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Modelos analíticos na predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis

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Academic year: 2021

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Modelos Analíticos na Predição do Tempo de Vida de

Baterias Utilizadas em Dispositivos Móveis

Keila Kleveston Schneider

Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul - Unijuí - como parte dos requisi-tos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática.

Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Orientador

Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Co-Orientadora

Ijuí, RS, Brasil c

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Modelos Analíticos na Predição do Tempo de Vida de

Baterias Utilizadas em Dispositivos Móveis

Keila Kleveston Schneider

Dissertação de Mestrado apresentada em Março de 2011

Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Orientador

Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Co-Orientadora

José Antonio Gonzalez Componente da Banca

Valdir Leite Roque Componente da Banca

Ijuí, RS, Brasil, Março de 2011

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Agradecimentos

A Deus, ser Supremo, ao qual devo a vida.

Aos meus pais, Jorge e Maria Helena, pelo amor, carinho, dedicação e conselhos valiosos que sempre me ofereceram, possibilitando vencer mais esta etapa e me tornar a pessoa que sou. Vocês são exemplo de vida para mim.

Aos meus irmãos, Jonatas, Jaderson e Karla, pela maravilhosa convivência que sempre tivemos, pela amizade e alegrias. Obrigada pelo apoio. Vocês são muito importantes na minha vida.

Ao meu noivo Juarez, pela compreensão nos momentos de angústia e ausência, e pelas palavras de incentivo. Te amo!

Aos demais familiares, pelo incentivo e carinho.

Aos amigos, que de alguma maneira me ajudaram a passar pelos momentos difíceis, com conversas e descontração.

Aos meus professores orientadores, Paulo e Airam, pelos valiosos ensinamentos e con-selhos, pela paciência e dedicação que sempre dedicaram a mim. Vocês são para mim, mais que professores, mais que orientadores, são amigos os quais sempre levarei no coração.

Aos demais professores do Mestrado, pelos ensinamentos e amizade.

Aos colegas de turma, pela amizade e companheirismo em todos os momentos. À Geni, pela atenção e disposição que sempre me atendeu, pelos abraços e incentivos recebidos nos momentos de angústia. Você também é uma amiga que guardarei sempre em meu coração.

À UNUJUÍ, pela estrutura física oferecida.

À CAPES, pelo aporte financeiro recebido, o qual possibilitou a realização desta pesquisa.

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Resumo

Nas últimas décadas, a utilização de dispositivos móveis tem aumentado significa-tivamente devido, principalmente, à proliferação no acesso à tecnologia sem fio. Estes dispositivos podem ser utilizados nas mais diversas áreas: no lazer, trabalho, segurança, entre outras. No entanto, o uso destes dispositivos está limitado ao tempo de vida da bateria, existindo, desta forma, a necessidade da utilização de algum método para de-terminar por quanto tempo o dispositivo pode ser utilizado. Um destes métodos é a utilização de modelos matemáticos que, a partir de suas equações permitem estimar o tempo de vida destas baterias. Neste trabalho é apresentada uma análise comparativa de três modelos analíticos utilizados na predição do tempo de vida de uma bateria: o modelo Linear, a Lei de Peukert e o modelo de Rakhmatov-Vrudhula. Os dois primeiros modelos foram escolhidos em virtude de serem considerados simples e, por este motivo, muito utilizados e referenciados na literatura. Porém, em virtude de sua simplicidade, não consideram os efeitos não-lineares que ocorrem durante a descarga da bateria, e que afetam significativamente a sua capacidade e tempo de vida. Já o terceiro modelo, o de Rakhmatov-Vrudhula, foi escolhido em virtude de considerar os efeitos não-lineares no processo de descarga da bateria e ser facilmente configurável para qualquer tipo de bateria. Todos os modelos foram implementados na ferramenta computacional Matlab e realizadas um conjunto de simulações computacionais considerando os parâmetros de uma bateria de lítio-íon. Diferentemente de outros trabalhos, os resultados das simula-ções foram comparados com os resultados obtidos a partir de uma plataforma de testes (i.e. testbed), especialmente desenvolvida para esta finalidade. Os testes experimentais foram realizados no laboratório do Grupo de Automação Industrial e Controle (GAIC) da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Garnde do Sul, campus de Ijuí, RS. A partir da análise dos resultados das simulações pode-se verificar que o modelo Linear apresentou resultados não satisfatórios, chegando, em alguns casos, apresentar um erro de predição do tempo de vida próximo aos 30 %. Já os modelos de Rakhmatov-Vrudhula e Lei de Peukert apresentaram resultados médios de erro muito próximos. No entanto, o Modelo de Rakhmatov-Vrudhula se apresentou mais ajustado a partir de perfis de descar-gas constituídos por correntes altas, enquanto que a Lei de Peukert apresentou melhores resultados a partir de perfis de descargas formados por correntes baixas. Cabe ressaltar que, neste trabalho, foram utilizadas apenas correntes constantes no tempo, como trabalho futuros pretende-se estender o estudo para contemplar cargas variáveis.

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Abstract

In recent decades, the use of mobile devices has increased significantly mainly due to the proliferation of access to wireless technology. These devices can be used in several areas: leisure, work, safety, among others. However, the use of these devices is limited to the lifetime of battery, there is thus the need to use some method to determine how long the device can be used. One of these methods is the use of mathematical models that, from his equations to estimate the lifetime of these batteries. This work presents a comparative analysis three analytical models used to predict the lifetime of a battery: the Linear model, Peukert’s Law and the model Rakhmatov-Vrudhula. The first two models were chosen because they are considered simple and, therefore, widely used and referenced in the literature. However, because of its simplicity, do not consider the nonlinear effects that occur during battery discharge, and that significantly affect the capacity and lifetime. The third model, the Rakhmatov-Vrudhula, was chosen since it considers the nonlinear effects in the process of battery discharge and easily configurable for any type of battery. All models were implemented in Matlab software tool and performed a set of computer simulations considering the parameters of a lithium-ion batteries. Unlike other works, the results of simulations were compared with results from a test platform (i.e., testbed), especially developed for this purpose. Experimental tests were performed at the Group of Industrial Automation and Control (GAIC) of Regional University of Rio Grand South, Campus Ijuí, RS. From the analysis of simulation results can be verified that the linear model showed unsatisfactory results, reaching in some cases produce an error Prediction of lifetime close to 30%. Since the model-Rakhmatov Vrudhula Peukert’s Law and had average results of error very close. However, the Model-Rakhmatov Vrudhula, showed more set from profiles of discharges consisting of high currents, while the Act had better Peukert results from profiles consisting of low current discharges. It is noteworthy that in this work, we used only current constant in time, as work future we intend to extend the study to accommodate varying loads.

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Lista de Símbolos

i(t) - corrente de descarga

k - parâmetro relacionado ao tipo de bateria do modelo analítico Cinético h1 - altura da fonte de carga disponível do modelo analítico Cinético

h2 - altura da fonte de carga limitada do modelo analítico Cinético

α- parâmetro que representa a capacidade da bateria no modelo analítico de Rakhmatov-Vrudhula

β - parâmetro que representa a não-linearidade da bateria no modelo analítico de Rakhmatov-Vrudhula

C(x, t) - função concentração de espécies eletroativas do modelo analítico de Rakhmatov-Vrudhula

L - tempo de vida da bateria

w - comprimento do eletrólito da bateria C - capacidade da bateria

C′ - capacidade da bateria no início da operação do modelo analítico Linear

I - corrente constante de descarga

td - tempo de duração da corrente de descarga do modelo analítico Linear

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a - parâmetro relacionado ao tipo de bateria da Lei de Peukert b - parâmetro relacionado ao tipo de bateria da Lei de Peukert J(x, t) - fluxo de espécies eletroativas

D - constante de difusão

v - número de elétrons envolvidos na reação eletroquímica F - constante de Faraday

A - área da superfície do eletrodo

ρ(t) - fração de decaimento da concentração de espécies elétroativas U(t) - função degrau

T X - operação de transmissão de um nó sensor RX - operação de recepção de um nó sensor Ik - corrente, onde k = 0, ..., n, e k ∈ N

Ik−1 - corrente, onde k = 0, ..., n, e k ∈ N

tk - tempo, onde k = 0, ..., n, e k ∈ N

tk - tempo, onde k = 0, ..., n, e k ∈ N

N + 1 - estados da Cadeia de Markov

N - número de unidades de carga disponíveis

a1 - probabilidade de uma unidade de carga ser consumida

a0 - probabilidade de recuperação de uma unidade de carga

(8)

