Notas de Aula. Equações Diferenciais Numéricas

(1)

Notas de Aula

Equa¸

c˜

oes Diferenciais Num´

ericas

Rodney Josu´

e Biezuner

1

Departamento de Matem´

atica

Instituto de Ciˆ

encias Exatas (ICEx)

Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Notas de aula da disciplina Equa¸cões Diferenciais Numéricas do Curso de Bacharelado em Matemática Computacional, lecionada pelo autor durante o segundo semestre de 2015.

9 de novembro de 2015

1

(2)

Sum´

ario

1 Métodos Numéricos para Equa¸cões Diferenciais Ordinárias 4

1.1 Problema de Valor Inicial para Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias . . . 4

1.1.1 Discretiza¸c˜ao . . . 4

1.2 M´etodos de Passo ´Unico para EDOs de Primeira Ordem . . . 5

1.2.1 M´etodo de Euler . . . 5

1.2.2 M´etodos de Runge-Kutta . . . 10

1.2.3 Formula¸c˜ao Geral dos M´etodos de Runge-Kutta . . . 14

1.3 M´etodos de Passo M´ultiplo para EDOs de Primeira Ordem . . . 21

1.3.1 M´etodos de Adams-Bashforth . . . 21

1.4 M´etodos de Passo ´Unico para Sistemas de EDOs de Primeira Ordem . . . 23

2 M´etodo de Diferen¸cas Finitas para Equa¸c˜oes Diferenciais El´ıpticas 24 2.1 O Caso Unidimensional . . . 24

2.1.1 S´eries de Taylor e Diferen¸cas Finitas em Uma Dimens˜ao . . . 24

2.1.2 Discretiza¸c˜ao . . . 25

2.1.3 Resolu¸c˜ao Num´erica do Problema de Autovalor Unidimensional . . . 27

2.2 O Caso Bidimensional . . . 29

2.2.1 A F´ormula dos Cinco Pontos . . . 29

2.2.2 Existência e Unicidade da Solu¸cão Discreta – Autovalores do Problema Bidimensional 32 2.2.3 Princ´ıpio do Máximo Discreto. . . 36

2.2.4 Convergência da Solu¸cão Discreta para a Solu¸cão Clássica . . . 37

2.3 Discretiza¸c˜oes de Ordem Superior. . . 40

2.3.1 Caso Unidimensional. . . 40

2.3.2 Caso Bidimensional: A F´ormula dos Nove Pontos Compacta . . . 42

2.4 Diferen¸cas Finitas em Coordenadas Polares . . . 47

2.5 Dom´ınios Arbitr´arios . . . 51

2.6 Exerc´ıcios . . . 53

3 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜oes Discretas 55 3.1 Normas Matriciais . . . 55

3.2 Matrizes Diagonalmente Dominantes . . . 58

3.3 Teorema dos Discos de Gershgorin . . . 59

3.4 Propriedade FC . . . 63

3.5 Matrizes Irredut´ıveis . . . 67

3.6 Invertibilidade de Matrizes de Discretiza¸c˜ao . . . 69

3.6.1 Esquemas de Diferen¸cas Finitas para o Intervalo e para o Retˆangulo . . . 69

3.6.2 Esquema de Coordenadas Polares. . . 70

3.6.3 Esquema de Shortley-Weller. . . 71 1

(3)

4 Equa¸cões Diferenciais Parciais Hiperbólicas e Parabólicas 72

4.1 Equa¸c˜ao da Onda. . . 72

4.2 Esquemas de Diferen¸cas Finitas para a Equa¸c˜ao da Onda . . . 73

4.3 Convergˆencia de Problemas de Valor Inicial . . . 75

4.3.1 Espa¸cos de Sequˆencias e suas Normas . . . 75

4.3.2 Convergˆencia Puntual e Uniforme . . . 76

4.3.3 Convergˆencia Uniforme do Esquema de Lax-Friedrichs . . . 77

4.4 Consistˆencia de Problemas de Valor Inicial. . . 79

4.4.1 Defini¸c˜ao . . . 79

4.4.2 Consistˆencia Puntual do Esquema FTFS . . . 80

4.4.3 Consistˆencia Puntual do Esquema de Lax-Friedrichs . . . 81

4.4.4 Consistˆencia e Convergˆencia. . . 81

4.5 Estabilidade. . . 82

4.6 Condi¸c˜ao CFL . . . 84

4.7 Teorema da Equivalˆencia de Lax-Richtmyer . . . 85

4.8 Equa¸c˜ao do Calor. . . 86

4.8.1 Consistˆencia . . . 87

4.8.2 Escolhas Especiais de ∆x e ∆t . . . 87

4.8.3 Condi¸c˜oes de Fronteira de Neumann . . . 88

4.9 Convergˆencia do Esquema de Diferen¸cas Finitas Expl´ıcito FTCS . . . 89

5 Métodos Iterativos para a Resolu¸cão de Sistemas Lineares 94 5.1 Métodos Iterativos Lineares . . . 94

5.1.1 M´etodo de Jacobi . . . 95

5.1.2 M´etodo de Gauss-Seidel . . . 96

5.1.3 M´etodo SOR . . . 96

5.1.4 Compara¸cão da Velocidade de Convergência dos Três Métodos . . . 97

5.1.5 M´etodo de Jacobi Amortecido. . . 98

5.2 Análise de Convergência dos Métodos Iterativos Lineares. . . 99

5.2.1 Convergˆencia dos M´etodos Iterativos Lineares . . . 100

5.2.2 Velocidade de Convergˆencia dos M´etodos Iterativos Lineares . . . 102

5.2.3 Convergˆencia para Matrizes Sim´etricas Positivas Definidas. . . 104

5.3 Convergência dos Métodos Iterativos Lineares para as Matrizes de Discretiza¸cão . . . 105

5.3.1 Convergˆencia do M´etodo de Jacobi . . . 105

5.3.2 Convergˆencia do M´etodo de Gauss-Seidel . . . 107

5.3.3 Convergˆencia do M´etodo SOR . . . 109

5.3.4 Convergˆencia do M´etodo de Jacobi Amortecido . . . 116

5.3.5 Resumo . . . 118

5.4 M´etodo do Gradiente Conjugado . . . 118

5.4.1 M´etodos de Descida . . . 119

5.4.2 M´etodo da Descida Mais Acentuada . . . 120

5.4.3 M´etodo do Gradiente Conjugado . . . 121

5.5 Convergˆencia do M´etodo do Gradiente Conjugado . . . 125

6 M´etodos Multigrid 128 6.1 A Malha de Multigrid . . . 129

6.2 Freq¨uˆencias Altas e Baixas . . . 130

6.3 Suaviza¸c˜ao do Erro . . . 131

6.3.1 M´etodo de Jacobi Amortecido. . . 131

6.4 O Ciclo de Duas Malhas . . . 134

(4)

7 M´etodo dos Volumes Finitos 138

7.1 Leis de Conserva¸c˜ao . . . 138

7.1.1 Lei de Conserva¸c˜ao Unidimensional. . . 138

7.1.2 Lei de Conserva¸cão em Várias Dimensões . . . 140

7.1.3 Rela¸c˜oes Constitutivas . . . 141

7.2 O Caso Unidimensional . . . 142

7.3 O Caso Bidimensional . . . 146

7.4 Lineariza¸c˜ao do Termo Fonte . . . 149

7.4.1 Termo Fonte do Tipo f (u) = Au + B com A < 0 . . . 150

7.4.2 Termo Fonte do Tipo f (u) = Au + B com A > 0 . . . 150

(5)

Cap´ıtulo 1

M´

etodos Num´

ericos para Equa¸

c˜

oes

Diferenciais Ordin´

arias

Para complementar este cap´ıtulo, consulta às referências [Iserles], [HNW] e [Butcher] é fortemente recomen-dada.

1.1 Problema de Valor Inicial para Equa¸

c˜

oes Diferenciais Ordin´

arias

Sejam I, J intervalos abertos de R e f : I × J −→ R uma fun¸cão real. Considere o problema de valor inicial para uma equa¸cão diferencial ordinária de primeira ordem

y0(t) = f (t, y (t)) y (t0) = y0.

(1.1) Queremos buscar solu¸cões numéricas, isto é, solu¸cões computacionalmente calculáveis que aproximem a solu¸cão exata para este problema. Consequentemente, antes de fazer isso, precisamos saber que condi¸cões a fun¸cão f tem que satisfazer para que o problema (1.1) tenha de fato uma solu¸cão, e que esta solu¸cão seja ´

unica. No que se segue, denotaremos por I, J intervalos de R, que podem ser abertos, fechados, semiabertos, raios ou o pr´_{oprio R.}

1.1 Defini¸c˜_{ao. Dizemos que f : I × J −→ R ´e uniformemente de Lipschitz na segunda vari´avel se existe} uma constante λ > 0 tal que

|f (t, x) − f (t, y)| 6 λ |x − y|

para todos t ∈ I e para todos x, y ∈ J . A constante λ é chamada uma constante de Lipschitz para f . Exemplos de fun¸c˜_{oes f : I × J −→ R uniformemente de Lipschitz na segunda variável são fun¸cões} conti-nuamente diferenciáveis cuja derivada parcial ∂f

∂y é uniformemente limitada no dom´ınio I × J ; isto é uma consequência imediata do Teorema do Valor Médio.

1.2 Teorema (Teorema de Existˆ_{encia e Unicidade para EDOs). Se f : I × J −→ R é uma fun¸cão cont´ınua,} uniformemente de Lipschitz na segunda variável, então o problema (1.1) tem uma solu¸cão única de classe C1 _{definida em um intervalo [t}

0, b) para algum b > t0.

