Tópico 3. Estudo de Erros em Medidas

Tópico 3. Estudo de Erros em Medidas

A medida de uma grandeza é obtida, em geral, através de uma experiência, na qual o grau de complexidade do processo de medir está relacionado com a grandeza em questão e também com o processo de medição. Por isso, este tópico visa introduzir conceitos importantes sobre erros de medidas.

3.1. Erros de uma Medida

Algumas grandezas possuem seus valores reais conhecidos e outras não. Quando conhecemos o valor real de uma grandeza e experimentalmente encontramos um resultado diferente, dizemos que o valor obtido está afetado de um erro.

ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma.

Matematicamente: erro = valor medido  valor real

A determinação do erro de medida não é simples, pois há na maioria dos casos uma combinação de inúmeros fatores que influem, de forma decisiva, no resultado da medição. Portanto, o erro “verdadeiro” de uma medida é sempre impossível de ser conhecido, sendo possível apenas uma estimativa do erro máximo aceitável. Nesta seção irar-se-á dar uma pequena introdução sobre tipos de erros e o cálculo do erro aleatório provável, dado pelo cálculo do desvio padrão.

Existem diversas classificações de erros na literatura especializada, entretanto, há três principais que são:

1. Erro de escala: é o erro associado ao limite de resolução da escala do instrumento de

medida.

2. Erro sistemático: é o erro em que o medidor sofre, de maneira constante, em todo o

processo de medição. No momento da descoberta da sua origem, o erro sistemático é possível de ser minimizado ou até mesmo sanado;

3. Erro aleatório: é o erro que decorre de perturbações estatísticas impossíveis de

serem previstas, sendo assim, difícil de evitá-los.

O erro aleatório pode ser calculado utilizando-se os postulados de Gauss, que por motivo de brevidade não será citado aqui, entretanto, aos estudantes interessados neste assunto consulte o livro Introdução ao Laboratório de Física.

3.1.1 Valor mais provável de uma grandeza

Sejam x1, x2, x3,..., xn as n medidas realizadas de uma mesma grandeza física X. O valor médio desta grandeza denotado por

x

é definido pela média aritmética dos

valores medidos, ou seja,

Deste modo,

x

representa o valor mais provável da grandeza medida. Ao se

realizar várias medidas, os valores obtidos tendem a estarem mais próximos deste valor. O valor médio é o que melhor representa o “valor real” da grandeza.

3.1.2 Desvio das medidas

No entanto, não se pode afirmar que o valor mais provável seja o valor real da grandeza. Assim, representando-se uma medida qualquer da grandeza X por Xi, não se pode dizer que a diferença (Xi - X = δX) seja o erro da medida Xi. Neste caso quando

se conhece o valor mais provável, não se fala em “erro”, mas sim em Desvio ou Discrepância da medida (ou Incerteza).

Desvio de uma medida, 𝛅X, é a diferença entre um valor medido e o valor adotado

que mais se aproxima do valor real (em geral o valor médio).

É interessante saber de quanto as medidas individuais Xi se afastam do valor médio, ou seja, de que maneira as medidas Xi se distribuem em torno do valor médio. A esse fato denominamos “dispersão”. Para medir a dispersão são utilizadas algumas propriedades da série de medidas, tais como a Variância e o Desvio Padrão:

Variância (s2

): A variância é definida como a soma dos quadrados dos desvios de

todos os valores da grandeza dividida pelo número de medidas menos uma. A variância é representada por s2, sendo calculada pela fórmula:

𝑠

2

=

x1−x 2+ x2−x 2+⋯+(xn−x )2 𝑛−1

=

x_i−x 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 −1 (2)

O denominador “n – 1” da variância é determinado pelos graus de liberdade. O principio dos graus de liberdade é constantemente utilizado na estatística. Considerando um conjunto de “n” observações (dados) e fixando uma média para esse grupo, existe a liberdade de escolher os valores numéricos de n – 1 observações, o valor da última observação estará fixado para atender ao requisito de ser a soma dos desvios da média igual a zero. No caso especifico do cálculo da variância, diz-se que os “n” graus de liberdade originalmente disponíveis no conjunto sofreram a redução de uma unidade porque numa estatística, a média já foi calculada dos dados do grupo e aplicada na determinação da variância.

Desvio padrão (

𝜎

_x): O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância e,

portanto, expresso na mesma unidade da grandeza medida (kg, cm, atm, etc.):

𝜎

_x

=

x1−x 2+ x2−x 2+⋯+(xn−x )2 𝑛−1

=

x_i−x 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 −1 (3)

3.1.2 Desvio padrão final

Até agora, ainda não informamos como deve ser relatado o valor de uma grandeza submetida a medições. Já sabemos, a princípio, que a grandeza pode ser representada, de modo satisfatório pelo seu valor médio. Porém, quando efetuamos um conjunto de medições devemos ser capazes de informar com qual qualidade a média pode ser uma estimativa do valor verdadeiro. Ou seja, devemos sempre informar uma incerteza associada à média encontrada.

