Simulação da dispersão de poluentes considerando o termo de contragradiente na CLC

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS ´ Instituto de F´ısica e Matematica ´ ˜ em Modelagem Matematica ´ Programa de Pos-Graduac ¸ ao. ˜ Dissertaçao. ˜ da dispersao ˜ de poluentes considerando o termo de contragradiente Simulaçao na CLC. Cristiane Schwartz Venzke. Pelotas, 2015.

(2) Cristiane Schwartz Venzke. ˜ da dispersao ˜ de poluentes considerando o termo de contragradiente Simulaçao na CLC. ˜ apresentada ao Programa de Dissertaçao ´ ˜ em Modelagem Matematica ´ Pos-Graduac ¸ ao da Universidade Federal de Pelotas, como re˜ do t´ıtulo de Mestre quisito parcial a` obtençao ´ em Modelagem Matematica. Orientadora: Profa . Dra . Camila Pinto da Costa Coorientadora: Profa . Dra . Rejane Pergher. Pelotas, 2015.

(3) Dados de catalogação na fonte: Ubirajara Buddin Cruz – CRB 10/901 Biblioteca de Ciência & Tecnologia - UFPel. V472s. Venzke, Cristiane Schwartz Simulação da dispersão de poluentes considerando o termo de contragradiente na CLC / Cristiane Schwartz Venzke. – 72f. : il. – Dissertação (Mestrado). Programa de PósGraduação em Modelagem Matemática.Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática, 2015. – Orientadora Camila Pinto da Costa ; coorientadora Rejane Pergher. 1. Camada limite convectiva. 2.Dispersão de poluentes na atmosfera. 3.Equação de advecção-difusão. 4. Contragradiente. 5.Efeito não local. I.Costa, Camila Pinto da. II.Pergher, Rejane. III.Título. CDD: 628.168.

(4) BANCA EXAMINADORA Profa. Dra. Camila Pinto da Costa DME/IFM/UFPel Profa. Dra. Rejane Pergher DME/IFM/UFPel Profa. Dra. Bárbara Denicol do Amaral Rodriguez IMEF/FURG Prof. Dr. Jonas da Costa Carvalho FMet/UFPel Prof. Dr. Glênio Aguiar Gonçalves DME/IFM /UFPel.

(5) Dedico a` minha fam´ılia..

(6) AGRADECIMENTOS. Agradeço a` meus pais, primeiros professores que tive contato na vida, por terem ˜ deste sonho. me guiado e possibilitado a realizaçao ˜ pelo carinho e pela compreensao ˜ que tiveram Agradeço sobretudo aos meus irmaos ˆ provavelmente, eu nao ˜ teria tanta garra e codurante esta caminhada. Sem voces, ´ ragem para lutar e vencer obstaculos. Cada abraço apertado que eu recebo desta fam´ılia maravilhosa a qual pertenço, gera um al´ıvio e uma força incr´ıvel para seguir em frente. Agradeço a` minha orientadora Profa . Camila e a` minha coorientadora Profa . Rejane. ˆ nada disso teria se tornado realidade. Sem voces ˜ em Agradeço a` PPGMMat e aos demais professores do Programa pela colaboraçao ˜ minha formaçao. Agradeço aos colegas da PPGMMat pelo companheirismo. Agradeço ao meu namo` minhas colegas e amigas, Renata e Karine, por sempre estarem do meu lado, rado, as ´ ˜ me apoiando em cada pedacinho desta trajetoria. Obrigada do fundo do meu coraçao, ˆ foram muito importantes neste trabalho. voces Agradeço a` CAPES pelo suporte financeiro. Agradeço a Deus e a todos que de algum modo me auxiliaram neste percurso..

(7) ´ muito melhor arriscar coisas grandiosas, E ´ alcançar triunfos e glorias, mesmo expondo-se ao fracasso, do que formar fila com os pobres de esp´ırito, que nem gozam muito nem sofrem muito, porque vivem nessa penumbra cinzenta, ˜ conhecem derrotas nem vitorias. ´ onde nao — T HEODORE R OOSEVELT.

(8) RESUMO. ˜ da dispersao ˜ de poluentes consideVENZKE, Cristiane Schwartz. Simulaçao ˜ (Mestrado em rando o termo de contragradiente na CLC. 2015. 72 f. Dissertaçao ´ ´ ˜ em Modelagem Matematica, ´ Modelagem Matematica) – Programa de Pos-Graduac ¸ ao ´ Instituto de F´ısica e Matematica, Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, 2015.. ˜ do metodo ´ Este trabalho apresenta uma aplicaçao ADMM (Advection Diffusion ˜ de poluentes na atmosfera com uma aborMultilayer Method) para simular a dispersao dagem diferente da forma usual para o termo de contragradiente. Sendo assim, e´ ˜ semianal´ıtica para a equaçao ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ com feencontrada uma soluçao ao ˜ Fickiano o que faz gerar um termo a mais na equaçao ˜ em relaçao ˜ as ` chamento nao ˜ ˜ com a formulaçao ˜ simulaçoes que resolvem o problema de fechamento da equaçao Fickiana. ´ da turbulencia ˆ ´ Assim, alem atmosferica ser parametrizada pelo coeficiente de di˜ tornando o modelo mais proximo ´ ´ estara´ presente na fusao da realidade f´ısica, tambem ´ ˜ diferencial do modelo um termo de contragradiente, o que permitira´ propria equaçao ˆ abordar a f´ısica da turbulencia de forma mais ampla. Por fim, o desempenho deste modelo sera´ avaliado utilizando dados experimentais ´ disso, o modelo que possui o termo de contragradiente presentes na literatura. Alem ˜ sera´ comparado com outro que desconsidera este termo mostrando que a dispersao ˆ de poluentes possui influencia do termo de contragradiente.. ˜ de poluentes na atmosfera, Palavras-chave: Camada Limite Convectiva, Dispersao ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ Contragradiente, Efeito nao ˜ local. Equaçao ao,.

(9) ABSTRACT. VENZKE, Cristiane Schwartz. Simulation of pollutant dispersion considering ˜ (Mestrado em the term of countergradient in the CBL. 2015. 72 f. Dissertaçao ´ ´ ˜ em Modelagem Matematica, ´ Modelagem Matematica) – Programa de Pos-Graduac ¸ ao ´ Instituto de F´ısica e Matematica, Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, 2015.. This work presents an application of the ADMM method (Advection Diffusion Multilayer Method) to simulate the dispersion of pollutants in the atmosphere with a different approach in the usual way for the term of countergradient. Therefore, it is found a semianalytical solution to the advection-diffusion equation with a non-Fickian closure that generate more one term in equation in relation to the simulations that solve the problem of closing of the equation with the Fickian formulation. Thus, besides the atmospheric turbulence is parameterized by the diffusion coefficient making closer model of physical reality, will also be present a countergradient term in the differential equation of the model, which will address the physics of turbulence in a more wide way. Finally, the performance will be evaluated in this model using experimental data in the literature. Furthermore, the model that has the term of countergradient will be compared with another who ignores this term shows that the dispersion of pollutants has influence of countergradient term.. Keywords: Convective Boundary Layer, Dispersion of pollutants in the atmosphere, Advection-diffusion equation, Countergradient, Nonlocal effect..

(10) LISTA DE FIGURAS. Figura 1 Figura 2 Figura 3. ˜ ´ Concentraçoes medias anuais de PM10 em 2009 pela densidade populacional. (FAJERSZTAJN et al., 2013). . . . . . . . . . . . . . . ˜ Camadas da atmosfera terrestre e suas variaçoes de temperatura ˜ da altitude. Adaptado de (AHRENS, 2009). . . . . . . . . em funçao Ciclo diurno da CLP conforme os processos f´ısicos que incidem nesta. Adaptado de (STULL, 1988). . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16 27 28. Figura 4. A CLC como um sistema de multicamadas. . . . . . . . . . . . . . .. 34. Figura 5 Figura 6. O experimento de Copenhagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ˜ proposta com o termo de contraEstabilidade numerica da soluçao ˜ com o aumento do numero gradiente para a concentraçao de ter´ ´ mos do somatorio ate´ M*=100, considerando o algoritmo de Talbot. Utilizando-se dados do experimento 8 de Copenhagen, o vento que ˆ coeficientes de difusao. ˜ Em obedece uma lei logar´ıtmica e os tres ˆ (a), tem-se distancias para x = 500m e em (b), x = 4000m. . . . . . ´ ˜ proposta com o termo de contraEstabilidade numerica da soluçao ˜ com o aumento do numero gradiente para a concentraçao de ter´ ´ mos do somatorio ate´ M*=100, considerando o algoritmo de Talbot. Utilizando-se dados do experimento 8 de Copenhagen, o vento que ˆ ˆ coeficientes de difusao. ˜ Em obedece uma lei de potencia e os tres ˆ (a), tem-se distancias para x = 500m e em (b), x = 4000m. . . . . . ´ ˜ proposta com o termo de contraEstabilidade numerica da soluçao ˜ com o aumento do numero gradiente para a concentraçao de ter´ ´ mos do somatorio ate´ M*=100, considerando o algoritmo de Talbot. Utilizando-se dados do experimento 9 de Copenhagen, o vento que ˆ coeficientes de difusao. ˜ Em obedece uma lei logar´ıtmica e os tres ˆ (a), tem-se distancias para x = 500m e em (b), x = 4000m. . . . . . ´ ˜ proposta com o termo de contraEstabilidade numerica da soluçao ˜ com o aumento do numero gradiente para a concentraçao de ter´ ´ mos do somatorio ate´ M*=100, considerando o algoritmo de Talbot. Utilizando-se dados do experimento 9 de Copenhagen, o vento que ˆ ˆ coeficientes de difusao. ˜ Em obedece uma lei de potencia e os tres ˆ (a), tem-se distancias para x = 500m e em (b), x = 4000m. . . . . .. 48. Figura 7. Figura 8. Figura 9. 52. 53. 54. 55.