1.1.1 Discretiza¸

c˜

ao

Denote a aproxima¸c˜ao num´erica para a solu¸c˜_{ao exata y (t) para t > t}0 por y. Embora em princ´ıpio uma

aproxima¸cão para a solu¸cão exata pudesse estar definida em todo o dom´ınio em que a solu¸cão exata y estiver 4

(6)

definida, nossa aproxima¸cão numérica y, computacionalmente calculável, só estará definida em um número finito de pontos. Fixe um intervalo [t0, T ]. Se quisermos analisar o comportamento assintótico da solu¸cão

quando t → ∞, este intervalo poder´a ser mais tarde aumentado, escolhendo valores sucessivamente maiores para T . Dividimos o intervalo [t0, T ] em n subintervalos de mesmo comprimento igual a h = (T − t0) /n

atrav´es de n − 1 pontos interiores uniformemente espa¸cados t0 = t0 t1 = t0+ h t2 = t0+ 2h .. . tn−1 = t0+ (n − 1) h tn = t0+ nh = T (1.2)

de modo que [t0, T ] = [t0, t1] ∪ [t1, t2] ∪ . . . ∪ [tn−1, tn]. Esta parti¸c˜ao uniforme do intervalo [t0, T ] ´e chamada

uma discretiza¸c˜ao uniforme do intervalo [t0, T ] de norma h. Ela produz um conjunto discreto de pontos

{t0, t1, . . . , tn−1, tn} que chamamos uma malha discretizada para o intervalo [t0, T ] (tamb´em chamada

uma malha de n´os). Introduzimos a nota¸c˜ao:

yi= y(ti) (1.3)

para denotar o valor da solu¸c˜ao exata no instante de tempo ti; o valor da solu¸c˜ao aproximada neste ponto

será denotado correspondentemente por yi. Assim, em princ´ıpio, a solu¸cão aproximada y existirá apenas

na malha discretizada; através de interpola¸cão, valores para y podem ser produzidos em outros pontos do intervalo. Uma vez discretizado o dom´ınio da equa¸cão diferencial, procedemos à discretiza¸cão desta propriamente dita. Isso pode ser feito de várias maneiras. Veremos algumas destas maneiras nas se¸cões a seguir. Para analizar o quão bem estas diversas solu¸cões aproximam a solu¸cão exata, introduzimos o seguinte conceito:

1.3 Defini¸c˜ao. Definimos o erro absoluto da solu¸c˜ao aproximada no ponto i da malha por

ei= yi− yi, (1.4)

o erro de discretiza¸c˜ao local da solu¸c˜ao aproximada no ponto i da malha por

|ei| = |yi− yi| (1.5)

e o erro de discretiza¸cão global da solu¸cão aproximada no intervalo [t0, tn] discretizado por uma parti¸cão

de norma h por

E ([t0, T ] , h) = max

i=1,...,n|ei| = maxi=1,...,n|yi− yi| . (1.6)

Dizemos que o erro ´e de ordem k, denotado

E ([t0, T ] , h) = O hk , (1.7)

se existe uma constante C > 0 tal que

|E ([t0, T ] , h)| 6 Chk. (1.8)

1.2 M´

etodos de Passo ´

Unico para EDOs de Primeira Ordem

1.2.1 M´

etodo de Euler

De acordo com a f´ormula de Taylor, podemos escrever y (ti+1) = y (ti+ h) = y (ti) + y0(ti) h + 1 2!y 00_(t i) h2+ 1 3!y 000_(t i) h3+ . . . + O (hn) .

(7)

Se truncarmos a s´erie de Taylor no termo de primeira ordem, teremos a aproxima¸c˜ao y (ti+1) ' y (ti) + y0(ti) h.

Substituindo a derivada primeira pela express˜ao dada na EDO, podemos definir uma solu¸c˜ao aproximada y por

yi+1= yi+ hf (ti, yi) . (1.9)

Este é o chamado método de Euler. Geometricamente, estamos aproximando yi+1 através de seguir a reta

tangente à solu¸cão em yi durante um intervalo de tempo h. Por este motivo, o método de Euler também é

chamado método da reta tangente. Vamos agora examinar o quão bem a solu¸cão numérica obtida através do método de Euler aproxima a solu¸cão exata. Para isso, introduzimos o seguinte conceito:

1.4 Defini¸cão. O erro de truncamento local do método de Euler no ponto t é definido por L (t, h) = y (t + h) − y (t)

h − f (t, y) . (1.10)

O erro de truncamento global do m´etodo de Euler ´e definido por L (h) = max

i=1,...,nL (ti, h) . (1.11)

O erro de truncamento local do método de Euler mede simplesmente o quanto o quociente de diferen¸ca que aproxima a derivada y0(t) difere do valor exato para y0(t) dado por f (t, y) na equa¸cão diferencial. Além disso, se yi= yi, isto é, se come¸cássemos da solu¸cão exata, a diferen¸ca entre a solu¸cão exata yi+1 e a solu¸cão

aproximada yi+1 seria dada por

yi+1− yi+1= yi+1− [yi+ f (ti, yi) h]

= yi+1− [yi+ f (ti, yi) h]

= h yi+1− yi

h − f (ti, yi)

= hL (ti, h) ,

de modo que o erro de truncamento local vezes h é precisamente o erro de discretiza¸cão absoluto local que seria produzido pelo método de Euler em um único passo se come¸cássemos da solu¸cão exata. Evidentemente, embora no primeiro passo comecemos do valor exato da solu¸cão, dado pela condi¸cão inicial, este erro vai se propagando à medida que calculamos os valores aproximados y1, . . . , yn−1, yn, com cada valor nesta sequência

dependendo do valor aproximado calculado anteriormente. Precisamos saber se o erro pode ser limitado e, crucialmente, se o erro pode ser tornado arbitrariamente pequeno tomando h pequeno. Em outras palavras, precisamos saber se a solu¸cão aproximada converge para a solu¸cão exata quando h → 0. Além disso, estamos interessados na velocidade de convergência, isto é, o quão pequeno h precisa ser para um certo valor especificado do erro.

1.5 Teorema (Convergência do Método de Euler). Considere o problema (1.1) com solu¸cão exata no in-tervalo [t0, T ]. Se f é de classe C1 e

∂f

∂y é limitada em [t0, T ] × R, então a solu¸cão aproximada obtida pelo método de Euler converge para a solu¸cão exata quando h → 0 e o erro é de primeira ordem, isto é,

(8)

Prova. Considere uma discretiza¸c˜ao uniforme do intervalo [t0, T ] com norma h, de modo que tn= T , para n = (tn− t0) /h. Seja λ = sup t∈[t0,T ] y∈R ∂f ∂y (t, y) (1.12)

a constante de Lipschitz para f . Observe que como f ´e de classe C1_{, segue da regra da cadeia que y ´}_{e uma}

solu¸c˜ao de classe C2_{, pois}

y0(t) = f (t, y (t)) , y00(t) = ∂f ∂t (t, y (t)) + ∂f ∂y (t, y (t)) y 0_{(t, y (t))} = ∂f ∂t (t, y (t)) + f (t, y (t)) ∂f ∂y (t, y (t)) . Denote ent˜ao N = 1 2[tsup0,T ] |y00(t)| . (1.13)

Pelo Teorema do Valor M´edio, para t ∈ [t0, T ], x, y ∈ R, temos

|f (t, x) − f (t, y)| 6 sup t∈[t0,T ] y∈R ∂f ∂y (t, y) |x − y| = λ |x − y| ,

ou seja, f ´e uniformemente de Lipschitz em [t0, T ] × R sendo λ a constante de Lipschitz para f .

Pela f´ormula de Taylor

yi+1 = yi+ y0(ti) h + 1 2y 00_(ξ i) h2 = yi+ f (ti, yi) h + 1 2y 00_(ξ i) h2,

onde ξi∈ [ti, ti+1], logo

yi+1= yi+ f (ti, yi) h + L (ti, h) (1.14) e L (ti, h) = yi+1− yi h − f (ti, yi) = 1 2y 00_(ξ i) h, donde L (h) 6 N h, (1.15)

ou seja, o erro de truncamento global ´e de primeira ordem. Segue de (1.14) e da defini¸c˜ao de y que

ei+1 = yi+1− yi+1

= yi+ hf (ti, yi) + hL (ti, h) − [yi+ f (ti, yi) h]

donde obtemos a seguinte f´ormula de itera¸c˜ao para o erro absoluto:

ei+1= ei+ h [f (ti, yi) − f (ti, yi)] + hL (ti, h) . (1.16)

Da´ı segue que

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Denotando

A = 1 + λh, B = N h2,

temos uma desigualdade iterativa para o erro de discretiza¸c˜ao local com a forma |ei+1| 6 A |ei| + B.

Iterando esta desigualdade, obtemos

|ei+1| 6 A |ei| + B 6 A [A |ei−1| + B] + B = A2|ei−1| + AB + B 6 A2[A |ei−2| + B] + AB + B = A3|ei−2| + A2B + AB + B 6 . . . = Ai+1|e0| + AiB + . . . + A2B + AB + B.

Como e0= 0, j´a que y0= y0 (o valor da condi¸c˜ao inicial), segue que

|ei+1| 6 Ai+ . . . + A2+ A + 1 B.

Observe que estes números são todos positivos, pois o erro tende a crescer à medida que i cresce, isto é, `

a medida que executamos mais passos no m´etodo de Euler. De qualquer modo, o crescimento do erro ´e controlado, pois para todo i temos

|ei| 6 An−1+ . . . + A2+ A + 1 B = A n_{− 1} A − 1 B = (1 + λh) n − 1 λh N h 2 6 (1 + λh) n λ N h. Portanto, E ([t0, T ] , h) = max i=1,...,n|ei| 6 (1 + λh)n λ N h. (1.18) Usando a desigualdade 1 + x 6 ex,

v´_{alida para todo x > 0 (que por sua vez segue diretamente da expansão em série da fun¸cão exponencial),} escrevemos E ([t0, T ] , h) 6 eλnh λ N h 6 eλ(T −t0) λ N h. (1.19) Em particular, E ([t0, T ] , h) = O (h).

Portanto, a convergência do método de Euler é apenas linear. Além disso, quanto maior é o intervalo considerado, isto é, quanto maior é T , a tendência do erro é aumentar, embora isso fosse esperado, pela acumula¸cão dos erros de aproxima¸cão. Se f não é de Lipschitz, a convergência não é assegurada, mas isso vale também para a solu¸cão exata: sua existència não é assegurada quando f não é de Lipschitz. Por outro lado, a estimativa (1.19) obtida no teorema não é a melhor poss´ıvel; na prática, o resultado obtido pode ser muito melhor, dependendo de f .

(10)

1.6 Exemplo. Considere o problema de valor inicial

y0_{(t) = −100y}

y (0) = 1.

Como f (t, y) = −100y, segue que f ´_{e cont´ınua, uniformemente de Lipschitz em R}2 _{com constante de}

Lipschitz 100. A solu¸c˜ao exata deste problema ´e

y (t) = e−100t. Logo, y00(t) = 104e−100t e sup [0,+∞) |y00| 6 104_.

Pela estimativa (1.19) obtida no teorema anterior, o erro de discretiza¸c˜ao global no intervalo [0, T ] ´e limitado por

E ([0, T ] , h) 6 100e100Th. (1.20)

Por outro lado, a f´ormula iterativa de Euler neste caso se reduz a

yi+1= yi+ hf (ti, yi) = yi− 100yih = (1 − 100h) yi, de modo que y0= 1, y1= 1 − 100h, y2= (1 − 100h) 2 , .. . yn= (1 − 100h) n . Assim E ([0, T ] , h) = max

i=1,...,n|yi− yi| = maxi=1,...,n

e −100ih_{− (1 − 100h)}i = max i=1,...,n e −100ih_{− (1 − 100h)}i .

Este erro efetivo ´e muito menor que a estimativa de erro dada pelo teorema em (1.20). Por exemplo, se h = 10−2, segue que

E ([0, T ] , h) = max

i=1,...,n

e−i= e−1,

independente de T , enquanto que a estimativa do erro (1.20) para este valor de h ´e E ([0, T ] , h) 6 e100T,

(11)

1.2.2 M´

etodos de Runge-Kutta

Existem métodos com convergência bem mais rápida que o método de Euler. Entre os mais populares estão os métodos de Runge-Kutta de segunda e quarta ordem (o método de Euler é um método de Runge-Kutta) que veremos nesta se¸cão.

