Sumário e Objectivos. Método dos Elementos Finitos 11ªAula e 12ªAula. Novembro

Sumário e Objectivos

Sumário: Dependência do Tempo. Equações de

Equilíbrio. Matriz de Massa para alguns Elementos.

Vibrações Livres e Forçadas. Métodos de Resolução das Equações Diferenciais de Equilíbrio.

Objectivos da Aula: Apreensão dos Aspectos mais

relevantes para efeitos de análise de Problemas que

envolvam Vibrações e Solicitações Dinâmicas no

contexto do Método dos Elementos Finitos.

Aplicações

Princípio dos Trabalhos Virtuais

T T

V

T T n T

i i 1 i

V S

c dV

dV dS u F

=

ρ =

⎡ δ δ δ ⎤

∫ ⎣ ⎦

= ∫ δ + ∫ δ + ∑ δ u + u +

u u

B F

u u

ε σ

Trabalho realizado pelas Forças Exteriores iguala o trabalho absorvido pelas forças de Inércia, de amortecimento e

esforços internos.

B representa as forças de Volume, F representa as forças de

δu deslocamento Virtual

ρ massa específica c parâmetro de Amortecimento

Discretização por Elementos Finitos

=

u = Nd u = Nd u = Nd = Bd ε σ D ε

T T

T

V V V

T n

i 1 i

V S

dV c dV dV

dV dS F

=

⎡ ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ + ⎛ ρ ⎞ ⎤ =

δ ⎢ ⎣ ⎜ ⎝ ∫ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ∫ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ∫ ⎟ ⎠ ⎥ ⎦

⎡ ⎤

= δ ⎢ ⎣ ∫ + ∫ + ∑ ⎥ ⎦

B DB

d N N d N N d

d

N B N F d

T T

e e

V V V

ext n i

e e

V V i 1

dV = c dV = dV

dV dV F

=

= ∫ ∫ ∫ ρ

= ∫ + ∫ + ∑

T

e

T T

K B DB C N N M N N

F N b N F

Discretização por Elementos Finitos

ext

e e e e

K d + C d + M d = F

Sendo:

K = (∑) K

, C= (∑) C

, M= (∑) M

, Δ= (∑) d

e F

= (∑) F

obtém-se

ext

K Δ + C Δ + M = F Δ

Matrizes de Massa

Elemento Triangular Linear

d 0 d d d

=

∫

∫ ∫

∫

M N N N N N N

e e e

T t T T

e

V A A

V z A t A

ρ ρ ρ

1 2 3

1 2 3

Nó 1 Nó 2 Nó 3

N 0

N 0 N 0

0 N

0 N 0 N

⎤

= ⎡⎢ ⎥

⎣ ⎦

N

x, u y, v

1 (x1, y1) (u1, v1)

2 (x2, y2) (u2, v2) 3 (x3, y3)

(u3, v3) A

fx

fy

1 2 3 2 3 2 2

e

N = 1 [(y - y )(x - x ) + (x - x )(y - y )]

2A

2 3 1 3 1 3 3

e

N = 1 [(y - y )(x - x ) + (x - x )(y - y )]

2A

3 1 2 1 2 1 1

e

N = 1 [(y - y )(x - x ) + (x - x )(y - y )]

2A

Matrizes de Massa

Elemento Triangular Linear

1 1 1 2 1 3

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

3 1 3 2 3 3

N N 0 N N 0 N N 0

0 N N 0 N N 0 N N

N N 0 N N 0 N N 0

0 N N 0 N N 0 N N d

N N 0 N N 0 N N 0

0 N N 0 N N 0 N N

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫

M

e

e

A

tρ A

e

2 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 2 0 1 0 M tA

2 0 1 12

sim. 2 0

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ρ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

m n p

1 2 3

A

m!n!p!

N N N dA 2A

(m n p 2)!

