FÍS FÍS FÍS FÍS FÍS FÍS FÍS FÍS FÍS
BIO
GEO M AT
QUÍ
LPO
FIL HIS
SOC
Física
221
222
RES
Capítulo 5 ...110
Módulo 25 ... 113
Capítulo 6 ... 118
Módulo 26 ...129
Módulo 27 ...133
Módulo 28 ...137
Módulo 29 ...141
Módulo 30 ...145
SOLARSEVEN/SHUTTERSTOCK
1. Resumo de sistemas conservativos e não conservativos (dissipativos) 112 2. Organizador gráfico 112 Módulo 25 – Sistemas conservativos e não conservativos (dissipativos) 113
• Compreender o princípio da conservação de energia, utilizando-o em situações concretas.
• Utilizar o conceito de energia mecânica para a previsão de movimentos reais em situações em que ela se conserva.
• Utilizar a conservação da energia mecânica para analisar e determinar parâmetros de movimentos.
SOLARSEVEN/SHUTTERSTOCK 111 Um bom exemplo de sistemas não conservativos ou dissipativos são os meteoros,
pedaços de rochas com enormes quantidades de energia cinética e potencial gravita- cional. Ao entrar na atmosfera, essas rochas enfrentam uma força brutal exercida pelos gases que a compõem. O trabalho exercido por essa força é convertido em calor, que funde a rocha formando o belo rastro conhecido popularmente como estrela cadente. Se a energia dissipada não for suficientemente grande para desintegrar toda a rocha e parte dela chegar ao solo, seu nome será meteorito.
Energia, trabalho e potência – Parte III 5
5221Física112Ciências da Natureza e suas Tecnologias EMI-15-50
1. Resumo de sistemas conservativos e não
conservativos (dissipativos)
• Energia mecânica − Soma das energias cinética e po- tencial (gravitacional e elástica): Em = Ec + Ep
E m v
2 m g h k x
2
m
Energia cinética2 Energia potencial
gravitacional 2
Energia potencial elástica
= m vm v⋅ ++ m gm g⋅⋅ ⋅ +⋅ +hh k xk x⋅
• Sistema conservativo − A energia mecânica permane- ce constante:
Em(final) = Em(inicial)
final inicial
(E E ) (Ec Ep) (EEcc EEpp) (EEEEc+EEEEp) (EEEEEEcc++EEEEEEpp)
(EEEEcc+EEEEpp) =======(((((((EEEEEEEEEEEEEEEEEEcccccccc+++++++EEEEEEEEEEEEEEEEEEpppppppp)))))))
• Sistema não conservativo − A energia mecânica não permanece constante:
Em(final) = Em(inicial) + Tforças não conservativas
final inicial for as conservativas
(E E ) (Ec Ep) (EEcc EEpp) (EEEEc+EEEEp) (EEEEEEcc++EEEEEEpp)
(EEEEcc+EEEEpp) =======(((((((EEEEEEEEEEEEEEEEEEcccccccc+++++++EEEEEEEEEEEEEEEEEEpppppppp))))))) +TTfofo ç r ar asç ç sssssnãnão cccccc
Leia o texto disponível em: <http://mundoestranho.
abril.com.br/materia/qual-e-a-diferenca- entre-asteroide-cometa-e-meteoro>.
01. UEPB
Observe o sistema conservativo esquematizado na fi- gura a seguir.
