Plano de Aula. Tema da Aula: Aprofundando o Estudo de Funções. Objetivos: - Entender o conceito de função inversa;

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Plano de Aula

Institui¸cão: Instituto Federal de Educa¸cão, Ciência e Tecnologia da Bahia Professor: Allan de Sousa Soares

Disciplina: Matemática Discreta I Conteúdo Pragmático: Fun¸cões

Tema da Aula: Aprofundando o Estudo de Fun¸c˜oes Dura¸c˜ao: 100 min

Objetivos:

- Entender o conceito de fun¸cão injetora; - Entender o conceito de fun¸cão sobrejetora; - Entender o conceito de fun¸cão bijetora; - Entender o conceito de fun¸cão inversa; - Entender o conceito de fun¸cão composta. Metodologia:

- Aula Expositiva Participada. Recursos Did´aticos

- Apostila;

- Pincel e quadro branco; - Datashow;

Avalia¸c˜ao: - Observa¸c˜ao;

- Resolu¸c˜ao de exerc´ıcios. Referˆencia Principal:

[1] ROSEN, Kenneth. Discrete Mathematics and its Applications, 7rd, McGRAW-HILL, 2007. Bibliografia:

[2] DAGHLIAN, J. Lógica e álgebra de Boole. 4 ed. São Paulo: Atlas, 1995.

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Cap´ıtulo 9

Fun¸

c˜

oes

9.1 Fun¸

c˜

oes Injetoras, Bijetoras e Sobrejetoras

Agora veremos alguns conceitos mais aprofundados sobre fun¸c˜oes.

Defini¸cão 1. Uma fun¸cão f é chamada injetora, ou ”um para um”, se e somente se f (a) = f (b) implique que a = b para todos a e b no dom´ınio de f . Uma fun¸cão pode ser chamada de inje¸cão se for um para um.

Exemplo 2. Determine se a fun¸c˜ao f de {a, b, c, d} para {1, 2, 3, 4, 5} com f (a) = 4, f (b) = 5, f (c) = 1 e f (d) = 3 ´e injetora.

Solu¸c˜ao: Note que cada um dos 4 elementos do dom´ınio de f tem imagens diferentes. Logo f ´

e injetora. Acompanhe a Figura 9.1:

Figura 9.1: Fun¸c˜ao injetora.

Exemplo 3. Determine se a fun¸cão f (x) = x2 do conjunto dos números reais para o conjunto dos números reais é injetora.

Solu¸cão: Note que x = 1 e x = 1 pertencem ao dom´ınio de f e possuem mesma imagem f (1) = f (−1) = 1. Mas 1 6= −1. Portanto, f não é injetora. Acompanhe a Figura 9.2:

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Figura 9.2: Fun¸c˜ao n˜ao injetora

Observa¸cão 4. Uma maneira fácil de se identificar se uma fun¸cão é injetora é observar se toda reta horizontal que intersecta o gráfico de f o faz em um e somente um ponto. Note que a reta horizontal y = 1 (existem infinitas outras) intersecta o gráfico de f em dois pontos {(1, 1), (−1, 1)}.

Figura 9.3: Dica para o reconhecimento geométrico de fun¸cões não injetoras.

Exemplo 5. Determine se a fun¸cão f (x) = 2x + 1 do conjunto dos reais nele mesmo é injetora. Solu¸cão: Pois bem,

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Logo, f ´e injetora. Observando o gr´afico de f , uma reta obl´ıqua, temos que qualquer reta horizontal que passa intersectando f o faz em um e somente um ponto. Acompanhe a Figura 9.4:

Figura 9.4: Dica para o reconhecimento geométrico de fun¸cões não injetoras.

Defini¸cão 6. Uma fun¸cão f de A para B é chamada de sobrejetora ou sobrejetiva se, e somente se, para todo elemento b ∈ B houver um elemento a ∈ A com f (a) = b.

