Estimação de Reservas IBNR por Modelos em Espaço de Estado: Empilhamento por Linhas do Triângulo Runoff

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Rodrigo Simões Atherino

Estimação de Reservas IBNR por Modelos

em Espaço de Estado: Empilhamento por

Linhas do Triângulo Runoff

Tese de Doutorado

Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica do Departamento de Engenharia Elétrica da PUC-Rio como parte dos requisitos parciais para obtenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica.

Orientador: Prof. Cristiano Augusto Coelho Fernandes Co-orientador: Prof. Adrian Heringer Pizzinga

Rio de Janeiro Dezembro de 2008

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Livros Grátis

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Rodrigo Simões Atherino

Estimação de Reservas IBNR por Modelos

em Espaço de Estado: Empilhamento por

Linhas do Triângulo Runoff

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica do Departamento de Engenharia Elétrica do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Dr. Cristiano Augusto Coelho Fernandes Orientador Departamento de Engenharia Elétrica – PUC-Rio Dr. Adrian Heringer Pizzinga Co-orientador PUC-Rio Dr. Álvaro de Lima Veiga Filho Departamento de Engenharia Elétrica – PUC-Rio

Dr. Marcelo Cunha Medeiros Economia – PUC-Rio Dr. Kaizô Iwakami Beltrão ENCE/IBGE

Dr. Nei Carlos dos Santos Rocha UFRJ Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico

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Rodrigo Simões Atherino Graduou-se em Engenharia Elétrica com ênfase em Telecomunicações pela PUC-Rio, tendo realizado trabalhos de pesquisa na área de Processamento de Imagens, assim como em Mobilidade de Sistemas Celulares. Especializou-se em Redes de Computadores e obteve o título de Mestre em Engenharia Elétrica com ênfase em Métodos de Apoio à Decisão pela mesma instituição. Trabalhou nas empresas Globalstar do Brasil na área de Sistemas de Comunicações Celulares via Satélite; na empresa Embratel, na área de Planejamento de Rede de Dados e Internet; na empresa Telemar, área de Outsourcing e Projetos Complexos de Telecomunicações; e na gestora de recursos JGP, na área de Pesquisas Quantitativas. Ficha Catalográfica CDD: 621.3 Atherino, Rodrigo Simões

Estimação de reservas IBNR por modelos em espaço de estado: empilhamento por linhas do triângulo Runoff / Rodrigo Simões Atherino ; orientador: Cristiano Augusto Coelho Fernandes ; co-orientador: Adrian Heringer Pizzinga. – 2008.

57 f. ; 30 cm

Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2008.

Inclui bibliografia

1. Engenharia elétrica – Teses. 2. Espaço de estado. 2.

Filtro de Kalman. 3. IBNR. 4. Valores faltantes. I. Fernandes,

Cristiano Augusto Coelho. II. Pizzinga, Adrian Heringer. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Elétrica. IV. Título.

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Agradecimentos

Gostaria de fazer os seguintes agradecimentos:

- Ao meu amigo e co-orientador prof. Adrian ``Master'' Pizzinga, não só pela sua orientação e pelo auxílio técnico, mas também pelos agradáveis momentos de convivência;

- Ao meu orientador, prof. Cristiano Fernandes, pelo apoio e pela confiança depositada em mim durante todo este longo trajeto;

- Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e à Escola Nacional de Seguros (FUNENSEG) pelo apoio financeiro. Sem eles, este trabalho não seria concretizado;

- Aos membros da banca, pelas críticas e sugestões que em muito enriqueceram a versão final desse texto;

- Ao meu amigo Giuliano Lorenzoni, pelo apoio e pelos grandes eventos de apreciação dos ``clássicos'';

- Ao Marcio Lyra, por ter me proporcionado um ambiente de trabalho propício para a conclusão deste trabalho;

- Às funcionárias do Departamento de Engenharia Elétrica da PUC-Rio, Alcina e Márcia, por toda a atenção e paciência.

- À Maria do Carmo Rosas e Silva, pelo carinho e pela revisão do texto desta tese, e ao prof. Raul Rosas e Silva, por todas as conversas e momentos de descontração;

- Aos meus pais, Yolanda e Cristóvão, que com muito carinho, dedicação e amor, sempre possibilitaram-me realizar sonhos e conquistas;

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Resumo

Atherino, Rodrigo Simões; Fernandes, Cristiano Augusto Coelho (Orientador); Pizzinga, Adrian Heringer (Co-orientador). Estimação de Reservas IBNR por Modelos em Espaço de Estado: Empilhamento por Linhas do Triângulo Runoff. Rio de Janeiro, 2008. 57p. Tese de Doutorado – Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do rio de Janeiro.

Este trabalho versa sobre previsão de reservas do tipo IBNR levando-se em conta uma ordenação diferente do triângulo de runoff incremental. Esta se dá por linhas empilhadas, originando, assim, uma série temporal univariada repleta de valores faltantes, cuja soma desses valores constitui o IBNR a ser estimado. Duas abordagens de estimação, inteiramente baseadas na teoria dos modelos em Espaço de Estado e do filtro de Kalman, são desenvolvidas, implementadas com dados reais de empresas seguradoras, e comparadas entre si e a outros métodos de estimação já consagrados na literatura atuarial. A primeira abordagem pauta-se no cálculo da matriz de covariâncias condicionais das componentes do IBNR, e a segunda é um processo de obtenção do IBNR por acumulação. Os resultados obtidos revelam, para as abordagens propostas, os seguintes pontos sumários: (i) plena eficiência e viabilidade computacional; (ii) sistemático ganho em termos de acurácia do IBNR estimado; e (iii) abrangência no que diz respeito às possibilidades de modelagem estatística dos dados de IBNR.

Palavras-chave

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Abstract

Atherino, Rodrigo Simões; Fernandes, Cristiano Augusto Coelho (Advisor). Pizzinga, Adrian Heringer (Co-advisor). State Space Models for IBNR Reserves Estimation: Row-Wise Stacking the Runoff Triangle. Rio de Janeiro, 2008. 57p. Doctorate Thesis – Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

This work deals with prediction of IBNR reserves under a different ordering of the non-cumulative runoff triangle. This is accomplished by stacking the rows, which results in a univariate time series with several missing values, whose corresponding sum is in fact the IBNR. Two estimation approaches, entirely based on state space methods and Kalman filtering, are developed, implemented with real data, and compared with some well established estimation methods for IBNR. The first approach consists in obtaining the conditional covariance matrix of the IBNR components, and the second tackles the IBNR estimation under an accumulation process. Three remarks emerge from the empirical results: (i)computational feasibility and efficiency; (ii)precision improvement for IBNR estimation; and (iii)flexibility in which concerns the IBNR modelling framework.

Keywords

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Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 10

2 Reordena¸c˜ao do triˆangulo runoff 12

2.1 O m´etodo Chain-Ladder 14

2.2 Modelo em Espa¸co de Estado proposto 15

3 Metodologia 18

3.1 Modelos em Espa¸co de Estado Lineares Gaussianos 18 3.2 Primeira Abordagem: o m´etodo dos blocos 21 3.3 Segunda Abordagem: o m´etodo do acumulador 25

4 Aplica¸c˜oes 29

4.1 S´erie AFG: resultados 34

4.2 S´erie MC1: resultados 44

4.3 S´erie DJZ: resultados 47

5 Conclus˜oes e Extens˜oes 51

A Provas 55

A.1 Prova do Lema 2 55

A.4 Prova do Teorema 1 56

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Lista de figuras

2.1 Triˆangulo de runoff. 12

2.2 Reparametriza¸cão “por linhas” do triângulo. 16 2.3 Reparametriza¸cão “por linhas” do triângulo com valores ausentes. 16

3.1 Triˆangulo trimestral. 21

4.1 Séries empilhadas na escala real. 32 4.2 Séries empilhadas na escala logar´ıtmica. 33 4.3 Resultados do modelo estrutural nos dados sem transforma¸cão

(dados AFG). 35

4.4 Resultados do modelo estrutural nos dados com transforma¸c˜ao

(dados AFG). 35

4.5 Diagnósticos – modelo estrutural nos dados AFG sem transforma¸cão. 37 4.6 Diagnósticos – modelo estrutural nos dados AFG com transforma¸cão. 37 4.7 Resultados dados AFG – Modelo I-c (8 interven¸cões). 42 4.8 Resultados dados AFG – Modelo II-c (10 interven¸cões). 42 4.9 Diagnósticos dados AFG – Modelo I-c (8 interven¸cões). 43 4.10 Diagnósticos dados AFG – Modelo II-c (10 interven¸cões). 43 4.11 Resultados do modelo estrutural nos dados MC1 com

trans-forma¸cão (10 interven¸cões). 46 4.12 Diagnósticos – modelo estrutural nos dados MC1 com

trans-forma¸cão (10 interven¸cões). 46 4.13 Resultados do modelo estrutural nos dados sem transforma¸cão

(dados DJZ). 48

4.14 Resultados modelo estrutural nos dados com transforma¸c˜ao (dados

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Lista de tabelas

3.1 Nova dimens˜ao dos vetores e matrizes para o m´etodo do acumuldador. 28 4.1 D´ıvidas gerais facultativas (excluindo ambiental) do estudo da

evolu¸cão histórica de perdas (1991 - unidade milhar de dólar)–AFG. 29 4.2 Triângulo de runoff extra´ıdo de Mack (1993). 30 4.3 Triângulo de runoff para uma seguradora inglesa (unidade milhar

de libra)–DJZ. 30

4.4 Parˆametros estimados e rela¸c˜oes sinal/ru´ıdo para a base de dados

AFG. 34

4.5 Compara¸cão entre os modelos (dados AFG). 34 4.6 Compara¸cão entre os modelos (dados AFG) – Out of Sample. 36 4.7 Reservas AFG calculadas e CV em %. 36 4.8 Interven¸cões em cada modelo para os dados AFG. 38 4.9 Parâmetros estimados e rela¸cões sinal/ru´ıdo para a base de dados