A B
x V
Nesse sistema, um corpo de massa 1,0 kg está apoia- do em uma superfície horizontal e ligado a uma mola de constante elástica k = 16 N/m, a qual se encontra compri- mida em 15 cm por este corpo, preso por um fio. Quando o fio se rompe, a mola se distende, empurrando o corpo para frente. De acordo com o princípio da conservação da ener- gia mecânica, a velocidade com que o corpo abandona a mola tem módulo igual a:
a. 0,6 m/s d. 0,9 m/s
b. 0,8 m/s e. 1,2 m/s
c. 0,7 m/s Resolução
E = E k x
22 m v
22 16 0,15 1,0 v v 0,6 m/ s E =PePe
E = C
2 m v2
2 m v2
2 2
( ) k x⋅ k x22 =m vm vm vm vm vm v⋅⋅ 22
⋅ 0, =
⋅ 0,15 =
⋅ 15 =
⋅ ) =
⋅( ) =
⋅( = 0 v0 v⋅ v 0=
v 0
Alternativa correta: A
APRENDER SEMPRE 19
2. Organizador gráfico
A. Sistemas mecânicos
Em constante TF não-cons. = 0
TF não-cons. = Em(f) – Em(i)
Características Apenas
texto Conservativo
Tema Tópico Subtópico Subtópico destaque
pode ser pode ser
Não conservativo Sistemas mecânicos
IMAGEM SUPERIOR: NMEDIA/ SHUTTERSTOCK, IMAGEM DA ESQUERDA: DSLAVEN / SHUTTERSTOCK; IMAGEM DA DIREITA: DIGITAL STORM / SHUTTERSTOCK
5221Física113Ciências da Natureza e suas Tecnologias
EMI-15-50
Módulo 25
Sistemas conservativos e não conservativos (dissipativos)
Exercícios de Aplicação
01. AFA-SP
Um bloco de 250 g cai sobre uma mola de massa despre- zível cuja constante elástica é 250 N/m.
g
O bloco prende-se à mola, que sofre uma compressão de 12 cm antes de ficar momentaneamente parada. Des- preze perdas de energia mecânica e adote g = 10 m/s2. A velocidade do bloco imediatamente antes de chocar-se com a mola é, em m/s:
a. 2,00 b. 2,51 c. 3,46 d. 4,23
02. UFPE
Com base na figura a seguir, calcule a menor velocidade com que o corpo deve passar pelo ponto A para ser capaz de atingir o ponto B. Despreze o atrito e considere g = 10 m/s2.
8 m
13 m A
B
Resolução
Adotando o referencial no ponto de deformação máxima da mola, temos que a energia mecânica do bloco (cinética + potencial) é transformada em energia potencial elástica da mola.
Ec + Epg = Epe m v
2
⋅ 2 + m ·g · h = k x 2
⋅ 2
0,25 · v2 + 2 · 0,25 · 10 · 0,12 = 250 · (0,12)2 0,25 · v2 = 3,6 − 0,6
v ≈ 3,46 m/s Alternativa correta: C
Resolução
Para ocorrer o proposto, a velocidade do corpo no ponto B deve ser zero; assim:
(Ec + Ep)final = (Ec + Ep)inicial (0 + m · g · H)final = m v
m g h
A
inicial
⋅ + ⋅ ⋅
2
2
m m v
A m
⋅ ⋅ =10 13 2⋅ 2 + ⋅ ⋅10 8
130 v
22A 80
= + vA2
2 =130 80− vA = 10 m/s
5221Física114Ciências da Natureza e suas Tecnologias EMI-15-50
03. UFMG
Na figura, está representado o perfil de uma montanha coberta de neve.
K
L
M
N
Exercícios Extras
04. UFRJ (adaptado)
A figura mostra o perfil JKLM de um tobogã cujo trecho KLM é circular de centro C e raio R = 5,4 m. Uma criança de massa 15 kg inicia sua descida, a partir do repouso, de uma altura h = 7,2 m acima do plano horizontal, que contém o cen- tro C do trecho circular.
h J
R M
K L
C
O módulo da velocidade com que a criança passa pelo ponto L vale:
a. 6,0 m/s d. 3,0 m/s
b. 5,0 m/s e. 2,0 m/s
c. 4,0 m/s
05. Fuvest-SP (adaptado)
Uma esfera de 2,0 kg é solta no ponto A da borda de uma depressão esférica de raio R = 20 cm, conforme mostra a figu- ra. Despreza-se o atrito e adota-se g = 10 m/s2.
P R
B A
Determine a energia mecânica da esfera no ponto B, em relação a um plano que passa por P.
Um trenó, solto no ponto K com velocidade nula, passa pelos pontos L e M e chega, com velocidade nula, ao ponto N.
A altura da montanha no ponto M é menor que a altura em K.
Os pontos L e N estão a uma mesma altura.
Com base nessas informações, é correto afirmar que:
a. a energia potencial gravitacional em L é maior que a energia potencial gravitacional em N.
b. a energia mecânica em M é menor que a energia me- cânica em L.
c. a energia mecânica em K é igual à energia mecânica em M.
d. a energia cinética em L é igual à energia potencial gra- vitacional em K.