A solu¸cão exata da equa¸cão diferencial ordinária y0(t) = f (t) y (t0) = y0 ´ e y (t) = y0+ Z t t0 f (s) ds. No caso de (1.1), temos a solu¸cão impl´ıcita

y (t) = y0+

Z t

t0

f (s, y (s)) ds. (1.21)

Existe uma teoria rica e métodos robustos e eficientes para calcular integrais numericamente. Esta é a base dos métodos de Runge-Kutta para resolver equa¸cões diferenciais ordinárias numericamente. Integrando de ti até ti+1= ti+ h temos

yi+1= yi+

Z ti+h ti

f (s, y (s)) ds. Fazendo a mudan¸ca de vari´avel s = ti+ hu, obtemos

yi+1 = yi+ h

Z 1

0

f (ti+ hu, y (ti+ hu)) du. (1.22)

Por um m´etodo de quadratura (veja [Iserles], p. 33 para uma breve introdu¸c˜ao) a integral pode ser numeri-camente integrada, fornecendo

yi+1= yi+ h m

X

j=1

ajf (ti+ hbj, y (ti+ hbj)) (1.23)

para alguns n´umeros aj, bj∈ [0, 1], j = 1, . . . , m. Antes de fazermos algumas escolhas espec´ıficas de m´etodos

de Runge-Kutta com diferentes velocidades de convergência, vamos analizar a convergência de métodos de passo único de uma maneira mais geral. Na próxima subse¸cão, definiremos o que queremos dizer exatamente por métodos de Runge-Kutta e, além disso, forneceremos uma formula¸cão mais conveniente para trabalhar. 1.7 Defini¸cão. Um método de passo único (expl´ıcito) para a resolu¸cão numérica de equa¸cões diferenciais ordinárias é um método da forma

yi+1= yi+ hφ (ti, yi; h) , (1.24)

onde φ = φ (t, y; h) ´e chamada a fun¸c˜ao de itera¸c˜_ao.

A fun¸cão de itera¸cão representa uma aproxima¸cão para f (t, y) no intervalo [t0, T ] onde buscamos a solu¸cão

aproximada y para a solu¸cão exata y (t). O método de Euler é um método de Runge-Kutta de primeira ordem onde

φ (ti, yi; h) = f (ti, yi) (1.25)

´

(12)

1.8 Exemplo (Método de Heun). O método de Heun é um método de Runge-Kutta de segunda ordem (veja Corolário1.14a seguir) onde

φ (ti, yi; h) =

1

2[f (ti, yi) + f (ti+1, yi+ hf (ti, yi))] (1.26) ´

e a fun¸cão de itera¸cão. Neste caso, aproximamos f (ti+1, yi+1) pela média dos valores f (ti, yi) e f (ti+1,byi+1), ondey_bi+1 é a aproxima¸cão de yi+1 que seria obtida pelo método de Euler. Geometricamente, ao invés de

seguirmos a dire¸cão da reta tangente à curva y (t) em ti, como fazemos no método de Euler, no método de

Heun seguimos a m´edia das dire¸c˜oes das retas tangentes em ti e ti+1.

1.9 Exemplo (Método de Euler modificado). O método de Euler modificado ou método do ponto médio é um método de Runge-Kutta de segunda ordem (veja Corolário1.14a seguir) que tem como fun¸cão de itera¸cão φ (ti, yi; h) = f ti+ h 2, yi+ h 2f (ti, yi) (1.27) Geometricamente, ao invés de seguirmos a dire¸cão da reta tangente à curva y (t) em ti como no método

de Euler, no método de Euler modificado seguimos a dire¸cão da reta tangente no ponto médio do intervalo [ti, ti+1].

1.10 Exemplo (Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem Clássico). O método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico (veja Corolário1.21a seguir), imensamente popular, tem como fun¸cão de itera¸cão

φ (ti, yi; h) = 1 6(F1+ 2F2+ 2F3+ F4) (1.28) onde F1= f (ti, yi) , F2= f ti+ h 2, yi+ h 2F1 , (1.29) F3= f ti+ h 2, yi+ h 2F2 , F4= f (ti+ h, yi+ hF3) .

1.11 Defini¸cão. O erro de itera¸cão local de um método de passo único no ponto (t + h, y (t + h)) é definido por

η (t, h) = y (t + h) − [y (t) + hφ (t, y (t) ; h)] . (1.30) Dizemos que um método de passo único tem ordem de consistência p se

η (t, h) = O hp+1 .

1.12 Teorema. Considere um m´etodo de passo ´unico

yi+1 = yi+ hφ (ti, yi; h)

para o problema (1.1) no intervalo [t0, T ]. Se φ é uniformemente de Lipschitz em rela¸cão à segunda variável,

independentemente de 0 < h 6 T − t, e tem ordem de consistência p, então o método tem ordem de convergência p.

(13)

Prova. A demonstra¸cão é similar à do Teorema1.5. Seja λ a constante de Lipschitz para φ, isto é,

|φ (t, x; h) − φ (t, y; h)| 6 λ |x − y| (1.31) para todo t ∈ [t0, T ], para todos x, y ∈ R e para todo 0 < h 6 T − t. Seja tamb´em

|η (t, h)| 6 Chp+1 _(1.32)

para todo t ∈ [t0, T ] e para todo 0 < h 6 T − t. Defina

ei= yi− yi,

ηi= η (ti, h) .

Temos, por defini¸c˜ao,

yi+1= yi+ hφ (ti, yi; h) + ηi, yi+1= yi+ hφ (ti, yi; h) , donde ei+1= ei+ h [φ (ti, yi; h) − φ (ti, yi; h)] + ηi. (1.33) Logo, |ei+1| 6 |ei| + hλ |yi− yi| + |ηi| 6 (1 + λh) |ei| + (Chp) h.

Iterando esta desigualdade como fizemos na demonstra¸c˜ao do Teorema1.5, obtemos |ei| 6

(1 + λh)n

λ (Ch

p₎

para todo i, donde

E ([t0, T ] , h) 6

eλ(T −t0)

λ Ch

p_. _(1.34)

1.13 Teorema (Convergência de Métodos de Runge-Kutta de Segunda Ordem). Considere o problema (1.1) com solu¸cão exata no intervalo [t0, T ], tal que f é de classe C2 e

∂f

∂y é limitada em [t0, T ] × R. Então um método de Runge-Kutta com fun¸cão de itera¸cão

φ (ti, yi; h) = a1f (ti, yi) + a2f (ti+ b1h, yi+ b2hf (ti, yi)) (1.35)

tem ordem de convergˆencia 2 se os coeficientes a1, a2, b1, b2 satisfazem

           a1+ a2= 1 a2b1= 1 2 a2b2= 1 2 (1.36)

(14)

Prova. Temos φ (t, y; h) = a1f (t, y) + a2f (t + b1h, y + b2hf (t, y)) . Denote M = sup [t0,T ]×R ∂f ∂y . Como |φ (t, x; h) − φ (t, y; h)| 6 a1f |(t, x) − f (t, y)| + a2|f (t + b1h, x + b2hf (t, x)) − f (t + b1h, y + b2hf (t, y))| 6 a1M |x − y| + a2M |x + b2hf (t, x) − [y + b2hf (t, y)]| 6 a1M |x − y| + a2M |x − y| + a2b2M h |f (t, x) − f (t, y)| 6 a1M |x − y| + a2M |x − y| + a2b2M2(T − t0) |x − y| = M [a1+ a2+ a2b2M (T − t0)] |x − y|

segue que φ satisfaz a condi¸c˜ao de Lipschitz requerida pelo Teorema1.12, com constante de Lipschitz λ = M [a1+ a2+ a2b2M (T − t0)] .

A expansão de Taylor desta fun¸cão com respeito a h = 0 é φ (t, y; h) = φ (t, y; 0) +∂φ ∂h(t, y; 0) h + O h 2_. Como φ (t, y; 0) = a1f (t, y) + a2f (t + 0, y + 0) = (a1+ a2) f (t, y) = f (t, y) , e, pela regra da cadeia,

∂φ ∂h(t, y; h) = a2 ∂f ∂t (t + b1h, y + b2hf (t, y)) b1 + a2 ∂f ∂y(t + b1h, y + b2hf (t, y)) b2f (t, y) de modo que ∂φ ∂h(t, y; 0) = a2b1 ∂f ∂t (t, y) + a2b2f (t, y) ∂f ∂y(t, y) = 1 2 ∂f ∂t (t, y) + f (t, y) ∂f ∂y(t, y) , segue que φ (t, y; h) = f (t, y) +h 2 ∂f ∂t (t, y) + f (t, y) ∂f ∂y(t, y) + O h2 . (1.37)

(15)

A condi¸cão de f ser de classe C2 garante que a solu¸cão exata é de classe C3, pois y0(t) = f (t, y (t)) , y00(t) = ∂f ∂t + ∂f ∂yy 0 = ∂f ∂t + f ∂f ∂y, y000(t) = ∂ 2_f ∂t2 + ∂2_f ∂t∂yy 0₊ ∂f ∂t + f ∂f ∂y ∂f ∂y + f ∂2_f ∂y∂t+ ∂2_f ∂y2y 0 = ∂ 2_f ∂t2 + 2f ∂2_f ∂t∂y + f 2∂2f ∂y2 + ∂f ∂t ∂f ∂y + f ∂f ∂y 2 , logo, a expansão de Taylor da solu¸cão exata é

y (t + h) = y (t) + y0(t) h +1 2y 00_{(t) h}2_{+ O h}3_, ou seja, y (t + h) = y (t) + h f (t, y (t)) + h 2 ∂f ∂t (t, y (t)) + f (t, y (t)) ∂f ∂y(t, y (t)) + O h3 . (1.38) Substituindo (1.37) nesta express˜ao, obtemos

y (t + h) = y (t) + hφ (t, y (t) ; h) + O h3 , donde

η (t, h) = y (t + h) − [y (t) + hφ (t, y (t) ; h)] = O h3 .

1.14 Corolário. O método de Heun e o método de Euler modificado são métodos convergentes de segunda ordem.

Prova. Os coeficientes da fun¸cão de itera¸cão do método de Heun satisfazem a1= a2= 1₂ e b1= b2= 1.

Os coeficientes da fun¸cão de itera¸cão do método de Euler modificado satisfazem a1 = 0, a2 = 1 e

b1= b2= 1₂.

A convergência de métodos de Runge-Kutta de ordem mais alta será vista na próxima subse¸cão.

