Matemática FÍS QUÍ BIO LPO HIS GEO FIL SOC RES

(1)

M AT M AT M AT M AT M AT M AT M AT M AT M AT M AT

BIO

GEO QUÍ

LPO

FIL HIS

SOC

Matemática

211

212 RES FÍS

Capítulo 11 ... 8

Módulo 37 ... 16

Capítulo 12 ...20

Módulo 38 ... 31

Módulo 39 ...34

Módulo 40 ...37

Módulo 41 ... 41

Capítulo 13 ...44

Módulo 42 ...49

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JOHN T TAKAI/SHUTTERSTOCK

1. Radiciação 10 2. Organizador gráfico 15 Módulo 37 – Potenciação

e radiciação – Parte II 16

• Efetuar operações utilizando as propriedades das potências e raízes.

• Reconhecer uma raiz como uma potên- cia de expoente racional.

• Racionalizar o denominador de um número real.

• Determinar o valor aproximado de números expressos por frações com denominador irracional.

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JOHN T TAKAI/SHUTTERSTOCK

9 Um dos principais usos da radiciação encontra-se no próprio campo da matemática, auxiliando numericamente as demais ciên- cias e aplicando-se às mais diversas finalidades. É uma operação que está diretamente relacionada à potenciação, conforme mostra- remos neste capítulo.

Potenciação e radiciação – Parte II 11

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7 211 Matemática 10 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-70

1. Radiciação

ROOK76/SHUTTERSTOCK

Selo suiço lançado em 2007, que mostra o matemático Leonhard Euler

A origem do símbolo , usado para representar uma raiz, é bastante especulativa. Algu- mas fontes dizem que o símbolo foi usado pela primeira vez pelos árabes, por Al-Qalasady (1421-1486), matemático árabe. Menciona-se que o símbolo venha da letra T desse alfabe- to, a primeira letra da palavra “Jadhir”.

Muitos, incluindo Leonard Euler, acreditam que o símbolo origina-se da letra r, que é a primeira letra da palavra radix, que, em latim, re- fere-se à mesma operação matemática. O sím- bolo foi visto pela primeira vez impresso sem o vínculo (a linha horizontal que fica sobre os números dentro da raiz) em 1525, no Die Coss, do matemático alemão Christoff Rudolff.

Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/

Radicia%C3%A7%C3%A3o>. Acesso em: 10 dez. 2014.

A. Introdução

Considere a situação a seguir.

Encontre a medida x do lado de um quadrado para que sua área resulte em 4 u.a. (unidades de área).

x x

Área = 4 u.a.

Recordando os estudos no Ensino Fundamental, a área de um quadrado é encontrada multiplicando-se a medida da largura pela medida do comprimento. No caso do quadrado, essas medidas são iguais. Assim, sendo x a medida do lado do quadrado, tanto a largura quanto o comprimento terão medida x, e, dessa forma, a área do quadrado será indicada por x².

Com essas informações, o problema será resolvido se for encontrado um número positivo – o lado não pode ter medida negativa –, que, elevado ao expoente 2, resulte em 4, e esse número é o 2. Portanto, o quadrado deve ter lado de medida 2 u.c. (unidade de comprimento).

Considere agora o seguinte problema.

Encontre a medida x do lado de um quadrado para que sua área resulte em 5 u.a.

x x

Área = 5 u.a.

Como visto anteriormente, é necessário encontrar um nú- mero positivo x, que, elevado ao expoente 2, resulte em 5. O problema é que esse número, procurado pelos matemáticos durante décadas a partir do momento em que esse tipo de problema surgiu, não é racional e é preciso encontrar uma maneira de representá-lo, pois sabe-se que, dentro do conjunto dos números reais, os números não racionais, isto é, os números irracionais não podem ser escritos na forma decimal finita, nem mesmo na forma de dízima periódica.

O número que serve para indicar a medida do lado do quadrado no problema, após longas décadas de transformações em sua representação, tem a notação moderna indicada por

5 , leia-se: raiz quadrada de cinco.

Com o passar do tempo, outros problemas com o mesmo princípio de raciocínio apareceram.

Observe este problema.

Encontre a medida x da aresta de um cubo para que seu volume resulte em 8 u.v. (unidades de volume).

x x x

Volume = 8 u.v.

Para encontrar o volume de este cubo de aresta x, podemos efetuar a multiplicação x · x · x. Assim, o volume é dado por x³.

Dessa maneira, um cubo terá volume 8 u.v. se sua aresta for igual a 2 u.c.

Considere uma nova situação.

Encontre a medida x da aresta de um cubo para que seu volume resulte em 10 u.v.

x x x

Volume = 10 u.v.

Na resolução desse problema, há um entrave semelhan- te ao encontrado no problema da área do quadrado igual a 5 u.a., isto é, o número procurado é irracional e precisa de representação.

Para representar tal número, é necessário indicar de al- guma forma que uma potência de expoente 3 estava relacionada ao número. A notação moderna do número procurado é 10³ , leia-se: raiz cúbica de 10. Observe que o número 3 apontado é chamado de índice.

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7 211 Matemática 11 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-70

No caso do problema do quadrado, o número foi representado por 5, que, por sua vez, de acordo com a evolução do assunto, deveria ser representado por 5² .

Por que se usa 5 para indicar 5² ?

A resposta está vinculada a motivos históricos, à evolu- ção do símbolo .

A necessidade de expressar números que têm a forma a

n e estudar suas propriedades resultou, na matemática, no estudo de um conteúdo denominado radiciação.

B. Definições

A definição de radiciação será apresentada em duas partes. Isso poderá facilitar o entendimento e, ao mesmo tempo, seguirá a ordem histórica em que os conceitos apareceram.

B.1. Para um número real a, não negativo, e n, um número natural diferente de zero, define-se o significado para o símbolo

a

n como sendo um número real b, não negativo, que satisfaz a igualdade bⁿ = a.

A representação aⁿ é chamada de raiz n-ésima de a, o sinal é o radical, o número a é denominado de radican- do e o natural n é o índice. Observe o esquema que identifica cada um desses termos:

n a = b

Índice

Sinal

radical Radicando

raiz n-ésima de a

O símbolo a , que aparece em muitas situações, representa o mesmo que a² .Essa notação persiste até hoje por questões de tradição histórica.

