r r r r r S 2 O vetor deslocamento(vetor diferença) é aquele que mostra o módulo, a direção e o sentido do menor deslocamento entre duas posições.

d r d

A Cinemática A Cinemática A Cinemática A Cinemática A Cinemática A Cinemática A Cinemática A Cinemática Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, A Cinemática Vetorial A Cinemática Vetorial A Cinemática Vetorial A Cinemática Vetorial A Cinemática Vetorial A Cinemática Vetorial A Cinemática Vetorial A Cinemática Vetorial estuda as mesmas estuda as mesmas estuda as mesmas estuda as mesmas estuda as mesmas estuda as mesmas estuda as mesmas estuda as mesmas grandezas, mas grandezas, mas grandezas, mas grandezas, mas grandezas, mas grandezas, mas grandezas, mas grandezas, mas dando a elas um dando a elas um dando a elas um dando a elas um dando a elas um dando a elas um dando a elas um dando a elas um Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade Instantânea, Instantânea, Instantânea, Instantânea, Instantânea, Instantânea, Instantânea, Instantânea, Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando a elas um a elas um a elas um a elas um a elas um a elas um a elas um a elas um tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas numérico, escalar numérico, escalar numérico, escalar numérico, escalar numérico, escalar numérico, escalar numérico, escalar numérico, escalar. dando a elas um dando a elas um dando a elas um dando a elas um dando a elas um dando a elas um dando a elas um dando a elas um tratamento vetorial. tratamento vetorial. tratamento vetorial. tratamento vetorial. tratamento vetorial. tratamento vetorial. tratamento vetorial. tratamento vetorial. Nesse estudo, nossa Nesse estudo, nossaNesse estudo, nossa Nesse estudo, nossaNesse estudo, nossa Nesse estudo, nossaNesse estudo, nossa Nesse estudo, nossa maior preocupação maior preocupaçãomaior preocupação maior preocupaçãomaior preocupação maior preocupaçãomaior preocupação maior preocupação será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a

direção e direção e direção e direção e direção e direção e direção e direção e o sentido dessas o sentido dessas o sentido dessas o sentido dessas o sentido dessas o sentido dessas o sentido dessas o sentido dessas grandezas. grandezas. grandezas. grandezas. grandezas. grandezas. grandezas. grandezas.

Qual a distância entre Qual a distância entre Qual a distância entre Qual a distância entre Recife e São Luís? Recife e São Luís?Recife e São Luís? Recife e São Luís?

1 S ∆ 2 S ∆

r

r

∆

∆S₁ e ∆S₂ são alguns dos deslocamentos possíveis. Esses deslocamentos são chamados de

deslocamentos escalares.

2

r

r

Vetor posição e vetor deslocamento

r

r

r

r

∆

Qual a menor distância Qual a menor distância Qual a menor distância Qual a menor distância entre Recife e São Luís? entre Recife e São Luís? entre Recife e São Luís? entre Recife e São Luís?

A menor distância entre duas posições pode ser medida pelo módulo do vetor deslocamento. Este vetor liga o ponto de partida ao ponto de

O vetor deslocamento(vetor diferença) é aquele que mostra o

α

r

₁

r

final posição vetor r inicial posição vetor r r r r 2 1 1 2 − − − = ∆ r r r r r

Resumindo... Trajetória(+) 0 Posição inicial Posição final

r

r

∆

S

∆

1

r

r

r

r

r

S

≥

∆

r

∆

Trajetória(+) 2

r

α

S ∆

r

S

=

∆

r

∆

r

r

∆

Velocidade Média Vetorial (Características)

S

∆

escalar

média

veloc

t

S

V

_m

.

∆

∆

=

r

r

∆

0 Trajetória(+) Posição inicial Posição final m V r

escalar

média

veloc.

vetorial

média

veloc

t

r

V

_m

.

∆

∆

=

r

r

Trajetória(+)

r

t

r

∆

∆

=

1

.

Módulo :

Direção e sentido: os mesmos de

t r V_m ∆ ∆ = r r

r

r

∆

Exemplo 1 Exemplo 1

No mapa destacamos a trajetória descrita por um automóvel em movimento entre o Colégio São Luís e o IFPE(Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de

Pernambuco). Essa trajetória tem comprimento de 9,6 km e gastou-se aproximadamente 20 min para cumprir todo o trajeto.

a) Qual o módulo da velocidade média escalar do automóvel entre as posições A e B? b) Represente o vetor deslocamento entre as posições A e B e calcule o seu módulo c) Qual o módulo, direção e sentido da sua velocidade média vetorial?

h km h km t S V_m 28,8 / 3 1 6 , 9 = = ∆ ∆ =

r

3

r

r

∆

escala pela o determinad -km r =5,7 ∆r h km t r V_m 17,1 / 3 1 7 , 5 = = ∆ ∆ = r r m

V

r

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Um móvel percorre, no sentido anti-horário, uma trajetória circular de raio 10 m. Nos instante de t₀= 0 e t₁ = 3 s ele se encontra nas posições indicadas na figura. Determine sua

velocidade média escalar, o módulo, a direção e o sentido da sua velocidade média vetorial . Dado cos45º=0,7

s 3 t =

45º _{t 0}

escalar . inst . veloc t S lim V a instantâne velocidade a definição por 0 t ∆ ∆ = →

∆ _{veloc. inst.vetorial}

t r lim V por dada será vetorial a instantâne e velocidad a então 0 t ∆ ∆ = → ∆ r r r v r

Velocidade Instantânea Vetorial (Características)

CONSEQÜÊNCIA DO _∆t TENDER A ZERO

CARACTERÍSTICAS DO VETOR VELOCIDADE INSTANTÂNEA

• Ele é sempre tangente à trajetória.