AFG - modelos com interven¸cões. 38 4.10 Compara¸cão entre os modelos com interven¸cões (dados AFG). 39 4.11 Compara¸cão entre os modelos com interven¸cões (dados AFG) –

Fora da Amostra. 40

4.12 Testes & Diagn´osticos para os dados AFG. 40 4.13 Reservas Estimadas para os modelos com interven¸c˜oes e seus

respectivos CV (%) – AFG. 44

4.14 Interven¸cões em cada modelo para os dados MC1. 44 4.15 Parâmetros estimados e rela¸cões sinal/ru´ıdo para a base de dados

MC1. 45

4.16 Compara¸cão entre os modelos (dados MC1). 45 4.17 Compara¸cão entre os modelos (dados MC1) – Fora da Amostra. 45 4.18 Testes & Diagnósticos para os dados MC1. 47 4.19 Reservas Estimadas para os modelos com interven¸cões e seus

respectivos CV (%) – MC1. 47

4.20 Parˆametros estimados e rela¸c˜oes sinal/ru´ıdo para a base de dados

DJZ. 49

4.21 Compara¸c˜ao entre os modelos (dados DJZ). 50 4.22 Compara¸c˜ao entre os modelos (dados DJZ) – Fora da Amostra. 50 4.23 Reservas estimadas e seus respectivos CV (%) – DJZ. 50

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1 Introdu¸c˜

ao

O problema da previsão de Reservas IBNR foi um dos mais explorados na literatura atuarial durante as últimas décadas. Ao longo desse tempo, diversas técnicas matemáticas foram criadas objetivando-se uma maior acurácia para previsão da reserva, pois sua subestima¸cão ou superestima¸cão podem implicar decisões gerenciais equivocadas (cf. Bornhuetter & Ferguson, 1972).

IBNR é uma abrevia¸cão em inglês para sinistros “ocorridos porém não reportados” (Incurred But Not Reported ). Um sinistro é dito IBNR quando ocorre antes da data de análise da seguradora, e que ainda não foi notificado à mesma. O tempo entre a ocorrência e a notifica¸cão à seguradora, chamado tempo de aviso, varia de acordo com o tipo de negócio. Por exemplo, sinistros de propriedade tendem a ter um atraso menor, pois a ocorrência do sinistro é de fácil constata¸cão. Porém, no ramo de seguros de danos a terceiros, em alguns casos, pode-se levar um tempo considerável para que se perceba a ocorrência do sinistro, e mais ainda até que se desembolse o pagamento. O tempo é ainda maior se o sinistro for discut´ıvel (cf. Hart et al., 2001).

Existem ainda os sinistros ditos IBNER (Incurred But not Enough Reported), que são sinistros ocorridos e notificados à seguradora, porém ainda é desconhecido o quanto deverá ser desembolsado para liquidá-lo completamente. Alguns autores desenvolveram modelos estat´ısticos que separam IBNER do IBNR, como o de Schnieper (1991), porém aqui não haverá esta distin¸cão: tudo será tratado como IBNR.

As referências bibliográficas que realizam uma excelente revisão através de análises comparativas de uma grande variedade de modelos para previsão de IBNR são Taylor (2000), England & Verrall (2002) e Taylor (2003). O primeiro é um livro em que a maioria dos métodos são descritos em detalhes e suas expressões deduzidas; o segundo, assim como o primeiro, realiza uma revisão de vários métodos apresentando suas expressões matemáticas (porém, sem deduzi-las) e, aplicando a dados reais, compara seus resultados. Por fim, a terceira referência é um artigo que apresenta uma nova1 _{forma de se classificar}

os m´etodos de previs˜ao de reservas IBNR que aparecem na literatura, com o 1

(12)

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 11

objetivo de facilitar o estudo na área. Essa classifica¸cão estabelece uma linha evolutiva, que tem origem nos modelos estáticos e determin´ısticos até atingir os dinâmicos e estocásticos.

´

E na categoria dos modelos dinâmicos e estocásticos que se inserem as metodologias propostas no presente trabalho. Estas envolvem uma ordena¸cão alternativa – por linhas – dos valores que compõem o triângulo de runoff. Este “empilhamento” dá origem a uma série temporal univariada com valores faltantes, cuja soma destes últimos é, justamente, a reserva IBNR procurada. Serão propostas duas abordagens distintas – baseadas na forma em Espa¸co de Estado – que envolvem o tratamento destes valores faltantes, de maneira que se possibilite, também, o cálculo do erro médio quadrático da estima¸cão desta soma.

A primeira abordagem, o método dos blocos, consiste em calcular cada bloco da matriz de covariâncias dos valores faltantes. A estima¸cão desta matriz permite obter os erros médios quadráticos de quaisquer combina¸cões lineares dos valores em questão; em particular, a que gera a reserva IBNR. Já a segunda abordagem, chamada de método do acumulador, acrescenta uma nova componente ao vetor de estado, a qual é responsável pela acumula¸cão das estima¸cões dos valores faltantes. Como a componente acumuladora integra o vetor de estado, seu erro médio quadrático é naturalmente obtido pelas recursões do filtro de Kalman.

A seguir, descreve-se a organiza¸cão do trabalho. No cap´ıtulo 2, apresentam-se o triângulo de runoff, os detalhes sobre a nova ordena¸cão pro-posta e a correspondente justificativa. O cap´ıtulo 3 mostra a metodologia con-solidada para a estima¸cão de reservas IBNR. Nesse cap´ıtulo apresenta-se ini-cialmente a forma geral de espa¸co de estado, revisando-se a literatura sobre suas aplica¸cões à estima¸cão de reserva IBNR e desenvolvendo-se resultados que constituirão a base para obten¸cão do erro médio quadrático da reserva estimada. Em seguida, as duas abordagens são descritas, com suas respec-tivas especificidades de estima¸cão, tanto para dados do triângulo em escala original (distribui¸cão normal) quanto para dados em escala logar´ıtmica (dis-tribui¸cão log-normal). O cap´ıtulo 4 trata dos resultados emp´ıricos obtidos de cada modelo, comparando desempenho com outros modelos já consagrados na literatura, utilizando-se três bases de dados distintas. Conclusões e extensões futuras do trabalho encontram-se no cap´ıtulo 5. No apêndice A, expõem-se as provas de lemas, teoremas e proposi¸cões do cap´ıtulo 3.

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2 Reordena¸c˜

ao do triˆ

angulo runoff

Para se prever o IBNR total, os dados de sinistros do tipo IBNR são dispostos em um formato particular, chamado triângulo runoff, representado graficamente pela Figura 2.1 (vide Hart et al., 2001 e suas diversas referências). Cada linha do triângulo representa um “ano de acidente”1 _{ou “ano de origem”,}

isto é, o ano em que o sinistro ocorreu. Já as colunas referem-se aos “anos de desenvolvimento”, que expressam o atraso entre o pagamento e o ano de origem. Os “anos de calendário” (ou “anos de pagamento”) são as diagonais do triângulo. Ano de Origem Desenvolvimento d w 0 1 2 . . . _{J − 1} 1 C10 C11 C12 . . . C1J−1 2 C20 C21 . . . C2J−2 3 C30 ... ... ... ... ... ... CJ−1 1 J CJ0

Figura 2.1: Triˆangulo de runoff.

O triângulo possui duas representa¸cões básicas: incremental e acumulada. Na forma incremental, cada célula do triângulo é representada por Cwd, onde

0 < w ≤ J e 0 ≤ d < J. O valor Cwd ´e o montante agregado pago pela

seguradora referente a sinistros ocorridos no ano de origem w, e atrasados d anos (ou seja, pagos no ano de calend´ario w + d).

Na forma acumulada do triângulo, as células são calculadas da forma

Dwd= d X k=0 Cwk, 1

Conforme Hart et al. (2001), qualquer unidade de tempo pode ser utilizada. Para algumas classes de neg´ocios pode ser mais adequado utilizar meses, trimestres ou semestres.

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Cap´ıtulo 2. Reordena¸c˜ao do triˆangulo runoff 13

isto é, há uma acumula¸cão dos incrementos Cwd ao longo das linhas. Em geral,

a forma acumulada é utilizada em métodos baseados nas razões ou taxas entre anos de desenvolvimento consecutivos, como os modelos em Hertig (1985) e em de Jong (2004), e o próprio método Chain Ladder (cf. Booth et al., 2004; England & Verrall, 2002; Taylor, 2000 entre outros) só para citar alguns.