Exemplos

• ³8 2= , pois 2³=8

• 36 6= , pois 6² = 3

• ¹10 10= , pois 10¹ = 10

• ⁵0 0= , pois 0⁵ = 0

Note que, em todos os exemplos, tanto o radicando como a raiz n-ésima são números não negativos.

B.2. Para um número real a qualquer e n, um número natural ímpar, define-se o significado para o símbolo aⁿ como sendo um número real b, que satisfaz a igualdade bⁿ = a.

Exemplos

• ⁵32 2= , pois 2⁵ = 32

• ³− = −8 2, pois (–2)³ = –8 C. Observação

C.1. a² =a, se a for um número real não negativo.

Exemplos

• 2² = 4 2=

• 10² = 100 10=

C.2. a² = −a, se a for um número real negativo.

Exemplos

• (−2)²= 4 2= = − −( 2)

• (−10)²= 100 10= = − −( 10)

C.3. a² = a , em que | a | é o valor absoluto de a.

Exemplos

• (2)²= =2 2

• (−10)²= − =10 10

C.4. 4 2 – estaremos cometendo um = equívoco se utilizarmos 4= ±2 .

Por que 4= ±2 é falso?

A resposta a esta pergunta está ligada à definição. Assim, 4 é um número não negativo que, elevado à potência 2, resulta em 4. Decorre, então, que há apenas um número real não negativo, que, elevado ao quadrado, resulta em 4, que é o número 2.

C.5. Quais valores reais de x resolvem a equação x² = 4?

Há dois possíveis valores para x: um deles é x = 2 e o outro é x = –2, daí se escreve que os possíveis valores de x são dados por: x= ± 4 ou, ainda, x = ±2. Note que 4 conti- nua sendo igual a 2, e os sinais “±” que precedem a 4 são exigências da resolução da equação do 2^o grau incompleta.

Uma aplicação de raiz quadrada

Um motorista estava transitando em um dia ensolarado, a certa velocidade, em uma avenida na qual a velocidade- -limite é de 60 km/h, quando, ao observar um guarda, freou bruscamente, deixando uma marca no asfalto, até conseguir parar o carro.

Discordando da multa que o guarda pretendia lhe aplicar, o motorista, que era um físico, resolveu usar seus co- nhecimentos. Assim, ele mediu o tamanho da marca deixada pelos pneus e, em seguida, afirmou ao guarda que sua velocidade estava abaixo da permitida.

O guarda questionou o motorista, perguntando-lhe como podia fazer tal afirmação. O motorista explicou-lhe que

a velocidade de um carro pode ser aferida pela marca deixada pelos pneus, por meio da seguinte relação: v k c= ⋅ , em que c é o comprimento da marca deixada pelos pneus em metros, v é a velocidade do carro em quilômetros por hora e k é uma constante que varia de acordo com o carro.

O motorista afirmou, ainda, que, para seu veículo, em pista seca, a constante é 14,5 e que a marca tinha, aproximadamente, 16 metros. Então, calcularam que a velocidade do carro era de 58 km/h. Observe: v 14,5 16 14,5 4= ⋅ = ⋅ = 58 km/h.

O guarda ouviu atentamente a explicação e, sem outro argumento que pudesse contradizer o motorista, resolveu não multá-lo.

(6)

7 211 Matemática 12 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-70

D. Potências com expoente racional Qual é o número que representa 4³ ?

De acordo com a definição, ao representar o número procurado por b, esse é não negativo e satisfaz a igualdade b³ = 4.

Por outro lado, o que deve representar 2²³?

Se esse número deve satisfazer as propriedades das potências, então se pode elevá-lo à terceira potência. Dessa forma, segue que:

(2 ) 2²^{3 3}= ²³^⋅³= = =2⁶³ 2² 4

Fazendo uma análise comparativa entre as duas situa- ções, pode-se dizer que 2²³ satisfaz as condições para ser o número b. Daí, vem que:

4 2

3 2

= 3 ou 2²³=³4 ou 2²³=³2²

Ao fazer comparações desse tipo, teve-se a ideia de dar significado à potência de expoente fracionário.

D.1. Definição

Para a > 0, k inteiro e n inteiro positivo, define-se:

a^kⁿ=ⁿa^k

As propriedades apresentadas para potências de expoentes inteiros continuam válidas para potência com expoentes racionais.

Exemplos

• ²64=²2⁶= = =2⁶² 2³ 8

• 3=²3¹=3¹²

• 5²³=³5²=³25

E. Propriedades de radiciação

Nas propriedades a seguir, a e b são números reais não negativos e n, k e p são números inteiros positivos.

E.1. Produto de radicais de mesmo índice

a b a b

n ⋅n = ⋅n

Justificativa

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

a b a b (a b) a b

n n 1

n 1 n

1

n n

Exemplos

• ³4 2⋅³ =³4 2⋅ =³8 2=

• ²32=²2 16⋅ =²2 16⋅² =²2 4 4 2⋅ = ⋅² E.2. Divisão de radicais de mesmo índice

a

b a

b, b 0

n

n =n ≠

Justificativa a

b a

b

n n

1 n 1n

1n

)

n

(

= = =

Exemplo

• 16

2 16

2 8 2

3

3 ⋅=3 =3 =

E.3. Potência de raiz

a a

k

)

n

(

k n

)

( =

Justificativa

a (a ) a a

k n 1

k n n

k k n

( )

= = =

Exemplos

•

(

2

)

²= 2² =2

•

(

⁵2

)

²=⁵2² =⁵4 E.4. Raiz de raiz

a a

n k =k n^⋅

Justificativa

a a (a ) a a

k n 1

n 1

k 1

nk k n

= = = ^⋅ = ^⋅ Exemplos

• ² ³5=²³^⋅ 5=⁶5

• 3=²²^⋅ 3=⁴3

E.5. Simplificação de índice de raiz e expoente de radicando

a^p a

n =nk^⋅ p k^⋅

Justificativa

a^p a a a

n p

n p k nk nk p k

= = ^⋅^⋅ = ^⋅ ^⋅ Exemplo

• ⁶25=⁶5² =³²^⋅ 5¹²^⋅ =³5¹=³5 Observe, por outro lado, que:

25 5 5 5

6 =6 2 =6 2^÷ 2 2^÷ =3

Logo, em geral, pode-se simplificar alguns radicais aplicando: aⁿ ^p=^{n k}^÷ a^{p k}^÷ .