∫ = + + +

Elemento Rectangular Linear

1 (−1, −1) 2 (1, −1) 3 (1, +1) 4 (−1, +1)

η

ξ

1 2 3 4

3

1 2 4

Nó 2 Nó 3

Nó 1 Nó 4

0 0 0 0

0

0 0 0

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

N

N

N N N

N

N N N

j 14 j j

N = (1 + ξ ξ + η η )(1 )

T t T

e 0

V A

1 1

T T

1 1

A

dV dx dA

t dA ₋⁺ ₋⁺ abt d d

= ρ∫ = ∫ ∫ ρ =

= ρ∫ = ∫ ∫ ρ ξ η

M N N N N

N N N N

x, u y, v

1 (x1, y1) (u1, v1)

2 (x2, y2) (u2, v2) 3 (x3, y3) (u3, v3)

2a 4 (x4, y4) (u4, v4) 2b

η ξ

x a , y b

ξ = η =

Elemento Rectangular Linear

e

4 0 2 0 1 0 2 0

4 0 2 0 1 0 2

4 0 2 0 1 0 4 0 2 0 1 tab

4 0 2 0 9

4 0 2

sim. 4 0

4

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

ρ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

M

Elemento Linear Isoparamétrico Plano

2 (x₂, y₂) y

x 1 (−1, −1) 2 (1, −1) 3 (1, +1) 4 (−1, +1) η

ξ 3 (x3, y3)

4 (x₄, y₄)

1 (x₁, y₁)

( , ) = ( , )

u

ξ η N ξ η d

x ( , ) ξ η = N ( , ) ξ η x

Elemento Linear Isoparamétrico

T t T T

e 0

V A A

1 1 T

1 1

dV dx dA t dA

t det d d

+ +

− −

= ρ ∫ = ∫ ∫ ρ = ρ ∫

= ∫ ∫ ρ ξ η

M N N N N N N

N N J

Matriz de Massa

Elemento Hexaédrico de 8 Nós

1 i 8

1 i 8

1 i 8

N 0 0 N 0 0 N 0 0

0 N 0 ... 0 N 0 ... 0 N 0

0 0 N 0 0 N 0 0 N

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

N

i i i

u

v ( 1, 2, ,8) w

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ⎨ ⎬ =

⎪ ⎪⎩ ⎭

d_ei i "

1

7

5 8

6 4

2 0

z

y x

3

) 1

)(

1 )(

1 8 ( 1

i i

i

N

= + ξξ + ηη + ζζ

Elemento Hexaédrico

1 1 1

1 1 1

d det d d d

− − −

=

∫

∫ ∫ ∫

M N N N N [J]

e

T T

e V

ρ V ρ ξ η ζ

det [J] = abc = V

1 1 1

ij 1 1 1 i j

i j

1 1 1

i j

1 1 1

i j

i j

1 1 1

i j

1 1 1

M abc d d d

N 0 0 N 0 0

abc 0 N 0 0 N 0 d d d

0 0 N 0 0 N

N N 0 0

abc 0 N N 0 d d d

− − −

− − −

− − −

= ∫ ∫ ∫ ρ ξ η ζ

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ρ ∫ ∫ ∫ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ξ η ζ

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ρ ∫ ∫ ∫ ⎢ ⎥ ξ η ζ

Sub - matrizes

Elemento Hexaédrico Matriz de Massa

sendo

ij

ij ij

ij

M 0 0

M 0 M 0

0 0 M

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Ou seja:

1 1

ij 1 1 i j

1 1 1

i j i j i j

1 1 1

1 1 1

i j i j i j

3 3 3

M abc N N d d d

abc (1 )(1 )d (1 )(1 )d (1 )(1 )d

64

hab(1 )(1 )(1 )

8

+ +

− −

+ + +

− − −

= ρ ∫ ∫ ξ η ζ

= ρ ∫ + ξ ξ + ξ ξ ξ∫ + η η + η η η∫ + ζ ζ + ζ ζ ζ

= ρ + ξ ξ + η η + ζ ζ

Elemento Hexaédrico

Matriz de Massa (direcção x)

ex

8 4 2 4 4 2 1 2 8 4 2 2 4 2 1 8 4 1 2 4 2 8 2 1 2 4 M abc

8 4 2 4 216

8 4 2

sim. 8 4

8

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

ρ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Elemento de Placa de Mindlin com 4 Nós