(11) Figura 10. Figura 11. Figura 12. ´ ˜ observadas (Co) Graficos de espalhamento entre as concentraçoes ˆ coeficientes de difusao. ˜ e as preditas pelo modelo (Cp) para os tres a ´ Na 1 coluna, para os graficos (a), (b) e (c) utiliza-se vento com perfil a ´ logar´ıtmico, ja´ na 2 , para os graficos (d), (e) e (f ), vento que segue ˆ a lei de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ˜ em funçao ˜ da distancia ˆ Graficos da concentraçao da fonte para os ˆ distintos coeficientes de difusao ˜ (Kα , Kβ e Kζ ). Na 1a coluna, tres ´ para os graficos (a), (b) e (c) utiliza-se vento com perfil logar´ıtmico, a ´ ja´ na 2 , para os graficos (d), (e) e (f ), vento que segue a lei de ˆ potencia. Experimento 8 de Copenhagen. . . . . . . . . . . . . . . . ´ ˜ em funçao ˜ da distancia ˆ Graficos da concentraçao da fonte para os ˆ distintos coeficientes de difusao ˜ (Kα , Kβ e Kζ ). Na 1a coluna, tres ´ para os graficos (a), (b) e (c) utiliza-se vento com perfil logar´ıtmico, a ´ ja´ na 2 , para os graficos (d), (e) e (f ), vento que segue a lei de ˆ potencia. Experimento 9 de Copenhagen. . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 61. 62.

(12) LISTA DE TABELAS. Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3 Tabela 4. ˜ entre a estabilidade atmosferica ´ Relaçao e o comprimento de Monin-Obukhov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Dados micrometeorologicos do experimento de Copenhagen e ˜ observadas (Co). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . concentraçoes Índices estat´ısticos para os modelos com e sem termo de contragradiente e com perfis de vento que obedecem uma lei logar´ıtmica. Índices estat´ısticos para os modelos com e sem termo de contraˆ gradiente com perfis de vento que obedecem uma lei de potencia. .. 29 49 56 57.

(13) LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS. ADMM. Advection Diffusion Multilayer Method. AL. Atmosfera Livre. CI. Camada Interfacial. CLA. ´ Camada Limite Atmosferica. CLC. Camada Limite Convectiva. CLE. ´ Camada Limite Estavel. CLN. Camada Limite Noturna. CLP. ´ Camada Limite Planetaria. CLS. Camada Limite Superficial. CM. Camada de Mistura. CR. Camada Residual. EDO. ˜ Diferencial Ordinaria ´ Equaçao. EDP. ˜ Diferencial Parcial Equaçao. GIADMT. Generalized Integral Advection Diffusion Multilayer Technique. GILTT. Generalized Integral Laplace Transform Technique. GITT. Generalized Integral Transform Technique. ZE. Zona de Entranhamento S´ımbolos:. b. Constante (b = 1.5). Cor. ˜ Coeficiente de correlaçao. Co. ˜ observadas Concentraçoes. Cp. ˜ preditas pelo modelo Concentraçoes. c¯. ˜ media ´ Concentraçao integrada lateralmente. C. Conjunto dos numeros complexos ´. Cnh. ˜ homogenea ˆ Soluçao. Cnp. ˜ particular Soluçao.

(14) F a2. Fator de 2. Fb. ˜ de inclinaçao ˜ Fraçao. Fs. ˜ Desvio fracional padrao. δ. ˜ delta de Dirac Funçao. ∗ (fm )i. ˆ Frequencia adimensional do pico espectral. γ. Contragradiente. G(z, t). ˜ de Green Funçao. h. Altura da Camada Limite Convectiva. H. ˜ de Heaviside Funçao. Hs. Altura da fonte. j. Numero complexo ´. κ. ´ Constante de von Karman (κ = 0.4). Kz. ˜ turbulento Coeficiente de difusao. Kα. ˜ turbulento vertical valido ´ Coeficiente de difusao na CLC. Kβ. ˜ turbulento vertical valido ´ Coeficiente de difusao na CLC. Kζ. ˜ turbulento vertical valido ´ Coeficiente de difusao na CLC. L. Comprimento de Monin-Obukov. L. Transformada de Laplace. (λm )w. ´ Comprimento de onda associado ao maximo do espectro vertical. n∗. ˜ de emissao ˜ do poluente Regiao. N mse. ´ ´ Erro quadratico medio normalizado. ψ. ˜ de dissipaçao ˜ adimensional Funçao. Ψm. ˜ estabilidade Funçao. Pn ∗. ˜ particular na regiao ˜ de emissao ˜ Soluçao. Pn′ ∗. ˜ particular na regiao ˜ de emissao ˜ Derivada da soluçao. Q. ˜ da fonte na altura Hs Taxa de emissao. S. Termo fonte. Sk. Assimetria (Skewness). SF6. Hexafluoreto de enxofre. σw. ˜ da componente da velocidade turbulenta vertical Desvio padrao. σi2. ˆ Variancia generalizada. σw2. ˆ Variancia da velocidade turbulenta. t. Tempo. T Lw. Escala de tempo Lagrangiana vertical.

(15) τ. ˜ Tempo de relaxaçao. u. ´ ˜ x Velocidade media do vento na direçao. U. Velocidade do vento na altura da fonte. u∗. ˜ Velocidade de fricçao. W. Wronskiano. w∗. Escala convectiva da velocidade. w ′ c′. ˜ z Fluxo turbulento de poluentes na direçao. x. ˆ Distancia da fonte. z. Altura acima da superf´ıcie. z0. Comprimento de rugosidade do terreno.

(16) ´ SUMARIO. 1. ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . INTRODUC ¸ AO. 15. 2. ˜ BIBLIOGRAFICA ´ REVISAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. ´ 3 ATMOSFERA TERRESTRE E CAMADA LIMITE PLANETARIA . . . . . 3.1 A Atmosfera Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 A Troposfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ 3.2.1 A Camada Limite Planetaria (ou Camada Limite Atmosferica - CLA). . . . .. 26 26 26 27. ˜ DO METODO ´ 4 DESCRIC ¸ AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 O Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ da Equaçao ˜ de Advecçao-Difus ˜ ˜ com 4.2 Procedimento de Resoluçao ao ˜ Fickiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fechamento nao ˜ ˆ 4.2.1 Soluçoes Homogenea e Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Soluçao ˜ usando o Algoritmo de Talbot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Inversao ˜ ˜ Encontrada . . . . . . . . 4.3 Algumas Consideraçoes acerca da Soluçao. 31 31 33 35 38 40 41. ˜ DA TURBULENCIA ˆ 5 PARAMETRIZAC ¸ AO E PERFIL DO VENTO . . . . . . ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Coeficiente de Difusao 5.2 Perfil do Vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43 43 45. ˜ 6 RESULTADOS E DISCUSSOES . 6.1 Experimento de Copenhagen 6.1.1 Índices Estat´ısticos . . . . . . 6.2 Resultados . . . . . . . . . . .. . . . .. 47 47 49 50. ˜ CONCLUSOES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. ˆ REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 7. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . ..

(17) 1. ˜ INTRODUC ¸ AO. ´ ˜ excessiva de poluentes proO avanço industrial e tecnologico causa uma emissao ´ ˜ do ar. Os enormes provocando serios danos ambientais, principalmente, a poluiçao ˜ do ar afetam diretamente os processos naturais, blemas ocasionados pela poluiçao alterando o equil´ıbrio ambiental. ˜ Mundial da Saude Conforme dados da Organizaçao (OMS) (ADJUTO, 2014), a ´ ˜ do ar se tornou um dos maiores fatores de risco ambiental para a saude poluiçao no ´ mundo. No ano de 2012, uma em cada oito mortes foi provocada pelo contato com ˜ atmosferica, ´ ˜ a poluiçao o que totaliza cerca de sete milhoes de mortes ocasionadas ˜ a este tipo de poluiçao. ˜ pela forte exposiçao No artigo divulgado por Fajersztajn et al. (FAJERSZTAJN et al., 2013), pesquisado˜ Paulo (USP) mostram um mapa da poluiçao ˜ atmosferica ´ res da Universidade de Sao ˜ cient´ına Terra e esclarecem que os pa´ıses com menor desenvolvimento na produçao ˜ aqueles com maiores ´ındices de poluiçao. ˜ fica sobre o assunto da qualidade do ar, sao ´ disso, naçoes ˜ ´ Alem em desenvolvimento localizadas na America do Sul, norte da ´ ´ ˜ ´ Africa e regioes proximas a` India e a` China apresentaram os mais altos ´ındices de ˜ que correspondem em torno de 71 a 142 µg/m3 de material particulado poluiçao ´ ´ ˜ quantias abaixo de 20 inalavel. O aconselhavel pela OMS para este poluente sao µg/m3 . ˜ da concentraçao ˜ media ´ No mapa (Figura 1) tem-se a comparaçao anual de material particulado (PM10 ) com a densidade populacional de 2009 em todo o planeta, baseando-se em dados do Banco Mundial. ˜ do ar sao ˜ agora muito maiores do que se pensava. Ha´ Os riscos da poluiçao ˜ a` poluiçao ˜ a tendencia ˆ provas cient´ıficas que relacionam exposiçao de apresentar ´ ˆ doenças cardiovasculares, problemas respiratorios e cancer. No mesmo artigo de ´ 2013, pesquisadores agruparam varios trabalhos que mostram como os poluentes ˆ ˜ elevam o risco de cancer de pulmao. Um dos estudos publicado no The Lancet Oncology (NIELSEN, 2013), abordou ˜ ˜ ao grupo informaçoes de mais de 300 mil pessoas em nove pa´ıses e, com relaçao ˜ a` poluiçao, ˜ obteve-se como resultado que o risco de cancer ˆ submetido a exposiçao.

(18) 16. ˜ medias ´ Figura 1: Concentraçoes anuais de PM10 em 2009 pela densidade populacional. (FAJERSZTAJN et al., 2013)..