Resolução
Como a velocidade do trenó é nula em N, concluímos que existe atrito.
Assim, temos:
a. Incorreto. São iguais, pois apresentam a mesma altura.
b. Correto. A energia mecânica em M é menor que a energia mecânica em L devido ao atrito.
c. Incorreto. Em(K) > Em(M)
d. Incorreto. A energia cinética em L é menor devido ao atrito.
Alternativa correta: B Habilidade
Compreender o princípio da conservação de energia, utilizando-o em situações concretas.
5221Física115Ciências da Natureza e suas Tecnologias
EMI-15-50
Seu espaço
O objetivo deste módulo é promover uma revisão dos principais conceitos sobre energia mecânica e sua conservação. Apro- veitamos, também, para incluir questões relacionadas com assuntos dos capítulos anteriores: potência, trabalho de uma força, teorema da energia cinética e leis de Newton.
5221Física116Ciências da Natureza e suas Tecnologias EMI-15-50
Da teoria, leia o tópico 1.
Exercícios de tarefa reforço aprofundamento
06.
Uma pedra de massa desconhecida foi liberada, a partir do repouso, de uma altura de 20 m. Desprezando a resistência do ar e considerando a aceleração da gravidade como g, de- termine a equação da velocidade da pedra ao chegar ao solo.
07. Unicamp-SP
Um brinquedo que muito agrada às crianças são os lan- çadores de objetos em uma pista. Considere que a mola da figura a seguir possui uma constante elástica k = 8 000 N/m e massa desprezível. Inicialmente, a mola está comprimida de 2,0 cm e, ao ser liberada, empurra um carrinho de massa igual a 0,20 kg. O carrinho abandona a mola quando esta atinge o seu comprimento relaxado e percorre uma pista que termina em uma rampa. Considere que não há perda de energia mecâ- nica por atrito no movimento do carrinho.
Mola comprimida
Carrinho
a. Qual é a velocidade do carrinho quando ele abandona a mola?
b. Na subida da rampa, a que altura o carrinho tem velo- cidade de 2,0 m/s?
08.
Com base nos dados da questão anterior, calcule a altura atingida pela bola após a terceira colisão com o piso rígido.
09. Mackenzie-SP (adaptado)
Próximo à borda de uma piscina existe um escorregador.
Uma criança de 40 kg parte do repouso do ponto P e, após certo tempo, atinge a superfície livre da água, que está 35 cm abaixo do nível da borda, conforme mostra a figura.
30°
2,40 m
0,350 m P
Desprezando-se o atrito com o escorregador e a resistên- cia do ar, a criança atingirá a superfície livre da água com uma velocidade igual a: (Considere g = 10 m/s2.)
a. 2,6 m/s b. 4,5 m/s c. 6,9 m/s d. 7,4 m/s e. 9,0 m/s
10. PUC-SP
O carrinho da figura a seguir tem massa 100 g e encontra-se encostado em uma mola de constante elástica 100 N/m, compri- mida de 10 cm (figura 1). Ao ser libertado, o carrinho sobe a ram- pa até a altura máxima de 30 cm (figura 2). O módulo da quanti- dade de energia mecânica dissipada no processo, em joules, é:
Figura 1
Figura 2
Adote: g = 10 m/s2. a. 25 000 b. 4 970 c. 4 700 d. 0,8 e. 0,2 11. PUC-RS
Um bloco de 4,0 kg de massa e velocidade de 10 m/s, movendo-se sobre um plano horizontal, choca-se contra uma mola, como mostra a figura.
v
Sendo a constante elástica da mola igual a 10 000 N/m, o valor da deformação máxima que a mola poderia atingir, em cm, é:
a. 1,0 b. 2,0 c. 4,0 d. 20 e. 40
12. PUC-MG
Um ciclista desce uma rua inclinada, com forte vento con- trário ao seu movimento, com velocidade constante.
Pode-se afirmar que:
a. sua energia cinética está aumentando.
b. sua energia potencial gravitacional está diminuindo.
c. sua energia cinética está diminuindo.
d. sua energia potencial gravitacional é constante.