O ponto comum a todos os métodos de previsão de reservas – sobretudo aos aplicados em triângulos runoff – é a expectativa de que determinados “padrões” de comportamento dos sinistros ocorridos no passado se repitam no futuro. O padrão em questão é o de atraso entre o per´ıodo de origem e o de pagamento do sinistro, ou seja, é o padrão apresentado ao longo das colunas. Os métodos estat´ısticos aplicados ao triângulo tentam modelar esta dependência entre colunas de diversas formas, dentre as quais está a curva de Hoerl (cf. Wright, 1990). Em de Jong & Zehnwirth (1983) e Renshaw (1989) a curva é utilizada no contexto de séries temporais, enquanto England & Verrall (2002) o faz no contexto de Modelos Lineares Generalizados, através de uma regressão de variáveis dependentes Poisson com sobredispersão. O trabalho de de Jong (2006), que é uma extensão do trabalho de Hertig (1985), verifica a existência de correla¸cões entre as colunas do triângulo – sobretudo entre as primeiras (atrasos menores) – e as tratam explicitamente, levando a melhoras significativas no ajuste do modelo e, conseqüentemente, no seu poder preditivo. Ainda existem outros trabalhos que incorporam como informa¸cão adicional o número de sinistros ocorridos em cada “célula” do triângulo. Vide, por exemplo, Ntzoufras & Dellaportas (2002), no qual é realizada uma compara¸cão entre estima¸cões de reserva levando-se em conta ou não o número de sinistros. Os autores mostram que a inclusão dessa informa¸cão reduz o intervalo de confian¸ca da previsão.

Na representa¸cão de “´ındice duplo” – tanto no contexto de séries tem-porais quanto no de regressão – é comum se parametrizar o triângulo através de fatores comuns às colunas e outros comuns às linhas. Por exemplo, na parametriza¸cão mais tradicional, onde Cwd = αwβd, todas as observa¸cões da

linha w compartilham do mesmo parˆametro αw. A grande desvantagem desta

abordagem é o grande número de parâmetros a serem estimados com poucas observa¸cões. Alguns trabalhos utilizam-se de reparametriza¸cões no intuito de se reduzir o número de parâmetros a ser estimado. Um exemplo disso é a curva de Hoerl, empregada em de Jong & Zehnwirth (1983), que reduz o número de parâmetros que influenciam as colunas para apenas um.

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2.1

O m´etodo Chain-Ladder

O método determin´ıstico Chain-Ladder para previsão de reservas IBNR é, ainda hoje, um dos mais utilizados pelas empresas seguradoras. A principal razão disto, segundo Mack (1993), é sua simplicidade e por ser livre de dis-tribui¸cão2_{. Muitos dos trabalhos citados anteriormente tentaram construir um}

arcabou¸co estocástico para este método através da incorpora¸cão de premis-sas básicas, como, por exemplo, assumir uma determinada distribui¸cão para as observa¸cões do triângulo. Assim, seria poss´ıvel obter uma medida de dis-persão para a reserva estimada. Porém, a maioria dos trabalhos, na realidade, estava apenas desenvolvendo um novo método – diferente do Chain-Ladder – pois os valores estimados das reservas não coincidiam. Coube ao trabalho de Mack (1993) desenvolver o arcabou¸co estocástico do método Chain-Ladder – mantendo idêntico o valor estimado da reserva –, e dessa forma obter a me-dida de dispersão para tal reserva sem assumir qualquer distribui¸cão para as observa¸cões do triângulo, ou seja, preservou-se a caracter´ıstica principal do método Chain-Ladder : ser “livre de distribui¸cão”.

2.1.1

Express˜oes b´asicas

O método Chain-Ladder básico assume a existência de J − 1 fatores (“Development Factors”) f1, . . . , fJ−1 > 0 tais que

E(Dw,k|Dw1, . . . , Dw,k−1) = Dw,k−1fwk, 1 ≤ w ≤ J, 1 ≤ k ≤ J − 1. (2-1)

Os estimadores dos fatores fk s˜ao dados pela seguinte express˜ao

ˆ fk = PJ−k j=1 Dj,k PJ−k j=1 Dj,k−1 , _{1 ≤ k ≤ J − 1.} (2-2) Assim, a esperan¸ca do valor acumulado na ´ultima coluna da linha w ´e dada por

ˆ

Dw,J−1 = Dw,J−w· ˆfJ−w· . . . · ˆfJ−1 (2-3)

As parcelas da reserva referentes a cada linha w (ano de acidente w) s˜ao dadas pelo valor obtido na coluna J − 1, subtra´ıdo do valor da diagonal da linha correspondente.

2

Segundo a classifica¸cão criado por Taylor (2003), o método Chain-Ladder é heur´ıstico e determin´ıstico.

(16)

ˆ

Rw = ˆDw,J−1− Dw,J−i

= Dw,J−w³ ˆfJ−w· . . . · ˆfJ−1

´

A reserva total ´e dada pela soma de cada uma destas parcelas ˆ R = J X i=2 Ri. (2-4) 2.1.2

Expressões do erro médio quadrático obtidas por Mack

A grande contribui¸cão do trabalho de Mack foi a obten¸cão de uma ex-pressão para o erro médio quadrático da reserva, sem assumir qualquer dis-tribui¸cão subjacente. Para tal, alguns pressupostos tiveram que ser assumidos, como, por exemplo, a independência entre linhas do triângulo. Desta maneira, a expressão para o erro médio quadrático da parcela da reserva correspondente à linha w é dada por

\ EQM( ˆRw) = ˆDw,J−12 J−2 X k=J−w ˆ σ2 k ˆ f2 k Ã 1 ˆ Dw,k + _P_J−k1 j=1 Dj,k ! com ˆσ2

k definido como o seguinte estimador n˜ao-viesado:

ˆ σ_k2 = 1 J − k − 1 J−k X i=1 Dik µ Dik Di,k−1 − ˆ fk ¶2 , _{1 ≤ k ≤ J − 2.}

A expressão para o erro médio quadrático da reserva total encontra-se a seguir. Ela será utilizada no cap´ıtulo 4 para efeito de compara¸cão com o modelo proposto no cap´ıtulo 3.

\ EQM( ˆR) = J X i=2 ( (e.p.( ˆRi))2+ ˆDi,J−1 Ã _J X j=i+1 ˆ Dj,J−1 ! _J−2 X k=J−i 2ˆσ2 k/ ˆfk2 PJ−k n=1Dnk ) (2-5) 2.2

Modelo em Espa¸co de Estado proposto

Este trabalho fará uso da forma incremental do triângulo, porém, como já citado, adotando-se uma nova ordena¸cão: os ´ındices w e d cedem lugar para um único ´ındice t, o qual define uma série temporal univariada, cuja

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ordena¸cão está exemplificada na Figura 2.2. Com esta ordena¸cão, e utilizando-se a formula¸cão em Espa¸co de Estado (a utilizando-ser discutida na utilizando-se¸cão 3.1), as estruturas de dependência entre os valores do triângulo podem ser modeladas de forma natural. Cabe, aqui, ressaltar que este ´ındice t não representa a ordem cronológica dos pagamentos, mas sim uma nova maneira de possibilitar a análise do triângulo através de modelos que admitam componentes periódicas, como será visto no próximo cap´ıtulo.

Ano de Origem Desenvolvimento d w 0 1 2 . . . _{J − 1} 1 y1 y2 y3 . . . yJ 2 yJ+1 yJ+2 . . . y2J−1 y2J 3 y2J+1 y2J+2 . . . y3J−1 y3J ... ... ... J y(J−1)J+1 y(J−1)J+2 . . . yJ2₋₁ y_J2

Figura 2.2: Reparametriza¸c˜ao “por linhas” do triˆangulo.

Ano de Origem Desenvolvimento d w 0 1 2 . . . _{J − 1} 1 y1 y2 y3 . . . yJ 2 yJ+1 yJ+2 . . . y2J−1 ... ... J y(J−1)J+1

Figura 2.3: Reparametriza¸c˜ao “por linhas” do triˆangulo com valores ausentes.

Perseguindo a mesma lógica apresentada na Figura 2.1, alguns elementos da Figura 2.2, na prática, são faltantes, pois correspondem às parcelas do IBNR (vide defini¸cão mais adiante). Logo, a figura 2.3 será o verdadeiro objeto de estudo. Prever a Reserva IBNR significa, em termos práticos, completar os valores faltantes do triângulo inferior da figura 2.3. Na abordagem univariada em discussão, a Reserva IBNR propriamente dita consiste na soma não observada desses valores faltantes, ou seja,

IBNR ≡ R = X

t: yt´e ausente

yt. (2-6)

´

E no tratamento destes valores ausentes que a formula¸cão em Espa¸co de Estado apresenta um de seus diferenciais: a estima¸cão se torna natural mediante a utiliza¸cão do filtro de Kalman. Não só se obtém a previsão pontual de tais

(18)

valores, mas tamb´em sua medida de dispers˜ao (cf. Harvey, 1989; Durbin & Koopman, 2001; e Brockwell & Davis, 2002).

No entanto, enuncia-se um problema:

Supondo que os valores faltantes são variáveis aleatórias de 2a

ordem e adotando-se como estimador pontual de R a sua esperan¸ca condicional dados todos os outros valores conhecidos do triângulo, calcular seu erro médio quadrático associado, o qual, sabe-se, é m´ınimo dentre todos os outros estimadores que são fun¸cões dos valores conhecidos.

Neste trabalho, o problema delimitado acima é atacado mediante duas aborda-gens diferentes, mas que possuem como base a teoria dos modelos em Espa¸co de Estado e a mesma ordena¸cão por linhas já proposta. Tais temas são explorados plenamente no próximo cap´ıtulo.

(19)

3 Metodologia

3.1

Modelos em Espa¸co de Estado Lineares Gaussianos 3.1.1

Estrutura B´asica

A forma em Espa¸co de Estado Linear Gaussiana (forma em EE daqui por diante) consiste em duas equa¸cões. A primeira delas é chamada equa¸cão das observa¸cões, que descreve a evolu¸cão de um processo estocástico p-variado e observável yt, t = 1, 2, . . . e a outra é chamada equa¸cão do estado.

