BIFURCAÇÃO E CAOS EM CIRCUITOS ELETRÔNICOS: SIMULAÇÃO E EXPERIMENTO

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BIFURCA ¸C ÃO E CAOS EM CIRCUITOS ELETR ÔNICOS: SIMULA ¸C ÃO E EXPERIMENTO

Al´ıpio Monteiro Barbosa∗_{, Samir Angelo Milani Martins}†

∗_{Programa de P´}_{os-Gradua¸c˜}_{ao em Engenharia El´etrica, Universidade Federal de Minas Gerais}

Av. Antˆonio Carlos 6627, 31270-901 Belo Horizonte, MG, Brasil

†_{GCoM – Grupo de Controle e Modelagem, Departamento de Engenharia El´etrica}

Universidade Federal de São João del-Rei, Pra¸ca Frei Orlando 170 - Centro, 36307-352 São João del-Rei, Minas Gerais, Brasil

Emails: alipiomonteiro@yahoo.com.br, martins@ufsj.edu.br

Abstract— This paper presents numerical and experimental studies, evidence of bifurcation and chaos in electronic systems by means of numerical and experimental analyzes. Bifurcation and chaos are observed in electronic circuits as simple as a RLD (resistor-inductor-diode) circuit, an electronic system that emulates the Duffing’s systemand an electronic DC-DC Buck converter. For the DC-DC Buck converter, it was verified the presence of chaotic behavior into the numerical and experimental analysis, equivalently.

Keywords— Chaotic dynamics, chaos, bifurcation, electronic circuits, engineering applications.

Resumo— O presente artigo apresenta estudos numéricos e experimentais, evidências de bifurca¸cão e caos em sistemas eletrônicos, por meio de análises numéricas e experimentais. Bifurca¸cão e caos são constatados em circuitos eletrônicos muito simples, como um circuito RLD (Resistor-Indutor-Diodo), um sistema eletrônico que emula o sistema de Duffing e um conversor eletrônico CC-CC Buck. Para o conversor CC-CC Buck, verificou-se a presen¸ca de comportamento caótico por meio de análise numérica e experimental, sendo as mesmas equivalentes. Palavras-chave— Dinâmica caótica, caos, bifurca¸cão, circuitos eletrônicos, aplica¸cões em engenharia.

1 Introdu¸c˜ao

Dinâmica não linear é o estudo do comporta-mento de sistemas cujas equa¸cões de evolu¸cão no tempo são não lineares, ou seja, as variáveis dinˆ a-micas que descrevem as propriedades do sistema aparecem nas equa¸cões matemáticas que descre-vem o sistema na forma não linear.

Há na literatura diferentes modelos, teóricos e experimentais, para estudar e caracterizar o com-portamento de sistemas dinâmicos não lineares. Monteiro (2006) e Ferrara e Prada (1994) apre-sentam em seus livros uma série de exemplos com ilustra¸cões e detalhadas análises, além de um ex-tensa lista de referências.

Uma classe de modelos que tem sido impor-tante para o estudo de sistemas dinâmicos são os circuitos eletrônicos. Os circuitos eletrônicos caó-ticos vêm se firmando como ambientes ideais para a explora¸cão experimental de alguns fenômenos t´ıpicos da dinâmica não linear e caótica (Rocha et al., 2005; Sprott, 2000).

Dois circuitos tradicionalmente explorados são o circuito de Chua (Chua, 1994; Chua, 1987) e o oscilador de Colpitts (Kennedy, 1994). Segundo Turci (2005), são circuitos de “constru¸cão elabo-rada”. Diante desse contexto e do ponto de vista prático-didático para ensino e estudo do compor-tamento caótico, espera-se poder trabalhar com circuitos eletrônicos tão simples quanto poss´ıvel, de modo que os mesmos apresentem caracter´ısti-cas de caos.

Neste trabalho estudou-se três tipos de cir-cuitos eletrônicos, bem como sua implementa¸cão por meio de experimentos de simula¸cão e emp´ı-ricos. Desse modo, caracterizou-se o comporta-mento caótico em sistemas eletrônicos simples, e de fácil constru¸cão (para o caso emp´ırico) e simu-la¸cão.

