IESGO – INSTITUTO DE ENSINO SUPERIOR DE GOIÁS
PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
O APRENDIZADO DA GEOMETRIA
CONTEXTUALIZADA NO ENSINO MÉDIO
JOAQUIM BORGES DE S. FILHO
KLEISY LAIANA VIEIRA DE BRITO
Formosa-GO
Dezembro de 2006
O APRENDIZADO DA GEOMETRIA
CONTEXTUALIZADA NO ENSINO MÉDIO
JOAQUIM BORGES DE S. FILHO KLEISY LAIANA VIEIRA DE BRITO
Monografia apresentada ao Programa de
Pós-Graduação “Latu Sensu” em Educação Matemática
das Faculdades Integradas IESGO, como requisito
para obtenção do título de Especialista em Educação
Matemática.
Orientador: Professor Dr. Anselmo Fortunato Ruiz
Rodriguez.
Formosa-GO
Dezembro de 2006
À nossa família pelo apoio e incentivo em
todas as horas.
Ao Professor Dr. Anselmo Fortunato Ruiz Rodriguez.
Incentivador guia e mestre sempre atento e aplicado na nossa formação profissional. Pelo estímulo e importantes sugestões.
À Faculdade pelo ajuda na realização deste trabalho.
O que sabemos é uma gota. O que ignoramos é um oceano. Isaac Newton
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS... vi
LISTA DE TABELAS... vii
RESUMO... viii
ABSTRACT... ix
INTRODUÇÃO... 10
CAPÍTULO 1... 20
1.1 História da Geometria... 20
1.1.1 Uma medida para a vida... 20
1.1.2 O corpo como unidade... 21
1.1.3 Ângulos e Figuras... 21
1.1.4 Para medir superfícies... 22
1.1.5 Novas figuras... 25
1.2 A Geometria Contextualizada... 26
1.3 A Importância da Geometria... 27
1.3.1 O Estudo das Formas – Geometria e Natureza... 30
1.3.2 A Dominação da Forma... 31
1.3.3 A Prática Pedagógica... 33
1.4 A Qualidade do Sistema Educacional... 38
1.4.1 O Estudo da Geometria... 39 CAPÍTULO 2... 42 2.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA...42 2.1.1 Importância da Geometria... 47 13
2.1.2 Questões da Prática Pedagógica... 48
2.1.3 A Programação Neurolinguística... 51
2.1.4 Geometria Experimental – John Dewey... 54
2.1.5 Significado e Sentido – Vygotsky... 55
2.1.6 Emoção e Inteligência – Henri Wallon... 60
2.1.7 Conclusão... 63 CAPÍTULO 3... 65 3.1 APLICAÇÕES... 65 CONSIDERAÇÕES FINAIS... 67 BIBLIOGRAFIA... 72 ANEXOS... 74
Anexo 1 – Significado dos 17 Termos Relacionados com Geometria ... 74
Anexo 2 – Lista de Alguns Softwares Considerados Interessantes para o Ensino e Aprendizagem de Geometria ... ... 78
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Terreno Plano... 23
Figura 1.2 – Distância de dois observadores até o barco... 26
Figura 1.3 – a) Flor b)Poliedro convexo... 31
Figura 1.4 – Formas geométricas bi e tridimensionais... 32
Figura 2.1 – Planta de um apartamento... 50
Figura 2.2 – Circunferência... 56 Figura 2.3 – Círculo... 56 Figura 2.4 – Quadrado... 57 Figura 2.5 – Cubo... 57 Figura 2.6 – Triângulo... 59 Figura 2.7 – Triângulo... 59 LISTA DE TABELAS 13
Tabela 1 – Ligação dos aspectos cognitivos e afetivos com a razão e a emoção... 61
RESUMO
Neste trabalho procura-se investigar as dificuldades apresentadas pelos alunos do Ensino Médio com respeito à aprendizagem de Geometria. Como a Geometria faz parte da Matemática, procurou-se inicialmente descobrir as concepções que os alunos adolescentes formaram em relação a esta última, durante seu percurso escolar e os fatores principais que permearam este processo. Em conseqüência, tem-se uma visão de como metodologias aplicadas na construção do conhecimento, interferem no desenvolvimento dos conteúdos da Matemática e de modo especial da Geometria.
