prinipaisausasdo desenvolvimento ientío etenológio doséulo XX.

Alémdosmenionadosaima,outrosdispositivosforamdesenvolvidos aolongodesses

anos, om apliações baseadas em propriedades óptias, magnétias, térmias, et, de

materiaissólidos. Adesoberta desses dispositivossófoipossívelgraçasaoonheimento

aumulado omas atividadesde pesquisa emFísia doEstadoSólido, área daFísiaque

(30)

Figura2: (a)FotograadeJakS.Kilby,daempresaTexasInstruments(àesquerda),eRobert

Noye, da empresa Fairhild Semiondutor (à direita) [6℄. (b) Fotograa do primeiro iruito

integradoda história desenvolvido por Jak S.Kilbyem1958 [5℄.

omplexos,omo vidros, polímerosorgânios, ligasamorfas e inlusivelíquidos, de modo

queesse ramo da Físiapassou a ser onheido omo Físiada Matéria Condensada.

A área de Físia da Matéria Condensada fez inúmeras desobertas, graças às vastas

linhas de pesquisa que surgiram e às grandes apliaçõesem vários segmentos daiênia,

onentrando mais de 40

%

dos físios em todo o mundo [7℄. A importânia dessa área nãosedeve apenas àsua apliabilidadetenológia, mastambém, àenormevariedadede

fenmenos que deram origem a desobertas fundamentais e exitantes, razão pela qual

era de 50

%

dos ganhadoresdo prêmio Nobel nos últimos 30anos tenham sido dados a físiosquetrabalhamnesteampodoonheimento,omoporexemplo: J.Bardeen,L.N.

Coopere J.R. Shrieer (1972- teoriade superondutividade), L.Esaki, I. Giaevere B.

Josephson(1973-efeitode tunelamentoemsólidos), P.Kaptisa(1978-estudoembaixas

temperaturas),N.Bloembergen,A.L.ShawloweK.M.Siegbahn(1981-espetrosopia

om lasers e de fotoelétrons), K. von Klitzing (1985 - efeito Hall quântio), G. Binning,

H. Rohrer e E. Ruska (1986 - invenção do mirosópio de tunelamentoe do mirosópio

eletrnio), B. N. Brokhouse e C. G. Shull (1994 - desenvolvimento de ténias de

es-palhamento de nêutrons para o estudo de materiais), R. B. Laughlin, H. L. Stormer e

D. C. Tsui(1998 - desoberta de uidoquântio om exitaçõesde argafraionária),Z.

I. Alferov eH. Kroemer (2000- desenvolvimentode heteroestruturas de semiondutores)

(31)

dostransistores(FET 1

,MOSFET 2

eCMOS 3

),diodos,LED's (diodosde emissãode Luz),

dos iruitos integrados e inúmeros outros dispositivos que revoluionaram a eletrnia,

sendo utilizados em omputadores, elulares, âmeras digitais, aparelhos de DVD, CD

players eoutros extensivamente usadosem muitas áreas daatividade humana [8℄.

Neste ontexto, oestudo das estruturasde baixadimensionalidade,omo poços, os,

pontoseanéisquântios,ujaproduçãotemsetornadopossívelgraçasaodesenvolvimento

das ténias de resimento de materiais, tem atraído bastante atenção da omunidade

ientía, já que grandeparte dos dispositivos opto-eletrnios atuaissão ompostos por

essasestruturasformadaspordiferentessemiondutores. Faremosaquiumestudodeuma

dessas estruturas, o anel quântio. O onheimento das propriedades eletrnias dessas

estruturas é importante no ponto de vista da iênia, pois apresentam araterístias

peuliaresque não são observadas emsistemas marosópios.