(19) 17. aumenta em 50% a cada 10 µg/m3 de material particulado fino inalado. ´ Popular do dia 16 de Novembro de No munic´ıpio de Pelotas (RS), conforme o Diario 2013 (FERREIRA, 2013), uma pesquisa desenvolvida na Universidade Federal de Pe˜ do ar na cidade. Segundo lotas (UFPel) aponta dados preocupantes sobre a poluiçao ˜ Roberta Szczepaniak, a pesquisadora e mestranda em Bioqu´ımica e Bioprospecçao ˜ da UFPel, em estaçoes frias como o inverno o ´ındice de part´ıculas suspensas no ar ´ aumenta drasticamente, ultrapassando o n´ıvel recomendado pela OMS. Isso se da, ˜ do aumento do numero ´ principalmente, em funçao de automoveis e processos indus´ ˜ de Pelotas. triais, devido a` crescente urbanizaçao ˜ do ar poderia salvar muitas vidas. Assim, um estudo sobre a Reduzir a poluiçao ˜ e o transporte de poluentes na atmosfera e´ essencial na busca de alternatidispersao ˜ no meio ambiente. vas que minimizem os impactos da poluiçao ´ ˜ da dispersao ˜ de poluentes pode ser realizada utilizando-se A analise e avaliaçao ´ ˜ como experimentos de campo ou laboratorio, ´ ´ metodos de investigaçao ou tambem, ˜ simulaçoes computacionais (sendo este ultimo mais utilizado). A modelagem ma´ ´ ´ tematica faz-se util de poluentes atmosfericos, pois consegue ´ ao avaliar o acumulo ´ ´ o campo de concentraçao ˜ de poluentes, considerando reproduzir de forma satisfatoria ˆ ´ os parametros f´ısicos meteorologicos que promovem o transporte de poluentes. Con´ forme Daly e Zannetti (DALY; ZANNETTI, 2007), a modelagem matematica permite descrever o problema da qualidade do ar da forma mais completa poss´ıvel. ˜ na baixa atmosfera, e´ comum utilizar um Para estimar o campo de concentraçoes ´ ˜ da continuimodelo matematico que parametrize os fluxos turbulentos na equaçao ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ dade, ou seja, empregar a equaçao ao. ˜ ´ ˜ encontra-se presente Um grande numero de soluçoes numericas desta equaçao ´ ´ optar pela busca de soluçoes ˜ anal´ıticas ou semianal´ıticas proporna literatura, porem ˆ ciona certos benef´ıcios, principalmente pela facilidade em determinar a influencia de ˆ ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ analisando rapidamente a um parametro espec´ıfico na equaçao ao, ˆ ˆ importancia deste parametro sobre o resultado final do modelo. ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ pode ser resolvido, O problema de fechamento da equaçao ao de forma aproximada, fundamentado na teoria do transporte por gradiente que, em ˜ a difusao ˜ molecular, admite que a turbulencia ˆ relaçao e´ proporcional a` magnitude do ˜ media ´ gradiente da concentraçao (SEINFELD; PANDIS, 1997). A teoria de transporte ˜ da pluma e´ muito maior que o dos por gradiente funciona bem quando a dimensao ˜ turbilhoes envolvidos no processo difusivo, ou seja, para grandes tempos de viagem (MANGIA et al., 2002). Esta teoria e´ bastante aplicada para solucionar problemas de ˆ ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ principalmente devido fechamento da turbulencia nas equaçoes ao, ´ esta teoria possui algumas limitaçoes; ˜ ˜ a sua praticidade de uso, porem visto que sao ˜ ˜ possuindo um embasamento f´ısico real (ARYA, 1999). apenas aproximaçoes, nao ´ ˜ molecular, a difusao ˜ turbulenta depende da escala. Ou Ao contrario da difusao.

(20) 18. ˜ de uma pluma de seja, pode-se dizer que na maioria das vezes, a taxa de difusao ˜ ˆ material e´ dependente das dimensoes desta pluma e da intensidade de turbulencia. ˜ ˜ inseridos no processo de exA` medida que a pluma cresce, turbilhoes maiores sao ˜ de modo que uma fraçao ˜ progressivamente maior da energia cinetica ´ pansao, turbulenta esta´ dispon´ıvel para o desenvolvimento da pluma (ARYA, 1999). ˜ bem conhecida deste metodo ´ ˜ pode descrever adeOutra limitaçao e´ que ele nao quadamente o transporte para cima de calor na metade superior da Camada Limite Convectiva (CLC); onde este transporte e´ tipicamente acompanhado por um gradiente ´ de temperatura ligeiramente mais estavel. Percebeu-se que nesta parte superior da ´ CLC o fluxo de temperatura potencial e´ ao contrario do gradiente de perfil de tempe˜ um transporte ratura potencial do meio (DEARDORFF, 1972a). Se constitui, entao, ´ de grandes plumas convectivas (ou turbilhoes) ˜ de calor contragradiente que provem que dominam o transporte na CLC. Isto entra em confronto com o fechamento da turˆ ˜ consibulencia tradicional (fechamento local, obedecendo a lei de Fick), ja´ que ele nao ´ ˜ homogeneo ˆ ˆ ˜ dera o carater nao da turbulencia na CLC, tratando-se de uma formulaçao ´ de difusividade turbulenta baseada somente em gradientes locais. Logo, a hipotese do ˜ turbulenta transporte por gradiente e´ inconsistente com as caracter´ısticas da difusao na parte superior da CLC, para os casos convectivos onde o fluxo de contragradiente ocorre (DEARDORFF; WILLIS, 1975). Para suprir essa lacuna, tem-se o chamado ˜ a capacidade das plumas ascentermo de contragradiente que leva em consideraçao ´ derem contra o sentido do gradiente medio (o qual aponta para baixo) (SIEBESMA; SOARES; TEIXEIRA, 2007). ˜ quando se considera o fechamento O termo do contragradiente surge na equaçao ˜ local, tambem ´ conhecido por fechamento nao ˜ Fickiano da turbulencia ˆ ˜ nao por nao ˜ obedecer a lei de Fick. Este fechamento possibilita analisar o efeito dos turbilhoes ´ mais energeticos em diferentes alturas e, como mencionado anteriormente, tem sido empregado porque e´ capaz de representar escoamentos do tipo contragradiente, os ˜ verificados em camadas convectivas. Logo, uma forma de estimar a quais so´ sao ˜ de poluentes considerando, de um modo mais real´ıstico, a estrutura concentraçao ˆ complexa da turbulencia na CLC e´ levar em conta os efeitos do termo de contragra˜ local da dispersao ˜ (ARYA, 1999). diente caracterizado pelo transporte nao ˜ utiliza-se o fechamento nao ˜ Fickiano na equaçao ˜ de advecçao˜ Nesta dissertaçao, ˜ para simular a dispersao ˜ de poluentes. Ao aplicar este fechamento, um termo difusao ˜ esse termo leva em conta o carater ´ ˜ local da disadicional surge na equaçao, nao ˜ de poluentes pois possui o termo de contragradiente. O carater ´ persao local sugere ˜ local indica que que somente part´ıculas vizinhas se relacionam, enquanto que o nao quaisquer part´ıculas podem se inter-relacionar, o que torna o modelo mais real´ıstico e melhora a modelagem. ˜ de poluentes Portanto, o objetivo principal deste trabalho e´ estimar a concentraçao.

(21) 19. ´ de uma modelagem que considera os efeitos nao ˜ locais na dispersao. ˜ Para atraves ˜ semianal´ıtica para a equaçao ˜ alcançar este objetivo, deseja-se obter uma soluçao ˜ ˜ em estado estacionario ´ de advecçao-difus ao que possui uma abordagem diferente da ´ usual para o termo do contragradiente. Para tanto, sera´ aplicado o metodo ADMM (Ad˜ anal´ıtica de Equaçoes ˜ Diferencivection Diffusion Multilayer Method) com a resoluçao ´ ais Parciais (EDPs) e com o emprego da tecnica da Transformada de Laplace, onde a CLC sera´ vista como um sistema multicamadas. E, ao final, o desempenho do modelo sera´ comparado com dados obtidos do experimento de Copenhagen (GRYNING; ˜ de LYCK, 1984) (GRYNING et al., 1987) (GRYNING, 2002) que realizou observaçoes ˜ superficiais. concentraçoes O presente texto esta´ organizado em sete cap´ıtulos: no segundo cap´ıtulo encontra˜ bibliografica. ´ ˜ se uma revisao No terceiro cap´ıtulo apresenta-se uma breve descriçao ˜ ˆ sobre as camadas que compoem a atmosfera terrestre, dando-se enfase ao estudo da ˜ analisados os efeitos nao ˜ locais da dispersao ˜ presentes nesta caCLC, onde serao ´ ˜ da soluçao ˜ mada. No quarto cap´ıtulo descreve-se o metodo utilizado para a obtençao ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ considerando-se os efeitos nao ˜ locais semianal´ıtica da equaçao ao ˜ No quinto cap´ıtulo, parametriza-se a turbulencia, ˆ na dispersao. sendo apresentados ˜ e os perfis de vento utilizados no modelo. No sexto cap´ıtulo, os coeficientes de difusao ˜ ´ ˜ apresentadas as expoe-se e discute-se os resultados obtidos. No setimo cap´ıtulo, sao ˜ conclusoes..

