Utilização de medidas de desempenho e modelos GARCH multivariados na construção de carteiras

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Instituto de Matemática, Estatística

e Computação Científica

Luiz Carlos dos Santos Ferreira Júnior

Utilização de Medidas de Desempenho e Modelos

GARCH Multivariados na Construção de

Carteiras

CAMPINAS 2016

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Utilização de Medidas de Desempenho e Modelos

GARCH Multivariados na Construção de

Carteiras

Dissertação apresentada ao Instituto de Ma-temática, Estatística e Computação Cientí-fica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a ob-tenção do título de Mestre em estatística.

Orientador: Luiz Koodi Hotta

Coorientador: Mauricio Enrique Zevallos Herencia Este exemplar corresponde à versão final

da dissertação defendida pelo aluno Luiz Carlos dos Santos Ferreira Júnior, e ori-entada pelo Prof. Dr. Luiz Koodi Hotta.

Campinas 2016

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Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Ferreira Júnior, Luiz Carlos dos Santos,

F413u FerUtilização de medidas de desempenho e modelos GARCH multivariados na construção de carteiras / Luiz Carlos dos Santos Ferreira Júnior. – Campinas, SP : [s.n.], 2016.

FerOrientador: Luiz Koodi Hotta.

FerCoorientador: Mauricio Enrique Zevallos Herencia.

FerDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Fer1. Volatilidade (Finanças). 2. Modelo GARCH. 3. Análise de séries temporais. 4. Monte Carlo, Método de. I. Hotta, Luiz Koodi. II. Zevallos Herencia, Mauricio Enrique. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: On the use of performance measures and multivariate GARCH

models in the construction of portfolios

Palavras-chave em inglês:

Volatility (Finance) MGARCH model Time-series analysis Monte Carlo method

Área de concentração: Estatística Titulação: Mestre em Estatística Banca examinadora:

Luiz Koodi Hotta [Orientador] Pedro Luiz Valls Pereira André Alves Portela Santos

Data de defesa: 15-12-2016

Programa de Pós-Graduação: Estatística

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Pela Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof(a). Dr(a). LUIZ KOODI HOTTA

Prof(a). Dr(a). PEDRO LUIZ VALLS PEREIRA

Prof(a). Dr(a). ANDRÉ ALVES PORTELA SANTOS

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

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Agradeço primeiramente a Deus, que apesar dos momentos de desânimos e falta de fé, nunca me abandona.

Agradeço ao meu pai, Luiz, minha mãe, Sandra, e à minha irmã, Natália, que foram compreensivos com a minha ausência e pacientes nos momentos de tensão, me acolheram nos momentos de angústia, me deram forças nos momentos de desânimo, sempre me apoiando em tudo o que me dispus a fazer, acreditando em mim mais do que eu mesmo conseguia acreditar.

À minha namorada, Lívia, por aparecer na fase mais turbulenta de todo esse processo, me apoiando e incentivando quando eu mais precisei, e deixando meus dias mais leves e felizes.

Aos meus grandes amigos, Vini e Jamal, que não foram apenas colegas de quarto, mas grandes companheiros que a vida me proporcionou.

Aos grandes amigos que o mestrado me apresentou, Chico, Thais e Thalita, pois eu encontrava forças neles quando as coisas pareciam impossíveis, por tudo o que me ensinaram em todo esse processo e por todos os momentos de distração e diversão que sempre nos dava uma nova energia para seguir caminhando.

Aos meus professores, Hotta e Mauricio, por terem me orientado e por todos os ensi-namentos durante esse longo processo.

Ao laboratório EPIFISMA e seus integrantes, onde compartilhamos muitas horas de estudos juntos.

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Na construção de carteiras de investimento, a escolha do modelo e de critérios de ava-liação de modelos são cruciais. Nesta dissertação estudamos essas questões considerando a família de modelos GARCH multivariados (MGARCH) e critérios de avaliação estatísti-cos e econômiestatísti-cos. Especificamente consideramos os modelos DCC, ADCC, GO-GARCH e BEKK e os seguintes critérios de avaliação: static portfolio performance, carteira de mínima variância, tracking error minimization, relative performance, turnover, índice de Sharpe e Valor em Risco. O estudo é realizado através de simulações e análise de dados re-ais investigando a qualidade dos critérios em termos de seleção, diagnóstico e desempenho. Também é avaliada a perda de eficiência ao estimar modelos incorretamente especificados. A partir do estudo de Monte Carlo concluímos que a variância acumulada da carteira, o tracking error minimization e a volatilidade incondicional da carteira constituem bons critérios de seleção. Adicionalmente, em termos de diagnóstico, os critérios em geral apre-sentaram baixo poder, e nas análises de desempenho, os modelos incorretos que perderam menos eficiência foram os dois modelos de correlações condicionais e, em contrapartida, o modelo GO-GARCH foi o que mais perdeu eficiência nos resultados das medidas quando era o incorreto. Na aplicação com dados reais de 10 ações brasileiras, utilizamos oito mo-delos MGARCH e seis medidas de avaliação de momo-delos. Entre os momo-delos estudados na aplicação, os modelos de correlações condicionais, principalmente o DCC, apresentaram melhores resultados nas medidas comparado aos modelos da classe de fatores.

Palavras-chave: volatilidade, modelos MGARCH, medidas de desempenho, seleção,

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In the construction of portfolios, the selection of the model and of tests to evaluate the models plays an important role. In the dissertation we analyze these issues using several statistical and economic performance measures, when multivariate GARCH (MGARCH) models are used to predict the future volatilities. Specifically we used DCC, ADCC, BEKK and GO-GARCH models using the following measures: static portfolio perfor-mance, global minimum variance portfolio formulation, tracking error minimization, rela-tive performance, turnover, Sharpe ratio and Value at Risk. We performed a simulation study to investigate the performance of the measures as model selection criteria, as test of misspecification and performance measure. We also analyze the loss of efficiency when using incorrectly specified models. In the simulation study the accumulated variance port-folio, tracking error minimization and portfolio unconditional volatility showed a good performance as model selection criterion. In general, the measures studied showed bad results when used as diagnostic tests with low power. Additionally, in the performance study the models that showed the least loss of efficiency when incorrect were conditional correlation models, and the GO-GARCH model showed the highest loss of efficiency when incorrect. Last, we performed an application to real data of 10 Brazilian assets using eight MGARCH models and six measures of performance. Among the models studied in the application, the conditional correlation class of models, mainly the DCC model, presented better results for the measures in relation of factor class of models.

Keywords: volatility, MGARCH models, measures of performance, selection,

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5.1 Funções de autocorrelação dos retornos no período de 02/01/2002 à 24/08/2015.108 5.2 Funções de autocorrelação dos quadrados dos retornos no período de 02/01/2002

à 24/08/2015. . . 108 A.1 Turnover calculado em cada simulação para cada modelo quando os dados

são gerados pelo modelo DCC. A linha vermelha é o turnover em cada simulação e a linha preta tracejada é a média dos turnovers. . . 136 A.2 Turnover calculado em cada simulação para cada modelo quando os dados

são gerados pelo modelo ADCC. A linha vermelha é o turnover em cada simulação e a linha preta tracejada é a média dos turnovers. . . 137 A.3 Turnover calculado em cada simulação para cada modelo quando os dados

são gerados pelo modelo GO-GARCH. A linha vermelha é o turnover em cada simulação e a linha preta tracejada é a média dos turnovers. . . 137 A.4 Turnover calculado em cada simulação para cada modelo quando os dados

são gerados pelo modelo BEKK. A linha vermelha é o turnover em cada simulação e a linha preta tracejada é a média dos turnovers. . . 138 A.5 Índice de Sharpe calculado em cada simulação para cada modelo quando

os dados são gerados pelo modelo DCC. A linha vermelha é o índice de Sharpe em cada simulação e a linha preta tracejada é a média dos índices de Sharpe. . . 138

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os dados são gerados pelo modelo ADCC. A linha vermelha é o índice de Sharpe em cada simulação e a linha preta tracejada é a média dos índices de Sharpe. . . 139 A.7 Índice de Sharpe calculado em cada simulação para cada modelo quando os

dados são gerados pelo modelo GO-GARCH. A linha vermelha é o índice de Sharpe em cada simulação e a linha preta tracejada é a média dos índices de Sharpe. . . 139 A.8 Índice de Sharpe calculado em cada simulação para cada modelo quando

os dados são gerados pelo modelo BEKK. A linha vermelha é o índice de Sharpe em cada simulação e a linha preta tracejada é a média dos índices de Sharpe. . . 140 B.1 Séries históricas de cotações e retornos do Índice IBOV do período de

