Página 1 de 15 1. O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados
AB4, BC2 e BF2.
O seno do ângulo HAF é igual a a) 1 2 5 b) 1 5 c) 2 10 d) 2 5 e) 3 10
2. Considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura abaixo, em que AB2 cm, BC1 cm e CD5 cm. Então, o ângulo θ é igual a
a) 15 . b) 30 . c) 45 . d) 60 .
3. Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula:
2
V(t)log (52 sen( t)),π 0 t 2,
em que t é medido em horas e V(t) é medido em m .3 A pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0, 2] ocorre no instante a) t0,4 b) t0,5 c) t1 d) t1,5 e) t2
Página 2 de 15 4. O gráfico que melhor representa a função f(x)sin (x)2 é
a) b) c) d) e)
5. Seja x um número real, 0 x π 2, tal que a sequência (tan x, sec x, 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a
a) 1. b) 5 4.
Página 3 de 15 c) 4 3.
d) 1 3.
6. A pressão arterial é a pressão que o sangue exerce sobre as paredes das artérias. Ela atinge o valor máximo (pressão sistólica) quando os ventrículos se contraem, e o valor mínimo (pressão diastólica) quando eles estão em repouso. Suponhamos que a variação da pressão arterial (em mmHg) de um cidadão portoalegrense em função do tempo (em segundos) é dada por P(t) 100 20 cos 8 t .
3 π
Diante disso, os valores da pressão diastólica e sistólica, em mmHg, são iguais, respectivamente, a
a) 60 e 100 b) 60 e 120 c) 80 e 120 d) 80 e 130 e) 90 e 120
7. No plano cartesiano, um círculo de centro P(a, b) tangencia as retas de equações yx e x0. Se P pertence à parábola de equação yx2 e a0, a ordenada b do ponto P é igual a
a) 22 2 b) 32 2 c) 42 2 d) 52 2 e) 62 2
8. As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P, conforme figura abaixo.
Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC6 3 km, então CP é, em km, igual a a) 6 3 b) 6 3
3
c) 9 3 2 d) 9
21
9. Suponha que uma revista publicou um artigo no qual era estimado que, no ano de 2015x, com x{0, 1, 2, , 9, 10}, o valor arrecadado dos impostos incidentes sobre as exportações de certo país, em milhões de dólares, poderia ser obtido pela função f(x) 250 12cos x .
3 π
Caso essa previsão se confirme, então, relativamente ao total arrecadado a cada ano considerado, é correto afirmar que:
Página 4 de 15 a) o valor máximo ocorrerá apenas em 2021.
b) atingirá o valor mínimo somente em duas ocasiões. c) poderá superar 300 milhões de dólares.
d) nunca será inferior a 250 milhões de dólares.
10. No quadrilátero plano ABCD, os ângulos ABCˆ e ADCˆ são retos, ABAD1, BCCD2 e BD é uma diagonal.
O cosseno do ângulo BCDˆ vale a) 3 5 b) 2 5 c) 3 5 d) 2 3 5 e) 4 5
11. Se x , então a equação cos(x)cos( x) apresenta o conjunto solução a) b) [ 1; 1] c) [0; ) d) (; 0] e) { 1, 0, 1}
12. O calçadão de Copacabana é um dos lugares mais visitados no Rio de Janeiro. Seu traçado é baseado na praça do Rocio, em Lisboa, e simboliza as ondas do mar.
Quando vemos seus desenhos, fica evidente que podemos pensar na representação gráfica de uma função a) logarítmica. b) exponencial. c) seno ou cosseno. d) polinomial de grau 1. e) polinomial de grau 2.
Página 5 de 15 Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC é igual a
a) 2 7 b) 3 7 c) 2 7 d) 2 2 7 e) 2 3 7
14. A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com caçapas em A, B, C e D. O ponto P, localizado em AB, representa a posição de uma bola de bilhar, sendo PB1,5 m e PA1,2 m. Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com BC no ponto T, sendo a medida do ângulo PTB igual 60 . Após essa colisão, a bola segue, em trajetória reta, diretamente até a caçapa D.
Nas condições descritas e adotando 3 1,73, a largura do tampo da mesa, em metros, é próxima de a) 2,42. b) 2,08. c) 2,28. d) 2,00. e) 2,56.
Página 6 de 15 15. Sabe-se que existem números reais A e x ,0 sendo A0, tais que
0 sen x2 cos xA cos(xx )
para todo x real. O valor de A é igual a a) 2 b) 3 c) 5 d) 2 2 e) 2 3
16. A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento.
A medida do ângulo θ é igual a a) 105 .
b) 120 . c) 135 . d) 150 .