(22) 2. ˜ BIBLIOGRAFICA ´ REVISAO. ˜ de poluentes na atmosfera foram elaborados Com o intuito de medir a concentraçao diversos experimentos como os experimentos de tanque de Willis e Deardorff (WILLIS; DEARDORFF, 1974) (WILLIS; DEARDORFF, 1976) (WILLIS; DEARDORFF, 1978) (WILLIS; DEARDORFF, 1981), o de Kinkaid (HANNA; PAINE, 1989), o de Hanford (DORAN; HORST, 1985), o de Prairie Grass (BARAD, 1958a) (BARAD, 1958b), o de IIT Delhi (SHARAN; SINGH; YADAV, 1996) (SHARAN; YADAV; MODANI, 2002) e o de Copenhagen (GRYNING et al., 1987) (GRYNING; LYCK, 1984) (GRYNING, 2002). Este ultimo sera´ empregado para validar o modelo desenvolvido neste trabalho sendo ´ ˜ ´ ˜ este experimento analisado em condiçoes instaveis, o que condiz com as condiçoes ´ ´ disso, no experimento de Copenhagen atmosfericas predominantes na CLC. Alem ˜ do poluente como uma fonte alta, o que possibilita considerou-se a fonte de emissao ˜ de poluentes que sao ˜ emitidos em processos industriais. investigar a dispersao ˜ de SF6 (hexafluoreto de enO experimento de Copenhagen consistiu na liberaçao ˜ norte de Copenhagen (zona basicaxofre) de uma fonte de 115 m de altura na regiao mente residencial com rugosidade de 0,6 m) e foi coletado ao n´ıvel da superf´ıcie por ˜ em tres ˆ distancias ˆ ˜ preferencial do vento. amostradores de concentraçao na direçao ´ ˜ ˜ muitas vezes dificultadas por problemas Porem, as observaçoes de campo sao operacionais e pelos altos custos envolvidos, o que faz com que, consequentemente, ´ ˜ computacional) se torne o metodo ´ a modelagem matematica (simulaçao mais utilizado ˜ do processo de dispersao ˜ de poluentes. para a compreensao ˜ de poluentes no ar foram desenvolvidos varios ´ Para estimar a concentraçao mode´ los matematicos, os quais tornam poss´ıvel analisar o impacto ambiental causado pela ˜ prever os poss´ıveis efeitos da mesma sobre os diferentes ecossistemas e poluiçao, agir no sentido de solucionar o problema da forma mais apropriada. ˜ de poluentes na atmosDentre estes modelos utilizados para simular a dispersao fera destacam-se os modelos Lagrangiano e Euleriano (ANFOSSI, 2005) (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004) (BULIGON et al., 2004). No modelo Lagrangiano, o sistema ˆ ´ de referencia e´ movel, segue o movimento da part´ıcula na corrente do fluido, ou seja, ˆ as part´ıculas seguem a velocidade instantanea do fluido. As grandezas f´ısicas que.

(23) 21. ´ ˜ especificadas em termos probabil´ısticos. descrevem as trajetorias sao ´ o sistema de referencia ˆ ˜ a terra, ou meJa, Euleriano encontra-se fixo em relaçao ˜ Euleriana possui sua posiçao ˜ fixa em lhor, o instrumento utilizado para uma mediçao ˜ ao poluente que esta´ sendo medido. Neste trabalho, e´ de interesse comrelaçao ˜ preender, estudar e utilizar o modelo Euleriano para obter o campo de concentraçao ˜ Euleriana o processo de poluentes na baixa atmosfera uma vez que na aproximaçao ˜ e´ estudado em termos de uma equaçao ˜ diferencial de conservaçao ˜ da de dispersao ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ massa do poluente (equaçao ao). ˜ envolvera´ o sistema de referencia ˆ Logo, o modelo presente nesta dissertaçao ˜ da equaçao ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ e, alem ´ disso, levara´ em Euleriano, com a resoluçao ao conta os efeitos de um termo de contragradiente, considerando a estrutura complexa ˆ da turbulencia de uma forma mais real´ıstica. ˜ ´ ˜ de Na literatura ha´ uma ampla diversidade de soluçoes numericas da equaçao ˜ ˜ ((NIEUWSTADT; VAN ULDEN, 1978); (LAMB, 1978); (CARVALHO, advecçao-difus ao ´ ˜ 1996)). Porem, como dito anteriormente, optar pelas soluçoes anal´ıticas (ou semianal´ıticas) proporciona certos benef´ıcios, principalmente pela facilidade em determinar ˆ ˆ ˜ analisando rapidamente a ima influencia de um parametro espec´ıfico na equaçao, ˆ ˆ portancia deste parametro sobre o resultado final do modelo. ˜ obtendo soluçoes ˜ anal´ıticas poDesta forma, para resolver problemas de dispersao ´ ´ dem ser utilizados varios metodos, tais como: ADMM (Advection Diffusion Multilayer Method), GITT (Generalized Integral Transform Technique), GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique) e GIADMT (Generalized Integral Advection Diffusion Multilayer Technique). ´ O ADMM (VILHENA et al., 1998) trata-se de um metodo multicamadas, onde a ˜ tomados os vaCLC e´ discretizada em N subcamadas e em cada subcamada sao ´ ˆ ´ lores medios dos parametros micrometeorologicos dependentes da altura. Este pro˜ anal´ıtica de Equaçoes ˜ cedimento visa a resoluçao Diferenciais Parciais (EDPs) e a ˜ da tecnica ´ ˜ anal´ıtica e´ expressa na aplicaçao da Transformada de Laplace. A soluçao forma integral. ´ ˜ integral, GITT (COTTA, 1993), e´ baseada na junçao ˜ A tecnica de transformaçao ˜ em serie ´ ˜ Uma base trigonometrica, ´ de uma expansao com uma integraçao. originada ˜ Aproveitando-se da de um problema auxiliar, e´ usada como base para a expansao. ˜ a integraçao ˜ e´ realipropriedade de ortogonalidade da base utilizada na expansao, ´ ˜ zada em todo o intervalo da variavel transformada. Assim, um sistema de Equaçoes ´ Diferenciais Ordinarias (EDOs) e´ gerado e resolvido numericamente. ´ ˜ da GITT com Ja´ a tecnica GILTT (WORTMANN et al., 2005), e´ uma combinaçao ´ a tecnica da Transformada de Laplace. Consiste em resolver o problema transformado (um sistema de EDOs) analiticamente, usando Transformada de Laplace e ˜ obtendo-se a soluçao ˜ anal´ıtica em forma de uma serie ´ diagonalizaçao, de Fourier..

(24) 22. ´ ˜ utilizados para solucionar a equaçao ˜ de Os metodos ADMM, GITT e GILTT sao ˜ ˜ unidimensional transiente, bidimensional ou bidimensional transiadvecçao-difus ao ´ ˜ ente. Assim, o metodo GIADMT (COSTA et al., 2006) foi criado ao resolver a equaçao ˜ ˜ tridimensional combinando-se as tecnicas ´ de advecçao-difus ao ADMM e GITT. ˜ Vale mencionar que o presente trabalho tem por objetivo procurar uma soluçao ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ ´ semianal´ıtica para a equaçao ao. Dentre os quatro metodos des˜ de advecçao-difus ˜ ˜ que estima o campo de critos acima, para resolver a equaçao ao ˜ ˜ do metodo ´ concentraçoes de poluentes na baixa atmosfera, opta-se pela aplicaçao ADMM, visto que ele e´ amplamente empregado para solucionar problemas deste ˆ genero. Segundo o artigo de Moreira et al. (MOREIRA et al., 2010), foi realizada ˜ entre os metodos ´ uma comparaçao ADMM e GILTT, onde os autores comentam que ´ a abordagem com o metodo ADMM e´ mais eficiente do ponto de vista computa˜ de tempo computacional sendo, consequentemente, a cional referindo-se a` questao ˜ deste metodo ´ ˜ de poluentes na atutilizaçao mais adequada para simular a dispersao mosfera. ´ ˜ A partir destas ideias, fez-se necessario pesquisar e estudar algumas publicaçoes ˜ sona literatura que incluem estes saberes e, portanto, e´ apresentada uma revisao ˜ anal´ıticas ou semianal´ıticas para a equaçao ˜ de advecçao˜ bre algumas das soluçoes ˜ aplicadas a` dispersao ˜ de poluentes, analisando apenas resultados e textos difusao presentes na literatura que abordam uma modelagem onde se considera os efeitos ˜ locais na dispersao, ˜ visto que este e´ o foco deste trabalho. nao Em 2003, um modelo bidimensional foi resolvido por Costa et al. (COSTA; ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ MOREIRA; VILHENA, 2003), onde foi considerada a equaçao ao ˜ ´ ˜ Fickiano com duas dimensoes em estado estacionario, utilizando fechamento nao ˆ ˜ local) e o metodo ´ da turbulencia (fechamento nao ADMM de multicamadas para a ˜ desta equaçao. ˜ Ja´ em 2004, Moreira et al. (MOREIRA et al., 2004a) deresoluçao ˜ com o experimento de ram continuidade a esse trabalho, no qual uma comparaçao Copenhagen foi realizada. ´ disso, Buligon et al. (BULIGON et al., 2004) apresentaram uma soluçao ˜ da Alem ˜ de difusao ˜ unidimensional transiente para modelar a dispersao ˜ de poluentes, equaçao ´ ˜ local na dispersao. ˜ via metodo ADMM e fechamento nao Ainda em 2004, Costa et al. (COSTA, 2004), (COSTA; MOREIRA; VILHENA, 2004) e Moreira et al. (MOREIRA et al., 2004b) realizaram um estudo completo sobre a modelagem bidimensional considerando efeitos do contragradiente, levando em conta ´ ˜ local da dispersao ˜ utilizando o metodo ´ o carater nao ADMM. ´ ˜ FickiPosteriormente, um modelo bidimensional estacionario com fechamento nao ˜ foi obtida ano foi apresentado por Buske et al. (BUSKE et al., 2007a), cuja soluçao ´ aplicando-se a tecnica GILTT. ´ da tecnica ´ Atraves GILTT e, ainda no ano de 2007, Buske et al. (BUSKE et al.,.

