Métodos variacionais, desigualdade do tipo Trudinger-Moser e aplicações

(1)

Universidade Federal de Sergipe

Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Programa de Pós–Gradua¸cão em Matemática

Mestrado em Matem´atica

M´

etodos Variacionais, Desigualdade do Tipo

Trudinger-Moser e Aplica¸

c˜

oes

Izabela Andrade dos Santos

São Cristóvão – SE Fevereiro de 2017

(2)

Universidade Federal de Sergipe Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Programa de Pós–Gradua¸cão em Matemática

Mestrado em Matem´atica

M´

etodos Variacionais, Desigualdade do Tipo

Trudinger-Moser e Aplica¸

c˜

oes

por

Izabela Andrade dos Santos

sob a orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Wilberclay Gon¸calves Melo

São Cristóvão – SE Fevereiro de 2017

(3)

Cataloga¸c˜ao na publica¸c˜ao Universidade Federal de Sergipe

Biblioteca da UFS

XXXX dos Santos, Izabela Andrade.

M´etodos Variacionais, Desigualdade do Tipo Trudinger-Moser e Aplica¸c˜oes

xxxxxxxxxxxxxxxx / xxxx xxx xx xxxxx

xxxxxxxxxx.

Orientador: Wilberclay Gon¸calves Melo xxxxx.

xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx.

(4)

M´

etodos Variacionais, Desigualdade do Tipo Trudinger-Moser e

Aplica¸

c˜

oes

por

Izabela Andrade dos Santos1

Disserta¸cão apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós–Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal de Sergipe como requisito parcial para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

´

Area de Concentra¸cão: Análise/Equa¸cões Diferenciais Parciais

Aprovada em 16 de Fevereiro de 2017.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Wilberclay Gon¸calves Melo – UFS (Orientador)

Prof. Dr. Uberlandio Batista Severo (Examinador Externo)

Profa_{. Dr}a_{. Crislene Santos da Paix˜}_ao (Examinadora Externa)

1

(5)

(6)

Agradecimentos

A realiza¸cão desta disserta¸cão foi poss´ıvel gra¸cas à participa¸cão e apoio de pessoas especiais. E com gratidão, expresso os meus sinceros agradecimentos:

• A DEUS, o qual me deu o Dom da vida e pelo seu inﬁnito amor. Agrade¸co por todas as

vezes que a minha fé foi renovada e pela for¸ca que me deste para concluir esse trabalho. E à Virgem MARIA, por passar à frente das minhas afli¸cões, me amparando no seu colo de mãe.

• A minha Fam´ılia, meus pais Lourdes e Liberato, pela oportunidade que me deram de estudar.

Serei eternamente grata pelo amor de vocês. Agrade¸co ainda aos meus irmãos, cunhados e Primo (Anderson), pelo carinho, aten¸cão e cuidado. Sei o quanto torceram por mim. E meus sobrinhos lindos, que amo tanto. Em especial a Rafael (meu bebê, minha mangabinha, meu homem aranha), por alegrar os meus dias com sua inocência e sabedoria de “gente grande”.

• Ao meu esposo, Diego, pelo carinho e compreens˜ao.

• Aos meus eternos amigos da infância e do grupo de Ora¸cão Ruah Iavé, pelo carinho e por

compreender a minha ausência em algumas convivências durante esse processo. Em especial, a minha amiga/irmã Andreza, sou grata a Deus por nossa amizade.

• Ao meu orientador, Wilberclay, pela orienta¸c˜ao, paciˆencia e disponibilidade durante todo o

per´ıodo de Mestrado e pela amizade. Agrade¸co por contribuir na minha forma¸c˜ao acadˆemica.

• Aos professores Paulo Rabelo e Ivanete, por serem proﬁssionais e pessoas incr´ıveis que me

ensinaram, incentivaram desde a gradua¸c˜ao e permaneceram comigo at´e aqui. E a todos os professores que contribu´ıram, direta ou indiretamente, com o meu aprendizado.

• Aos meus colegas de turma, em especial Danilo, Diego, Jonisson e Rafael, pela amizade

que foi constru´ıda durante o mestrado e por todos os conhecimentos partilhados. Agrade¸co também aos colegas que conheci na gradua¸cão e que também me ajudaram quando ingressei no mestrado Alan Gois, Suelen, Taynara, Natã, Geivison e Franciele.

• Ao secretário da Pós-Gradua¸cão Igor, por ser um excelente profissional.

• A CAPES, pelo apoio financeiro, importante durante esses per´ıodos de especializa¸cão. • Aos professores Uberlandio Batista Severo e Crislene Santos da Paixão, por aceitarem

(7)

Resumo

Neste trabalho, estamos interessados em apresentar alguns Métodos Variacionais, juntamente com aplica¸cões que determinam existência e não unicidade de solu¸cões fracas para a Equa¸cão Diferencial Parcial El´ıptica não linear

−div (K(x)∇u) = K(x)f(u) + h, x ∈ R2_,

onde K é um peso exponencial, h é um funcional linear e f ´e a não linearidade que apresenta crescimento exponencial cr´ıtico.

Em um primeiro momento, para uma maior comodidade do leitor, estabelecemos provas de-talhadas de alguns resultados clássicos da teoria que contém esses métodos como, por exemplo, os Teoremas da Deforma¸cão e do Passo da Montanha; e o Princ´ıpio Variacional de Ekeland. Em seguida, trabalhamos com uma Desigualdade do tipo Trudinger-Moser em um Espa¸co de Sobolev com peso K com o objetivo de alcan¸carmos nossa meta.

(8)

Abstract

In this work, we are interested in establishing some variational methods, together with applica-tions, that determine the existence and non uniqueness of weak solutions for the nonlinear elliptic partial diﬀerential equation

−div (K(x)∇u) = K(x)f(u) + h, x ∈ R2_,

where K is an exponential weight, h is a linear functional and f is the nonlinearity that presents critical exponential growth.

First of all, for the sake of convenience of the reader, this study shows detailed proofs of some classic results of the theory that involves these methods as, for example, the deformation and mountain pass theorems; and Ekeland’s variational principle. Second of all, we work with a Trudinger-Moser inequality that is related to a Sobolev space with weight K in order to achieve our aim.

(9)

Sum´

ario

Lista de Nota¸c˜oes 1

Introdu¸c˜ao 4

1 Defini¸cões e Resultados Básicos 10

2 Alguns M´etodos Variacionais 13

2.1 Teorema da Deforma¸c˜ao . . . 13

2.2 Teorema do Passo da Montanha . . . 27

2.3 Princ´ıpio Variacional de Ekeland . . . 29

3 Desigualdade de Trudinger-Moser e Aplica¸c˜oes 36 3.1 Desigualdade de Trudinger-Moser em Espa¸cos de Sobolev com Peso . . . 38

3.2 Existˆencia de Solu¸c˜ao Fraca para o Problema (3.1) . . . 57

3.3 N˜ao Unicidade para Solu¸c˜oes Fracas do Problema (3.1) . . . 70

3.4 Compacidade Local . . . 74

3.5 Estimativa do Tipo Minimax . . . 95

(10)

Lista de Nota¸

c˜

oes

Permita-nos apresentar uma lista com os signiﬁcados das nota¸c˜oes mais importantes utilizadas neste trabalho.

• ∥·∥ representa a norma do espa¸co discutido no cap´ıtulo correspondente. Em alguns momentos, ∥ · ∥ também diz respeito à norma usual do espa¸co dual em questão;

• ⟨·, ·⟩ denota o produto interno do espa¸co discutido no cap´ıtulo correspondente; • BR(u) ={x : ∥x − u∥ < R} ´e a bola aberta de centro u e raio R > 0;

• BR(u) ={x : ∥x − u∥ ≤ R} ´e a bola fechada de centro u e raio R > 0;

• ∂BR(u) ={x : ∥x − u∥ = R} ´e a esfera de centro u e raio R > 0;

• ⇀ significa convergência fraca; • → denota a convergência forte;

• |A| é medida de Lebesgue de um conjunto mensurável A; • q.t.p. significa quase toda parte;

• supp (u) = {x : u(x) ̸= 0} denota o suporte da fun¸c˜ao u, onde a barra indica fecho do conjunto

em quest˜ao;

• ∂

∂xi

´

e a derivada parcial em rela¸c˜ao a xi;

• div f = 2 ∑ i=1 ∂fi ∂xi

representa o divergente da aplica¸c˜ao f , onde fi´e a i-´esima componente de f ;

• ∇ =( ∂ ∂x1,

∂ ∂x2

)

(11)

• ∆ = 2 ∑ i=1 ∂2 ∂xi2 ´ e o operador Laplaciano; • C∞

c (Ω) denota o espa¸co das fun¸cões, definidas sobre Ω, infinitamente diferenciáveis com

su-porte compacto;

• | · | diz respeito `a norma (proveniente do produto escalar, denotado por ·) Euclidiana ou ao

m´odulo de um n´umero real;

• X′ _´_{e o dual do espa¸co X;}

• Lp

K(Ω) = {u : Ω → R mensur´avel :

∫

Ω

K(x)|u(x)|p_{dx <} _{∞} denota o espa¸co de Lebesgue}

com peso K, munido da norma∥u∥_Lp K(Ω) = (∫ Ω K(x)|u(x)|p_dx )1 p , onde 1≤ p < ∞. ∥ · ∥p,K representa ∥ · ∥_Lp K(R2);

• Lp_{(Ω) denota o espa¸}_{co de Lebesgue} _{{u : Ω → R mensur´avel :}

∫

Ω

|u(x)|p_{dx <} _{∞}, com}

1≤ p < ∞, munido da norma ∥u∥Lp_(Ω)=

(∫ Ω |u(x)|p_dx )1 p ;

• L∞(Ω) representa o espa¸co de Lebesgue{u : Ω → R mensur´avel : |u| ´e limitada q.t.p. em Ω}, munido da norma

∥u∥L∞(Ω) = supessx∈Ω{|u(x)|} := inf{C > 0 : |u(x)| ≤ C q.t.p. em Ω};

• W1,p_{(Ω) ´}_{e o espa¸}_{co de Sobolev} _{{u ∈ L}p_{(Ω) : D}α_u _{∈ L}p_(Ω),_{∀ |α| ≤ 1}, com 1 ≤ p ≤ ∞,}

α multi-´ındice, munido da norma ∥u∥_W1,p_(Ω) =

 ∑ |α|≤1 ∥Dα_u_∥p Lp_(Ω)   1 p , se 1 ≤ p < ∞; e ∥u∥W1,∞_(Ω)= supess{∥Dαu∥_L∞_(Ω)}; • H1_{(Ω) = W}1,2_(Ω); • H1 0(Ω) = W 1,2

0 (Ω) = Cc∞(Ω), onde o fecho ´e tomado com respeito `a norma∥ · ∥H1_(Ω); • L1

loc(Ω) ´e contitu´ıdo de todas as aplica¸c˜oes em L1(U ), onde U ⊆ Ω ´e compacto.