Palavras-chave: Geometria, Aprendizagem, Metodologias.
ABSTRACT
In this work, we have investigated the difficulties shown by high school students towards the Geometry learning. As Geometry is part of Mathematics, we tried, initially, to find out the conceptions that adolescent students have about the latter, during their path through school and the main factors that have built up this process. As a consequence, we are able to view how methodologies applied to the construction of knowledge, interfere in the developing of the Mathematics contents and in a special way, Geometry.
Key words: Geometry, Learning, Methodology.
INTRODUÇÃO
Atualmente existe uma facilidade aparente de se tratar do universo matemático, as situações cotidianas da sala de aula já não causam tanta surpresa, uma vez que está mais fácil interagir a realidade e o conteúdo a ser ministrado.
A Matemática reveste-se de significado quando utiliza conceitos aplicáveis na vida diária e ainda como suporte para as várias ciências: mesmo a alfabetização não se efetua sem o domínio de conceitos matemáticos elementares.
As profundas mudanças sociais e tecnológicas como as que deram origem a uma grande variedade de funções no mercado de trabalho, colocam a necessidade de repensarmos as atitudes e estratégias ao aprendizado da Matemática.
Dessa forma é urgente recorrer a um ensino de Matemática, onde teoria e prática, conteúdo e forma integram-se para desenvolver o raciocínio lógico, a criatividade e o espírito critico, a partir do resgate da questão cultural, já que a Matemática é um bem cultural, constituído a partir das relações do homem com a natureza: ela é dinâmica e viva, fazendo parte da cultura dos povos. (Silva, 1992, pág. 11)
O professor é convidado a inteirar-se quanto às inovações no ensino da Educação Matemática, colaborando assim para uma nova visão dos seus alunos perante esta disciplina.
O processo de formação do docente da matemática deve ser cada vez mais contínuo e contextualizado com a realidade de seus alunos.
A matemática contextualizada vem ao encontro de uma melhor aprendizagem e principalmente compreensão dos conteúdos estudados, ressaltando a necessidade docente em capacitar-se e profissionalizar-se no campo no qual ele atua.
A sociedade necessita de indivíduos que sejam capazes de dominar as tecnologias inovadoras e produzir outras, que estejam sempre preparados para as contínuas mudanças, tendo como meta uma sociedade mais igualitária e o bem-estar de seus membros.
compreender a cidadania como participação social e política, assim como o exercício de direitos e deveres políticos, civis e sociais, adotando, no dia a dia, atitudes de solidariedade, cooperação e repúdio as injustiças, respeitando o outro e exigindo para si mesmo respeito. (P2 Matemática, 1999, pag 21).
Assim como em uma expressão algébrica, onde os valores combinam-se entre si por meio de operações matemáticas para se chegar a um total, uma série de variáveis influi no ensino da Matemática em sala de aula. Os maiores desafios, no entanto são: o embasamento teórico, o interesse, a compreensão da linguagem formal e as metodologias aplicadas. Alia-se a isso o binômio indissociável em didática: “o que ensinar?“ e “para que ensinar?”.
Portanto, a contextualização deve ir ao encontro das dificuldades dos educandos, sanando seus problemas utilizando estratégias que conheceu ou desenvolvendo outras.
Cientes dessas dificuldades, educadores não medem esforços no sentido de explorar a interdisciplinaridade e a possibilidade de contextualização própria da Matemática.
Revela-se uma Matemática de raciocínio encadeada, estruturas abstratas e resultados incontestáveis, provocando atitudes de admiração em algumas pessoas, mas assustando e afastando tantas outras.
A criatividade se faz indispensável na atuação docente, deve-se valorizar novas estratégias diversificadas que vão de encontro às metodologias conservadoras auxiliando assim a compreensão do aluno.