Exercícios Propostos
5221Física117Ciências da Natureza e suas Tecnologias
EMI-15-50
13. UFF-RJ
O salto com vara é, sem dúvida, uma das disciplinas mais exigentes do atletismo. Em um único salto, o atleta executa cerca de 23 movimentos em menos de 2 segundos. Na últi- ma Olimpíada de Atenas, a atleta russa, Svetlana Feofanova, bateu o recorde feminino, saltando 4,88 m. A figura a seguir representa um atleta durante um salto com vara, em três ins- tantes distintos.
I II III
Assinale a opção que melhor identifica os tipos de ener- gia envolvidos em cada uma das situações I, II, e III, respec- tivamente.
a. Cinética – cinética e gravitacional – cinética e gravitacional.
b. Cinética e elástica – cinética, gravitacional e elástica – Cinética e gravitacional.
c. Cinética – cinética, gravitacional e elástica – cinética e gravitacional.
d. Cinética e elástica – cinética e elástica – gravitacional.
e. Cinética e elástica – cinética e gravitacional – gravi- tacional.
14. PUC-MG
Uma bola de borracha é solta de uma altura de 5,00 m e cai livremente, chocando-se diversas vezes com um piso rí- gido. Observa-se que, após cada colisão, a bola sobe e atinge uma altura que corresponde a 80% da altura anterior. Em rela- ção à primeira colisão, podemos afirmar que:
a. a velocidade com que a bola atinge o solo é igual à velocidade com que ela abandona o solo. Considere g = 10 m/s2.
b. a velocidade com que a bola se solta do solo é igual a 80% da velocidade com que ela atinge o solo.
c. a velocidade com que a bola se solta do solo é me- nor que 80% da velocidade com que ela atinge o solo, já que a energia cinética depende da velocida- de ao quadrado.
d. a velocidade com que a bola se solta do solo é maior que 80% da velocidade com que ela atinge o solo, já que a energia cinética depende da velocida- de ao quadrado.
15. UFG-GO
Uma mola ideal é usada para fornecer energia a um bloco de massa m, inicialmente em repouso, o qual pode mover-se sem atrito em toda a superfície, exceto entre os pontos A e B. Ao liberar o sistema massa-mola, o bloco pas- sa pelo ponto P com energia cinética de 1/20 da energia potencial gravitacional nesse ponto.
y
h d x
H P
A B
Considerando o exposto, com h = 0,15· H e d = 3·H, calcule:
a. o valor numérico do coeficiente de atrito para que o bloco pare no ponto B;
b. a porcentagem da energia total dissipada pela força de atrito.
16. UFTM-MG
Em uma região de pouca visibilidade, um motorista dirige seu caminhão de massa 8 000 kg, descendo lentamente um trecho de estrada.
Entre as posições A e B, o motorista mantém o caminhão em movimento retilíneo uniforme e, devido a um congestio- namento, precisa manter o caminhão parado durante alguns minutos na posição C.
A
B
C 12 m
30°
Adotando g = 10 m/s2, calcule:
a. a energia mecânica, em joules, dissipada por todas as forças dissipativas que atuam no caminhão no trecho AB;
b. o módulo da força de atrito total, em newtons, que atua nos pneus do caminhão quando ele está em repouso na posição C.
CONRADO / SHUTTERSTOCK
1. Introdução 120 2. Quantidade de movimento 121 3. Impulso de uma força constante 121 4. Teorema do impulso 121 5. Sistemas isolados 122 6. Conservação da quantidade
de movimento 123
7. Colisões mecânicas 124
8. Coeficiente de restituição 125 9. Classificação das colisões 125 10. Colisões bidimensionais 127 11. Organizador gráfico 128 Módulo 26 – Quantidade de
movimento e impulso 129 Módulo 27 – Teorema do impulso 133 Módulo 28 – Sistemas isolados 137 Módulo 29 – Colisões
unidimensionais 141 Módulo 30 – Colisões bidimensionais 145
• Associar a variação da quantidade de movimento de um objeto no tempo à força aplicada sobre ele.
• Aplicar o princípio de conservação da quantidade de movimento em situações concretas e sistemas isolados.
• Calcular o impulso da força resultante.
• Calcular a quantidade de movimento dos corpos ou a sua variação.
CONRADO / SHUTTERSTOCK 119
Os testes de colisão em veículos (crash test) são antigos. O primeiro teste de que se tem notícia foi feito, em 1934, pela General Motors, nos EUA. Esses testes podem ser realizados de diversas formas, conforme os protocolos de cada associação (americana, europeia, latina), sendo que o teste mais utilizado é o de impacto frontal, em que um veículo colide com uma barreira deformável descentrada.