(25) 23. ˜ tridimensional estacionaria ´ considerando o carater ´ 2007b) apresentaram uma soluçao ˜ local da dispersao, ˜ resolvendo a equaçao ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ com duas dinao ao ˜ e a terceira dimensao ˜ foi obtida ao multiplicar uma gaussiana em y. mensoes ´ Em 2008, Vilhena et al. (VILHENA et al., 2008) trabalharam com o metodo GIADMT ˜ semianal´ıtica para a equaçao ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ tridimene obtiveram uma soluçao ao ´ ˜ local da turbulencia. ˆ sional estacionaria considerando fechamento nao Mais adiante, Costa et al. (COSTA et al., 2012) desenvolveram um modelo tridi˜ Fickiano, obtendo uma soluçao ˜ para a equaçao ˜ de mensional com fechamento nao ˜ ˜ tridimensional transiente ao utilizarem o metodo ´ advecçao-difus ao GIADMT e a Transformada de Laplace. ˜ No mesmo ano, Buske et al. (BUSKE et al., 2012), apresentaram uma soluçao ˜ Fickiana para a equaçao ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ tridimensional em tridimensional nao ao ´ ´ estado estacionario, via metodo GILTT. ˜ de poluenConforme mencionado anteriormente, deseja-se simular a dispersao ˜ local da dispersao ˜ por este ser tes na atmosfera considerando o fechamento nao ˆ mais apropriado ja´ que permite abordar a f´ısica da turbulencia de forma mais ampla, aproximando-se da realidade f´ısica da CLC. Assim, torna-se essencial realizar uma ˜ sobre alguns valores encontrados para este termo de contragradiente, breve revisao ˜ local (que possui bem como, alguns trabalhos onde utilizaram-se este fechamento nao o termo de contragradiente). Em 1966, visando encontrar a magnitude do termo de contragradiente, Deardorff ˜ e de difusao ˜ medidos por (DEARDORFF, 1966) usou valores dos termos de produçao ˜ da variancia ˆ Telford e Warner (TELFORD; WARNER, 1964) na equaçao de tempera˜ o qual permite a existencia ˆ tura. Interpreta-se qualitativamente o termo de difusao, ´ do fluxo contragradiente. A magnitude obtida por Deardorff para o termo contrario ao gradiente, foi de aproximadamente 6.5(10−6 )Cm−1 . ˜ de conservaçao ˜ do fluxo de calor turbulento, em 1972, A partir da equaçao Deardorff (DEARDORFF, 1972b) derivou um termo de contragradiente para o calor na CLC. Novamente, medidas de Telford e Warner (TELFORD; WARNER, 1964), ˜ de assim como, de Lenschow (LENSCHOW, 1970), foram utilizadas na expressao ´ Deardorff, em n´ıveis medios e superiores na CLC, sendo obtido para o termo de contragradiente o valor de aproximadamente 0.7(10−5 )Kcm−1 ; sendo este valor da mesma ordem de magnitude do valor obtido antes. Este termo foi utilizado em alguns modelos ´ (MILHOT; BENOIT, 1982), (THERRY; LACARReRE, 1983) sofrendo, depois, uma pe˜ em 1989, por Moeng e Wyngaard (MOENG; WYNGAARD, 1989), quena modificaçao ˜ em grande escala (LES - Large Eddy Simuque obtiveram resultados de simulaçoes lation). ˜ ˜ Posteriormente, com base em resultados das simulaçoes dos grandes turbilhoes ˜ do fluxo de calor turbulento, Holstlag e Moeng (HOLSTLAG; e utilizando a equaçao.

(26) 24. ˜ similar a de Deardorff (DEARDORFF, MOENG, 1991) realizaram uma derivaçao ˜ para o termo de contragradiente: 1972b) e indicaram uma expressao γ=. 2w∗2 θ∗ . w2 h. (1). ´ sendo θ a temperatura potencial media, h a altura da CLC, w∗ a escala convectiva ´ ˜ f´ısica para o termo de contragradiente difere. da velocidade. Porem, a interpretaçao ˜ derivada por Deardorff resultou do termo de produçao ˜ termica ´ A expressao e a de ˜ de Holstlag e Moeng surgiu partindo-se do momento de terceira ordem na equaçao balanço para o fluxo de calor turbulento. ˜ nao ˜ locais para a temperatura Nos trabalhos acima, foram propostas formulaçoes potencial. Wyngaard e Weil (WYNGAARD; WEIL, 1991) formularam uma teoria para ˜ de um escalar passivo com base em uma abordagem anterior de Lumley a difusao ´ (LUMLEY, 1975). Desta forma, expandiram o fluxo turbulento, w′ c′ (≡ φ) em uma serie de Taylor de acordo com φ = −Kz. ∂¯ c 1 ∂ 3 c¯ ∂ 2 c¯ + S k Kz σ w τ 2 + D 3 + · · · , ∂z 2 ∂z ∂z. (2). ˜ media ´ onde z indica a altura acima da superf´ıcie, c¯ representa a concentraçao inte˜ da componente da velocidade turbulenta grada lateralmente, σw e´ o desvio padrao ˜ turbulento, Kz e´ igual a w2 τ , Sk e´ a assimetria vertical, Kz e´ o coeficiente de difusao 3/2 ˜ e D e´ um coeficiente contendo skewness (Sk ≡ w3 /w2 ), τ e´ o tempo de relaxaçao momentos superiores da velocidade. ´ Hamba (HAMBA, 1993) propoe ˜ uma expressao ˜ semelhante. Esta serie ´ Tambem (2) pode ser reformulada como (em (WYNGAARD; MOENG, 1990)): . ∂ 1+s ∂z. . φ = −Kz. ∂¯ c + ··· , ∂z. (3). com s = 21 Sk K/σw . ˜ Assim, surgiram novas e mais variadas expressoes para o termo de contragra˜ diente e, portanto, ha´ uma vasta gama de parametrizaçoes que podem ser en´ destas apresentacontradas na literatura para os termos do contragradiente alem das aqui ((HOLSTLAG; BOVILLE, 1993), (ROBSON; MAYOCCHI, 1994), (ROODE ˜ revisados e relatados acima sobre et al., 2004)). Em todos os estudos de simulaçao ˜ anal´ıticas e semianal´ıticas encontradas para a equaçao ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ soluçoes ao ˜ de poluentes, a parametrizaçao ˜ para o termo de contragradiente aplicadas a` dispersao utilizada foi proposta por Van Dop e Verver (VAN DOP; VERVER, 2001) e baseada no trabalho de Wyngaard e Weil (WYNGAARD; WEIL, 1991), sendo considerado que ˜ proporcionais ao gradiente medio ´ ˜ o fluxo mais a sua derivada sao (fechamento nao.

(27) 25. local): . 1+. . Sk T L w σ w 2. . ∂¯ c ∂ ∂ w′ c′ = −Kz , +τ ∂z ∂t ∂z. (4). ˜ z, Sk e´ a assimetria (skewness), onde w′ c′ e´ o fluxo turbulento de poluentes na direçao t e´ o tempo e TLw e´ a escala de tempo Lagrangiana vertical. ´ no presente trabalho, opta-se parametrizar o termo de contragradiente de uma Ja, ˜ nunca utilizada junto a` equaçao ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ bidimensional forma ate´ entao ao ˜ de poluentes, a qual foi proposta por Cuijpers e Holtslag para simular a dispersao ˜ sera´ apresentada no Cap´ıtulo 4 (CUIJPERS; HOLTSLAG, 1998) e cuja formulaçao ˜ desta dissertaçao. ´ Com isto, espera-se que este trabalho contribua para o crescimento da area, prin˜ da equaçao ˜ de cipalmente, por considerar os efeitos do contragradiente na soluçao ˜ ˜ contribuindo para a expansao ˜ do estudo de soluçoes ˜ semianal´ıticas advecçao-difus ao, ˜ dando enfase ˆ ˜ de poluentes na atmosfera para esta equaçao, a modelos de dispersao ˆ que consideram a estrutura complexa da turbulencia de forma mais realista..

(28) 3. ATMOSFERA TERRESTRE E CAMADA LIMITE PLA´ NETARIA. ˜ ´ ˜ de As condiçoes meteorologicas locais influenciam diretamente na concentraçao ˜ Consequentemente, torna-se funpoluentes acumulada em uma determinada regiao. ˆ damental o conhecimento dos fenomenos que predominam na atmosfera para, assim, ˜ de poluentes. ser poss´ıvel controlar a dispersao ˜ geral da Atmosfera Terrestre e, Neste cap´ıtulo, encontra-se uma breve descriçao ´ (CLP), a qual corresponde a parte em especial, o estudo da Camada Limite Planetaria ˜ mais baixa de uma das camadas que compoem a atmosfera, conhecida por Troposfera. ˜ de poluentes na atmosfera e este e´ E´ na CLP que se desenvolve a dispersao ˜ de um estudo sobre essa camada e suas o principal motivo que leva a realizaçao principais caracter´ısticas.. 3.1. A Atmosfera Terrestre. A Atmosfera Terrestre e´ separada em camadas que podem ser classificadas de diversos tipos. Assim, pode-se dividir a atmosfera em quatro camadas que se distinguem devido ao seu comportamento de temperatura (Figura 2): Termosfera, Mesosfera, Estratosfera e Troposfera. ´ ˆ Destas quatro camadas, da-se enfase ao estudo da camada mais baixa da Atmosfera Terrestre, a Troposfera.. 3.2. A Troposfera. ˆ ´ ˆ E´ nesta zona que ocorre a maioria dos fenomenos meteorologicos e a turbulencia ˜ desta camada. A espessura media ´ possui papel imprescind´ıvel na estruturaçao da ´ troposfera e´ de 13 km nas latitudes medias, sendo menos espessa nos polos e um ˜ tropicais. A area ´ pouco mais espessa nas regioes que compreende a fronteira entre a Troposfera e a Estratosfera e´ conhecida como Tropopausa..