• ,→ representa um mergulho cont´ınuo ou compacto;

• Cp ou C(p) respresentam constantes que dependem de p, estas podem ser modiﬁcadas linha

(12)

• C1_(X,_{R) é o conjunto de todas as aplica¸cões reais, definidas sobre X, que possuem derivada}

de Fr´echet cont´ınua.

• C(A, B) denota o conjunto de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas de A em B; • C∞

c,rad(Ω) é o conjunto das aplica¸cões, definidas sobre Ω, reais, radiais, infinitamente

dife-renci´aveis e que possuem suporte compacto;

• Xrad= C_c,rad∞ (R2), onde o fecho ´e tomado com rela¸c˜ao `a norma do espa¸co X;

• χAdenota a fun¸c˜ao caracter´ıtica deﬁnida sobre o conjunto A, isto ´e, χA(x) =

{

1, se x∈ A; 0, se x /∈ A.

(13)

Introdu¸

c˜

ao

Neste trabalho, apresentamos um estudo detalhado que tem como finalidade a garantia de que a Equa¸cão Diferencial Parcial El´ıptica não linear

−div (K(x)∇u) = K(x)f(u) + h, x ∈ R2_, ₍₁₎

possui pelo menos duas solu¸c˜oes fracas; onde, h ´e um funcional linear e K(x) = e|x|24 (x ∈ R2).

Para este ﬁm, assumimos que a n˜ao linearidade f exibe crescimento exponencial cr´ıtico, isto ´e, (f0) Existe α0> 0 tal que lim

|s|→+∞

f (s)

eαs2 = 0, para todo α > α0;

e ´e suposta satisfazer as seguintes condi¸c˜oes:

(f1) O limite lim

s→0

f (s)

s = 0 ´e v´alido;

(f2) Existe θ0> 2 tal que

0≤ θ0F (s) := θ0

∫ s

0

f (t) dt≤ sf(s), ∀ s ∈ R;

(f3) Dado θ > 2, existe Rθ > 0 tal que

0 < θF (s)≤ sf(s), ∀ |s| ≥ Rθ;

(f4) Existe β0 > 0 tal que

lim inf s→∞ { f (s)s eα0s2 } ≥ β0 > 4 α0 min r>0 { 1 r2exp ( r2 4 + r2 256 )} .

(14)

que todo o trabalho tem seu desenvolvimento solidificado em uma teoria básica de Métodos Vari-acionais. Sendo assim, precisamos de um espa¸co normado sobre o qual o funcional, cujos pontos cr´ıticos serão as solu¸cões desejadas para (1), esteja bem definido. Tal espa¸co ser´a denotado por X e representar´a o fecho de C_c∞(R2) com rela¸cão à norma

∥u∥ := (∫ R2K(x)|∇u(x)| 2_dx )1 2 .

Esse funcional é dado precisamente pela seguinte defini¸cão:

I(u) := 1 2∥u∥ 2₋ ∫ R2 K(x)F (u(x)) dx− h(u), ∀ u ∈ X.

Salientamos que toda a estrutura necess´aria para encontrarmos os pontos cr´ıticos de I prov´em do Teorema do Passo da Montanha e do Princ´ıpio Variacional de Ekeland. Dessa forma, para a comodidade do leitor, decidimos estabelecer provas detalhadas destes teoremas, a partir de um resultado conhecido como o Teorema da Deforma¸cão (o qual também será demonstrado).

Relembrando os teoremas, referenciados acima, e a defini¸c˜ao do funcional I, notamos que ´e imprescind´ıvel fazermos uso de uma Desigualdade do tipo Trudinger-Moser (ver [15, 20, 22] e referências inclusas), e das condi¸c˜oes satisfeitas por f , para garantirmos que I verifica as hip´oteses do Passo da Montanha e do Princ´ıpio de Ekeland. Sendo assim, apresentamos e provamos essa desigualdade, envolvendo o espa¸co X, a qual est´a inserida no resultado a seguir.

Teorema 0.1. Para todo u ∈ X e β > 0 temos que K|u|2(eβu2 − 1) ∈ L1(R2). Al´em disso, se ∥u∥ ≤ M e βM2 _{< 4π, ent˜}_{ao existe uma constante positiva C = C(M, β) tal que}

∫

R2K(x)|u(x)|

2_(eβ[u(x)]2

− 1) dx ≤ C.

Gostar´ıamos de enfatizar que o teorema, enunciado acima, acarreta informa¸c˜oes tais como:

Teorema 0.2. Sejam u∈ X, β > 0, q > 0 tais que ∥u∥ ≤ M, com βM2 < 4π. Ent˜ao, existe uma constante C = C(β, M, q) > 0 tal que

∫

R2

K(x)|u(x)|2+q(eβ[u(x)]2− 1) dx ≤ C∥u∥q+2.

(15)

para todo 0 < p < 4π(1− ∥v∥2)−1, a menos de subsequˆencia, temos que sup n∈N {∫ R2 K(x)[vn(x)]2(ep[vn(x)] 2 − 1) dx } <∞.

Considerando que o funcional I obedece as hip´oteses do Princ´ıpio de Ekeland, estamos prontos para obter o resultado de existência de solu¸cão fraca para o problema (1). Este é apresentado como segue.

Teorema 0.4. Suponha que f satisfaz (f0)− (f2). Ent˜ao, existe δ1 > 0 tal que, se 0 <∥h∥ < δ1,

o problema (1) tem solu¸c˜ao fraca uh ∈ X. Al´em disso, temos que ∥uh∥ → 0 quando ∥h∥ → 0.

´

E importante ressaltar que, (f3) e (f4) não são citadas no resultado acima; porém, se desejarmos

encontrar uma outra solu¸cão para o problema (1), precisamos supor que essas condi¸cões sejam satisfeitas pela n˜ao linearidade f com a finalidade de que o funcional I verifique a estrutura requerida pelo Passo da Montanha. Mais especificamente, o resultado de multiplicidade de solu¸cões, o qual é a garantia da existência de no m´ınimo duas solu¸cões para o problema (1), está descrito no seguinte teorema:

Teorema 0.5. Suponha que f satisfaz (f0)− (f4). Ent˜ao, existe δ2 > 0 tal que, se 0 <∥h∥ < δ2,

ent˜ao o problema (1) tem no m´ınimo duas solu¸c˜oes fracas.

Portanto, descrevemos sucintamente como os nossos resultados principais de existência, e não unicidade, de solu¸cões para o problema (1) são obtidos nesta disserta¸cão.

Permita-nos, agora, citar alguns artigos que nos motivaram a estudar [17]. Estes trabalhos nos inspiraram por uma razão óbvia, os problemas estudados pelos respectivos autores têm algo em comum com os termos descritos na equa¸cão (1): condi¸cões semelhantes sobre a não linearidade, presen¸ca de um peso ou, até mesmo, generaliza¸c˜ao do Laplaciano para o p-Laplaciano.

F. Catrina, M. Furtado e M. Montenegro [9] apresentaram um estudo da existˆencia de solu¸c˜ao para o problema

−div (K(x)∇u) = K(x)u2∗−1_{+ λK(x)}_|x|α−2_u, _{u > 0}_{∈ R}n_, ₍₂₎

onde n≥ 3, K(x) = e|x|24 , α≥ 2, 2∗ = 2n

n−2 e λ ´e um parˆametro.

(16)

´

e λ1 = 1₄α(n− 2 + α), o artigo [9] apresenta como principais resultados os seguintes teoremas:

Teorema 0.6. Se 2 < α≤ n − 2, o problema (2) tem solu¸c˜ao se, e somente se, λ ∈ (1₂λ1, λ1).

Teorema 0.7. Se n− 2 < α e λ ∈ (α₄2, λ1), o problema (2) tem uma solu¸c˜ao. Al´em disso, se

λ≤ 1₂λ1 ou λ≥ λ1, então (2) não tem solu¸cão.

´

E importante destacar que, o artigo [9] tem nos inspirado devido `a presen¸ca do peso K em (2) (ver tamb´em [16] e referˆencias inclusas).