02/01/2002 à 24/08/2015. . . 141 B.2 Séries históricas de cotações e retornos do ativo ABEV3 do período de

02/01/2002 à 24/08/2015. . . 142 B.3 Séries históricas de cotações e retornos do ativo BBAS3 do período de

02/01/2002 à 24/08/2015. . . 142 B.4 Séries históricas de cotações e retornos do ativo BBDC4 do período de

02/01/2002 à 24/08/2015. . . 142 B.5 Séries históricas de cotações e retornos do ativo BRKM5 do período de

02/01/2002 à 24/08/2015. . . 143 B.6 Séries históricas de cotações e retornos do ativo CRUZ3 do período de

02/01/2002 à 24/08/2015. . . 143 B.7 Séries históricas de cotações e retornos do ativo PETR4 do período de

02/01/2002 à 24/08/2015. . . 143 B.8 Séries históricas de cotações e retornos do ativo VALE3 do período de

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02/01/2002 à 24/08/2015. . . 144 B.10 Séries históricas de cotações e retornos do ativo PCAR4 do período de

02/01/2002 à 24/08/2015. . . 144 B.11 Retornos e retornos acumulados das quatro carteiras estudadas geradas

pelo modelo em negrito. Em verde estão os retornos do CMV 1, do CMV 2 estão em azul, do CMV 3 estão em laranja e do CMV 4 estão em preto. . 148 B.12 Retornos e retornos acumulados das quatro carteiras estudadas geradas

pelo modelo em negrito. Em verde estão os retornos do CMV 1, do CMV 2 estão em azul, do CMV 3 estão em laranja e do CMV 4 estão em preto. . 150

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4.1 Percentual em que os modelos apresentaram o menor valor para (^𝜇 − 1)2

entre as 1000 replicações quando ajustaram os dados gerados pelos modelos no cabeçalho. Em negrito estão as maiores percentagens para cada conjunto de dados. . . 74 4.2 Percentual em que os modelos apresentaram o menor valor para ^𝜌2 entre

as 1000 replicações quando ajustaram os dados gerados pelos modelos no cabeçalho. Em negrito estão as maiores percentagens para cada conjunto de dados. . . 74 4.3 Percentual em que os modelos apresentaram a menor estatística do teste

conjunto para a hipótese nula H0 : 𝜇 = 1, 𝜌 = 0 entre as 1000

replica-ções quando ajustaram os dados gerados pelos modelos no cabeçalho. Em negrito estão as maiores percentagens para cada conjunto de dados. . . 75 4.4 Percentual em que os modelos apresentaram o menor valor para a variância

acumulada observada, para o módulo do excesso de variância e para a estatística do teste para a hipótese nula H0 : Excesso de variância = 0,

entre as 1000 replicações quando ajustaram os dados gerados pelos modelos no cabeçalho. Em negrito estão as maiores percentagens para cada conjunto de dados. . . 76 4.5 Percentual em que os modelos apresentaram o menor valor para tracking

error entre as 1000 replicações quando ajustaram os dados gerados pelos

modelos no cabeçalho. Em negrito estão as maiores percentagens para cada conjunto de dados. . . 78

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entre as 1000 replicações quando ajustaram os dados gerados pelos modelos no cabeçalho. Em negrito estão as maiores percentagens para cada conjunto de dados. . . 79 4.7 Percentual em que os modelos apresentaram os maiores valores para os

índices de Sharpe positivos e os menores valores para a volatilidade incon-dicional da carteira entre as 1000 replicações quando ajustaram os dados gerados pelos modelos no cabeçalho. Em negrito estão as maiores percen-tagens para cada conjunto de dados. . . 80 4.8 Resultados do Static Portfolio Performance utilizando os dados

simula-dos pelos modelos em negrito para o caso das carteiras com 1 ativo. As três primeiras colunas apresentam a percentagem de casos que os testes t aplicados rejeitaram as hipóteses nulas descritas ao nível de significância de 5% a partir da Regressão (3.1.4) entre as 1000 replicações. A quarta e a quinta coluna apresentam as médias dos parâmetros estimados desta mesma regressão nas 1000 replicações. . . 82 4.9 Resultados do Static Portfolio Performance utilizando os dados

simula-dos pelos modelos em negrito para o caso das carteiras com 3 ativos. As três primeiras colunas apresentam a percentagem de casos que os testes t aplicados rejeitaram as hipóteses nulas descritas ao nível de significância de 5% a partir da Regressão (3.1.4) entre as 1000 replicações. A quarta e a quinta coluna apresentam as médias dos parâmetros estimados desta mesma regressão nas 1000 replicações. . . 83

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mínima variância através da Equação (3.1.7), utilizando os dados simulados pelos modelos em negrito. A primeira coluna apresenta as médias das variâncias acumuladas observadas, a segunda coluna apresenta a média do módulo dos excessos de variâncias e a terceira coluna apresenta o percentual de casos em que o teste t aplicado rejeitou a hipótese descrita ao nível de significância de 5% entre as 1000 replicações. . . 84 4.11 Resultados provenientes das carteiras selecionadas pelo critério tracking

error minimization através da Equação (3.1.13), utilizando os dados

si-mulados pelos modelos em negrito. T.E. representa a média dos tracking

errors, e as demais colunas apresentam os percentuais de casos em que o

teste t aplicado rejeitou a hipótese nula descrita ao nível de significância de 5% entre as 1000 replicações. . . 86 4.12 Resultados para o VaR95% _{estimado pelos modelos da primeira coluna com}

séries geradas pelos modelos em negrito. A tabela apresenta a média da percentagem de violações, o seu desvio-padrão e as percentagens em que os testes de cobertura incondicional (C.I.), dependência serial (D.S.) e cober-tura condicional (C.C.) rejeitaram a hipótese nula ao nível de significância de 5% entre as 1000 replicações. . . 88 4.13 Resultados para o VaR99% _{estimado pelos modelos da primeira coluna com}

séries geradas pelos modelos em negrito. A tabela Apresenta a média da percentagem de violações, o seu desvio-padrão e a percentagem em que os testes de cobertura incondicional (C.I.), dependência serial (D.S.) e cober-tura condicional (C.C.) rejeitaram a hipótese nula ao nível de significância de 5% entre as 1000 replicações. . . 89

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dos modelos incorretos segundo o índice (^𝜇 − 1)2 da medida static portfolio

performance. Em negrito estão as médias dos resultados de (^𝜇 − 1)2 das

1000 replicações para os modelos verdadeiros. Para os modelos incorretos, temos a percentagem da perda de eficiência das médias de (^𝜇 − 1)2 _das

1000 replicações contra os modelos verdadeiros, como mostrado na Equação (4.4.1). São apresentados os resultados para as carteiras com 1 e com 3 ativos. . . 91 4.15 Desempenho dos modelos verdadeiros e percentual da perda de eficiência

dos modelos incorretos segundo o índice (^𝜇 − 1)2 da medida static portfolio

performance. Em negrito estão as medianas dos resultados de (^𝜇 − 1)2 das

1000 replicações para os modelos verdadeiros. Para os modelos incorretos, temos a percentagem da perda de eficiência das medianas de (^𝜇 − 1)2 _das

1000 replicações contra os modelos verdadeiros, como mostrado na Equação (4.4.1). São apresentados os resultados para as carteiras com 1 e com 3 ativos. . . 91 4.16 Desempenho dos modelos verdadeiros e percentual da perda de

eficiên-cia dos modelos incorretos segundo o índice ^𝜌2 _{da medida static portfolio}

performance. Em negrito estão as médias dos resultados de ^𝜌2 das 1000

replicações para os modelos verdadeiros. Para os modelos incorretos, temos a percentagem da perda de eficiência das médias de ^𝜌2 _{das 1000 replicações}

contra os modelos verdadeiros, como mostrado na Equação (4.4.1). São apresentados os resultados para as carteiras com 1 e com 3 ativos. . . 92