Exemplo 7. Determine se a fun¸c˜ao f de {a, b, c, d} para {1, 2, 3} com f (a) = 3, f (b) = 2, f (c) = 1 e f (d) = 3 ´e sobrejetora.

Solu¸cão: Note que todo y ∈ {1, 2, 3} é tal que existe um x ∈ {a, b, c, d} com f (x) = y. Assim, f é sobrejetora.

Exemplo 8. Determine se a fun¸c˜ao f (x) = x2 _{do conjunto dos n´}_{umeros reais para o conjunto}

dos n´umeros reais ´e sobrejetora.

Solu¸c˜_{ao: Note que y = −1 ∈ R(imagem) é tal que não existe x ∈ R(dom´ınio) tal que f (x) = y.} Logo, f não é sobrejetora.

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Observa¸cão 9. Se estivéssemos considerando o Exemplo 8 que a fun¸cão f (x) = x2 _estivesse

definida dos reais no conjunto dos reais n˜ao negativos, ter´ıamos que esta seria sobrejetora. De fato, dado y ∈ R+, temos que sempre existe x =√y tal que

f (x) = f (√y) =√y2 = y.

Exemplo 10. Determine se a fun¸c˜ao f (x) = 2x + 1 do conjunto dos reais nele mesmo ´e sobrejetora.

Solu¸c˜_{ao: Devemos mostrar que dado y ∈ R existe x ∈ R tal que f (x) = y. Pois bem,} y2x + 1 = y ⇔ 2x = y − 1 ⇔ x = y − 1

2 .

Assim, dado y ∈ R, basta tomar x = y−1₂ para termos que f (x) = y. De fato, f y − 1 2 = 2y − 1 2 + 1 = y − 1 + 1 = y. Logo, f ´e sobrejetora.

Defini¸cão 11. A fun¸cão f é bijetora, ou é uma correspondência ”um para um”, se for injetiva e sobrejetiva.

Exemplo 12. Determine se a fun¸c˜ao f de {a, b, c, d} para {1, 2, 3, 4} com f (a) = 4, f (b) = 2, f (c) = 1 e f (d) = 3 ´e bijetiva.

Solu¸cão: Note que f é injetiva pois todo elemento da imagem que é elemento de um valor x só o é deste único valor. Além disso, f é sobrejetiva pois todos elemento y pertencente à imagem ´

e imagem de algum x pertencente ao dom´ınio. Logo, f ´e bijetiva.

A Figura 9.5 mostra diversas fun¸cões (e não fun¸cões) e suas classifica¸cões quanto à injetivi-dade, sobrejetividade e bijetividade:

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9.2 Fun¸

c˜

oes Inversas e Composi¸

c˜

ao de Fun¸

c˜

oes

Caso estejamos considerando uma f bijetiva podemos trabalhar a no¸c˜ao de fun¸c˜ao inversa.

Defini¸cão 13. Seja f uma fun¸cão bijetora do conjunto A para o conjunto B. A fun¸cão inversa de f é a fun¸cão que leva um elemento b pertencente a B ao único elemento a pertencente a A, tal que f (a) = b. A fun¸cão inversa de f é indicada por f−1. Assim, f−1(b) = a quando f (a) = b.

A Figura 9.6 ilustra bem a Defini¸c˜ao 13:

Figura 9.6: Esquema relacionando f e f−1.

Exemplo 14. Considere a fun¸cão f de {a, b, c} para {1, 2, 3} com f (a) = 2, f (b) = 3 e f (c) = 1. Esta fun¸cão é invert´ıvel? Se for, qual a sua inversa?

Solu¸cão: Note que f é bijetora e portanto, invert´ıvel. Neste caso, sua inversa é dada por: f−1(2) = a, f−1(3) = b e f−1(1) = c.

Exemplo 15. Considere a fun¸c˜_{ao f : R → R dada por f (x) = 3x + 2. A fun¸c˜ao f ´e invert´ıvel?} Se sim, qual a sua inversa.