T - número de unidades de carga M - número de unidades de carga

f - função do número de unidades de carga que foram consumidas qi - probabilidade de i unidades de carga serem solicitadas

pj(f ) - probabilidade de recuperação de unidades de carga

rj(f ) - probabilidade de permanecer no mesmo estado

G - ganho obtido por uma descarga pulsante em relação a uma descarga constante m - número médio de pacotes transmitidos

y1 - quantidade de carga da fonte disponível

y2 - quantidade de carga da fonte limitada

i - nível da discretização da fonte de carga disponível j - nível da discretização da fonte de carga limitada t - duração da ocrrente inativa

Q - quantidade de unidades de carga

pr - probabilidade de recuperação de Q unidades de carga

pnr - probabilidade de não ocorrer a recuperação

c- fração da capacidade da bateria

y1,0 - quantidade de carga disponível em t = 0

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y2,0 - quantidade de carga limitada em t = 0

u(t) - dados experimentais de entrada y(t) - dados experimentais de saída a1, ..., an - parâmetros

b1, ..., bn - parâmetros

θ - vetor que contém os parâmetros do modelo ϕ(t) - vetor que contém os dados experimentais

ZN - conjunto das entradas e saídas ao longo de um intervalo de tempo, onde 1 ≤ t ≤ N

VN - função que relaciona os dados experimentais e os parâmetros do modelo

(10)

Lista de Tabelas

5.1 Parâmetros do Nó Sensor . . . 39 6.1 Correntes de descarga, tempos de duração, média e desvio padrão encontrados a

partir dos ensaios. . . 48

6.2 Perfis de Descarga do Artigo de Rakhmatov-Vrudhula. . . 50

6.3 Comparação dos resultados do artigo com a implementação do modelo de Rakhmatov-Vrudhula. . . 50

6.4 Resultados de simulação dos testes experimentais e do modelo de Rakhmatov-Vrudhula. . . 51

6.5 Resultados de simulação dos testes experimentais e do modelo Linear. . . 52

6.6 Resultados de simulação dos testes experimentais e da Lei de Peukert. . . 52

(11)

Lista de Figuras

2.1 Esquema de uma célula eletroquímica. . . 9

2.2 Diferentes estados de operação da bateria [?]. . . 11

2.3 Densidade de energia e ano de implantação comercial das tecnologias de bateria [?]. 14 2.4 Esquema básico funcional abrangendo todos os tipos de células modeladas. Este esquema básico requer pequenas alterações para concluir os modelos de cada célula específica. . . 16

2.5 Modelo de duas fontes do modelo Cinético. . . 21

3.1 Exemplo de um perfil de descarga seccionalmente constante. . . 26

3.2 Aproximação escada de uma carga variável. . . 31

3.3 Capacidade da bateria em função do perfil de descarte [?]. . . 32

4.1 Representação de um sistema com entrada u(t) e saída y(t). . . 34

5.1 Capacidade remanescente da bateria utilizando o modelo de Rakhmatov-Vrudhula para tempo de simulação de 60 segundos. . . 40

5.2 Capacidade remanescente da bateria utilizando o modelo Linear para tempo de simulação de 60 segundos. . . 40

5.3 Capacidade remanescente da bateria utilizando o modelo de Rakhmatov-Vrudhula para tempo de simulação de 157 segundos. . . 41

5.4 Capacidade remanescente da bateria utilizando o modelo Linear para tempo de simulação de 157 segundos. . . 42

6.1 Diagrama do protótipo proposto. . . 44

6.2 Foto das placas confeccionadas. . . 44

6.3 Software de Controle da Plataforma. . . 45

6.4 Foto da fonte externa carregando duas baterias. . . 47

6.5 Foto de duas baterias preparadas para iniciar o processo de descarga. . . 47

6.6 Curvas das correntes de descarga utilizadas nos experimentos. . . 49

(12)

Sumário

1 Apresentação da Dissertação 3 1.1 Introdução . . . 3 1.2 Motivação . . . 5 1.3 Objetivos . . . 6 1.3.1 Objetivo Geral . . . 6 1.3.2 Objetivos Específicos . . . 6 1.4 Contribuições . . . 7 1.5 Estrutura do Documento . . . 8 2 Revisão Bibliográfica 9 2.1 Baterias . . . 9

2.1.1 Propriedades das Baterias . . . 10

2.1.2 Características não-lineares . . . 10 2.1.3 Capacidade da Bateria . . . 13 2.2 Tipos de Baterias . . . 13 2.3 Modelos de Baterias . . . 15 2.3.1 Modelos Eletroquímicos . . . 15 2.3.2 Modelos Elétricos . . . 16 2.3.3 Modelos Estocásticos . . . 17 2.3.4 Modelos Analíticos . . . 20

3 Modelos Analíticos Linear, Lei de Peukert e de Rakhmatov-Vrudhula 25 3.1 Descrição do Modelo Linear . . . 25

3.2 Descrição da Lei de Peukert . . . 26

3.3 Descrição do Modelo de Rakhmatov-Vrudhula . . . 27

3.4 Comparação entre os modelos de Rakhmatov-Vrudhula e Linear . . . 31

4 Estimação de Parâmetros do Modelo de Rakhmatov-Vrudhula 34 4.1 Descrição da Técnica de Mínimos Quadrados . . . 35

(13)

Sumário 3 5 Comparação entre os modelos Linear e de Rakhmatov-Vrudhula 38

5.1 Definição do Perfil de Descarga . . . 38

5.1.1 Implementação dos Modelos Linear e de Rakhmatov-Vrudhula . . . 39

6 Ambiente de Simulação 43 6.1 Testbed . . . 43

6.2 Metodologia Adotada nos Ensaios Experimentais . . . 46

6.3 Simulações Computacionais . . . 50

6.4 Análise dos resultados de simulação . . . 51

7 Conclusões e Trabalhos Futuros 54 A Lista das Publicações Relacionadas com a Dissertação 57 A.1 Artigos Publicados em Congresso . . . 57

A.2 Artigos Publicados em Periódico Nacional . . . 57

A.3 Resumos Publicados . . . 57

(14)

Capítulo 1

Apresentação da Dissertação

1.1

Introdução

Nas últimas décadas, a utilização de dispositivos móveis tem aumentado significati-vamente devido, principalmente, à proliferação no acesso à tecnologia sem fio. Estes dispositivos podem ser encontrados nas mais diversas áreas, tais como, na indústria, no comércio, nos setores de educação e saúde, ou até mesmo no lazer. Alguns exemplos de dispositivos móveis são: telefones celulares, máquinas digitais, notebooks (i.e., computa-dores portáteis), sensores de alarmes residenciais ou comerciais, entre outros.

A maioria dos dispositivos móveis utilizados é alimentada por algum tipo de bateria, geralmente recarregável, cuja função é o fornecimento de energia. Assim, destaca-se que o uso destes dispositivos está condicionado ao tempo de vida das baterias que os alimentam. Este tempo de vida é, por definição, o tempo que a bateria demora para atingir um determinado nível de capacidade de carga (i.e., nível de cutoff ) [?, ?, ?], ao alcançar este nível as reações eletroquímicas, que são responsáveis pelo fornecimento de energia, cessam e, consequentemente, a bateria deixa de fornecer energia ao sistema, sendo considerada descarregada. Neste contexto, é de vital importância possuir algum método capaz de predizer o tempo de vida da bateria e por conseguinte o comportamento dinâmico do sistema como um todo.

Uma das formas de realizar a predição do tempo de vida da bateria é a partir da utilização de experimentos físicos. Porém, dependendo do tipo de aplicação (e.g., uma rede de sensores que, geralmente, é formada por milhares de dispositivos), esta opção torna-se inviável economicamente, em virtude do elevado custo destes dispositivos, além de possuir alto custo de implementação e gerenciamento. Outra forma, é a partir da utilização de modelos matemáticos que representam adequadamente o processo, ou seja, que descrevam a descarga de energia do sistema. Considerando este cenário, diferentes modelos de baterias têm sido desenvolvidos ao longo dos anos. Dentre eles, alguns dos

(15)

Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 5 referenciados na literatura são: o modelo Linear [?, ?, ?], que considera apenas correntes de descargas constantes no tempo e, a Lei de Peukert [?, ?, ?], que considera a média das correntes, resultando em tempos de vida muito próximos dos tempos de vida obtidos a partir do modelo Linear. Por outro lado, a utilização de modelos lineares não permite que sejam realizadas aproximações apropriadas, especialmente quando são considerados os aspectos físicos das operações de descarga da bateria. Uma operação de descarga é composta por um perfil que pode ser definido como o conjunto de operações que um de-terminado dispositivo pode realizar em um dede-terminado intervalo de tempo. Por exemplo, um sensor pode receber e transmitir informações, sendo que para receber tem-se uma taxa de consumo diferente da taxa de transmissão.

