Equações de Maxwell e Ondas Eletromagnéticas

Equações de Maxwell e Ondas

Eletromagnéticas

Corrente de deslocamento

• De acordo com a lei de Ampère, temos

• Maxwell percebeu que, para uma corrente descontínua, há uma superfície onde a

corrente não atravessa.

• Maxwell generalizou a lei de Ampère para incluir esses casos.

Corrente de deslocamento

• A corrente que atravessa a superfície S2 (corrente de

condução) aumenta a carga na região

compreendida entre S1 e

S2.

• Pela lei de Gauss, o fluxo do campo elétrico que atravessa S1 é

Corrente de deslocamento

Corrente de deslocamento

Corrente de deslocamento

• Comparando a forma generalizada da lei de Ampère com a lei de Faraday, vemos que há uma simetria entre os campos elétrico e

magnético

Lei de Faraday Lei de Ampère

Corrente de deslocamento

• Na lei de Faraday não existe nenhum termo análogo ao termo proporcional à corrente

• Isto se deve ao fato de não existirem monopolos magnéticos

Lei de Faraday Lei de Ampère

Equações de Maxwell

• Podemos então escrever as equações de Maxwell como

Lei de Gauss

Lei de Gauss para o magnetismo

Lei de Faraday

Lei de Ampère •

Equações de Maxwell

• A lei de Gauss afirma que o fluxo do campo elétrico sobre qualquer superfície fechada depende da carga total contida nesta região. • Esta lei implica na dependência do campo

elétrico com a distância .

• Além disso, ela implica num campo divergente quando a carga é positiva e num campo

convergente quando a carga é negativa.

Equações de Maxwell

• A lei de Gauss para o magnetismo afirma que o fluxo magnético sobre qualquer superfície

fechada é nulo.

• Esta lei é uma consequência do fato de que não existem monopolos magnéticos.

• Dessa maneira, as linhas do campo não

divergem de, nem convergem para, nenhum ponto.

Equações de Maxwell

• A lei de Faraday afirma que o campo elétrico é produzido pela taxa de variação do fluxo

magnético

• Como o fluxo do campo é calculado através de uma superfície, a integral do lado direito da

igualdade não é nula.

• A lei de Ampère mostra que o campo magnético é produzido por uma corrente e pela taxa de

Ondas eletromagnéticas

• A partir das equações de Maxwell é possível obter uma equação de onda para os campos elétrico e magnético.

• As ondas eletromagnéticas como são chamadas são formadas por campos elétrico e magnético que oscilam no tempo e no espaço. • Os vetores são perpendiculares entre si e a direção de

propagação da onda é perpendicular aos campos.

• Os módulos de e estão em fase e obedecem a relação , onde é a velocidade da luz.

Ondas eletromagnéticas

• Espectro eletromagnético

– As ondas eletromagnéticas foram produzidas pela primeira vez em laboratório por H. Hertz em 1887. – A luz visível, por ser uma onda, possui diferentes

comprimentos de onda. A luz de cor violeta (400 nm) é a luz visível de menor comprimento de onda. A luz vermelha possui o maior comprimento de onda (700 nm).

– Ondas eletromagnéticas com comprimentos de onda fora desse intervalo não são visíveis ao olho humano e recebem outra denominações.

– Ultravioleta, raios X e raios gama possuem

comprimentos de onda menores que a da luz visível. – Infravermelho, microondas e rádio possuem

Ondas eletromagnéticas

• Espectro eletromagnético

– A interação das ondas eletromagnéticas com a matéria depende do seu comprimento de onda.

– Como o comprimento de onda da luz visível é muito menor do que os obstáculos encontrados, podemos utilizar a

aproximação de raios para descrever sua propagação.

– Os raios X têm comprimentos de onda menores. Assim, conseguem penetrar com mais facilidade em muitos

materiais.

– Já as microondas têm comprimentos de onda maiores e portanto são mais absorvidas por moléculas.

Ondas eletromagnéticas

• Produção de ondas eletromagnéticas

– Existem dois mecanismos para a produção de ondas eletromagnéticas: cargas livres aceleradas ou transições eletrônicas em átomos e moléculas.

– As ondas de rádio são produzidas quando correntes elétricas oscilam em antenas transmissoras. A frequência da onda é determinada pela frequência de oscilação das correntes (88 a 108 MHz para FM e 550 a 1600 kHz para AM).

– Os raios X são produzidos quando elétrons são desacelerados ao se chocarem com um alvo. A radiação produzida é chamada de bremsstrahlung, que significa radiação de frenagem.

Ondas eletromagnéticas

• Produção de ondas eletromagnéticas

– Quando elétrons são acelerados em uma trajetória circular produzem diferentes tipos de radiação: raios X e UV.

– A radiação térmica (radiação de corpo negro) é produzida pela agitação térmica de átomos e moléculas nos corpos. – A luz visível é produzida principalmente pelas transições

Ondas eletromagnéticas

– Produzida por uma antena de rádio constituída de duas barras condutoras alimentadas por uma fonte de tensão alternada.

– Quando as barras estão carregadas existe um campo elétrico e um campo magnético que se afastam das barras com velocidade da luz.

– Após ¼ do período da corrente, as barras estão descarregadas e os campos entre elas são nulos.