,

, ⁴

1 4

1 4

1 i yi

i i y

x i i

x i

i i

N N

w N

w

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

) 1

)(

1

4

(

1

ξ

ξ η

η

N

= + +

sendo

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

Nó 1 Nó 2 Nó 3 Nó 4

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

N

N N N N

N N N N

N N N N

Matriz das Funções de Forma

Matriz de Massa

Elemento de Placa de Mindlin de 4 Nós

T

d

= ∫

M N I N

e

e A

A

3

3

0 0

0 0

12

0 0

12

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

I

t

t

t ρ

ρ

ρ

Matriz de Amortecimento

= α + β

C K M

A existência de amortecimento implica a diminuição da amplitude de vibração com o tempo. O Amortecimento

pode ser provocado ou estar inerente ao problema em causa.

Em muitos problemas o amortecimento é suficiente

pequeno (as forças de amortecimento são da ordem dos 10% das outras forças)para poder ser considerado como viscoso.

Amortecimento de Rayleigh

Diagonalização da Matriz de Massa

A matriz de massa acabada de obter para alguns elementos é a Matriz de Massa Consistente que representa uma

discretização de uma distribuição de Massa Contínua e esta matriz não é Diagonal. É conveniente nalguns casos e

sobretudo por questões numéricas associadas aos tempos de execução a consideração de uma Matriz de Massa Diagonal.

O processo mais conhecido de diagonalização da Matriz de

Massa é designado por HRZ e é devido a Hinton, Rock e

Zienkiewicz.

Diagonalização HRZ

1. Calcular os Elementos de Massa da Diagonal da Matriz de Massa Consistente M

.

2. Para cada direcção em que se considera o movimento possível de acordo com o número de graus de Liberdade por nó:

a) Determinar a soma dos elementos da diagonal associados a essa direcção (S)

b) Multiplicar M

por M/S sendo M a massa do

Elemento

Vibrações Livres

K Δ + M = 0 Δ

Na ausência de Amortecimento e Carregamento Exterior as Equações de Equilíbrio Dinâmico tomam a forma:

Nestas Condições todos os graus de Liberdade se movem em fase e à mesma frequência ω.

O movimento devido às Vibrações consiste numa

amplitude nodal Ū que varia sinusoidalmente com o tempo em relação aos deslocamentos que correspondem ao

equilíbrio estático Δ produzido por Cargas independentes

Vibrações Livres

Usen t e

Usen t

Δ = ω Δ = −ω ω

No caso das cargas serem nulas Δ

=0 e Ū representam amplitudes em relação à configuração de tensão nula.

As equações de equilíbrio tomam a forma

( ^{K − ω}

^{M U} ) ^{= 0}

Onde ω

é um valor próprio e ω é a frequência natural. A matriz dos coeficientes de Ū, é por vezes designada por

Matriz de Rigidez Dinâmica.

Vibrações Livres

( ^{K − ω}

^{M U} ) ^{= 0}

Escrevendo a equação seguinte:

Com a forma: KU = ω

MU

Pode-se dizer que os modos de vibração correspondem a configurações em que existe equilíbrio entre as resistências elásticas e as forças de Inércia. No caso de Ū conter graus de liberdade que são não nulos após a supressão dos modos de corpo rígido e mecanismos, a matriz K é positiva

definida. No caso da matriz de massa ter elementos

diagonais só positivos então a Matriz de Massa é também

Vibrações Livres

O número de valores não nulos da frequência natural ω_i, é igual ao número de graus de liberdade em Ū. Ocorre por vezes a existência de valores iguais de ω_i.

Estruturas sem restrições ou com mecanismos têm uma Matriz de Rigidez positiva semidefinida e um valor próprio nulo associado a cada movimento de corpo rígido ou mecanismo. As formas de

vibração correspondentes descrevem o movimento de corpo rígido ou o mecanismo.

No caso de existirem valores nulos na diagonal da Matriz de Massa corresponde-lhe um valor próprio infinito. No caso de existência de valores nulos na diagonal eles podem ser eliminados através de um

processo de condensação estática antes da obtenção dos valores próprios.