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cia dos modelos incorretos segundo o índice ^𝜌2 da medida static portfolio

performance. Em negrito estão as medianas dos resultados de ^𝜌2 das 1000

replicações para os modelos verdadeiros. Para os modelos incorretos, temos a percentagem da perda de eficiência das medianas de ^𝜌2 _{das 1000}

repli-cações contra os modelos verdadeiros, como mostrado na Equação (4.4.1). São apresentados os resultados para as carteiras com 1 e com 3 ativos. . . 92 4.18 Desempenho dos modelos verdadeiros e percentual da perda de eficiência

dos modelos incorretos segundo o ”excesso de variância” da medida carteira de mínima variância. Em negrito são as médias dos excessos de variância calculadas pela Equação (4.4.3) das 1000 replicações para os modelos ver-dadeiros. Para os modelos incorretos, temos a percentagem da perda de eficiência das médias dos excessos de variância das 1000 replicações contra os modelos verdadeiros, como mostrado na Equação (4.4.1). . . 95 4.19 Desempenho dos modelos verdadeiros e percentual da perda de eficiência

dos modelos incorretos segundo o ”excesso de variância” da medida carteira de mínima variância. Em negrito são as medianas dos excessos de variân-cia calculadas pela Equação (4.4.3) das 1000 replicações para os modelos verdadeiros. Para os modelos incorretos, temos a percentagem da perda de eficiência das medianas dos excessos de variância das 1000 replicações contra os modelos verdadeiros, como mostrado na Equação (4.4.1). . . 95 4.20 Resultados do relative performance para os dados simulados pelos modelos

em negrito para as carteiras de mínima variância formadas pelos modelos comparados na primeira coluna. O ¯^𝜃 é a média das diferenças das variâncias observadas das carteiras, calculados pela Equação (3.1.14). As diferenças são feitas da forma modelo 1 × modelo 2, representadas por ”Mod. 1 × Mod. 2”. H0 : 𝜃 = 0 representa a percentagem de vezes em que a hipótese

foi rejeitada pelo teste t bilateral ao nível de 5% de significância. G.G. representa o modelo GO-GARCH. . . 97

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variância geradas pelos modelos da primeira coluna quando ajustaram os dados gerados pelos modelos em negrito. D.P. é o desvio-padrão. . . 98 4.22 Em negrito são as médias das volatilidades incondicionais das carteiras para

os modelos verdadeiros e, para os incorretos, percentagens em termos de perda de eficiência segundo as volatilidades incondicionais das carteiras em relação aos modelos verdadeiros, e médias dos índices de Sharpe, utilizando-se as carteiras de mínima variância geradas pelos modelos da primeira coluna ao ajustarem os conjuntos de dados em negrito. . . 99 4.23 Desempenho dos modelos verdadeiros e percentual da perda de eficiência

dos modelos incorretos para o critério de função perda assimétrica da Equa-ção (3.2.14) (representada por ”Média”), e percentagens de vezes em que o teste CPA foi rejeitado ao nível de 5% de significância para os modelos es-tudados quando ajustaram os conjuntos de dados em negrito, sendo ambos os critérios da medida VaR. Em negrito são as médias das funções perda das 1000 replicações para os modelos verdadeiros. Para os modelos incor-retos, temos a percentagem da perda de eficiência das médias das funções perda das 1000 replicações contra os modelos verdadeiros, como mostrado na Equação (4.4.1). Os cálculos foram feitos para os níveis de 95% e 99% de confiança do VaR. . . 102 5.1 Estatísticas descritivas referentes aos retornos dos preços dos ativos da

primeira coluna, do período de 02/01/2002 à 24/08/2015. . . 107 5.2 Variâncias dos retornos dos ativos da primeira coluna na diagonal

princi-pal, e correlações entre os retornos dos ativos da primeira coluna com o cabeçalho nas demais posições, do período de 02/01/2002 à 24/08/2015. . 107 5.3 Modelos GARCH e distribuições escolhidas para cada ativo da primeira

coluna. . . 110 5.4 Total de parâmetros por modelo estimado. Inclui os parâmetros das

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defasagens para os modelos da primeira coluna. . . 112 5.6 Modelos que apresentaram o melhor desempenho para os critérios

destaca-dos para as carteiras do static portfolio performance. . . 113 5.7 Modelos que apresentaram o melhor desempenho para os critérios

destaca-dos para as carteiras do tracking error minimization. . . 113 5.8 Modelos que apresentaram o melhor desempenho para os critérios

destaca-dos para as carteiras de mínima variância. . . 115 5.9 Resultados do relative performance para os dados simulados pelos modelos

em negrito para as carteiras de mínima variância formadas pelos mode-los comparados na primeira coluna. O ¯𝜃 foi calculado através da Equação (3.1.15). As diferenças são feitas da forma modelo 1 × modelo 2, repre-sentadas por ”Mod. 1 × Mod. 2”. ^𝜃 < 0 (^𝜃 > 0) significa que a variância observada da carteira 2 é maior (menor) que a variância observada da car-teira 1. H0 : 𝜃 = 0 representa o p-valor do teste descrito. G.G. representa

o modelo GO-GARCH e O.G. representa o modelo O-GARCH. . . 119 5.10 Total de ocorrências em que cada modelo apresentou o melhor desempenho

para os critérios estudados. . . 120 5.11 Modelos que não rejeitaram as hipóteses nulas ao nível de 5% de

signifi-cância para a carteira com 10 ativos e modelos que rejeitaram em menos de 50% dos casos as hipóteses nulas ao nível de 5% de significância para as carteiras long-long e long-short. . . 121 5.12 Modelos que não rejeitaram a hipótese nula ao nível de 5% de significância

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Na carteira com todos os ativos, as três primeiras colunas reportam os p-valores estimados dos testes a partir da Regressão (3.1.4), enquanto que nas carteira long-long e long-short, reportam a proporção de casos em que se rejeitou as hipóteses dos testes, ao nível de 5% de significância. A quarta e a quinta coluna contêm os valores estimados dos parâmetros estimados desta regressão, para o primeiro caso, e as médias das estimativas, no segundo caso. . . 145 B.2 Resultados da medida tracking error para os modelos estudados. T.E.

representa a média dos tracking errors estimados, o (Excesso de Retorno)2

é a média dos resultados da Equação (3.1.10), seguido das médias dos excessos de variância e a proporção de vezes em que o teste t rejeitou a hipótese descrita. . . 146 B.3 Resultados provenientes das carteiras em negrito geradas pelos modelos

estudados. A primeira coluna reporta a variância realizada da carteira, a segunda coluna reporta o excesso de variância e a terceira coluna reporta o p-valor do teste t para a hipótese descrita. . . 147 B.4 Turnovers gerados pelas carteiras em negrito para cada modelo estudado. 150 B.5 Variância estimada e índice de Sharpe médio calculados para as carteiras

em negrito, quando estimados por cada modelo estudado. . . 151 B.6 Retornos observados acumulados líquidos de custos de transaçao e índices

de Sharpe calculados a partir destes retornos líquidos para as carteiras em negrito, quando estimadas por cada modelo estudado. . . 151

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1 Introdução 23

1.1 Objetivos . . . 28

1.2 Contribuições à Literatura . . . 29

1.3 Organização da Dissertação . . . 30

2 Modelos para a Volatilidade de Séries Temporais 31 2.1 Modelos de Volatilidade Univariados . . . 33

2.1.1 ARCH . . . 33

2.1.2 GARCH . . . 34

2.1.3 GJR-GARCH . . . 35

2.1.4 Outros Modelos . . . 36

2.2 Modelos Multivariados . . . 37

2.2.1 Generalizações Diretas dos Casos Univariados . . . 38

2.2.2 Modelos de Correlações Condicionais . . . 41

2.2.3 Modelos Fatoriais . . . 47

2.3 Estimação e Previsão . . . 50

3 Medidas de Avaliação de Modelos 54 3.1 Medidas Estatísticas . . . 55

3.1.1 Static Portfolio Performance . . . 55

3.1.2 Carteira de Mínima Variância . . . 56

3.1.3 Tracking Error Minimization . . . 58

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3.2.1 Turnover . . . 60

3.2.2 Índice de Sharpe . . . 60

3.2.3 Valor em Risco . . . 61

4 Simulação de Monte Carlo 66 4.1 Modelos, Estimação e Simulação . . . 67

4.1.1 Modelos . . . 67

4.1.2 Simulação . . . 70

4.1.3 Estimação . . . 72

4.2 Seleção . . . 73

4.2.4 Turnover . . . 78

4.3 Diagnóstico . . . 80

4.4 Desempenho . . . 89

4.4.4 Relative Performance . . . 96

4.4.5 Turnover . . . 98

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5.1 Análise Descritiva dos Dados . . . 106 5.2 Metodologia e Resultados . . . 108 5.2.1 Resultados da Aplicação . . . 112 5.3 Síntese da Aplicação . . . 123

6 Conclusões e Considerações Finais 125

Referências 127

A Simulação 136

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Capítulo 1

Introdução

O comportamento dos preços e retornos de ativos financeiros tem sido objeto de estudo na literatura financeira há algumas décadas, e a demanda por modelagens apropriadas vem crescendo bastante com o aumento da complexidade dos produtos financeiros, co-nexão entre mercados, crises econômicas e desenvolvimento tecnológico. Como reflexo desta demanda, temos presenciado um forte aumento na literatura financeira. Dentre as variáveis estudadas no mercado financeiro, a volatilidade merece um destaque importante. O conceito de volatilidade em finanças está diretamente relacionada ao conceito de risco da aplicações financeiras. Embora seja um conceito aparentemente simples, não existe uma forma única de defini-la, sendo geralmente definida como o desvio padrão dos retornos de uma aplicação financeira, em um certo período, condicionado às informações existentes no início do período. Nesta dissertação consideraremos a informação como sendo os valores observados das aplicações até o tempo inicial. Porém, mesmo com esta definição, a volatilidade continua sendo uma variável não observável. Como a volatilidade é um instrumento importante na seleção e manutenção de carteiras, precificação de ações e opções, proteção de ativos e no gerenciamento e controle de riscos (Sarkar e Brooks, 2003), surgiram várias formas de se estimá-la.