Estudos recentes em baterias [?, ?, ?, ?] têm revelado que as taxas de descarga são não-lineares no tempo e, além disso, dependem da capacidade residual da bateria (i.e., efeito da taxa de capacidade), ou seja, para diferentes perfis de descarga têm-se diferentes tempos de vida, assim, a capacidade efetiva da bateria não é a mesma para diferentes perfis de descarga. Além disso, em períodos ociosos (i.e., quando a corrente de descarga é reduzida significativamente ou mesmo é nula), ocorre um sutil, mas importante efeito de recuperação, que pode recuperar a capacidade da bateria [?, ?, ?].

Além dos modelos lineares, há também os modelos eletroquímicos, que consideram essas características não-lineares e são considerados mais acurados em relação aos modelos lineares. Porém, por possuírem uma descrição detalhada dos processos eletroquímicos que ocorrem na bateria durante o período de descarga, exigem um conjunto significativo de dados experimentais, o que torna estes modelos complexos e de difícil implementação.

Há também modelos mais simples em relação aos modelos eletroquímicos, que tam-bém consideram as características não-lineares, agregando acurácia e facilidade de im-plementação. São exemplos desta classe alguns modelos analíticos, onde as principais propriedades da bateria são modeladas a partir de um conjunto de equações diferenciais. O modelo de Rakhmatov-Vrudhula [?,?,?] é um deles que, além de considerar as caracte-rísticas não-lineares, possui fácil implementação agregado a um bom nível de exatidão .

Posto tudo isto, é importante destacar que a utilização de modelos matemáticos que, além de possuírem boa acurácia, sejam de fácil implementação com um reduzido custo computacional, passam a ter uma significativa importância na substituição de experi-mentos físicos. Porém, é de vital importância que o modelo matemático a ser utilizado considere, entre outras características, as não-linearidades destes eventos (i.e., efeito de recuperação e efeito da taxa de capacidade) e seus efeitos na capacidade da bateria, es-pecialmente quando o objetivo final é predizer o tempo de vida da mesma. Portanto, neste trabalho será apresentado um estudo comparativo de modelos analíticos utilizados

(16)

Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 6 para realizar a predição do tempo de vida de baterias que alimentam dispositivos móveis. Serão realizadas simulações utilizando três modelos analíticos: o modelo Linear [?, ?, ?], a Lei de Peukert [?, ?, ?] e o modelo de Rakhmatov-Vrudhula [?, ?, ?].

A metodologia adotada neste trabalho, será de realizar a implementação dos modelos analíticos na ferramenta computacional Matlab, validar esta implementação e, posterior-mente, realizar uma série de experimentos físicos, objetivando a comparação dos resultados teóricos, obtidos a partir da utilização dos modelos, com os resultados reais, obtidos a partir dos experimentos físicos. Para a realização dos experimentos físicos será utilizada uma plataforma de testes (i.e., testbed) especialmente desenvolvida para esta finalidade.

O restante deste capítulo está organizado da seguinte forma. Na Seção 1.2 é apre-sentada a motivação que impulsionou a realização deste trabalho. Na Seção 1.3 são apresentados os objetivos, geral e específicos, desta dissertação. As contribuições são ap-resentadas na Seção 1.4. E, finalmente, na Seção 1.5, é apresentada a estrutura deste documento.

1.2

Motivação

A cada dia é maior o número de dispositivos móveis utilizados nas mais diversas áreas, tais como telefones celulares, redes wireless, bluetooth, smartphones (i.e., celulares in-teligentes), máquinas digitais, notebooks, entre outros. Estes dispositivos tornaram-se parte integral do cotidiano das pessoas e muitas vezes passam a ser indispensáveis na vida diária das mesmas, tanto no lazer quanto no trabalho, pois são capazes de modi-ficar suas rotinas e as formas de tomar decisões. Desta maneira, a mobilidade deixa de ser uma facilidade, tornando-se uma necessidade, permitindo o acesso a dados e infor-mações em qualquer lugar a qualquer momento. Assim, torna-se não somente uma opção para facilitar tarefas particulares, mas também uma oportunidade de melhoria na gestão de negócios, possibilitando a integração de dispositivos móveis com sistemas de gestão e e-business.

Em virtude das suas características, muitos destes dispositivos não possuem qualquer tipo de conexão com uma rede elétrica que lhes permita um constante atendimento de suas necessidades de consumo de energia, e acabam sendo supridos energeticamente por fontes de alimentação próprias e individuais, sendo a principal delas a utilização de baterias. Deste modo, a utilização destes dispositivos está diretamente limitada ao tempo de vida das baterias que os alimentam. Sendo assim, surge um novo desafio: definir um método eficaz que permita predizer o tempo de vida das baterias e, consequentemente, do sistema como um todo.

(17)

Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 7 utilização de modelos matemáticos que simulam a descarga de energia do sistema. Ao longo dos anos, diferentes modelos de descarga de baterias têm sido desenvolvidos, tais como os modelos eletroquímicos, os modelos de circuito elétrico, os modelos estocásticos e os modelos analíticos. Dentre os modelos citados, o modelo analítico Linear é um dos modelos mais simples e por este motivo muito utilizado e referenciado na literatura. Porém, as aproximações realizadas ao utilizar este modelo não são apropriadas, pois nele a bateria é tratada como um recipiente linear de corrente, onde não são considerados os efeitos não-lineares (i.e., efeito da taxa de capacidade e efeito de recuperação) que ocorrem durante a descarga de energia da bateria e que podem afetar significativamente a capacidade e, consequentemente, o seu tempo de vida.

Há também, modelos que são considerados mais acurados, como os modelos eletro-químicos, que consideram os efeitos não-lineares que ocorrem durante a descarga da bate-ria. Porém, são complexos e difíceis de implementar, devido a sua descrição detalhada e ao número de parâmetros da bateria que devem ser definidos pelo usuário (há modelos que exigem mais de 50 parâmetros de configuração). Assim, é necessário um conhecimento de-talhado da bateria, o que muitas vezes se torna inviável em determinados projetos. Desta maneira, no contexto de prever o tempo de vida de uma bateria, destaca-se a importância de utilizar um modelo que possua bom nível de exatidão e que considere, entre outras ca-racterísticas, as características não-lineares e seus efeitos na capacidade da bateria, e que ao mesmo tempo possua uma fácil implementação. Neste contexto, o presente trabalho irá investigar, a partir de uma análise comparativa, qual modelo analítico possibilita isto.

1.3

Objetivos

Nesta seção são apresentados os objetivos que nortearão o presente trabalho. Para facilitar a compreensão, optou-se em dividir os Objetivos em Objetivo Geral e Específicos, os quais são detalhados na sequência.

1.3.1

Objetivo Geral

O Objetivo Geral deste trabalho é estudar, avaliar e aplicar um conjunto de modelos analíticos que sejam capazes de descrever a descarga de energia de baterias que alimentam dispositivos móveis, possibilitando a predição do seu tempo de vida.

1.3.2

Objetivos Específicos

Assim, buscando alcançar o Objetivo Geral deste trabalho, traçam-se os seguintes Ob-jetivos Específicos:

(18)

Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 8 - Realizar uma revisão bibliográfica do estado da arte dos diferentes tipos de modelos matemáticos que descrevem a descarga de energia de baterias, dando ênfase aos modelos analíticos.

- Escolher, dentre os diferentes tipos de modelos estudados, um conjunto de modelos analíticos mais adequado à predição do tempo de vida de uma bateria;

- Realizar a implementação dos modelos analíticos escolhidos na ferramenta computa-cional Matlab e realizar sua validação;

- Construir uma plataforma experimental para a realização de experimentos de descarga de energia a partir de uma bateria real. Para tanto, objetivando criar um conjunto de dados experimentais que possibilitem a comparação com as simulações computacionais dos modelos estudados;

- Efetuar simulações e análise, comparando os resultados encontrados a partir dos modelos analíticos escolhidos com os obtidos a partir da plataforma experimental.

- Definir, a partir dos experimentos realizados, o modelo analítico que melhor realiza a predição do tempo de vida de uma determinada bateria, entre os avaliados para cada situação.

1.4

Contribuições

Para este trabalho, serão realizados experimentos reais a partir de uma plataforma expe-rimental que simula a descarga de energia de uma bateria real, especialmente desenvolvida para esta finalidade. Estes experimentos visam verificar o nível de exatidão dos modelos analíticos avaliados através da comparação dos resultados de simulação com os resultados obtidos a partir da plataforma. A principal contribuição e diferencial deste trabalho em relação aos seus similares é que, na literatura, estas comparações são feitas, na sua grande maioria, a partir da utilização de resultados obtidos através do emprego de simuladores (e.g., simulador DualFoil) que, apesar de possuírem uma significativa acurácia, ainda não podem ser comparados a um experimento real, principalmente pela dificuldade de configurar o extenso número de parâmetros para cada tipo de bateria. Para efeito de in-formações, o simulador utilizado na comparação do modelo de Rakhmatov-Vrudhula [?,?] é o Simulador DualFoil, que exige a configuração de mais de 50 parâmetros da bateria, o que muitas vezes inviabiliza o experimento.