Exemplo

• ⁸16=⁸2⁴ =^{8 4}^÷ 2^{4 4}^÷ =²2¹ = 2

01. UECE

A expressão numérica 5 55 54 35 55 55 55 54 3³³³³³ 4 34 3−− ³³³³³16 é igual a:

a. ³1 458 b. ³729 c. 2 72 702 72 7³³ d. 2 32 382 32 3³³ Resolução

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅ =

⋅ −

⋅ − ⋅⋅ == ⋅⋅ == 5 5

5 54 54 5= ⋅= ⋅ 2 32 3⋅⋅ ==5 35 3⋅ ⋅⋅ ⋅ 2 12 1====== 5 25 25 25 25 25 2====== 3 1

= ⋅3 13 1

= ⋅ 6 36 3= ⋅= ⋅ 22 = ⋅= ⋅33 2 22 2⋅ =⋅ =

= ⋅3 23 2

= ⋅ 2 62 6= ⋅= ⋅ 2 52 5= ⋅= ⋅ 54 3 1− ⋅− ⋅3 13 16 15 2 6⋅⋅ 2 6−− ⋅⋅ 2 92 9== ⋅⋅ 22==

9 2⋅

9 2⋅ 1 458 5 53³

5 5 ³ ⋅⋅ ³³ == ³³³³2 12 15 25 2³³³³ 3 13³

3 1 ³22⁴⁴ 33 ³2 22 2³³

3 3

32 6 3

32 6 3 ³³³³5454 3 13 1³³³³

3 3

32 6 3

32 6 3 ³

9 2³ 9 2

3 3

39 2 3

39 2³ 3 39 29 23³ 3 39 29 2³ 3

Alternativa correta: A

APRENDER SEMPRE

1

(7)

7 211 Matemática 13 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-70

02.

Usando propriedades da radiciação, forme uma suces- são decrescente com os números reais 2 32 3 , 3 23 2 e 2.

Resolução

⋅ = ⋅ = =

= =

> >

⋅ > > ⋅ 2 3

2⋅ 3= 2⋅⋅ 3==

2⋅ 3= 2 32 3⋅ =⋅ = 12 12 3 2

3 2⋅ = 3 2⋅⋅ ==

3 2⋅ = 3 23 2⋅ =⋅ = 18 18 2 2

2= 2= 2== 2==

2= 2= 222 == 1116 18>> 1616>> 12 3 2

3 2⋅ >

3 2⋅⋅ >>

3 2⋅ >2222>>>> 2222⋅⋅⋅⋅ 3 2 32²

2 3 ⁴

3 22²

3 2 ⁴

2 1¹2

2 2 ^{1 4}^{1 4}^⋅^⋅ 222222^{1 4}^{1 4}^{1 4}^⋅^⋅^⋅^⋅ ⁴⁴111111

4 4

4 >4 >

418>4 >

418 4 ⁴

03.

Escrever na forma de um único radical e sem fatores externos a ele:

a. 3 53 5 b. 55555⋅⋅³³22222

c. 2

43

3

Resolução

a. 3 53 53 53 5⋅⋅⋅⋅⋅ ===== 333333²² ⋅⋅⋅⋅⋅ 555555===== 45

b. ⋅ = ⋅ =

= ⋅

= ⋅ =

5 2 5⋅ 2= 5⋅⋅ 2==

5⋅ 2= 5555 ⋅⋅⋅⋅ 2222 ====

= 125125⋅

= ⋅ 4 600

5 3³2

5 2 ^{2 3}^{2 3}^⋅^⋅ 555555^{1 3}^{1 3}^{1 3}^⋅^⋅^⋅^⋅ ⋅⋅^{3 2}^{3 2}^{3 2}^⋅^⋅ 222222^{1 2}^{1 2}^{1 2}^⋅^⋅ ==

6 6

6125 6

6125 6 ⁶

c. 2 === === =

3 2

3

16 3

3 4

4 4 4

=3³ =

= =³ ⁴ ¹²

F. Racionalização de denominadores

Racionalizar o denominador de uma fração significa transformar essa fração em outra sem radicais irracionais no denominador, para que o cálculo da divisão possa ser realizado evitando-se, quando fundamentais, aproximações e erros desnecessários. Em termos práticos, racionalizar um denominador significa eliminar o radical dele. Para racionalizar o denominador, é necessário multiplicar o numerador e o denominador da fração por um mesmo fator, obtendo, assim, uma fração equivalente à anterior, sem radicais no denominador. Esse fator é chamado fator de racionalização ou fator racionalizante.

F.1. Racionalização de denominador do tipo aⁿ ^k Para racionalizar uma fração com denominador aⁿ ^k , deve-se multiplicar o numerador e o denominador da fração por

a^{n k}

n − .

Justificativa b

a b

a a a

b a

a a b a

a b a

a

b a a

k

n n k

n n k n k n

n n k k

n n n k

n n k k n k n n k

n k n k n

n k n

n n

n k n

n n

n k n

( )

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

−

− + −

− − −

Exemplos

Racionalizar os denominadores:

a. 1

3 b. 2

4

3

Resolução a. 1

3 1

3 3

= ⋅ = 3 b. 2

4 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

3 3 2 3 2

3 3

3 3 2

3 3 3

3 3

) ) ( (

= = ⋅ = ⋅ = = =

F.2. Racionalização de denominador do tipo

(

^a⁺ ^{b ou}

) (

^a⁻ ^b

)

Para racionalizar uma fração com denominador a b

)

(

+ , deve-se multiplicar o numerador e o denominador da fração por

(

a− b

)

e vice-versa.

Justificativa

A ideia dessa racionalização tem seus fundamentos no produto notável:

(A + B) · (A – B) = A² – B² Observe:

c

a b

c

a b

c a b

a b a b

c a b

a b

c a b

a b

2 2

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

+ =

+ ⋅ −

− =

= ⋅ −

+ ⋅ − =

= ⋅ +

− = ⋅ +

−

A justificativa para denominador

(

a− b

)

é semelhan- te, sendo que o fator de racionalização será

(

a+ b .