Especificamente:

yt= Ztαt+ dt+ εt, εt ∼ N(0, Ht)

αt+1= Ttαt+ Rtηt, ηt ∼ N(0, Qt) (3-1)

α1 ∼ N(a1, P1).

O processo m-variado αté chamado de estado e é considerado não-observável.

Os erros εt e ηt s˜ao independentes no tempo, entre si e de α1. As matrizes do

sistema Zt, dt, Tt, Rt, Ht e Qt s˜ao determin´ısticas. Dada uma s´erie temporal

de tamanho n do processo yt, definam-se Yj ≡ ¡y01, . . . , y0j

¢0

, at|j ≡ E(αt|Yj) e

Pt|j ≡ Var(αt|Yj). As equa¸cões de predi¸cão e de suaviza¸cão do filtro de Kalman

fornecem fórmulas recursivas para o cálculo dos momentos condicionais acima quando j = t − 1 e para j = n, respectivamente. Suas expressões anal´ıticas encontram-se em (3-2) e (3-3). Suas deriva¸cões, sob os pressupostos da forma em EE aqui adotada, podem ser obtidas em Durbin & Koopman (2001) e em Harvey (1989).

υt = yt− Ztat|t−1− dt, Ft = ZtPt|t−1Zt0+ Ht,

Kt = TtPt|t−1Zt0Ft−1, Lt = Tt− KtZt, t = 1, . . . , n,

(3-2) at+1|t = Ttat|t−1+ Ktυt, Pt+1|t = TtPt|t−1L0t+ RtQtR0t,

(20)

Cap´ıtulo 3. Metodologia 19

rt−1= Zt0Ft−1υt+ L0trt, Nt−1= Zt0Ft−1Zt+ L0tNtLt,

at|n= at|t−1+ Pt|t−1rt−1, Pt|n= Pt|t−1− Pt|t−1Nt−1Pt|t−1, (3-3)

rn= 0, Nn= 0, t = 1, . . . , n.

Há diversos artigos publicados na área de estima¸cão de IBNR mediante o arcabou¸co da forma em EE. O primeiro deles, que pode ser destacado, é o trabalho de de Jong & Zehnwirth (1983), um precursor do uso do filtro de Kalman na literatura atuarial. Nele, o triângulo é organizado de tal forma que as diagonais formam os vetores das observa¸cões. Uma variante deste método também é apresentada em Atherino & Fernandes (2007). Em de Jong (2006) ainda se propõe a forma em EE para se estimar correla¸cões entre valores do triângulo. Também cumpre citar o artigo Verrall (1989), que oferece uma metodologia de estima¸cão dentro do enfoque Bayesiano. Outro trabalho de importância é devido a Wright (1990). Greg Taylor também se utiliza da forma em EE para estimar seu modelo em Taylor (2003), ao qual se emprega o filtro EDF (Exponential Distribution Filter ). Além de artigos, cita-se também o livro de autoria do próprio Taylor (cf. Taylor, 2000), no qual, em adi¸cão a um apanhado de técnicas previamente desenvolvidas na literatura, é oferecida uma abordagem em que cada linha do triângulo runoff é vista como um vetor aleatório.

3.1.2

Modelos Estruturais

Um modelo estrutural para séries temporais é aquele no qual as compo-nentes não observáveis de n´ıvel, inclina¸cão, sazonalidade e ru´ıdo são modeladas explicitamente, cf. Harvey (1989). O modelo em (3-4) é o modelo estrutural com as componentes periódica e de n´ıvel estocásticas que será considerado nas aplica¸cões do presente trabalho.

yt = µt+ γt+ x0tβt+ εt, εt ∼ N(0, σε2), µt+1 = µt+ ζt, ζt ∼ N(0, σζ2), (3-4) γt+1 = − J−1 X j=1 γt+1−j+ ωt, ωt ∼ N(0, σω2). O termo de regress˜ao x0

tβt´e principalmente motivado pela necessidade de

interven¸cões de outliers e de quebras (vide se¸cão 3.1.3). A idéia de se estimar tal modelo estrutural em particular é a de que suas componentes não observáveis

(21)

terem capacidade de explicar o comportamento dos sinistros IBNR de forma intuitiva. A componente de n´ıvel µtexplica as informa¸c˜oes referentes ao volume

de sinistros ocorridos em cada ano de acidente. Cabe à componente periódica γtcaptar o padrão da série em cada linha do triângulo, isto é, será responsável

por explicar o comportamento do atraso na liquida¸c˜ao dos sinistros. O modelo estrutural tem a seguinte forma em Espa¸co de Estado:

yt = ³ 1 1 0 · · · 0´          µt γt γt−1 ... γt−J+1          + x0_tβt+ εt, t = 1, 2, . . . , n          µt+1 γt+1 γt ... γt−J          =          1 0 _{0 · · ·} 0 0 0 −1 −1 −1 −1 0 1 0 0 0 ... 0 0 0 1 0                   µt γt γt−1 ... γt−J+1          +          1 0 0 1 0 0 ... ... 0 0          Ã ξt ωt !

Nas subse¸cões seguintes, serão apresentadas duas propostas que visam resolver o problema da estima¸cão de IBNR sob a ordena¸cão “por linhas” do triângulo de runoff proposta na se¸cão 2, e do cálculo do erro médio quadrático associado. Muito essencialmente e, em palavras, o primeiro deles parte para a dedu¸cão, bloco a bloco, de uma expressão anal´ıtica fechada da matriz de covariância condicional das parcelas do IBNR (cf. expressão (2-6)) empilhados; o segundo, por sua vez, é baseado no aumento do vetor de estado com um acumulador das parcelas do IBNR. Ou seja, um método tenta solucionar o problema “construindo blocos de covariâncias”; e o outro, “acumulando a reserva”.

3.1.3

Incorpora¸c˜ao de sazonalidade entre o per´ıodo de origem dos sinistros (linhas do triˆangulo)

A metodologia descrita neste trabalho independe da unidade de tempo utilizada no triângulo, seja ela mensal, trimestral, semestral etc. Abarca, ainda, naturalmente, a poss´ıvel existência de comportamentos periódicos entre as colunas do triângulo, após a introdu¸cão do modelo (3-4) como previamente comprovado. Entretanto, em determinadas unidades de tempo, pode haver, ao menos teoricamente, certa periodicidade entre as linhas, refletindo, assim, a

(22)

possibilidade de existência de um padrão sazonal nas ocorrências de sinistros IBNR.

Na Figura 3.1 está representado um triângulo trimestral. Caso existam ind´ıcios emp´ıricos de que sinistros originados em um determinado trimestre de um ano em particular tenham aspectos em comum com os originados no mesmo trimestre de outros anos, esta sazonalidade pode estar incorporada diretamente no modelo. Uma forma de se acrescentar essa componente sazonal seria através de variáveis dummies, como no modelo abaixo:

yt= µt+ γt+ J X i=2 βt(i)d (i) t + εt, (3-5) no qual d(i)t =   

1 yt∈ {i-´esimo “per´ıodo”, . . . , S-´esimo “per´ıodo”}, i = 2, 3, . . . , J

0 caso contr´ario. Origem Desenvolvimento d w 0 1 2 . . . 11 2006Q1 C1,0 C1,1 C1,2 C1,11 2006Q2 C2,0 C2,1 C2,2 . . . 2006Q3 C3,0 C3,1 C3,2 . . . 2006Q4 C4,0 C4,1 C4,2 . . . 2007Q1 C5,0 C5,1 C5,2 2007Q2 C6,0 C6,1 C6,2 2007Q3 C7,0 C7,1 C7,2 2007Q4 C8,0 C8,1 C8,2 2008Q1 C9,0 C9,1 C9,2 2008Q2 C10,0 C10,1 C10,2 2008Q3 C11,0 C11,1 2008Q4 C12,0

Figura 3.1: Triˆangulo trimestral.

A inclusão dos referidos parâmetros adicionais pode agravar ainda mais a questão da maximiza¸cão da verossimilhan¸ca, já que a quantidade de valores faltantes sempre será cerca de 50% do número de observa¸cões do triângulo. 3.2

Primeira Abordagem: o m´etodo dos blocos

Considere a forma em EE e toda a nota¸c˜ao correspondente a esta e ao filtro de Kalman da subse¸c˜ao 3.1.1. Adicionalmente, defina

(23)

Cap´ıtulo 3. Metodologia 22 I ≡ {t : yt é não-ausente}, ˜Y ≡ {yij : ij ∈ I, ∀j} 1_{, Y ≡ {y} t: t = 1, . . . , n} e L∗_t _≡    Lt, se t ∈ I Tt, caso contrário N_t∗ _≡ n X k=t+1 L∗0_t+1. . . L∗0_k−1Z_k∗0F_k−1Z_k∗L∗_k−1. . . L∗_t+1.

Observe que ˜Y, no contexto de cálculo de IBNR, consiste na informa¸cão proveniente do triângulo (cf. Figura 2.3).

O ponto de partida para tudo o que se desenvolverá nesta subse¸cão são expressões recursivas, deduzidas em Durbin & Koopman (2001, se¸cão 4.5), para algumas matrizes de covariâncias condicionais provenientes de manipula¸cões com as equa¸cões de suaviza¸cão do filtro de Kalman. Estas são sumarizadas no seguinte Lema:

Lema 1 Sejam t, j = 1, . . . , n quaisquer. Ent˜ao,

sendo que Wj = Hj(Fj−1Zj − Kj0NjLj) e L0tL0t+1. . . L0j−1 = Im quando

j = t.

