3 a EXPERIÊNCIA APROXIMAÇÃO DIGITAL DE FILTROS ANALÓGICOS

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PMR-5224 - SISTEMAS DIGITAIS DE CONTROLE

3

^a

EXPERIÊNCIA

APROXIMAÇÃO DIGITAL DE FILTROS ANALÓGICOS

1. Objetivos

Esta experiência tem por objetivo a observação prática dos efeitos de aproximação digital de filtros analógicos. Para isso, nesta experiência você irá projetar e investigar experimentalmente diversos filtros digitais obtidos por aproximações de um filtro analógico.

2. Introdução

Nessa experiência você irá verificar diversas aproximações digitais de um compensador analógico de primeira ordem da seguinte forma:

) (

) ( ) / 1 (

) / 1 ) (

( c s d

c s k d d s

c k s

s

G +

= + +

= + , (1)

onde, k é o ganho do compensador, −c e –d são respectivamente as posições do zero e do pólo do compensador no plano s.

Quando c < d, a fase de G(jw) é positiva para qualquer freqüência, ou seja G(s) é um compensador do tipo avanço (lead). Quando c > d, a fase de G(jw) é negativa para qualquer freqüência, ou seja, G(s) é um compensador do tipo atraso (lag). Um compensador do tipo atraso, no qual d é igual a zero consiste em um compensador tipo PI (Proporcional/Integral).

Algumas propriedades dos compensadores avanço e atraso podem ser obtidas em K.

Ogata, “Engenharia de Controle Moderno”, Prentice-Hall.

Nesta experiência você terá que implementar diversos filtros digitais no computador. Um filtro digital é implementado em um computador na forma de uma equação de diferenças.

Assim, seja um filtro digital dado pela seguinte função de transferência:

n n

m m

m

a z a z

a z

b z

b z z b

z G e

z u

+ +

= +

=

− −

− +

1 1

1

1 1

2

)

1

) ( (

) (

L

L , (2)

onde e(z) é a variável de entrada do filtro, u(z) é a variável de saída do filtro, n é a ordem do denominador e m é a ordem do numerador, com m ≤ n.

A equação de diferenças equivalente à este filtro é dada por:

(2)

) ( )

1 (

) (

) ( ) 1 (

) 1 ( )

(

1 2

1 1

1

n k e b m

n k e b

m n k e b n k u a n

k u a k

u a k u

m

n n

− +

+ +

−

− +

+ +

− +

−

− +

−

=

+

−

L

L , (3)

onde k é uma notação curta que representa o tempo discreto kT. A equação (3) representa a expressão que deve ser utilizada dentro do programa de computador para implementar o filtro digital.

3. Parte experimental

3.1 Obtenção das aproximações digitais

• Assumindo que G(s) tem a forma da equação (1), obtenha uma aproximação digital de G(s), em forma de uma função de transferência em z, G(z), usando cada uma das seguintes técnicas:

1. Casamento de pólos e zeros;

2. Diferença para frente (Euler);

3. Diferença para trás;

4. Tustin;

• Faça uma tabela com os coeficientes a

i

e b

i

dos filtros digitais, para cada forma de aproximação, em função do período de amostragem, T, e dos parâmetros c, d e k de G(s).

• Para cada uma destas aproximações, projete um compensador tipo avanço, pela aproximação do filtro analógico dado abaixo:

) 400 (

) 40 10 (

)

( +

= + s s s

G . (4)

Observa-se que este compensador tem aproximadamente uma fase de 55

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na freqüência de 126,5rad/s ou cerca de 20,1Hz.

• Calcule os coeficientes dos filtros digitais para períodos de amostragem T = 0,02s e T = 0,002s. Calcule os pólos e zeros de cada filtro digital. Coloque os resultados em forma de tabela, da mesma forma que anteriormente.

3.2 Cálculo das repostas em freqüência

• Usando o MATLAB calcule a resposta em freqüência do filtro analógico (função bode do MATLAB) e das aproximações digitais (função dbode do MATLAB).

Coloque as respostas em freqüência de todos os filtros em um mesmo gráfico. Utilize um

gráfico para cada período de amostragem. Note que para colocar todas as curvas em um

mesmo gráfico a escala de freqüência deve ser a mesma para todos os casos.

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• A partir destes gráficos você pode observar quais as melhores aproximações para cada período de amostragem. Comente os resultados.

3.3 Implementação dos filtros digitais

• Para o testar os filtros digitais você irá implementá-los no computador. Para isso, primeiramente você terá que calcular as equações de diferenças de cada uma das aproximações da seção 3.1.

• Obtenha as equações de diferenças para cada aproximação digital. Estas equações de diferenças serão implementadas no computador, de forma a processar o sinal de entrada e enviar o resultado para o osciloscópio.

• Para implementar os filtros digitais você terá que criar (modificar) um VI que leia um sinal do gerador de função através do conversor A/D, processe esse sinal pela equação de diferenças do filtro digital, gerando a saída através do conversor D/A. Tanto a entrada como a saída devem ser gravadas em um arquivo. Para isso use como base o seguinte VI:

c:\Posgraduação\Real-Time-Controller-EqDifV4.0.vi, cuja interface está ilustrada na figura

abaixo.