)

Exemplos

Racionalizar os denominadores:

a. 1

2+ 3

b. 1

3− 2 Resolução

a. 1

2 3 1

2 3

4 3 2 3

2 2

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

+ =

+ ⋅ −

− =

= −

− = −

b. 1

3 2 1

3 2

3 2 3 2

2 2

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

⁻

( )

= − ⋅ +

+ =

= +

− = +

A racionalização permite fazer divisões com menor possibilidade de erros, sobretudo nas aproximações. Por exemplo, na fração 1

5 há a divisão de 1 por 5 =2,2360679774....

Como o denominador é um decimal infinito e não periódico, fica difícil saber qual é a melhor aproximação para 5 , mas, ao utilizar a fração equivalente 5

5 , não só teremos o trabalho facilitado como também conseguiremos melhor aproxi- mação.

(8)

7 211 Matemática 14 Matemátic a e suas T ecnologias

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01. UECE

Racionalize os denominadores e simplifique, se possí- vel, as frações.

a. 1

11 b. 5

25

4 c. 5 1

5 1 5 1+ 5 1 5 1− 5 1 Resolução

a. 1

11 1

11 11

= ⋅ 11

= ⋅ =

b. 5

25 5

5 5

5 5 55 5

5 5 5 55 5 5 5 55 5

5 25

4 4 2

4 2 2 4

4 2

5 5⁴ 5 5

2 2

5 5² ² 5 5

4

4 2

5 5⁴ 5 5

4 4

4 2

5 5⁴

5 5 4

= ⋅

= ⋅ = 5 55 55 55 55 55 5²²⋅⋅ ²² === === === c. 5 1

5 1

5 2 5 1 1 5 2 5 1

2

5 2² 2

5 2 ²

(

⁵ ¹

)

(

⁵ ² ¹

) (

⁵⁵ ²² ¹¹

) (

⁵⁵ ² ¹¹²

)

(

²

)

( )

(

^{5 1}

) (

^{5 1}

)

( )

(

^{5 1}

)

(

^{5 1}

) ( ( (

^{5 1}^{5 1}

) ) )

( )

(

^{5 1}

)

(

^{5 1}

) ( ( (

^{5 1}^{5 1}

) ) )

( )

(

^{5 1}

)

(

^{5 1}

) ( ( (

^{5 1}^{5 1}

) ) ) ( )

( )

⁵ ²

( )

⁵ ²

( ^{( )} )

( )

( ^{( )} )

(

⁵ ¹

)

( ^{( )}

⁵⁵ ¹¹

)

(

⁵ ¹

)

⁽⁽^{5 1}^{5 1}⁾⁾

5 1+ 5 1 5 1−

5 1=

( (

5 1^{5 1}5 1^{5 1}+

) ) (

5 1^{5 1}5 1−

)

(

^{5 1}

)

^⋅

( (

^{5 1}^{5 1}5 1^{5 1}+

) ) (

5 1^{5 1}5 1+

)

(

^{5 1}

)

⁼

( (

^{5 1}^{5 1}5 1^{5 1}+

) ) (

− ⋅− ⋅

) (

^{5 1}

) (

^{5 1}5 1− ⋅

)

(

^{5 1}

) ( (

^{5 1}^{5 1}5 1^{5 1}+

) )

⁼

= 55 + ⋅+ ⋅22 5 15 1⋅ +⋅ +

− ⋅

(

⁻

)

^⋅

(

⁵ ¹

)

(

⁵⁵ ⁻¹¹

)

^⋅

(

⁵ ¹²

) (

⁻ ²²

)

^⋅

(

²

)

^{= + ⋅}^{5 2}^{5 2 5 1}^{+ ⋅}⁽⁽^{5 1}^{5 1}^{5 1}^{5 1}⁻^{5 1}⁾⁾⁺ ⁼

6 2 5 4

2 3 5

4 33 55

2

) (

2 3

(

= + ⋅6 26 2+ ⋅ =2 32 32 32 3^{2 3}2 3^{2 3}⋅ +⋅ +⋅ +

( (

₌33+ 55

APRENDER SEMPRE

2

Os primeiros registros de que temos conhecimento en- volvendo ciências encontram-se em tabelas babilônicas, datadas de, aproximadamente, 1000 a.C., as quais apresen- tam potências de expoentes inteiros. Evidentemente, que ainda não era utilizada a notação dos nossos dias.

Na obra Arithmetica, de Diofante, há uso sistemático de uma simbologia para indicar potências de números e, segu- ramente, o autor já conhecia as mesmas leis ou propriedades das potências, no século III d.C.

Foi no século XIV d.C. que Nicole Oresme (bispo fran- cês) generalizou a teoria da proporção de Bradwardine, que incluía qualquer potência, inclusive as de expoentes racionais, e chegou muito perto de definir uma potência de expoente irracional. Provavelmente, foi a falta de uma no- tação mais simples a grande culpada por ele não ter obtido sucesso absoluto, mas a noção, a sensação da existência de potências de expoentes irracionais é mais um legado que devemos ao bispo Nicole Oresme.

Foi René Descartes (século XVIII) quem utilizou a nota- ção de função exponencial que adotamos hoje.

Afinal de contas, qual é o significado de uma potência irracional?

A definição de potências de expoente inteiro e expoente racional foram apresentadas, porém quanto vale 2π?

Embora a definição de potências de expoentes irracionais seja objeto de estudo apenas nos cursos superiores,

podemos ter ideia do seu significado fazendo aproximações sucessivas do número π, usando, para isso, números racionais. Note a sequência a seguir.

3 3,1 3,14 3,141 3,1415 3,14159 3,141592 3,1415926

2³ 2^3,1 2^3,14 2^3,141 2^3,1415 2^3,14159 2^3,141592 2^3,1415926

= 8

≈ 8,574187

≈ 8,815241

≈ 8,821353

≈ 8,824411

≈ 8,824962

≈ 8,824974

≈ 8,824977

π 2π ≈ 8,824978

Os valores podem ser encontrados com a ajuda de uma calculadora científica ou de uma planilha de cálculo.

Perceba que, quando o expoente tende a π, o resulta- do da potência tende a ser 8,824978 e, conforme melho- ramos a aproximação do número π, vamos encontrando cada vez mais “casas” decimais fixas, o que nos permite dizer que, quanto mais aproximarmos o expoente do valor verdadeiro de π, mais a potência se aproximará de seu valor verdadeiro.