Vibrações Livres

= ω

KU MU

i2

U

K U

= ω U

M U

Considerando a equação

Para cada modo i e multiplicando à esquerda por Ū

obtém-se:

Resolvendo em ordem a w

obtém-se:

i2

U U U U ω =

T

i i

T

i i

K M

Conhecido por Coeficiente de Rayleigh

Vibrações Livres

A Redução de Guyan é utilizada para reduzir o número de Graus de Liberdade ao número de graus relevantes para a obtenção da Solução.

mm ms 2 mm ms m

sm ss sm ss s

K K M M U 0

K K M M U 0

⎧ ⎫

⎛ ⎡ ⎤ − ω ⎡ ⎤ ⎞ ⎪ ⎪ = ⎧ ⎫

⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

⎝ ⎠ ⎩ ⎭

A consideração de um processo de condensação estática pura e

simples conduziria a matrizes no sistema final que são dependentes da frequência. Para obter uma transformação independente da

frequência Guyan e Irons sugeriram que a relação entre graus de liberdade escravos e graus de liberdade principais fosse inteiramente dominada pela rigidez.

Redução de Guyan

{ } ^U

^{= − K K}

{ } ^U

m

m 1 T

ss ms

s

I U U TU sendo T=

U K K⁻

⎧ ⎫ ⎡ ⎤

⎪ ⎪

= ⎨⎪⎩ ⎬⎪⎭ = ⎢⎣− ⎥⎦

Ignorando a massa nos coeficientes dos graus de liberdade escravos obtém-se:

2 T

T

K U M U 0 onde K T KT

M T MT

− ω = =

=

m m

r r r

Problema de

valores próprios

Equações de Equilíbrio Dinâmico Reduzidas

ext

K Δ + C Δ + M = F Δ

ext T

r

T T

K C M R onde K T KT

M T MT

C T CT

Δ + Δ + Δ = =

=

=

r m r m r m r

r r

A redução de Guyan pode considerar-se aplicada

também ao sistema de equilíbrio dinâmico global e não

só ao problema de valores próprios.

Determinação da Resposta em Função do Tempo

Métodos de Sobreposição Modal Métodos de Integração Directa:

Implícitos

Explícitos

Sistema de Equações

diferenciais a resolver

{ Δ ( ) ^{0 ,} } { Δ ^{( ) 0} } Condições Iniciais conhecidas K + C + M = R

Δ Δ Δ

Após Discretização, Assemblagem e Minimização da Energia Total obtém-se o Sistema de Equações Diferenciais de Equilíbrio seguinte no caso da

Dinâmica

M – Matriz de Massa Global

C - Matriz de Amortecimento Global K – Matriz de Rigidez Global

R

– Vector da Solicitação Exterior Global

Matriz de Amortecimento

= α + β

C K M

D = Δ

A matriz de Amortecimento pode ser considerada como uma combinação linear das Matrizes de Rigidez e de Massa, ou seja:

Representa o vector das Acelerações

D = Δ

D=Δ Representa o Vector dos Deslocamentos

Representa o vector das Velocidades

Métodos de Solução

A forma de solução do sistema de equações diferenciais recorre à integração directa das equações de equilíbrio dinâmico. Sendo conhecida a solução no instante inicial, t=0, procuram-se soluções que verifiquem as equações de equilíbrio num conjunto discreto de posições no tempo. A maior parte dos métodos usa intervalos de tempo iguais, Dt, 2Dt, 3DT, …, nDt. Os métodos utilizados podem ser

classificados em explícitos e implícitos.

Métodos Explícitos

Nos métodos explícitos não há necessidade de resolução de um sistema de equações. Estes métodos utilizam a solução das equações diferenciais no instante t para prever a solução no instante t+Dt. Na maior parte dos casos intervalos de

tempo muito pequenos são necessários de modo a obter-se uma solução estável. Estes métodos são condicionalmente estáveis no que respeita ao intervalo de tempo.

A dimensão do intervalo de tempo é inversamente

proporcional à frequência mais elevada do sistema discreto.