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Esta interface possui seguintes os comandos:

1. Device: escolha do dispositivo (mantenha o valor default);

2. Input Channel: número do canal de entrada (mantenha o valor default);

3. Ouput Channel: número do canal de saída (mantenha o valor default);

4. Rate: freqüência de amostragem em Samples/s (colocar a que utilizou);

5. a

1

: coeficiente a

1

(que multiplica u(k−1)) da equação de diferenças do controlador;

6. b

0

: coeficiente b

0

(que multiplica e(k)) da equação de diferenças do controlador;

7. b

1

: coeficiente b

1

(que multiplica e(k−1)) da equação de diferenças do controlador;

8. Limite Superior: limite superior para saturação;

9. Limite Inferior: limite inferior para saturação;

10. Botão STOP: para a simulação quando pressionado.;

11. Dial para valor de referência (setpoint);

12. Chave para ligar ou desligar os gráficos;

13. Indicador se o algoritmo está sendo executado em tempo real. Assume a cor verde se o tempo real está sendo obedecido e vermelho caso contrário;

14. Reset do Motor CC. Impõe um valor zero como esforço de controle, caso esteja ligado, para a parada do motor independente do algoritmo de controle.

• Da mesma forma que foi realizado na 2

^a

experiência, salve os dados de entrada e de saída em um arquivo para ser lido no MATLAB.

• Lembre-se que você está analisando a aproximação digital de um filtro analógico, portanto você está interessado em sinais analógicos. Assim, para visualização dos dados durante a aquisição e processamento do sinal coloque tanto o sinal do gerador de funções como o sinal de saída do D/A em um osciloscópio.

3.4 Teste dos filtros digitais – Resposta em freqüência

• Usando o gerador de função, o osciloscópio e o computador com o VI que implementa os filtros, calcule experimentalmente a resposta em freqüência (magnitude e fase) dos seguintes filtros digitais:

1. Aproximação por casamento de pólos e zeros para T = 0,02s e T = 0,002s;

2. Aproximação por Euler para T = 0,02s e T = 0,002s;

3. Aproximação de Tustin para T = 0,02s e T = 0,002s;

• Nota-se que resposta em freqüência de funções de transferências são definidas para entradas senoidais e conseqüentemente saídas senoidais. Assim, a entrada do computador deve estar conectada à saída do gerador de funções e a saída do computador deve ser enviada para o osciloscópio, para possibilitar a observação.

• Você não precisa tomar muitos pontos de freqüência. Você somente precisa de 5 ou 6 pontos

de magnitude e fase para cada filtro. Contudo, estes pontos devem ser tomados em

freqüências apropriadas, provavelmente espaçadas logaritmicamente. Espero que você pelo

menos determine a fase máxima de avanço e a freqüência onde isto ocorre, bem como o

ganho na freqüência de máximo avanço e o ganho em DC (freqüência zero). Você pode fazer

os gráficos dos seus pontos experimentais em cima de uma cópia dos gráficos das respostas

em freqüência obtidos na parte 3.2.

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• Existem duas formas de se calcular o ganho e a fase a partir dos sinais de entrada e de saída.

Uma forma é usando os dois sinais diretamente na tela do osciloscópio, um em cada canal, e a outra forma é através de um gráfico com os dois sinais, feito pelo MATLAB.

Nas duas formas o ganho é calculado de maneira similar. Para calcular o ganho, basta dividir a amplitude do sinal de saída pela amplitude do sinal de entrada. A amplitude de um sinal senoidal é calculada pela distância entre os picos superior e inferior, ou seja, é igual ao valor máximo menos o valor mínimo.

A fase pode ser calculada através de um gráfico com as duas curvas, pela medição do intervalo de tempo entre os picos das duas curvas. A fase, descrita como sendo um ângulo, pode então ser calculada pela multiplicação deste intervalo de tempo pela freqüência do sinal.

No osciloscópio a fase pode ser calculada através da geração de uma figura de Lissajous.

Para gerar um figura de Lissajous proceda da seguinte forma: (1) ajuste o ganho dos dois canais do osciloscópio de forma que os sinais de entrada e de saída tenha a mesma amplitude na tela do osciloscópio; (2) coloque o osciloscópio no modo x/y; (3) use o modo osciloscópio mode e não o modo storage. A partir da figura de Lissajous é possível calcular a fase entre dois sinais.

Observe que todos os métodos existentes para calcular ganho e fase entre dois sinais, apresentam problemas, se o sinal tiver uma freqüência próxima à freqüência de Nyquist.

• Comente a exatidão das aproximações digitais comparado as respostas em freqüência, obtidas experimentalmente, com a resposta em freqüência do filtro analógico.

3.5 Teste dos filtros digitais – Resposta a degrau

• Configurando o gerador de funções para gerar uma curva quadrada, verifique a resposta a um degrau de pelo menos dois de seus filtros digitais (escolha dois quaisquer). Compare as respostas desses dois filtros digitais com a resposta do filtro analógico. Para calcular a resposta do filtro analógico use a função lsim do MATLAB, usando como dado de entrada a onda quadrada produzida pelo gerador de função e amostrada pelo programa de aquisição de dados e posteriormente salva em um arquivo.

• Coloque em um mesmo gráfico as respostas dos filtros digitais, obtidas experimentalmente, e a resposta do filtro analógico, obtida com o MATLAB. Comente os resultados.

3.6 Mudança do período de amostragem

• Descreva o que aconteceria se você alterasse o período de amostragem, T, sem alterar a função de transferência do filtro digital.

• Verifique experimentalmente esta alteração utilizando a aproximação de Tustin, obtida com

T = 0,002s, mas funcionando com T = 0,02s. Levante a resposta em freqüência deste filtro e

a resposta a um degrau. Compare com os resultados anteriores para a aproximação de Tustin

e comente.

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4. Relatório

O seu relatório deve conter todos o resultados mencionados no item 3. Além disso, é esperado que o seu relatório tenha as seguintes seções:

1. Introdução e Objetivos;

2. Procedimento Experimental;

3. Resultados;

4. Discussão e Conclusões.

Não é necessário realizar uma seção com os Fundamentos Teóricos pois, espero que a

teoria dada em sala de aula tenha sido suficiente.