(29) 27. ˜ de temperatura em funçao ˜ Figura 2: Camadas da atmosfera terrestre e suas variaçoes da altitude. Adaptado de (AHRENS, 2009). A parte mais alta da Troposfera e´ chamada de Atmosfera Livre (AL). Abaixo da AL fica a camada mais baixa da Troposfera, a CLP. 3.2.1. ´ ´ A Camada Limite Planetaria (ou Camada Limite Atmosferica - CLA). Como dito anteriormente, esta camada e´ o foco principal deste trabalho. A CLP pode atingir ate´ 3000 m de altura, mas sua espessura varia bastante devido a grande ˆ ˆ ´ do influencia dos efeitos da turbulencia nesta camada e, conforme o relevo e o horario dia. ˆ Esta camada possui fundamental importancia, sendo a parte da atmosfera que recebe diretamente os efeitos resultantes das atividades humanas e naturais que ocorˆ ´ rem na superf´ıcie da terra, como fenomenos micrometeorologicos, transporte do calor, ˜ de poluentes que sao ˜ produzidos pelos seres hude massa e, inclusive, a dispersao manos. ˜ da CLP, sendo ela dividida em varias ´ Na Figura 3, tem-se a estruturaçao subcama´ das dependendo dos seus aspectos e perfis relativos a um ciclo diario. ˜ mais profunda sobre a CLP, Assim, com o intuito de realizar uma descriçao fragmenta-se esta em suas respectivas subcamadas (apresentadas na Figura 3) de-.

(30) 28. Figura 3: Ciclo diurno da CLP conforme os processos f´ısicos que incidem nesta. Adaptado de (STULL, 1988). talhando melhor cada uma delas: • Camada Limite Convectiva (CLC) ˆ Esta camada e´ gerada por consequencia do aquecimento diurno da superf´ıcie ter˜ solar, começando a formar-se logo depois do nascer do sol e restre pela radiaçao ˆ do sol. cessando com o por ˆ subcamadas: Camada Limite Superficial (CLS), Camada A CLC se constitui de tres de Mistura (CM) e Camada Interfacial (CI) ou Zona de Entranhamento (ZE). ˜ que varia entre 10 a 200 m de altura, existindo forte interaçao ˜ A CLS e´ uma regiao ˜ dos fluxos turbulentos entre a atmosfera e a superf´ıcie terrestre e onde a variaçao de calor e momentum e´ praticamente ignorada (mudam menos de 10% de sua magnitude). Tomando proveito desta caracter´ıstica, surge a teoria da similaridade proposta por (MONIN; OBUKHOV, 1954) para esta camada. Desta forma, introduz-se um ˆ parametro chamado de comprimento de Monin-Obukhov (L), independente da altura nessa camada e definido como se segue: L=−. u∗ 3 κ Θg wθ 0. (5). onde L e´ uma escala de altura, proporcional a uma altura acima da superf´ıcie onde ´ ˜ mecanica ˆ ˆ os fatores de empuxo termico do ar se igualam a` produçao de turbulencia ˜ na superf´ıcie, κ a cons(SEINFELD; PANDIS, 1998). E, u∗ e´ a velocidade de fricçao ´ ˜ da gravidade, Θ a temperatura potencial media ´ tante de von Karman, g a aceleraçao e wθ 0 o fluxo de calor turbulento..

(31) 29. Conforme a Tabela 1, a escala de comprimento de Monin-Obukhov e´ vista como ˆ ˜ das condiçoes ˜ de estabilidade ou insum parametro fundamental para a determinaçao ´ tabilidade atmosfericas (PANOFSKY; DUTTON, 1984). Quando L < 0, geralmente em ˆ ˆ dias ensolarados, para alturas menores que |L| /10 a turbulencia mecanica e´ predoˆ ´ minante e em alturas maiores que |L| /10, a turbulencia gerada por empuxo termico domina o escoamento. Na CLS, ha´ aumento de temperatura com a altura durante a ˜ durante o dia. noite e diminuiçao ˜ entre a estabilidade atmosferica ´ Tabela 1: Relaçao e o comprimento de MoninObukhov. ´ Estabilidade Atmosferica de Pasquill L(m) ´ A - Muito Instavel −100 < L < 0 ´ B,C - Instavel −105 < L < −100 D - Neutra |L| > 105 ´ E - Estavel 10 < L < 105 ´ F - Muito Estavel 0 < L < 10 ´ a CM e´ a regiao ˜ central da CLC, nao ˜ possuindo contato com a superf´ıcie terJa, ˜ turbulenta. Alem ´ disso, os perfis restre e onde ocorre grande mistura devido a` difusao ´ ˜ aproximadamente constantes nesta camada. do vento medio e da temperatura sao ˜ da CM com A ZE corresponde a camada do topo da CLC, fazendo intermediaçao ˜ de temperatura, que passa a limitar os movia AL. Possui a caracter´ıstica da inversao mentos verticais na CM. ˜ da turbulencia ˆ ˜ Ainda, e´ na CLC que ocorre a intensificaçao e a maior concentraçao ´ de poluentes, visto que as fontes poluidoras encontram-se proximas da superf´ıcie da ˜ transportados por turbilhoes ˜ e termas, atingindo alturas graterra e os poluentes sao dativamente maiores ao transcorrer do dia. ˜ de poluentes faz-se mais significativa ao longo da CLC, Uma vez que a dispersao ´ ˜ e´ estrutorna-se notorio o motivo pelo qual o modelo apresentado nesta dissertaçao ˜ turado e aplicado na camada em questao. ´ • Camada Limite Estavel (CLE) ou Camada Limite Noturna (CLN) ˜ e sua altura e, ´ praticamente, apenas um decimo ´ Formada por pequenos turbilhoes da CLC, variando em dezenas de metros. Origina-se quando a superf´ıcie da Terra se ´ esfria, logo, e´ comum encontra-la a` noite sobre o continente. ˆ ˜ A turbulencia e´ menos acentuada do que na CLC e, desta forma, os poluentes sao espalhados ligeiramente na horizontal e lentamente na vertical..

(32) 30. • Camada Residual (CR) ˆ do sol e, portanto, trata-se de uma caOrigina-se cerca de 30 minutos antes do por ˜ de termas cessa, acarretando o decaimento da turbulencia ˆ mada noturna. A formaçao na CM, o que resulta no surgimento da CR. Logo, esta camada possui caracter´ısticas ` da CM que existe durante o dia e, tambem, ´ nao ˜ possui contato com a semelhantes as superf´ıcie da terra. ˜ da CLP, no decorrer de 24 horas (Figura 3) conclui-se Acompanhando a evoluçao que ha´ o surgimento de uma CM a partir das 9h da manha˜ (aproximadamente) ate´ o ˆ do sol; acima desta camada, tem-se a ZE (inversao) ˜ e abaixo, a CLS. Conforme por ˆ do sol, ha´ a formaçao ˜ da CR, a qual e´ resultante da o dia passa, com o in´ıcio do por ˜ CM formada durante o per´ıodo do dia. Acima da CR, tem-se a Camada de Inversao e, abaixo, forma-se a CLE. Com a vinda do sol ao nascer do dia, surge novamente a CM, gerando um ciclo diurno. Como ja´ mencionado, dentre todas as camadas apresentadas neste cap´ıtulo, optaˆ se por trabalhar com a CLC devido a presença de uma forte turbulencia e de um maior acumulo de poluentes, deste modo, e´ adicionado um termo de contragradiente ´ ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ que leva em conta o carater ´ ˜ homogeneo ˆ na equaçao ao nao da ˆ turbulencia, o que permite considerar de uma forma mais completa a estrutura da ˆ ˜ de poluentes. turbulencia na CLC para estimar a concentraçao.

(33) 4. ˜ DO METODO ´ DESCRIC ¸ AO. ˜ descreve-se a metodologia empregada para solucionar a equaçao ˜ de Nesta seçao, ˜ ˜ que leva em conta o termo de contragradiente proposto por Cuijpers advecçao-difus ao ˆ e Holtslag (CUIJPERS; HOLTSLAG, 1998), tendo-se por objetivo analisar a influencia ˜ locais na dispersao ˜ de poluentes na CLC. de efeitos nao. 4.1. O Modelo. ˜ de advecçao-difus ˜ ˜ (modelo Euleriano) e´ uma forma bastante utilizada A equaçao ao ˜ de poluentes na baixa atmosfera. Neste para se obter o campo de concentraçao ˜ de poluentes na atmosfera pode ser descrita contexto, a modelagem da dispersao ˜ bidimensional de advecçao-difus ˜ ˜ pela equaçao ao: u. ∂¯ c ∂w′ c′ =− + S, ∂x ∂z. (6). ˜ media ´ ´ onde c¯ representa a concentraçao integrada lateralmente, u, a velocidade media ˜ x, w′ c′ , o fluxo turbulento de poluentes na direçao ˜ z e S, o termo do vento na direçao ` condiçoes ˜ de contorno de fluxo nulo no solo e no topo da CLC. fonte, sujeita as ˜ (6) esta´ fundaUma forma de solucionar o problema de fechamento da equaçao ˜ molecular, mentada na teoria do transporte por gradiente que, baseada na difusao ˆ ˜ admite que a turbulencia e´ proporcional a` magnitude do gradiente de concentraçao ´ media. Este fechamento pode ser denonimado como fechamento local ou fechamento Fickiano e e´ dado por: ∂¯ c w′ c′ = −Kz , (7) ∂z ˜ vertical. onde Kz e´ o coeficiente de difusao Diferentemente do exposto acima, neste trabalho, pretende-se estimar a ˜ de poluentes considerando, de um modo mais real´ıstico, a estrutura concentraçao ˆ complexa da turbulencia na CLC, ou seja, levando em conta os efeitos do termo de ˜ local da dispersao. ˜ contragradiente caracterizado pelo transporte nao ˜ (7), ou seja, um termo Desta forma, considera-se um termo adicional na equaçao.