Buscamos incentivo com respeito à multiplicidade de solu¸cões fracas, para uma Equa¸cão Di-ferencial Parcial El´ıptica, através do artigo [10] (ver também [24] e referências inclusas). Neste trabalho, J. M. do O, E. Medeiros e U. B. Severo [10] estudam o problema

−∆u + V (x)u = f(u) + h(x), x ∈ R2_, ₍₃₎

onde V satisfaz as seguintes hip´oteses:

(V1) V :R2 → R ´e cont´ınua e V (x) ≥ V0> 0, para todo x∈ R2;

(V2) V−1∈ L1(R2),

e f , que tem crescimento exponencial cr´ıtico ou subcr´ıtico, satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

(g0) f ∈ C(R, R) e f(0) = 0;

(g1) Existe θ > 2 e s1> 0 tais que

0 < θF (s) = θ ∫ s

0

f (t) dt≤ s, ∀ |s| ≥ s1;

(g2) Existem constantes R0, M0> 0 tais que

0 < F (s)≤ f(s), ∀ |s| ≥ R0;

(g3) lim

s→02F (s)s −2_{< λ}

1,

onde λ1 ≥ V0 (para mais detalhes ver [10]). Os resultados encontrados em [10] est˜ao descritos a

seguir.

Teorema 0.8. Se f tem crescimento subcr´ıtico e (V1)− (V2), (g0), (g1), (g3) s˜ao satisfeitas, ent˜ao

existe δ1> 0 tal que se 0 <∥h∥ < δ1, o problema (3) tem ao menos duas solu¸c˜oes fracas, uma com

(17)

O teorema acima diz respeito à multiplicidade das solu¸cões fracas de (3) no caso subcr´ıtico. Abaixo, J. M. do Ó, E. Medeiros e U. B. Severo estabelecem informa¸cões sobre o sinal de tais solu¸cões.

Teorema 0.9. Sob as hip´oteses do Teorema 0.8, se h≥ 0 (h ≤ 0) q.t.p. em R2, então as solu¸cões obtidas no Teorema 0.8 são não negativas (não positivas).

Os seguintes dois resultados relatam o caso cr´ıtico para o problema (3). O primeiro deles garante a existˆencia de solu¸c˜ao fraca para este mesmo problema.

Teorema 0.10. Se f tem crescimento cr´ıtico e (V1)− (V2), (g0), (g2), (g3) s˜ao satisfeitas, ent˜ao

existe δ1> 0 tal que, se 0 <∥h∥ < δ1, o problema (3) tem uma solu¸c˜ao fraca com energia negativa.

Quanto a multiplicidade de solu¸c˜oes para o caso cr´ıtico, temos o seguinte resultado.

Teorema 0.11. Sob as hip´oteses do Teorema 0.10, considere que existe β0 > 0 tal que

(f₄+) lim

s→∞sf (s)e

−α0s2 ≥ β

0,

então, existe δ2> 0 tal que, se 0 <∥h∥ < δ2, então o problema (3) tem uma segunda solu¸cão fraca.

Com respeito ao sinal das solu¸c˜oes fracas no caso cr´ıtico, o artigo [10] estabelece o teorema a seguir.

Teorema 0.12. Sob as hip´oteses do Teorema 0.11, se h≥ 0 q.t.p. em R2, então as solu¸cões obtidas no Teorema 0.11 são não negativas. Além disso, se h≤ 0 q.t.p. em R2 e f satisfaz

(f₄−) lim

s→−∞sf (s)e

−α0s2 ≥ β

0 > 0,

então estas solu¸cões são não positivas.

Gostar´ıamos de salientar que é poss´ıvel encontrar na literatura alguns artigos que apresentam resultados que envolvem o p-Laplaciano (ver, por exemplo, [3, 24] e referˆencias inclusas). Sendo assim, permita-nos discorrer sobre um trabalho em especial que serviu de inspira¸cão para o estudo desta disserta¸cão. Este artigo é atribu´ıdo a Adimurthi [3] e estuda o problema

{

∆pu = f (x, u)|u|p−2 em Ω;

u≥ 0,

(18)

todo t ≥ 0; e f apresenta crescimento cr´ıtico. Mais precisamente, considerando que f(x, t) =

h(x, t) exp(b|t|n−1n _{) ´}_{e uma fun¸c˜}_{ao com crescimento cr´ıtico e F (x, t) sua primitiva, Adimurthi [3]}

demonstrou o seguinte resultado:

Teorema 0.13. Assuma que as afirma¸cões abaixo são válidas:

i) J : W₀1,n(Ω)→ R satisfaz a condi¸c˜ao (P S) no intervalo (−∞,1_n(αn

b ) n−1_);

ii) Seja f′(x, t) = ∂

∂tf (x, t) e assuma que sup_x_∈Ωf

′_{(x, 0) < λ} 1(Ω) e lim sup t→∞ inf x∈Ω{h(x, t)t n−1_{} = ∞.}

Ent˜ao, existe u0∈ W01,n(Ω) tal que

     ∆nu0 = f (x, u0)u0p−2, em Ω; u0 ≥ 0, u0 = 0, em ∂Ω. (4) Aqui J (u) = 1 n ∫ Ω |∇u(x)|n_dx₋ ∫ Ω F (x, u(x)) dx, λ1(u) = inf {∫ Ω |∇u(x)|n_{dx :} ∫ Ω |u(x)|n_{dx = 1} } , ∀ u ∈ W₀1,n(Ω), e tamb´em αn = nw 1 n−1

n , onde wn ´e o volume de ∂B1(0). ´E importante ressaltar que o teorema

obt´em solu¸c˜ao para o problema (4).

Por fim, um esbo¸co deste trabalho é dado como segue: no Cap´ıtulo 1, apresentamos as defini¸cões mais importantes e os resultados elementares (sem provas) que serão utilizados no decorrer da disserta¸cão. No Cap´ıtulo 2, enunciamos e demonstramos os Teoremas da Deforma¸cão, do Passo da Montanha e do Princ´ıpio Variacional de Ekeland. No Cap´ıtulo 3, provamos os resultados principais.

(19)

Cap´ıtulo 1

Defini¸

c˜

oes e Resultados B´

asicos

Neste cap´ıtulo, apresentaremos as defini¸cões e os resultados elementares estreitamente ligados ao nosso trabalho. É importante enfatizar que, as referências [1, 5, 6, 7, 12] contêm as informa¸cões dadas logo a seguir.

Comecemos com o conceito de derivada de Fr´echet de um funcional real.

Defini¸c˜ao 1.1. Seja I : X −→ R um funcional, onde X é um espa¸co normado. Dizemos que I é

Fr´echet diferenci´avel em u∈ X, se existir Tu ∈ X

′

(dual de X) tal que lim ||h||→0 |I(u + h) − I(u) − Tu(h)| ||h|| = 0. Neste caso, I′(u)· h = Tu(h), ∀ h ∈ X.

Escrevemos, I ∈ C1(X,R) se I′: X → X′ existir e for cont´ınua.

Existe uma uma outra forma de garantir que um funcional real ´e diferenci´avel.

Defini¸c˜ao 1.2. Seja I : X → R um funcional, onde X é um espa¸co normado. Dizemos que I é

Gˆateaux diferenci´avel em u∈ X se existir Tu∈ X

′ tal que Tu(h) = lim t→0 I(u + th)− I(u) t , ∀ h ∈ X.

(20)

Abaixo adicionamos a defini¸cão de ponto cr´ıtico para um funcional real. Além disso, aprovei-tamos o momento para esclarecer o significado de valor cr´ıtico.

Deﬁni¸c˜ao 1.3. Sejam X um espa¸co de Banach e I ∈ C1(X,R). Dizemos que c ∈ R ´e um valor cr´ıtico de I se existe u∈ X com I′(u) = 0 e I(u) = c. Neste caso, a igualdade I′(u) = 0 caracteriza

u∈ X como ponto cr´ıtico de I.

Possibilite-nos esclarecer o signiﬁcado da express˜ao “o funcional I satisfaz a condi¸c˜ao (P S)”.

Defini¸c˜ao 1.4. Seja I : X → R um funcional (Fréchet) diferenciável, onde X é um espa¸co de

Banach. Dizemos que I satisfaz a condi¸c˜ao de Palais- Smale (P S) se qualquer sequˆencia (un)⊆ X

tal que

|I(un)| ≤ C, e lim n→∞I

′_(u

n) = 0, ∀ n ∈ N,

onde C > 0 ´e uma constante, possui uma subsequˆencia que converge fortemente em X.

Vejamos como conceituar a aﬁrma¸c˜ao “o funcional I satisfaz (P S)c”.

Defini¸c˜ao 1.5. Seja I : X → R um funcional (Fréchet) diferenciável, onde X é um espa¸co de

Banach. Dizemos que I satisfaz a condi¸c˜ao (P S)c se para qualquer sequˆencia (un) ⊆ X que goza

das propriedades

lim

n→∞I(un) = c e nlim→∞I ′_(u

n) = 0,

podemos concluir que c ´e um valor cr´ıtico de I.

A seguir, apresentamos uma lista que fornece alguns resultados elementares que s˜ao aplicados neste trabalho.