1.2 Estrutura de bandas

1.2.1 Análise qualitativa

Vamos primeiramente ompreender o efeito da presença de um grande número de

átomospróximos, omo emum sólido, sobre os estados eletrnios, fazendo em primeira

instâniauma simples expliação qualitativa. Esta análise onsisteem trazer um átomo

isoladoparapróximode outro,repetindo essefeitoaté termosum grandenúmero de

áto-mos para formar uma estrutura extensa 4

, analisando os níveis de energia e vendo omo

estessão perturbados. Consideremosprimeiramenteo problemadoátomode umelétron,

istoé,oproblema de átomos isolados,bastanteonheido naliteratura. Átomosisolados

possuem níveis de energia disretos (quantizados) para os estados eletrnios,

arateri-zados por orbitais atmios designados por 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d et. Já para o aso de

umátomodemuitoselétrons, oestadofundamentaléformadodistribuindo-seosparesde

elétrons de spins opostos nos níveis de menor energia possível, obedeendo ao Prinípio

de Exlusão de Pauli. Os elétrons que oupam as amadasmais externas são hamados

elétronsdevalênia,sendoestesdegrandeimportânia,poispartiipamdasligaçõesentre

átomos, além de serem fundamentais na determinação de muitas propriedades físias e

químiasdos sólidos.

1

DoinglêsField EetTransistor.

2

DoinglêsMetalOxide Semiondutor Field EetTransistor.

3

DoinglêsComplementary MOSFET.

(32)

No aso de dois átomos,quando estão iniialmentebemafastados, todos os níveisde

energiadessesistematêmumadupladegeneresêniadetroa,istoé,paraosistematotal,

aparteespaialdaautofunçãodos elétronspode onter umaombinaçãodasautofunções

espaiais individuais dos átomos que seja simétria na troa de pares de oordenadas

eletrnias ou que seja anti-simétria em uma troa desse tipo, obedeendo o fato de

que a autofunção total do sistema de elétrons seja anti-simétria. Porém, quando os

átomos são aproximados, a degeneresênia de troa é removida, tal que um dado nível

de energia do sistema é desdobrado em dois níveis distintos, devido à superposição das

autofunções dos átomos individuais. A separação entre esses níveis se dá à medida que

diminui a distânia entre os átomos. Se agora tomarmos três átomos isolados, teremos

uma tripla degeneresênia de troa dos níveis de energia, e ao oloarmos os átomos

juntos em uma rede linear uniforme, ada um dos níveis se desdobrará em três níveis

distintos. De maneiraanáloga,quandoonsiderarmosum sistemaformadoporNátomos

deum mesmotipo,adanívelde um dessesátomosdará origemaum níveldo sistemaN

vezes degenerado, quando osátomos estiveremseparados. Quando aseparação diminuir,

adaum desses níveissedesdobrará emum onjuntode N níveis. Podemosveriaresse

omportamento dodesdobramento dos níveis quando aproximamos os átomos naFigura

3.

Assim, noaso dosólido, que apresenta grande número de átomospróximos uns dos

outros (era de

10

22

/m

3

, ouequivalentemente

10

23

átomos/mol), tal que os elétrons de

ada átomo estão sujeitos às interações om os átomos vizinhos, veremos que os níveis

de ada onjunto em um sólido estão de tal forma próximos que podemos assumir que

onstituempratiamenteuma banda ontínuade energia, omopode ser vistonaFigura

3.

Vemos naFigura3 que,aoaproximarmosdois átomos,seus níveissão levemente

per-turbados, mas quando repetimos isto várias vezes até obtermos um grande número de

átomos, teremos um grande número de níveis próximos um dos outros, formando faixas

quase ontínuas de energia permitidas, isto é, as bandas de energia, que são separadas

por faixas de energias proibidas, hamadas de gaps, omo ilustrado na Figura 4. T

am-bém podemos observar que os níveis de energia mais baixos são menos atingidos pelo

desdobramento. A razão disso é que os elétrons dos níveis mais baixos são elétrons das

amadasmaisinternasdos átomos,queporsua vez são pouoinueniadospelapresença

dosátomos vizinhos. Poroutrolado, oselétronsde valêniasão totalmentedeloalizados

(33)

Figura 3: (a) Esquemade níveis de energia para dois átomosisolados. (b)Esquema de níveis

de energia paraos mesmos dois átomosem umamoléula diatmia. ()Esquema de níveis de

energia paraquatro átomosdo mesmo tipo em umristal rudimentar unidimensional. Observe

queo nívelmais baixo não é desdobrado apreiavelmente porque asautofunçõesatmias para