(34) 32. ˜ (6) e´ resolvido de contragradiente. Assim, o problema de fechamento da equaçao ˜ proposta por Deardorff (DEARDORFF, 1966): utilizando a relaçao w ′ c′. = −Kz. . ∂¯ c −γ , ∂z. (8). ˜ turbulento e γ, o termo de contragradiente. onde Kz e´ o coeficiente de difusao ´ ˜ local indica que quaisquer part´ıculas podem Vale mencionar que, o carater nao se inter-relacionar enquanto que o local sugere que somente part´ıculas vizinhas se ˜ de um termo de contragradiente torna o modelo relacionam. Sendo assim, a utilizaçao mais real´ıstico e melhora a modelagem. ˜ (8) na equaçao ˜ (6), obtem-se: ´ Logo, substituindo a equaçao ∂¯ c ∂¯ c ∂ u −Kz =− −γ + S, ∂x ∂z ∂z. (9). a qual torna-se objeto de estudo deste trabalho. ˜ proposta por Para o termo de contragradiente, sera´ utilizada a parametrizaçao Cuijpers e Holtslag (CUIJPERS; HOLTSLAG, 1998): w∗2 γ = b 2 c¯, σw h. (10). ˆ onde h e´ a altura da CLC, σw2 e´ a variancia da velocidade turbulenta, w∗ e´ a escala ´ convectiva da velocidade e b uma constante (cujo valor sera´ determinado no proximo cap´ıtulo). ˜ dos calculos ´ Durante a realizaçao apresentados a seguir, sera´ empregada a terminologia: γ = α¯ c, (11) w∗2 . σw2 h ˜ c¯, considerando o termo de contragraPortanto, para determinar a concentraçao diente, deve-se resolver o problema representado por (12), sendo admitida taxa de ˜ da concentraçao ˜ nula no solo e no topo da CLC: variaçao. sendo α = b.  ∂¯ c ∂ ∂¯ c   u −Kz =− − α¯ c    ∂z  ∂x ∂z ∂¯ c = 0 em z = 0, h , Kz   ∂z    u¯ c = Qδ (z − Hs ) em x = 0. (12). ˜ desta fonte na altura Hs e δ supondo uma fonte cont´ınua onde Q e´ a taxa de emissao ˜ delta de Dirac. e´ a funçao.

(35) 33. 4.2. ˜ ˜ ˜ Procedimento de Resoluçao da Equaçao de Advecçao˜ com Fechamento nao ˜ Fickiano Difusao. ´ ´ Para resolver o problema matematico, sera´ utilizado o metodo ADMM (MOREIRA ˜ da equaçao ˜ et al., 2006) o qual vem sendo amplamente empregado na resoluçao ˜ ˜ que estima o campo de concentraçao ˜ de poluentes na baixa de advecçao-difus ao atmosfera. ´ O ADMM trata-se de um metodo multicamadas, onde a CLC e´ discretizada em N ˜ tomados os valores medios ´ ˆ subcamadas e em cada subcamada sao dos parametros ´ micrometeorologicos (Kz , u e α) dependentes da altura z em cada subcamada ∆zn = [zn−1 , zn ]: Z zn 1 Kz (z)dz, (13) Kz n = ∆zn zn−1 Z zn 1 un = u(z)dz, (14) ∆zn zn−1 Z zn 1 α(z)dz. (15) αn = ∆zn zn−1 ´ ˜ Tambem, supoe-se contato perfeito entre as N subcamadas, com as seguintes ˜ de continuidade para a concentraçao ˜ e sua taxa de variaçao ˜ em cada intercondiçoes face, em z = zn e n = 1, 2, · · · , N − 1, respectivamente: c¯n = c¯n+1 , Kz n. . ∂¯ cn ∂z. . = Kzn+1. (16) . ∂¯ cn+1 ∂z. . .. (17). ´ Logo, ao utilizar o metodo ADMM, a CLC pode ser vista como um sistema de multicamadas, conforme a Figura 4. ˜ do problema (12), devemos resolver N problemas Portanto, a fim de obter a soluçao da forma:  ∂¯ cn ∂ 2 c¯n ∂¯ cn   u − K α = K n zn z n  n  ∂z ∂z 2  ∂x ∂¯ cn = 0 em z = 0, h Kz n  ∂z     un c¯n = Qδ (z − Hs ) em x = 0. .. (18). ´ do metodo ´ ˜ da TransO sistema (18) e´ solucionado atraves ADMM, com a aplicaçao formada de Laplace em x, denotando L {¯ cn (x, z)} = Cn (s, z), que resultara´ numa ˜ diferencial ordinaria ´ equaçao que depende apenas de z. Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados no sistema (18):.

(36) 34. Figura 4: A CLC como um sistema de multicamadas.. L. . ∂¯ cn (x, z) un ∂x. . =L. . ∂ 2 c¯n (x, z) ∂¯ cn (x, z) Kz n − Kz n α n 2 ∂z ∂z. . .. (19). ´ Pela propriedade de linearidade do operador, obtem-se: ∂¯ cn (x, z) ∂ 2 c¯n (x, z) ∂¯ cn (x, z) L un − L Kz n α n = L Kz n , ∂x ∂z 2 ∂z. (20). ou ainda, un L. un L. . . ∂¯ cn (x, z) ∂x. ∂¯ cn (x, z) ∂x. . . = Kz n L. = Kz n. . ∂ 2 c¯n (x, z) ∂z 2. . − Kzn α n L. . ∂¯ cn (x, z) ∂z. . ,. d2 d (L {¯ cn (x, z)}) − Kzn αn (L {¯ cn (x, z)}) . 2 dz dz. (21). (22). Pela propriedade da Transformada de Laplace para a derivada primeira e, denotando L {¯ cn (x, z)} = Cn (s, z), tem-se: d2 d un sCn (s, z) − c¯n (0, z) = Kzn 2 Cn (s, z) − Kzn αn Cn (s, z). dz dz ˜ da propriedade distributiva da multiplicaçao, ˜ tem-se: Com a aplicaçao un sCn (s, z) − un c¯n (0, z) − Kzn. d d2 C (s, z) + K Cn (s, z) = 0. α n z n n dz 2 dz. (23). (24).

(37) 35. ˜ (24), obtem-se: ´ Dividindo por −Kzn a equaçao −. un d un s d2 Cn (s, z) + c¯n (0, z) + 2 Cn (s, z) − αn Cn (s, z) = 0. Kz n Kz n dz dz. (25). ˜ Isolando o termo que acompanha c¯n (0, z) e aplicando uma das condiçoes dadas no problema, un c¯n = Qδ (z − Hs ) em x = 0, tem-se: −. un s d2 d Q Cn (s, z) + 2 Cn (s, z) − αn Cn (s, z) = − δ(z − Hs ). Kz n dz dz Kz n. (26). ˜ diferencial linear nao-homog ˜ ˆ Logo, chega-se a uma equaçao enea com coeficientes constantes: d un s Q d2 δ(z − Hs ). Cn (s, z) − αn Cn (s, z) − Cn (s, z) = − 2 dz dz Kz n Kz n. (27). ˜ (27), para facilitar o uso da notaçao: ˜ Reescrevendo a equaçao ′′. ′. Cn − α n Cn −. un s Q δ(z − Hs ). Cn = − Kz n Kz n. (28). ˜ diferencial linear nao ˜ homogenea, ˆ ´ Para resolver esta equaçao e´ necessario en˜ diferencial linear homogenea ˆ ˜ contrar a equaçao associada a ela e obter uma soluçao ˜ original. Assim, a soluçao ˜ geral da equaçao ˜ (28) pode ser esparticular da equaçao crita na forma: Cn = Cnh + Cnp , (29) ˜ homogenea ˆ ˜ particular. e Cnp , a soluçao onde Cnh representa a soluçao 4.2.1. ˜ ˆ Soluçoes Homogenea e Particular. ˜ (28) possui a seguinte equaçao ˜ homogenea ˆ A equaçao associada: ′′. ′. Cn − α n Cn −. un s Cn = 0. Kz n. (30). ˜ sera´ resolvida, obtendo a equaçao ˜ caracter´ıstica associada a ela, Esta equaçao que e´ dada por: un s λ2 − α n λ − = 0. (31) Kz n ˜ (31): Resolvendo a equaçao. λ=. r αn ± (−αn )2 − 4 − Kunz s n. 2. ,. (32).

(38) 36. αn 1 ± λ= 2 2. s. αn2 + 4. . un s . Kz n. (33). ˜ homogenea: ˆ Para λ1 e λ2 distintos e reais, tem-se a soluçao C n h = An e λ 1 z + B n e λ 2 z ,. s. (34). s (" # ) # ) u s u s 1 αn 1 α n n n Cnh = An exp αn2 + 4 αn2 + 4 z + Bn exp z . + − 2 2 Kz n 2 2 Kz n (35) ˜ particular. Desta forma, procura-se a soluçao ˜ partiResta encontrar uma soluçao cular conforme exposto a seguir, considerando que Cnp seja escrita como (KREIDER et al., 1972): (". . Cnp =. Z. h. G(z, t)l(t)dt,. (36). 0. ˜ impulso e G(z, t), funçao ˜ de Green, dada por: sendo l(t) = − KQz δ(t − Hs ) uma funçao n. G(z, t) =. y2 (z)y1 (t) − y1 (z)y2 (t) , W [y1 (t), y2 (t)]. (37). ˜ linearmente independentes da equaçao ˜ (35) sao ˜ y1 (z) e y2 (z) onde as duas soluçoes tais que: r αn + 21 2. y1 (z) = e. y2 (z) = e. . αn − 21 2. α2n +4. r. α2n +4. . un s K zn. . z. un s K zn. . z. ,. (38). ,. (39). ˜ e o Wronskiano destas soluçoes, W [y1 (t), y2 (t)] e´ expresso por:

(39)

(40) y (t) y (t)

(41) 1 2 W [y1 (t), y2 (t)] =

(42) ′

(43) y1 (t) y2′ (t).