– Na metade do ciclo as barras estão novamente carregadas porém com a polaridade invertida.

– A grandes distâncias da antena os campos são muito diferentes dos campos nas proximidades.

Ondas eletromagnéticas

– As ondas de rádio podem ser detectadas por antenas dipolares orientadas paralelamente ao campo elétrico.

– Antenas circulares também são utilizadas para detectar ondas de rádio. Nesse caso, elas devem ser orientadas perpendicularmente ao campo magnético.

– As ondas eletromagnéticas produzidas por antenas dipolares são chamadas de radiação de dipolo elétricas.

– A intensidade desta radiação é nula ao longo do eixo da antena e máxima na direção perpendicular.

– Assim, podemos dizer que a intensidade da radiação é proporcional a , onde é o ângulo que tem como referência o eixo da antena.

Ondas eletromagnéticas

• Energia e momento de uma onda eletromagnética

– Vimos que as densidades de energia no campo elétrico e campo magnético são dadas por

e

– Como , podemos escrever as densidades de energia em termos do campo elétrico ou magnético.

Fazendo na densidade de energia magnética, temos – Onde . Portanto, a densidade de energia total é dada

por

Ondas eletromagnéticas

• Energia e momento de uma onda eletromagnética

– Como os campos elétrico e magnético variam no tempo,

calculamos a densidade média de energia, substituindo os campos instantâneos por seus valores rms. Assim,

– A intensidade de uma onda é definida como a energia por unidade de tempo e área armazenada na onda. Assim, a intensidade da onda eletromagnética pode ser escrita como – Onde é o valor médio do módulo do vetor

– Chamado de vetor de Poynting

Ondas eletromagnéticas

• Energia e momento de uma onda eletromagnética

– Uma onda eletromagnética possui momento. – Quando uma onda eletromagnética atinge uma

partícula carregada exerce sobre ela uma força no sentido do campo elétrico.

– A partícula adquire aceleração e sua velocidade varia de acordo com a relação

Ondas eletromagnéticas

• Energia e momento de uma onda eletromagnética

– A energia cinética adquirida pela partícula vale

– Durante o movimento da carga a força magnética exercida pelo campo magnético vale

Ondas eletromagnéticas

• Energia e momento de uma onda eletromagnética

– A direção da força magnética é igual a direção de propagação da onda eletromagnética.

– Podemos então considerar que a onda

eletromagnética transfere momento para a partícula,

Ondas eletromagnéticas

• Energia e momento de uma onda eletromagnética

– Usando a relação , temos

– A quantidade entre parênteses é igual a energia cinética da partícula que foi transferida pela onda. Assim, o momento que a partícula adquire é dado pela razão entre a energia da onda e a velocidade da luz

Ondas eletromagnéticas

• Energia e momento de uma onda eletromagnética

– Como a intensidade é a energia por tempo e por unidade de área, temos que , assim

Ondas eletromagnéticas

• Energia e momento de uma onda eletromagnética

– Podemos também escrever a pressão de radiação em termos dos campos

Equação de onda das ondas

eletromagnéticas

• Vamos demonstrar que os campos elétrico e magnético obedecem a equações de onda

– A partir da lei de Faraday

– Podemos calcular ambos os lados da igualdade separadamente.

– Vamos supor que uma onda eletromagnética se propague na direção e que os campos elétrico e magnético estejam nas direções e ,

respectivamente.

Equação de onda das ondas

eletromagnéticas

• Vamos demonstrar que os campos elétrico e magnético obedecem a equações de onda

– Calculamos a integral de linha do campo elétrico ao longo de um retângulo no plano

– Como é muito pequeno, a diferença entre os campos nas posições e é dada por

– Assim

Equação de onda das ondas

eletromagnéticas

• Por sua vez, o lado direito da lei de Faraday nos dá

• Esse é o fluxo do campo magnético através da superfície retangular .

• Assim, igualando os dois resultados na lei de Faraday, temos

• Ou seja,

Equação de onda das ondas

eletromagnéticas

• Assim, notamos que a variação espacial do

campo elétrico produz uma variação temporal do campo magnético e vice-versa.

• A partir da lei de Ampère podemos encontrar outra relação semelhante a essa,

• Na situação em que não existem correntes reais, temos

Equação de onda das ondas

eletromagnéticas

• Desenvolvendo ambos os lados da igualdade, encontraremos

• Dessa vez, notamos que uma variação espacial do campo magnético produz uma variação temporal do campo

elétrico e vice-versa.

• Podemos combinar esses dois resultados diferenciando a derivada espacial do campo elétrico,

• Podemos inverter a ordem das derivadas no lado direito da igualdade

Equação de onda das ondas

eletromagnéticas

• Por sua vez, vimos que a derivada espacial do campo

magnético gera uma variação temporal do campo elétrico, assim

• Portanto,

• Assim, notamos que o campo elétrico obedece a uma equação de onda cuja velocidade é

• É possível demonstrar que podemos obter uma equação de onda semelhante para o campo magnético ou para

qualquer componente dos campos elétrico e magnético.

Equação de onda das ondas

eletromagnéticas

• Então se considerarmos uma função de onda para o campo elétrico , temos

• Integrando no tempo, temos • Onde

• Com

• Como ambos os campos oscilam em fase, temos que