(34)

Distância

_r

entre os átomos

A

Energia

banda 2s

banda 1s

banda 2p

banda 3s

2s (2N)

1s (2N)

2p (6N)

3s (N)

orbital (nº de elétrons)

Níveis

discretos

(2N)

estados

(2N)

estados

(6N)

estados

(2N)

estados

Figura 4: Formação de bandasde energia devido à aproximaçãoparaN átomosde sódio,uja

onguração eletrnia é

(1

s

2 ₎₍₂

_s

2 ₎₍₂

_p

6 ₎₍₃

_s

₎

,mostrando expliitamenteo gap entre elas[7℄.

Algumas observações importantes podem ser feitas arespeito da Figura4, omo por

exemplo: o desdobramento dos níveis de energia omeça quando a separação entre os

entros dos átomos a torna-se pequena, de tal maneira que as autofunções dos átomos

omeçam a se superpor; para uma distânia innita, os níveis de energia de estados

equivalentes oinidem e são iguais aos de um átomo isolado; os níveis desdobrados são

espalhados em torno dos estados de um átomo isolado; a diferença de energia entre os

níveis mais baixo e mais alto de um onjunto partiular depende da separação a, pois

essa separação espeia a intensidade dasuperposição que provoa o desdobramento, e

nãodependesigniativamentedonúmerode átomosdosistema,seformantidaamesma

distâniaa,talque,seaumentarmosonúmerodeátomosaosistema,aumentaráapenaso

númerodesubníveisontidonomesmoonjuntodesdobrado,obrindo omesmointervalo

deenergia;onúmerodesubníveisemummesmoonjuntodesdobradoéiguala

2(2l

+1)N

, sendo

l

onúmeroquântio orbital.

1.2.2 O teorema de Bloh

Oálulodosestadoseletrniosedasenergiasemumsólidonãoétãotrivialquantoo

deumátomoisolado,porseremprinípioumproblemademuitoselétrons,quedeveriaser

soluionadoutilizando teoriasde muitos orpos [10℄, já que o Hamiltonianoompleto do

sólido ontém não apenas os poteniais devido às interações dos elétrons om os núleos

atmios, mas também poteniais de par das interações elétron-elétron. Devido a tal

(35)

posições onheidas na rede ristalina. Essa onsideração é hamada de aproximação

adiabátia. Outra aproximação onsiste em onsiderar que o problema envolve apenas

um só elétron (modelo de um elétron), e que todos os outros elétrons são onsiderados

parte integrante dos íons que riam um potenial periódio, omo ilustrado na Figura

5. Uma tereira onsideração onsiste em uma idealização de um ristal ideal tíio,

exigindo que a rede ristalina seja perfeitamente pura sem apresentar impurezas nem

deformações, e quequalquer efeitodas imperfeiçõesseja tratado omoperturbação. Tais

onsideraçõeslevama um potenial

V

(

r

)

om aperiodiidadedarede ristalina,ouseja,

V

(

r

+

R

) =

V

(

r

),

(1.1)

para todos os vetores R darede de Bravais 5

.

Figura 5: Potenial periódio ristalino representado graamente ao longo de uma linha de

íons e ao longo de uma linha no meio de um plano de íons. Os írulos fehados são ossítios

deíons deequilíbrio;asurvassólidasforneemo potenial aolongoda linha deíons;asurvas

pontilhadas, o potenial ao longo de uma linha entre planos de íons; e as urvas traejadas, o

potenial deíons individuais isolados[11 ℄.

Considerando o potenial periódio, omo mostrado na Figura 5, e as aproximações

quereduziramoproblemaaummodelode umelétron,somoslevadosaresolveraequação

de Shrödingerpara um únioelétron

H(

r

)ψ(

r

) =

−

~

2 2me

∇

2 ₊

_V

₍

r

)

ψ(

r

) =

Eψ(

r

),

(1.2)

5

UmarededeBravaiséumonjuntoinnitodepontosdisretosomarranjoeorientaçãoquepareem

exatamente osmesmos, de qualquer um dos pontos de onde o arranjo seja visualizado. Uma rede de

BravaistridimensionaléonstituídaportodosospontosomvetoresdeposiçãoRquepodemseresritos

(36)

obedeendo arelação de periodiidade darede dada pelaEq. (1.1).