A escolha do método de estimação e da análise de seu desempenho dependerá da finalidade da estimativa. Neste trabalho, consideraremos que a estimativa da volatilidade será utilizada na construção de carteiras e as medidas de desempenho deverão refletir esta finalidade. A análise de otimização de carteiras foi introduzida na literatura através da

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abordagem média-variância proposta por Markowitz (1952), que utiliza do conceito de risco × retorno na construção de carteiras ótimas. Entretanto, além do risco e retorno, o investido pode ter outras medidas de desempenho, ou seja, outras finalidades. Algumas destas medidas de desempenho são dadas no Capítulo 3.

Algumas características da volatilidade são conhecidas, como a sua variação no tempo (heterocedasticidade) e a tendência em se agrupar em certos períodos, fazendo com que pequenas variações tendam a ser sucedidas por pequenas variações, e grandes variações tendam a ser sucedidas por grandes variações; este fato estilizado é conhecido como "con-glomerados de volatilidade". Além disso, a volatilidade se mostra autocorrelacionada, ou seja, a volatilidade atual é dependente de seus valores passados. Na tentativa de explicar esses comportamentos, o primeiro modelo da classe chamada de ARCH (Autoregressive

Conditional Heteroskedastic - modelo autorregressivo para a heteroscedasticidade

condi-cional) foi proposto por Engle (1982) para a modelagem da variância da inflação no Reino Unido e, posteriormente, teve uma série de extensões criadas.

A extensão mais conhecida foi a proposta por Bollerslev (1986), o modelo GARCH (Generalized ARCH- ARCH generalizado). Na literatura, percebeu-se a necessidade de expandir os modelos GARCH para o caso multivariado, surgindo os modelos GARCH Mul-tivariados (MGARCH), sendo o primeiro modelo proposto por Bollerslev et al. (1988), através do modelo VEC. A principal motivação nos modelos multivariados é estimar as relações entre as volatilidades e co-volatilidades entre vários ativos e mercados (Bauwens et al., 2006), e como elas se impactam. Desde a introdução do modelo VEC na literatura, uma série de versões GARCH multivariadas têm sido desenvolvidas, como o modelo BEKK (Baba, Engle, Kroner e Kraft ) de Engle e Kroner (1995), CCC (Constant Conditional

Correlation - correlação condicional constante) de Bollerslev (1990), DCC (Dynamical Conditional Correlation - correlação condicional dinâmica) de Engle e Sheppard (2001),

ADCC (Asymmetric DCC - DCC assimétrico) de Cappiello et al. (2006), cDCC (corrected DCC - DCC corrigido) de Aielli (2006), O-GARCH (Orthogonal GARCH - GARCH orto-gonal) de Alexander e Chibumba (1997), GO-GARCH (Generalized Orthogonal GARCH - O-GARCH generalizado) de Van der Weide (2002), entre outras.

(25)

Outras abordagens multivariadas para modelar as variâncias e covariâncias são en-contradas na literatura, como modelos multivariados de volatilidade estocástica (Harvey et al., 1994; Asai et al., 2006), por exemplo, nos quais a volatilidade é considerada como variável latente. Outra abordagem para estimar a volatilidade, baseado em dados de alta frequência, que tem ganhado muito espaço na literatura são as chamadas "medidas re-alizadas". A necessidade de se analisar informações cada vez mais rápido, o avanço da capacidade computacional e a disponibilidade de dados em frequências cada vez maiores tem tornado esses modelos populares. Usualmente, como proposto por Andersen e Bol-lerslev (1998), a estimação se dá pela soma dos quadrados dos retornos de frequências intradiárias, mas outras formas de estimação podem ser encontradas na literatura, como em Barndorff-Nielsen e Shephard (2004), Barndorff-Nielsen et al. (2008), Andersen et al. (2012) e Zhang et al. (2012). Esta abordagem não será considerada nesta dissertação.

A busca por modelos que descrevam adequadamente o comportamento das séries his-tóricas de ativos tem sido constante na literatura. Como a escolha equivocada de um modelo pode acarretar em grandes perdas financeiras, é importante ter boas ferramentas para a escolha do (s) modelo (s) adequado (s). Neste sentido, é importante desenvolver critérios de seleção, testes de diagnósticos e de avaliação do desempenho dos modelos. A seguir, serão apresentados alguns estudos sobre o assunto.

Engle e Sheppard (2008) utilizam quatro medidas estatísticas para avaliar modelos MGARCH da família de correlações condicionais e modelos de fatores ao construir cartei-ras com 50 ativos pertencentes ao índice S&P 500. Com este objetivo, os autores fazem o uso de critérios como carteira de mínima variância, static portfolio performance1_{, tracking}

error minimization e relative performance (Diebold e Mariano, 1995) para avaliar e

com-parar modelos para a volatilidade. Eles consideraram alguns modelos da família GARCH, como o CCC, DCC, O-GARCH e suas versões com alavancagem, e usaram o Risk Metrics (Morgan, 1994) como referência. A partir dos testes do static portfolio performance, ba-seados em propriedades estatísticas das previsões dos resíduos padronizados, os autores concluíram que nenhuma das especificações obteve sucesso em estimar de maneira

ade-1_{Para os casos em que não foram encontradas traduções de acordo, foram utilizados os nomes em}

(26)

quada a matriz de covariâncias quando se usa muitos ativos. Porém, quando se trata da habilidade de capturar características importantes na formação de uma carteira de inves-timentos, como a minimização do seu risco, por exemplo, os modelos foram superiores ao modelo de referência, com diferenças estatísticamente significantes, como observadas pelo

relative performance. Entre os modelos MGARCH, os resultados das medidas mostraram

que os modelos CCC, DCC e suas versões com alavancagem apresentaram um desempe-nho melhor na formação de carteiras de mínima variância e carteiras pela medida tracking

error minimization, do que os modelos O-GARCH e O-GARCH com alavancagem,

ge-rando carteiras de menores variâncias, como observado pelas variâncias acumuladas, além de melhores resultados para os excessos de variância.

Medidas estatísticas e econômicas são utilizadas em Cenesizoglu e Timmermann (2012) para diversos modelos GARCH univariados, como o PM-EGARCHX (Prevailing Mean - média prevalecente), TVM-EGARCH (Time-Varying Mean and Volatility - média e variância variantes temporalmente), TVM-EGARCHX, entre outros. O desempenho das carteiras formadas a partir do ajuste desses modelos foi avaliado através das medidas: retorno equivalente certo (West et al., 1993), com as funções utilidade de média-variância e CRRA (Constant Relative Risk Aversion - aversão relativa constante ao risco), além do índice de Sharpe (Sharpe, 1994). Os autores mostram que nem sempre os modelos que resultam em medidas estatísticas melhores também resultam em medidas econômicas melhores, salientando que as últimas merecem mais importância nos debates na literatura, mas geralmente acabam ficando em segundo plano.

No artigo de Ziegelmann et al. (2013), os autores comparam carteiras de mínima variância formadas a partir de estimadores de medidas realizadas e modelos MGARCH, através dos retornos médios, desvios-padrão das carteiras, índice de Sharpe e turnover. Os autores concluem que o modelo que gerou o maior valor econômico foi o modelo VECH estimado com variance targeting, utilizando-se frequências mais elevadas na estimação, e rebalanceamento semanal e mensal na composição das carteiras de investimento.

