e Linear
Nesta seção será apresentado um resultado de simulação, cujo objetivo é comparar a capacidade remanescente de uma bateria utilizando dois modelos analíticos: o modelo de Rakhmatov-Vrudhula, que leva em consideração o efeito de reuperação durante a descarga da bateria, e o modelo Linear, que não considera tal efeito. A partir desta comparação
Capítulo 3. Modelos Analíticos Linear, Lei de Peukert e de Rakhmatov-Vrudhula 33 é possível visualizar as consequências do efeito de recuperação na capacidade da bateria, descrito no Capítulo 2, Seção 2.1.2
Figura 3.3: Capacidade da bateria em função do perfil de descarte [?].
Visando exemplificar melhor o efeito de recuperação, na Figura 3.3 é apresentada a capacidade remanescente de uma bateria capturada por dois modelos analíticos: o modelo de Rakhmatov-Vrudhula e o modelo Linear, considerando um perfil de descarga representado pelo vetor de corrente I = h 30 2 20 i
T
em mA e pelo vetor tempo t = h
8 6 6 iT
em ms. Desta forma, a descarga é de 30, 2 e 20 mA para os intervalos de tempo de 8, 6 e 6 ms, respectivamente. Pode-se verificar o efeito de recuperação (entre o intervalo de tempo de 8 e 14 ms), capturado pelo modelo de Rakhmatov-Vrudhula, quando ocorre uma redução na corrente de 30 mA para 2 mA. Considerando o modelo Linear, para o mesmo intervalo de tempo, verifica-se apenas o consumo de energia, já que este não captura o efeito de recuperação. Percebe-se que para ocorrer o efeito de recuperação, não é necessário que o dispositivo seja desligado (i.e., carga drenada na bateria é zero), basta apenas que a corrente solicitada da bateria seja reduzida significativamente por um determinado intervalo de tempo. No caso do exemplo, apresentado na Figura 3.3, a redução na corrente ocorreu de 30 mA para 2 mA durante 6 ms.
A partir desta comparação, destaca-se a importância do efeito de recuperação na capacidade remanescente da bateria, pois ao aplicar um perfil de descarga utilizando um
Capítulo 3. Modelos Analíticos Linear, Lei de Peukert e de Rakhmatov-Vrudhula 34 modelo que não considera este efeito (i.e., modelo Linear), obteve-se uma capacidade menor em relação à capacidade obtida ao utilizar um modelo que considera tal efeito (i.e., modelo de Rakhmatov-Vrudhula). Portanto, observa-se a importância de utilizar um modelo que considere o efeito de recuperação durante a descarga da bateria, possibilitando encontrar resultados de tempos de vida com maior acurácia.
Capítulo 4
Estimação de Parâmetros do Modelo de
Rakhmatov-Vrudhula
Neste capítulo é apresentada a técnica de estimação de parâmetros de Mínimos Quadra- dos, utilizada nesta dissertação para estimar os dois parâmetros do modelo matemático de Rakhmatov-Vrudhula, α e β, como visto no capítulo anterior.
A estimação de parâmetros tem como objetivo encontrar valores de parâmetros de um modelo matemático que representa um determinado fenômeno. O ponto de partida da estimação de parâmetros consiste em utilizar um conjunto de dados que são obtidos de um processo real, ou de uma planta experimental. Tais dados geralmente são sinais externos, que podem ser manipulados por um observador, denominados entradas, e sinais observados medidos, que são denominados de saída, conforme Figura 4.1.
Figura 4.1: Representação de um sistema com entrada u(t) e saída y(t).
Existem diversos métodos de estimação de parâmetros. Em termos gerais, estes méto- dos fazem a associação entre a realidade física de um conjunto de observações e a con- cepção abstrata de um modelo. Para esta dissertação, será utilizada a técnica de Mínimos Quadrados para a estimação dos parâmetros α e β do modelo analítico de Rakhmatov- Vrudhula, e a e b da Lei de Peukert, sendo a mesma metodologia utilizada por Rakhmatov- Vrudhula em seu trabalho [?].
Capítulo 4. Estimação de Parâmetros do Modelo de Rakhmatov-Vrudhula 36 O Método dos Mínimos Quadrados [?,?] ou OLS (do inglês Ordinary Least Squares) é uma técnica de otimização matemática que tem por objetivo encontrar o melhor ajusta- mento para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferen- ças entre o valor estimado (ou curva ajustada) e os dados observados, onde tais diferenças são chamadas resíduos. Consiste em um estimador que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos, de forma a maximizar o grau de ajuste do modelo aos dados observados.