Os elétrons independentes que obedeem individualmente à equação de Shrödinger

om potenial periódio são hamados de elétrons de Bloh, sendo os autoestados da

equação de Shrödinger onheidos omo estados de Bloh. Estes estados possuem uma

propriedademuitoimportantedadapeloTeorema de Bloh,quedizqueosautoestados

ψ

do Hamiltonianode um elétron na Eq. (1.2), para um potenial periódio omo o da

Eq. (1.1), podem ser esritos naforma de uma onda plana multipliadapor uma função

om aperiodiidadeda rede:

ψn

k

(

r

) =

e

i

k

·

r

un

k

(

r

),

(1.3)

onde

un

k

(

r

)

é talque

u

n

k

(

r

+

R

) =

u

n

k

(

r

).

(1.4)

Podemos observar queas Eqs. (1.3) e(1.4) impliamque

ψnk(

r

+

R

) =

e

i

k

·

R

ψnk(

r

)

. (1.5)

Expressando o Teorema de Bloh em uma forma alternativa, podemos substituir as

Eqs. (1.3) e (1.4), pela Eq. (1.5), em que os autoestados do Hamiltoniano podem ser

esolhidos de modoque, assoiado a ada

ψ

,esteja um vetor de onda kde talformaque

ψ(

r

+

R

) =

e

i

k

·

R

ψ(

r

)

. (1.6)

Este épreisamenteoTeoremadeBloh. Aprovadesse teoremapode ser enontrada

napágina144 dareferênia [11℄.

1.2.3 Condições de ontorno de Born-Von Karman

Impondo ondiçõesde ontorno apropriadas sobre os estados de Bloh, podemos

de-monstrar que o vetor k deve ser real e assumir apenas valores restritos. Como estamos

onsiderando que a estrutura é grande em relação ao parâmetro de rede, isto é, que as

dimensõesdomaterialbulk sãobemmaioresqueoparâmetrode rededoristal,suas

pro-priedades não devem depender das ondições de ontorno esolhidas, o que nos permite

esolhê-las damaneiramais onveniente possível.

Optamos por asonheidas ondiçõesde ontorno de Born-VonKarman,que exigem

(37)

ouseja,

ψ(

r

+

Ni

a

i) =

ψ(

r

),

para

i

= 1,

2

e

3,

(1.7)

onde a

1

, a

2

e a

3

são osvetores que geramuma élula primitivadoristal e asdimensões

N

1 |

a

1 |

,

N

2 |

a

2 |

e

N

3 |

a

3 |

,onde

N

1

,

N

2

e

N

3

são inteirospositivos,representamonúmerode

élulas

Ni

queo ristal possui nadireção a

i

, omo ilustradona Figura 6para um ristal paralelepípedo [11℄.

Figura 6: Cristalnito emforma deparalelepípedo om4élulasnadireção deada vetorque

ompõea élulaunitária.

Com a ondição de ontorno de Born-Von Karman, vemos que o problema torna-se

o de um ristal innito, em que podemos utilizar o teorema de Bloh para soluioná-lo.

Apliando as ondições de ontorno (1.7) aos estados de Bloh e utilizando a Eq. (1.5)

temosque:

ψnk(

r

+

Ni

a

i) =

e

iN

i

k

·

a

i

ψnk

(

r

) =

ψnk

(

r

),

para

i

= 1,

2

e

3,

(1.8)

querequer que

e

iN

i

k

·

a

i

= 1,

para

i

= 1,

2

e

3

. (1.9)

Esrevendo o vetor k omo k

=

k

1

b

1 +

k

2

b

2 +

k

3

b

3

, onde osvetores b

i

onstituem a élula unitária do espaço reíproo que satisfazem as relações a

i

·

b

j

= 2πδij

, para todo

i

= 1,

2

e

3

, obtemosque

e

2 πiN

i

k

i

_{= 1,}

para

i

= 1,

2

e

3

. (1.10)