Outra contribuição deste trabalho é a disponibilização de uma metodologia em con-junto com uma plataforma de testes que pode ser utilizada na avaliação de outros modelos matemáticos a partir do uso de qualquer tipo de bateria.

Durante o desenvolvimento desta dissertação de mestrado, resultados parciais deste trabalho foram publicados em conferências e periódicos nacionais. Uma relação completa

(19)

Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 9 dos trabalhos publicados, em forma de artigos ou mesmo resumo, e dos que encontram-se em processo de avaliação, pode ser consultada no Apêndice A.

1.5

Estrutura do Documento

Este trabalho propõe o estudo e avaliação de vários modelos analíticos de descarga de bateria na predição do seu tempo de vida, comparando os resultados de simulação dos modelos com os obtidos a partir de uma plataforma experimental. Para tanto, este trabalho está organizado da seguinte forma:

- No Capítulo 2, são abordadas as principais propriedades e características de uma bateria, os tipos de baterias mais utilizados atualmente, assim como alguns dos prin-cipais modelos de descarga de baterias encontrados na literatura, visando uma melhor compreensão do contexto de baterias na qual este trabalho está inserido.

- No Capítulo 3, são apresentados os modelos matemáticos de descarga de baterias avaliados neste trabalho. Será dada maior ênfase ao modelo analítico de Rakhmatov-Vrudhula. Este modelo utiliza expressões analíticas e possui dois parâmetros relacionados a cada tipo de bateria, o parâmetro α, que representa a capacidade, e o parâmetro β, que representa o comportamento não-linear. Estes parâmetros precisam ser estimados a partir de alguma técnica de estimação de parâmetros.

- Assim, no Capítulo 4 é apresentada a técnica de estimação de parâmetros denomi-nada Mínimos Quadrados, utilizada na estimação dos parâmetros α e β do modelo de Rakhmatov-Vrudhula, e dos parâmetros a e b da Lei de Peukert.

- No Capítulo 5 é apresentada uma análise comparativa, apenas com o uso de si-mulações computacionais, entre dois modelos analíticos de descarga de baterias: o mo-delo Linear (que não leva em conta os efeitos não-lineares de descarga) e o momo-delo de Rakhmatov-Vrudhula (que considera os efeitos não-lineares de descarga), a fim de com-provar a significativa diferença na predição do tempo de vida de uma bateria do tipo alcalina.

- No Capítulo 6 é apresentada a construção da plataforma experimental, bem como a metodologia utilizada na realização dos testes experimentais e nas simulações dos modelos de Rakhmatov-Vrudhula, Linear e Lei de Peukert. Também são apresentados os resultados das simulações dos modelos e dos testes experimentais, e sua análise.

- E por fim, no Capítulo 7 são apresentadas as conclusões e os trabalhos futuros sugeridos para este trabalho.

(20)

Capítulo 2

Revisão Bibliográfica

Neste capítulo serão abordados alguns conceitos básicos relacionados à bateria, suas principais características e propriedades, com o objetivo de facilitar a leitura e compreen-são deste trabalho de pesquisa. Também será realizada uma revicompreen-são bibliográfica do estado da arte dos diferentes tipos de baterias utilizados atualmente, e dos modelos matemáti-cos encontrados na literatura técnica para predição do tempo de vida de baterias em dispositivos móveis.

2.1

Baterias

Figura 2.1: Esquema de uma célula eletroquímica.

Uma bateria é constituída por uma ou mais células eletroquímicas, ligadas em série ou em paralelo, ou ainda através de uma combinação de ambas. Nestas células a energia química armazenada é convertida em energia elétrica através de reações eletroquímicas. Na Figura 2.1 é apresentado o esquema de uma célula eletroquímica, onde cada célula

(21)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 11 é formada por dois eletrodos1: um ânodo que possui polaridade negativa e um cátodo

que possui polaridade positiva, separados por um eletrólito2. Durante a fase de descarga

(i.e., quando a bateria fornece energia elétrica a um circuito externo) o ânodo libera elétrons para o circuito, enquanto o cátodo recebe elétrons do circuito. Já na fase de carregamento da bateria, os processos químicos são revertidos. Os elétrons têm origem a partir de reações eletroquímicas e são chamados de espécies eletroativas [?, ?, ?].

2.1.1

Propriedades das Baterias

Uma bateria possui duas importantes propriedades, que são: (i) a voltagem, medida em volts (V ); e (ii) a capacidade, geralmente medida em ampère-hora (Ah). O produto destas duas grandezas fornece a quantidade de energia armazenada na bateria [?]. Por exemplo, teoricamente, uma bateria de 100 Ah é projetada para fornecer 5 A por 20 horas, ou então, 100 A durante 1 hora. Porém, esta representação é teórica, na prática, geralmente, a corrente de descarga não é constante no tempo, ou seja, as operações de descarga têm características não-lineares, que influenciam diretamente no tempo de vida da bateria. Estes efeitos serão descritos na próxima seção.

2.1.2

Características não-lineares

A modelagem do comportamento de baterias pode se tornar complexa se forem conside-rados os efeitos não-lineares que ocorrem durante o período de descarga. No caso ideal, a tensão permanece constante durante todo o período de descarga, tornando-se zero quando a bateria está descarregada. O ideal seria que a capacidade fosse constante para qualquer corrente de descarga, e que toda a energia armazenada na bateria fosse utilizada. Contudo, em um procedimento de descarga de uma bateria real, a tensão é reduzida lentamente durante a descarga e a capacidade efetiva é reduzida para altas correntes. Ressalta-se que, dependendo do tipo de bateria, estes efeitos têm maiores ou menores consequências na sua capacidade [?]. A seguir são descritas algumas características não-lineares importantes presentes na descarga de uma bateria.

(A) Nível Cutoff

O nível de cutoff [?], apesar de não ser um efeito não-linear, é um importante parâmetro para compreensão do efeito de recuperação. Ele pode ser definido como o valor limite in-ferior de carga (capacidade) em que a bateria consegue fornecer uma tensão suficiente para o dispositivo manter-se operacional. Quando este valor é atingido, a bateria não é

1Condutor metálico por onde uma corrente elétrica entra ou sai do sistema.

(22)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 12 mais capaz de fornecer energia ao sistema devido à impossibilidade de ocorrer as reações eletroquímicas. Neste momento a bateria não está completamente descarregada, mas in-disponível, como pode ser visto na Figura 2.2(E).

(B) Efeito de Recuperação

Define-se por efeito de recuperação de uma bateria [?,?,?] a reorganização dos elétrons no eletrólito durante um período de relaxação, ou seja, intervalo de tempo em que a cor-rente de descarga é reduzida significativamente. Neste intervalo os elétrons se reorganizam de maneira uniforme, de modo que o sistema recupere o equilíbrio e o gradiente de con-centração seja nulo no eletrólito. Assim, a capacidade efetiva da bateria é aumentada, pois uma maior quantidade de carga torna-se disponível antes do sistema alcançar o nível de cutoff (i.e., quando a bateria está descarregada). Na Figura 2.2 são mostradas, de forma simplificada, as operações de uma bateria, onde o efeito de recuperação pode ser observado.

Figura 2.2: Diferentes estados de operação da bateria [?].

(23)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 13 de espécies eletroativas é constante por todo comprimento w do eletrólito. Quando um descarregamento é iniciado (Figura 2.2(B)), ocorrem reações eletroquímicas que resultam na redução de espécies eletroativas próximas ao eletrodo, gerando um gradiente de con-centração no eletrólito. Este gradiente de concon-centração faz com que ocorra a difusão de espécies eletroativas em direção ao eletrodo. No momento em que a corrente de descarga é reduzida significativamente ou é nula (i.e., dispositivo desligado), a bateria encontra-se em um período de relaxação (Figura 2.2(C)), possibilitando que os elétrons se reorganizem de maneira uniforme, reequilibrando o sistema. Assim, é gerado um gradiente de concen-tração nulo no eletrólito, tornando disponível uma maior quantidade de carga na superfície do eletrodo, que agora pode ser utilizada pelo sistema, aumentando assim a capacidade efetiva da bateria, como pode ser observado na Figura 2.2(D). Porém, ressalta-se que a concentração de espécies eletroativas na superfície do eletrodo será menor que a concen-tração inicial. À medida que a concenconcen-tração na superfície do eletrodo diminui, a tensão da bateria é reduzida. Quando a tensão da bateria atinge um limite inferior ao valor de corte (i.e., cutoff ), as reações eletroquímicas não podem mais ocorrer e a bateria pára de fornecer energia ao sistema. Neste momento a bateria pode ser considerada descarregada, apesar de ainda haver espécies eletroativas no eletrólito, como pode ser visto na Figura 2.2(E).