No artigo de Engle e Colacito (2012), o teste de relative performance foi utilizado para comparar carteiras de mínima variância sujeitas a um retorno pré-definido geradas por

(27)

modelos MGARCH . Os resultados do teste mostraram que os modelos BEKK diagonal estimado com variance targeting, DCC e ADCC atingiram menores variâncias para as carteiras em relação às carteiras geradas pelos modelos O-GARCH e modelos da família GARCH univariado. Os autores também realizaram uma simulação de Monte Carlo para mostrar a importância em termos de desempenho das carteiras em se utilizar modelos com variância heterocedástica no lugar de variâncias constantes, como ocorre muitas vezes na prática.

Em Santos et al. (2013), os autores utilizam os modelos GARCH multivariados CCC e DCC, com diversas especificações para as variâncias marginais, para a previsão do Valor em Risco (VaR) com dados reais e simulados para carteiras de grandes dimensões. Eles também utilizam modelos GARCH univariados para prever o VaR nesse estudo, utili-zando como medidas de avaliação os testes de Kupiec (1995) e Christoffersen (1998), além do teste CPA (Conditional Predictive Ability - capacidade preditiva condicional ) de Gia-comini e White (2006), os autores concluíram que, para a estimativa do VaR, no geral, o desempenho dos modelos multivariados foram iguais ou melhores do que os modelos uni-variados, e se observou ganhos nas estimativas do VaR ao utilizar modelos de correlações dinâmicas ao invés de correlações constantes, e ao incorporar o efeito alavancagem.

Através de um estudo de simulação, Almeida et al. (2015) comparam o desempenho de vários modelos MGARCH na estimação da volatilidade, entre eles: o VEC, DVEC, BEKK, DBEKK, CCC, cDCC, O-GARCH e GO-GARCH, através do erro médio quadrá-tico utilizando a norma de Frobenius. No artigo, foram analisados os ajustes dos modelos para dados simulados pelo modelo VECH. Os autores observaram que os resultados dos ajustes pelo modelo verdadeiro (VECH) foi o melhor, no geral, e dentre as outras especi-ficações, os modelos de correlações condicionais apresentaram resultados parecidos entre si, mas o modelo cDCC foi o melhor entre eles. Já os modelos O-GARCH e GO-GARCH geraram estimativas para as matrizes de covariâncias mais distantes das verdadeiras em relação aos outros modelos.

Zhou e Nicholson (2015) compararam o valor econômico gerado por carteiras de mí-nima variância, sujeitas a um determinado retorno esperado, construídas a partir de

(28)

mo-delos DCC e ADCC em processos que possuíam o efeito alavancagem. As comparações foram feitas através dos retornos médios das carteiras, das volatilidades incondicionais das carteiras e do índice de Sharpe, e todas essas medidas mostraram ganhos ao se incorporar a alavancagem no modelo.

As funções perda: erro médio quadrático, erro absoluto médio e função de quase verossimilhança são utilizadas no model confidence set (Hansen et al., 2011) para seleci-onar as melhores estimações e previsões feitas por diversos modelos multivariados para a volatilidade, dentre eles os modelos CCC, ADCC e O-GARCH no trabalho de Becker et al. (2015). Segundo seus estudos, as funções perda utilizadas não possuem um poder de seleção tão alto, sendo que, com dados simulados, a função de quase verossimilhança selecionou melhor os modelos.

Ferreira e Santos (2016) comparam o desempenho de carteiras de grandes dimensões geradas por modelos para a variância tanto dinâmicos, quanto invariantes no tempo. As comparações são feitas utilizando o retorno médio, volatilidade dos retornos, índice de Sharpe, turnover e retorno líquido de custos de transação da carteira. Os autores comparam alguns modelos GARCH multivariados, entre eles o CCC, DCC, ADCC e O-GARCH, contra modelos invariantes no tempo para a covariância, através de métodos de encolhimento, denominados: Shrinkage method with constant correlation target,

Sh-rinkage method with identity matrix target e Shrinkage method with market model target.

Não sendo o foco do artigo, mas a título de comparação, entre os resultados encontra-se que o modelo O-GARCH gerou turnovers e índices de Sharpe (sem considerar custos de transação) menores que os modelos DCC e ADCC. Por fim, os autores concluíram que os modelos dinâmicos geravam maiores retornos que os modelos estáticos, mas quando incor-poravam os custos de transação, tornando-os mais onerosos, seus desempenhos relativos diminuíram.

1.1 Objetivos

Neste trabalho, estudamos medidas de avaliação estatísticas e econômicas utilizadas como critérios de seleção, diagnóstico e desempenho de modelos de previsão MGARCH

(29)

utilizados para a composição de uma carteira. É realizado um estudo de simulação e uma aplicação em dados reais.

No estudo de simulação geramos séries trivariadas a partir dos modelos BEKK, DCC, ADCC e GO-GARCH, e cada série gerada foi estimada por todos os modelos considera-dos para, então, aplicarmos as medidas de avaliação estatísticas e econômicas às carteiras construídas. O objetivo desse estudo foi identificar quais dessas medidas obtiveram su-cesso ao serem utilizadas como critérios de seleção do modelo correto e como teste de diagnóstico. Além disso, avaliamos a perda de eficiência dos modelos quando utilizados para ajustar séries geradas por outros modelos.

Adicionalmente, utilizamos modelos MGARCH (alguns diferentes do estudo de simu-lação), em uma aplicação para 10 ativos brasileiros, e os comparamos através das medidas de avaliação.

1.2 Contribuições à Literatura

Podemos destacar como principais contribuições deste trabalho à literatura:

• Uso das medidas static portfolio performance, tracking error minimization, turnover e índice de Sharpe em um estudo de simulação;

• Abordagem nova para verificar se as medidas de avaliação estudadas podem ser utilizadas como critérios de seleção, diagnóstico e desempenho de modelos em um estudo de simulação;

• Simulação de Monte Carlo utilizando séries tri-variadas e 1000 replicações para estudar os modelos ADCC, DCC, BEKK e GO-GARCH.

• Uso da medida static portfolio performance em modelos MGARCH para dados de ações da bolsa de valores brasileira.

(30)

1.3 Organização da Dissertação

Este trabalho está divido em seis capítulos. No Capítulo 2 serão introduzidas algumas definições comumente utilizadas em trabalhos da área de finanças, os modelos GARCH e MGARCH mais usuais na literatura, os modelos que serão utilizados nesta dissertação, bem como seus métodos de estimação mais comuns, previsão e algumas vantagens e desvantagens dos modelos.

O Capítulo 3 contém as medidas de avaliação que serão utilizadas nos estudos de simu-lação e aplicação em dados reais. Esse capítulo contém quatro medidas estatísticas e três medidas econômicas sendo elas, respectivamente: static portfolio performance, carteira de mínima variância, tracking error minimization, relative performance, turnover, índice de Sharpe e VaR.

O estudo de simulação de Monte Carlo se encontra no Capítulo 4. Nele, utilizamos os modelos BEKK, DCC, ADCC, e o modelo GO-GARCH, tanto para a geração de dados, quanto para a construção de carteiras. Assim, serão aplicadas as medidas apresentadas no Capítulo 3 como critérios de seleção, diagnóstico e desempenho de modelos.

Já, no Capítulo 5, utilizaremos séries reais de retornos de ativos brasileiros. São eles 10 ações de alta liquidez de empresas de diferentes setores da economia. Os modelos utilizados na aplicação serão: CCC, DCC, ADCC, cDCC, O-GARCH e o GO-GARCH. As mesmas medidas do Capítulo 3 serão utilizadas para avaliar o desempenho de cada modelo.

Por fim, no Capítulo 6, encontram-se a síntese e conclusões sobre o presente trabalho, acerca do estudo dos diversos modelos e medidas de avaliação econômicas e estatísticas.

(31)

Capítulo 2

Modelos para a Volatilidade de

Séries Temporais

Seja 𝑃𝑡 uma série de preços no tempo 𝑡, o retorno 𝑅𝑡 no período [𝑡 − 1, 𝑡] é dado pela

variação relativa dos preços nesse período:

𝑅𝑡= 𝑃𝑡− 𝑃𝑡−1 𝑃𝑡−1 = Δ𝑃𝑡 𝑃𝑡−1 . (2.0.1)

Outra forma de calcular a rentabilidade é através do "retorno composto continua-mente", ou mais conhecido por "log-retorno":

𝑟𝑡= log

𝑃𝑡

𝑃𝑡−1

= log(1 + 𝑅𝑡) = 𝑝𝑡− 𝑝𝑡−1, (2.0.2)

em que 𝑝𝑡 = log 𝑃𝑡 e, para 𝑅𝑡 pequeno, log(1 + 𝑅𝑡) ≈ 𝑅𝑡. No presente trabalho, será

utilizada a definição de retorno dada em (2.0.1).