1.2.3 Formula¸

c˜

ao Geral dos M´

etodos de Runge-Kutta

1.15 Defini¸c˜ao. Sejam s um inteiro e a21, a31, a32, a41, a42, a43, (1.39) .. . as1, as2, as3, . . . , as,s−1, b1, . . . , bs, c2, . . . , cs,

(16)

coeficientes reais. Um método de Runge-Kutta expl´ıcito com s estágios é um método de passo único com fun¸cão de itera¸cão da forma

φ (ti, yi; h) = b1k1+ . . . + bsks, (1.40) onde k1= f (ti, yi) , k2= f (ti+ c2h, yi+ a21k1h) , k3= f (ti+ c3h, yi+ (a31k1+ a32k2) h) (1.41) .. . ks= f (ti+ csh, yi+ (as1k1+ . . . + as,s−1ks−1) h) , com a condi¸c˜ao ci= i−1 X j=1 ai,j. (1.42)

Observamos que a condi¸cão (1.42) expressa que todos os pontos onde f é calculada são aproxima¸cões de primeira ordem para a solu¸cão e simplificam consideravelmente a obten¸cão de condi¸cões para métodos de ordem de convergência alta; para ordem de convergência baixa, no entanto, ela não é necessária (veja [HNW], p. 142, Exerc´ıcio 6).

1.16 Nota¸cão. Os coeficientes de um método de Runge-Kutta especificado são geralmente organizados em uma tabela RK com o seguinte formato:

0 c2 a21 c3 a31 a32 .. . ... ... . .. cs as1 as2 . . . as,s−1 b1 b2 . . . bs−1 bs

1.17 Exemplo. M´etodos RK de 2 est´agios tem tabelas RK com formato 0

c2 a21

b1 b2

Nesta nota¸cão, as condi¸cões do Teorema1.13para que um método RK de 2 estágios seja de segunda ordem são          b1+ b2= 1 b2c2= 1 2 c2= a21 (1.43)

A última condi¸cão é também à condi¸cão (1.42). Os métodos de Heun e de Euler modificado tem as seguintes tabelas RK, respectivamente, 0 1 1 1 2 1 2 e 0 1 2 1 2 0 1 .

(17)

1.18 Teorema (Convergência de Métodos de Runge-Kutta de Terceira Ordem). Considere o problema (1.1) com solu¸cão exata no intervalo [t0, T ], tal que f é de classe C3 e

∂f

∂y é limitada em [t0, T ] × R. Então um método RK com tabela RK

0 c2 a21

c3 a31 a32

b1 b2 b3

tem ordem de convergˆencia 3 se os seus coeficientes satisfazem                                  b1+ b2+ b3= 1 b2c2+ b3c3= 1 2 b2c22+ b3c23= 1 3 b3a32c2= 1 6 a21= c2 a31= c3− a32 (1.44)

Prova. A expansão de Taylor da solu¸cão exata (como f é de classe C3_{, a solu¸}_c˜_{ao exata ´}_{e de classe C}4_{) ´}_e

y (t + h) = y (t) + y0(t) h +1 2y

00_{(t) h}2₊1

6y

000_{(t) h}3_{+ O h}4_.

Segue de (1.1) e da regra da cadeia que y0(t) = f (t, y (t)) = f, y00(t) =∂f ∂t (t, y (t)) + f (t, y (t)) ∂f ∂y(t, y (t)) =∂f ∂t + f ∂f ∂y, y000(t) =∂ 2_f ∂t2 (t, y (t)) + ∂2_f ∂t∂y(t, y (t)) y 0_(t) + ∂f ∂t (t, y (t)) + f (t, y (t)) ∂f ∂y (t, y (t)) ∂f ∂y (t, y (t)) + f (t, y (t)) ∂ 2_f ∂y∂t(t, y (t)) + ∂2_f ∂y2(t, y (t)) y 0_(t) =∂ 2_f ∂t2 + f ∂2_f ∂t∂y + ∂f ∂t ∂f ∂y + f ∂f ∂y 2 + f ∂ 2_f ∂y∂t+ f 2∂2f ∂y2 =∂ 2_f ∂t2 + 2f ∂2_f ∂t∂y + ∂f ∂t ∂f ∂y + f ∂f ∂y 2 + f2∂ 2_f ∂y2. Da´ı, y (t + h) = y (t) + h ( f +h 2 ∂f ∂t + f ∂f ∂y +h 2 6 " ∂2f ∂t2 + 2f ∂2f ∂t∂y + ∂f ∂t ∂f ∂y + f ∂f ∂y 2 + f2∂ 2_f ∂y2 #) + O h4 .

(18)

Se mostrarmos que φ (t, y; h) = f +h 2 ∂f ∂t + f ∂f ∂y +h 2 6 " ∂2_f ∂t2 + 2f ∂2_f ∂t∂y + ∂f ∂t ∂f ∂y + f ∂f ∂y 2 + f2∂ 2_f ∂y2 # + O h3 , (1.45) obteremos η (t, h) = y (t + h) − [y (t) + hφ (t, y (t) ; h)] = O h4 e o resultado seguir´a do Teorema 1.12.

Temos φ (t, y; h) = b1k1(t, y; h) + b2k2(t, y; h) + b3k3(t, y; h) , onde k1(t, y; h) = f (t, y) , k2(t, y; h) = f (t + c2h, y + a21f (t, y) h) = f (t + c2h, y + c2f (t, y) h) , k3(t, y; h) = f (t + c3h, y + a31f (t, y) h + a32k2(t, y; h) h) .

usando a rela¸cão c2= a21. A condi¸cão sobre f garante que φ satisfaz a condi¸cão de Lipschitz requerida pelo

Teorema1.12. A expansão de Taylor desta fun¸cão com respeito a h = 0 é φ (t, y; h) = φ (t, y; 0) + ∂φ ∂h(t, y; 0) h + 1 2 ∂2_φ ∂h2(t, y; 0) h 2_{+ O h}3_. _(1.46) Temos φ (t, y; 0) = b1k1(t, y; 0) + b2k2(t, y; 0) + b3k3(t, y; 0) = b1f (t, y) + b2f (t, y) + b3f (t, y) = (b1+ b2+ b3) f (t, y) . (1.47)

Para obter as derivadas, como k1 independe de h, temos

∂φ ∂h(t, y; 0) = b2 ∂k2 ∂h (t, y; 0) + b3 ∂k3 ∂h (t, y; 0) , (1.48) ∂2_φ ∂h2(t, y; 0) = b2 ∂2_k 2 ∂h2 (t, y; 0) + b3 ∂2_k 3 ∂h2 (t, y; 0) . (1.49)

Calcularemos cada um dos termos. Para a derivada primeira, temos ∂k2 ∂h (t, y; h) = c2 ∂f ∂t (t + c2h, y + c2f (t, y) h) + c2f (t, y) ∂f ∂y (t + c2h, y + c2f (t, y) h) , ∂k3 ∂h (t, y; h) = c3 ∂f ∂t (t + c3h, y + [a31f (t, y) + a32k2(t, y; h)] h) +∂f ∂y(t + c3h, y + a31f (t, y) h + a32k2(t, y; h) h) a31f (t, y) + a32k2(t, y; h) + a32 ∂k2 ∂h (t, y; h) h de modo que ∂k2 ∂h (t, y; 0) = c2 ∂f ∂t (t, y) + c2f (t, y) ∂f ∂y (t, y) , ∂k3 ∂h (t, y; 0) = c3 ∂f ∂t (t, y) + ∂f ∂y(t, y) [a31f (t, y) + a32k2(t, y; 0)] = c3 ∂f ∂t (t, y) + (a31+ a32) f (t, y) ∂f ∂y(t, y) = c3 ∂f ∂t (t, y) + c3f (t, y) ∂f ∂y (t, y) .

(19)

usando c3= a31+ a32. Segue de (1.48) que ∂φ ∂h(t, y; 0) = b2 c2 ∂f ∂t + c2f ∂f ∂y (t, y) + b3 c3 ∂f ∂t + c3f ∂f ∂y (t, y) = (b2c2+ b3c3) ∂f ∂t + f ∂f ∂y (t, y) . (1.50)

Para a derivada segunda temos ∂2_k 2 ∂h2 (t, y; h) = c 2 2 ∂2_f ∂t2 (t + c2h, y + c2f (t, y) h) + c 2 2f (t, y) ∂2_f ∂t∂y(t + c2h, y + c2f (t, y) h) + c2₂f (t, y) ∂ 2_f ∂y∂t(t + c2h, y + c2f (t, y) h) + c 2 2f 2_{(t, y)}∂2f ∂y2(t + c2h, y + c2f (t, y) h) = c2₂∂ 2_f ∂t2 (t + c2h, y + c2f (t, y) h) + 2c 2 2f (t, y) ∂2f ∂t∂y(t + c2h, y + c2f (t, y) h) + c2₂f2(t, y)∂ 2_f ∂y2 (t + c2h, y + c2f (t, y) h) , e ∂2_k 3 ∂h2 (t, y; h) = c2₃∂ 2_f ∂t2 (t + c3h, y + [a31f (t, y) + a32k2(t, y; h)] h) + c3 ∂2_f ∂t∂y(t + c3h, y + [a31f (t, y) + a32k2(t, y; h)] h) a31f (t, y) + a32k2(t, y; h) + a32 ∂k2 ∂h (t, y; h) h + c3 ∂2f ∂y∂t(t + c3h, y + a31f (t, y) h + a32k2(t, y; h) h) a31f (t, y) + a32k2(t, y; h) + a32 ∂k2 ∂h (t, y; h) h +∂ 2_f ∂y2(t + c3h, y + a31f (t, y) h + a32k2(t, y; h) h) a31f (t, y) + a32k2(t, y; h) + a32 ∂k2 ∂h (t, y; h) h 2 +∂f ∂y(t + c3h, y + a31f (t, y) h + a32k2(t, y; h) h) a32 ∂k2 ∂h (t, y; h) + a32 ∂k2 ∂h (t, y; h) + a32 ∂2_k 2 ∂h2 (t, y; h) h , de modo que ∂2_k 2 ∂h2 (t, y; 0) = c 2 2 ∂2_f ∂t2 (t, y) + 2c 2 2f (t, y) ∂2_f ∂t∂y(t, y) + c 2 2f 2_{(t, y)}∂2f ∂y2 (t, y) , ∂2k3 ∂h2 (t, y; 0) = c 2 3 ∂2f ∂t2 (t, y) + 2c 2 3f (t, y) ∂2f ∂t∂y(t, y) + c 2 3f2(t, y) ∂2f ∂y2 (t, y) + 2a32c2 ∂f ∂y(t, y) ∂f ∂t (t, y) + 2a32c2f (t, y) ∂f ∂y(t, y) 2 . Segue de (1.49) que ∂2_φ ∂h2(t, y; 0) = b2c 2 2 ∂2_f ∂t2 + 2b2c 2 2f ∂2_f ∂t∂y + b2c 2 2f 2∂2f ∂y2 + b3c23 ∂2_f ∂t2 + 2b3c 2 3f ∂2_f ∂t∂y + b3c 2 3f 2∂2f ∂y2 + b3a32c2 ∂f ∂y ∂f ∂t + b3a32c2f ∂f ∂y 2 = b2c22+ b3c23 ∂ 2_f ∂t2 + 2 b2c 2 2+ b3c23 f ∂2_f ∂t∂y + b2c 2 2+ b3c23 f 2∂2f ∂y2 + 2b3a32c2 ∂f ∂t ∂f ∂y + 2b3a32c2f ∂f ∂y 2 . (1.51)

(20)

Portanto, (1.46) juntamente com (1.47), (1.50) e (1.51) produz φ (t, y; h) = (b1+ b2+ b3) f + h (b2c2+ b3c3) ∂f ∂t + f ∂f ∂y +h 2 2 b2c22+ b3c23 ∂ 2_f ∂t2 + 2 b2c 2 2+ b3c23 f ∂2f ∂t∂y + b2c 2 2+ b3c23 f 2∂ 2_f ∂y2 +2b3a32c2 ∂f ∂t ∂f ∂y + 2b3a32c2f ∂f ∂y 2# + O h3 . (1.52)

Comparando (1.52) com (1.45), vemos que as condi¸cões para que estas duas expressões sejam idènticas são exatamente b1+ b2+ b3= 1, b2c2+ b3c3= 1 2, b2c22+ b3c23= 1 3, b3a32c2= 1 6.

