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Álgebra matricial exercícios 1 - 13; sebenta, páginas 35 - 42. Exercício 1. Considerar a matriz A.
A = 1 √2 −2 5 0 2/2 −3 6 21 20 π 9 99 4 6 Escrever, se possível,
(a)Os elementos da linha 3; (b)Os elementos da coluna 2; (c)O tipo da matriz A (d)Os elementos a11, a43, a35, a2; (e)O número de elementos da matriz A.
Exercício 2. Escrever matrizes dos tipos seguintes: A2×3, A3×2, A1×1, A1×5 , A5×1.
Exercício 3. Escrever as matrizes seguintes. 1. A matriz nula O2×5.
2. A matriz identidade I4×4.
3. Uma matriz quadrada qualquer (indicar os elementos das diagonais principal e se-cundária).
4. Uma matriz triangular superior e uma matriz triangular inferior. 5. Uma matriz linha e uma matriz coluna.
6. Uma matriz simétrica.
Exercício 4. Efectuar as operações matriciais indicadas. A = " 2 3 −1 7 # B = " 1 −1 5 0 # C = " 1/3 −11 8 0 # (a) − A (b) 2A (c) − 3A (d) A1 2 (e) A − A (f ) A − 2B (g) 4(B − C) (h) 2(3A + C)
Exercício 5. Usar as matrizes do exercício anterior, para veri car as seguintes propriedades operatórias das matrizes.
Propriedade associativa da adição: A + (B + C) = (A + B) + C Propriedade comutativa da adição: A + B = B + A.
as matrizes seguintes, apresentando os elementos na forma aij: A5×1, A1×5, A3×2, A2×4,
A3×3.
Exercício 7. Considerar as matrizes A e B do exercício 4, juntamente com as matrizes
C = " −2 1 3 4 0 1 # D = h 1 2 3 4 i E = 5 −2 6 8 F = " 2 −3 # G =h 5 −3 i. Efectuar, se possível, cada um dos produtos seguintes.
(a) GC e CG (b) ABe BA (c) CEe EC (d) EF e F E
(e) GF e F G
Exercício 8. Considerar o produto de matrizes seguinte. AB = C ⇔ " a11 a12 a13 a21 a22 a23 # b11 b12 b21 b22 b31 b32 = c11 c12 c21 c22 c31 c32 .
Efectuar o menor número de operações possível, para obter os elementos c12e c31da matriz
produto C, em termos de elementos das matrizes A e B.
Exercício 9. Usar as matrizes A, B e C referidas no exercício 7, para veri car as seguintes propriedades operatórias das matrizes.
Propriedade associativa do produto: A(BC) = (AB)C Propriedade da identidade multiplicativa: AI = A; IB = B
Propriedade da distributividade à esquerda: A(B + C) = AB + AC Propriedade da distributividade à direita: (A + B)C = AC + BC
Exercício 10. Utilizar as matrizes A, B e C para mostrar que a igualdade AB = AC não implica sempre B = C, i.e., na álgebra de matrizes não é válida a lei do corte para o produto. A = " 1 1 2 2 # B = " 2 3 −3 −4 # C = " −1 0 0 −1 #
Exercício 11. Seja δrs o símbolo de Kronecker. Resolver a expressão 12δ21−12δ55+
Exercício 12. Utilizar o operador sigma, `Σ', para escrever os elementos c22e c31da matriz
C do exercício 8.
Exercício 13. Seja a matriz A = a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 .
Seja Li a matriz linha correspondente à linha i de A e Cj a matriz coluna correspondente
à coluna j de A. Obter os seguintes resultados por meio de multiplicações de matrizes, envolvendo a matriz A e outras.
1. (a) L1 (b) L2 (c) C1 (d) C2 (e) L1+ L3 (f) C1+ C4 (g) 2L1− L3 (h) 3C1+ 2C3 2. As submatrizes C = " a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 # D = a11 a12 a21 a22 a31 a32 E = " a11 a12 a21 a22 # F = " a12 a14 a32 a34 # . 3. As duas submatrizes do tipo 1 × 1 com os elementos a11 e a23.