No caso das séries financeiras, geralmente se trabalha com grandes conjuntos de dados, sendo destacada a importância da frequência a ser utilizada: por minuto, horária, diária, mensal, etc. Outra característica importante das séries financeiras é a existência dos chamados "fatos estilizados": propriedades estatísticas frequentemente encontradas em séries financeiras.

Francq e Zakoian (2011, p. 7–10) descrevem os principais fatos estilizados para séries de retornos financeiros diários:

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• Estacionariedade das séries de retornos: ao contrário das séries de preços, que são não-estacionárias;

• Ausência ou baixa autocorrelação nas séries de retornos: as séries de retorno apre-sentam pequenas autocorrelações, tornando-as próximas a um ruído branco;

• Presença de autocorrelação nos quadrados dos retornos;

• Conglomerados de volatilidade: pequenas variações tendem a ser sucedidas por pe-quenas variações, e grandes variações tendem a ser sucedidas por grandes variações, gerando a tendência de valores de pequenas variações de retorno ocorrerem agrupa-dos, o mesmo ocorrendo com grandes variações de retornos;

• Distribuições com caudas mais pesadas em relação à distribuição normal;

• Efeito alavancagem: o efeito alavancagem remete à assimetria dos impactos sobre a volatilidade causado por retornos positivos e negativos. Em geral, retornos negativos impactam mais a volatilidade do que retornos positivos;

• Sazonalidade: em dados intradiários pode existir um efeito da hora do dia na vo-latilidade (hora seguinte à abertura ou próxima ao fechamento, por exemplo); em dados diários pode existir o efeito do dia da semana.

Os modelos de ajuste da volatilidade foram propostos para tentar reproduzir os fatos estilizados. Ao longo deste capítulo, serão apresentadas e descritas algumas formas en-contradas na literatura de se modelar a volatilidade através da abordagem das famílias dos modelos GARCH e MGARCH. Primeiramente, na Seção 2.1, será introduzido o mo-delo pioneiro de heterocedasticidade condicionada aos valores passados da série: o momo-delo ARCH, e sua generalização para o popular GARCH. Ainda, será descrito uma de suas versões assimétricas, o GJR-GARCH, e algumas outras extensões. Já na Seção 2.2, apre-sentaremos os seguintes modelos GARCH multivariados e como os mesmos modelam as matrizes de covariâncias: VEC, BEKK, DCC, cDCC, ADCC e GO-GARCH. Esta não é uma revisão exaustiva de modelos GARCH, uma lista mais completa pode ser encontrada em Bollerslev (2008).

(33)

2.1 Modelos de Volatilidade Univariados

A volatilidade é uma variável não observável, e a tentativa de estimá-la tem sido de grande interesse, tanto do mercado, quanto da academia, devido, principalmente, a grande utilidade em problemas relacionados ao mercado financeiro. Engle (1982) introduziu na literatura o modelo ARCH, que teve sua generalização proposta por Bollerslev (1986) com o modelo GARCH. Esses modelos se tornaram muito populares na literatura e, na sequência, explicaremos com mais detalhes esses modelos e algumas generalizações.

2.1.1 ARCH

No modelo autorregressivo de variância condicional heterocedástica de Engle (1982), o processo de retornos, {𝑟𝑡} satisfaz:

𝑟𝑡= 𝜇𝑡+ 𝜎𝑡𝜖𝑡, 𝑡 ∈ Z, (2.1.1)

em que 𝜇𝑡é a média condicionada às informações passadas que, por simplificação, pode ser

considerada nula, e 𝜖𝑡é uma sequência de variáveis aleatórias independentes (denominadas

inovações), com média zero e variância igual a um. Temos também que 𝜖𝑡é independente

de 𝜎𝑡−𝑗 e 𝑟𝑡−1−𝑗, para 𝑗 = 0, 1, . . . As distribuições mais usuais na literatura que se

assume para as inovações são: distribuição normal (Engle, 1982), t-Student ou t-Student assimétrica (Bollerslev, 1987), e distribuição generalizada de erro ou GED (Nelson, 1991). Adicionalmente, seja ℱ𝑡 o conjunto de informações até o período de tempo 𝑡. Então a

distribuição condicionada dos retornos, i.e., 𝑟𝑡|ℱ𝑡−1, tem média zero e variância 𝜎𝑡2.

A variável 𝑟𝑡 segue um processo ARCH(q) se 𝜎𝑡2 for dado por:

𝜎2_𝑡 = 𝜔 +

𝑞

∑︁

𝑖=1

𝛼𝑖𝑟𝑡−𝑖2 , (2.1.2)

em que 𝜔 > 0, 𝛼𝑖 ≥ 0, sendo as condições suficientes para que 𝜎𝑡2 ≥ 0. A condição de

estacionariedade é∑︀𝑞

(34)

2.1.2 GARCH

Posteriormente, uma extensão do modelo ARCH foi apresentada por Bollerslev (1986) através dos modelos ARCH generalizados (GARCH). No processo GARCH(p,q) a variân-cia condicional 𝜎2 𝑡 é dado por: 𝜎2_𝑡 = 𝜔 + 𝑞 ∑︁ 𝑖=1 𝛼𝑖𝑟𝑡−𝑖2 + 𝑝 ∑︁ 𝑗=1 𝛽𝑗𝜎2𝑡−𝑗, (2.1.3)

em que 𝑝 ≥ 0, 𝑞 > 0, e as condições suficientes para a positividade de 𝜎2

𝑡 são 𝜔 > 0,

𝛼𝑖 ≥0, 𝑖 = 1, . . . , 𝑞, 𝛽𝑗 ≥0, 𝑗 = 1, . . . , 𝑝.

Como descrito em Francq e Zakoian (2011, p. 29–30), a condição para se atingir a estacionariedade estrita em modelos GARCH está baseada no conceito do expoente de Lyapunov 𝛾 . Definindo uma sequência de matrizes aleatórias {A𝑡, 𝑡 ∈ Z}, de dimensão

(𝑝 + 𝑞) × (𝑝 + 𝑞) da forma: A𝑡 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝛼1,𝑡𝜖2𝑡 · · · 𝛼𝑞,𝑡𝜖2𝑡 𝛽1,𝑡𝜖2𝑡 · · · 𝛽𝑝,𝑡𝜖2𝑡 1 0 · · · 0 0 · · · 0 0 1 · · · 0 0 · · · 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 · · · 1 0 0 · · · 0 0 𝛼1 · · · 𝛼𝑞 𝛽1 · · · 𝛽𝑝 0 · · · 0 1 0 · · · 0 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 · · · 0 0 0 · · · 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , (2.1.4)

temos que a restrição necessária e suficiente para a existência da estacionariedade estrita do modelo GARCH(𝑝, 𝑞), como definido na Equação (2.1.3), é que o coeficiente de Lya-punov relacionado à sequência {A𝑡, 𝑡 ∈ Z} seja menor que zero, ou seja, 𝛾 < 0, em

que:

𝛾 = inf 1

(35)

sendo ||·|| qualquer norma no espaço das (𝑝 + 𝑞) × (𝑝 + 𝑞) matrizes.

A condição de estacionariedade estrita é complicada, sendo geralmente utilizadas nas aplicações as condições suficientes de estacionariedade de segunda ordem, que no modelo geral GARCH(𝑝, 𝑞) é∑︀𝑞

𝑖=1𝛼𝑖+∑︀𝑝𝑗=1𝛽𝑗 <1 para 𝜔 > 0. A soma dos 𝛼𝑖 e 𝛽𝑖 é conhecida

como "persistência"do modelo.

Satisfeita a condição de estacionariedade de segunda ordem, a variância incondicional é igual a

𝜎2 = 𝜔

1 −∑︀𝑞

𝑖=1𝛼𝑖−∑︀𝑝𝑗=1𝛽𝑗

. (2.1.6)

Devido a sua simplicidade, é mais comum encontrar o uso do GARCH(1,1) na litera-tura, descrito como segue:

𝜎2_𝑡 = 𝜔 + 𝛼𝑟_𝑡−12 + 𝛽𝜎_𝑡−12 , (2.1.7)

em que 𝛼 + 𝛽 < 1 é a restrição para atingir a estacionariedade de segunda ordem. Ver mais detalhes sobre as condições de estacionariedade estrita e de segunda ordem em Nelson (1990), Bougerol e Picard (1992) e Nelson e Cao (1992).