1.19 Exemplo. O m´etodo de Runge-Kutta de terceira ordem cl´assico tem tabela RK 0 1 2 1 2 1 −1 2 1 6 2 3 1 6 . Ou seja, yi+1 = yi+ h 6(F1+ 4F2+ F3) , (1.53) com F1= f (ti, yi) , F2= f ti+ h 2, yi+ h 2F1 , F3= f (ti+ h, yi− hF1+ 2hF2) . ´

E f´acil verificar que as condi¸c˜oes do Teorema1.18s˜_{ao satisfeitas.}

1.20 Teorema (Convergência de Métodos de Runge-Kutta de Quarta Ordem). Considere o problema (1.1) com f : [t0, T ] × R −→ R de classe C4. Então um método RK com tabela RK

0 c2 a21

c3 a31 a32

c4 a41 a42 a43

(21)

tem ordem de convergˆencia 4 se os seus coeficientes satisfazem                                                                              b1+ b2+ b3+ b4= 1 b2c2+ b3c3+ b4c4= 1 2 b2c22+ b3c23+ b4c24= 1 3 b2c32+ b3c33+ b4c34= 1 4 b3a32c2+ b4a42c2+ b4a43c3= 1 6 b3a32c22+ b4a42c22+ b4a43c23= 1 12 b3c3a32c2+ b4c4a42c2+ b4c4a43c3= 1 8 b4a43a32c2= 1 12 a21= c2 a31= c3− a32 a41= c4− a42− a43 (1.54)

Prova. Uma demonstra¸cão análoga à demonstra¸cão do Teorema 1.19 é poss´ıvel, embora muito, muito mais longa. Sugerimos consultar [HNW], Cap´ıtulo II-2, pp. 143–155, e [Butcher], Cap´ıtulo 3, para uma demonstra¸cão bem mais elegante baseada em teoria dos grafos. Além disso, esta técnica é essencial na obten¸cão e análise da convergência de m´_{etodos RK de ordem superior a 4.}

1.21 Corolário. O método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico é de fato um método convergente de quarta ordem.

Prova. A tabela RK do método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico é 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 0 0 1 1 6 1 3 1 3 1 6 ´

E f´acil, embora tedioso, verificar que todas as condi¸c˜oes do teorema s˜_{ao satisfeitas.}

O maior esfor¸co computacional requerido pelos métodos de Runge-Kutta (abrevia¸cão: métodos RK) é o número de avalia¸cões de f necessários. O método de Euler requer apenas uma avalia¸cão da fun¸cão f , enquanto que os métodos de Runge-Kutta de segunda ordem requerem duas avalia¸cões de f , métodos RK de terceira ordem requerem três avalia¸cões e métodos de RK de quarta ordem requerem quatro avalia¸cões. O maior número de avalia¸cões é contrabalan¸cado pelo maior tamanho do passo h necessário para se atingir uma precisão determinada e, consequentemente, um menor número de cálculos. Além disso, o tamanho do passo tem fundamental importância em computa¸cão prática, pois quanto menor o tamanho do passo, maiores são os erros de arredondamento, exatamente porque quanto menor h mais cálculos são necessários

(22)

para produzir a resposta e os erros de arredondamento passam a se acumular. Eventualmente, dependendo do computador, para um determinado tamanho do passo h o erro entre a solu¸cão aproximada e a solu¸cão exata come¸cará a divergir à medida que h diminui. Por exemplo, um método RK de ordem 4 que requer 4 vezes o número de avalia¸cões do método de Euler, deverá em geral produzir respostas mais precisas que o método de Euler que utilizar 1/4 do tamanho de passo do primeiro.

Para obter m´_{etodos RK de ordem n > 5, no entanto, o n´}umero de avalia¸cões requerido come¸ca a ser maior que n e a aumentar com n. Por exemplo, são necessárias 6 avalia¸cões para obter um método de RK de ordem 5, 7 avalia¸cões para um método RK de ordem 6, 9 avalia¸cões para um método RK de ordem 7 e 11 avalia¸cões para um método RK de ordem 8. Até o momento, o método RK de maior ordem constru´ıdo explicitamente tem ordem 10 e necessita 17 avalia¸cões de f , embora não se saiba se este número é otimal. Por este motivo, métodos RK de ordem maior que 4 não são populares.

Para maiores detalhes sobre métodos de Runge-Kutta, veja [HNW]. Uma idéia importante na prática que não trabalhamos aqui é a varia¸cão do tamanho do passo h em diferentes regiões do dom´ınio: em regiões do dom´ınio de baixa concavidade (derivada segunda pequena), não é necessário usar passos de tamanho grande para atingir uma determinada precisão, diferente de regiões de alta concavidade, onde um menor passo é necessário para atingir a precisão desejada. Bons códigos que usam métodos RK em geral implementam algum algoritmo que permite variar o tamanho do passo h à medida que o programa executa. Estes são chamados métodos adaptativos, porque o número e posi¸cão dos nós da malha variam ao mesmo tempo que o processamento é feito. Em geral, a decisão de modificar o tamanho do passo no próximo passo do programa pode ser tomada a partir de uma estimativa do erro de discretiza¸cão local e há várias maneiras de fazê-lo, mas isso pode ser muito custoso. Uma maneira computacionalmente eficiente de fazê-lo é dada pelo método de Runge-Kutta-Fehlberg em que, por exemplo, um método RK de quinta ordem é utilizado para estimar o erro de discretiza¸cão local de um método RK de quarta ordem.

1.3 M´

etodos de Passo M´

ultiplo para EDOs de Primeira Ordem

Nos métodos de passo único, o valor de yi+1 depende apenas do valor aproximado da solu¸cão no ponto ti.

´

E de se esperar que poder´ıamos obter uma aproxima¸cão mais precisa se usássemos a informa¸cão já obtida nos passos anteriores ti, ti−1, ti−2, . . . , ts.

Uma classe grande e importante de métodos de passo múltiplo é obtida da seguinte maneira. Integrando a solu¸cão sobre o intervalo [ti, t+1] obtemos

yi+1− yi= Z ti+1 ti y0(t) dt = Z ti+1 ti f (t, y (t)) dt.

Aproximando f (t, y (t)) por um polinômio p (t) segue que a solu¸cão aproximada será dada por yi+1= yi+

Z ti+1 ti

p (t) dt. (1.55)

1.3.1 M´

etodos de Adams-Bashforth

A idéia deste método é aproximar f (t, y (t)) por um polinômio Pk(t) de grau k usando os k + 1 dados

calculados anteriormente para determinar os coeficientes de Pk.

Se k = 0, obtemos o método de Euler. Se k = 1, então P1 é simplesmente a fun¸cão linear que interpola

(ti−1, fi−1) e (ti, fi). Assim, escrevendo

P1(t) = At + B, (1.56)

temos

P1(ti) = f (ti, yi) = Ati+ B,

(23)

resolvendo este sistema, obtemos

A = f (ti, yi) − f (ti−1, yi−1)

h , (1.57)

B = f (ti−1, yi−1) ti− f (ti, yi) ti−1

h . Denotando fk = f (tk, yk) , segue que Z ti+1 ti P1(t) dt = Z ti+1 ti fi− fi−1 h t + fi−1ti− fiti−1 h dt =fi− fi−1 2h t 2 i+1− t 2 i + fi−1ti− fiti−1 h (ti+1− ti) =fit 2

i+1− fi−1t2i+1− fit2i + fi−1t2i

2h +

fi−1titi+1− fi−1t2i − fiti−1ti+1+ fiti−1ti

h =fit

2

i+1− fi−1t2i+1− fit2i − fi−1t2i + 2fi−1titi+1− 2fiti−1ti+1+ 2fiti−1ti

2h .

Usando o fato que ti−1= ti− h e que ti+1= ti+ h segue que

Z ti+1 ti

p (t) dt = 1 2hfit

2

i + 2hfiti+ fih2− fi−1t2i − 2hfi−1ti− fi−1h2− fit2i − fi−1t2i

+2fi−1t2i + 2hfi−1ti− 2fiti2− 2fih2+ 2fit2i − 2hfiti = 3fih 2_{− f} i−1h2 2h = 3fi− fi−1 2 h.

Portanto o m´etodo de Adams-Bashforth de segunda ordem (como pode ser provado) ´e dado por yi+1 = yi+

h

2[3f (ti, yi) − f (ti−1, yi−1)] . (1.58) Observe que para obter y1 ainda é necessário utilizar um método de passo único, já que apenas o ponto

inicial está dispon´ıvel; apenas a partir de y2podemos utilizar este método. Para não contaminar a ordem de

convergência deste método, é necessário também utilizar um método de passo único de segunda ordem para encontrar y1ou então diminuir o passo h inicialmente até chegar em y1, obtendo alguns pontos intermediários

antes de chegar a´ı.

Procedendo de maneira semelhante, usando polinˆomios de grau 2 e 3, obtemos respectivamente o m´etodo de Adams-Bashforth de terceira ordem

yi+1= yi+

h

12[23f (ti, yi) − 16f (ti−1, yi−1) + 5f (ti−2, yi−2)] (1.59) e o m´etodo de Adams-Bashforth de quarta ordem

yi+1= yi+

h

24[55f (ti, yi) − 59f (ti−1, yi−1) + 37f (ti−2, yi−2) − 9f (ti−3, yi−3)] . (1.60) Métodos de Adams-Bashforth de ordem arbitrária podem ser obtidos da mesma maneira. Em todos estes métodos, os k pontos iniciais necessários para come¸car o método multipasso devem ser obtidos por um método de passo único adequado, isto é, de mesma ou melhor ordem de convergência que o método multipasso que se pretende usar. Também é poss´ıvel usar um método de passo único no primeiro passo, um método de passo duplo no segundo passo e assim por diante até que um número suficiente de pontos tenha sido obtido para come¸car o método multipasso (com a possibilidade de se usar tamanhos de passo diferentes em cada método, construindo pontos intermediários até chegar nos pontos de interesse). Historicamente, os métodos multipasso foram desenvolvidos antes dos métodos de Runge-Kutta.