(9)

7 211 Matemática 15 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-70

2. Organizador gráfico

Características Apenas

texto

Tema Tópico Subtópico Subtópico destaque

Radiciação Propriedades de

radiciação Propriedades de

potenciação

Potenciação

n

a = b

Índice

Sinal

radical Radicando

raiz n-ésima

de a

(10)

7 211 Matemática 16 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-70

01.

Dê o valor de:

a. 64 b. ³27 c. ⁸256 d. ³−27 e. ⁴0

Módulo 37

Potenciação e radiciação – Parte II

Exercícios de Aplicação

02.

Nas frações a seguir, escrever os denominadores que es- tão na forma de potências com expoente fracionário usando radicais e, em seguida, racionalizar os denominadores. Quan- do possível, simplificar as frações.

a. 1 29¹² b. 10 10²³

c. 1

13¹²−5¹² Resolução

a. 64 8= , pois 8² = 64 b. ⁸256 2= , pois 2⁸ = 256 c. ³27 3= , pois 3³ = 27 d. ³− = −27 3, pois (3)³ = 27 e. ⁴0 0= , pois 0⁴ = 0

Resolução a. 1

29 1

29 29

29

12= = ⋅ =

b. 10 10

10

10 10

10 10 10

10 10

23 3 2 3 2

3 3 3

3 3

= = ⋅ =

= = =

c. 1

13 5

1

13 5

1

13 5

13 5 13 5

8

1

2 1

2

2 2

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

− = − =

= − ⋅ +

+ =

= +

− = +

(11)

7 211 Matemática 17 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-70

03. ESA-RJ

Simplificando 2 8 4 18− + 32, obtemos:

a. + 2 b. − 8 c. + 8 d. −4 2 e. −2 2

Exercícios Extras

04. UCSal-BA

Se x 3 3 1

3 3 1

= − + + − −3 3, então:

a. x ≥ 5 b. 3 ≤ x < 5 c. 1 ≤ x < 3 d. 0 ≤ x < 1 e. x < 0

05.

Escrever os radicais a seguir, usando potência de expoente fracionário com a menor base positiva.

a. 32 b. ³81 c. ¹⁰2 d. ⁵49 e. ⁴5 Resolução

2 8 4 18 32

2 2 2 4 3 2 4 2 4 2 12 2 4 2

8 2 12 2 4 2

− +

= ⋅ − ⋅ +

= − +

= − = −

Alternativa correta: D Habilidade

Efetuar operações utilizando as propriedades das potên- cias e raízes.

(12)

7 211 Matemática 18 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-70

Seu espaço

Sobre o módulo

O estudo sobre radiciação realizado neste módulo é, em princípio, revisão, no entanto, é possível que, para muitos alunos, o assunto ainda continue complexo e as operações com raiz ainda sejam complicadas.

Este é um conteúdo relativamente extenso. Dessa forma, como sugestão, divida a apresentação em partes:

a. Apresente a definição de raiz n-ésima e, em seguida, proponha o exercício de aplicação 1.

b. Apresente as propriedades, considerando que poderá não haver tempo para demonstrá-las. Caso isso ocorra, será preciso apenas apresentá-las e, em seguida, propor o exercício de aplicação 3.

c. Por fim, desenvolva o estudo sobre a racionalização e, em seguida, proponha o exercício de aplicação 2.

O tempo é um dos fatores que poderá interferir no desenvolvimento do conteúdo, sendo necessário organizar-se previamente para desenvolver, com segurança, todo o conteúdo do módulo.

Bom trabalho!

Na web

<http://matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=12&tipo=2>.

Nesse site, há um link em que é resolvido, em vídeoaula um problema da OBMEP que envolve propriedades da radiciação.

Estante

BOYER, Carl B. História da matemática. São Paulo: Edgar Blücher.

(13)

7 211 Matemática 19 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-70

Exercícios Propostos

Da teoria, leia os tópicos 1A, B, C, D, E e F.

Exercícios de tarefa reforço aprofundamento

06.

Dê o valor de:

a. 121 b. ⁵243 c. ³64 d. ³−64 e. ¹⁰1 07.

Escrever as potências de expoente fracionário a seguir usando a notação de radiciação com radicando inteiro.

a. 5²³ b. 7¹² c. 8¹⁵ d. 11⁵² e. 2^0,1 08.

Nas frações a seguir, racionalize os denominadores e, quando possível, simplifique as frações.

a. 1 31 b. 12

8

5

c. 6

5+ 3 09. UnB-DF

Se P 1

7 5,Q 1

8 5,R 5 8

= − = − = 3+ então:

a. P < Q < R b. P < Q, Q < R c. P > Q > R d. P > Q = R e. Q > P = R 10.

Dê o valor de:

a. 100 b. ⁴625 c. ³1000 d. ³−1000 e. ¹100

11.

Escrever os radicais a seguir usando potência de expoente fracionário com a menor base positiva.

a. 125 b. ³100 c. ⁸8 d. ⁵121 e. ¹⁰11 12. UFV-MG A expressão 7

7 a a a+ − , em que a é um número positivo, equivale a:

a. 7

b. 7 a+ + a c. 7 d. 7 7 e. 1

13. Fuvest-SP

+ =

2 3

3 14.

Encontre o valor da expressão E= 2 7 2 7 2 7 ...

15. UTF-PR

A expressão 5⁴ ⋅ 5⋅⁴5⋅³5 é igual a:

a. ³5 b. 5 5³ c. ⁴5 d. 5 5⁴ e. 5 16. Unifesp

Se 0 < a < b, racionalizando o denominador, tem-se que:

1

a b b a

+ = b a− Assim, o valor da soma−

1

1 2 1

2 3 1

3 4 ... 1

999 1000

+ + + + + + + + é:

a. 10 10 1− b. 10 10 c. 99

d. 100 e. 101

(14)

WATCHARAKUN/SHUTTERSTOCK

1. Equação exponencial 22 2. Equação exponencial

com variável auxiliar 23 3. Função exponencial 23 4. Inequação exponencial 28 5. Organizador gráfico 30 Módulo 38 – Equação exponencial 31 Módulo 39 – Equação exponencial com variável auxiliar 34 Módulo 40 – Função exponencial 37 Módulo 41 – Inequações exponenciais 41

• Resolver uma equação exponencial.