Outro resultado importante é o Lema 2 dado na sequência, o qual se relaciona com distribui¸cões Gaussianas condicionais e, diferentemente de todos os resultados desta se¸cão, não se restringe necessariamente ao contexto de modelos em Espa¸co de Estado. A prova deste Lema encontra-se no apêndice A.1.

Lema 2 Sejam x, y e z vetores aleatórios com distribui¸cão conjunta Gaus-siana. Se Cov(y, z) = 0 e se Cov(x, z) = 0, então

E_{(x|y, z) = E(x|y)} (3-6) Var_{(x|y, z) = Var(x|y).} (3-7) 1

Observe que ˜Y está sendo definido como um conjunto de vetores aleatórios e não como um vetor aleatório empilhado. Mas, para o que segue, o mesmo pode ser visto como tal.

(24)

O próximo resultado, de prova bem direta e apresentada no apêndice A.2, revela uma espécie de ortogonalidade entre a parte observada do triângulo e as parcelas não observadas do IBNR.

Lema 3 Para todo t /_{∈ I, ε}t ´e n˜ao-correlacionado com ˜Y.

A linha condutora do desenvolvimento do método dos blocos é a obten¸cão de uma matriz de covariância condicional de todos os yt, tais que t /∈ I,

empilhados dado ˜Y. O caminho para isso é estudar, para os mesmos ´ındices t, as covariâncias condicionais dos vetores aleatórios não-observáveis αt, εt e

ηt e explorar convenientemente a linearidade da rela¸c˜ao entre estes e os yt. O

próximo resultado materializa esta ideia e tem como base de constru¸cão os Lemas 1, 2 e 3. Sua prova encontra-se no apêndice A.3.

Lema 4 Para t, j /_{∈ I arbitr´arios, tem-se que:} 1. Cov(εt, εj| ˜Y) =

 



Ht, parat = j

Estabelecidos os resultados de suporte, agora já existem plenas condi¸cões para que se deduzam as expressões computacionais do método dos blocos. Essas se encontram no próximo Teorema, cuja prova está no apêndice A.4.

Teorema 1 Para t, j arbitr´arios, tem-se que

Cov(yt, yj| ˜Y) =          0 se _{t ∈ I ou j ∈ I} Zt(Pt|t−1− Pt|t−1Nt−1∗ Pt|t−1)Zt0+ Ht se t = j e t, j /∈ I ZtPt|t−1L∗0t L∗0t+1. . . Lj−1∗0 ¡I − Nj−1∗ Pj|j−1¢ Zj0 se t < j e t, j /∈ I.

Após ter-se chegado ao objetivo desejado, cabem aqui alguns comentários de ordem prática. A implementa¸cão computacional da expressão matricial, enunciada no Teorema 1, envolve o armazenamento de algumas matrizes advindas das recursões do filtro de Kalman: Pt|t−1 e Nt−1∗ para todo t /∈ I,

(25)

e ainda as matrizes L∗

τ, L∗τ +1, . . . , L∗τ0₋₁, 1 ≤ τ < τ0 ≤ n nas quais τ e τ0 são o primeiro e o último instantes, respectivamente, em que existem valores faltantes. Também, é a mesma fórmula que, quando calculada para todas as combina¸cões poss´ıveis de ´ındices i e j, conduz ao insumo básico - que é a matriz de covariâncias condicionais completa de Yn dado ˜Y - para que se calcule uma

medida de precisão associada à estima¸cão de qualquer combina¸cão linear dos valores faltantes.

3.2.1

Erro m´edio quadr´atico da Reserva IBNR estimada: casos total e por ano Para um vetor a = (a1, a2, . . . , an)0 qualquer, tem-se que E(a0Y| ˜Y) =

a0_{E(Y| ˜}_{Y) e Cov(a}0_{Y| ˜}_{Y) = a}0_{Cov(Y| ˜}_{Y)a. A reserva IBNR ´e calculada}

escolhendo-se um vetor a, aqui definido por a(T )_{, de forma que a}(T )

i = 1 se

i /_{∈ I e a}(T )_i = 0 caso contrário. Para as parcelas do IBNR relativas a um espec´ıfico ano de acidente (linhas), utilize o mesmo vetor a com coordenadas nulas nos lugares apropriados - os que não correspondem ao ano. Esta análise por ano de acidente é interessante porque permite a identifica¸cão de fontes de incertezas nas parcelas do IBNR.

Assim, as expressões do método dos blocos para a Reserva IBNR e seu correspondente erro padrão são:

\ IBNR ≡ ˆR = a0_{E(Y| ˜}Y) (3-8) \ ep(IBNR) ≡ \ep(R) = q a0_{Cov(Y| ˜}_Y)a _(3-9) 3.2.2

Uso da distribui¸c˜ao log-normal para yt

Uma alternativa à hipótese de normalidade para yt do triângulo é a

distribui¸cão log-normal, que induz, por primeiros princ´ıpios, à modelagem de zt ≡ log yt. Essa distribui¸cão foi extensamente explorada na literatura

atuarial (cf. Taylor, 2000, cap´ıtulo 9), tanto na área de Modelos Lineares Generalizados (MLG) quanto na área de Séries Temporais. Em MLG, podem-se citar os trabalhos de Kremer (1982), Renshaw (1989), Christofides (1990), Verrall (1991) e Doray (1996); na área de Séries Temporais, têm-se de Jong & Zehnwirth (1983), Verrall (1989), de Jong (2004) e de Jong (2006). Apesar de desenvolver seu modelo sem precisar admitir qualquer distribui¸cão (cf. Mack, 1994a), Mack faz um exemplo utilizando log-normalidade para a constru¸cão gráfica da reserva (cf. Mack, 1994b).

(26)

Sob a ado¸cão do método dos blocos, este pressuposto distribucional alternativo dá origem ao seguinte algoritmo para o cálculo da reserva IBNR estimada e seu correspondente erro médio quadrático:

1. Aplique o filtro de Kalman ao triˆangulo formado pelos zt, armazenando

todas as matrizes devidas (vide coment´arios finais da se¸c˜ao 3.2).

2. Utilize o m´etodo dos blocos para obter ˆzt ≡ E(zt|˜Z) = E(log yt| ˜Y),

σ2 ˆ zt ≡ Var(zt|˜Z) e σzˆt,ˆzj ≡ Cov(zt, zj|˜Z). 3. Calcule2_: ˆ yt= exp ½ ˆ zt+ σ2 ˆ zt 2 ¾ (3-10) σ_y2_ˆ_t = exp©2ˆzt+ σ2ˆzt ª³ eσ2ztˆ − 1 ´ (3-11) σyˆt,ˆyj = exp ( ˆ zt+ ˆzj + σ2 ˆ zt 2 + σ2 ˆ zj 2 ) (eσzt,ˆˆ zj _{− 1)} _(3-12)

4. Proceda com os c´alculos da subse¸c˜ao anterior.

Essa é uma clara vantagem deste método sobre o do acumulador, que não permite, por constru¸cão, a modelagem do logaritmo dos valores do triângulo, como será visto na sequência.

3.3

Segunda Abordagem: o m´etodo do acumulador

Este método consiste em adicionar uma componente ao vetor de estado, denotada por δt, a qual será responsável pela acumula¸cão das previsões dos

valores faltantes: yt= h Zt 0 i " αt δt # + dt+ εt " αt+1 δt+1 # = " Tt 0 Xt I # " αt δt # + " Rt 0 # ηt, (3-13)

na qual Xt= 0 quando t ∈ I e Xt= Zt quando t /∈ I (observa¸c˜ao faltante).

Denote por ψ e ψ† _{os vetores de parˆametros dos modelos (3-1) e (3-13)}

respectivamente e denote por L e L† _{as correspondentes verossimilhan¸cas.}

Apesar de ψ = ψ† _{– com efeito, o modelo em (3-13) ´e um simples aumento na}

2

Estas expressões decorrem de direta aplica¸cão de fun¸cão geradora de momentos e/ou fun¸cão caracter´ıstica.

(27)

equa¸cão do estado do modelo em (3-1) cujas matrizes do sistema adicionais não compreendem novos parâmetros –, não é muito direto afirmar o mesmo, ou algo diferente, para os estimadores de máxima verossimilhan¸ca provenientes de L e de L†_{. O próximo resultado, cuja prova encontra-se no apêndice A.5, esclarece}

essa dúvida e, mais à frente, mostrar-se-á fundamental para a implementa¸cão computacional do método do acumulador.

Proposi¸c˜ao 1 ˆ_{ψ ≡ arg max L(ψ) = arg max L}†_(ψ†_{) ≡ ˆ}_ψ†_.

Interpreta¸cão: Apesar de o modelo aumentado possuir uma componente a mais de “acumula¸cão”, não há acréscimo de informa¸cão à fun¸cão de verossimilhan¸ca, pois, mesmo que a componente adicional seja, recursivamente, fun¸cão de αt,

este ´ultimo depende, recursivamente, apenas de si mesmo.