• Mergulho cont´ınuo e compacto: Sejam X, Y espa¸cos normados, onde X ⊆ Y . Dizemos

que X est´a mergulhado continuamente (compactamente) em Y , e escrevemos X ,→ Y con-tinuamente (compactamente), se a inclus˜ao i : X ,→ Y (dada por i(x) = x), ´e um operador cont´ınuo (compacto);

• Desigualdade de H¨older: Seja 1 ≤ p ≤ ∞ e denote por q o expoente conjugado de p (isto

´

e, 1_p +1_q = 1). Se u∈ Lp(Ω) e v∈ Lq(Ω), ent˜ao uv∈ L1(Ω), e ∫

Ω

(21)

• Desigualdade de H¨older Generalizada: Suponha que u = u1· ... · uN, onde uj ∈ Lpj(Ω)

(1≤ j ≤ N) com 0 < pj <∞. Se 1_q = _p1₁ + ... +_p1_N, ent˜ao u∈ Lq(Ω) e

∥u∥Lq_(Ω) ≤ ∥u∥_L_p1_(Ω)· ... · ∥u∥_L_pN_(Ω); • Desigualdade de Interpola¸c˜ao: Seja 1 ≤ p < q < r ≤ ∞ tais que 1

q = θ p+ 1−θ r , para algum θ∈ (0, 1). Se u ∈ Lp(Ω)∩ Lr(Ω), ent˜ao u∈ Lq(Ω) e

∥u∥Lq_(Ω) ≤ ∥u∥θ_Lp_(Ω)∥u∥1_L−θr_(Ω);

• Desigualdade de Young: Dados dois n´umeros reais positivos a e b, tem-se ab≤ 1

pa

p₊1

qb

q_,

onde p e q s˜ao expoentes conjugados;

• Teorema da Convergência Dominada: Seja (fn) uma sequência de fun¸cões mensuráveis

sobre Ω tal que lim

n→∞fn = f q.t.p. em Ω. Se existe g ∈ L 1_{(Ω) tal que} _|f n| ≤ g, para todo n∈ N e q.t.p. em Ω, ent˜ao lim n→∞ ∫ Ω fn(x) dx = ∫ Ω f (x) dx;

• Teorema da Convergência Monótona: Seja (fn) uma sequência de fun¸cões mensuráveis

sobre Ω tais que

0≤ f1 ≤ f2 ≤ ... ≤ fn≤ ..., em Ω

e tamb´em lim

n→∞fn= f q.t.p. em Ω. Ent˜ao, podemos inferir que

lim n→∞ ∫ Ω fn(x) dx = ∫ Ω f (x) dx;

• Teorema de Egoroff: Suponha que µ(Ω) < +∞ e que (fn) é uma sequência de fun¸cões reais

mensuráveis que converge quase toda parte em Ω para a fun¸cão real mensur´avel f. Ent˜ao, a sequˆencia (fn) converge quase uniformemente para f, isto é, para todo δ > 0 existe um

conjunto Eδ ⊆ Ω com µ(Eδ) < δ e (fn) converge uniformemente para f em Ω\Eδ.

• Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz para Espa¸cos de Hilbert: Sejam X um espa¸co

de Hilbert e f : X → R um funcional linear e limitado. Ent˜ao, existe um ´unico v ∈ X tal que

(22)

Cap´ıtulo 2

Alguns M´

etodos Variacionais

Neste cap´ıtulo, apresentaremos alguns resultados que serão aplicados nesta disserta¸cão e que desempenham um papel imprescind´ıvel em um curso introdutório de Métodos Variacionais; entre estes, citamos: o Teorema da Deforma¸cão, o Teorema do Passo da Montanha e o Princ´ıpio Vari-acional de Ekeland. É importante ressaltar aqui que, a utiliza¸cão mais relevante destes teoremas, para este trabalho, será exposta com mais detalhes no próximo cap´ıtulo.

Permita-nos esclarecer que este cap´ıtulo apresenta em detalhes algumas informa¸c˜oes contidas em [7, 23].

2.1 Teorema da Deforma¸

c˜

ao

Nesta se¸cão, estamos interessados em provar o Teorema da Deforma¸cão e apresentar uma con-sequência que será utilizada no problema principal desta disserta¸cão. Esse, por sua vez, também desempenhará um papel relevante na prova do Teorema do Passo da Montanha (ver Teorema 2.3 abaixo).

Com a finalidade de estabelecer uma prova para o Teorema da Deforma¸cão, permita-nos garantir a existência de uma campo pseudo-gradiente associado a um funcional.

Lema 2.1. Sejam X um espa¸co de Banach e φ ∈ C1(X,R). Ent˜ao, existe um campo

pseudo-gradiente para φ em Y = {u ∈ X : φ′(u)̸= 0}, isto ´e, existe V : Y → X localmente Lipschitziana

tal que

(23)

onde 0 < β < α.

Demonstra¸cão. Seja eu ∈ Y, então eu ∈ X e φ′(eu) ̸= 0. Pela defini¸cão de norma de um funcional linear, temos que existe w∈ X tal que ∥w∥ = 1 e

2β

α + β∥φ

′_{(eu)∥ < φ}′_{(eu) · w < ∥φ}′_(eu)∥, _(2.2)

pois _α+β2β < 1. Aﬁrmamos que, o campo eV : Y → X dado por

e

V (eu) := α + β

2 ∥φ

′₍_eu)∥w,

satisfaz as desigualdades descritas em (2.1). Com efeito, note que

∥eV (eu)∥ = α + β

2 ∥φ

′₍_{eu)∥∥w∥ =} α + β

2 ∥φ

′₍_{eu)∥ < α∥φ}′₍_eu)∥, _(2.3)

pois β < α, e tamb´em, por (2.2), encontramos

φ′(eu) · [eV (eu)] = α + β

2 ∥φ

′₍_eu)∥[φ′₍_{eu) · w] > β∥φ}′₍_eu)∥2_. _(2.4)

Aﬁrmamos tamb´em que, para cada eu ∈ Y, existe V_eu ⊆ Y , vizinhan¸ca aberta de eu, tal que

∥eV (eu)∥ < α∥φ′(u)∥ e φ′(u)· [eV (eu)] > β∥φ′(u)∥2, ∀ u ∈ V_eu. (2.5) De fato, como φ∈ C1(X,R), ent˜ao φ′: X → X′´e cont´ınua. Assim, dado ϵ > 0, existe δ = δ(ϵ,eu) > 0 tal que ∥φ′(u)− φ′(eu)∥ < ϵ, sempre que ∥u − eu∥ < δ. Sendo assim, assuma que V_eu= Bδ(eu) para

obter

|∥φ′_(u)_{∥ − ∥φ}′₍_{eu)∥| ≤ ∥φ}′_(u)_{− φ}′₍_{eu)∥ < ϵ, ∀ u ∈ V}

eu.

Logo, chegamos a

∥φ′₍_{eu)∥ − ϵ < ∥φ}′_(u)_{∥ < ∥φ}′₍_{eu)∥ + ϵ, ∀ u ∈ V}

eu.

Com isso, para

0 < ϵ≤ min   ∥φ′(eu)∥ − ∥eV (eu)∥ α , [ φ′(eu) · [eV (eu)] β ]1 2 − ∥φ′_(eu)∥   ,

(24)

ver (2.3) e (3.19), deduzimos que

α∥φ′(u)∥ > α(∥φ′(eu)∥ − ϵ)≥ α [

∥φ′(eu)∥ − ∥φ′(eu)∥ +∥eV (eu)∥

α ] =∥eV (eu)∥, e tamb´em β∥φ′(u)∥2 < β[∥φ′(eu)∥ + ϵ]2 ≤ β  ∥φ′₍_{eu)∥ +} [ φ′(eu) · [eV (eu)] β ]1 2 − ∥φ′₍_eu)∥   2 = φ′(eu) · [eV (eu)],

para todo u∈ V_eu. Isto prova (2.5).

´

E f´acil ver que Y ⊆∪_eu∈Y V_eu. Logo, eY ={V_eu:eu ∈ Y } ´e uma cobertura aberta de Y.

Como Y ´e metriz´avel (X ´e Banach), ent˜ao Y ´e paracompacto (ver [19]), isto é, existe um refinamento localmente finito para eY , ou seja, existe {U_eu_i : eui ∈ Y }i∈I ⊆ eY , cobertura aberta de

Y tal que para cada z∈ Y , existe Vz vizinhan¸ca aberta de Y de forma que

Fz ={i ∈ I : Ueui∩ Vz ̸= ∅} ´e ﬁnito.

Agora, deﬁna ρi : Y → R (i ∈ I) por

ρi(x) = d(x,{U_eui), ∀ x ∈ Y. (2.6)

Note que,

ρi(x) = 0, ∀ x /∈ Ueui.

Dessa forma, podemos estabelecer uma aplica¸c˜ao φi : Y → R (i ∈ I), pondo

φi(x) =

ρi(x)

∑

j∈Iρj(x)

, ∀ x ∈ Y. (2.7)

Observe que a soma colocada no denominador acima ´e ﬁnita e positiva para cada x∈ Y. De fato, se

x∈ Y, ent˜ao existe Vxvizinhan¸ca de x tal que Ueui∩Vx̸= ∅, para todo i ∈ Fx(ﬁnito). Logo, x̸∈ Ueui,

para todo i /∈ Fx. Assim, ρj(x) = 0, para qualquer j ̸∈ Fx. Ent˜ao,

∑

j∈Iρj(x) =

∑

i∈Fxρi(x) (Fx ´e

ﬁnito). Al´em disso, ∑_i_∈F

xρi(x) > 0, pois x∈ Ueui para algum i∈ Fx (ver (2.6)).

´

(25)

• 0 ≤ φi≤ 1, ∀ i ∈ I;

• φi ´e cont´ınua, para todo i∈ I;

• ∑

i∈I

φi(x) = 1, para cada x∈ Y .

Agora deﬁna V : Y → X por

V (u) =∑

i∈I

φi(u) eV (eui), ∀ u ∈ Y.