(24)

1.4 M´

etodos de Passo ´

Unico para Sistemas de EDOs de Primeira

Ordem

EDOs de segunda ordem, ou mesmo de ordem maior, podem ser transformadas em sistemas de EDOs de primeira ordem. Considere o sistema de equa¸cões diferenciais ordinária de primeira ordem com condi¸cão inicial

y0(t) = f (t, y) , y (t0) = y0,

(1.61) onde desta vez y e f denotam vetores com n componentes:

y (t) = (y1(t) , . . . , yn(t)) ,

f (t, y) = (f1(t, y) , . . . , fn(t, y)) ,

Os métodos numéricos vistos anteriormente se aplicam em forma vetorial. Por exemplo, o método de Euler se escreve da mesma forma

yi+1= yi+ f (ti, yi) h (1.62)

mas desta vez a solu¸c˜ao aproximada y ´e um vetor com n componentes: yi= (y1,i(t) , . . . , yn,i(t)) .

Por exemplo, para um sistema 2 × 2    y₁0(t) = f1(t, y1, y2) , y₂0(t) = f2(t, y1, y2) , y1(t0) = y1,0, y2(t0) = y2,0, (1.63)

o m´etodo de Euler se escreve na forma  



y1,i+1= y1,i+ f (ti, y1,i, y2,i) h,

y2,i+1= y2,i+ f (ti, y1,i, y2,i) h,

(25)

Cap´ıtulo 2

M´

etodo de Diferen¸

cas Finitas para

Equa¸

c˜

oes Diferenciais El´ıpticas

2.1 O Caso Unidimensional

Nesta se¸cão, desenvolveremos um método numérico de diferen¸cas finitas para resolver o problema de Dirichlet para a equa¸cão de Poisson em uma dimensão

−u00_{= f (x)} _{em [0, L] ,}

u (0) = a, u (L) = b.

2.1.1 S´

eries de Taylor e Diferen¸

cas Finitas em Uma Dimens˜

ao

Seja ∆x > 0. Considere as seguintes expans˜oes de Taylor de uma fun¸c˜ao u em torno de um ponto x0,

respectivamente `a direita e `a esquerda de x0:

u(x0+ ∆x) = u(x0) + u0(x0)∆x + 1 2!u 00_(x 0)∆x2+ 1 3!u 000_(x 0)∆x3+ . . . , (2.1) u(x0− ∆x) = u(x0) − u0(x0)∆x + 1 2!u 00_(x 0)∆x2− 1 3!u 000_(x 0)∆x3+ . . . (2.2) Da´ı, u0(x0) = u(x0+ ∆x) − u(x0) ∆x − 1 2!u 00_(x 0)∆x − 1 3!u 000_(x 0)∆x2− . . . , u0(x0) = u(x0) − u(x0− ∆x) ∆x + 1 2!u 00_(x 0)∆x − 1 3!u 000_(x 0)∆x2+ . . .

Isso fornece duas aproxima¸c˜oes poss´ıveis para a primeira derivada u0(x0) de u em x0:

u0(x0) ≈ u(x0+ ∆x) − u(x0) ∆x , (2.3) u0(x0) ≈ u(x0) − u(x0− ∆x) ∆x . (2.4)

A primeira é chamada uma diferen¸ca progressiva e a segunda é uma diferen¸ca regressiva. Pela Fórmula de Taylor com Resto, o erro destas aproxima¸cões é dado por

= ±1 2u

00_{(ξ)∆x = O(∆x),}

(26)

onde x06 ξ 6 x0+ ∆x no primeiro caso, e x0− ∆x 6 ξ 6 x0 no segundo caso.

Por outro lado, se subtrairmos (2.2) de (2.1), obtemos u0(x0) = u(x0+ ∆x) − u(x0− ∆x) 2∆x − 1 3!u 000_(x 0)∆x2− 1 5!u (5)_(x 0)∆x4− . . .

o que d´a uma outra aproxima¸c˜ao poss´ıvel para a primeira derivada u0(x0) de u em x0:

u0(x0) ≈ u(x0+ ∆x) − u(x0− ∆x) 2∆x (2.5) com erro = −1 6u 000_(ξ)∆x2_{= O(∆x}2_),

para algum x0− ∆x 6 ξ 6 x0+ ∆x. Esta aproxima¸c˜ao por diferen¸ca finita ´e chamada diferen¸ca centrada.

Ela é uma melhor aproxima¸cão que as aproxima¸cões laterais (progressiva e regressiva). Se, ao invés, adicionarmos (2.1) e (2.2), obtemos

u00(x0) =

u(x0+ ∆x) + u(x0− ∆x) − 2u(x0)

∆x2 − 2 4!u (4)_(x 0)∆x2− 2 5!u (6)_(x 0)∆x4− . . .

o que fornece uma aproxima¸c˜ao para a derivada segunda u00(x0) de u em x0:

u00(x0) ≈

u(x0+ ∆x) + u(x0− ∆x) − 2u(x0)

∆x2 (2.6)

com erro

= −1 12u

(4)_(ξ)∆x2_{= O(∆x}2_),

onde x0− ∆x 6 ξ 6 x0+ ∆x. Esta aproxima¸cão é também chamada uma diferen¸ca centrada para a

derivada segunda.

2.1.2 Discretiza¸

c˜

ao

Dividimos o intervalo [0, L] em n subintervalos de comprimento ∆x = L/n atrav´es de n − 1 pontos interiores uniformemente espa¸cados:

x0= 0, x1= ∆x, x2= 2∆x, . . . , xn−1= (n − 1) ∆x, xn= n∆x = L,

de modo que [0, L] = [x0, x1] ∪ [x1, x2] ∪ . . . ∪ [xn−1, xn]. Introduzimos a nota¸c˜ao:

ui= u(xi),

fi= f (xi) .

Esta é uma discretiza¸cão uniforme do intervalo [0, L]. Uma vez discretizado o dom´ınio da equa¸cão dife-rencial parcial, procedemos à discretiza¸cão desta. Usando diferen¸cas centradas para cada ponto interior xi,

1 6 i 6 n − 1, temos

−ui−1+ 2ui− ui+1

∆x2 = fi. (2.7)

Para os pontos de fronteira, a condi¸c˜ao de Dirichlet implica

(27)

Portanto, para encontrar a solu¸cão discretizada temos que resolver o sistema linear com n − 1 equa¸cões a n − 1 incógnitas:              ∆x−2(2u1− u2) = f1+ a∆x−2 ∆x−2(−u1+ 2u2− u3) = f2 .. . ∆x−2(−un−3+ 2un−2− un−1) = fn−2 ∆x−2(−un−2+ 2un−1) = fn−1+ b∆x−2 , ou seja, 1 ∆x2           2 −1 −1 2 −1 −1 . .. . .. . ._. . ._. ₋₁ −1 2 −1 −1 2                     u1 u2 .. . .. . un−2 un−1           =           f1+ a∆x−2 f2 .. . .. . fn−2 fn−1+ b∆x−2           .

Esta é uma matriz tridiagonal simétrica, esparsa. Além disso, como veremos na próxima subse¸cão, ela é positiva definida (isto é, seus autovalores são positivos) e portanto possui uma inversa, o que garante a existência e unicidade da solu¸cão. Dada sua simplicidade, ela pode ser resolvida por elimina¸cão gaussiana ou sua inversa pode ser efetivamente calculada. Por exemplo, para n = 4, 5, 6 temos

  2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2   −1 =       1 1₂ 1₃ 0 1 2₃ 0 0 1             1 2 0 0 0 2₃ 0 0 0 3₄             1 0 0 1 2 1 0 1 3 2 3 1       = 1 4   3 2 1 2 4 2 1 2 3  ,     2 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 2     −1 =           1 1₂ 1₃ 1₄ 0 1 2₃ 2₄ 0 0 1 3₄ 0 0 0 1                     1 2 0 0 0 0 2₃ 0 0 0 0 3₄ 0 0 0 0 4₅                     1 0 0 0 1 2 1 0 0 1 3 2 3 1 0 1 4 2 4 3 4 1           =1 5     4 3 2 1 3 6 4 2 2 4 6 3 1 2 3 4           2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2       −1 =               1 1₂ 1₃ 1₄ 1₅ 0 1 2₃ 2₄ 2₅ 0 0 1 3₄ 3₅ 0 0 0 1 4₅ 0 0 0 0 1                             1 2 0 0 0 0 0 2₃ 0 0 0 0 0 3₄ 0 0 0 0 0 4₅ 0 0 0 0 0 5₆                             1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 3 2 3 1 0 0 1 4 1 2 3 4 1 0 1 5 2 5 3 5 4 5 1               = 1 6       5 4 3 2 1 4 8 6 4 2 3 6 9 6 3 2 4 6 8 4 1 2 3 4 5       .

(28)

2.1.3 Resolu¸

c˜

ao Num´

erica do Problema de Autovalor Unidimensional

Os autovalores de Dirichlet do laplaciano em [0, L] devem ser aproximados pelos autovalores da matriz (n − 1) × (n − 1) A = 1 ∆x2           2 −1 −1 2 −1 −1 . .. . .. . ._. . ._. ₋₁ −1 2 −1 −1 2           quando n → ∞ e correspondentemente ∆x → 0.