2.1.3 GJR-GARCH

Introduzido na literatura por Glosten et al. (1993), o modelo GJR-GARCH possui as iniciais dos nomes de seus autores. Atualmente é um dos modelos mais populares e utilizados na literatura que incorporam o efeito alavancagem. Este modelo possui uma relação próxima ao Threshold GARCH (TGARCH), de Zakoian (1994) e ao Asymmetric

Power ARCH (APARCH), de Ding et al. (1993). Sua estrutura é a seguinte:

𝜎2_𝑡 = 𝜔 + 𝑞 ∑︁ 𝑖=1 𝛼𝑖𝑟2𝑡−𝑖+ 𝑝 ∑︁ 𝑗=1 𝛽𝑗𝜎2𝑡−𝑗+ 𝑞 ∑︁ 𝑖=1 𝛿𝑖𝑟2𝑡−𝑖I(𝑟𝑡−𝑖 <0), (2.1.8)

em que 𝜔 > 0, 𝛼𝑖 ≥ 0, 𝛽𝑗 ≥ 0, 𝛿𝑖 é o parâmetro de alavancagem e I(.) é uma função

indicadora que assume o valor 1 se o argumento entre parênteses for verdadeiro, e 0 caso contrário.

(36)

Em Duan et al. (2006) temos as condições de positividade e estacionariedade para o GJR-GARCH(p,q) em distribuições simétricas, que são: 𝜔 > 0; 𝛼𝑖, 𝛽𝑖 ≥0; ∑︀𝑞𝑖=1𝛼𝑖+ 𝛿𝑖 ≥

0;∑︀𝑞 𝑖=1𝛼𝑖+∑︀ 𝑝 𝑗=1𝛽𝑗 + 0, 5∑︀ 𝑞 𝑖=1𝛿𝑖 <1.

Já na forma mais simples, no caso GJR-GARCH(1,1,1), em que os índices correspon-dem às ordens dos parâmetro 𝛼𝑖, 𝛽𝑖 e 𝛿𝑖, respectivamente, temos:

𝜎_𝑡2 = 𝜔 + 𝛼𝑟_𝑡−12 + 𝛽𝜎_𝑡−12 , se 𝑟𝑡−𝑖 ≥0; (2.1.9)

𝜎_𝑡2 = 𝜔 + (𝛼 + 𝛿)𝑟_𝑡−12 + 𝛽𝜎2_𝑡−1, se 𝑟𝑡−𝑖<0, (2.1.10)

em que as condições de positividade e estacionariedade são, respectivamente: 𝜔 > 0, 𝛼,

𝛽, 𝛿 ≥ 0, e 𝛿 < 2(1 − 𝛼 − 𝛽). Desta forma, caso retornos negativos tenham maior impacto

na volatilidade do que retornos positivos, temos que o coeficiente 𝛿 deve ser positivo. Satisfeitas essas condições, a variância incondicional é dada por

𝜎2 = 𝜔

1 − 𝛼 − 𝛽 − 0, 5𝛿. (2.1.11)

2.1.4 Outros Modelos

Desde a introdução dos modelos ARCH e GARCH na literatura, uma série de extensões univariadas surgiram, criando uma vasta gama de opções para esse tipo de modelagem. Na sequência, serão mencionadas algumas versões conhecidas que ainda não foram citadas neste trabalho.

Desenvolvido por Engle et al. (1987), temos o ARCH-M, que incorpora o prêmio pelo investidor segurar posições de risco, e de que modo esse prêmio varia no tempo.

O GARCH integrado (IGARCH), proposto por Engle e Bollerslev (1986), impõe que a soma dos parâmetros 𝛼𝑖 e 𝛽𝑖 associados aos quadrados dos retornos e variâncias, seja

igual a um, implicando uma persistência igual a um.

O GARCH integrado fracionalmente (FIGARCH), de Baillie et al. (1996), permite ordens fracionadas de integração no polinômio autorregressivo da representação ARMA.

(37)

Já Nelson (1991) introduziu na discussão o efeito alavancagem através do modelo EGARCH. Além disso, o mesmo traz uma nova parametrização para 𝜎2

𝑡 que retira as

restrições para se atingir a positividade de 𝜎2 𝑡 .

Para alguns outros modelos GARCH, ver,por exemplo, Higgins e Bera (1992) (NGARCH), Bollerslev (1987) (GARCH-t), Sentana (1995) (GQARCH) e Klüppelberg et al. (2004) (COGARCH).

2.2 Modelos Multivariados

O estudo das co-volatilidades é a principal motivação dos modelos multivariados para a volatilidade terem sido propostos na literatura. Ou seja, pode-se verificar a dependên-cia dos ativos ou mercados entre si e como se afetam em termos da volatilidade, além do sentido e magnitude dessas relações, entre outros fatores (Bauwens et al., 2006). Ainda, leva à construção de modelos mais realísticos e melhores tomadas de decisão sobre inves-timentos.

Antes de abordarmos os modelos MGARCH, vamos introduzir alguns conceitos do estudo multivariado. Considere o caso de N séries de retornos e seja r𝑡 um vetor de de

retornos dimensão 𝑁 × 1, tal que:

r𝑡= 𝜇𝑡+ 𝜀𝑡, (2.2.1)

𝜀𝑡= H 1/2

𝑡 𝜖𝑡, (2.2.2)

em que 𝜇𝑡 é o vetor da média condicionada às informações passadas que, assim como

no caso univariado, por simplificação, nesta apresentação será considerado nulo, e H1/2 𝑡

é uma matriz 𝑁 × 𝑁 positiva definida. Assumimos um vetor de variáveis aleatórias independentes 𝜖𝑡 de dimensão 𝑁 × 1 que satisfaz E(𝜖𝑡) = 0 e Var(𝜖𝑡) = I𝑁, em que 0 é

um vetor de zeros de tamanho 𝑁 e I𝑁 é a matriz identidade de ordem 𝑁. Assim como

no caso univariado 𝜖𝑡 é independente de H𝑡−𝑗 e 𝑟𝑡−1−𝑗, 𝑗 = 0, 1, . . .

Seja H1/2

𝑡 uma matriz 𝑁 × 𝑁 positiva definida tal que (H 1/2

𝑡 )(H

1/2

(38)

ser obtida, por exemplo, através da decomposição de Cholesky. Seja ℱ𝑡 o conjunto de

informações até o instante 𝑡. Então:

Var(r𝑡|ℱ𝑡−1) = Var(𝜀𝑡|ℱ𝑡−1) = (H1/2𝑡 )Var(𝜖𝑡|ℱ𝑡−1)(H1/2𝑡 )′ = H𝑡. (2.2.3)

Portanto H𝑡 é a matriz de variância condicional de r𝑡 dado ℱ𝑡−1. A diferença entre

os modelos GARCH multivariados está em como estes tratam a matriz de covariância condicional.

Segundo Silvennoinen e Teräsvirta (2009), um bom modelo MGARCH deve ser flexível para representar as variâncias e covariâncias, ter fácil interpretação dos parâmetros, ter matriz de covariância positiva definida por construção, ou que tenha um estimador que produza estimativas positiva definida da matriz de covariância. O estimador também precisa ser viável, excepcionalmente quando H𝑡 tenha alta dimensão.

Agora, serão apresentados alguns modelos MGARCH e as diferentes maneiras de como eles tratam a matriz H𝑡.

2.2.1 Generalizações Diretas dos Casos Univariados

VEC

Pioneiro entre os modelos MGARCH, o modelo VEC foi desenvolvido por Bollerslev et al. (1988), sendo uma generalização direta do modelo GARCH univariado para o caso multivariado. Este modelo, assim como o modelo BEKK que está exposto na seção subsequente, pertence à classe de modelos de matriz de covariância condicional, no qual

H𝑡 é modelada de forma direta.

Na modelagem VEC, as variâncias e covariâncias condicionais são funções de seus valo-res passados, dos quadrados dos retornos e produtos cruzados entre os retornos passados. O modelo geral pode ser escrito como:

vech(H𝑡) = C + 𝑞 ∑︁ 𝑗=1 A𝑖vech(r𝑡−𝑖r′𝑡−𝑖) + 𝑝 ∑︁ 𝑗=1 B𝑗vech(H𝑡−𝑗), (2.2.4)

(39)

de uma matriz quadrada, retornando um vetor, C é um vetor de constantes de ordem

𝑁(𝑁 +1)/2×1, e A𝑖 e B𝑗 são matrizes de parâmetros de ordem 𝑁(𝑁 +1)/2×𝑁(𝑁 +1)/2.