Para melhor explicar o efeito de recuperação, no Capítulo 3, é apresentado um re-sultado de simulação da capacidade remanescente de uma bateria alcalina capturada por dois modelos analíticos: o modelo de Rakhmatov-Vrudhula, que considera este efeito du-rante a descarga da bateria, e o modelo Linear, que não considera, sendo possível, desta maneira, visualizar as consequências deste efeito no tempo de vida de uma bateria.

(C) Efeito da Taxa de Capacidade

O efeito da taxa de capacidade [?, ?, ?] depende da capacidade atual da bateria e da intensidade da corrente de descarga, ou seja, com uma alta corrente de descarga a capacidade efetiva da bateria é baixa, pois não há tempo suficiente para a reorganização dos elétrons no eletrólito (i.e., efeito de recuperação) e, assim, mais carga permanece sem ser utilizada pelo sistema, reduzindo, desta forma, a capacidade e o tempo de vida da bateria. Já com correntes alternadas, a capacidade efetiva da bateria é aumentada, pois na troca de uma corrente alta para uma corrente baixa, ou até mesmo para um período sem corrente, ocorre a reorganização dos elétrons no eletrólito, tornando disponível uma maior quantidade de carga na superfície do eletrodo (i.e., efeito de recuperação), aumentando, assim, a capacidade efetiva da bateria. Desta maneira, quanto maior a quantidade de carga (elétrons) presente no eletrólito no momento da relaxação (i.e., redução significativa ou anulação da corrente de descarga), mais carga será possível recuperar, e consequentemente

(24)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 14 estará disponível na superfície do eletrodo para ser utilizada pelo sistema. Ressalta-se que esta disponibilidade de carga na superfície do eletrodo nunca será maior, nem igual à inicial.

2.1.3

Capacidade da Bateria

A capacidade de uma bateria é especificada pela quantidade de materiais ativos nela presente. Esta capacidade pode ser expressa de três maneiras diferentes [?, ?]:

1. Capacidade Teórica: é um limite superior à energia que pode ser extraída na prática, sendo baseada na quantidade de energia armazenada na bateria;

2. Capacidade Padrão: é a energia que pode ser extraída sob condições especificadas pelo fabricante;

3. Capacidade Atual: é aquela que pode exceder a capacidade padrão, mas não pode exceder a capacidade teórica de uma bateria.

Nesta dissertação, o termo capacidade, refere-se à capacidade atual da bateria. Con-siderando as características e propriedades de uma bateria, o seu desempenho em relação ao perfil de corrente de descarga depende de dois efeitos: (i) efeito da taxa de capacidade, que depende da capacidade atual da bateria, e da intensidade da sua corrente de descarga; (ii) efeito de recuperação, que depende da recuperação da capacidade durante períodos ociosos, ou seja, períodos em que a corrente solicitada é reduzida significativamente.

2.2

Tipos de Baterias

Nesta seção serão descritas as tecnologias de bateria que têm sido desenvolvidas ao longo das últimas décadas para atender a crescente procura de baterias recarregáveis menores, mais leves e com maior capacidade para dispositivos móveis. Ao comparar diferentes tecnologias de bateria, surgem várias considerações. Estas incluem densidade de energia (carga armazenada por unidade de peso da bateria), ciclo de vida (o número de ciclos de carga/descarga antes do descarte da bateria), impacto ambiental, segurança, custo, alimentação de tensão disponível e características de carga/descarga. Na Figura 2.3 é ilustrado o desenvolvimento das tecnologias de baterias recarregáveis, comparando em termos de densidade de energia. A seguir serão relacionados os principais tipos de baterias recarregáveis, para aparelhos eletrônicos portáteis, bem como as suas características e propriedades [?, ?]:

Níquel Cádmio (Ni-Cd): Esta é uma tecnologia consolidada, e tem sido utilizada com sucesso por várias décadas para desenvolver baterias recarregáveis para aparelhos eletrônicos portáteis. Suas vantagens incluem baixo custo, e altas taxas de descarga. Embora a tecnologia Ni-Cd vem perdendo terreno nos últimos anos devido à sua baixa

(25)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 15

Figura 2.3: Densidade de energia e ano de implantação comercial das tecnologias de bateria [?].

densidade de energia e toxicidade, ainda é usada em aplicações de baixo custo, como rádios portáteis e leitores de CD.

Níquel Metal-Hidreto (Ni-MH): Estas baterias têm sido amplamente usadas nos últimos anos para alimentar computadores portáteis. Elas têm aproximadamente duas vezes a densidade de energia das baterias Ni-Cd. No entanto, possuem ciclo de vida mais curto, são mais caras, e são ineficientes em altas taxas de descarga.

Lithium-Íon (Li-íon): Esta é a tecnologia de bateria que mais rapidamente cresce atualmente, com densidade de energia significativamente superior, e ciclo de vida aproxi-madamente duas vezes maior que as baterias Ni-MH. As baterias Lithium-íon são mais sensíveis às características da corrente de descarga, são mais caras que as baterias Ni-MH, e podem ser perigosas quando utilizadas indevidamente (i.e., explosão). Por outro lado, um longo tempo de vida tem feito delas a escolha mais popular para baterias de notebooks, PDAs (Personal Digital Assistants - computadores de mão) e telefones celulares.

Recarregáveis Alcalina: Enquanto as baterias alcalinas descartáveis têm sido uti-lizadas por muitos anos, a tecnologia reutilizável alcalina manganês foi desenvolvida como uma alternativa de baixo custo em que a densidade de energia e ciclo de vida são com-prometidos. Embora a densidade de energia inicial de baterias alcalinas reutilizáveis é superior à Ni-Cd, verifica-se uma rápida diminuição no ciclo de vida. Por exemplo, após 10 ciclos, uma redução de 50%, e após 50 ciclos, uma redução de 75% na densidade de energia é geralmente observada.

(26)

ultra-Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 16 finas (menos de 1 mm de espessura), e espera-se atender as necessidades da próxima geração de computação e comunicação de dispositivos portáteis em relação ao tamanho e peso. Além disso, elas são esperadas para melhorias em relação à tecnologia de lítio-íon em termos de densidade de energia e segurança. Entretanto, estas baterias possuem um alto custo de fabricação, e enfrentam desafios no gerenciamento térmico interno.

2.3

Modelos de Baterias

Nesta seção serão apresentados os principais modelos de descarga de baterias encontra-dos na literatura, e descritas as suas principais características e propriedades.

Os modelos de descarga de bateria capturam as características reais de operação e po-dem ser utilizados para prever o comportamento de uma bateria real sob várias condições de carga e descarga. Estes modelos são úteis para o projeto de sistemas alimentados por baterias, porque permitem a análise do comportamento de descarga sob diferentes especi-ficações do projeto [?]. Existem vários modelos de descarga de baterias com diferentes características e complexidade distintas, os quais serão descritos nas próximas seções.

2.3.1

Modelos Eletroquímicos

Os modelos eletroquímicos [?, ?, ?, ?] baseiam-se nos processos químicos que ocorrem na bateria, que são descritos com grande detalhamento. Isto faz com que tais modelos sejam considerados mais acurados. No entanto, a sua descrição detalhada torna os mesmos altamente complexos e difíceis de implementar, devido à grande quantidade de parâmetros da bateria que devem ser definidos pelo usuário.

Doyle, Fuller e Newman [?, ?, ?] desenvolveram um modelo eletroquímico para célu-las de lítio e lítio-íon. Este modelo é composto por um conjunto de seis (6) equações diferenciais parciais (EDPs) não-lineares. A resolução destas equações fornece: a tensão (voltagem) e a corrente em função do tempo; as fases de potencial no eletrólito e no eletrodo; a concentração salina, a taxa de reação, e a densidade de corrente no eletrólito, em função do tempo e da posição na célula.

Um programa que utiliza este modelo para simular baterias de lítio-íon é denominado Fortran Dualfoil. O programa está disponível gratuitamente na Internet [?]. Ele computa a mudança de todas as propriedades da bateria ao longo do tempo para o perfil de carga definido pelo usuário. Então, a partir dos dados de saída, é possível obter o tempo de vida da bateria. Além do perfil de carga, o usuário tem que definir (ajustar) mais de 50 parâmetros relacionados à bateria, como por exemplo, a espessura dos eletrodos, a concentração inicial de sal no eletrólito e a capacidade global de calor. Para definir todos estes parâmetros deve-se ter um conhecimento muito detalhado da bateria que

(27)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 17 está sendo modelada. Por outro lado, o programa possui um alto nível de exatidão , sendo frequentemente utilizado em comparação com outros modelos, em vez de utilizar resultados experimentais para verificar a precisão [?, ?].