A importância prática da Proposi¸cão 1 advém de as implementa¸cões se simplificarem muito – sobretudo com a extensão adicional do vetor de estado a ser mostrado na próxima subse¸cão –, pois o vetor de parâmetros poderá ser estimado através do modelo original (com matrizes menores) e, assim, as estimativas obtidas serão utilizadas no filtro de Kalman do modelo aumentado. 3.3.1

Extens˜ao adicional do acumulador: acumuladores parciais por ano de origem

Como já visto na se¸cão 3.3, o método do acumulador consiste no acréscimo do acumulador δt ao vetor de estado, e no redimensionamento das

matrizes do sistema. Entretanto, é conveniente incorporar não só o acumulador da reserva IBNR total, mas também acumuladores parciais para cada ano de origem w = 2, . . . , J, pela mesma motiva¸cão apresentada no método dos blocos. Para tanto, seja δt um vetor de dimensão J × 1 tal que δt =

(δ_t(2), δ_t(3), . . . , δ_t(J), δ_t(T ))0_{, cujo sobrescrito (i) representa a parcela referente a}

linha i, com 2 ≤ i ≤ J, e o total i = T . O modelo em (3-13), ent˜ao, ´e expandido no modelo em (3-14)

(28)

Cap´ıtulo 3. Metodologia 27 yt = h Zt 0 . . . 0 i          αt δ(2)_t ... δ(J)_t δt(T )          + εt,          αt+1 δ_t+1(2) ... δ_t+1(J) δ_t+1(T )          = " Tt 0(m×pJ) ˜ Xt I(pJ×pJ) #          αt δ_t(2) ... δt(J) δt(T )          +       Rt 0 ... 0       ηt, (3-14) com ˜Xt = (Xt(1), X (2) t , . . . , X (J) t , X (T ) t )0.

As novas dimensões dos vetores e matrizes deste modelo estão expostas na tabela 3.1. Como visto na se¸cão 3.3, a matriz de transi¸cão em (3-14) é formada por três blocos constantes e um variante no tempo, ˜Xt, cujos elementos seguem

a regra a seguir. Para i = 1, . . . , J X_t(i) =    h Zt 0 . . . 0 i t /_{∈ I e t ∈ linha i,} 0 caso contrário. E também Xt(T ) =    h Zt 0 . . . 0 i t /_{∈ I,} 0 caso contrário.

Por fim, existe uma extensão direta da Proposi¸cão 1 aplicável ao modelo (3-14), a qual, como anteriormente discutido na se¸cão 3.3, facilita a estima¸cão dos parâmetros do modelo em situa¸cões práticas.

3.3.2

Erro médio quadrático da Reserva IBNR estimada: casos total e por ano Como já mencionado na se¸cão anterior, uma das vantagens do método do acumulador é obter-se o valor estimado da reserva IBNR e seu erro médio quadrático diretamente do vetor de estado suavizado e sua matriz de variância-covariância, respectivamente.

(29)

Cap´ıtulo 3. Metodologia 28 Vetor ou Matriz Dimens˜ao α†_t _{(m + pJ) × 1} Zt† p × (m + pJ) T_t† _{(m + pJ) × (m + pJ)} R†_t _{(m + pJ) × r}

Tabela 3.1: Nova dimens˜ao dos vetores e matrizes para o m´etodo do acumul-dador.

A reserva estimada ser´a dada por ˆR = E(δ_n+1(T )_{| ˜}Y) +P

t /∈Idt, exatamente

como na equa¸cão (2-6). Seu erro médio quadrático será dado pelo último elemento da diagonal principal da matriz Var(α†_n+1_{| ˜}Y) = P_n+1|n† . Assim, a reserva e seu respectivo erro padrão são dados por:

\ IBNR ≡ ˆR = E(δ_n+1(T )_{| ˜}Y) +X t /∈I dt, (3-15) \ ep(IBNR) ≡ \ep(R) = s Var(δ_n+1(T )_{| ˜}Y) +X t /∈I Ht. (3-16)

(30)

4 Aplica¸c˜

oes

A fim de se comparar o desempenho e a aderência dos modelos apre-sentados no cap´ıtulo 3, três bases de dados serão utilizadas. A primeira base, apresentada na tabela 4.1, foi amplamente estudada na literatura de Reservas IBNR (cf. Mack, 1993; England & Verrall, 2002; de Jong, 2006; entre outros), e, aqui, será denotada pela forma abreviada AFG. A segunda, mostrada na tabela 4.2, também foi estudada em Taylor & Ashe (1983), Verrall (1991) e Mack (1993), e que será chamada de MC1. Por fim, a terceira base, apresen-tada na tabela 4.3, foi utilizada no trabalho de de Jong & Zehwirth (1983). Esta base, aqui chamada por DJZ, refere-se aos montantes pagos, em milhar de libra, por um seguradora inglesa não identificada.

Tabela 4.1: D´ıvidas gerais facultativas (excluindo ambiental) do estudo da evolu¸cão histórica de perdas (1991 - unidade milhar de dólar)–AFG.

Ano de Origem Desenvolvimento d w 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5012 3257 2638 898 1734 2642 1828 599 54 172 2 106 4179 1111 5270 3116 1817 -103 673 535 3 3410 5582 4881 2268 2594 3479 649 603 4 5655 5900 4211 5500 2159 2658 984 5 1092 8473 6271 6333 3786 225 6 1513 4932 5257 1233 2917 7 557 3463 6926 1368 8 1351 5596 6165 9 3133 2262 10 2063

As séries univariadas criadas a partir do “empilhamento” dos anos de acidente das bases AFG, MC1 e DJZ estão representadas nas figuras 4.1(a), 4.1(b) e 4.1(c), respectivamente, em suas escalas originais, e nas figuras 4.2(a), 4.2(b) e 4.2(c) em escala logar´ıtmica. Em uma primeira análise gráfica da série DJZ, notam-se claros ind´ıcios de periodicidade: o padrão de decaimento dos valores da série parece repetir-se a cada ano de acidente. Já nas séries AFG e

(31)

Cap´ıtulo 4. Aplica¸c˜oes 30

Tabela 4.2: Triˆangulo de runoff extra´ıdo de Mack (1993).

Ano de Origem Desenvolvimento d w ₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ 1 357848 766940 610542 482940 527326 574398 146342 139950 227229 67948 2 352118 884021 933894 1183289 445745 320996 527804 266172 425046 3 290507 1001799 926219 1016654 750816 146922 495992 280405 4 310608 1108250 776189 1562400 272482 352053 206286 5 443160 693190 991983 769488 504851 470639 6 396132 937085 847498 805037 705960 7 440832 847631 1131398 1063269 8 359480 1061648 1443370 9 376686 986608 10 344014

Tabela 4.3: Triˆangulo de runoff para uma seguradora inglesa (unidade milhar de libra)–DJZ. Ano de Desenvolvimento d Origem w 0 1 2 3 4 1 753.5 648.9 311.7 173.5 71.3 2 642.3 648.4 249.7 206.5 3 715.8 661.1 309.4 4 841.6 862.6 5 968.8

MC1 esse comportamento não fica tão evidente: cada ano de acidente aparenta ter padrões distintos um dos outros.

O número significativo de valores faltantes do triângulo pode dificultar a estima¸cão da fun¸cão de verossimilhan¸ca, pois a informa¸cão de Fisher correspon-dente, que é diretamente ligada à curvatura (cf. Migon & Gamerman, 2001, cap.2), perde contribui¸cões. Com o intuito de contornar parcialmente este pro-blema, decidiu-se pela combina¸cão entre o algoritmo Expectation-Maximization (EM ) adaptado ao modelo em EE (cf. Durbin & Koopman, 2001; e Shumway & Stoffer, 2006) com o otimizador do tipo quasi-Newton BFGS para a maxi-miza¸cão da verossimilhan¸ca.

O algoritmo EM ´e um procedimento iterativo composto por dois passos: o primeiro passo envolve a avalia¸c˜ao da esperan¸ca da densidade p(Y, α|Ψ) condi-cionada a p(α|Y, ˜Ψ), com Ψ = (σ2

ε, σµ2, σ2γ)0 e ˜Ψ sendo os hiperparˆametros da

itera¸cão corrente; e a segunda etapa consiste na maximiza¸cão desta esperan¸ca com rela¸cão aos elementos de Ψ. As expressões dos valores de Ψ para cada itera¸cão, no caso particular de um modelo estrutural de n´ıvel local com

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peri-Cap´ıtulo 4. Aplica¸c˜oes 31

odicidade (sazonalidade), s˜ao dadas por: ¯ σ_ε2 = 1 n n X t=1 © ˆε2 t − Var(εt|Y) ª ¯ σ_µ2 = 1 n − 1 n X t=2 © ˆµ2_t−1_{− Var(µ}t−1|Y) ª ¯ σ2_γ = 1 n − 1 n X t=2 ©ˆγ2 t−1− Var(γt−1|Y) ª

Na sequência, serão apresentados os resultados das implementa¸cões dos métodos aplicados nas três bases de dados. A estima¸cão dos modelos foi realizada utilizando-se a linguagem Ox com o pacote de Espa¸co de Estado SsfPack (cf. Doornik, 2001 e Koopman et al., 1999).

(33)

Cap´ıtulo 4. Aplica¸c˜oes 32 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 AFG

4.1(a): Dados AFG

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 250000 500000 750000 1e6 1.25e6 1.5e6 MC1 4.1(b): Dados MC1 0 5 10 15 20 25 100 200 300 400 500 600 700 800 900 DJZ 4.1(c): Dados DJZ

(34)

Cap´ıtulo 4. Aplica¸c˜oes 33 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 4 5 6 7 8 9 Data

4.2(a): Dados AFG

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 MC1 4.2(b): Dados MC1 0 5 10 15 20 25 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 Data 4.2(c): Dados DJZ

(35)

4.1

S´erie AFG: resultados

A estima¸cão dos parâmetros do modelo para os dados AFG, na escala original, revelou n´ıvel e periodicidade estocásticos, enquanto que para a escala logar´ıtmica estas mesmas componentes mostraram-se determin´ısticas, de acordo com as desprez´ıveis rela¸cões sinal/ru´ıdo mostradas na Tabela 4.4. Tal mudan¸ca de comportamento, no que diz respeito às componentes de n´ıvel das escalas analisadas, pode ser justificado por causa de a razão sinal/ru´ıdo do dado AFG em escala original ter se mostrado não muito “alta”, facilitando assim a elimina¸cão de variabilidade pela tranforma¸cão logar´ıtimica, compressora natural de escala. Vale ainda dizer que este fenômeno não compromete e tampouco torna conflitantes as análises particulares para cada escala, pois o comportamento estocástico do n´ıvel da série em escala original, no máximo, indicou um fraqu´ıssimo movimento não-constante entre os 1o _{e 5}o _{anos de}

acidente (cf. Figura 4.3). Quanto à periodicidade, apenas confirma-se o mesmo padrão de decaimento já esperado, assim, como antes, obtido em Atherino & Fernandes (2007), para cada ano de origem.