• E tem sempre o sentido do movimento.

Aceleração Média Vetorial (Características) 0 0 V r vetorial média aceleração D V -V V onde , t V a_{m 0} r r r r r r = = ∆ ∆ ∆ = Trajetória(+) V r escalar média aceleração V -V V onde , t V a_m ∆ = ₀ ∆ ∆ =

t

D

V

a

_m

∆

=

∆

=

r

r

r

0 _Trajetória 0 V r V r 0 V r 0

V

V

V

D

r

r

r

r

−

=

∆

=

α

α

cos

.

2V.V

-V²

V²

²

D

=

+

_{0 0} amo paralelogr do método m

a

r

m

a

r

polígono do método 0 0

D

V

a

=

∆

=

r

r

r

velocidade de variação vetor do sentido mesmo o e direção mesma a tem médio aceleração vetor o assim , . 1 V t t V a_m r r r ∆ ∆ = ∆ ∆ = 0 V r −

Exemplo 1 Exemplo 1 Exemplo 1 Exemplo 1 Exemplo 1 Exemplo 1 Exemplo 1 Exemplo 1

Um móvel percorre um movimento circular com velocidade escalar constante de 6 m/s. Nos instante de t₀= 0 a t₁ = 3 s ele descreve 1/2 da circunferência. Determine sua aceleração média vetorial.

t₀= 0

0

v

r

RESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃO

Representar os vetores velocidade instantânea movimento t D V a_m ∆ = ∆ = r r r t₁ = 3 s

v

r

t ∆

Observe que os vetores estão em sentidos opostos. Assim o módulo do vetor variação de velocidade(vetor diferença) será calculado pelo caso particular

s / m 12 6 6 D v = = + = ∆r r 2 s / m 4 12 ar = =

curto. muito tempo de intervalo num vetorial média aceleração a igual é vetorial a instantâne aceleração a seja, ou , será vetorial a instantâne aceleração a definição Por t V t a ∆ ∆ → ∆ = r r 0 lim CONSIDERAÇÕES V r

A aceleração vetorial sempre se encontra dentro da curva

formando um ângulo com a velocidade vetorial. A direção

Aceleração Instantânea Vetorial (Características)

a

r

θ

velocidade vetorial. A direção depende dos módulos das velocidades inicial e final

Se 0º<θ<90º - movimento acelerado Se θ=90º - movimento uniforme Se 90º<θ<180º - movimento retardado

a

instantâne

velocidade

−

V

r

vetorial

aceleração

−

a

r

Componentes da Aceleração Vetorial

V r θ c

a

r

t

a

r

a

r

c

a

MRUV do equações -al tangenci aceleração -ar_t

a

trajetóri

da

raio

o

é

R

onde

,

R

V

a

-centrípeta

aceleração

a

2 c c

−

=

r

r

vetorial equação : que observamos figura Na c t a a a r v r v r r + =

a_t a_C

Quadro resumo

MRU MRU MRU

MRU _{ZERO ZERO}

MRUV MRUV MRUV MRUV _{DIF. DE} ZERO ZERO MCU MCU MCU

MCU _{ZERO DIF. DE} ZERO MCUV MCUV MCUV MCUV _{DIF. DE} ZERO DIF. DE ZERO

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Em determinado instante, o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula são representados na figura abaixo.

a) Qual a intensidade da aceleração escalar ? b) Qual o raio de curvatura R da trajetória ?

Exemplo 3

Exemplo 3

Exemplo 3

Exemplo 3

Exemplo 3

Exemplo 3

Exemplo 3

Exemplo 3

Uma partícula P move-se em trajetória circular de centro O, tendo velocidade escalar v₀ = 8,0 m/s no instante t = 0. No instante t = 1,0 s a aceleração vetorial instantânea tem módulo 20 m/s² e está representada no desenho seguinte. Sabendo que senθ=0,60 e cosθ= 0,80; calcule:

a) o módulo da aceleração escalar em t= 1,0 s;

b) o módulo da aceleração centrípeta no instante t =1,0 s; c) o módulo da velocidade no instante t = 1,0 s;

c) o módulo da velocidade no instante t = 1,0 s; d) o raio da trajetória.

Exemplo 4

Exemplo 4

Exemplo 4

Exemplo 4

Um corpo partindo do repouso realiza movimento uniformemente variado com aceleração escalar 3 m/s² sobre uma pista circular de raio 100 m. No instante t = 10s, determine:

a) o módulo da velocidade escalar do móvel; b) o módulo da sua aceleração tangencial; e) o módulo da sua aceleração centrípeta; d) o módulo da sua aceleração.

Exemplo 5

Exemplo 5

Exemplo 5

Exemplo 5

Um móvel descrevendo um M.C.U.V tem, em um dado instante, velocidade de módulo v = 10 m/s e aceleração de módulo a = 8 m/s² conforme a figura abaixo.

a) O movimento do móvel é acelerado ou retardado? Justifique. b) Qual é o módulo da aceleração tangencial desse móvel?

e) Para o instante retratado, qual é o módulo da aceleração centrípeta? d) Qual é o raio da trajetória circular descrita pelo móvel?