Poderíamos pensar, num primeiro nível, que a incerteza possa ser estimada pelo desvio padrão da média. Porém, devemos atentar que o cálculo do desvio padrão da média leva em conta somente as contribuições dos erros aleatórios, e não considera os erros sistemáticos. Existe, pois, uma incerteza residual que ainda não foi considerada.

Essa incerteza residual (𝜎_𝑟), no caso de instrumentos de medida, costuma vir indicada pelo fabricante. Quando não é indicada, podemos adotar, pelo bom senso, que se trata da metade da menor divisão da escala.

Assim, o resultado de um conjunto de medições é:

𝑥 = 𝑥 ± 𝜎

_𝑓

em que 𝜎_𝑓

é o desvio (ou incerteza) padrão final e pode ser calculada por:

𝜎

_𝑓

= 𝜎

𝑓2

+ 𝜎

𝑟2

Como exemplo da teoria acima proposta, dada a seguinte tabela abaixo, com valores de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer, iremos calcular o seu valor mais provável (média) e o seu desvio padrão.

Tabela 3.1. Valores de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer. Note que aqui não é necessário usar o desvio residual pois não foi fornecido.

Medida Comprimento (m) 1 1,42 2 1,40 3 1,38 4 1,41 5 1,43 6 1,42 7 1,39 8 1,40

Assim, o valor mais provável da medida, X , é dado por:

X =1 8 1,42 + 1,40 + 1,38 + 1,41 + 1,43 + 1,42 + 1,39 + 1,40 = 11,25 8 = 1,40 625𝑚 X = 1,41 𝑚

𝜎X= (1,42 − 1,41)2_{+ 1,40 − 1,41} 2_{+ 1,38 − 1,41} 2_{+ 1,41 − 1,41} 2_{+ 1,43 − 1,41} 2_{+ 1,42 − 1,41} 2_{+ 1,39 − 1,41} 2_{+ (1,40 − 1,41)}2 8 − 1 𝜎X = 0,0001 + 0,0001 + 0,0009 + 0 + 0,0004 + 0,0001 + 0,0004 + 0,0001 7 𝜎X = 0,01 732𝑚 → 𝜎X = 0,02𝑚

Portanto, o modo correto de representar o valor mais provável do corpo de prova e o seu respectivo erro é o seguinte:

1,41±0,02 𝑚

Note que o número de casas após a vírgula para ambos os valores têm que ser compatíveis.

3.2. Propagação de Incertezas

Este assunto é de grande relevância em todas as áreas de atividade onde são realizadas medidas experimentais. O objetivo deste assunto é justamente estudar a propagação de incertezas associadas a cada medida em particular.

Imagine que queiramos fazer a soma de duas grandezas x1 e x2, para obter uma grandeza y. Sabemos que para expressar corretamente o resultado de nossa operação devemos relatar um valor médio e uma incerteza associada a este valor. De maneira geral, um resultado y deve ser expresso como:

𝑦 = 𝑦 ± 𝜎_𝑦 (4) Se y é uma função de outras variáveis f(x1, x2), então:

𝑦 = 𝑓(𝑥 1, 𝑥 2) (5) No caso da soma, por exemplo, y = x1 + x2, então:

𝑦 = 𝑥 ₁ + 𝑥 ₂ (6) Já o cálculo de 𝜎_𝑦 é mais complicado. O processo rigoroso para o cálculo das incertezas envolve uma equação com derivadas parciais, também conhecida como “lei de propagação de incertezas” o qual é apresentada a seguir.

 Lei de Propagação de Incertezas

Suponha que um certo experimento necessite de vários instrumentos para ser realizado. E que cada um destes instrumentos têm uma variabilidade diferente em suas medições. Os resultados de cada instrumento são dados como: x1, x2, x3, ... . O resultado final desejado é y, de modo que y é dependente de x1, x2, x3, ... . Então, pode-se escrever que y é uma função dessas variáveis:

Uma vez que cada medida tem uma incerteza sobre sua média, pode-se escrever que a incerteza de dyi da i-ésima medição de x depende da incerteza das i-ésimas medições de x1, x2, x3, ... :

𝑑𝑦

_𝑖

= 𝑓(𝑑𝑥

_1𝑖

, 𝑑𝑥

_2𝑖

, 𝑑𝑥

_3𝑖

… ) (8)

O desvio total de y é então obtido da derivada parcial de y com respeito a cada uma das variáveis:

𝑑𝑦 =

𝜕𝑦 𝜕𝑥₁

𝑑𝑥

1

,

𝜕𝑦 𝜕𝑥₂

𝑑𝑥

2

,

𝜕𝑦 𝜕𝑥₃

𝑑𝑥

3

…

(9) A relação entre os desvios padrão de y e x1, x2, x3, ... é dada em duas etapas: i) pela quadratura da equação 9, e ii), tomando a soma total de i = 1 para i = n, onde n é o número total de medições. Logo:

𝑑𝑦

_𝑖 2

=

𝜕𝑦 𝜕𝑥₁ 2

𝑑𝑥

_1𝑖 2

+

𝜕𝑦 𝜕𝑥₂ 2

𝑑𝑥

_2𝑖 2

+ ⋯

(10)

Dividindo ambos os lados por n-1: 𝑑𝑦𝑖 2 𝑛−1

=

𝜕𝑦 𝜕𝑥₁ 2 _𝑑𝑥 1𝑖 2 𝑛−1

+

𝜕𝑦 𝜕𝑥₂ 2 _𝑑𝑥 2𝑖 2 𝑛−1

+ ⋯

(11)

Da equação 3 tem-se que: 𝜎𝑦2 = 𝑑𝑦_𝑖 2

𝑛−1

=

𝑦_𝑖−𝑦 2

𝑛−1 , logo a equação onde pode ser reescrita como:

𝜎

_𝑦2

=

_𝜕𝑥𝜕𝑦 1 2

𝜎

_𝑥12

+

_𝜕𝑥𝜕𝑦 2 2

𝜎

_𝑥22

+ ⋯

(12) Assim, tendo a equação que expressa y em função de suas componentes x1, x2, ... , deve-se, primeiramente, obter as expressões das derivadas parciais da função y em relação a cada uma das componentes. Obtidas essas expressões, substituem-se os valores apropriados e calcula-se o valor de cada derivada parcial em questão. A seguir, deve-se multiplicar cada valor obtido pela incerteza da respectiva componente. Por fim, procede-se a soma de todas as parcelas, sendo cada parcela relativa a uma determinada componente da função.

Exemplo: Calcule o volume de um cilindro de comprimento L = (4,0±0,1)mm e

diâmetro D = (2,0±0,2)mm. Resolução:

O volume do cilindro é dado por:

𝑉 =

𝜋𝐷2𝐿

4

=

𝜋×(2,0)2×4,0

4

= 12,566 𝑚𝑚

Agora iremos utilizar as incertezas das medidas de comprimento e diâmetro do cilindro, para calcular a incerteza propagada para V:

𝑉 = 𝑓 𝐷, 𝐿 → 𝜎_𝑉2 = 𝜕𝑉 𝜕𝐷 2 𝜎_𝐷2 + 𝜕𝑉 𝜕𝐿 2 𝜎_𝐿2 → 𝜎_𝑉2 = 𝜋 𝐷𝐿 2 2 𝜎_𝐷2+ 𝜋 𝐷 2 4 2 𝜎_𝐿2 → 𝜎_𝑉2

=

𝜋×2,0×4,0₂ 2

×

0,2

2

+

𝜋× (2,0) 2 4 2

×

0,1

2 ₌

6,3164 + 0,0314 = 6,3478 mm

6 𝜎_𝑉

=

6,3478

→

𝜎_𝑉

= 2.5 𝑚𝑚

3

O resultado final deve ser expresso da seguinte maneira:

V = (12.6±2.5) mm

3

3.3 Propagação de Incertezas nas Operações Básicas

Abaixo estão listadas as equações da incerteza propagada para as operações mais utilizadas. 1. Adição ou Subtração: y = x1 + x2 ou y = x1 - x2

𝜎

_𝑦

= 𝜎

_𝑥12

+ 𝜎

_𝑥22 2. Multiplicação ou Divisão: y = x1.x2 ou y = x1/x2

𝜎

_𝑦

𝑦

=

𝜎

_𝑥1

𝑥

₁

2

+

𝜎

𝑥2

𝑥

₂

2 3. Potenciação: y = x1a

𝜎

_𝑦

𝑦

= 𝑎

𝜎

_𝑥1

𝑥

₁

No caso da função do tipo y = x1a . x2b , tem-se:

4. Logaritmo: y = log(x1)

𝜎

_𝑦

= 0,434.

𝜎

𝑥1

𝑥

₁

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Mediram-se, experimentalmente, o período e o comprimento de um pêndulo simples, obtendo-se os seguintes resultados: L = (59,90 ± 0,05) cm e T = (1,555 ± 0,001) s . Utilizando a equação do pêndulo simples T = 2π 𝐿

𝑔 , calcule o valor da aceleração da

gravidade (g).

2) Em uma mola de constante elástica k = (2,256 ± 0,003).104 dyn/cm colocou-se a oscilar uma massa m = (249,86 ± 0,01)g . Calcule o período do oscilador para os valores dados acima, sabendo que ele está relacionado com a massa e a constante elástica através da equação T = 2π 𝑚