Métodos Implícitos

Nos métodos Implícitos o sistema de equações diferenciais deve ser verificado no instante t+Dt conhecida a solução no instante t. Estes métodos

exigem a solução de um sistema de equações em cada intervalo de tempo. Os intervalos podem ser mais

elevados que no caso dos métodos explícitos. Os

métodos implícitos podem ter estabilidade condicional

e incondicional.

Método das Diferenças Centrais

Considerando um desenvolvimento em Série de Taylor para o deslocamento D nos instantes t+ Δ t (D

)e t- Δ t (D

), obtém-se:

2 3

n 1 n n n n

2 3

n 1 n n n n

t t

t ...

D D D 2 D 6 D

t t

t ...

D D D D D

2 6

+

−

Δ Δ

= + Δ + + +

Δ Δ

= − Δ + − +

Método das Diferenças Centrais Velocidade

n 1 n 1

2

O( t

)

D

− D

= D + Δ

Resolvendo em ordem à velocidade obtém-se:

n 1 n 1 3

n

D D O( t )

D 2 t

+

−

= + Δ

Δ

A diferença das duas equações anteriores é:

Método das Diferenças Centrais Aceleração

A soma das duas equações do desenvolvimento em série de Taylor dos deslocamentos nos instantes t

e t

permite obter a aceleração:

{

}

n 2

1 D 2 D D D = t

− +

Δ

Método das Diferenças Centrais

n n n ext

K D + C D + M D = R

Considerando a equação de equilíbrio no instante t que é

Substituindo nesta equação as expressões para a velocidade e aceleração obtém-se:

n n 1 n 1 2 n 1 n n 1 ext

1 1

( ) ( 2 )

D D D D D D R

2 t

t

+ − + − + =

Δ Δ

K C M

Método das Diferenças Centrais

Esta última equação pode ser escrita com a seguinte forma:

n 1 ext n n 1

2 2 2

1 1 2 1 1

2 t R 2 t

t ⁺ t t ⁻

⎡ + ⎤ = − ⎡ − ⎤ − ⎡ − ⎤

⎢Δ Δ ⎥ ⎢ Δ ⎥ ⎢Δ Δ ⎥

⎣ M C⎦D ⎣K M⎦D ⎣ M C⎦ D

Por resolução deste sistema de equações podem obter-se os deslocamentos D

. No caso das matrizes M e C serem

diagonais os valores dos deslocamentos D

obtém-se sem necessidade de resolução de um sistema de equações.

Ver: Concepts and Applications of Finite Element Analysis,COOK, R. D; MALKUS,

Método das Diferenças Centrais

{

( )

} ^{

^{( )}

^} { }

Condições iniciais podendo obter-se

Para iniciar o processo é preciso conhecer-se D (-Δt) que pode ser determinado a partir de . Este

Método é condicionalmente estável sendo necessário

considerar um intervalo de tempo crítico Δt

= T

/π sendo T

o menor dos períodos do sistema com n graus de

liberdade.

Para mais informação ver: Concepts and Applications of Finite Element Analysis,COOK, R. D; MALKUS, D. S. and PLESHA, M. E. , John Wiley &

Sons,third edition, 1989.

{

} {

}

Método de Newmark

Newmark apresentou um conjunto de Métodos para a solução de problemas em Dinâmica Estrutural e estes métodos têm sido muito utilizados. Considere-se as equações de equilíbrio no instante t+ Δ t, considerando U=D:

extn 1

n 1 n 1 n 1

K U

+ C U

+ M U

= R

Método de Newmark

O desenvolvimento em Série de Taylor do deslocamento e da velocidade fornece as equações seguintes:

2 3

n 1 n n n n

2

n 1 n n n

t t

t ...

U U U U U

2 6

t t ...