Para Galileu Galilei, a Matemática era o alfabeto pelo qual Deus escreveu o universo mas, para muita gente, ela continua sendo um grande problema, no que diz respeito ao seu aprendizado (essa incapacidade de lidar confortavelmente com as noções fundamentais de número relacionadas ao estudo das formas e do espaço, de suas medidas e de suas propriedades).
As necessidades cotidianas fazem com que os seres humanos desenvolvam uma inteligência essencialmente prática, que permita reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões, e portanto, desenvolver uma ampla capacidade para lidar com situações do dia-a-dia.
Hoje se vive num mundo matematizado, sendo assim, é necessário que as pessoas façam a sua experiência matemática e consigam incorporar este instrumento na vivência cotidiana, percebendo a Matemática como uma linguagem de comunicação de idéias que permite modelar a realidade e interpretá-la. O grande problema é que, como inúmeros indicadores apontam, as pessoas (os aprendizes) não estão conseguindo fazer uma experiência minimamente satisfatória. Assim, as atenções se voltam para a solução desta problemática. Mas, se por um lado à problemática e as intenções são claras, uma questão muito delicada são os caminhos a seguir para conduzir de forma equilibrada esse processo, que apresenta aspectos conflitivos entre muitos elementos contrastantes, como: o concreto e o abstrato, o particular e o geral, o formal e o informal, o útil e o inútil, o prazer e o medo, o teórico e o prático, a mudança e a resistência, etc.
O homem não está só, está ligado a todos os homens e deve livremente projetar-se para os outros, interagindo e construindo projetar-seu conhecimento tornando a matemática apreciável pelo aluno que passa a relacioná-la com as situações práticas da vida.
Na Geometria, é possível conceber tarefas adequadas a diferentes níveis de desenvolvimento e que requerem um número reduzido de pré-requisitos. No entanto, a sua exploração pode contribuir para uma compreensão de fatos e relações geométricas que vão muito além das simples memorizações e utilização de técnicas para resolver exercícios tipo. Todos sentimos, no nosso dia-a-dia, que há mudanças profundas em toda a sociedade: nas relações trabalhistas, sociais, éticas, religiosas e, como conseqüência, na relação Escola-Sociedade. Para que esta transformação aconteça de uma maneira humana, justa e democrática, precisamos formar cidadãos conscientes, críticos e inovadores e não apenas de mão-de-obra qualificada.
O saber pensar matemático se tornará possível quando a matemática for trabalhada de forma criativa, crítica e contextualizada. O quê e o como fazer precisam ser repensados tendo-se em vista para que e o quando fazer Educação Matemática.
O fato do conhecimento ter passado a ser recurso fundamental na sociedade pós-industrial cria novas dinâmicas sociais, econômicas, políticas e traz também novos desafios educacionais.
No campo específico da psicologia da educação, há regiões ainda inexploradas; há, sobretudo, questões exigindo pesquisas, questões que anseiam por soluções, normalmente ligadas à qualidade do ensino. Este é um motivo freqüentemente citado para justificar o mau desempenho dos alunos em Matemática.
Apesar das metodologias existentes, o desinteresse e o baixo rendimento dos alunos em relação ao estudo da Matemática continuam e constituem uma preocupação latente.
Tradicionalmente a Matemática situa-se entre as disciplinas que mais reprovam ou provocam evasão escolar, o que costuma acontecer nos três níveis de ensino.
A matemática carrega o estigma de ser considerada uma disciplina chata, difícil e abstrata.
Muitas pessoas têm orgulho em manifestar ignorância em matemática. Poucos adultos admitem que foram fracos estudantes de história, mas muitos pais de alunos enunciam o fato de que nunca entenderam matemática..(Johnson e Rising, 1972, pag 31).
Devemos também como educadores tentar desvincular a matemática do estigma de bicho de sete cabeças, pois esse problema é que leva a matemática a ser uma das matérias mais problemáticas do histórico escolar.
Portanto, o objetivo geral será de: Verificar os motivos das dificuldades em Geometria e testar uma metodologia de trabalho com características diferenciadas para tornar o aprendizado significativo e Analisar se a contextualização dos conteúdos pode contribuir para a aprendizagem da geometria.