Afirmamos que V ´e a aplica¸c˜ao procurada neste lema. Vamos verificar, primeiramente, que V ´e localmente Lipschitziana. Sendo assim, seja x∈ Y, então existe Vx uma vizinhan¸ca aberta de x tal

que U_eu_i∩ Vx ̸= ∅, para todo i ∈ Fx (ﬁnito). Da´ı, para todo y, z∈ Vx, obtemos

∥V (y) − V (x)∥ = ∑ i∈I φi(y) eV (eui)− ∑ i∈I φi(z) eV (eui) ≤ ∑ i∈Fx |φi(y)− φi(z)∥eV (eui)∥ ≤ Mx ∑ i∈Fx ρi(y) ∑ j∈Fxρj(y) −_∑ ρi(z) j∈Fxρj(z) = Mx ∑ i∈Fx ρi(y) ∑ j∈Fxρj(y) −_∑ ρi(y) j∈Fxρj(z) +∑ ρi(y) j∈Fxρj(z) −_∑ ρi(z) j∈Fxρj(z) , onde Mx = max i∈Fx

{∥eV (eui)∥}. Consequentemente, usando (2.6), chegamos a

para todo y, z ∈ Vx; onde, Nx ´e uma constante (Fx ´e ﬁnito). Mas,

∑

i∈Fxρi(x) > 0. Logo, por

continuidade, existe ax> 0 e Wx uma vizinhan¸ca aberta de x tal que

∑

(26)

Seja Zx = Vx∩ Wx (vizinhan¸ca aberta de x). Ent˜ao, ∥V (y) − V (x)∥ ≤ ( 2MxNx ax ) ∥y − z∥, ∀ y, z ∈ Zx.

Portanto, conclu´ımos que V ´e localmente Lipschitziana.

Resta provar que V veriﬁca (2.1). Com efeito, aplicando (2.5), resulta que

∥V (u)∥ = ∑ i∈I φi(u) eV (eui) = ∑ i∈Fu φi(u) eV (eui) ≤ ∑ i∈Fu

φi(u)∥eV (eui)∥ < α∥φ′(u)∥

∑ i∈Fu φi(u) ≤ α∥φ′_(u)_∥∑ i∈I φi(u)≤ α∥φ′(u)∥ e tamb´em

φ′(u)· [V (u)] = φ′(u)· [ ∑ i∈Fu φi(u) eV (eui) ] = ∑ i∈Fu φi(u)φ′(u)· [eV (eui)] > ∑ i∈Fu φi(u) ( β∥φ′(u)∥2) = β∥φ′(u)∥2 ∑ i∈Fu φi(u) ≤ β∥φ′_(u)_∥2_,

para todo u∈ Y . Como quer´ıamos demonstrar.

Permita-nos enunciar e demonstrar o resultado que d´a nome a esta se¸c˜ao.

Teorema 2.1. Sejam X um espa¸co de Banach e φ ∈ C1(X,R). Considere que S ⊆ X, c ∈ R, 0 < α≤ 2β < 2α, ϵ > 0 pequeno e δ > 0 s˜ao tais que

∥φ′(u)∥ ≥ 4ϵ δ , ∀ u ∈ φ −1([_c_{− 2ϵ}(4β α − 1 ) , c + 2ϵ ( 4β α − 1 )]) ∩ S2δ. (2.8)

Ent˜ao, existe uma aplica¸c˜ao η∈ C([0, 1] × X, X) tal que

i) η(0, u) = u, ∀ u ∈ X; ii) η(t, u) = u, ∀ u ̸∈ φ−1 ([ c− 2ϵ ( 4β α − 1 ) , c + 2ϵ ( 4β α − 1 )]) ∩ S2δ, t∈ [0, 1];

(27)

iii) η(1, φc+ϵ(4βα−1)∩ S) ⊆ φc−ϵ∩ S_δ;

iv) η(1,·) : X → X ´e um homeomorﬁsmo.

Aqui φc={u ∈ X : φ(u) ≤ c} e Sδ={u ∈ X : d(u, S) ≤ δ}, onde d(u, S) = inf

v∈S{∥u − v∥}.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, sejam A = φ−1 ([ c− 2ϵ ( 4β α − 1 ) , c + 2ϵ ( 4β α − 1 )]) ∩ S2δ, B = φ−1 ([ c− ϵ ( 4β α − 1 ) , c + ϵ ( 4β α − 1 )]) ∩ Sδ e tamb´em Y ={u ∈ X : φ′(u)̸= 0}. ´

E f´acil ver que B⊆ int A ⊆ A ⊆ Y. A primeira inclusão segue das defini¸cões dos conjuntos A e B, e do fato de φ ser cont´ınua. Por outro lado, a inclusão A ⊆ Y segue de (2.8). Por conseguinte, podemos escrever B∩ {A = ∅. Com isso,

d(u,{A) + d(u, B) > 0, ∀ u ∈ X,

pois{A e B s˜ao fechados. Dessa forma, podemos deﬁnir ρ : X → R por

ρ(u) = d(u,{A)

d(u,{A) + d(u, B), ∀ u ∈ X.

Note que

0≤ ρ(u) ≤ 1 e ρ(u) = {

1, se u∈ B = B;

0, se u∈ {A,

Al´em disso, temos que ρ ´e localmente Lipschitziana. Com efeito, assuma u0 ∈ X. Ent˜ao, por

continuidade, existem Cu0 > 0 e Vu0(vizinhan¸ca aberta de u0)⊆ X tais que

0 < Cu0 ≤ d(u, {A) + d(u, B), ∀ u ∈ Vu0. (2.9)

Assim, para quaisquer u, v∈ Vu0, temos que

ρ(u)− ρ(v) = d(u,{A)

d(u,{A) + d(u, B)−

d(v,{A) d(v,{A) + d(v, B)

= d(u,{A) − d(v, {A) {A) + d(u, B) +

d(v,{A)[d(v, {A) + d(v, B)] − d(v, {A)[d(u, {A) + d(u, B)]

(28)

Consequentemente, chegamos a

|ρ(u) − ρ(v)| ≤ ∥u − v∥

d(u,{A) + d(u, B)+

d(v,{A)[d(v, {A) − d(u, {A) + [d(v, B) − d(u, B)]

[d(v,{A) + d(v, B)][d(u, {A) + d(u, B)]

≤ ∥u − v∥

d(u,{A) + d(u, B)+

∥u − v∥ + ∥u − v∥ d(u,{A) + d(u, B).

Por ﬁm, por (2.9), conclu´ımos

|ρ(u) − ρ(v)| ≤ 3∥u − v∥

d(u,{A) + d(u, B) ≤

3

Cu0

∥u − v∥, ∀ u, v ∈ Vu0.

Isto prova que ρ ´e localmente Lipschitziana.

Agora, considere que f : X→ X ´e uma fun¸c˜ao dada por

f (u) =

{ _{−ρ(u)V (u)}

∥V (u)∥ , se u∈ A;

0, se u∈ {A,

onde V foi dado no Lema 2.1. Note que, a fun¸cão acima está bem definida, pois aplicando o Lema 2.1, chegamos a

φ′(u)· [V (u)] ≥ γ2∥φ′(u)∥2, ∀ u ∈ Y,

e, consequentemente,

∥V (u)∥ ≥ γ2∥φ′(u)∥ > 0, ∀ u ∈ Y. (2.10)

onde γ2> 0 (´e representado por β no Lema 2.1).

Aﬁrmamos que f ´e localmente Lipschitziana. Provaremos este fato, seguindo alguns passos. Primeiramente, vimos acima que, para cada u0 ∈ X, existe Vu0 (vizinhan¸ca aberta de u0) ⊆ X tal

que ρ ´e Lipschitziana em Vu0.

• u0 ∈ Y :

Neste caso, podemos tomar Vu0 ⊆ Y (diminuindo, se necess´ario), pois Y ´e aberto, de forma

(29)

encontramos

∥f(u) − f(v)∥ = ρ(u)V (u) ∥V (u)∥ − ρ(v)V (v) ∥V (v)∥ = ρ(u)V (u) ∥V (u)∥ − ρ(v)V (u) ∥V (u)∥ + ρ(v)V (u) ∥V (u)∥ − ρ(v)V (v) ∥V (v)∥

≤ |ρ(u) − ρ(v)| + ρ(v)∥∥V (v)∥V (u) − ∥V (u)∥V (v)∥

∥V (u)∥∥V (v)∥ .

Por conseguinte, por (2.10) e (2.8), segue que

∥f(u) − f(v)∥ ≤ |ρ(u) − ρ(v)| + ∥∥V (v)∥V (u) − ∥V (u)∥V (u) + ∥V (u)∥V (u) − ∥V (u)∥V (v)∥_{∥V (u)∥∥V (v)∥} ≤ |ρ(u) − ρ(v)| + |∥V (v)∥ − ∥V (u)∥| + ∥V (u) − V (v)∥_{∥V (v)∥}

≤ |ρ(u) − ρ(v)| + 2∥V (u) − V (v)∥ ∥V (v)∥ ≤ |ρ(u) − ρ(v)| + δ∥V (u) − V (v)∥

2ϵγ2

.

Como ρ e V s˜ao Lipschitzianas em Vu0, inferimos que existe Cu0 > 0 tal que ∥f(u) − f(v)∥ ≤ Cu0∥u − v∥.

Por outro lado, se u∈ Vu0 ∩ A e v ∈ Vu0 ∩ {A, inferimos

∥f(u) − f(v)∥ = ∥f(u)∥ = −ρ(u)V (u)_{∥V (u)∥} = |ρ(u)| _{∥V (u)∥}V (u) = |ρ(u)| = |ρ(u) − ρ(v)|.

Como ρ ´e Lipschitziana em Vu0, conclu´ımos que existe Cu0 > 0 tal que ∥f(u) − f(v)∥ ≤ Cu0∥u − v∥.

Analogamente, se u∈ Vu0 ∩ {A e v ∈ Vu0∩ A, chegamos a ∥f(u) − f(v)∥ ≤ Cu0∥u − v∥,

onde Cu0 ´e uma constante positiva. Por ﬁm, se u, v∈ Vu0 ∩ {A, obtemos ∥f(u) − f(v)∥ = 0 ≤ ∥u − v∥.

