INTRODUÇÃO:
1. PROPOSIÇÃO:
Definição: É todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, ou seja, toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa.
Toda proposição apresenta três características básicas:
1ª ) Sendo oração, tem sujeito e predicado;
2ª ) É declarativa (não é exclamativa nem interrogativa);
3ª ) Tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (V) ou é falsa(F)
Ex.: São proposições:
(a) Nove é diferente de cinco. (9 5) (b) Sete é maior que três. ( 7 > 3) (c) Dois é um número inteiro. ( 2 Z) (d) Três é divisor de 11. ( 3|11)
(e) Quatro vezes cinco é igual a vinte. (4.5=20)
Dessas proposições, todas são verdadeiras exceto a d
Obs.: A lógica matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois princípios (Lógica Bivalente) seguintes :
(I) PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição não pode ser verdadeira ou falsa ao mesmo tempo.
(II) PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
2. PROPOSIÇÃO SIMPLES E COMPOSTAS:
Proposição simples (ou atômica) é aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.
Ex.:
p: Carlos é careca.
q: O número 25 é quadrado perfeito.
Proposição composta (ou molecular) é aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições.
Ex.:
P: Carlos é careca e Pedro é estudante Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante S: Se Carlos é careca, então é infeliz.
3. CONECTIVOS
Definição: Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras.
Assim, por exemplo, nas seguintes proposições compostas:
P : O número 6 é par e o numero 8 é cubo perfeito.
Q: O triângulo ABC é retângulo ou é isósceles.
R: Não está chovendo.
S: Se Jorge é engenheiro, então sabe Matemática.
T: O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo.
São conectivos usuais em lógica matemática:
“e”, “ou”, “não”, “se ... então...” e “... se e somente se ...”
4. TABELA-VERDADE
Segundo o princípio do terceiro excluído, toda proposição p é verdadeira ou é falsa, isto é , tem valor lógico V (Verdade) ou valor Lógico F (Falsidade)
p V F
O Valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinados.
p
V
F
Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas proposições simples são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são:
Observe que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F
No caso de uma proposição composta cujas proposições simples são p, q e r, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p , a q e a r são:
Observe que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q, e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF,VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF são os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F
5. NOTAÇÃO
V(p) ... O valor lógico de uma proposição simples p
V(p) = V ... Exprimir que a proposição p é verdadeira (V) V(p) = F ... Exprimir que a proposição p é falsa (F)
EXERCÍCIO
1. Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
(a) O número 17 é primo.
(b) Fortaleza é a capital do Maranhão.
(c) Tiradentes morreu afogado.
(d) (3 + 5)2 = 32 + 52 (e) -1 < -7
(f) 0,131313... é uma dizima periódica simples.
(g) O produto de dois números impares é um número ímpar.
(h) As raízes da equação x3 – 1 = 0 são todas reais.
(i) O número 125 é cubo perfeito.
(j) 0, 4 e -4 são as raízes da equação x3 -16x = 0.
(k) Todo número divisível por cinco termina por 5.