Matriz transposta exercício 14; sebenta, páginas 42 - 44.
Exercício 14. Escrever as transpostas das matrizes do exercício 7. Usar estas matrizes para veri car as seguintes propriedades da operação de transposição de matrizes.
(a) (AT)T = A (b) (A + B)T = AT + BT (c) (AB)T = BTAT
Processos de Markov exercício 15.
Exercício 15. Uma população constante de 1 milhão de pessoas divide-se entre uma cidade e os seus subúrbios, sendo num dado momento C0 = 700000, o número de pessoas a viver
na cidade, e S0 = 300000, o número de pessoas a viver nos subúrbios. O nosso objectivo
é analisar a modi cação das populações urbanas e suburbanas a cada ano que passa. Suponha-se que a cada ano 15% da população da cidade se muda para os subúrbios e que 10%da população dos subúrbios se muda para a cidade. A distribuição da população entre cidade e subúrbios depois de n anos é descrita pelo vector população Pn=
" Cn
Sn
# . a) Como se distribui a população no ano seguinte, entre cidade e subúrbios?
b) Preencher a matriz quadrada na expressão seguinte (matriz de transição), de modo que a expressão matricial exprima a relação entre distribuições de população de dois anos consecutivos. " Cn+1 Sn+1 # = " t11 t12 t21 t22 # " Cn Sn #
Exercício 16. De entre as seguintes equações, quais são lineares? (a)√x + 2y = 4 (b) xy − z = 2 (c) x + 2 = 3y (d) x x + y x+ 2 z x = 0
Exercício 17. Determinar as soluções gerais das equações lineares. Escrever duas solu-ções particulares para cada uma. Escrever n-uplos de números, do tipo adequado a cada equação, que não representem soluções particulares das mesmas.
(a) 2x + y = 4 (b) − x + y + z = 2 (c) 3x − y
2 + 3 = 4z (d) 4y − 1/2z = −8x Sistemas de equações lineares exercícios 18 - 24; sebenta, páginas 47 - 59.
Exercício 18. Veri car que (x, y) = (−2, 1) é uma solução particular do sistema de equações lineares na alínea (a), e (x, y, z, w) = (2, 5, 0, −1) é uma solução particular do sistema de equações lineares na alínea (b).
(a) ( 4x + 5y = −3 3x − 2y = −8 (b) x − 2y + z = −8 2x − y − z − 3w = 2 9x − 3y − z − 7w = 10
Exercício 19. Escrever os sistemas de equações lineares que correspondam a uma formali-zação matemática dos seguintes problemas.
1. Uma garrafa de vinho custa 10 euros. O líquido custa mais 9 euros do que a em-balagem. Quais os preços do líquido e da embalagem? Mostrar que a solução deste problema é única.
2. Antes de entrar no seu turno como caixa num supermercado, Maria recebe do seu gerente uma embalagem selada com moedas, com a seguinte inscrição de conteúdo: 250moedas no valor de 40e. Ao abrir a embalagem ela percebe que existem moedas de 20ct e de 10ct. Quantas moedas de cada tipo contém a embalagem?
3. Para a produção de um litro de creme, são usados sumo de fruta, leite e mel. Sabe-se que a quantidade de leite é o dobro da quantidade de sumo de fruta e a quantidade de mel é a nona parte da quantidade dos outros dois líquidos juntos. A dona Teresa fez um litro de creme. Qual a quantidade de sumo de fruta que utilizou?
4. A Júlia, a Andreia e o Luís têm a mesma idade, 12 anos, e cada um tem um peso entre 40 e 50 quilos. Querem pesar-se numa balança antiga que só indica correctamente pesos superiores a 60 kg. Como podem fazer para obter o peso correcto de cada um? Exercício 20. Resolver os sistemas de equações lineares usando os métodos de redução de Gauss e Gauss-Jordan. (a) ( 4x + 5y = −3 3x − 2y = −8 (b) x − 2y + w = −8 2x − y − z − 3w = 0 9x − 3y − z − 7w = 4
Exercício 21. Caracterizar os tipos de soluções dos sistemas lineares, cujas matrizes au-mentadas podem ser reduzidas por linhas às matrizes indicadas.