(30)

• u0 ∈ Y :/

Neste caso, u0∈ {A. Como {A ´e aberto, ent˜ao podemos assumir que Vu0 ⊆ {A (diminuindo,

se necess´ario). Dessa forma, se u, v∈ Vu0, obtemos

∥f(u) − f(v)∥ = 0 ≤ ∥u − v∥.

Isto nos diz que f ´e Lipschitziana em Vu0.

Outra informa¸c˜ao importante sobre f ´e a seguinte:

∥f(u)∥ ≤ 1, ∀ u ∈ X. (2.11)

De fato, as desigualdades abaixo s˜ao v´alidas:

∥f(u)∥ = −ρ(u)V (u)_{∥V (u)∥} = |ρ(u)| = ρ(u) ≤ 1, ∀u ∈ A,

e tamb´em ´e verdade que

∥f(u)∥ = 0 ≤ 1, ∀ u ∈ {A.

Considerando todas as propriedade que a aplica¸c˜ao f satisfaz, podemos concluir que o problema

de Cauchy _   dw dt(t) = f (w(t)); w(0) = u, (2.12)

onde u∈ X está fixo, tem única solu¸cão definida em R (ver Proposi¸cão B.1 em [13]). Seja w(·, u) : R → X tal solu¸cão e defina η : [0, 1] × X → X por

η(t, u) = w(δt, u), ∀(t, u) ∈ [0, 1] × X.

Vamos provar que η ´e a aplica¸c˜ao desejada. Com efeito, podemos escrever

i) η(0, u) = w(δ· 0, u) = w(0, u) = u, ∀ u ∈ X.

Isto prova i), por (2.12);

ii) Seja u∈ {A. Ent˜ao, f(u) = 0. Da´ı, o problema de Cauchy (2.12) tem como solu¸c˜ao constante

a aplica¸c˜ao

(31)

pois

dw

dt(t, u) = d(u)

dt = 0 = f (u) = f (w(t, u))

e tamb´em w(0, u) = u. Como tal solu¸cão é única, temos que

η(t, u) = w(δt, u) = u, ∀ t ∈ [0, 1] e u ̸∈ A.

A prova de ii) est´a completa.

iii) Note que, pelo Teorema Fundamental do C´alculo, temos que

w(t, u)− w(0, u) =

∫ t

0

dw

dτ(τ, u) dτ.

Assim, por (2.11) e (2.12), podemos deduzir

∥w(t, u) − u∥ ≤

∫ t

0

∥f(w(τ, u))∥ dτ ≤ t ≤ δ, ∀ t ∈ [0, δ]. (2.13) Portanto, obt´em-se, por (2.13), que

d(w(t, u), S) = inf

v∈S{∥w(t, u) − v∥} ≤ ∥w(t, u) − u∥ ≤ δ, ∀ t ∈ [0, δ] e u ∈ S.

Logo, inferimos que

w(t, u)∈ Sδ, ∀ t ∈ [0, δ] e u ∈ S. (2.14)

Consequentemente,

η(t, u) = w(δt, u)∈ Sδ, ∀ t ∈ [0, 1] e u ∈ S. (2.15)

Agora, estamos interessados em provar que a aplica¸c˜ao g = φ◦w(·, u) : R → R é não crescente. Para este fim, primeiramente, observe que, por (2.12), deduzimos que

g′(t) = φ′(w(t, u))· [ dw(t, u) dt ] = φ′(w(t, u))· [f(w(t, u))] , isto ´e, g′(t) = { 0, se w(t, u)∈ {A; − ρ(w(t,u))

(32)

Consequentemente, pelo Lema 2.1, encontramos g′(t)≤ { 0, se w(t, u)∈ {A; − ρ(w(t,u)) ∥V (w(t,u))∥γ2∥φ′(w(t, u))∥2, se w(t, u)∈ A.

Por conseguinte, g′(t)≤ 0, para todo t ∈ R. Logo, g ´e n˜ao crescente. Vamos, agora, checar a veracidade de iii) deste teorema.

Seja, u∈ φc+ϵ(4βα−1)∩ S. Consequentemente, podemos supor que g(et) = φ(w(et, u)) < c− ϵ, para algum et∈ [0, δ],

para obter

φ(η(1, u)) := φ(w(δ· 1, u)) = φ(w(δ, u)) = g(δ) ≤ g(˜t) = φ(w(et, u)) < c − ϵ.

Logo, η(1, u)∈ φc−ϵ_{. Por (2.15), temos que η(1, u)}_{∈ S}

δ, pois u∈ S. Consequentemente,

η(1, u)∈ φc−ϵ∩ Sδ.

Isto veriﬁca iii), neste caso espec´ıﬁco. Assuma, agora, que

φ(w(t, u))≥ c − ϵ, ∀ t ∈ [0, δ]. (2.16)

Primeiramente, lembre que u∈ φc+ϵ(4βα−1). Ent˜ao, φ(u)≤ c + ϵ ( 4β α − 1 ) . (2.17)

Logo, pela monotonicidade de g e pelo problema (2.12), temos que

φ(w(t, u)) = g(t)≤ g(0) = φ(w(0, u)) = φ(u) ≤ c + ϵ

( 4β

α − 1

)

, ∀ t ≥ 0.

Portanto, por (2.16), chegamos a

c− ϵ ( 4β α − 1 ) ≤ φ(w(t, u)) ≤ c + ϵ ( 4β α − 1 ) , ∀ t ∈ [0, δ],

desde que 2β≥ α, isto ´e,

w(t, u)∈ φ−1 ([ c− ϵ ( 4β α − 1 ) , c + ϵ ( 4β α − 1 )]) , ∀ t ∈ [0, δ].

(33)

Por, (2.14), obtemos w(t, u)∈ φ−1 ([ c− ϵ ( 4β α − 1 ) , c + ϵ ( 4β α − 1 )]) ∩ Sδ= B, ∀ t ∈ [0, δ], (2.18)

pois u∈ S. Por conseguinte, pelo Teorema Fundamental do C´alculo, (2.12) e (2.18), resulta que φ(η(1, u)) = φ(w(δ, u)) = φ(w(0, u)) + ∫ δ 0 d dtφ(w(t, u)) dt = φ(u) + ∫ δ 0 φ′(w(t, u))· [ d dtw(t, u) ] dt = φ(u) + ∫ δ 0 φ′(w(t, u))· [f(w(t, u))] dt = φ(u)− ∫ δ 0 ρ(w(t, u))

∥V (w(t, u))∥φ′(w(t, u))· [V (w(t, u))] dt.

Consequentemente, por (2.17) e (2.18), chegamos a

φ(η(1, u)) = φ(u)−

∫ δ

0

1

∥V (w(t, u))∥φ′(w(t, u))· [V (w(t, u))] dt ≤ c + ϵ(4β α − 1) − γ2 γ1 ∫ δ 0 ∥φ′_{(w(t, u))}_∥2 ∥φ′_{(w(t, u))}_∥ dt ≤ c + ϵ(4β α − 1) − γ2 γ1 4ϵ δ ∫ δ 0 dt = c + ϵ(4β α − 1) − 4γ2ϵ γ1 = c− ϵ + 4ϵ [ β α − γ2 γ1 ] ,

onde γ1 > γ2 (aqui γ1 representa α no Lema 2.1) foram encontrados no Lema 2.1. Considere

que γ2 = β e γ1= α (β < α). Da´ı, φ(η(1, u))≤ c − ϵ + 4ϵ [ β α − β α ] = c− ϵ.

Com isso, η(1, u) ∈ φc−ϵ. Deste modo, por (2.15), deduzimos η(1, u) ∈ Sδ (u ∈ S). Por

conseguinte,

(34)

Por ﬁm,

η(1, φc+ϵ(4βα−1)∩ S) ⊆ φc−ϵ∩ S_δ.

Isto prova o item iii).

iv) Deﬁna ξδ₂ : X→ X por

ξ₂δ(u) = w(−δ, u), ∀ u ∈ X. Da´ı, pelo problema (2.12), temos que

[η(1,·) ◦ ξδ₂](u) = η(1,·)(ξδ₂(u)) = η(1, ξ₂δ(u)) = w(δ, w(−δ, u)) = w(δ − δ, u) = w(0, u) = u, e tamb´em [ξ₂δ◦ η(1, ·)](u) = ξ₂δ(η(1,·)) = ξ₂δ(w(δ, u)) = w(−δ, w(δ, u))) = w(−δ + δ, u) = w(0, u) = u,

para todo u∈ X (ver [13]). Logo, ξ₂δ = w(−δ, ·) ´e a inversa de η(1, ·) = w(δ, ·). Logo, η(1, ·) ´

e cont´ınua pela dependência cont´ınua com rela¸cão aos dados iniciais (ver Proposi¸c˜ao B.1 em [13]). O mesmo ocorre com ξ₂δ. Dessa forma, η(1,·) é um homeomorfismo.

Como quer´ıamos demonstrar.

A seguir, apresentaremos um resultado que será utilizado no desenvolvimento da teoria que comprova todas as afirma¸cões, já realizadas, sobre o problema principal desta disserta¸cão.

Corol´ario 2.2. Sejam X um espa¸co de Banach e φ ∈ C1(X,R). Suponha que φ satisfaz (P S).

Se c ∈ R não é um valor cr´ıtico de φ, então dado ϵ > 0 pequeno, existe uma aplica¸cão η ∈ C([0, 1]× X, X) tal que

i) η(0, u) = u, ∀ u ∈ X;

ii) η(t, u) = u, ∀ u ̸∈ φ−1([c− 2ϵ, c + 2ϵ]) , t ∈ [0, 1];

(35)

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, vamos provar que existem θ, γ > 0 tais que

∥φ′_(u)_{∥ ≥ γ, ∀ u ∈ φ}−1_([c_{− 2θ, c + 2θ]) .} _(2.19)

Suponha, por absurdo, que a desigualdade acima ´e falsa. Assim, ter´ıamos (un)⊆ φ−1

(

[c−_n2, c + 2_n]) satisfazendo ∥φ′(u)∥ < 1_n. Dessa forma,

c− 2 n ≤ φ(un)≤ c + 2 n e ∥φ ′_(u n)∥ < 1 n, ∀ n ∈ N. Logo, obtemos φ(un)→ c e ∥φ′(un)∥ → 0.