2.3.2

Modelos Elétricos

Modelos elétricos [?, ?, ?, ?], também denominados de modelos de circuitos elétricos, podem incluir cargas variáveis, e são capazes de considerar a taxa de capacidade e os efeitos térmicos da bateria. Esta classe apresenta simulação de fácil entendimento, realizadas em simuladores de circuito. Eles têm sido utilizados na prática para analisar muitas tecnologias de baterias comuns. O primeiro modelo elétrico foi proposto por Hageman [?]. Ele usou circuitos simples PSpice para simular baterias de níquel-cádmio, chumbo-ácido e alcalinas.

A essência dos modelos elétricos para os diferentes tipos de baterias é a mesma: - um capacitor representa a capacidade da bateria.

- uma taxa de descarga normalizadora determina a perda de capacidade em altas correntes de descargas.

- um circuito para o consumo (descarga) da capacidade da bateria. - uma tabela de pesquisa da tensão versus estado da carga.

- um resistor representando a resistência da bateria.

Figura 2.4: Esquema básico funcional abrangendo todos os tipos de células modeladas. Este esquema básico requer pequenas alterações para concluir os modelos de cada célula específica.

(28)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 18 Na Figura 2.4 é mostrada a base dos circuitos utilizados para modelar uma célula arbitrária. Pequenas mudanças têm de ser feitas para completar o modelo para um deter-minado tipo de célula. Embora os modelos sejam muito mais simples do que os modelos eletroquímicos e computacionalmente de menor custo, ainda necessitam algum esforço para a configuração do seu circuito elétrico, especialmente para as tabelas de pesquisa que exigem muitos dados experimentais sobre o comportamento da bateria. Além disso, os modelos elétricos são menos acurados quando comparados aos eletroquímicos, apresen-tando uma taxa de erro de aproximadamente 10% [?].

2.3.3

Modelos Estocásticos

Os modelos estocásticos [?,?] descrevem a bateria em um nível mais elevado de abstração do que os modelos eletroquímicos e elétricos. A descarga e o efeito de recuperação são descritos como processos estocásticos. Existem diversos modelos, que se dividem entre os modelos de Chiasserini e Rao e o modelo KiBaM Modificado, os quais serão brevemente descritos a seguir.

O primeiro modelo de bateria estocástico foi desenvolvido por Chiasserini e Rao [?,?,?]. Eles publicaram alguns trabalhos baseados na modelagem de bateria em tempo discreto utilizando a cadeia de Markov. Em [?] são descritos dois modelos matemáticos de uma bateria de um dispositivo móvel para transmissão de pacotes de comunicação.

No primeiro modelo, a bateria é descrita por um tempo discreto da cadeia de Markov com N + 1 estados, numerados de 0 a N. O número de estados corresponde ao número de unidades de carga disponíveis na bateria e uma unidade de carga corresponde à quan-tidade de energia requerida para transmitir um único pacote, onde N é o número de unidades de carga disponíveis baseadas no uso contínuo da bateria. Neste modelo, em cada passo de tempo uma unidade de carga é consumida com probabilidade a1 = q, ou

ocorre a recuperação de uma unidade de carga com probabilidade a0 = 1 − q. A bateria

é considerada vazia quando a difusão atinge o estado 0, ou quando um número máximo de unidades de carga T foi consumido. O número T de unidades de carga é igual à capacidade teórica da bateria (T > N).

O segundo modelo descrito é uma versão estendida do primeiro. Novamente tem-se uma cadeia de Markov discreta com N + 1 estados. Contudo, neste segundo modelo, mais de uma unidade de carga podem ser consumidas em qualquer passo do tempo, com um número máximo de unidades de carga M (M ≤ N). Desta maneira, mais etapas de consumo de energia podem ser modeladas. Outro novo aspecto é que existe uma probabilidade diferente de zero de permanecer no mesmo estado. Isto significa que nenhum consumo ou recuperação ocorre durante o passo de tempo.

(29)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 19 probabilidade de recuperação é feita em um estado dependente. Quando menos unidades de carga estão disponíveis, a probabilidade para recuperar uma unidade de carga será menor. Junto ao estado dependente de recuperação, existe uma fase dependente. O número de fase (f ) é uma função do número de unidades de carga que foram consumidas. Quando mais unidades de carga foram consumidas, o número de fase aumenta e isto causa a diminuição da probabilidade para recuperar.

Com probabilidade qi, i unidades de carga são solicitadas em um passo de tempo.

Durante períodos ociosos, a bateria ou recupera unidades de carga com probabilidade pj(f ), ou fica no mesmo estado com probabilidade rj(f ). A probabilidade de recuperação

no estado j e fase f é definida como [?]:

pj(f ) = q0e(N −j)gN−gC(f),

onde gN e gC (f) dependem do comportamento de recuperação da bateria. Pode-se mo-delar diferentes correntes de descargas definindo a probabilidade de transição de forma adequada. No entanto, não se pode controlar a ordem em que as transições são tomadas. Assim, é impossível com o modelo fixar padrões de correntes de descarga e calcular o seu impacto sobre a vida útil da bateria.

A principal propriedade investigada por Chiasserini e Rao é o ganho (G), obtido por uma descarga pulsante em relação a uma descarga constante. Este ganho é definido como: G= m

N, onde m é o número médio de pacotes transmitidos. Desta maneira, G é denotado

como uma função do número médio de pacotes que chegam em um determinado período de tempo, e para diferentes N variando de 3 a 50. O ganho aumenta quando a carga é reduzida, devido à maior probabilidade de recuperação.

Em [?], a versão final do modelo é usada para modelar uma bateria de li-íon. Neste modelo, N é definido como 2 · 106 e 3 fases são utilizadas. Isto resulta em uma cadeia

de Markov com aproximadamente 6 · 106 estados. O modelo é analisado por cálculos

numéricos, e os resultados são comparados com o modelo eletroquímico desenvolvido por Doyle (cfe. Seção 2.3.1). Com ambos os modelos, o ganho obtido a partir de descargas pulsantes comparada a uma descarga constante é calculado para diferentes correntes de descarga. Os ganhos aumentam para menores taxas de descarga e densidades de corrente mais elevadas. Este último é principalmente devido ao fato de que as densidades de corrente estão próximas dos limites especificados da bateria. Quando a densidade da corrente é superior a esse limite a capacidade da bateria diminui excessivamente rápido, e, portanto, o ganho obtido pela descarga pulsante aumenta.

Os resultados apresentados pelo modelo estocástico, de Chiasserini e Rao [?], tem um desvio máximo de 4% em relação ao modelo eletroquímico, com um desvio médio de 1% [?]. Estes resultados mostram que o modelo estocástico fornece uma boa descrição qualitativa

(30)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 20 do comportamento da bateria sob descargas pulsantes. Por outro lado, não está claro o quão bom o modelo é quantitativamente, uma vez que apenas números relativos de tempos de vida são comparados. Estes modelos possuem limitações, pois apenas o efeito de recuperação é considerado.

Além destes modelos, Chiasserini e Rao [?, ?] propuseram um modelo de bateria es-tocástico baseado no modelo analítico cinético (KiBaM) proposto por Manwell e Mc-Gowan [?,?], o qual será descrito na próxima seção. O modelo estocástico cinético (KiBaM Modificado) é usado para modelar uma bateria de Ni-MH, em vez de uma bateria de chumbo-ácido para o qual o KiBaM foi originalmente desenvolvido. Então, para ser capaz de modelar este tipo diferente de bateria, algumas modificações foram feitas no modelo. Em primeiro lugar, no termo correspondente ao fluxo de carga da fonte de carga limitada para a fonte de carga disponível é adicionado um fator extra h2, mudando as equações

(2.1) e (2.2) para:

dy1

dt = −I + ksh2(h2− h1), dy2

dt = −ksh2(h2− h1).

Isto faz com que a recuperação seja mais lenta quando menos carga tiver à esquerda na bateria. A segunda modificação é que, no modelo estocástico, a possibilidade de recuperação durante períodos não ociosos é adicionada.