U U U U

2

+

+

Δ Δ

= + Δ + + +

= + Δ + Δ +

Método de Newmark

2

n 1 n n n 3 n

2

n 1 n n n

t t

U U U U t U

2

t t

U U U U

+ +

= + Δ + Δ + βΔ

= + Δ + γΔ

Newmark truncou estas séries e deu-lhe a seguinte forma:

Admitindo que a aceleração é linear no intervalo de tempo Δt

( )

n n 1 n

n 1 n

U U 1 U U sendo 0 t

t

U U

U

+ +

= + − τ ≤ τ ≤ Δ

Δ

= −

Método de Newmark

2

n 1 n n n 2 n 1

n 1 n n n 1

t ( 1 ) t

U U U U t U

2

(1 ) t t

U U U U

+ +

+ +

= + Δ + −β Δ + β Δ

= + − γ Δ + γΔ

Substituindo esta última equação nas equações anteriores obtém-se:

Resolvendo a 1ª equação em ordem à aceleração no instante t+Δt obtém-se:

n 1 n

n 1 2 n n

1 1 1

( U U ) 1

U U U

t

t 2

+

⎛ ⎞

= β Δ − − β Δ − ⎜ ⎝ β − ⎟ ⎠

Método de Newmark

Substituindo o valor obtido para a aceleração no instante t+ Δ t na expressão que fornece a velocidade no mesmo instante obtém-se:

(

)

n 1

U U 1

t 1

U U U

t

2

+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

γ γ γ

= βΔ − + − ⎜ ⎝ β ⎟ ⎠ + Δ ⎜ ⎝ − β ⎟ ⎠

Método de Newmark

Substituindo os valores obtidos para a aceleração e

velocidade no instante t+ Δ t nas equações de equilíbrio no referido instante obtém-se:

( )

( )

n 1 n 1 n n n

extn 1

n 1 n n n

2

1 t 1

t 2

1 1

t t 2

+ +

+ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

γ γ γ

+ βΔ − + ⎜ ⎝ − β ⎟ ⎠ + Δ ⎜ ⎝ − β ⎟ ⎠ +

⎛ ⎞

+ β Δ − − β Δ − ⎜ ⎝ β − ⎟ ⎠ =

C C C

KU U U U U

M M

U U U M U R

Método de Newmark

Resolvendo em ordem ao deslocamento no instante t+ Δ t obtém-se

extn 1

n 1 n

2 2

n n

t t t t

1 1 1 1

2 2

t

+ +

⎛ + γ + ⎞ = + ⎛ + γ ⎞ +

⎜ βΔ β Δ ⎟ ⎜ β Δ βΔ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎛ γ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ γ ⎞ ⎞

+ ⎜ ⎝ β Δ − ⎜ ⎝ − β ⎟ ⎠ ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ ⎜ ⎝ β − − Δ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ − β ⎟ ⎠ ⎟ ⎠

M M

K C U R C U

M C U M C t U

Conhecido o deslocamento no instante t+ Δ ^t é fácil obter a

Método de Newmark

Os parâmetros γ e β podem ser considerados de acordo com a tabela seguinte

Versão γ β Estabilidade

Aceleração Média Aceleração Linear Fox-Goodwin

Amortecimento Algorítmico

1/2 1/4 Incondicional

1/2 1/6

1/2 1/12 Condicional

≥1/2

Incondicional

Método de Newmark

Para mais informação ver: Concepts and Applications of Finite Element Analysis,COOK, R. D; MALKUS, D. S.

and PLESHA, M. E. , John Wiley & Sons,third edition,

1989. (Ver algumas das referências indicadas neste texto)

Método de Wilson θ

O Método de Wilson θ é um método implícito e é

essencialmente uma extensão do Método da Aceleração Linear. No Método de Wilson θ a aceleração admite-se linear no intervalo t a ≤ t+ θΔt sendo θ ≥ 1.

Considerando τ tal que 0 ≤ τ ≤ θΔt a aceleração toma a

forma ( )

( )

t t t t

2 1

t t t t

U U 1 U U

t Integrando

U U 1 U U C

2 t

+θΔ

+θΔ

= + − τ

θΔ

= τ + − τ +

θΔ

Método de Wilson θ

A constante C

obtém-se considerando que

( )

( )

t 1 t

2

t t t+ t t

2 3

t

U U para =0 ou seja C U Consequentemente

U U + U 1 U U

2 t Integrando

1 1

U U U + U U U

θΔ

θΔ

= τ =

= τ + θΔ − τ

= + τ τ + − τ

Método de Wilson θ

Usando estas expressões para obter o deslocamento e a velocidade no instante t+ θΔ t tem-se:

( )