17. Na equação tan(x)cot(x) em , onde 0 x , 2 π o valor de x é a) 1 b) 1 c) 3 π d) 4 π e) 6 π
18. O triângulo AOB é isósceles, com OAOB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida do ângulo ˆ
AOB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se Dados os valores aproximados:
tg 14 0,2493 , tg 15 0,2679 tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317 a) 14 θ 28 b) 15 θ 60 c) 20 θ 90 d) 25 θ 120 e) 30 θ 150
Página 7 de 15 Usando a aproximação π 3, a medida, em cm, do arco externo do relógio determinado pelo ângulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale aproximadamente a) 22. b) 31. c) 34. d) 29. e) 20.
20. O conjunto solução (S) para a inequação 2 cos x 2 cos(2x)2, em que 0 x π, é dado por: a) S x (0, ) | 0 x 6 π π ou 5 x 6 π π b) S x (0, ) | x 2 3 3 π π π c) S x (0, ) | 0 x 3 π π ou 2 x 3 π π d) S x (0, ) | x 5 6 6 π π π e) S
x(0, )π
21. Seja x real tal que cos xtg x. O valor de sen x é a) 3 1. 2 b) 1 3. 2 c) 5 1. 2 d) 1 5. 2
22. Se 0 x 2 ,π então o conjunto solução da equação sen(x) 1 cos x 2 é a) S 0; 2 π b) S ; 2 π π c) S ;3 2 π π d) S
0;2π
e) S
0;π Gabarito:Página 8 de 15 Resposta da questão 1: [E] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ABF y 4 2 y 20 y 2 5 EHF z 4 2 z 20 z 2 5 EHA x 2 2 x 8 x 2 2
Lei dos Cos senos :
z x y 2xy cosa 20 8 20 2 2 2 2 5 cosa 1
8 10 cosa 8 cosa 10
1 1 9 3
sen a cos a 1 sen a 1 sen a 1 sen a
10 10 10 10 Resposta da questão 2: [C] Calculando:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 AC 2 1 AC 5 AD 2 6 AD 40 5 5 40 2 5 40 cos 2 200 cos 20 10 2 cos cos 45 2 10 2 θ θ θ θ θ Resposta da questão 3: [D]Pela equação de Clapeyron (da Química): PV nRT
P pressão V volume
n quantidade de matéria (nº mols) R cons tan te universal dos gases T temperatura
Assim, percebe-se que pressão e volume são inversamente proporcionais: a pressão do gás é máxima quando o volume é mínimo. Como a função logarítmica dada é sempre crescente, o volume será mínimo quando o logaritmando for mínimo. Ou seja:
Página 9 de 15
mín
logaritmando (5 2 sen( t))
f (t) 5 2 sen( t) sen( t) deve ser mínimo
3 3 3 t 2k t 2k t 1,5 2 2 2 π π π π π π Resposta da questão 4: [B] Como 1 sen x1,
2 0 sen x 1 0 f x 1 O único gráfico que apresenta Imf
0, 1 é o que aparece na alternativa [B]. Resposta da questão 5: [D] Calculando:
1 2 3
2 1 3 2 2 2 2 2 PA a , a , a 2a a a 1 sen x2 sec x 2 t g x 2 2 sen x 2cos x 2 sen x 2 2cos x
cos x cos x sen x 1 cos x
1 cos x 2 2cos x 1 cos x 4 8 cos x 4 cos x 5 cos x 8 cos x 3 0 3
cos x ou cos x 1 (não convém) 5 5 4 sec x ; tgx 3 3 5 4 1 PA r r 3 3 3 Resposta da questão 6: [C]
Sabendo que o valor máximo de cos 8 t 3
π
é 1, podemos concluir que o valor da pressão diastólica é 1002080mmHg.
Por outro lado, sendo 1 o valor mínimo de cos 8 t , 3
π
segue que o valor da pressão sistólica é 10020 ( 1) 120mmHg.
Resposta da questão 7: [B]
Página 10 de 15 Sabendo que yx é bissetriz dos quadrantes ímpares e OP é bissetriz de SOQ, temos POQ22 30'.
Além disso, do triângulo OPQ, vem
PQ tgPOQ a cotg22 30 '. OQ Logo, sendo 1 cos 45 cotg22 30 ' 2 1, 1 cos 45
concluímos que a 21 e, portanto, ba2 3 2 2. Resposta da questão 8:
[B]
Com os dados da figura, pode-se escrever:
BA 3 BA
tg 30 BA 6
3
BC 6 3
Ainda, pelo Teorema de Pitágoras:
22 2 2 2 2 2
AC BC BA AC 6 3 6 AC 144AC12
E finalmente pelo teorema da bissetriz interna:
BC BA 6 3 6 72 3 6 3 PC 6 PC 6 PC 1 3 72 3 PC PA PC 12 PC 1 3 72 3 6 PC 6 PC 36 3 1 3 PC 18 6 3 PC 6 3 3 1 3 1 3 Resposta da questão 9: [B]O valor máximo para f(x) ocorre quando: k 0 x 0 x 0 k 2 k 1 x 6 3 π π
O valor mínimo ocorre quando:
k 0 x 3 x k 2 k 1 x 9 3 π π π
Página 11 de 15 Portanto, f(x) atingirá seu valor mínimo em apenas duas ocasiões.