Tabela 4.4: Parˆametros estimados e rela¸c˜oes sinal/ru´ıdo para a base de dados AFG.

Escala Parˆametro (original) (log)

Log-ver. _−407.41 -62.96 σ2 ε 2.15 ×106 6.59 ×10−1 σ2 ξ 1.64 ×104 1.82 ×10−13 σ2 ω 2.05 ×105 2.39 ×10−10 σ2 ξ/σε2 7.62 ×10−3 2.77 ×10−13 σ2 ω/σ2ε 9.55 ×10−2 3.63 ×10−10

As reservas IBNR estimadas est˜ao expostas na Tabela 4.7. Tabela 4.5: Compara¸c˜ao entre os modelos (dados AFG).

Escala

(original) (log) Chain Ladder

MAPE (%) 87.13 127.47 127.82

EQM _{3.51 ×10}6 _{4.87 ×10}6 _{9.65 ×10}6

Pseudo R2 (%) 31.92 23.61 12.05

AIC 15.29 2.76 –

BIC 15.76 3.24 –

Quanto aos diagnósticos, constata-se bom comportamento das inova¸cões para o modelo na escala original, sem ind´ıcios de correla¸cão serial, como está

(36)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0

2500 5000

7500 Série AFG Nível suavizado

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0

2500 5000

7500 Série AFG Série suavizada

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0

2500

Periodicidade suavizada

Figura 4.3: Resultados do modelo estrutural nos dados sem transforma¸c˜ao (dados AFG). 0 20 40 60 80 100 4 5 6 7 8 9 10

Série AFG (log) Nível suavizado

0 20 40 60 80 100 −1 0 1 Periodicidade suavizada 0 20 40 60 80 100 4 5 6 7 8 9 10

Série AFG (log) Série suavizada (log)

0 20 40 60 80 100 0 2500 5000 7500 10000

Série AFG Série suavizada

Figura 4.4: Resultados do modelo estrutural nos dados com transforma¸c˜ao (dados AFG).

(37)

Tabela 4.6: Compara¸c˜ao entre os modelos (dados AFG) – Out of Sample.

Escala

(original) (log) Chain Ladder

MAPE (%) 206.26 177.94 246.85

EQM _{2.44 ×10}6 _{2.53 ×10}6 _{8.45 ×10}6

Pseudo R2 (%) 57.62 36.23 49.01

Tabela 4.7: Reservas AFG calculadas e CV em %. Ano de

Origem Chain Ladder Mod. Est. (original) Mod. Est. (log) 2 154 (134.0%) 733 (290.6%) 1966 (102.4%) 3 617 (101.0%) 2011 (171.6%) 611 (101.6%) 4 1636 (45.7%) 3584 (125.3%) 1579 (80.3%) 5 2747 (53.5%) 4378 (125.0%) 3213 (68.1%) 6 3649 (54.9%) 5201 (124.2%) 5565 (58.5%) 7 5435 (40.6%) 7867 (95.3%) 9433 (54.3%) 8 10907 (49.1%) 9961 (86.7%) 13093 (47.7%) 9 10650 (59.5%) 15472 (64.2%) 19076 (45.4%) 10 16339 (150.4%) 19447 (58.5%) 25624 (42.1%) Total 52135 (51.6%) 68654 (48.9%) 80159 (24.2%)

retratado em suas FAC e FACP (cf. Figura 4.5). O modelo em log também apresentou o mesmo comportamento (cf. Figura 4.6). Segundo a própria Tabela 4.5, ambos os modelos superaram o método Chain-Ladder tanto em erro médio quadrático quanto em pseudo-R2. Entretanto, o comportamento dos res´ıduos auxiliares1 _{– um instrumento para deteçcão de observa¸cões aberrantes}

– apontou a presen¸ca de observa¸cões outliers, tornando-se necessária uma nova análise introduzindo interven¸cões ao modelo. Essa análise será discutida em detalhes na próxima subse¸cão.

4.1.1

An´alise de interven¸c˜oes nos dados AFG

Para cada uma das escalas, original e em log, foram estimados dois modelos com interven¸cões (totalizando assim, com os modelos previamente estimados, seis modelos): um com “menos interven¸cões”; e o outro com “mais interven¸cões”. Com o intuito de facilitar a análise, deste ponto em diante, cada modelo será referenciado seguindo a nomenclatura abaixo:

– Modelo I-a — modelo em escala original sem interven¸c˜oes; – Modelo I-b — modelo em escala original com 5 interven¸c˜oes; 1

Foram considerados outliers todas as observa¸c˜oes cujos res´ıduos auxiliares superaram trˆes unidades em valor absoluto.

(38)

Cap´ıtulo 4. Aplica¸c˜oes 37 0 20 40 60 80 100 −2 0 2 Inovação padronizada 0 20 40 60 80 100 −2.5 0.0 2.5 5.0 Resíduo auxiliar 0 5 10 15 20 0 1 FAC−Inovação padronizada 0 5 10 15 20 0 1 FACP−Inovação padronizada −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 0.2 0.4 N(s=0.999) −1 0 1 2 −2 0

2 Inovação padronizada × normal

Figura 4.5: Diagn´osticos – modelo estrutural nos dados AFG sem trans-forma¸c˜ao. 0 20 40 60 80 100 −2 0 2 Inovação padronizada 0 20 40 60 80 100 −10 −5 0 5 Resíduo auxiliar 0 5 10 15 20 0 1 FAC−Inovação padronizada 0 5 10 15 20 0 1 FACP−Inovação padronizada −4 −2 0 2 0.25 0.50 N(s=0.995) −1 0 1 2 −2.5 0.0 2.5

Inovação padronizada × normal

Figura 4.6: Diagn´osticos – modelo estrutural nos dados AFG com trans-forma¸c˜ao.

(39)

– Modelo I-c — modelo em escala original com 8 interven¸cões; – Modelo II-a — modelo em escala log sem interven¸cões; – Modelo II-b — modelo em escala log com 7 interven¸cões; – Modelo II-c — modelo em escala log com 10 interven¸cões.

A Tabela 4.8 mostra os instantes que sofreram interven¸c˜oes em cada um dos modelos.

Tabela 4.8: Interven¸c˜oes em cada modelo para os dados AFG. Modelo # Interv. Instantes

I-a 0 NA I-b 5 11,13,31,42 e 44 I-c 8 4,11,13,14,31,34,42 e 44 II-a 0 NA II-b 7 11,13,21,31,44,46 e 60 II-c 10 4,9,11,13,21,31,34,44,46 e 61

Primeiramente, serão analisados os parâmetros estimados de cada mo-delo. Segundo a Tabela 4.9, há ind´ıcios de que a componente de n´ıvel é de-term´ınistica para todos os modelos, já que foram estimados valores próximos de zero para a variância da componente de n´ıvel (σ2

ξ) (excetuando-se o modelo

I-a). Entretanto, apesar de o n´ıvel ter mostrado comportamento determin´ıstico, a componente periódica manteve-se com um padrão estocástico, de acordo com as rela¸cões sinal/ru´ıdo expressivamente não-nulas (0.24 para o modelo I-b e 1.23 para o I-c).

Tabela 4.9: Parâmetros estimados e rela¸cões sinal/ru´ıdo para a base de dados AFG - modelos com interven¸cões.

Escala

(normal) (log)

Parˆametro I-b I-c II-b II-c Log-ver. _−392.66 -380.27 -39.89 -17.39 σ2 ε 9.89 ×105 3.00 ×105 1.99 ×10−1 9.06 ×10−187 σ2 ξ 1.03 ×10−4 0 9.89 ×10−13 1.64 ×10−4 σ2 ω 2.37 ×105 3.68 ×105 1.34 ×10−2 7.48 ×10−2 σ2 ξ/σ2ε 1.04 ×10−10 0 4.95 ×10−12 – σ2 ω/σε2 2.39 ×10−1 1.23 6.71 ×10−2 –

As estat´ısticas de compara¸cão dentro da amostra entre os modelos encontram-se na Tabela 4.10, na qual se explicitam MAPE, EQM, Pseudo-R2, AIC, BIC e resultados dos testes de razão de verossimilhan¸ca para a relevância

(40)

das interven¸cões. Para o cálculo do MAPE, do EQM e do Pseudo-R2, foram exclu´ıdas as observa¸cões da primeira linha do triângulo – referente ao per´ıodo difuso do filtro de Kalman – e também as da primeira coluna – à qual o método Chain-Ladder não se aplica por constru¸cão. Comparando-se, com essas medidas, os modelos em EE e o método Chain-Ladder, os primeiros mostraram-se mais aderentes aos dados do que o último. Até mesmo os modelos I-a e II-a, que não possuem interven¸cões, foram considerados mais adequados em rela¸cão ao Chain-Ladder. Finalmente, cita-se que as interven¸cões se mostraram estatisticamente significantes através de testes de razão de verossimilhan¸ca (RV) aplicados aos modelos I-a & I-b, I-a & I-c e I-b & I-c, com todos os testes tendo suas respectivas hipóteses nulas2 _{sendo fortemente rejeitadas (todos os}

p-valores inferiores a 10−4_).