Solu¸c˜ao: Devemos mostrar que f ´e bijetiva: Injetividade: Temos que

f (a) = f (b) ⇔ 3a + 2 = 3b + 2 ⇔ 3a = 3b ⇔ a = b.

Sobrejetividade: Temos que

f (x) = y ⇔ 3x + 2 = y ⇔ 3x = y − 2 ⇔ x = y − 2 3 .

Logo, f é invert´ıvel e sua inversa é dada por f−1(y) = y−2₃ (último passo da sobrejetividade). Defini¸cão 16. Considere g como uma fun¸cão do conjunto A para o conjunto B e considere f como sendo uma fun¸cão do conjunto B para o conjunto C. A composi¸cão das fun¸cões f e g, indicada por f ◦ g, é definida por (f ◦ g)(a) = f (g(a)).

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Figura 9.7: A Fun¸c˜ao f Mapeia A em B.

A Figura 9.7 ilustra bem a Defini¸c˜ao 16:

Exemplo 17. Considere as fun¸c˜oes f (x) = 2x + 3 e g(x) = 3x − 1 no conjunto dos n´umeros reais nele mesmo. Determine, se existir:

a) (f ◦ g)(2) b) (g ◦ f )(1) c) f ◦ g d) g ◦ f e) f ◦ f−1 Solu¸c˜ao: a) Temos que

(f ◦ g)(2) = f (g(2)) = f (3 · 2 − 1) = f (5) = 2 · 5 + 3 = 13. b) Temos que (g ◦ f )(1) = g(f (1)) = g(2 · 1 + 3) = g(5) = 3 · 5 − 1 = 14. c) Temos que (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (3 · x − 1) = 2 · (3x − 1) + 3 = 6x + 1. d) Temos que (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 · x + 3) = 3 · (2x + 3) − 1 = 6x + 8.

e) Temos que f ´e bijetiva (verifique) e portanto admite inversa. Neste caso, sua inversa ´e dada por: 2x + 3 = y ⇔ 2x = y − 3 ⇔ x = y − 3 2 ⇔ f −1_{(y) =} y − 3 2 . Por fim, (f ◦ f−1)(y) = f y − 3 2 = 2y − 3 2 + 3 = y − 3 + 3 = y.

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9.3 Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 1. Verifique quais das fun¸c˜oes a seguir s˜ao injetoras, sobrejetoras ou bijetoras: a) f : A → B, A = {−1, 0, 1, 2}, B = {1, 2, 4, 5}, f (−1) = 2, f (0) = 1, f (1) = 4 e f (2) = 2. b) f : A → B, A = {−1, 0, 1}, B = {1, 2}, f (−1) = 1, f (0) = 2 e f (1) = 1. c) f : A → B, A = {−1, 0, 1}, B = {1, 2, 4, 5}, f (−1) = 1, f (0) = 1 e f (1) = 1. d) f : A → B, A = {−1, 0, 1, 3}, B = {1, 2, 4, 5}, f (−1) = 1, f (0) = 4, f (1) = 5 e f (3) = 2. e) f : R → R, f (x) = x2 − 1. f) f : R − {1} → R − {0}, f (x) = x−11 g) f : Z → Z, f (x) = 2x + 1 h) f : R → R, f (x) = x2− 9 i) f : R+ _{→ [−1, +∞), f (x) = x}2_{− 1}

Exerc´ıcio 2. Determine a inversa de todas as fun¸c˜oes bijetoras dadas no Exerc´ıcio 1.