Lembrando que as autofun¸cões de Dirichlet do laplaciano no intervalo [0, L] são as fun¸cões Uj(x) = sen

jπx L ,

este fato sugere que os autovetores uj da matriz A s˜ao os vetores de coordenadas

Uj(x1) , Uj(x2) , . . . , Uj(xn−2) , Uj(xn−1) = Uj(∆x) , Uj(2∆x) , . . . , Uj((n − 2) ∆x) , Uj((n − 1) ∆x) ,

ou seja, como ∆x = L/n, os vetores uj = senjπ n, sen 2jπ n , . . . , sen (n − 2) jπ n , sen (n − 1) jπ n . Usando identidades trigonom´etricas, vamos verificar que isso de fato acontece: 2.1 Lema. Os n − 1 autovalores da matriz A s˜ao

λj= 2 ∆x2 1 − cosjπ n = 4 ∆x2sen 2 jπ 2n, j = 1, . . . , n − 1, (2.9) e os autovetores correspondentes s˜ao uj= senjπ n, sen 2jπ n , . . . , sen (n − 2) jπ n , sen (n − 1) jπ n , j = 1, . . . , n − 1. (2.10) Prova. Temos           2 −1 −1 2 −1 −1 . .. . .. . ._. . ._. ₋₁ −1 2 −1 −1 2                         senjπ n sen2jπ n .. . sen(n − 2) jπ n sen(n − 1) jπ n               =                  2 senjπ n − sen 2jπ n − senjπ n + 2 sen 2jπ n − sen 3jπ n .. . − sen(n − 3) jπ n + 2 sen (n − 2) jπ n − sen (n − 1) jπ n − sen(n − 2) jπ n + 2 sen (n − 1) jπ n                 

(29)

= 2 1 − cosjπ n                  senjπ n sen2jπ n .. . sen(n − 2) jπ n sen(n − 1) jπ n                  , pois 2 senjπ n − sen 2jπ n = 2 sen jπ n − 2 sen jπ n cos jπ n = 2 1 − cosjπ n senjπ n , − sen(n − k − 1) jπ n + 2 sen (n − k) jπ n − sen (n − k + 1) jπ n = − sen (n − k) jπ n − jπ n + 2 sen(n − k) jπ n − sen (n − k) jπ n + jπ n = − sen(n − k) jπ n cos jπ n + cos (n − k) jπ n sen jπ n + 2 sen (n − k) jπ n − sen(n − k) jπ n cos jπ n − cos (n − k) jπ n sen jπ n = 2 1 − cosjπ n sen(n − k) jπ n , e − sen(n − 2) jπ n + 2 sen (n − 1) jπ n = − sen (n − 1) jπ n − jπ n + 2 sen(n − 1) jπ n = − sen(n − 1) jπ n cos jπ n + cos (n − 1) jπ n sen jπ n + 2 sen (n − 1) jπ n = − sen(n − 1) jπ n cos jπ n − sen (n − 1) jπ n cos jπ n + 2 sen (n − 1) jπ n = 2 1 − cosjπ n sen(n − 1) jπ n ,

onde na pen´ultima identidade usamos o fato que cos(n − 1) jπ n sen jπ n = − sen (n − 1) jπ n cos jπ n porque 0 = sen jπ = sen (n − 1) jπ n + jπ n = sen(n − 1) jπ n cos jπ n + cos (n − 1) jπ n sen jπ n .

Os autovalores de A são positivos, portanto A é uma matriz positiva definida. Observe que, fixado j, se n é arbitrariamente grande então

cosjπ n ≈ 1 −

j2π2 2n2,

(30)

pois o desenvolvimento em série de Taylor da fun¸cão cosseno em torno da origem é cos x = 1 − 1

2x

2_{+ O x}3_;

tomando x = jπ/n para n suficientemente grande e desprezando os termos de terceira ordem, obtemos a aproxima¸c˜ao acima. Da´ı,

2 ∆x2 1 − cosjπ n = 2n 2 L2 1 − cosjπ n ≈ 2n 2 L2 1 − 1 −j 2_π2 2n2 =j 2_π2 L2 ,

de forma que os menores autovalores da matriz A são uma boa aproxima¸cão para os menores autovalores de Dirichlet do laplaciano no intervalo [0, L]. Já o maior autovalor da matriz A é

λn−1= 2 ∆x2 1 − cos(n − 1) π n = 2n 2 L2 1 − cos(n − 1) π n ≈ 4n 2 L2,

que não é uma boa aproxima¸cão para um autovalor do laplaciano. Vemos que se aumentarmos o número de pontos de discretiza¸cão (malha mais refinada) obteremos melhores aproxima¸cões e uma quantidade maior de autovalores próximos aos autovalores do laplaciano. Para comparar, veja a tabela a seguir para os autovalores do laplaciano no intervalo [0, π]; na primeira coluna temos os autovalores exatos do laplaciano, enquanto que na demais colunas os autovalores da matriz A, λj =

2n2 π2 1 − cosjπ n

, com a linha superior indicando o n´umero n de subintervalos na malha

n = 11 n = 21 n = 31 n = 51 n = 101 n = 1001 1 0.993 221 21 0.998 136 38 0.999 144 44 0.999 683 82 0.999 919 37 0.999 999 18 4 3.892 419 95 3.970 248 82 3.986 325 21 3.994 943 16 3.998 710 15 3.999 986 87 9 8.462 720 39 8.849 945 24 8.930 889 79 8.974 415 97 8.993 471 18 8.999 933 51 16 14.333 863 96 15.528 221 28 15.782 100 25 15.919 213 41 15.979 370 36 15.999 789 87 25 21.030 205 54 23.855 895 28 24.469 653 89 24.802 991 47 24.949 649 29 24.999 486 99 36 28.009 247 34 33.646 940 78 34.904 404 68 35.592 050 94 35.895 629 79 35.998 936 22 49 34.705 588 92 44.682 641 99 46.979 277 93 48.245 465 23 48.806 722 35 48.998 029 23 64 40.576 732 50 56.716 479 58 60.570 369 11 62.715 235 6 63.670 436 30 63.996 637 97 81 45.147 032 93 69.479 637 52 75.538 215 24 78.946 473 26 80.472 391 97 80.994 614 71 100 48.046 231 68 82.687 007 94 91.729 225 95 96.877 607 56 99.196 334 56 99.991 792 02

2.2 O Caso Bidimensional

Nesta se¸cão, desenvolveremos um método numérico de diferen¸cas finitas para resolver o problema de Dirichlet para a equa¸cão de Poisson no retângulo (0, a) × (0, b)

−∆u = f (x, y) em (0, a) × (0, b) , u = 0 sobre ∂ ((0, a) × (0, b)) , e para o problema de autovalor de Dirichlet para o laplaciano no retˆangulo

−∆u = λu em (0, a) × (0, b) , u = 0 sobre ∂ ((0, a) × (0, b)) .

2.2.1 A F´

ormula dos Cinco Pontos

Vamos estabelecer alguma nota¸c˜ao. Denote

(31)

Ao discretizar Ω atrav´es dos pontos (xi, yj) = (i∆x, j∆y) , 0 6 i 6 n, 0 6 j 6 m onde ∆x = a n, ∆y = b m, substitu´ımos o dom´ınio Ω pela malha (ou gride) uniforme

Ωd= {(x, y) ∈ Ω : x = i∆x, y = j∆y, 1 6 i 6 n − 1, 1 6 j 6 m − 1} .

Sua fronteira discretizada ´e o conjunto

∂Ωd= {(x, y) ∈ ∂Ω : x = i∆x, y = j∆y, 0 6 i 6 n, 0 6 j 6 m} ,

de forma que

Ωd=(x, y) ∈ Ω : x = i∆x, y = j∆y, 0 6 i 6 n, 0 6 j 6 m .

A equa¸c˜ao de Poisson

−uxx− uyy = f (x, y)

pode ser agora discretizada. Denotamos

ui,j= u (xi, yj) ,

fi,j= f (xi, yj) .

Aproximamos cada derivada parcial de segunda ordem pela sua diferen¸ca centrada, obtendo −uxx≈

−ui−1,j+ 2ui,j− ui+1,j

∆x2 ,

−uyy ≈

−ui,j−1+ 2ui,j− ui,j+1

∆y2 .

Portanto, a equa¸c˜ao de Poisson discretizada toma a forma −ui−1,j+ 2ui,j− ui+1,j

∆x2 +

−ui,j−1+ 2ui,j− ui,j+1

∆y2 = fi,j. (2.11)

Como a fun¸cão u é calculada em cinco pontos, esta equa¸cão é chamada a fórmula dos cinco pontos. Para cada ponto interior da malha obtemos uma equa¸cão, logo temos um sistema linear de (n − 1) (m − 1) equa¸cões com o mesmo número de incógnitas. Diferente do caso unidimensional, no entanto, não existe uma maneira natural de ordenar os pontos da malha, logo não podemos obter imediatamente uma representa¸cão matricial para o problema discretizado. Precisamos antes escolher uma ordena¸cão para os pontos da malha, e como existem várias ordena¸cões poss´ıveis, existem várias matrizes associadas.

Talvez a mais simples ordena¸c˜ao ´e a ordem lexicogr´_{afica induzida de Z}2_{. Nesta ordem, os pontos da}

malha s˜ao percorridos linha por linha, da esquerda para a direita, de baixo para cima:

u1,1, u2,1, . . . , un−1,1, u1,2, u2,2, . . . , un−1,2, . . . , u1,m−1, u2,m−1, . . . , un−1,m−1.

(32)

ser escrita como uma matriz de (m − 1) × (m − 1) blocos de dimens˜ao (n − 1) × (n − 1) na forma A =                   B − 1 ∆y2I − 1 ∆y2I B − 1 ∆y2I − 1 ∆y2I . ._. . ._. . ._. . ._. ₋ 1 ∆y2I − 1 ∆y2I B − 1 ∆y2I − 1 ∆y2I B                   (m−1)×(m−1)

onde I ´e a matriz identidade (n − 1) × (n − 1) e B ´e a matriz (n − 1) × (n − 1) dada por                    2 ₁ ∆x2 + 1 ∆y2 − 1 ∆x2 − 1 ∆x2 2 ₁ ∆x2 + 1 ∆y2 − 1 ∆x2 − 1 ∆x2 . ._. . ._. . ._. . ._. ₋ 1 ∆x2 − 1 ∆x2 2 1 ∆x2 + 1 ∆y2 − 1 ∆x2 − 1 ∆x2 2 ₁ ∆x2 + 1 ∆y2                    (n−1)×(n−1) Observe que aii = 2 ₁ ∆x2 + 1 ∆y2

para todo 1 6 i 6 (n − 1) (m − 1), enquanto que aij= −

1 ∆y2

se o ponto j é vizinho à esquerda ou à direita do ponto i e aij = −

1 ∆x2

(33)

(ou seja 3 × 5 = 15 pontos internos na malha e uma matriz 15 × 15), temos A = 1 ∆x2                           4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 4 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 4 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4                          

Observe que a matriz A ´e uma matriz sim´etrica, pentadiagonal e esparsa.

2.2.2 Existˆ

encia e Unicidade da Solu¸

c˜

ao Discreta – Autovalores do Problema

Bidimensional

Denotaremos por ud a fun¸cão u|Ωd, isto é, ud é a discretiza¸cão da fun¸cão u no dom´ınio discretizado Ωd.

Vamos definir o operador laplaciano discreto obtido a partir da f´ormula dos cinco pontos por − ∆dud= −

ui−1,j− 2ui,j+ ui+1,j

∆x2 +

ui,j−1− 2ui,j+ ui,j+1

∆y2

. (2.12)

de modo que a discretiza¸cão do problema −∆u = f em Ω, u = 0 sobre ∂Ω, ´ e o problema −∆dud= fd em Ωd, ud= 0 sobre ∂Ωd. (2.13) Para estabelecer a existência e unicidade da solu¸cão discreta, provaremos que a matriz de discretiza¸cão A, que é uma matriz simétrica, é também uma matriz positiva definida, pois isso implica em particular que A ´

e invert´ıvel.