(a) " −1 −1 2 3 0 1 4 2 # (b) 1 2 3 3 0 1 2 −1 0 0 2 4 (c) 1 1 0 3 0 −4 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 1 −2 (d) 1 2 3 3 0 1 2 −1 0 0 0 4
Exercício 22. Utilizar os métodos de eliminação de Gauss e Gauss-Jordan para encontrar as soluções gerais dos sistemas de equações lineares.
(a) ( 4x + 5y = −3 3x − 2y = −8 (b) ( 4x + 6y = −12 2x + 3y = −6 (c) ( 4x + 6y = −12 x + 3/2y = −3 (d) x − 2y + w = −8 2x − y − z − 3w = 0 9x − 3y − z − 7w = 4 (e) x + y + z = 2 3x − 3y + 3z = 9 4x + 2y + 4z = 9 (f ) 5x + 5y + 5z = 10 3x − 3y + 3z = 9 3x + y + z = 7 (g) 3x + y + 3z = 8 3x + y + 3z = 8 x − y + z = 2 (g) ( 3x − y = −5 −2x − 2y = −2 (h) ( 3x − y = 13 4x − 4y = 12
Exercício 23. Considerar o sistema completo AX = B, B 6= 0.
(a) Considerar o sistema homogéneo associado, AX = 0. Mostrar que se W1 e W2
são duas soluções particulares deste sistema, então qualquer combinação linear na forma r1W1 + r2W2, sendo r1 e r2 dois escalares quaisquer, é também uma solução particular
do sistema. Estender este resultado a combinações lineares com um número qualquer de parcelas do tipo rnWn, sendo rnum escalar qualquer e Wnuma solução particular qualquer
do sistema homogéneo.
(b) Seja Xp uma solução particular concreta qualquer do sistema completo, AX = B.
Mostrar que toda e qualquer solução do sistema completo pode ser escrita na forma X = Xh+ Xp, sendo Xh uma solução particular do sistema homogéneo associado.
Exercício 24. Escrever, se for possível, os seguintes sistemas lineares. (a) Sistema impossível com quatro equações a duas incógnitas.
(b) Sistema possível e determinado com duas equações a quatro incógnitas. (c) Sistema possível e indeterminado com duas equações a quatro incógnitas. (d) Sistema impossível com duas equações a quatro incógnitas.
(e) Sistema possível e determinado com quatro equações a duas incógnitas. Matriz inversa exercício 25; sebenta, páginas 59 - 62.
de Gauss. Veri car os resultados obtidos. (a) " 1 1 0 1 # (b) " 3 6 4 8 # (c) 1 0 1 0 1 1 0 0 −1 (d) 2 1 4 3 2 5 0 −1 1 (d) 0 1 0 1 0 1 0 1 0
Determinantes exercícios 26 - 30; sebenta, páginas 62 - 69.
Exercício 26. Calcular os determinantes das matrizes do exercício 25, usando (a) O método de Laplace;
(b) O método de redução de Gauss-Jordan.
Exercício 27. Usar a matriz da alínea (c), no exercício 25, para resolver, usando o método de Cramer, o sistema AX = B, para os casos B =
−1 0 2 eB = 0 −1 2 .
Exercício 28. Calcular as adjuntas das matrizes das alíneas (a), (b), (c), no exercício 25. Exercício 29. Calcular as inversas das matrizes das alíneas (a), (b), (c), no exercício 25, usando as matrizes adjuntas.
Exercício 30. Usar duas matrizes A e B, do tipo 2 × 2, adequadas para veri car a propri-edade (AB)−1= B−1A−1 da operação de inversão.
Conceitos a de nir
matriz elemento de uma matriz linha
coluna la tipo de uma matriz
matriz linha matriz coluna matriz quadrada
matriz identidade mat. triang. superior mat. triang. inferior
lei do corte matriz transposta matriz simétrica
equação linear sistema de equações lineares solução particular
solução geral forma matricial matriz do sistema
matriz aumentada ops. elementares sobre linhas forma escalonada por linhas forma escalonada reduzida característica de uma matriz matriz inversa
