( ) Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A ( ) 12.º Ano de Escolaridade. Prova 635/1.ª Fase. 9 páginas. Caderno 1 1. P2001/

(1)

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A

12.º Ano de Escolaridade Prova 635/1.ª Fase 9 páginas

2018

Caderno 1 1. P2001/2002 1.1. 6 4 10 6 1 3 0,016 4 4 C     _{   }     Resposta: (B) PMC2015 1.2.

( )

1 f 2 19

logo o declive da reta que passa pelos pontos de abcissa 0 e 2 é

1 1 19 1 0 9 2 m 2 m − _{ } − _{  } Resposta: (B) 2. 2.1.

Hexágono regular logo sabemos que PQR =ˆ 120º

(

)

2 1 cos 4 4 cos 16 8 3 2 QP QR= QP QR QP QR =   _  _=  −_ _= −     Q P R

(2)

2.2.

Reta PS

Vetor diretor igual ao vetor normal ao plano PQR , isto é,

(

2,3, 1−

)

Equação cartesiana da reta PS

14 5

2 3 1

x− ₌ y− ₌ z −

As coordenadas do ponto P são obtidas através da interseção do plano PQR e a reta PS

(

) (

)

14 2 ₂ ₁₄ ₁₀ 5 3 5 1 3 14 28 0 2 2 2 14 3 3 5 15 0 2 3 15 0 x z x z x y z y z y z z z z z x y z −  _{= −}   = − + −  =  −   _{= −} _ _{= − +} _{ −} _ _{= −}       _{− +} _{+ − +} _{− −} ₌ _₋ ₊ ₌ _ ₌  + − − =   Assim, P

(

10, 1, 2−

)

(

) (

2

) (

2

)

2 14 10 5 1 0 2 16 36 4 56 PS = − + + + − = + + =

Área lateral do prisma

6 24 56 179,6

PSPQ =  u.a.

A área lateral do prisma é 179,6 u.a.

2.3. 6 6 2 2 . . 225 C P = C  C = .F. 6 C = 6 0,03 225 P =  3.

3.1. 2 8!4! 1935360 = (troca de disciplinas, permutações dos alunos de cada disciplina)

(3)

3.2. Seja:

A “O aluno estuda espanhol” B “O aluno estuda inglês”

Pelo enunciado sabemos que • P A

( )

=P B

( )

• P A

(

B

)

=4P A

(

B

)

Sabemos que P A

(

B

)

=P A

( )

+P B

( )

−P A

(

B

)

, logo podemos escrever

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

4 4 4 2 5 2 5 P A B P A B P A P B P A B P A B P A P A P A B P A B P A P A B P A P A B  =   + −  =   + −  =   =   =  Probabilidade pedida

(

)

(

)

( )

2 2 5 | 5 P A P B A P B A P A P A  = = =

A probabilidade de um aluno estudar Inglês sabendo que estuda Espanhol é de 40%.

4. Como o coeficiente de reflexão do material e o coeficiente de absorção do material têm o mesmo valo, vamos representar ambos por x.

Assim, _L=_I(1−_{x e})6 −3x

Ao saber que a potência da luz transmitida é igual a metade da potência da luz incidente permite-nos reescrever: 6 3 1 6 3 (1 ) (1 ) 2 2 x x I I x e− x e− = −  = −

Para descobrir os coeficientes de absorção e reflexão recorremos à calculadora gráfica para resolver a equação 1 (1 )6 3

2

x

x e−

= − . Assim, introduz-se as funções 1

2

y = e _y= −₍₁ _{x e}₎6 −3x_,

obtendo-se o seguinte gráfico com a janela de visualização.

min min max max 0,5 1 0,5 1 x y x y = − = − = =

(4)

A solução da equação é dada pela abcissa do ponto de interseção das duas funções, isto é, 0, 075 , sendo este o valor de ambos os coeficientes.

5.

(

)

₁₀

( )

10 ₁₀

cos

sin

ix i x

z

=

x i

+

x

=

e

=

e

( )

1 ( )

( )

1 ( )

Im

Re

sin 10

cos 10

3

3 0,03

z

x

=



=

 

Resposta: (B) 6. Progressão geométrica

(

)

2

(

)

₂ ₂ 6 6 18 6 18 12 36 18 6 18 6 6 a r a a a a a a a a a a a a a a r a +  =  ₊ ₊  _ ₌ _ ₊ ₌ ₊ _ ₊ ₊ ₌ ₊ _{ =}  ₊ ₊  =  +  Assim, 6 6 2 6 r= + =

Podemos agora escrever

7 7 1 1 7 1 1 2 381 381 381 3 1 2 1 2 S = u − = u = − u = − −

O primeiro termo da progressão é 3.