Em maio de 2013, uma extensa reportagem mostrada no site do jornal New York Times, intitulada “Carros brasileiros são mortais", chamou a atenção do jornal O Estado de São Paulo, que publicou uma notícia, no mesmo mês, tratando do assunto. Nesta matéria, desta- cam-se alguns fragmentos da reportagem original, em que seus autores afirmam que os carros brasileiros são frágeis, por isso a taxa de mortalidade, em acidentes automobilísticos, é quatro vezes maior no Brasil do que nos EUA. O jornal brasileiro vai além em suas conside- rações, questionando as principais montadoras, as quais alegam, em sua defesa, que operam de acordo com as regras vigentes no país.
Coincidência ou não, em 2014, aumentou o número de carros brasileiros testados por uma associação denominada Latin Cap, permitindo que os consumidores levem em conta o fator segurança na hora de escolher seus veículos.
Quantidade de
movimento e impulso 6
6221Física120Ciências da Natureza e suas Tecnologias EMI-15-50
1. Introdução
Leia o texto 1 a seguir.
FER GREGORY / SHUTTERSTOCK
Quando o físico Robert Goddard (1882- -1945) propôs a possibilidade de veículos im- pulsionados por foguetes, ele foi duramente criticado. O jornal New York Times concordou que tais veículos seriam úteis e bem-sucedi- dos dentro da atmosfera da Terra (“Topics of the Times”, The New York Times, 13 de janeiro de 1920, p. 12), mas o jornal rejeitou a ideia de utilizar tal foguete no vácuo do espaço, no- tando que a expansão dos gases no interior do foguete não poderia manter a aceleração dele longe da atmosfera. Afirmar que o foguete pode ser impulsionado no vácuo sem ter a atmosfera para reagir com ele é o mesmo que negar uma lei fundamental da dinâmica (a terceira lei de Newton). Tal ousadia só poderia ser feita pelo Dr. Einstein e pelos poucos escolhidos por ele.
É vergonhoso que o Professor Goddard, com sua cátedra no Clark College e o apoio do Smithsonian Institution, não saiba a relação da ação e reação e a necessidade de se ter algu- ma coisa melhor do que o vácuo contra a qual reagir [...]. Obviamente parece faltar-lhe apenas o conhecimento fornecido diariamente nas uni- versidades.
SERWAY, R. A. Princípios de Física. Vol 1. Mecânica Clássica. 3. ed.
São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004. p. 270. Adaptado.
Leia o texto 2 a seguir.
Hoje em dia, muitos físicos passam seu tem- po jogando o que podemos denominar “jogos de colisões”. O principal objetivo deste jogo é descobrir, tanto quanto possível, as forças que atuam durante as colisões, conhecendo o esta- do das partículas antes e após colidirem. Vir- tualmente, todo o nosso conhecimento acer- ca do mundo subatômico − elétrons, prótons, nêutrons, quarks e outras partículas − decorre de experiências desse tipo. As regras de um jogo de colisão são as leis da conservação do momento linear e da energia. A figura abaixo mostra um dos “campos de jogos” onde esse tipo de jogo tem sido praticado com grande su- cesso. Ele é o detector subterrâneo do grande acelerador circular de prótons do CERN, La- boratório Europeu de Física de Altas Energias, próximo a Genebra.
Halliday & Resnick. Fundamentos de Física. Vol 1. Mecânica.
3. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora S.A.1994, p.194.
HAROLD CUNNINGHAM/GETTY IMAGES
Detector subterrâneo do grande acelerador circular de prótons do CERN.
Num primeiro momento, os dois textos acima podem parecer totalmente desvinculados um do outro. Enquanto o primei- ro se refere ao movimento de um foguete no vácuo, o segundo explora as pesquisas no campo das partículas constituintes da matéria.
No entanto, eles guardam entre si uma estreita relação: ambos são explicados por uma lei fundamental da Física, a lei da conservação da quantidade de movimento, também conhecida como momento linear.
Neste capítulo, daremos ênfase às grandezas físicas denominadas “quantidade de movimento” e “impulso”, bem como ao teorema que estabelece a relação entre elas. Trataremos, também, de uma das leis de maior relevância para a Física, a lei da conservação da quantidade de movimento, aplicada principalmente nas colisões e nas explosões.