( )

t t t t+ t t

2 2

t t t t t+ t t

U U t U U

2

U U tU t U 2U

6

+θΔ θΔ

+θΔ θΔ

= + θΔ −

= + θΔ + θ Δ +

Método de Wilson θ

( )

ext ext ext

t t t t

t^+θΔt

+

+

= R + θ R

− R KU CU MU

Considere-se as equações de equilíbrio no instante t+ θΔ ^t ou seja:

Das equações anteriores (acetato anterior) pode obter-se

( )

( )

t+ t t

t+ t 2 2 t t

t+ t t

t t t t

6 6

U U 2

U U U

t t

3 t

U U 2

U U U

t 2

θΔ θΔ

+θΔ θΔ

= − − −

θ Δ θΔ

= − − − θΔ

θ Δ

Método de Wilson θ

Substituindo estas expressões para a velocidade e aceleração no instante t+ θΔ t nas equações de equilíbrio obtém-se

( )

ext ext ext

t t t t

t t

2 2

t t t

2 2

3 6

U R R R

t t

3 6 U 2C 6 M U t C 2M U

t t t 2

+θΔ +θΔ

⎛ + + ⎞ = + θ − +

⎜ θ Δ θ Δ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ θ Δ

+⎜⎝ θ Δ + θ Δ ⎟⎠ + ⎜⎝ + θ Δ ⎟⎠ + ⎜⎝ + ⎟⎠

K C M

C M

Este sistema de equações resolve-se obtendo-se U

Método de Wilson θ

(

)

t+ t 2 2 t t

6 6

U U 2

U U U

t

t

θΔ

= − − −

θ Δ θΔ

( )

t t t+ t t

U = U +U τ + 2θΔ1 t U ^θΔ −U τ

( )

2 3

t t t t+ t t

1 1

U = U + τU +2 U τ + 6θΔt U ^θΔ −U τ

Conhecido U

obtém-se a aceleração no instante t+θΔt que é:

Este valor é utilizado nas expressões seguintes para obter os respectivos valores no instante t+Δt

( )

t t t t

U U= + 1t U ^+θΔ − U τ

θΔ

Método de Wilson θ

Os valores da Aceleração, Velocidade e Deslocamento no instante t+Δt são:

( )

t t t t+ t t

U U t U U

+Δ 2 Δ

= + Δ +

(

)

t t 2 2 2 t t

6 6 3

U U 1

U U U

t ^+θΔ t

+Δ = θ Δ − − θ Δ + −⎛⎜⎝ θ⎞⎟⎠

( )

2

t t t t t t t t 2 t

U U U U U

+Δ = + Δ + Δ6 +Δ +

Método de Hilber Hughes and Taylor O Método α

extt t

t t t t t t

K U

+ C U

+ M U

= R

extt

t t t

K U + C U + M U = R

Considerem-se as equações de equilíbrio nos instantes t e t+ Δ t, ou seja:

Subtraindo as duas equações e multiplicando por α obtém-se:

ext ext

t t t

t t t t t t t t t

K(U ^+Δ U ) C(U +Δ U ) M(U +Δ U ) (R ^+Δ R )

α − + α − + α − = α −

Método de Hilber Hughes and Taylor O Método α

t t t t t t

ext ext

t t t t t t

(1 )K U (1 )C U M U

(1 ) R R C U KU

+Δ +Δ +Δ

+Δ +Δ

+ α + + α + =

= + α − α + α + α

Desprezando a variação da aceleração nestas últimas equações e adicionando às equações de equilíbrio no instante t+ Δ t obtém-se:

2

t t t t t 2 t t

t t t t t t

t ( 1 ) t

U U U U t U

2

(1 ) t t

U U U U

+Δ +Δ

+Δ +Δ

= + Δ + −β Δ + β Δ

= + − γ Δ + γΔ

As expressões para o deslocamento e velocidade são

análogas ao Método de Newmark

Método de Hilber Hughes and Taylor O Método α

O Método de solução das equações de equilíbrio é semelhante ao Método de Newmark considerando:

2

1 0

3

1 (1 2 ) 2

1 (1 ) 4

− ≤ α ≤

γ = − α

β = −α