• Reconhecer a função exponencial e suas propriedades relativas ao crescimento ou decrescimento.

• Construir o gráﬁ co de uma função exponencial.

• Identiﬁ car uma função exponencial com base em seu gráﬁ co.

• Resolver uma inequação exponencial.

• Determinar uma função exponencial do tipo f(x) = k.

• Resolver problemas que envolvam função exponencial.

(15)

WATCHARAKUN/SHUTTERSTOCK

21

Há diversas aplicações para o que chamamos, na matemática, de função exponencial. Podemos, por exemplo, citar os cálculos de meia-vida em material radioativo, importantes para se conhecer o tempo necessário para que a massa do material caia pela metade; a estimativa populacional a partir de determinada data, em que podemos estimar a população futura; os cálculos de juros e parcelas em investimentos e empréstimos dos quais podemos ter ideia do retorno de um investimento ou quanto custará o total de um empréstimo contraído; a cultura de bac- térias, em que, a partir de determinada data, podemos estimar o número de bactérias e, por meio dessa análise, desenvolver medicamentos, além de várias outras situações aplicadas a diversas áreas do conhecimento. Neste capítulo, desenvolveremos um estudo sobre equação, inequação e função exponencial, relacionando este estudo a algumas dessas situações descritas.

Função exponencial 12

(16)

12 211 Matemática 22 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-70

1. Equação exponencial

A. Introdução

As equações em que a incógnita aparece somente em expoentes de potências são denominadas de equações exponen- ciais. O primeiro passo a ser dado na direção da resolução de uma equação exponencial é conseguir uma igualdade de potên- cias na mesma base, nas quais se pode aplicar uma propriedade que, dentro de determinadas condições, garante a igualdade dos expoentes. Caso não se consiga a igualdade de potências de mesma base, isto é, se a igualdade ocorrer com bases dis- tintas, será necessário recorrer a um recurso, denominado de logaritmo, que será explorado posteriormente neste curso.

B. Propriedade

Dado um número real b positivo e distinto de 1, com α e β pertencentes ao conjunto dos números reais, tem-se a seguinte equivalência.

b^α = b^β ⇔ α = β Justificativa

Há duas situações a se mostrarem:

I. α = β ⇒ b^α = b^β, que é imediata.

II. b^α = b^β ⇒ α = β

b b b

b b

b b 1

= ⇒ = ⇒ =

α β α

β β

β α−β

Como a base b é diferente de 1, a única possibilidade para o expoente de b fornecer uma potência igual a 1 é ter o expoente igual a zero.

Assim, α – β = 0 e α = β

Dessa forma, (I) (II) justificam a propriedade.

Na prática, toda vez que houver uma igualdade de potên- cias na mesma base, com a base positiva e diferente de 1, os expoentes serão iguais.

C. Resolução de equação exponencial simples Uma equação exponencial é dita simples se estiver na forma: b^f(x) = b^g(x), em que b é real, positivo e diferente de 1 e f(x) e g(x) são imagens de funções de variável x.

Para resolver b^f(x) = b^g(x), aplica-se a propriedade anterior, recaindo na equação f(x) = g(x), a qual será resolvida por mé- todos previamente conhecidos.

Exemplo

Resolver, em IR, a equação 2^x = 2⁵. Resolução

2^x = 2⁵

Aplicando a propriedade, segue que:

x = 5 S = {5}

Nem sempre a equação exponencial se apresenta na forma imediata b^f(x) = b^g(x). Há situações em que serão necessá- rios procedimentos aritméticos para conseguir esse tipo de igualdade. Dentre os procedimentos aritméticos, destacam-se a necessidade de decompor um número em fatores primos, a aplicação de propriedades de potenciação/radiciação, a utili- zação nos dois membros da igualdade de adição, subtração, multiplicação e divisão de um mesmo número não nulo etc.

Há também as equações que necessitam do auxilio de outra variável, as quais serão analisadas no próximo item.

Exemplos

1. Resolver, em IR, a equação 2^{x – 5} = 64.

Resolução 2^{x – 5} = 64

Inicialmente, é necessário decompor o número 64 em fatores de 2.

64 = 2⁶

Substituindo na equação original, vem que:

2^{x – 5} = 2⁶

x – 5 = 6 ⇒ x = 11 ⇒ S = {11}

2. Resolver, em IR, a equação 2⁶ ^x=128 Resolução

2^x 128

6 =

Como a intenção é conseguir uma igualdade de potências na mesma base, é preciso escrever 2⁶ ^x e 128, na forma de potência, que no caso é de base 2.

2^x 2

6 x

= 6 ⇒ 128 = 2⁷

Substituindo essas potências na equação original, tem-se:

2^x⁶=2⁷

x

6=7⇒ x = 42 ⇒ S = {42}

3. Resolver, em IR, a equação 2^{x + 1} + 2^x = 48 Resolução

2^{x + 1} + 2^x = 48

O membro da esquerda apresenta 2^{x + 1} + 2^x. Aqui, é ne- cessária a aplicação de propriedades de potenciação em 2^{x + 1}.

2^{x + 1} = 2^x · 2¹ = 2 · 2^x

Substituindo na equação original, segue que:

2 · 2^x + 2^x = 48

Agora, pode-se somar os termos semelhantes no membro da esquerda, ficando:

3 · 2^x = 48

Dividindo ambos os membros por 3, temos:

2^x = 16

Como 16 = 2⁴, vem que:

2^x = 2⁴

Aplicando a propriedade, encontramos o valor de x:

x = 4 ⇒ S = {4}

01. Cesgranrio-RJ

Se 8^x = 32, então x é igual a:

a. 5 2 b. 5 3

c. 3 5 d. 2 5

e. 4

Resolução

8^x = 32 ⇒ (2³)^x = 2⁵

⇒ 2^3x = 2⁵

⇒ 3 · x = 5 x 5=3

Alternativa correta: B

APRENDER SEMPRE

3

(17)

12 211 Matemática 23 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-70

02.