Resposta da questão 10: [C]
Considere a figura.
Do triângulo ACD, pelo Teorema de Pitágoras, encontramos
2 2 2 2 2
AC AD CD AC 1 2
AC 5.
Desse modo, vem
CD 2
cos ACD cos ACD .
AC 5
Como os triângulos ACD e ACB são congruentes por LAL, segue que BCD 2 ACD e, portanto,
2 2
cosBCD 2 cos ACD 1 2 2 1 5 3 . 5 Resposta da questão 11: [A]
Desde que a função cosseno é par, temos cos(x) cos( x) cos x cos x
0 cos x 0.
Portanto, segue que S . Resposta da questão 12:
[C]
A função seno ou a função cosseno são as únicas, dentre as alternativas, cujos gráficos se assemelham ondas.
Página 12 de 15 [B]
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem
2 2 2 2 2 2 AC AB BC AB 12 6 AB 108 AB 6 3 cm.
Do triângulo ABM encontramos
BM 3 3
tgBAM tgBAM .
6
AB 6 3
É fácil ver que tgBAC 2 tgBAM. Logo, obtemos
2
2 tgMAC tg(BAC BAM)
2 tgBAM tgBAM 1 2 tgBAM tgBAM tgBAM 1 2 tg BAM 3 6 3 1 2 6 3 6 6 7 3 . 7 Resposta da questão 14: [A]
Vamos supor que PTBDTC. Assim, do triângulo BPT, vem
BP 1,5
tgPTB BT m.
1,73 BT
Por outro lado, do triângulo CDT, encontramos
CD 2,7
tgCTD CT .
1,73 CT
Em consequência, segue que o resultado pedido é 4,2 BT CT 2,43 m. 1,73 Resposta da questão 15: [C]
Página 13 de 15 Tomando arbitrariamente x0, obtemos
0 0
2 sen0 2cos0 A cos(0 x ) cos x .
A
Por outro lado, fazendo x , 2 π vem
0 0
1
sen 2cos A cos x sen x .
2 2 2 A
π π π
Por conseguinte, sabendo que A0 e sen x2 0cos x2 01, encontramos
2 2 1 2 1 A 5. A A Resposta da questão 16: [B]
Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado da figura.
É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com CDED.
Sabendo que BAE90 , tem-se que o triângulo ABE é retângulo isósceles, com BE 2. Em consequência, sendo ABC135 , concluímos que o triângulo ABC é retângulo em B.
Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BCE, encontramos CE 3. Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo CDE, vem
2 2 2 1 ( 3 ) 2 cos cos 2 120 . θ θ θ Resposta da questão 17: [D]
Sabendo que cotg x 1 , tg x
Página 14 de 15 2 1 tg x cotg x tg x tg x tg x 1 tg x 1 ou tg x 1.
Portanto, como x é um arco do primeiro quadrante, só pode ser x . 4 π
Resposta da questão 18: [E]
Considere a figura, em que M é o ponto médio do lado AB.
Do triângulo retângulo OMB, obtemos
BM AB tgMOB MO . MO 2 tg 2 θ
Sem perda de generalidade, suponhamos que AB1. Assim, AB MO 1 (AOB) . 2 4 tg 2 θ
A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triângulo AOB se
2 1 (ABCD) (AOB) 1 4 tg 2 1 tg 0,25. 2 4 θ θ
Logo, como tg15 0,26790,25 e 0 θ 180 , vem que 30 θ 180 . Note que ]30 , 150 [ ]30 , 180 [. Resposta da questão 19:
Página 15 de 15 Cada minuto do relógio corresponde a 6o, portanto, α 60 6 66 .
Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o ponteiro das horas se desloca 30°, temos:
60min 30
54min
β
Logo, β 27 , portanto o arco pedido mede 66° + 27° = 93°.
Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de 93°, temos: 93 2 20 31 cm (considerando, 3) 360 π π Resposta da questão 20: [A]
2 2 2 2 2 2 2 2 2cos x cos 2x 2 2cos x cos x – sen x 2 2cos x cos x – 1– cos x 2 4cos x – 3 3 3 cos x ou cosx 2 0 2 Logo, o conjunto solução será: 5 S x (0, ) | 0 x ou x 6 6 π π π π Resposta da questão 21: [C]