6221Física121Ciências da Natureza e suas Tecnologias
EMI-15-50
2. Quantidade de movimento
No estudo do movimento de um corpo, duas grandezas são fundamentais: a massa do corpo e sua velocidade. A figu- ra seguinte representa um corpo de massa m em movimento com velocidade v.
m v
Vamos associar ao movimento desse corpo uma grandeza vetorial denominada quantidade de movimento (Q), definida pelo produto da massa pela velocidade. Assim:
Q m v= ⋅
No Sistema Internacional (SI), as unidades são: massa, em quilograma (kg), velocidade, em metro por segundo (m/s), e quantidade de movimento, em quilograma vezes metro por segundo (kg · m/s).
Como a massa é uma grandeza escalar, o vetor quantida- de de movimento possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor velocidade.
m Q
v
3. Impulso de uma força constante
A figura ilustra um bloco de massa m, inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal, sem atrito, que, em um dado instante, recebe a ação de uma força constante du- rante um intervalo de tempo ∆t.
F
A ação dessa força, durante o intervalo de tempo ∆t, al- tera o estado de repouso do bloco. Dizemos que o bloco re- cebeu um impulso (I)
da força
F, que é dado pelo produto da força pelo intervalo de tempo:
I F t
= ⋅∆
No Sistema Internacional (SI), as unidades são: força, em newton (N), intervalo de tempo, em segundo (s) e impulso, em newton · segundo (N · s).
Como o intervalo de tempo é sempre positivo, o impulso tem a mesma direção e o mesmo sentido da força aplicada.
m F
I
A figura seguinte ilustra a representação gráfica do módu- lo de uma força constante em função do tempo.
A
0 t
F
t F
Nesse caso, o módulo do impulso pode ser obtido, numeri- camente, por meio da área (A) do retângulo indicada na figura:
I =N Área ⇒ I = F · t
A. Impulso de uma força variável No caso específico de o módulo da força
F variar com o tempo, o módulo do impulso produzido por ela pode ser obti- do por meio do cálculo da área na representação gráfica F × t, conforme mostrado na figura seguinte.
F
t A1
A2
Nesse caso, o módulo do impulso da força variável F é igual à soma das áreas A1 e A2.
O impulso 1 é positivo e corresponde à área (A1), o im- pulso 2 é negativo e corresponde a (–A2); assim, o módulo do impulso dessa força é:
I = |A1 – A2|
4. Teorema do impulso
O impulso de uma força, seja ela de módulo constante ou variável, pode ser relacionado à quantidade de movimento do corpo no qual a força age. Essa relação é conhecida como teorema do impulso.
Para estabelecer essa relação, vamos considerar o bloco acima que recebe a ação da única força
F constante, durante um intervalo de tempo ∆t. Nesse caso, a força
F é a força re- sultante. Assim, temos:
IR FR t
= ⋅ ∆ De acordo com a segunda lei de Newton:
FR = m · a = m · ∆
∆
v t. Substituindo, na expressão acima, temos:
IR = m · ∆
∆
v
t · ∆t ⇒ IR = m · ∆v
Sendo v v∆ = − v0, a expressão acima pode ser escrita como:
IR = m · (v − v )0 ⇒
IR = m · v m v− ⋅0
6221Física122Ciências da Natureza e suas Tecnologias EMI-15-50
Lembrando que o produto da massa pela velocidade é a quantidade de movimento, temos:
IR Qf Q I Q
IR Qf
IRR Qfinalfinal QQQQiniciainiciall IIIIRR
= − I =Q −
I Q QQQQQQ llll ⇒⇒⇒⇒ IIIIIIRRRR====∆
Ou seja, de acordo com o teorema do impulso:
O impulso resultante é igual à variação da quantidade de movimento.
Observação: o teorema do impulso pode ser aplicado tan- to no caso de uma força de módulo constante como no caso de uma força de módulo variável.
01. Fuvest-SP
Um corpo de massa 5,0 kg e velocidade de 4,0 m/s re- cebe a ação de uma força resultante durante 10 s. A direção e o sentido da força são os mesmos da velocidade do cor- po, e o módulo da força varia com o tempo, de acordo com o gráfico seguinte.