Resolva, em IR, a equação: 2^{x + 1}+ 2^{x – 2}+ 2 ^{x + 3} = 328 Resolução

2 2 2 328

2 2 2

2 2 2 328

2 2 2

4 8 2 328

8 2 2 32 2

4 328

41 2

4 328

2 4 328

2 3241

2 2 x 5

S {5}

2x 1^{x 1} 2 2 2^{x 2} ^{x 3}

x 1

2 2^x ¹

2 2 ₂^x 2 22 2^x^x ³³

x x

x

x 2 3x

x 2 3x ^x

x

2^x 3

2 3

x 5

2^x 2⁵

2 2

+ +

2 +2 +

2 +2^{x 2}^{x 2}+ =

⋅ + 2 2⋅ + 2 2^x^x⋅ +¹¹ 2 2^x ¹ 2 2⋅ + 2 2^x ¹

2 2 + ⋅+ ⋅+ ⋅2 22 22 22 22 22 2^x^x ³³=

⋅ + 2 2⋅ +

2 2⋅ +^x^x + ⋅+ ⋅8 28 2 =

⋅ + 8 2⋅ +

8 2⋅ +^x^x 2 32 32 2^x^x+ ⋅+ ⋅+ ⋅2 2

=

⋅ =

= ⋅ 2 =3

2 3

= ⇒ 2 = ⇒2 2^x^x= ⇒2⁵⁵ 2^x 2⁵ 2 = ⇒2 2^x 2⁵ 2 2 x 5x 5= S {=

S {

+ −

2⁺ 2⁻

2 2

2^{x 1} 2 2⁺ 2⁻ 2^{x 1} 2 2⁺⁺ ++2^{x 2}^{x 2}⁻⁻ ++

2 +2 +

2⁺ 2⁻

2 +2 +

2⁺ ++2^{x 2}^{x 2}^{x 2}^{x 2}⁻ ++ ^{x 3}^{x 3}⁺

2. Equação exponencial com variável auxiliar

Existem equações que necessitam de variável auxiliar para facilitar sua resolução.

Para apresentar esse procedimento, retornaremos ao exemplo em que se usou a equação 2^{x + 1} + 2^x = 48 e a resolve- remos de outra forma.

Exemplo

Resolver, em IR, a equação 2^{x + 1} + 2^x = 48 Outra resolução por meio de variável auxiliar:

2^{x + 1} + 2^x = 48

Como 2^{x + 1} = 2^x · 2¹ = 2 · 2^x , temos:

2 · 2^x + 2^x = 48

Agora, substituiremos 2^x pela variável t, sendo este o significado de fazer uma mudança para uma variável auxiliar.

2 · t + t = 48

Somando os termos semelhantes no membro da esquerda, fica:

3 ·t = 48

Dividindo ambos os membros por 3, segue que:

t = 16

Substituindo t por 2^x, fica:

2^x = 16

Como 16 = 2^x, vem que:

2^x = 2⁴

Aplicando a propriedade, encontramos o valor de x:

x = 4 S = {4}

Nessa outra forma de resolução, recorremos à substitui- ção de 2^x por outra variável, no caso a variável t.

Outra situação em que a variável auxiliar é útil se aplica no exemplo a seguir.

Exemplo

Resolver, em IR, a equação 2^2x – 10 · 2^x + 16 = 0 Resolução

2^2x – 10 · 2^x + 16 = 0

Observe que, utilizando uma das propriedades de poten- ciação, pode-se escrever 2^2x de duas maneiras diferentes, como segue:

2^2x = (2²)^x = (2^x)²

Como queremos fazer uma substituição de variável, é conveniente usar 2^2x igual a (2^x)², pois já há um termo 2^x na equação. Substituindo na equação original, temos:

(2^x)² – 10 ·2^x + 16 = 0

Fazendo a mudança de variável de 2^x por t, vem que:

t² – 10 · t + 16 = 0

O problema recai em uma equação do 2^o grau.

t² – 10 · t + 16 = 0 S 10

P 16

t 2

ou

t 8

1

}

2

== ⇒ =

=







Encontramos dois valores para o t e, como t é igual a 2^x, encontramos duas equações exponenciais simples.

2^x = 2(I) ou 2^x = 8(II) Resolvendo a equação (I):

2^x = 2 ⇒ 2^x = 2¹ x = 1

Resolvendo a equação (II):

2^x = 8 2^x = 2³ x = 3 S = {1, 3}

01. Uespi

O conjunto solução da equação 2^2x = 3 · 2^x – 2 é:

a. {0}

b. {–1, 0} c. {0, 1}

d. {1} e. {–1}

Resolução 2^2x = 3 · 2^x – 2 (2^x)² = 3 · 2^x – 2 Considerando 2^x = y y² = 3 · y – 2 y² – 3 · y + 2 = 0

S 3 P 2

y 1 y 2ou S 3= S 3 P 2= P 2













y 1= y 1 y 2= y 2 2^x = 1 ou 2^x = 2 2^x = 2⁰ ou 2^x = 21 x = 0 ou x = 1 S = {0; 1}

Alternativa correta: C

APRENDER SEMPRE

4

3. Função exponencial

A. Introdução A.1. Fissão nuclear

O processo de fissão (ou cisão) nuclear é usado em alguns tipos de reatores nucleares e nas bombas atômicas. Ele libera grande quantidade de energia.

(18)

12 211 Matemática 24 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-70

Na fissão nuclear do urânio, um nêutron se choca contra o núcleo do átomo, que se torna instável, ocorrendo a divisão em dois novos átomos (criptônio e bário), liberando muita energia e três nêutrons.

235U

236U

92Kr

141Ba

Na reação em cadeia, cada um dos três nêutrons volta a se chocar com outro núcleo de urânio, que, por sua vez, de- sintegra-se, emitindo três nêutrons e assim sucessivamente.

Podemos visualizar esse processo no diagrama a seguir:

1^o choque

2^o choque

Observe, na tabela a seguir, que o número de nêutrons obtidos após cada choque é sempre uma potência de base três.

Número de nêutrons emitidos após o:

1ô choque 3¹ = 3 2ô choque 3² = 9 3ô choque 3³ = 27

..

.

14^o choque 3¹⁴ = 4 782 969 .

. .

21^o choque 3²¹ = 10 460 353 203

Podemos generalizar, tendo em vista que o número de nêutrons (y), após o n-ésimo(n) choque, é dado por y = 3ⁿ.