Exerc´ıcio 3. Utilize algum software para esbo¸car o gráfico das seguintes fun¸cões nos dom´ınios indicados e tente estimar sua imagem. Determine ainda a qual fam´ılia pertence a fun¸cão indicada, afim, exponencial etc. (Sugestão: Utilize a plataforma online Geogebra)

a) f (x) = 3 − 5x, D = R, b) f (x) = 2x2 _{+ 3x − 1, D = R,} c) f (x) = 2x_{, D = R,} d) f (x) = log(x), D = R+

∗, e) f (x) = 2sen(x), D = R, f) f (x) = 3x + 2, x ∈ [−2, 3], g)

f (x) = −x2_{+ 2x, x ∈ [−2, 4],} _{h) f (x) = 2}x2_−x

+ sen(x), x ∈ [−1, 2]

9.4 Respostas dos Exerc´ıcios

Resposta do Exerc´ıcio 1. a) nem injetiva e nem sobrejetiva, b) somente injetiva, c) somente sobrejetiva, d) nem injetiva e nem sobrejetiva, d) bijetiva, e) bijetiva, f) bijetiva, g) somente injetiva, h) nem injetora e nem sobrejetora, i) bijetora

Resposta do Exerc´ıcio 2. d) f−1 : B → A, f−1(1) = −1, f−1(4) = 0, f−1(5) = 1 e f−1_{(2) = 3, e) f : R → R, f}−1_{(y) = 2y + 2, f) f : R − {0} → R − {1}, f}−1(y) = 1 + 1_y, i) f : [−1, +∞) → R+_{, f}−1_{(y) =}√_{y + 1}

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Resposta do Exerc´ıcio 3. a) Temos que

Logo, o conjunto imagem ”aparenta”ser R. Temos que f trata-se de uma fun¸c˜ao afim. b) Temos que

Logo, o conjunto imagem ”aparenta”ser [−2, 12, +∞). Temos que f trata-se de uma fun¸c˜ao quadr´atica.

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c) Temos que

Logo, o conjunto imagem ”aparenta”ser (0, ∞) (porque n˜ao [0, ∞)). Temos que f se trata de uma fun¸c˜ao exponencial de base 2.

d) Temos que

Logo, o conjunto imagem ”aparenta”ser R. Temos que f se trata de uma fun¸c˜ao logar´ıtmica de base 10.

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e) Temos que

Logo, o conjunto imagem ”aparenta”ser [−2, 2]. Temos que f se trata de uma fun¸c˜ao trigo-nom´etrica seno.

f) Temos que

Logo, o conjunto imagem ”aparenta”ser [−4, 11]. Trata-se de uma fun¸c˜ao afim de dom´ınio restrito.

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g) Temos que

Logo, o conjunto imagem ”aparenta”ser [−8, 1]. Trata-se de uma fun¸c˜ao quadr´atica de dom´ınio restrito.

h) Temos que

Logo, o conjunto imagem ”aparenta”ser [0, 8; 4]. Trata-se de uma fun¸c˜ao composta f ◦ g, com f (x) = 2x _{e g(x) = x}2_{− x de dom´ınio restrito.}

Observa¸cão 18. Em muitos casos devemos recorrer ao esbo¸co gráfico de uma fun¸cão para estimar/estudar alguns valores ou propriedades que esta venha a possuir. Neste caso, devemos ter cuidado em entender que são apenas estimativas visuais certamente com imprecisões. Tais estimativas são interessantes apenas nos casos em que não precisamos determinar um valor com uma exatidão muito grande, mas apenas queremos ter uma no¸cão do mesmo. Atualmente inúmeros softwares nos respondem a muitas perguntas. O Exerc´ıcio 3 tenta mostrar uma alternativa rápida (mas, com certa imprecisão claro) de se obter informa¸cões sobre algumas

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fun¸cões. Aqueles que contraporem tal argumento, dizendo que o indiv´ıduo tem que saber esbo¸car todos os gráficos na mão, estão de certo modo enganados. Claro, devemos ter as no¸cões básicas das fun¸cões citadas acima: afim, quadrática, exponencial etc. Contudo, o esbo¸co gráfico em grande parte fica a cargo da máquina (ponto a ponto). Para estes que insistem em não usar a máquina ou não reconhecer sua importância, pe¸ca-lhes que esbocem o gráfico da fun¸cão f (x) = √ 1

xsen(x)+log(x) (para n˜ao pegar pesado)