(44)

(45)

(46)

(47) .

(48). (40). ˜ nas equaçoes ˜ (38) e (39), utiliza-se: Simplificando a notaçao, αn Dn = 2. 1 e Fn = 2. s. αn2. +4. . un s . Kz n. (41). Calcula-se W [y1 (t), y2 (t)]:

(49)

(50) e[Dn +Fn ]t e[Dn −Fn ]t

(51) W [y1 (t), y2 (t)] =

(52)

(53) [Dn + Fn ] e[Dn +Fn ]t [Dn − Fn ] e[Dn −Fn ]t.

(54)

(55)

(56)

(57) ,

(58). (42).

(59) 37. W [y1 (t), y2 (t)] = [Dn − Fn ] e[Dn −Fn ]t e[Dn +Fn ]t − [Dn + Fn ] e[Dn +Fn ]t e[Dn −Fn ]t ,. (43). W [y1 (t), y2 (t)] = e[Dn −Fn ]t e[Dn +Fn ]t [(Dn − Fn ) − (Dn + Fn )] ,. (44). W [y1 (t), y2 (t)] = e[Dn −Fn ]t e[Dn +Fn ]t (−Fn − Fn ) ,. (45). W [y1 (t), y2 (t)] = −2Fn e[Dn +Fn ]t e[Dn −Fn ]t ,. (46). W [y1 (t), y2 (t)] = −2Fn e[Dn +Fn ]t+[Dn −Fn ]t ,. (47). W [y1 (t), y2 (t)] = −2Fn e2Dn t .. (48). ˜ de Green tera´ a forma, Portanto, a funçao G(z, t) =. e[Dn −Fn ]z e[Dn +Fn ]t − e[Dn +Fn ]z e[Dn −Fn ]t . −2Fn e2Dn t. (49). ˜ (49) na equaçao ˜ (36) e lembrando que l(t) = Logo, substituindo a equaçao − Hs ), tem-se:. − KQz δ(t n. Cnp =. Z. Cnp. Cnp. h 0. e[Dn −Fn ]z e[Dn +Fn ]t − e[Dn +Fn ]z e[Dn −Fn ]t Q − δ(t − Hs ) dt, −2Fn e2Dn t Kz n. Z h [Dn +Fn ]t Q e [Dn −Fn ]z = e [δ(t − Hs )] dt + 2Fn Kzn e2Dn ·t 0 Z h [Dn −Fn ]t e [Dn +Fn ]z [δ(t − Hs )] dt , −e e2Dn ·t 0 Z h Q −[Dn −Fn ]t [Dn −Fn ]z e [δ(t − Hs )] dt + e = 2Fn Kzn 0 Z h −[Dn +Fn ]t [Dn +Fn ]z e [δ(t − Hs )] dt , −e. (50). (51). (52). 0. Cnp =. Q [Dn −Fn ]z −[Dn −Fn ]Hs − e[Dn +Fn ]z · e−[Dn +Fn ]Hs . e ·e 2Fn Kzn. (53).

(60) 38. ˜ particular assume a forma: Assim, a soluçao Cnp = 4.2.2. Q [Dn −Fn ][z−Hs ] e − e[Dn +Fn ][z−Hs ] . 2Fn Kzn. (54). ˜ Geral Soluçao. ˜ geral da equaçao ˜ (28) e´ representada por: Logo, como Cn = Cnh + Cnp , a soluçao. +. Q 2Fn Kzn. Cn (s, z) = An e[Dn +Fn ]z + Bn e[Dn −Fn ]z + [Dn −Fn ][z−Hs ] e − e[Dn +Fn ][z−Hs ] [H(z − Hs ) − H(z − (Hs + ∆zn ))] , (55). ˜ de Heaviside e ∆zn e´ a altura da subcamada. onde H e´ a funçao ˜ An e Bn sao ˜ determinadas aplicando-se as 2N − 2 As constantes de integraçao ˜ de continuidade para a concentraçao ˜ (16) e sua taxa de variaçao ˜ (17) em condiçoes cada interface:. ∂ C1 (s, 0) = 0 Kz1 ∂z  C (s, z ) = C (s, z ) 1 1 2 1 K ∂ C (s, z ) = K ∂ C (s, z ) 1 z2 ∂z 2 1 z1 ∂z 1  C (s, z ) = C (s, z ) 2 2 3 2 K ∂ C (s, z ) = K ∂ C (s, z ). em z = 0: em z = z1 :. em z = z2 :. z2 ∂z. .. . em z = zN −1 : em z = h:. 2. 2. z3 ∂z. 3. (56). 2. .. ..  C. N −1 (s, zN −1 ). K. = CN (s, zN −1 ). ∂ zN −1 ∂z CN −1 (s, zN −1 ). ∂ = KzN ∂z CN (s, zN −1 ). ∂ CN (s, h) = 0 KzN ∂z. ˜ A partir do conjunto de equaçoes (56) e´ obtido o sistema Mv=b, onde M e´ uma matriz quadrada de ordem 2N :.

(61) 39. .        M=       . M11 M12 M21 M22 M31 M32 0 0 0 0 .. .. . . 0 0 0 0 v=. 0 M23 M33 M43 M53 .. .. 0 M24 M34 M44 M54 .. .. 0 0. 0 0. h. b=. 0 0 0 M45 M55 .. .. 0 0 0 M46 M56 .. .. 0 ···. 0 0 0 0 0 .. .. Md−1,d−3 Md−1,d−2 Md−1,d−1 Md−1,d 0 0 Md,d−1 Md,d. A1 B1 A2 B2 · · · h. ··· ··· ··· ··· ··· .. .. 0 −Pn∗. ···. −Pn′ ∗. AN BN. 0 ···. 0. iT iT. ,. ,. .        ,       . (57). (58). (59). ˜ particular encontrada e sua derionde Pn∗ e Pn′ ∗ indicam, respectivamente, a soluçao ˜ onde houve a emissao ˜ de poluentes. vada e, n∗ representa a regiao Logo, [D ∗ −F ∗ ][z−Hs ] Q Pn ∗ = (60) − e[Dn∗ +Fn∗ ][z−Hs ] e n n 2Fn∗ Kzn∗ e. Pn′ ∗ = Kzn∗. Q [Dn∗ − Fn∗ ] e[Dn∗ −Fn∗ ][z−Hs ] − [Dn∗ + Fn∗ ] e[Dn∗ +Fn∗ ][z−Hs ] . (61) 2Fn∗ Kzn∗. Para a matriz M apresentada anteriormente, calcula-se os elementos por meio das ˜ de contorno e interface. Em z = 0, obtem-se: ´ condiçoes M11 = D1 + F1 , M12 = D1 − F1 , e, para n = 1, 2, . . . , N − 1, M2n,2n−1 = e[Dn +Fn ]zn , M2n,2n = e[Dn −Fn ]zn , M2n,2n+1 = −e[Dn+1 +Fn+1 ]zn , M2n,2n+2 = −e[Dn+1 −Fn+1 ]zn , M2n+1,2n−1 = Kzn [Dn + Fn ] e[Dn +Fn ]zn ,.

(62) 40. M2n+1,2n = Kzn [Dn − Fn ] e[Dn −Fn ]zn , M2n+1,2n+1 = −Kzn+1 [Dn+1 + Fn+1 ] e[Dn+1 +Fn+1 ]zn , M2n+1,2n+2 = −Kzn+1 [Dn+1 − Fn+1 ] e[Dn+1 −Fn+1 ]zn , e, quando d = 2N : Md,d−1 = [DN + FN ] e[DN +FN ]zN , Md,d = [DN − FN ] e[DN −FN ]zN . ˜ de poluentes aplicando a TransforPosteriormente, encontra-se a concentraçao ˜ dada pela equaçao ˜ (55), gerando uma soluçao ˜ mada Inversa de Laplace na soluçao integral para o problema proposto que sera´ resolvida numericamente. Sendo assim, ´ obtem-se:. +. Q 2Fn Kzn. onde Dn = 4.2.3. αn , 2. Z ξ+j∞ 1 esx An e[Dn +Fn ]z + Bn e[Dn −Fn ]z + c¯n (x, z) = 2πj ξ−j∞ [Dn −Fn ][z−Hs ] [Dn +Fn ][z−Hs ] [H(z − Hs ) − H(z − (Hs + ∆zn ))] ds, (62) e −e r un s 2 Fn = αn + 4 Kz 1 2. n. e. j ∈ C.. ˜ usando o Algoritmo de Talbot Inversao. ˜ da integral de linha presente na soluçao ˜ geral da equaçao ˜ (62) e´ Como a resoluçao ˆ ´ bastante complexa, pode-se resolve-la numericamente utilizando o metodo de Talbot ´ 2004). Tem-se como ar(FT algoritmo) proposto por Abate e Valko´ (ABATE; VALKo, ´ gumento para tal escolha o fato que o algoritmo de Talbot e´ um metodo robusto e ˜ gerando resultados com precisao ˜ de ate´ M ∗ d´ıgitos significaeficiente para inversao ´ ´ ABATE, tivos (onde M ∗ corresponde ao numero de termos do somatorio) (VALKo; ´ 2005). Desta forma,. r c¯n (x, z) = ∗ M. . 1 c¯n (r, z)erx + 2 ) ∗ −1 M X xS(θ ) + Re e k c¯n (S(θk ), z) (1 + j w(θ ¯ k )) ,. (63). k=1. kπ onde j ∈ C, S(θk ) = rθ(cotθ + j), w(θ ¯ k ) = θk + (θk cotθk − 1)cotθk , θk = M ∗ , −π < θ < +π ˆ e r, um parametro experimental. Ainda, para os termos c¯n (r, z) e c¯n (S(θk ), z), utiliza-se ˜ (55). a equaçao ˜ do problema estara´ estabelecida por completo quando forem determinaA soluçao ˆ ´ dos os parametros turbulentos utilizados, conforme o proximo cap´ıtulo..