Este problema ilustra uma das possíveis aplicações de função exponencial.

É importante compreender a estrutura da função exponencial e saber analisar os gráficos, bem como entender igualdades e desigualdades que envolvem elementos do do- mínio e suas respectivas imagens, como ocorrem em equa- ções e inequações.

B. Definição

A função exponencial tem como domínio e contradomínio o conjunto dos números reais, e, a cada elemento x do do- mínio, associa-se um único elemento f(x) ao contradomínio dado por f(x) = b^x, em que b ∈ , b > 0 e b ≠ 1.

Pode-se representar matematicamente essa função usando a seguinte notação:

f: ⇒

x f(x) = b^x, b ∈ , b > 0 e b ≠ 1 Exemplos

A seguir, x ∈ e f(x) ∈ a. f(x) = 5 · 3^x b. f x 1

4

)

x

(

)

( =

c. f(x) = 5^x d. f x( )=

(

2

)

^x

É importante destacar que outras funções podem ser for- madas a partir das funções exponenciais f(x) = b^x.

Exemplos

Em cada caso a seguir, considerar que x ∈ e f(x) ∈ a. f(x) = 5 · 3^x

b. f x 1 4

)

^x 1

(

)

( = +

c. f x( )= ⋅ +3 5 2^x d. f x( )=

(

2

)

^{x 2}⁺

01. Ufla-MG

Considerando a função real definida por f(x) = 10^x, não é verdade que:

a. f(0) = 1 b. f(–3) = 0,001 c. f(a + b) = f(a) + f(b) d. f(x) = 100 para x = 2 e. f a b f a

) f b) (

f a(

f a f bf b(( ) ( f a(

− =b f a

− =b)

− =) Resolução

a. Verdadeiro, pois f(0) = 10 = 1 b. Verdadeiro, pois f(–3) = 10^–3 = 0,001

c. Falso, pois f(a + b) 10^{a + b} = 10^a · 10^b ≠ 10^a + 10^b d. Verdadeiro, pois 100 = 10x ⇔ x =2

e. Verdadeiro, pois f(a – b) = 10^{a – b} = 10 10

f(a) f(b)

a b= Alternativa correta: C

APRENDER SEMPRE

5

(19)

12 211 Matemática 25 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-70

02. Fuvest-SP

Seja f(x) = 2^{2x + 1}. Se a e b são tais que f(a) = 4f(b), pode-se afirmar que:

a. a + b = 2 b. a + b = 1 c. a – b = 3

d. a – b = 2 e. a – b = 1 Resolução

f(x) = 2^{2x + 1} f(a) = 4 · f(b) 2^{2a + 1} = 4 · 2^{2b + 1} 2 2

2 2⋅ ^2a=4 24 2 2^2b 2 2⋅ = 2 2⋅ ^2a^2a=4 24 24 24 2⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ 2^2a = 2² · 2^2b 2^2a = 2^{2b + 2} 2^a = 2^{b + 2} a = b + 1 a – b = 1

Alternativa correta: E 03. Vunesp

Duas funções, f(t) e g(t), fornecem o número de ratos e o número de habitantes de uma certa cidade em função do tempo t (em anos), respectivamente, num período de 0 a 5 anos. Suponha que, no tempo inicial (t = 0), existiam nessa cidade 100 000 ratos e 70 000 habitantes, que o número de ratos dobra a cada ano e que a população humana cresce 2 000 habitantes por ano. Pede-se o seguinte:

a. as expressões matemáticas das funções f(t) e g(t);

b. o número de ratos que haverá por habitante, após 5 anos.

Resolução

a. Do enunciado, temos que a população inicial de ratos (t = 0) é de 100 000 e dobra a cada ano. Para encontrarmos uma expressão matemática que rela-

cione a população de ratos com o número de anos, generalizaremos o raciocínio demonstrado na tabela a seguir.

t(anos) f(t) (população de ratos) 0 100 000 = 100 000 · 2⁰

1 100 000 · 2 = 100 000 · 2¹ 2 (100 000 · 2) · 2 = 100 000 · 2² 3 (100 000 · 2²) · 2 = 100 000 · 2³ De acordo com a tabela, podemos induzir que f(t) = 100 000 · 2^t.

Em relação à população de homens, que inicialmente (t = 0) é de 70 000 habitantes e, a cada ano, tem au- mento de 2 000 habitantes, considere a tabela a seguir.

t(anos) g(t) (população de homens)

0 70 000

1 70 000 + 2 000 = 70 000 + 1 · 2 000

2 (70 000 + 2 000) + 2 000 = 70 000 + 2 · 2 000 3 (70 000 + 2 · 2 000) + 2 000 = 70 000 + 3 · 2 000

Considerando a tabela, pode-se induzir que:

g(t) = 70 000 + 2 000 · t.

b. Após 5 anos, temos:

f(5) = 100 000 · 2⁵ = 3 200 000 g(5) = 70 000 + 2 000 · 5 = 80 000 Assim, 3200000 ratos

80000 habitantes=40 ratos por habitante. Resolução

a. f(t) = 100 000 · 2^t e g(t) = 70 000 + 2 000 · t b. 40 ratos por habitante

C. Leitura complementar

C.1. O porquê de não adotarmos as bases negativas, nulas ou iguais à unidade nas funções exponenciais.

Na função f(x) = b^x, impomos como condição que b > 0 e b ≠ 1.

Isso se faz necessário porque:

• se b fosse um número negativo, não teríamos imagem real para x 1

=2 , por exemplo, mas teríamos para x = 2;

• se b = 0, não teríamos imagem real para x = – 1, por exemplo;

• se b = 1, a função f(x) = b^x nos levaria sempre a y = 1, sendo, portanto, uma função constante.

Em razão da grande variedade de situações que teríamos de analisar, restringimos as bases da função exponencial, adotan- do as condições já citadas.

C.2. Aplicações

Crescimento populacional

O crescimento natural de uma população pode ser modelado matematicamente, por meio de uma função exponencial.

Por exemplo, dada uma população N₀ de bactérias no instante t = 0, o número N(t) de bactérias de uma população em um instante t é dado por:

N(t) = N₀ · e^{kt ,}

em que e é o número de Euler (e é um número irracional e vale, aproximadamente, 2,72) e k é uma constante que depende do número inicial de bactérias.