Tabela 4.10: Compara¸c˜ao entre os modelos com interven¸c˜oes (dados AFG).

I-b I-c II-b II-c CL

MAPE (%) 63.68 55.23 42.26 31.03 127.82 EQM _{2.16 ×10}6 _{1.06 ×10}6 _{2.66 ×10}6 _{2.04 ×10}6 _{9.65 ×10}6 Pseudo R2 (%) 50.45 55.96 43.19 54.46 12.05 AIC 14.93 14.59 2.18 1.47 – BIC 15.59 15.36 2.91 2.31 – Teste RV (1) 29.5 54.28 46.14 91.14 – (0.000) (0.000) (0.000) (0.000) – Teste RV (2) – 24.78 – 45.00 – – (0.000) – (0.000) –

Também foi realizada uma valida¸cão fora da amostra, em que cada modelo é estimado novamente sem levar em conta as observa¸cões pertencentes à diagonal; tais observa¸cões serão utilizadas para a valida¸cão do modelo. Assim como no procedimento dentro da amostra, para efeito de compara¸cão entre os modelos e o método Chain-Ladder, não serão levadas em conta as observa¸cões da primeira linha e a da primeira coluna. As estat´ısticas MAPE, EQM e Pseudo-R2 para o procedimento fora da amostra encontram-se na Tabela 4.11. Os resultados confirmam a inferioridade do método Chain-Ladder a todos os modelos em EE analisados, quanto ao poder preditivo. Os modelos em EE com melhor poder preditivo foram os que possu´ıam o maior número de interven¸cões: o modelo I-c obteve o menor EQM e o maior Pseudo-R2, enquanto que o modelo II-c obteve o menor MAPE; ressalte-se, porém, que essas diferen¸cas não são expressivas ao ponto de se determinar qual modelo é superior.

2

Para o teste RV(1), a hipótese nula H0 é “Os coeficientes associados às interven¸cões

são todos zero”, e os modelos reduzido e completo são, respectivamente, dados por I-a e I-b (ou I-c) para o caso da escala original, e por II-a e II-b (ou II-c) para a escala em log. Para o RV(2), os modelos comparados são os com “menos interven¸cões” com os de “mais

(41)

Tabela 4.11: Compara¸c˜ao entre os modelos com interven¸c˜oes (dados AFG) – Fora da Amostra.

I-b I-c II-b II-c CL

MAPE (%) 161.64 149.12 161.56 142.76 246.85

EQM _{1.44 ×10}6 _{1.27 ×10}6 _{1.47 ×10}6 _{1.33 ×10}6 _{2.75 ×10}6

Pseudo R2 (%) 70.49 73.55 69.00 72.98 27.23

Os diagnósticos dos modelos em EE estão representados na Tabela 4.12. Todos eles foram implementados sobre as inova¸cões padronizadas, que são definidas, para cada t, por υ_tS = _√υt

Ft

(vide 3.1.1) e, sob as hipóteses básicas do modelo linear Gaussiano univariado, devem se comportar como variáveis aleatórias i.i.d. N (0, 1). Todos os modelos apresentaram inova¸cões padronizadas não-correlacionadas segundo o teste de Ljung-Box. Os testes de heterocedasticidade também não evidenciaram viola¸cões nesse quesito, com exce¸cão do modelo II-b que apresentou certos problemas de inconstância na variância. As estat´ısticas de Durbin-Watson também foram próximas de 2 (com exce¸cão do modelo II-a), bem como o teste do sinal de Cox-Stuart, que também não acusou presen¸ca de quaisquer tendências nas inova¸cões. Já o teste Jarque-Bera rejeitou a hipótese de normalidade apenas no modelo II-a (o resultado desse critério relativo ao modelo II-b, por causa de seu comportamento possivelmente heterocedástico, deve ser visto com cautela).

Tabela 4.12: Testes & Diagn´osticos para os dados AFG.

I-a I-b I-c II-a II-b II-c Heterocedasticidade (20) 1.225 0.952 1.535 0.589 0.343 1.079

(0.655) (0.913) (0.346) (0.245) (0.021) (0.867) Ljung-Box (15 lags) 11.898 8.962 11.660 7.287 12.526 24.530 (inov. padr.) (0.999) (1.000) (0.999) (1.000) (0.998) (0.748) Ljung-Box (15 lags) 8.042 7.442 10.411 4.199 9.587 16.690 (quadrado inov. padr.) (1.000) (1.000) (1.000) (1.000) (1.000) (0.976) Jarque-Bera 0.733 1.700 0.486 23.070 13.981 1.569

(0.693) (0.427) (0.784) (0.000) (0.001) (0.456) Durbin-Watson 1.778 1.935 2.058 1.639 2.121 2.247

Cox-Stuart 7 6 8 8 7 14

(0.134) (0.052) (0.286) (0.286) (0.134) (0.134)

Na escala original, o melhor modelo, segundo qualquer um dos crit´erios da Tabela 4.10 (log-verossimilhan¸ca, AIC, BIC etc.), foi o I-c; enquanto que para a escala logar´ıtmica foi o modelo II-c. Graficamente, as componentes

(42)

estimadas e os diagnósticos dos referidos modelos podem ser observados nas Figuras 4.7 e 4.9 (modelo I-c), e 4.8 e 4.10 (modelo II-c). A fim de se escolher qual o modelo mais adequado dentre estes dois, alguns cuidados precisam ser tomados: suas log-verossimilhan¸cas e seus critérios de informa¸cão AIC e BIC não são comparáveis devido às observa¸cões estarem em escalas diferentes. A medida MAPE também é fortemente influenciada pela escala dos dados: mesmo com as previsões transformadas de volta para a escala original dos modelos em escala logar´ıtmica, o MAPE, por ser uma medida percentual, cria distor¸cões nos erros absolutos.

Na literatura atuarial, existe a prática de se utilizar o coeficiente de varia¸cão (CV) teórico para a reserva total como uma medida de compara¸cão entre modelos, cf. Mack (1993), England & Verrall (2002), Taylor (2000), de Jong (2006), entre outros autores. O CV é uma medida percentual que é fun¸cão do erro quadrático médio teórico (cujo cálculo torna-se viável pelo método dos blocos ou, para modelos em escalas originais, pelo método de acumulador) e também do valor esperado da reserva. Logo, se dois modelos possu´ırem o mesmo erro médio quadrático previsto, porém com um deles tendo estimado uma reserva mais alta, este será considerado “melhor”, pois terá um CV menor. Além disso, cumpre observar que, se pressupostos básicos de um dado modelo são violados – o que se atestaria mediante prática de diagnósticos – e/ou o mesmo demonstrar pouca habilidade em reproduzir os dados – o que se refletiria em baixa performance sob critérios de poder preditivo –, poucos argumentos restariam a favor do uso de medidas teóricas, como o CV, para compara¸cão de modelos. A fim de se evitar tais distor¸cões e poss´ıveis ambiguidades, sugere-se o uso de medidas como o CV, ou o erro médio quadrático teórico (oriundo dos métodos discutidos nas se¸cões metodológicas dessa Tese – se¸cões 3.2 e 3.3) apenas como medidas de precisão nominal da estima¸cão da reserva dos modelos, considerados como os “mais adequados’ de acordo com análises dentro da amostra, como as que se praticaram até então. Para tais modelos, com os dados AFG, essas informa¸cões, junto com as reservas estimadas (parciais e total) encontram-se na Tabela 4.13.

(43)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0

2500 5000

7500 Série AFG Nível suavizado

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0

2500 5000

7500 Série AFG Série suavizada

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0

2500 5000

Periodicidade suavizada

Figura 4.7: Resultados dados AFG – Modelo I-c (8 interven¸c˜oes).

0 20 40 60 80 100 4 5 6 7 8 9 10

Série AFG (log) Nível suavizado

0 20 40 60 80 100 −2 −1 0 1 2 Periodicidade suavizada 0 20 40 60 80 100 4 5 6 7 8 9 10

Série AFG (log) Série suavizada (log)

0 20 40 60 80 100 0

2500 5000 7500

10000 _{Série AFG} _{Série suavizada}

(44)

Cap´ıtulo 4. Aplica¸c˜oes 43 0 20 40 60 80 100 −2 −1 0 1 2 Inovação padronizada 0 20 40 60 80 100 −1 0 1 2 Resíduo auxiliar 0 5 10 15 20 0 1 FAC−Inovação padronizada 0 5 10 15 20 0 1 FACP−Inovação padronizada −3 −2 −1 0 1 2 3 0.2 0.4 N(s=0.999) −2 −1 0 1 2 −2 0 2

Inovação padronizada × normal

Figura 4.9: Diagn´osticos dados AFG – Modelo I-c (8 interven¸c˜oes).

0 20 40 60 80 100 0 2 Inovação padronizada 0 20 40 60 80 100 −0.000025 0.000000 0.000025 Resíduo auxiliar 0 5 10 15 20 0 1 FAC−Inovação padronizada 0 5 10 15 20 0 1 FACP−Inovação padronizada −2 −1 0 1 2 3 0.2 0.4 0.6 N(s=0.983) −2 −1 0 1 −2 0

2 Inovação padronizada × normal