O comportamento da bateria é representado por um tempo discreto transiente no processo de Markov. Os estados da cadeia de Markov são marcados com três parâmetros (i, j, t). Os parâmetros i e j são os níveis da discretização da fonte de carga disponível e da fonte de carga limitada respectivamente, e t é a duração da corrente inativa (ociosa); este é o número de passos no tempo tomado desde a última vez que a corrente foi drenada na bateria. As transições são resumidas pelas seguintes equações:

(i, j, t) →        (i + Q, j − Q, t + 1) (i, j, t + 1) (i − I + J, j − J, 0)

As duas primeiras equações correspondem ao passo de tempo em que a corrente é zero. Com probabilidade pr, a bateria recupera Q unidades de carga, e com probabilidade pnr

essa recuperação não ocorre. Ambos pr e pnr dependem de uma duração de tempo ocioso

(t). A terceira equação corresponde ao passo de tempo em que uma corrente é estabelecida na bateria. Com probabilidade qi, I unidades de carga são retiradas da fonte de carga

disponível, e, ao mesmo tempo, J unidades de carga são transferidas da fonte de carga limitada para a fonte de carga disponível.

(31)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 21 As probabilidades qi são definidas pelo perfil de descarga. Uma vez que as

probabilida-des qi são iguais para todos os estados, é impossível, neste modelo, controlar a sequência

em que as correntes são estabelecidas na bateria.

No modelo de bateria de Ni-MH a carga na fonte de carga limitada e disponível é discretizada em 27.107 e 45.107 unidades de carga, respectivamente. Isto resulta em uma

cadeia de Markov muito grande para se calcular como um todo. Assim, nenhuma solução analítica para o modelo pode ser fornecida. Para obter o tempo de vida da bateria, várias execuções de descarregar a bateria são simuladas com o modelo.

Em [?], Rao et al. comparam os valores calculados do tempo de vida da bateria com alguns resultados experimentais. Em uma simples configuração experimental, diferentes cargas periódicas são aplicadas para uma bateria AAA Ni-MH, e o seu tempo de vida é calculado. No primeiro conjunto de experimentos, a intensidade da carga aplicada é variada, mantendo a proporção de ligar e desligar em um tempo constante. Nestes experimentos, o tempo de vida da bateria aumenta à medida que a intensidade da corrente diminui. Em um segundo conjunto de experimentos, a proporção do tempo entre ligar e desligar é variada, mantendo o tempo de ligar fixo de 2 segundos e aumentando o tempo de desligar de 0 para 3, 5 segundos. Como esperado, o tempo de vida e a capacidade da bateria aumentam quando o tempo de desligar aumenta, uma vez que a bateria tem mais tempo para recuperar.

Os resultados das simulações mostram que o modelo estocástico Cinético (KiBaM Modeificado) é bastante acurado para predizer o tempo de vida da bateria e a sua capaci-dade, uma vez que foi encontrado um erro máximo de 2, 65% para as simulações [?].

2.3.4

Modelos Analíticos

Vários modelos de bateria têm sido desenvolvidos, onde expressões analíticas são formu-ladas para calcular a capacidade real e o tempo de vida da bateria, utilizando valores de corrente de descarga, ambiente operacional característico e propriedades físicas da bateria como parâmetros. Os modelos analíticos descrevem a bateria de uma forma abstrata, assim como os modelos estocásticos. As principais propriedades da bateria são modeladas utilizando um conjunto menor de equações. Isto torna este tipo de modelo mais fácil de implementar do que os modelos eletroquímicos e elétricos [?, ?].

Muitos destes modelos podem incluir modelos de carga constante e de carga variável, e conseguem capturar o efeito da taxa de capacidade e o efeito de recuperação. Eles são computacionalmente eficientes e flexíveis, requerendo avaliação de simples expressões analíticas, e podem ser facilmente configurados para diferentes tipos de baterias [?, ?].

Nesta seção, serão descritos alguns modelos analíticos de descarga de bateria encon-trados na literatura, o modelo Linear, a Lei de Peukert, o modelo Cinético de Manwell e

(32)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 22 McGowan, e o modelo de difusão de Rakhmatov-Vrudhula. Dentre estes modelos, apenas dois conseguem capturar os efeitos não-lineares (i.e., efeito de recuperação e efeito da taxa de capacidade) que ocorrem durante a descarga da bateria, o modelo Cinético e o modelo de Rakhmatov-Vrudhula, equanto os outros dois (i.e., modelo Linear e Lei de Peukert), são modelos mais simples e não consideram tais efeitos.

O modelo analítico mais simples para a previsão do tempo de vida da bateria é o modelo Linear [?, ?, ?], onde a bateria é tratada como um recipiente linear de corrente, e desta maneira não considera os efeitos não-lineares que ocorrem na bateria. Outro modelo analítico considerado simples, que leva em consideração parte das suas propriedades não-lineares, é a Lei de Peukert [?,?,?]. Esta lei captura a relação não-linear entre a vida útil da bateria e a taxa de descarga, mas não considera o efeito de recuperação.

Figura 2.5: Modelo de duas fontes do modelo Cinético.

Já o modelo analítico Cinético (KiBaM) de Manwell e McGowan [?,?,?], é um modelo de bateria muito intuitivo, no qual a carga da bateria é distribuída em duas fontes: a fonte de carga disponível e a fonte de carga limitada, conforme pode ser observado na Figura 2.5. Uma fração c do total da capacidade é aplicada na fonte de carga disponível, e uma fração 1 − c na fonte de carga limitada. A fonte de carga disponível abastece elétrons diretamente para a corrente (i(t)), que será utilizada pelo dispositivo, enquanto a fonte de carga limitada abastece elétrons somente para a fonte de carga disponível. A taxa do fluxo de carga entre as duas fontes depende da diferença de altura entre elas, e do parâmetro k. A altura das fontes de carga disponível e limitada são dadas por: h1 = yc1 e

h2 = 1−cy2 , respectivamente. A variação de carga em ambas as fontes é dada pelo seguinte

sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) dy1

(33)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 23 dy2

dt = −k(h2− h1), (2.2)

com condições iniciais y1(0) = c × C e y2(0) = (1 − c) × C, onde C é a capacidade total

da bateria. A bateria é considerada vazia quando não há mais carga na fonte de carga disponível [?].

Quando uma corrente de descarga é aplicada na bateria, a quantidade de carga disponível diminui, e a diferença de altura entre as duas fontes aumenta. Quando a corrente de descarga é removida, ocorre um fluxo de carga da fonte de carga limitada para a fonte de carga disponível, até que h1 e h2 sejam iguais novamente. Assim, durante

períodos ociosos, uma maior quantidade de carga torna-se disponível e a bateria possui um tempo de vida maior do que quando a corrente é aplicada continuamente. Desta maneira o efeito de recuperação é levado em conta no modelo. Também, o efeito da taxa de capacidade é considerado, pois para uma corrente de descarga alta, a carga disponível será drenada mais rápido, e menos tempo estará disponível para a carga limitada fluir para a fonte de carga disponível. Por isso, mais carga permanecerá na fonte de carga limitada (i.e., sem ser utilizada), e assim a capacidade efetiva da bateria será reduzida.

O sistema de EDOs dado pelas equações (2.1) e (2.2) pode ser resolvido através da Transformada de Laplace, obtendo

y1 = y1,0e−k ′t +(y0k ′c− 1)(1 − e−k′t) k′ − Ic(k′t− 1 + e−k′t) k′ , y2 = y2,0e−k ′t + y0(1 − c)(1 − e−k ′t ) − I(1 − c)(k ′t− 1 + e−k′t ) k , onde k′ = k c(1 − c),

e y1,0 e y2,0 é a quantidade de carga disponível e limitada, respectivamente, em t = 0.

Para y0 tem-se: y0 = y1,0+ y2,0.

O modelo de descarga de bateria cinético KiBaM foi desenvolvido para modelar grandes baterias de chumbo-ácido. Estas baterias têm um perfil de descarga com ca-racterísticas mais lineares do que as baterias utilizadas em dispositivos móveis, como as baterias de Li-íon, que são mais sensíveis em relação aos perfis de descarga. Neste modelo, seria então necessário adaptar o termo do fluxo de carga entre as duas fontes nas equações (2.1) e (2.2) para o tipo de bateria utilizado [?, ?].

Outro modelo de bateria analítico considerado neste trabalho é o modelo de Rakhmatov-Vrudhula. Este modelo é baseado na difusão dos íons no eletrólito e foi desenvolvido por

(34)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 24 Rakhmatov-Vrudhula [?, ?, ?]. O modelo descreve a evolução da concentração das espé-cies eletroativas no eletrólito para predizer o tempo de vida de uma bateria a partir de um descarregamento. Neste modelo, os processos químicos que ocorrem em ambos os eletrodos são considerados idênticos, assim a bateria é considerada simétrica em relação aos eletrodos e apenas um eletrodo é considerado. Na Figura 2.2 da seção 2.1.2, são mostradas, de forma simplificada, as operações de uma bateria de acordo com o modelo de difusão de Rakhmatov-Vrudhula.