Como φ satisfaz (P S), ent˜ao existe (unk) ⊆ (un) tal que unk → u, para algum u ∈ X. Por outro

lado, como φ∈ C1(X,R), deduzimos

φ(unk)→ φ(u) e φ

′_(u

nk)→ φ

′_(u).

Logo, por unicidade de limite, φ(u) = c e φ′(u) = 0. Da´ı, c ´e valor cr´ıtico de φ. Isto ´e um absurdo (c n˜ao ´e valor cr´ıtico de φ).

Sejam S = X, ϵ ∈ (0, θ], δ = 4ϵ_γ, α = 2 e β = 1 no Teorema 2.1. Como Sδ = S2δ = X e

φ−1([c− 2ϵ, c + 2ϵ]) ⊆ φ−1([c− 2θ, c + 2θ]), ent˜ao, aplicando (2.19), encontramos

∥φ′_(u)_{∥ ≥ γ =} 4ϵ

δ , ∀ u ∈ φ

−1_([c_{− 2ϵ, c + 2ϵ]) .}

Portanto, existe uma aplica¸c˜ao η∈ C([0, 1] × X, X) tal que

i) η(0, u) = u, ∀ u ∈ X;

ii) η(t, u) = u, ∀ u ̸∈ φ−1([c− 2ϵ, c + 2ϵ]) e t ∈ [0, 1];

iii) η(1, φc+ϵ∩ S) ⊆ φc−ϵ;

(36)

2.2 Teorema do Passo da Montanha

Esta se¸cão será desenvolvida em torno do conhecido Teorema do Passo da Montanha. Este resultado será aplicado em nosso estudo das Equa¸cões Diferenciais Parciais.

Teorema 2.3. Sejam X um espa¸co de Banach e φ ∈ C1(X,R) um funcional satisfazendo a

condi¸c˜ao (P S) (ou (P S)c). Se e∈ X e 0 < r < ∥e∥ s˜ao tais que

a := max{φ(0), φ(e)} < inf

u∈∂Br(0) {φ(u)} =: b, ent˜ao c = inf γ∈Γ { sup t∈[0,1] {φ(γ(t))} } ´

e valor cr´ıtico de φ, com c≥ b, onde

Γ ={γ ∈ C([0, 1], X) : γ(0) = 0 e γ(1) = e}.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, vamos provar que

γ([0, 1])∩ ∂Br(0)̸= ∅, ∀ γ ∈ Γ. (2.20)

Como γ ∈ C([0, 1]), X) e [0, 1] é conexo, então γ([0, 1]) é conexo. Além disso, também temos que 0 = γ(0) ∈ γ([0, 1]) e e = γ(1) ∈ γ([0, 1]). Assim sendo, 0 ∈ γ([0, 1]) ∩ Br(0) e e ∈ γ([0, 1]) ∩

(X\Br(0)), j´a que∥e∥ > r.

Agora deﬁna f : γ([0, 1])→ R por

f (x) = d(x, Br(0))− d(x, (X\Br(0))), ∀ x ∈ γ([0, 1]).

Note que,

f (0) = d(0, Br(0))− d(0, (X\Br(0))) =−d(0, X\Br(0))) < 0

e tamb´em

f (e) = d(e, Br(0))− d(e, (X\Br(0))) = d(e, Br(0)) > 0.

Da´ı, chegamos a f (0) < 0 < f (e). Como f ´e a subtra¸cão de aplica¸cões cont´ınuas, então existe

x0 ∈ γ([0, 1]) (i.e., x0 = γ(t0), para algum t0 ∈ [0, 1]) tal que f(γ(t0)) = f (x0) = 0. Com isso,

d(x0, Br(0)) = d(x0, (X\Br(0))). Logo, x0 ∈ ∂Br[0]. Por ﬁm, x0 ∈ γ([0, 1]) ∩ ∂Br(0), ou seja, a

(37)

A partir de (2.20), podemos concluir b := inf u∈∂Br(0) {φ(u)} ≤ φ(x0) = φ(γ(t0))≤ sup t∈[0,1] {φ(γ(t))}, ∀ γ ∈ Γ.

Por conseguinte, pela defini¸cão de ´ınfimo, temos que

b≤ inf γ∈Γ { sup t∈[0,1] {φ(γ(t))} } =: c.

Agora vamos provar, por absudo, que c é valor cr´ıtico de φ. Sendo assim, assuma que c n˜ao é valor cr´ıtico de φ. Usando o Corolário 2.2, com 0 < ϵ < b−a₂ , temos que existe η∈ C([0, 1] × X, X)

tal que

i) η(t, u) = u, se u̸∈ φ−1([c− 2ϵ, c + 2ϵ]), ∀ t ∈ [0, 1];

ii) η(1, φc+ϵ)⊆ φc−ε.

Por outro lado, pela deﬁni¸c˜ao de ´ınﬁmo, obtemos, γ0∈ Γ tal que

φ(γ0(t))≤ sup

t∈[0,1]

{φ(γ0(t))} < c + ϵ, ∀ t ∈ [0, 1].

Da´ı, inferimos que

γ0(t)∈ φc+ϵ, ∀ t ∈ [0, 1]. (2.21)

Agora, deﬁna bγ : [0, 1] → X pondo

bγ(t) = η(1, γ0(t)), ∀ t ∈ [0, 1].

Aﬁrmamos quebγ ∈ Γ.

Primeiramente, é fácil ver que bγ é cont´ınua, pois η e γ0 o são.

Agora, observe que

0̸∈ φ−1([c− 2ϵ, c + 2ϵ]) ⇔ φ(0) ̸∈ [c − 2ϵ, c + 2ϵ] ⇔ φ(0) > c + 2ϵ ou φ(0) < c − 2ϵ. Por outro lado, sabemos que

(38)

Consequentemente,

φ(0)≤ c − (b − a) < c − 2ϵ.

Dessa forma, deduzimos que 0̸∈ φ−1([c− 2ϵ, c + 2ϵ]). Por conseguinte, pelo item i) acima, encon-tramos

bγ(0) = η(1, γ0(0)) = η(1, 0) = 0.

Analogamente, ´e simples veriﬁcar que

e̸∈ φ−1([c− 2ϵ, c + 2ϵ]) ⇔ φ(e) > c + 2ϵ ou φ(e) < c − 2ϵ. Mas, as desigualdades

φ(e)≤ max{φ(0), φ(e)} =: a < b ≤ c,

implicam que φ(e) < c− (b − a) < c − 2ϵ. Com isso, podemos escrever e ̸∈ φ−1([c− 2ϵ, c + 2ϵ]). Deste modo, chegamos a

bγ(1) = η(1, γ0(1)) = η(1, e) = e,

ver item i) acima. Dessa forma, bγ ∈ Γ.

Agora, usando o item ii) acima e (2.21), conclu´ımos que

bγ(t) = η(1, γ0(t))∈ φc−ϵ, ∀ t ∈ [0, 1].

Portanto,

φ(bγ(t)) ≤ c − ϵ, ∀ t ∈ [0, 1].

Da´ı, pela deﬁni¸c˜ao de supremo, chegamos a sup

t∈[0,1]

{φ(bγ(t))} ≤ c − ϵ < c.

Isto ´e um absurdo, pois c := inf

γ∈Γ{ sup_t_∈[0,1]{φ(γ(t))}}. Por ﬁm, c ´e um valor cr´ıtico de φ. Como

quer´ıamos demonstrar.

2.3 Princ´ıpio Variacional de Ekeland

Nesta se¸cão, apresentaremos outro teorema de extrema relevância na teoria dos Métodos Va-riacionais. Este é conhecido como o Princ´ıpio Variacional de Ekeland. Enfatizamos que este de-sempenhará um papel importante na prova dos nossos resultados principais. Mais especificamente,

(39)

temos o seguinte teorema.

Teorema 2.4. Sejam X um espa¸co m´etrico completo e ϕ : X → R um funcional semicont´ınuo e limitado inferiormente. Dados ϵ > 0 e x∈ X tais que

ϕ(x)≤ inf

u∈X{ϕ(u)} + ϵ, (2.22)

temos, para qualquer δ > 0, que existe y∈ X tal que

i) ϕ(y)≤ ϕ(x); ii) d(x, y)≤ δ;

iii) ϕ(y) < ϕ(u) + ϵ_δd(u, y), ∀ u ∈ X\{y}.

Demonstra¸c˜ao. Deﬁna, sobre X, a seguinte rela¸c˜ao:

u≺ v ⇔ ϕ(u) ≤ ϕ(v) − ϵ

δd(u, v).

´

E fácil ver que ≺ é uma rela¸cão de ordem parcial em X. Com efeito,

• v ≺ v, pois ϕ(v) ≤ ϕ(v) −ϵ δd(v, v); • Se u ≺ v e v ≺ u, ent˜ao ϕ(u)≤ ϕ(v) − ϵ δd(u, v) e ϕ(v)≤ ϕ(u) − ϵ δd(v, u). Logo, inferimos ϕ(u)≤ ϕ(u) − ϵ δd(u, v)− ϵ δd(u, v).

Isto nos diz que d(u, v) = 0, ou seja, u = v.