Dentre os circuitos eletrônicos, utilizou-se um circuito RLD, constitu´ıdo de um indutor, um di-odo, uma resistência e uma fonte senoidal (Hanias et al., 2009), um circuito eletrônico analógico que emula o comportamento dinâmico de sistemas f´ı-sicos e matemáticos, em particular o sistema de Duffing (Battelli e Palmer, 1993), e, em especial, um conversor eletrônico de potência CC-CC Buck. Circuitos eletrônicos chaveados apresentam uma dinâmica “rica”. Uma das caracter´ısticas desses circuitos é a opera¸cão comutada entre di-ferentes topologias de circuitos, o que ocasiona uma variedade de comportamentos não linea-res, incluindo a ocorrência de cenários espec´ıficos de bifurca¸cões e a presen¸ca de evolu¸cão caótica (Turci, 2009). Há uma série de trabalhos preo-cupados em descrever o comportamento caótico dos conversores (Giaouris et al., 2012; Taborda et al., 2012; Tse, 1994b; Deane e Hamill, 1990).

Estes circuitos são fáceis de construir, exibem uma variedade de comportamentos dinâmicos e oferecem uma excelente oportunidade para uma compara¸cão detalhada com a teoria. Desse modo, o principal objetivo do artigo é constatar fenôme-nos não lineares e comportamentos caóticos em

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circuitos eletrônicos de simples constru¸cão, simu-la¸cão e implementa¸cão, do ponto de vista numé-rico (por meio de simula¸cões) e prático (conversor CC-CC Buck ).

O presente artigo está organizado como segue: a presente se¸cão introduziu o tema a ser estudado, bem como apresentou o presente trabalho. A se-¸cão 2 apresenta a descri¸cão e configura¸cão dos cir-cuitos eletrônicos analisados de forma numérica (circuito RLD e Duffing) e experimental (conver-sor CC-CC Buck ). A se¸cão 3 apresenta os resulta-dos obtiresulta-dos pela análise numérica de simula¸cões, mostrando a presen¸ca de caos em circuitos eletrˆ o-nicos muito simples. Após, na se¸cão 4, são apre-sentados e discutidos os resultados experimentais obtidos na implementa¸cão do conversor CC-CC Buck. Por fim, são apresentadas as considera¸cões finais e agradecimentos.

2 Descri¸c˜ao e configura¸c˜ao dos circuitos 2.1 Circuito RLD

Considere um circuito constitu´ıdo de um di-odo (D), um indutor (L) e uma resistˆencia (R), excitado por um sinal senoidal (Vin), como mostra

a Figura 1, sendo o diodo o elemento não linear do circuito. Para tensões mais elevadas, a capacitân-cia interna do diodo depende fortemente da tensão sobre o elemento, deixando de ser constante.

A Equa¸cão 1 mostra o sistema de equa¸cões diferenciais, constru´ıdas a partir da análise das tensões de Kirchhoff. A tensão no diodo é dado pela expressão entre parênteses. Vd consiste em

um modelo de capacitâncias linear por partes com uma pequena tensão de offset (EO). Cj e Cd são,

respectivamente, capacitâncias de deple¸cão e di-fusão do diodo. Detalhes da descri¸cão do circuito podem ser vistos em Turci (2009) e Hanias et al. (2009). Nesse sistema, o parâmetro de bifurca¸cão é a amplitude do sinal de entrada.

Figura 1: Circuito a diodo. Vd queda de tens˜ao

no diodo D. dq dt = I dI dt = Vinsin(θ) L − RI L (1) − 1 L |q|(Cj− Cd) 2CjCd +(Cj+ Cd) 2CjCd + EO dθ dt = 2πf 2.2 Sistema de Duffing

O sistema for¸cado de Duffing representa um sistema massa-mola não linear excitado por uma for¸ca externa periódica. A equa¸cão de Duffing descreve a resposta de uma série de fenômenos f´ısi-cos importantes, como destacado por Savi (2004). A Figura 2 ilustra um circuito eletrônico capaz de emular o oscilador.

A constru¸cão de um circuito analógico para emular o sistema dinâmico requer basicamente um elemento capaz de produzir a não linearidade c´ u-bica, o que foi feito por meio de dois multiplica-dores analógicos e dois integramultiplica-dores (um amplifi-cador operacional com um capacitor na malha de realimenta¸cão) para a obten¸cão das variáveis u e v a partir das suas derivadas. A adapta¸cão do sistema original para a implementa¸cão analógica requer um escalamento das variáveis, como cita Rocha et al. (2005).