Consequentemente,

k

i

=

mi

Ni

, onde

m

i

é um inteiro. (1.11)

Portanto, aformageral para os vetores de ondak permitidosnos estadosde Blohé

k

=

3 X

i

=1

m

i

(38)

tal que o número de vetores de onda permitidos k em uma élula unitária do espaço

reíproo, omo

mi

= 0,

1,

2, ..., Ni

−

1

, é igual ao número total de élulas do ristal,isto é, igual a

N

=

N

1 N

2 N

3

. Da Eq. (1.12) vemos que os vetores k são reais e disretos. O vetor k é hamado de momento ristalino e interpretado omo um número quântio

araterístioassoiado àsimetria translaionaldisreta de um potenial periódio [11℄.

1.2.4 Formação das bandas de energia: os números

n

do teorema

de Bloh

Até agora não zemos nenhum omentário a respeito do índie

n

que aparee no teoremadeBloh,apenasdonúmeroquântio k,omodissemosanteriormente,assoiado

àsimetriade translaçãodisretadoHamiltoniano. Oíndie

n

estárelaionado aosvários estados possíveis para um dado k, soluções da equação de Shrödinger. Analisemosisso

mais laramente, prourando por todas assoluções daequação de Shrödinger (1.2) que

têm a forma de Bloh

ψ(

r

) =

e

i

k

·

r

u(

r

)

, onde k é xo e

u

tem a periodiidade da rede de Bravais, omo na Eq. (1.4). Substituindo esta solução na equação de autovalor do

Hamiltoniano,

He

i

k

·

r

u

k

(

r

) =

Ee

i

k

·

r

u

k

(

r

),

(1.13)

emanuseando analitiamentea equação,obtemosque:

−

~

2

2 m

e

∇

2 ₊

_V

₍

r

)

e

i

k

·

r

u

k

(

r

) =

Ee

i

k

·

r

u

k

(

r

)

e

i

k

·

r

~

2

2 m

e

1 i

∇

+

k

2 +

V

(

r

)

u

k

(

r

) =

e

i

k

·

r

Eu

k

(

r

)

~

2

2 m

e

1 i

∇

+

k

2 +

V

(

r

)

u

k

(

r

) =

Eu

k

(

r

)

H

k

u

k

(

r

) =

Eu

k

(

r

)

, (1.14)

om ondição de ontorno

u

k

(

r

) =

u

k

(

r

+

R

)

. (1.15)

A Eq. (1.14) pode ser onsiderada, para um dado k, omo uma nova equação de

autovalor, restrita a uma únia élula primitiva do ristal, om uma família de innitas

soluções om autovalores disretamente espaçados, rotulados pelo índie

n

da banda de energia, sendo

En(

k

)

o n-ésimo autovalordessa equação e

un

k

(

r

)

o autovetor orrespon-dente. Vimos pela Eq. (1.12), om a utilizaçãodas ondições de ontorno de Born-Von

Karman,queapenaserto valoresde ksãopossíveis. Poréméfrequentementeútilbusar

(39)

rede reíproa 6

, temos queo onjuntode todas asfunções de onda e de níveisde energia

deveser igual. Atribuímosassimosíndies

n

aos níveisde energia,talque,paraum dado

n

, osautoestados eautovalores são funções periódias de k darede reíproa:

ψn,

k

+

K

(

r

) =

ψn,

k

(

r

)

En(

k

+

K

) =

En(

k

).

(1.16)

As funçõesaima dão origemà estrutura de bandas dosólido,em que,para um dado

n

, o onjunto dos níveisde energia é determinado pelafunção

En(

k

)

, queé hamadada n-ésimabandade energia. NaFigura7,mostramosaestrutura de bandasunidimensional

parao problema de um elétronsubmetido aum potenialperiódio,ilustrando asurvas

de energiapermitidas(linhasólida) emfunçãodovetor kpara asseis primeiraszonasde

Brillouin,ondeadazonadeBrillouinéumaélulaprimitivadaredereíproa;asenergias

paraumelétronlivre(alinhatraejada); easfaixasde energiaspermitidas(regiõesinza)

separadas pelos gaps 7

(regiõesbrana)do lado direitoda gura.