• Se u ≺ v e v ≺ w, ent˜ao

ϕ(u)≤ ϕ(v) −ϵ

δd(u, v) e ϕ(v)≤ ϕ(w) − ϵ

(40)

Logo, podemos escrever ϕ(u)≤ ϕ(w) − ϵ δd(v, w)− ϵ δd(u, v) = ϕ(w)− ϵ δ[d(u, v) + d(v, w)] ≤ ϕ(w) − ϵ δd(u, w). Portanto, u≺ w.

Vamos em busca de uma sequˆencia decrescente de conjuntos fechados n˜ao vazios (Sn)n∈N∪{0}⊆

X tal que diam (Sn)→ 0. Seja u0 = x dado em (2.22). Deﬁna, S0 ={w ∈ X : w ≺ u0}. Note que

u0 ∈ S0, pois u0 ≺ u0. Portanto, S0 ̸= ∅. Por outro lado, pela defini¸cão de ´ınfimo, existe u1 ∈ S0

tal que

ϕ(u1)≤ inf

u∈S0

{ϕ(u)} + ϵ

2. Deﬁna S1={w ∈ X : w ≺ u1}. Note que, S1̸= ∅, pois u1 ≺ u1.

Indutivamente, deﬁna Sn={w ∈ X : w ≺ un}, onde un∈ Sn−1 e

ϕ(un)≤ inf

u∈Sn−1{ϕ(u)} + ϵ

n + 1, ∀ n ∈ N. (2.23)

Note que, Sn̸= ∅, pois un∈ Sn. Al´em disso, como un∈ Sn−1, temos que un≺ un−1. Da´ı,

ϕ(un)≤ ϕ(un−1)−

ϵ

δd(un, un−1).

Tamb´em temos que Sn+1 ⊆ Sn. pois

w∈ Sn+1⇒ w ≺ un+1⇒ w ≺ un⇒ w ∈ Sn.

Com isso, chegamos a

S0 ⊇ S1 ⊇ ... ⊇ Sn⊇ Sn+1⊇ ...,

isto ´e, (Sn)n∈N∪{0} ´e decrescente.

Vamos agora veriﬁcar que diam (Sn)→ 0.

Com efeito,

w∈ Sn⇒ inf

u∈Sn−1{ϕ(u)} ≤ infu∈Sn

(41)

Al´em disso, w≺ un(w∈ Sn), ou seja, ϕ(w)≤ ϕ(un)−_δϵd(w, un). Portanto, por (2.23), chegamos a

ϵ

δd(w, un)≤ ϕ(un)− ϕ(w) ≤ infu∈Sn−1{ϕ(u)} + ϵ n + 1 − infu∈Sn−1{ϕ(u)} = ϵ n + 1. Assim, deduzimos d(w, un)≤ δ n + 1, ∀ n ∈ N ∪ {0}.

Por conseguinte, para w1, w2 ∈ Sn, obtemos

d(w1, w2)≤ d(w1, un) + d(un, w2)≤ δ n + 1+ δ n + 1 = 2δ n + 1, ∀ n ∈ N ∪ {0}.

Deste modo, podemos concluir diam (Sn) ≤ _n+12δ , para todo n ∈ N ∪ {0}. Consequentemente,

diam (Sn)→ 0.

Agora vamos mostrar que Sn ´e fechado, para todo n∈ N ∪ {0}.

De fato, seja n∈ N∪{0} ﬁxo e considere que (vm)⊆ Sn´e tal que lim

m→∞vm= w. Como vm ∈ Sn,

para todo m∈ N, ent˜ao vm ≺ un, para qualquer m∈ N. Logo,

ϕ(vm)≤ ϕ(un)−

ϵ

δd(vm, un), ∀ m ∈ N. (2.24)

Como ϕ ´e semicont´ınua inferiormente e lim

m→∞vm= w, ent˜ao

ϕ(w)≤ lim inf

m→∞ ϕ(vm).

Al´em disso, d(·, un) ´e cont´ınua. Ent˜ao, d(vm, un)−→ d(w, un), quando m→ ∞. Da´ı, passando ao

limite inferior, quando m→ ∞, em (2.24), obtemos

ϕ(w)≤ lim inf

m→∞ ϕ(vm)≤ ϕ(un)−

ϵ

δd(w, un).

Logo, w≺ un, ou seja, w∈ Sn. Por isso, Sn´e fechado, para cada n∈ N ∪ {0}.

Resumindo, (Sn)n∈N∪{0}´e uma sequˆencia decrescente de fechados n˜ao vazios tais que diam Sn→

0. Isto nos garante que existe um ´unico y∈∩_n_∈N∪{0}Sn.

Vamos veriﬁcar que y∈ X ´e o ponto procurado.

a) Primeiramente, note que

(42)

Isto prova i).

b) Al´em disso, atrav´es das desigualdades acima e (2.22), conclu´ımos que

ϵ

δd(x, y)≤ ϕ(x) − ϕ(y) ≤ infu∈X{ϕ(u)} + ϵ − ϕ(y) ≤ ϕ(y) + ϵ − ϕ(y).

Logo, d(x, y)≤ δ. Isto completa a prova de ii).

c) Seja u∈ X\{y}. Aﬁrmamos que u ̸≺ y

Suponha por absurdo que u ≺ y. Sabemos que, y ∈ ∩_n_∈N∪{0}Sn. Logo, y ∈ Sn, para todo

n∈ N ∪ {0}. Da´ı, y ≺ un, para qualquer n∈ N ∪ {0}. Consequentemente, u ≺ un, para todo

n ∈ N ∪ {0}. Portanto, u ∈ ∩_n_∈N∪{0}Sn. Pela unicidade de y, temos que u = y. Isto ´e um

absurdo, pois u̸= y. Portanto, deduzimos que

u̸≺ y ⇒ ϕ(u) > ϕ(y) − ϵ

δd(u, y)⇒ ϕ(y) < ϕ(u) + ϵ

δd(u, y).

Isto completa a prova de c). Como quer´ıamos demonstrar.

Uma consequência do Princ´ıpio Variacional de Ekeland, que será aplicada neste trabalho, está precisamente enunciada abaixo.

Corol´ario 2.5. Sejam X um espa¸co de Banach e φ ∈ C1(X,R). Suponha que φ ´e um funcional

limitado inferiormente numa bola fechada Br(0) que satisfaz:

inf

u∈Br(0)

{φ(u)} < 0 e φ(u) ≥ δ, (2.25)

para todo u∈ ∂Br(0) e algum δ > 0. Ent˜ao, existe uma sequˆencia (vn)⊆ Br(0) tal que

lim n→∞φ(vn) =_u_∈Binf r(0) {φ(u)} e lim n→∞∥φ ′_(v n)∥ = 0.

Demonstra¸cão. Seja Br(u) uma bola qualquer. Afirmamos que Br(u) ´e um espa¸co métrico

com-pleto. Com efeito, seja (un)⊆ Br(u) uma sequˆencia de Cauchy. Como X ´e um espa¸co de Banach,

temos que un→ v em X (com v ∈ X). Note que, ∥un− u∥ ≤ r. Logo, passando ao limite, quando

n→ ∞, tem-se ∥v − u∥ ≤ r. Portanto, v ∈ Br(u).

(43)

´ınﬁmo, existe (un)⊆ Br(0) tal que inf x∈Br(0) {φ(x)} ≤ φ(un) < inf x∈Br(0) {φ(x)} + 1 n, ∀ n ∈ N.

Consequentemente, φ(un)→ inf

x∈Br(0)

{φ(x)}, quando n → ∞. Como φ ∈ C1_(X,_{R), conclu´ımos que}

esta aplica¸c˜ao ´e cont´ınua (logo, semicont´ınua inferiormente). Por conseguinte, pelo Teorema 2.4 i), conclu´ımos que existe (vn)⊆ Br(0) tal que

inf

x∈Br(0)

{φ(x)} ≤ φ(vn)≤ φ(un), ∀ n ∈ N.

Da´ı, passando ao limite, quando n→ ∞, inferimos que lim

n→∞φ(vn) =_x_∈Binf_r₍₀₎{φ(x)}. (2.26)

Por outro lado, afirmamos que∥vn∥ < r para n suficientemente grande. Caso contrário, passando

a uma subsequˆencia, se necess´ario, ∥vn∥ = r para todo n ∈ N. Neste caso, ter´ıamos, por (2.25),

que φ(vn)≥ δ para todo n ∈ N. Consequentemente, por (2.26) e (2.25), concluir´ıamos que

δ≤ lim

n→∞φ(vn) =x∈Binfr(0)

{φ(x)} < 0.

Isto ´e uma contradi¸c˜ao (δ > 0). Portanto, temos que ∥vn∥ < r para n suﬁcientemente grande.

Dessa forma, considere w ∈ X com ∥w∥ = 1 e, para cada n ∈ N (grande), assuma que t > 0 ´e suﬁcientemente pequeno de forma que vn+ tw∈ Br(0) (i.e., 0 < t≤ r − ∥vn∥). Deste modo, pelo

Teorema 2.4 iii), deduzimos que

ϕ(vn)− ϕ(vn+ tw) < √ 1 n∥vn− (vn+ tw)∥ = √ 1 nt, pois vn+ tw̸= vn(t > 0 e w ̸= 0), ou equivalentemente, ϕ(vn)− ϕ(vn+ tw) t < √ 1 n.

Passando ao limite, quando t→ 0, chegamos a

φ′(vn)· (−w) ≤

√ 1

(44)

Dessa forma, conclu´ımos que ∥φ′_(v n)∥ ≤ √ 1 n, ∀ n ∈ N (grande).

Agora, passando ao limite, quando n→ ∞, inferimos que lim

n→∞∥ϕ ′_(v

n)∥ = 0. (2.27)