7.

(5)

Caderno 2 8. P2001/2002 8.1.

( )

1 2 3 2 1 x y z − − ₌ − _{ =} − Vetor

(

2, 1,0−

)

O ponto

(

3,0,3

)

pertence à reta porque verifica a condição.

Resposta: (A) PMC2015 8.2.

( )

1 2 7 arcsin 1 arccos 2 2 3 6      + _− _= + =   Resposta: (A) 9.

(

)

(

)

(

)(

)

(

) (

)

5 3 2 3 3 1 2 2 3 3 2 3 3 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 4 3 3 1 1 3 2 5 i i i i i w i i i i i i e  ₋      − − − − = + = + = + + + + − − + − − = + = − =

A raiz quinta que pertence ao primeiro quadrante é dada por

3 2 6 2 2 i i e e    _{− +}      ₌ 10. P2001/2002 10.1.



0, 2,3,6



X =

(

)

1 6 2 12 P X =k = = , logo k =0 Resposta: (D) 0 1 2 3 0 x 0 0 0 1 0 x 2 3 2 0 2 x 6 3 0 3 6 X

(6)

PMC2015 10.2. 3 4 ln x 3 x e x e e e   =  =  =     4 4 4 4

lim lim lim 1 4

n n k n n k k u e e e e e k n n +     =  _ _ =  _ + _ =  =  =     Resposta: (D) 11. 4 lnb=4lna =b a 1 4 x x x x a b a a

Como a e b são reais superiores a 1, temos:

2 4 4 0 x x x x −    

Construindo uma tabela de sinais temos:

− − 2 0 2 + 2 4 x − + 0 – – – 0 + x – – – 0 + + + 2 4 x x − _– 0 + n.d. – 0 + Conjunto solução



−2,0

 

 2,+



. 12. 12.1. Zeros 2 2 0 1 0 4 1 0 4 0 2 ln1 0 0 0 x x x e x e x x x x x  − =  − =    =    =   Não tem zeros

( )

0 1 0 2 sin 2 x x    = −

(7)

Resposta: (A) 12.2. Contínua em zero se e só se

( )

0 0 lim lim 0 x→ −g x =x→+g x =g

( )

2 2 0 0 0 1 1 1

lim lim lim

4 2 2 x x x x x e e g x x x − − − → → → − − = = M.V. 2x= y x →0 y → 0 0 . . 1 1 1 1 lim 1 2 2 2 y x L N e y − → − = =  =

( )

_{( )}

0 1 1 lim 0 2 sin 0 2 x g x g + → = = − =

Assim, podemos afirmar que a função é contínua em zero.

12.3.

( )

₍

(

_{( )}

( )

₎

2

)

₍

( )

_{( )}

₎

2

2 sin 2 2cos 2

1

2 sin 2 _{2 sin 2} _{2 sin 2}

x x x _x _x   − −   = =    ₋  ₋ ₋   Zeros:

( )

2cos 2 0 cos 2 0 2 2 , 4 2 x x x k k x k  _   =  =  = +  = + 

( )

(

)

( )

2 2 sin 2 0 2 sin 2 0 sin 2 2 x x x − =  − =  = Impossível

No intervalo

 

0, , temos as soluções

3 , 4 4         0 4  3 4  _

( )

2cos 2x n.d. + 0 – 0 + 2

( )

(

)

2 2 sin 2x− n.d. + + + + + + 2 4 x x − n.d. Máx Máx Máx

(8)

1 4 g  =_{ }   3 1 4 3 g_   =_  

( )

1 2 g  = Crescente: 0, 3 , 4 4  _{ }   _          Decrescente: ,3 4 4         Extremos relativos 1 1, ,1 3 2       13. 0 0 _{. .} 1 1 lim 1 sin sin 1 lim x x _{L N} x x x x + + → → = = = lim sin 0 x x x   − + → = = + Resposta: (B) 14. ln , a P a a       ln 2 2 , 2 a Q a a       Declive da reta PQ 2 2 2 ln 2 ln ln 2 ln _ln 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a   − −  _{ } = = −

Para o triângulo ser isósceles, o declive da reta PQ terá de ser igual a 1.

Consideremos

( )

₂ 2 ln 2 a f x a      

= , como sendo a função que dá o declive da reta PQ em função da constante a. 1 2ln 4 2 f  =_{ }  

( )

ln 2 1 2 f =

( )

f x é uma função contínua em 1,1 2

 

 

(9)