0 10
F (N)
t (s) 30
Determine a velocidade do corpo após os 10 s.
Resolução
O módulo do impulso da força resultante é dado pela área do triângulo no gráfico acima:
I b h
I I
I I N s
R=b hb h⋅ R R
⇒ =I I
⇒ =I I
R ⇒ =R
R IR I
R ⇒ =IIR II
R IIIR ⋅ ⇒ =⇒ =⇒ =IIIRR N sN s⋅ 2
R 2 R
R R
10 30
2 150
De acordo com o teorema do impulso, o impulso resul- tante é igual à variação da quantidade de movimento do corpo:
IIIIIRR==QQQQQffinal−−QQQQQQQiniciainiciall= ⋅= ⋅m v m vmmmmmm v mv m− ⋅− ⋅0
Como a força possui a mesma direção e o mesmo sen- tido da velocidade, podemos utilizar a expressão acima na forma escalar:
IR = m · (v − v0) ⇒ 150 = 5 · ( v − 4) v − 4 = 30 ⇒ v = 34 m/s
No instante t = 10 s, a velocidade do corpo é 34 m/s.
APRENDER SEMPRE 20
5. Sistemas isolados
Chamamos de sistema um conjunto de dois ou mais cor- pos que foram separados do restante do universo e que se- rão objetos de estudo. Eventualmente, um sistema pode ser constituído por um único corpo.
Vamos considerar um sistema constituído por dois cor- pos: um ímã e um bloco de ferro, conforme mostra a figura.
P1 P2
Imã T1
F1,2
Ferro T2 F2,1
Nos corpos agem as seguintes forças: peso, tração e a força de atração entre eles. Podemos separar essas forças em dois grupos: forças internas e forças externas ao sistema.
As forças de atração F e F12 21
( ) entre os corpos consti- tuintes do sistema são classificadas como forças internas, pois são fruto da interação entre os componentes do sistema.
As forças internas constituem pares ação-reação, ou seja, elas possuem a mesma intensidade, a mesma direção, mas sentidos contrários; portanto, no sistema, temos:
Fint 0
∑ =
Por outro lado, as forças peso (interação com a Terra) e tração (interação com o fio) são classificadas como forças externas ao sistema, pois representam interação dos corpos do sistema com o meio externo.
Em um sistema qualquer, podemos ter a soma vetorial das forças externas igual a zero ou não. Particularmente, se, em um sistema mecânico, a soma vetorial das forças exter- nas for igual a zero, ou seja, a resultante das forças externas for nula, dizemos que o sistema é isolado de forças exter- nas. Assim:
Sistema isolado: tt eee FFFeext. 0
∑F 0 ∑
∑F 0 e∑F
∑ in e∑F
∑FFinin 00 ∑
∑FFint 00 ∑ e
∑FFtt 00 ∑ ee
∑FFtt 00 ee∑FFee
∑t ee∑FFe
∑ == ee∑FF ==
∑ = ∑ =
∑F 0 ∑
∑FF =00 ∑ =
∑F 0 e∑F
∑ = ee∑FF =
∑ e∑F
FR 0 FR 0 F 0 F =0
F 0
O sistema pode ser isolado de forças externas de três modos:
1. não existem forças externas atuando no sistema;
2. existem forças externas, porém a resultante dessas forças é nula;
3. existem forças externas atuando no sistema, mas essas forças são tão pequenas quando compara- das às forças internas que se tornam desprezíveis.
6221Física123Ciências da Natureza e suas Tecnologias
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6. Conservação da quantidade de movimento
Uma conclusão importante a respeito dos sistemas iso- lados está relacionada à quantidade de movimento do sis- tema. Sendo o somatório das forças externas igual a zero, o impulso da força resultante é nulo e, de acordo com o teore- ma do impulso, a variação da quantidade de movimento do sistema é nula:
IR Qfinal Qinicial
= −
Sendo um sistema isolado: FR 0 e I R 0
= = . Assim:
Qfinal=Qinicial
Qfina Q Qfina Q Q l Qi Q l Qi
Q Qnicial
Q =Q
Q Q
Em um sistema mecanicamente isolado (isolado de forças externas), a quantidade de movimento do sistema permanece constante.