A difusão é considerada como sendo unidimensional em uma região de comprimento w, que é o comprimento do eletrólito. Seja C(x, t) a concentração de espécies eletroativas no tempo t ∈ [0, L] e na distância x ∈ [0, w] do eletrodo, para uma bateria completa-mente carregada, a concentração é constante através do comprimento do eletrólito, isto é, C(x, 0) = C∗, onde Crepresenta a capacidade inicial da bateria e x ∈ [0, w]. A bateria

é considerada descarregada quando C(0, t) é inferior ao nível de cutoff. A evolução da concentração é descrita pelas Leis de Fick [?,?], dadas por um sistema de EDPs, que serão detalhadas no Capítulo 3.

Assim, o modelo de Rakhmatov-Vrudhula é formado por um sistema de EDPs, com condições de fronteira de segunda espécie e possui dois parâmetros empíricos, α e β. O parâmetro α está relacionado à capacidade da bateria, enquanto o parâmetro β está rela-cionado ao comportamento não-linear. Estes parâmetros precisam ser estimados através de alguma técnica de estimação, a partir de dados experimentais da bateria. A técnica utilizada nesta dissertação é a técnica de Mínimos Quadrados e será descrita no Capítulo 4.

Em [?], Rakhmatov-Vrudhula comparam o seu modelo com o programa de simulação Dualfoil, bem como a versão estendida da Lei de Peukert, na qual é possível utilizar cargas variáveis. Os resultados de simulação do Dualfoil são usados como valores de referência, uma vez que possuem boa acurácia. Para cargas constantes e contínuas, o modelo prediz a vida útil com uma média de erro de 3%, e um erro máximo de 6% em comparação com aqueles obtidos utilizando o programa Dualfoil [?]. Por outro lado, a lei de Peukert tem apresentado um erro médio de 14% e um erro máximo de 43%. Ela tem sido utilizada de forma satisfatória para cargas baixas, mas os erros aumentam para cargas altas. Para cargas variáveis e interrompidas, a análise do modelo analítico de Rakhmatov-Vrudhula é ainda melhor, com um erro máximo de 2, 7% e um erro médio de menos de 1%. Novamente a Lei de Peukert obtém resultados piores, principalmente em decorrência de não considerar o efeito de recuperação da bateria.

No próximo capítulo, os modelos analíticos Linear, Lei de Peukert e de Rakhmatov-Vrudhula serão descritos mais detalhadamente, em virtude destes modelos serem utilizados nesta dissertação para a realização de uma análise comparativa com experimentos reais,

(35)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 25 objetivando verificar qual destes modelos é o mais adequado para a predição do tempo de vida de baterias que alimentam dispositivos móveis. Esta análise comparativa não se estende ao modelo analítico Cinético, em virtude do mesmo ter sido originalmente desenvolvido para modelar baterias de chumbo-ácido, as quais não são utilizadas em dispositivos móveis.

(36)

Capítulo 3

Modelos Analíticos Linear, Lei de

Peukert e de Rakhmatov-Vrudhula

Neste capítulo serão apresentados os modelos analíticos Linear, Lei de Peukert e de Rakhmatov-Vrudhula, utilizados neste trabalho para a predição do tempo de vida de uma bateria que alimenta um dispositivo móvel.

Assim, este capítulo está organizado como segue. Na Seção 3.1 é descrito o modelo Linear. Na Seção 3.2 é descrita a Lei de Peukert, enquanto na Seção 3.3 é descrito o modelo de Rakhmatov-Vrudhula. E por fim, na Seção 3.4 é apresentado um resultado de simulação entre os modelos analíticos Linear e de Rakhmatov-Vrudhula, a fim de explicar melhor o efeito de recuperação descrito no Capítulo 2.

3.1

Descrição do Modelo Linear

O modelo analítico Linear [?, ?, ?] foi escolhido em virtude do mesmo ser um modelo simples e de fácil implementação, e por este motivo muito utilizado e referenciado na literatura. Porém, este modelo considera a bateria como um recipiente linear de corrente, não considerando, desta maneira, os efeitos não-lineares que ocorrem durante a descarga da bateria.

Assim, os resultados encontrados ao utilizar este modelo na predição do tempo de vida da bateria, não são satisfatórios, pois, como visto no capítulo anterior, as operações físicas de descarga da bateria possuem características não-lineares e influenciam diretamente na capacidade da bateria, e consequentemente no seu tempo de vida.

O modelo Linear é descrito pela equação C = C′− I.t

d,

que permite calcular a capacidade restante C de uma bateria, onde C′ é a capacidade

(37)

Capítulo 3. Modelos Analíticos Linear, Lei de Peukert e de Rakhmatov-Vrudhula 27 no início da operação, I é a corrente constante de descarga durante a operação, e td é

o tempo de duração da corrente. A capacidade remanescente é calculada sempre que a corrente de descarga for alterada. Desta maneira, este modelo não é capaz de capturar o efeito de recuperação.

3.2

Descrição da Lei de Peukert

Outro modelo considerado simples para a previsão do tempo de vida da bateria, que leva em consideração parte das suas propriedades não-lineares, é a Lei de Peukert [?,?,?]. Esta lei captura a relação não-linear entre a vida útil da bateria e a taxa de descarga, mas não considera o efeito de recuperação. De acordo com a Lei de Peukert, o tempo de vida (L) da bateria pode ser aproximado por

L= a

Ib, (3.1)

onde I é a corrente de descarga, e a e b são parâmetros que dependem da bateria e são obtidos a partir de experimentos. Idealmente, a teria que ser igual à capacidade da bateria e b seria igual a 1. No entanto, na prática, a tem um valor próximo da capacidade da bateria, e b é um número superior a 1. Estes parâmetros precisam ser estimados através de alguma técnica de estimação, a partir de dados experimentais da bateria. A técnica utilizada nesta dissertação é a técnica de Mínimos Quadrados e será descrita no Capítulo 4.

Figura 3.1: Exemplo de um perfil de descarga seccionalmente constante.

Os resultados obtidos pela aplicação da Lei de Peukert para a previsão da vida útil da bateria são razoavelmente satisfatórios para cargas constantes e contínuas. Mas o modelo

(38)

Capítulo 3. Modelos Analíticos Linear, Lei de Peukert e de Rakhmatov-Vrudhula 28 não mostrou-se adequado para cargas variáveis ou interrompidas. Em [?], Rakhmatov-Vrudhula definem um modelo que estende a Lei de Peukert para cargas variáveis, onde I é substituída pela média da corrente até um tempo t = L. Para um perfil de descarga seccionalmente constante, com pontos no tempo tk, e mudanças na corrente Ik, conforme

apresentado na Figura 3.1, tem-se que o tempo de vida da bateria L é dado por

L= a [ Pn k=1Ik(tk−tk−1) L ] b. (3.2)

Para n = 1, a equação (3.2) reduz-se para a equação (3.1). Apesar da extensão da Lei de Peukert calcular o tempo de vida da bateria sob perfis de descarga variáveis, a sua aplicação ainda não é satisfatória, pois apenas a média da corrente é considerada, e o efeito de recuperação não é modelado.

3.3

Descrição do Modelo de Rakhmatov-Vrudhula

O modelo de Rakhmatov-Vrudhula [?,?,?] foi escolhido em virtude do mesmo conseguir capturar os efeitos não-lineares que ocorrem durante a descarga da bateria (i.e., efeito da taxa de capacidade e efeito de recuperação) e que afetam significativamente a sua capacidade e seu tempo de vida, bem como ser de fácil implementação quando comparado aos demais modelos [?], em especial aos modelos eletroquímicos.

Este modelo analítico descreve o processo de difusão do material ativo na bateria. A difusão é considerada como sendo unidimensional em uma região de comprimento w. Seja C(x,t) a concentração do material ativo no tempo t ∈ [0, L] e a uma distância x ∈ [0, w] a partir do eletrodo, para determinar o tempo de vida útil da bateria deve-se calcular o tempo em que a concentração de espécies eletroativas na superfície do eletrodo, C(0,t), permanecem acima do nível de cutoff.

O processo de difusão unidimensional do modelo é descrito pelas Leis de Fick dadas pelo sistema de EDPs apresentado a seguir

−J(x, t) = D∂C(x, t)∂x , ∂C(x, t)

∂t = D

∂2C(x, t)

∂2x , (3.3)

onde J(x, t) é o fluxo de espécies eletroativas em função do tempo t e em função de uma distância x do eletrodo, D é a constante de difusão, e C(x, t) é a função concentração de espécies eletroativas no tempo t ∈ [0, L] e na distância x ∈ [0, w]. Para uma bateria completamente carregada (i.e., t = 0), a concentração de espécies eletroativas é constante através do comprimento do eletrólito, proporcionando a seguinte condição inicial

Referências

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