Este método foi criado pelo ilustre matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que o descreveu aos dezoito anos (1795). Gauss é considerado um dos maiores matemáticos da história. Com domínio da astronomia, interessou-se pelo estudo das ór- bitas planetárias e pela determinação da forma da Terra. O método dos Mínimos Quadra- dos foi desenvolvido para ajudar a determinar órbitas de cometas e planetas e aplica-se atualmente em várias ciências, da física à economia e à sociologia. Mais tarde, Adrien- Marie Legendre (1805) introduziu contribuições ao método em seu Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes.
4.1
Descrição da Técnica de Mínimos Quadrados
Denota-se um sistema de entrada e saída em um tempo t por u(t) e y(t) respectivamente, conforme Figura 4.1. Uma maneira de descrever as relações básicas entre a entrada e a saída é a equação a diferenças linear [?] dada por
y(t) + a1y(t − 1) + ... + any(t − n) = b1u(t − 1) + ... + bmu(t − m). (4.1)
Destaca-se que geralmente é escolhido o tempo discreto para representar o sistema, principalmente porque os dados observados são coletados por amostragem. Na equação (4.1) assume-se o intervalo de amostragem igual a uma unidade de tempo.
Uma abordagem para a equação (4.1) é observá-la como uma forma de determinar o valor da próxima saída dada a partir de observações anteriores
y(t) = −a1y(t − 1) − ... − any(t − n) + b1u(t − 1) + ... + bmu(t − m).
Para uma notação mais compacta, introduz-se os vetores θ=h a1 ... an b1 ... bm
iT ,
ϕ(t) =h −y(t − 1) ... −y(t − n) u(t − 1) ... u(t − m) iT , e obtém-se
Capítulo 4. Estimação de Parâmetros do Modelo de Rakhmatov-Vrudhula 37
y(t) = ϕT(t)θ.
Para enfatizar que o cálculo de y(t) a partir de dados anteriores de fato depende dos parâmetros em θ, deve-se denotar este valor calculado de ˆy(t|θ) e escrever
ˆ
y(t|θ) = ϕTθ. (4.2)
Agora supõe-se, para um determinado sistema, que não se conhece os valores dos parâmetros em θ, mas que se tem registradas as entradas e saídas ao longo de um intervalo de tempo 1 ≤ t ≤ N:
ZN = {u(1), y(1), ...u(N), y(N)}.
Uma abordagem é, em seguida, isolar θ na equação (4.1) através da equação (4.2) de modo a ajustar os valores calculados de ˆy(t|θ) bem como possíveis medidas de saídas através do método de mínimos quadrados
minθVN(θ, ZN), onde VN(θ, ZN) = 1 N N X t=1 (y(t) − ˆy(t|θ))2 = 1 N N X t=1 (y(t) − ϕT(t)θ)2. (4.3) O valor de θ que minimiza a equação (4.3) é denotado ˆθN
ˆ
θN = argminθVN(θ, ZN),
onde "argmin" fornece o argumento minimizado, ou seja, o valor de θ que minimiza VN.
Uma vez que VN é quadrado em θ, pode-se encontrar o valor mínimo derivando a
equação (4.3) e igualando a mesma a zero 0 = d dθVN(θ, Z N ) = −N2 N X t=1 ϕ(t)(y(t) − ϕT(t)θ) = 0, obtendo-se N X t=1 ϕ(t)y(t) = N X t=1 ϕ(t)ϕT(t)θ, ou ainda ˆ θN = [ N X t=1 ϕ(t)ϕT(t)]−1 N X t=1 ϕ(t)y(t). (4.4)
Capítulo 4. Estimação de Parâmetros do Modelo de Rakhmatov-Vrudhula 38 Na equação (4.4) é apresentada a técnica de estimação de parâmetros de Mínimos Quadrados, onde ϕ(t) é o vetor que contém os dados experimentais (entradas e saídas), y(t) contém a última saída (ou saída atual) dos dados experimentais e ˆθN é o vetor que
Capítulo 5
Comparação entre os modelos Linear e
de Rakhmatov-Vrudhula
Neste capítulo, é apresentado um estudo comparativo, a partir da realização de simu- lações, entre dois modelos analíticos de descarga de baterias: o modelo Linear e o modelo de Rakhmatov-Vrudhula, com o objetivo de demonstrar a diferença de consumo apresen- tado pela utilização do primeiro (i.e., Linear), que não considera os efeitos não-lineares no descarregamento da bateria, em relação ao segundo (i.e., Rakhmatov-Vrudhula), que considera tais efeitos. Neste contexto será utilizado um mesmo perfil de descarga, que contém as operações básicas1 realizadas por um nó sensor.