A Equa¸c˜ao 2 mostra o sistema de Duffing equivalente ao circuito apresentado, sendo a am-plitude do sinal de entrada, Fo, o parˆametro de

bifurca¸c˜ao.

Figura 2: Circuito eletrˆonico baseado no sistema for¸cado de Duffing (Rocha et al., 2005).

du dt = 1 25v (2) dv dt = − 2 25v+ 4 25u − [ u3 100] + 64 125Focos( 2 25t) 2.3 Conversor CC–CC Buck

A Figura 3 mostra uma poss´ıvel topologia para o conversor CC-CC Buck realimentado. Em modo descont´ınuo a opera¸c˜ao do conversor con-siste em: i) chave fechada: o diodo fica inversa-mente polarizado e a corrente no indutor cresce. O capacitor, o indutor e a carga recebem energia da fonte; ii) chave aberta: a corrente no indutor

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é mantida através do diodo (roda livre). O indu-tor descarrega auxiliando o capaciindu-tor a manter a energia na carga; e iii) chave ainda aberta, o indu-tor é totalmente descarregado, o diodo bloqueia e somente o capacitor mantém a tensão na carga.

O fato de operar em regime descont´ınuo, ali-ado ao circuito realimentali-ado, propicia o apareci-mento de comportaapareci-mento ca´otico no conversor.

Figura 3: Conversor Buck realimentado (Bernardo et al., 1998).

O modelo dinâmico para o conversor é apre-sentado em (3). Quando a tensão de sa´ıda é me-nor que a tensão de referência a chave é fechada (δ = 1) e quando a tensão de sa´ıda é maior que a tensão de referência a chave é aberta (δ = 0) (Bernardo et al., 1998; Tse, 1994a).

di dt = − 1 Lv+ δ(t) L E dv dt = 1 Ci − 1 RCv (3)

Tse (1994a) apresenta um desenvolvimento detalhado para obten¸cão do mapa discreto para o circuito do conversor Buck realimentado. O mapa, para T = 333, 33µs, E = 33V , v = 25V , L = 208µH, C = 222µF e R = 12, 5Ω, é apre-sentado na Equa¸cão 4. k é uma constante relaci-onada ao ganho de realimenta¸cão, sendo h(dn) é

zero para dn < 0, um para dn > 1 e dn para os

outros casos. xn+1 = 0, 8872xn+1, 2 · 33 · (33 − x n) · h(dn)2 xn dn = 0, 4717 − k(xn− 25) (4) 3 Resultados de simula¸c˜ao 3.1 Circuito RLD

As Figuras 4 e 5 mostram, respectivamente, a evolu¸cão temporal e o espa¸co de fase para quatro valores do parâmetro de bifurca¸cão Vo. Como fica

evidenciado no mapa de Poincar´e (Figura 6), o sistema, para os valores de Vode 0,2; 2,5; 7,9 e 10

apresentou per´ıodos 1, 2, 4 e caos. A rota para o caos por duplica¸cão de per´ıodo é ilustrado pelo diagrama de bifurca¸cão na Figura 7.

Além da rota para o caos por duplica¸cão de per´ıodo, pode-se verificar no sistema transi¸cões abruptas para o comportamento caótico, ou ainda o desaparecimento abrupto do mesmo.

Figura 4: Circuito RLD. Forma de onda temporal. Per´ıodos 1, 2, 4 e caos.

Figura 5: Circuito RLD. Per´ıodos 1, 2, 4 e caos.

Figura 6: Circuito RLD. Mapa de Poincar´e. Pe-r´ıodos 1, 2, 4 e caos.

3.2 Sistema de Duffing

O sistema de Duffing foi simulado para quatro valores de Fo (0,5; 0,74; 1,02; e 1,25), nos quais o

sistema apresentou per´ıodo 1, 2, 3 e caos, respec-tivamente. As Figuras 8 e 9 mostram, respecti-vamente, a evolu¸c˜ao temporal e os atratores para tais casos. Esse sistema ´e muito sens´ıvel aos va-lores de Fo, o que torna computacionalmente

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Figura 7: Circuito RLD. Diagrama de bifurca¸c˜ao. Vo parˆametro de controle.

Contudo, por meio da Figura 10 ´e poss´ıvel visua-lizar algumas transi¸c˜oes.

Figura 8: Duffing.Forma de onda temporal. Pe-r´ıodos 1, 2, 3 e caos.