As considerações sobre a conservação da quantidade de movimento em sistemas isolados podem ser utilizadas para explicar como um foguete se movimenta na ausência de ar (vácuo), conforme questionamentos do jornal The New York Times apresentados no texto 1, na introdução deste capítulo.
Para se movimentar, um foguete não necessita de um meio material externo para interagir. Ele é impulsionado para frente graças à ejeção de gases para trás. Os gases são pro- venientes da queima do combustível que, inicialmente, está dentro dele. A força sobre o foguete, orientada para frente, é a reação da força exercida pelos gases ejetados, orientada para trás. Trata-se, portanto, de um par ação-reação.
O foguete e a massa do gás expelida para trás constituem um sistema isolado, para o qual é válida a conservação da quantidade de movimento.
Em 17 de julho de 1969, o jornal The New York Times pu- blicou uma retratação dos erros cometidos no texto de 49 anos atrás, enquanto os astronautas da Apolo 11 estavam a caminho da Lua: “... agora está estabelecido definitivamente que um foguete pode funcionar no vácuo assim como na at- mosfera. O Times lamenta o erro.”
Conservação de grandezas
A mecânica newtoniana é uma teoria do movimento. Como tal, ela descreve as varia- ções de certas quantidades – a velocidade e a posição – em função do tempo. No entanto, uma vez que as equações são expressas sob uma forma adequada, constata-se que, apesar da mudança aparente, certas grandezas per- manecem invariantes no curso do movimento.
Antes mesmo da aceitação da teoria de Newton, Descartes e Leibniz haviam sugeri- do a existência dessas grandezas. No caso de Descartes − René Descartes (1596-1650) − foi a “quantidade de movimento”, que ele defi- niu como o produto da quantidade de matéria do corpo por sua velocidade. Na mecânica newtoniana, em que a quantidade de maté- ria nada mais é que a massa, a quantidade de movimento de um corpo é, portanto, igual à sua massa multiplicada por sua velocida- de. Leibniz − Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) −, por sua vez, introduziu uma grandeza conservada, que batizou de “força”
− distinta da força newtoniana − e que é a soma de dois elementos: a “força viva”, defi- nida hoje − em termos um pouco diferentes dos de Leibniz − como a metade do produto da massa pelo quadrado da velocidade, e a
“força morta”, igual ao produto do peso por sua altitude.
Os discípulos de Descartes e os de Leibniz discutiram por muito tempo a verdadeira grandeza conservada durante o movimento:
seria a quantidade de movimento ou a “força”?
A mecânica newtoniana deveria, finalmente, dar razão às duas teorias, estabelecendo que a quantidade de movimento cartesiana e a “for- ça” leibniziana são, ambas, conservadas.
BENDOV, Y. Convite à Física. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editora, 1996, p. 43.
01.
Duas pessoas, de massas 60 kg e 80 kg, estão em uma pis- ta de patinação no gelo. Incialmente, elas estão em repouso e próximas entre si. Num determinado instante, elas se empurram mutuamente e entram em movimento. Sabendo que a pessoa de massa 60 kg adquiriu velocidade de 2,0 m/s, determine a velocidade adquirida pela pessoa de 80 kg. Despreze os atritos.
Resolução
Vamos considerar que as duas pessoas formam um sistema. Ao se empurrarem, as pessoas (componentes do sistema) trocam forças, que são internas ao sistema. Por- tanto, a soma vetorial delas é zero. Como o atrito foi des- prezado, o sistema é isolado de forças externas. Nessas
condições, a quantidade de movimento do sistema se con- serva. Considerando o empurrão como um evento, temos:
Qfina Q Qfina Q Q l Qi Q l Qi
Q Qnicial
Q =Q
Q Q .
Antes do empurrão, a quantidade de movimento do sistema é igual a zero, pois as duas pessoas estão em repouso:
Qinicial=0.
Após o empurrão, como as pessoas estão em movimen- to, elas possuem quantidades de movimento.
Qfina 0 Qfina 0 Q l 0 Q l 0 Q 0 Q =0
Q 0
m1 · v1 + m2 · v2 = 0 60 · 2 = – 80 · v2 v2 = –1,5 m/s
A pessoa de 60 kg movimenta-se com velocidade de 2 m/s e a pessoa de 80 kg com velocidade de 1,5 m/s, em sentido contrário.
APRENDER SEMPRE 21