-5 /a

π

-4 /a

π

-3 /a

π

-2 /a

π

- /a

π

0 π/a

2 /a

π

3 /a

π

4 /a

π

5 /a

π

6

5

4

3

2

1

2

3

4

5

6 1,0

2,0

ξ

/V

0 k

Bandas de energia

Número da

zona de Brillouin

Figura 7: Energias permitidas em função do vetor

k

, parauma redeunidimensional de

perio-diidade

a

. A linhatraejada é a energia para oasode umelétronlivre. Asbandas deenergia

permitidas eproibidas resultantes apareemà direita[9℄.

6

DadoporK

=

P

i

n

i

b

i

,onde

n

i

éuminteiroparatodoi. 7

(40)

1.2.5 Esquema de zona reduzida: primeira zona de Brillouin

Como vimos, a energia é função do vetor de onda k, dependendo não apenas doseu

módulo, mas também de sua direção no ristal. Por isso, as bandas de energia devem

ser representadas para asváriasdireçõesde kno ristal,oque éhamado de esquemade

zonaestendida. Masomo kpodeassumir qualquerdireção, entãoostuma-se utilizaros

pontos emque k possui as direções de maior simetria, omo mostrado na Figura 8 e na

Tabela1.

Figura 8: Primeira zona deBrillouin para umaestrutura úbia defaeentrada pararistais

tipoSi, GaAs,AlAs, ZnSee outros. Os pontosmarados sãodadosna Tabela 1.

Tabela 1: Coordenadas dospontosespeiaisda primeira zona deBrillouin.

Γ

(0,

0,

0)

Λ

π

2a

(1,

1,

1)

L

π

a

(1,

1,

1)

∆

π

a

(1,

0,

0)

X

2π

a

(1,

0,

0)

Σ

3π

4a

(0,

1,

1)

K

3π

2a

(0,

1,

1)

(41)

Figura 9: Estrutura debanda de GaAs[12 ℄.

O vetor de onda k e todos os autoestados podem sempre ser representados mesmo

serestringimos kà primeirazona de Brillouin 8

(ou a qualquer outra élula primitivado

espaço reíproo). Isso porque qualquer k

0

que não esteja na primeira zona de Brillouin

pode sempre ser esrito omo

k

0 =

k

+

K, (1.17)

ondekperteneàprimeirazonadeBrillouineKéumvetorqueperteneàredereíproa.

Como

e

i

K

·

R

= 1

,então podemos esrevero estado de Bloh

ψn

k

0

omo

ψn

k

0 (

r

) =

e

i

k

·

r

un

k

0 (

r

)

. (1.18)

Assim onluímos que

H

k

0 =

H

k

+

K

=

H

k

. (1.19)

Como as ondiçõesde ontorno são asmesmas, osautovalores e os autoestados

tam-bémserão os mesmos. Portanto,das Eqs. (1.16) e (1.17)temos que:

ψn,

k

0 (

r

) =

ψn,

k

+

K

(

r

) =

ψn

k

(

r

)

E

n

(

k

0 ) =

E

n

(

k

+

K

) =

E

n

(

k

),

(1.20)

mostrando que podemos limitar os valores de k à primeirazona de Brillouin,sendo essa

8

A primeirazona de Brillouin é aélula primitiva darede reíproa, ou seja, oonjunto de pontos

(42)

representação hamadade esquema de zona reduzida. Demonstramos essa representação

na Figura 10(a), em que ilustramos todos os níveis om vetores de onda k na primeira

zonade Brillouinaotransladarmostodos ospedaçosda Figura7 pormeio de vetores da

rede reíproa, para dentro da primeira zona. Um exemplo disso é mostrado na Figura

11,paraum elétronomvetorde ondanasegunda zonade Brillouin,

−

2π/a < k <

−

π/a

e

π/a < k <

2π/a

, transladada para a primeira zona,

−

π/a < k < π/a

, fazendo isso através de uma subtração no vetor de onda porum vetor om módulo

2π/a

, onde

a

é o parâmetrode rede.