Para o caso do VEC(1,1), em que 𝑝 = 𝑞 = 1, temos a equação:

vech(H𝑡) = C + Avech(r𝑡−1r′𝑡−1) + Bvech(H𝑡−1). (2.2.5)

Se considerarmos um modelo bivariado, o operador vech em H𝑡 resulta em:

vech(H𝑡) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ℎ11,𝑡 ℎ12,𝑡 ℎ22,𝑡 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . (2.2.6)

Apesar da generalidade do modelo (2.2.4) em conseguir captar uma quantidade grande de informações e dependências, existem desvantagens associadas às condições de positi-vidade de H𝑡 e, eventualmente, ao elevado número de parâmetros. Primeiramente, não

há condições que garantam que H𝑡 seja positiva definida (ver Gouriéroux (2012)). Já o

número de parâmetros é igual a 𝑁(𝑁 + 1)/2 + (𝑝 + 𝑞)𝑁2(𝑁 + 1)2_/4, tornando a estimação

custosa e até inviável quando 𝑁 aumenta.

A fim de contornar esses problemas, no artigo de Bollerslev et al. (1988) é sugerido um modelo alternativo: o diagonal VEC, ou DVEC. O DVEC restringe as matrizes A𝑖 e B𝑗,

da Equação (2.2.4), a serem diagonais, de forma que as covariâncias condicionais passam a depender somente de seus valores e inovações passados, escrita da seguinte forma:

H𝑡 = C + 𝑞 ∑︁ 𝑗=1 A𝑖⊙(r𝑡−𝑖r′𝑡−𝑖) + 𝑝 ∑︁ 𝑗=1 B𝑗 ⊙(H𝑡−𝑗), (2.2.7)

em que A𝑖e B𝑗 são matrizes diagonais e ⊙ é o produto de Hadamard entre duas matrizes,

ou seja, o elemento 𝑖𝑗 da matriz quadrada resultante é produto dos elementos 𝑖𝑗 das duas matrizes quadradas originais. Nesta formulação, o modelo passa a ter (𝑝+𝑞+1)𝑁(𝑁 +1)/2 parâmetros, um número significativamente menor.

O DVEC(1,1) possui a forma:

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Para ver as condições de positividade do DVEC, bem como sua decomposição em modelos ARCH, ver Ding e Engle (2001).

BEKK

Possuindo o nome de seus autores, o modelo Baba-Engle-Kraft-Kroner (BEKK) foi proposto por Engle e Kroner (1995), e pode ser visto como uma versão restrita do modelo VEC (Bollerslev et al., 1988). Neste modelo, H𝑡 é definida como:

H𝑡= CC′+ 𝑞 ∑︁ 𝑗=1 𝐾 ∑︁ 𝑘=1 A′_𝑘𝑗r𝑡−𝑗r′𝑡−𝑗A𝑘𝑗+ 𝑝 ∑︁ 𝑗=1 𝐾 ∑︁ 𝑘=1 B′_𝑘𝑗H𝑡−𝑗B𝑘𝑗, (2.2.9)

em que A𝑘𝑗, B𝑘𝑗 e C são matrizes de parâmetros com dimensões 𝑁 × 𝑁, e C é triangular

inferior. Conhecido por BEKK(𝑝,𝑞,𝐾), o modelo possui essa decomposição da matriz de covariâncias condicionais, que automaticamente garante que este seja positiva definida.

Seja ⊗ o produto de Kronecker entre duas matrizes, ou seja, cada elemento 𝑖𝑗 da primeira matriz multiplica a segunda matriz inteira, resultando em uma matriz em bloco. O modelo é estacionário se, e somente se, os autovalores de

𝑞 ∑︁ 𝑗=1 𝐾 ∑︁ 𝑘=1 A𝑘𝑗⊗ A𝑘𝑗 + 𝑝 ∑︁ 𝑗=1 𝐾 ∑︁ 𝑘=1 B𝑘𝑗⊗ B𝑘𝑗 (2.2.10)

forem menores que 1 em módulo (Silvennoinen e Teräsvirta, 2009).

A ordem 𝐾 assegura a generalidade do modelo no sentido de aumentar o número parâmetros para tentar explicar melhor a série estudada. Entretanto, quando 𝐾 > 1, o problema de identificabilidade surge, pelo fato de que não existe mais apenas uma única parametrização para se obter o modelo representado. Em Engle e Kroner (1995) podemos encontrar as condições para resolver esse problema de identificação.

A desvantagem do modelo BEKK consiste no elevado número de parâmetros: (𝑝+𝑞)𝐾𝑁2₊𝑁 (𝑁 +1)

2 . Com a finalidade de simplificar o modelo, pode-se definir B e A como

matrizes diagonais, resultando no chamado DBEKK (Diagonal BEKK - BEKK diagonal). O número de parâmetros diminui para (𝑝 + 𝑞)𝐾𝑁 +𝑁 (𝑁 +1)

2 , mas ainda é considerado alto

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restrição, em que B = 𝜆D, sendo 𝜆 > 0 um escalar e D uma matriz diagonal. Por fim, temos a versão mais restrita, o BEKK escalar, no qual A = 𝑎I𝑁 e B = 𝑏I𝑁, com 𝑎 e 𝑏

escalares e I𝑁 é a matriz identidade de ordem 𝑁.

É comum a utilização da primeira ordem do modelo 2.2.9, a qual é identificável:

H𝑡= CC′+ A′r𝑡−1r′𝑡−1A+ B ′

H𝑡−1B. (2.2.11)

2.2.2 Modelos de Correlações Condicionais

Nos modelos da família de correlações condicionais, especifica-se, de forma separada, as variâncias marginais e as covariâncias condicionais. Dessa forma, considere as Equações (2.2.1) e (2.2.2), em que Ht é decomposta como

H𝑡= D𝑡R𝑡D𝑡, (2.2.12)

sendo Dt uma matriz diagonal 𝑁 × 𝑁 dos desvios-padrão condicionais e Rt é a matriz

de correlação.

As variâncias marginais geralmente são especificadas como modelos GARCH univari-ados. Assim: D𝑡= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜎1,𝑡 0 · · · 0 0 𝜎2,𝑡 ... 0 ... ... ... 0 0 · · · 0 𝜎𝑁,𝑡 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , (2.2.13) em que 𝜎2_𝑛,𝑡= 𝜔𝑛+ 𝑞 ∑︁ 𝑖=1 𝛼𝑛,𝑖𝑟2𝑛,𝑡−𝑖+ 𝑝 ∑︁ 𝑗=1 𝛽𝑛,𝑗𝜎𝑛,𝑡−𝑗2 , 𝑛= 1, . . . , 𝑁. (2.2.14)

Diferentes modelos GARCH univariados podem ser usados, não precisando necessa-riamente ter a mesma ordem, mas uma escolha típica e parcimoniosa é simplesmente o modelo GARCH(1,1).

(42)

A matriz R𝑡 deve ser positiva-definida e, na prática, conter um número de parâmetros

factível de serem estimados. A seguir, temos alguns integrantes dessa classe de modelos que diferem na forma em que é definida a matriz de correlações R𝑡.

CCC

Bollerslev (1990) encontrou uma maneira simples de definir o R𝑡 com as

caracterís-ticas necessárias citadas anteriormente: considera a matriz de correlação condicional R constante. O modelo é conhecido como modelo CCC (Constant Conditional Correlation -correlação condicional constante). Assim, padronizando as inovações r𝑡 com as variâncias

marginais estimadas na primeira etapa:

𝜉_𝑡 = ^D−1/2_𝑡 r𝑡, (2.2.15)

pode-se usá-los no estimador de máxima verossimilhança para encontrar R. Portanto, apesar da matriz possuir 𝑁(𝑁 − 1)/2 parâmetros para serem estimados, pode-se estimá-los de maneira simples através de:

^ R= 1 𝑇 𝑇 ∑︁ 𝑡=1 𝜉_𝑡𝜉′_𝑡, (2.2.16)

que mostra-se consistente quando D𝑡é estimado também de maneira consistente (Bauwens

et al., 2011, p. 1–45). Quando utilizado o modelo GARCH(1,1), o modelo totaliza 𝑁(𝑁 + 4)/2 parâmetros a serem estimados, e as condições de positividade e estacionariedade são necessárias apenas nas estimações das variâncias marginais, como já visto na Seção 2.1.

Geralmente, os elementos da diagonal de ^R não serão iguais a 1, então deve ser feita

a transformação para uma matriz de correlações, dividindo-se os elementos de ^R por √︁

^𝜌𝑖𝑖,𝑡^𝜌𝑗𝑗,𝑡, com 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑁, sendo ^𝜌𝑖𝑗,𝑡 a correlação estimada entre o ativo 𝑖 e 𝑗 no

tempo 𝑡. Na forma matricial temos ^

R* = (I𝑁 ⊙ ^R)−1/2R^(I𝑁 ⊙ ^R)−1/2. (2.2.17)