Lembrando que as autofun¸cões de Dirichlet do laplaciano no retângulo [0, a] × [0, b] são as fun¸cões Ukl(x, y) = sen

kπx a sen

lπy b ,

este fato sugere que os autovetores ukl da matriz A na ordem lexicogr´afica s˜ao os vetores de coordenadas

Ukl(x1, y1) , Ukl(x2, y1) , . . . , Ukl(xn−1, y1) ,

Ukl(x1, y2) , Ukl(x2, y2) , . . . , Ukl(xn−1, y2) ,

.. .

(34)

= Ukl(∆x, ∆y) , Ukl(2∆x, ∆y) , . . . , Ukl((n − 1) ∆x, ∆y) ,

Ukl(∆x, 2∆y) , Ukl(2∆x, 2∆y) , . . . , Ukl((n − 1) ∆x, 2∆y) ,

.. .

Ukl(∆x, (m − 1) ∆y) , Ukl(2∆x, (m − 1) ∆y) , . . . , Ukl((n − 1) ∆x, (m − 1) ∆y) ,

ou seja, como ∆x = a/n e ∆y = b/m, os vetores ukl= senkπ n sen lπ m, sen 2kπ n sen lπ m, . . . , sen (n − 1) kπ n sen lπ m , senkπ n sen 2lπ m , sen 2kπ n sen 2lπ m , . . . , sen (n − 1) kπ n sen 2lπ m , . . . , senkπ n sen (m − 1) lπ m , sen 2kπ n sen (m − 1) lπ m , . . . , sen (n − 1) kπ n sen (m − 1) lπ m . 2.2 Lema. Os (n − 1) × (m − 1) autovalores da matriz A s˜ao

λkl = 2 ₁ ∆x2 1 − coskπ n + 1 ∆y2 1 − coslπ m = 4 ₁ ∆x2sen 2kπ 2n + 1 ∆y2sen 2 lπ 2m , (2.14) k = 1, . . . , n − 1, l = 1, . . . , m − 1, e os autovetores correspondentes s˜ao ukl= senkπ n sen lπ m, sen 2kπ n sen lπ m, . . . , sen (n − 1) kπ n sen lπ m , senkπ n sen 2lπ m , sen 2kπ n sen 2lπ m , . . . , sen (n − 1) kπ n sen 2lπ m , (2.15) . . . , senkπ n sen (m − 1) lπ m , sen 2kπ n sen (m − 1) lπ m , . . . , sen (n − 1) kπ n sen (m − 1) lπ m , k = 1, . . . , n − 1, l = 1, . . . , m − 1.

Prova. Embora a demonstra¸cão deste lema possa ser feita de maneira análoga à do Lema 1.1, usando identidades trigonométricas, daremos uma demonstra¸cão diferente. Lembrando que as autofun¸cões e os autovalores de Dirichlet do laplaciano no retângulo são facilmente obtidos através do método de separa¸cão de variáveis, encontraremos os autovalores da matriz A usando um método de separa¸cão de variáveis discreto para achar os autovalores do laplaciano discreto

− ui−1,j− 2ui,j+ ui+1,j

∆x2 +

ui,j−1− 2ui,j+ ui,j+1

∆y2

= λui,j. (2.16)

Em particular, este método não depende da maneira como os pontos da malha são ordenados (não depende da matriz A usada para representar o laplaciano discreto). Como no método de separa¸cão de variáveis cont´ınuo, assumimos que as solu¸cões da equa¸cão discreta acima são produtos da forma

ui,j= F (i) G (j) , (2.17)

onde F e G são fun¸cões de uma variável inteira. Substituindo esta expressão na equa¸cão de Helmholtz discreta, obtemos

F (i − 1) G (j) − 2F (i) G (j) + F (i + 1) G (j)

∆x2 +

F (i) G (j − 1) − 2F (i) G (j) + F (i) G (j + 1)

(35)

Dividindo esta equa¸c˜ao por F (i) G (j), segue que F (i − 1) − 2F (i) + F (i + 1)

∆x2_{F (i)} +

G (j − 1) − 2G (j) + G (j + 1) ∆y2_{G (j)} = −λ.

Separando as variáveis, conclu´ımos que cada um dos quocientes acima é independente de i ou de j, isto é, eles são constantes:

F (i − 1) − 2F (i) + F (i + 1)

F (i) = A, (2.18)

G (j − 1) − 2G (j) + G (j + 1)

G (j) = B, (2.19)

onde as constantes A, B est˜ao relacionadas pela identidade A

∆x2+

B

∆y2 = −λ. (2.20)

Estas equa¸cões podem ser escritas como fórmulas de recorrência (análogas às equa¸cões diferenciais ordinárias obtidas no método de separa¸cão de variáveis cont´ınuo)

F (i + 1) − (A + 2) F (i) + F (i − 1) = 0, G (j − 1) − (B + 2) G (j) + G (j + 1) = 0. Para resolvˆe-las, ´e mais conveniente trabalhar com as constantes

2α = A + 2, 2β = B + 2. Desta forma, as equa¸c˜oes para F e G tornam-se

F (i − 1) − 2αF (i) + F (i + 1) = 0, (2.21) G (j − 1) − 2βG (j) + G (j + 1) = 0. (2.22) Observe que λ = 2 1 − α ∆x2 + 1 − β ∆y2 . (2.23)

Vamos resolver a equa¸cão para F , já que a equa¸cão para G é completamente análoga. Substituindo em (2.21) uma solu¸cão da forma

F (i) = zi (2.24)

obtemos

zi−1− 2αzi_{+ z}i+1_{= 0,}

donde, dividindo por zi−1_{extra´ımos a equa¸}_c˜_{ao quadr´}_{atica (an´}_{aloga `}_{a equa¸}_c˜_{ao indicial)}

z2− 2αz + 1 = 0. (2.25)

As duas ra´ızes s˜ao

z±= α ±

p α2_{− 1,}

com z++ z−= 2α e z+z−= 1. Portanto, a solu¸cão geral para a equa¸cão (2.21) é

F (i) = c1z+i + c2zi−

para algumas constantes c1, c2. Para determinarmos estas constantes e tamb´em α, aplicamos as condi¸c˜oes

de fronteira, que implicam

(36)

A primeira destas por sua vez implica que c1= −c2, logo

F (i) = c z₊i − zi₋ . (2.26)

Como a equa¸cão para F é homogênea, a constante c é arbitrária. Aplicando a segunda, segue que z₊n = zn₋,

ou, como z+z−= 1,

z₊2n= 1 Conseqüentemente, z+é uma 2n-ésima raiz complexa de 1:

z+= eijπ/n (2.27)

para algum inteiro 1 6 k 6 2n − 1, onde i =√−1. Como z− = 1/z+, podemos restringir 0 6 k 6 n − 1 e

(2.26) produz todas as solu¸c˜oes n˜ao-triviais F de (2.21). Portanto, α = z++ z− 2 = eiπk/n_{+ e}−iπk/n 2 = cos kπ n , 0 6 k 6 n − 1, e, escolhendo c = 1/2,

Fk(i) = eiπki/n− e−iπki/n= sen

ikπ n . Analogamente, β = coslπ m, 0 6 l 6 m − 1, e Gl(j) = sen jlπ m. Segue que os autovalores s˜ao

λkl= 2 ₁ ∆x2 1 − coskπ n + 1 ∆y2 1 − coslπ m

e as coordenadas das autofun¸c˜oes associadas s˜ao dadas por (ukl)i,j= Fk(i) Gl(j) = sen

ikπ n sen

jlπ m.

2.3 Teorema (Existência e Unicidade da Solu¸cão Discreta). Seja Ω = (0, a) × (0, b). Então o problema discretizado

−∆dud= fd em Ωd,

ud= 0 sobre ∂Ωd,

possui uma ´unica solu¸c˜ao.

Prova. Pelo lema anterior, os autovalores da matriz simétrica A são positivos, logo ela é uma matriz invert´ıvel.

(37)

2.2.3 Princ´ıpio do M´

aximo Discreto

Para obter uma estimativa a priori para a equa¸cão de Poisson discretizada, e com isso provar a convergência da solu¸cão discreta para a solu¸cão clássica, usaremos um princ´ıpio do máximo discreto que enunciaremos e provaremos nesta subse¸cão.

2.4 Lema (Propriedade do Valor M´edio). Se ∆dud= 0, ent˜ao para pontos interiores vale

ui,j=

∆x2_(u

i,j−1+ ui,j+1) + ∆y2(ui−1,j+ ui+1,j)

2 (∆x2_{+ ∆y}2₎ .

Em particular, se ∆x = ∆y, ent˜ao para pontos interiores vale ui,j =

ui,j−1+ ui,j+1+ ui−1,j+ ui+1,j

4 .

2.5 Teorema (Princ´ıpio do Máximo Discreto). Se ∆dud> 0, o máximo de ud em Ωdé atingido na fronteira

∂Ωd; se o máximo de ud é atingido no interior, então ud é constante.

Se ∆dud 6 0, o m´ınimo de ud em Ωd ´e atingido na fronteira ∂Ωd; se o m´ınimo de ud ´e atingido no

interior, ent˜ao ud ´e constante.

Prova. Primeiro provaremos para ∆x = ∆y, para ilustrar a analogia com o caso cont´ınuo. ∆dud > 0 implica

ui,j 6

ui,j−1+ ui,j+1+ ui−1,j+ ui+1,j

4 .

Logo, um ponto interior é um máximo local, isto é,

ui,j> ui,j−1, ui,j+1, ui−1,j, ui+1,j

(ou seja, é um máximo em rela¸cão aos seus quatro vizinhos), somente se cada um dos seus quatro vizinhos assume este mesmo valor máximo, e a desigualdade torna-se uma identidade. Aplicando este argumento a todos os pontos da malha, conclu´ımos que ou não existe um máximo interior, e portanto o máximo é atingido na fronteira, ou existe um máximo interior e todos os pontos da malha assumem o mesmo valor, isto é, udé

constante.

No caso geral ∆x 6= ∆y, se ∆dud> 0 temos

₁ ∆x2 + 1 ∆y2 ui,j6 1 2 ui,j−1+ ui,j+1 ∆y2 + ui−1,j+ ui+1,j ∆x2 . Se ui,j ´e um m´aximo local, segue que

₁ ∆x2 + 1 ∆y2 ui,j6 1 2 ui,j+ ui,j ∆y2 + ui,j+ ui,j ∆x2 6 ₁ ∆x2+ 1 ∆y2 ui,j, donde ₁ ∆x2 + 1 ∆y2 ui,j= 1 2 ui,j+ ui,j ∆y2 + ui,j+ ui,j ∆x2 ,

logo nenhum dos seus quatro vizinhos pode assumir um valor menor que ui,j, isto ´e, cada um dos quatro

vizinhos assume o mesmo valor m´aximo e o argumento segue como no caso anterior. O caso ∆dud 6 0 ´e