Figura10: (a)Osníveisdeenergiamostradosemumesquemadezonareduzida. (b)Repetição

por todoo espaço

k

da primeira zona deBrillouin formando oesquema de zona repetida[11℄.

Figura 11: (a)IlustraçãododesloamentodasbandasnasegundazonadeBrillouin de

±

2 π/a

. (b)Esquemade bandasreduzidas àprimeira zona, resultantedesse desloamento [7℄.

(43)

zonareduzidadaprimeirazonade Brillouin,aFigura10(a),portodooespaço

k

,obtendo assim arepresentação noesquema de zona repetida, mostrada na Figura10(b).

1.2.6 Modelo de Kronig-Penney

Na determinação das energias permitidas dos elétrons em um sólido abordada nas

Seções anteriores, onsideramos o efeito de se aproximar os átomos para a formação do

ristal. Vimosque, aoonsiderarmos a rede ristalinaomo um problema de um elétron

submetidoaumpotenialperiódio,afunçãodeBloh,dadapelaEq. (1.6),éautoestado

do Hamiltoniano desse sistema. Uma abordagem matematiamente mais simples, que

apresenta todos os aspetos importantes para o problema, é onheida omo modelo de

Kronig-Penney [9,13,14℄, emqueseaproximaopotenialdoristalporuma suessãode

poçosebarreirasdepotenialretangularesdeperiodiidadeidêntiaàdarede,sendoada

poço uma representação aproximada do potenial produzido por um íon. Analisaremos

agoraeste modelo.

Temosque,parapoçosprofundosebemespaçados,oelétrondeenergianãomuitoalta

permanee pratiamente ligado dentrode um dos poços, de modo que os autovalores de

maisbaixaenergiasãoosdeumúniopoçoisolado. Jáparaoasodospoçosestaremmais

próximos entre si, as autofunções podem tunelar nas barreiras de potenial, resultando

emumalargamentodoníveldeenergiaúniooriginalemumabandade níveisdeenergia.

Àmedidaquereduzimosa separaçãoentre ospoços,abanda torna-semais larga,talque

nolimite da largura das barreirasser nula, obtemos um únio poço muito largo em que

todas asenergiassão permitidas,istoé,obtemoso modelode um elétronlivre. Podemos

observaraformação das bandasde energiaom aaproximaçãodos poços omparando-as

om asenergias de um poçosimples naFigura12.

Figura 12: Representação esquemátia de (a) dois estadosde energia ligadospara umelétron

emumpoço de potenial isolado, (b)duasbandas de energia paraumelétron emumonjunto

depoços ebarreiras periodiamente espaçados[14 ℄.

Utilizando o modelo de Kronig-Penney veriaremos sob algumas aproximações a

(44)

todos os outros níveis de energia [7℄. Iniialmente onsideremos o potenial periódio

omosendo formado pordiversos poços de potenialinnito unidimensionaisigualmente

espaçados. Sabemos que o estado fundamental desse sistema representa uma partíula

ompletamenteloalizadaemum dospoços. Assumiremosqueapartíulaestáloalizada

no n-ésimo poço, denotando o estado por

|

n

i

.

|

n

i

é um autoestado de energia om autovalor

E

0

, tal que

H

|

n

i

=

E

0 |

n

i

. Como todos os poços de poteniais são idêntios e não interagementre si, todos eles têm os mesmos valores de energia, portanto

E

0

terá innitosestados

n

degenerados.

Figura 13: Representação esquemátia de um (a) ristal de parâmetro de rede

a

e (b) seu

potenial reale aproximadopelomodelode Kronig-Penney [9℄.

Como o potenial da rede ristalina é periódio, onsiderando omo periodiidade o

parâmetro de rede

a

, mostrado na Figura 13, então o autoestado do sistema deve ser autoestado dooperador translação

τ(a)

[15℄, denido omo

τ

(a) = exp

i

~

pa

ˆ

.

(1.21)

Como o operador de translação leva qualquer função espaial de um ponto da rede