Figura 9: Duffing. Atratores. Per´ıodos 1, 2, 3 e caos.

Figura 10: Duffing. Mapa de Poincar´e. Per´ıodos 1, 2, 3 e caos.

Figura 11: Duffing. Diagrama de bifurca¸c˜ao. Fo

parˆametro de controle.

3.3 Conversor CC–CC Buck

A Figura 12 mostra o circuito implementado no PSIM1_{. O mesmo circuito foi implementado em}

laboratório, como será apresentado na próxima se-¸cão.

Figura 12: Circuito do conversor Buck. Circuito pr´atico utilizado tanto para simula¸c˜ao quanto para a montagem experimental.

a) Cont´ınuo (ver Equa¸c˜ao 3)

Realizou-se a simula¸cão do conversor Buck para duas situa¸cões: per´ıodo 1 e regime caótico. A Figura 13 ilustra os atratores e a evolu¸cão tem-poral para as duas situa¸cões.

b) Discreto (ver Equa¸c˜ao 4)

O diagrama de bifurca¸cão do conversor, mos-trado na Figura 14 apresenta uma rota para o caos por dobramento de per´ıodo. O número de Feigen-baum (ver Equa¸cão 5), que foi proposto como uma caracter´ıstica universal de razões entre os valores dos parâmetros de controle em cada uma das bi-furca¸cões na rota para o caos, é bem definido no

1_{Software espec´ıfico para simula¸c˜}_{ao de circuitos.}

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Figura 13: Conversor Buck. Atratores, corrente no indutor (eixo x) e tens˜ao de sa´ıda (eixo y) e (abaixo) formas de onda temporal da corrente no indutor. Per´ıodo 1 e caos. Figura ampliada.

diagrama do conversor. Para os dados simulados apresentou um valor aproximado de 4,2.

Figura 14: Diagrama de bifurca¸cão para o conver-sor Buck. Parâmetro de bifurca¸cão k, constante relacionado ao ganho de realimenta¸cão.

σlimn→∞ = αn− αn−1 αn+1− αn (5) = 0, 16 − 0, 18 0, 17 − 0, 16= 4, 2 4 Resultado experimental

Além de análise numérica, implementou-se o conversor Buck também em laboratório2_{. Os}

com-portamentos obtidos na teoria foram observados experimentalmente. A Figura 15 apresenta a mon-tagem do circuito, que consite em quatro módulos: circuito de controle da chave (módulo PWM), dri-ver de acionamento, condri-versor e a carga. A tensão de sa´ıda é constantemente corrigida, por meio de ajustes no ciclo de trabalho, para manter o valor de referência.

O fato do circuito ser chaveado, não linear e realimentado são condi¸cões que permitem que o sistema apresente caos. Essa afirmativa é ilus-trada por meio das Figuras 16 e 17, que mostram,

2_{Utilizou-se a plataforma de testes, isolada,}

desenvol-vida por Santos Filho et al. (2003).

respectivamente, a evolu¸c˜ao temporal e os atra-tores para diferentes valores de tens˜ao de entrada (Vin).

Figura 15: Diagrama em fotos da montagem do circuito experimental para estudo do conversor Buck.

Figura 16: Forma de onda temporal da corrente no indutor do conversor Buck. Per´ıodos 1, 2, 4 e caos.

5 Conclus˜oes

Neste trabalho estudou-se três possibilidade de circuitos eletrônicos que podem apresentar comportamento caótico. Tais circuitos são de constru¸cão simples e apresentam comportamentos valiosos para o estudo e ensino de sistemas dinâ-micos não lineares.

Ademais, constatou-se que os resultados teó-ricos, para o conversor CC-CC Buck se aproxi-mam bastante dos práticos, onde também foi cons-tatado comportamento caótico, apresentando ce-nários de bifurca¸cões e rota para o caos, mos-trando que mesmo circuitos eletrônicos relativa-mente simples podem apresentar dinâmica alta-mente não-linear.

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Figura 17: Atrator, corrente no indutor (eixo x) e tens˜ao de sa´ıda (eixo y). Conversor Buck. Per´ıo-dos 1, 2, 4 e caos.

Agradecimentos

Agradecimentos ao CNPq e à agência de fo-mento CAPES – Brasil, pelo apoio financeiro para realiza¸cão do presente trabalho. Ao CEFET-MG, que disponibilizou os laboratórios para ensaio e testes experimentais.

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