O presente trabalho de pesquisa tem seu fundamento nos seguintes objetivos específicos:
a) Investigarmos e analisarmos as causas que refletem desinteresse e desmotivação em Geometria. A lacuna criada pela dificuldade de abstração do aprendiz das Matemáticas, nas séries iniciais, permanece no Ensino Médio.
b) Propormos metodologias diferenciadas para o ensino de Geometria no Ensino Médio e, como conseqüência, o desenvolvimento de recursos didáticos.
c) Verificarmos se o conteúdo aplicado está sendo trabalhado de acordo com o cotidiano e a realidade do aluno.
d) Identificarmos o uso de recursos didáticos incluindo-se alguns materiais específicos no processo ensino-aprendizagem da geometria de forma contextualizada.
A Geometria, surgida na Antigüidade por necessidades da vida cotidiana, converteu-se em um imenso sistema de variadas e extensas disciplinas. Como as demais ciências, reflete as leis sociais e serve de poderoso instrumento para o conhecimento do mundo e domínio da natureza.
Assim, na forma de intervenção, o modelo intercultural implica uma dialética em constante contradição, assegurando a diferença sem a sustentar. Desse modo, o interculturalismo implica reconhecer as diferenças e, também, fazer com que seja origem de inovações e situações de enriquecimento recíproco pela troca. (Vieira, 1995. pag 14)
Aprender uma disciplina é encontrar seu sentido. É chegar a entender quais as questões que ela propõe a respeito do mundo; os seus métodos e como esta disciplina ajuda o ser humano a compreender-se mais e a compreender melhor o meio em que vive. Develay, 1996
Logo, considerando-se os objetivos deste trabalho, ressaltam-se as seguintes premissas:
Os processos de construção de significados, vinculados a uma Geometria elementar, e colocados nas séries iniciais, foram internalizados e se servem de âncora para a aquisição de novos significados, o que pode acarretar um melhor ou pior desempenho por parte do aluno aprendiz. Esses processos são complexos e demorados, o que coloca a necessidade de um trabalho didático organizado.
O aprendiz adolescente não apresenta, em Matemática, uma metodologia de estudo compatível e voltada para uma aprendizagem contínua, salvo raras exceções. Não se ensina o aluno a estudar, nem aumentar seu grau de concentração.
O ensino elementar da Matemática é deficiente. A falta da compreensão da linguagem formal indica um nível de instrução que fica além do desejado.
O espaço para se fazer e estudar Matemática contribui de forma significativa para o seu aprendizado. Como espaço entende-se o lugar onde se ministram as aulas, os recursos didáticos utilizados e o número de alunos em classe.
É importante lembrar que a matemática deverá ser vista pelo aluno como um conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua sensibilidade estética e de sua imaginação.
Isso só vem para confirmar que, quando o estudante é desafiado a refletir e discutir com o grupo o seu conhecimento, o seu desenvolvimento é muito mais satisfatório.
O interesse está diretamente relacionado a fatores psicológicos oriundos das séries iniciais do ensino Fundamental, o que vai, em longo prazo, contribuir para a indisciplina no Ensino Médio. Se o aluno está “sintonizado”, então aprende depressa e o assunto é fascinante.
As necessidades cotidianas fazem com que os seres humanos desenvolvam uma inteligência essencialmente prática, que permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões, e, portanto, desenvolver uma ampla capacidade para lidar com situações do dia-a-dia. Daí ser interessante citar algumas formas de trabalhar problemas do cotidiano escolar, observando os aspectos relevantes que têm causado dificuldades nos alunos no ensino-aprendizagem de matemática.
No amplo universo de conceitos, fatos e procedimentos sobre figuras tridimensionais e bidimensionais, composição e decomposição, semelhança e congruência, perímetros, áreas e volumes, o caráter dedutivo da geometria fica muitas vezes pouco explicitado até mesmo nos cursos de licenciatura. Tendo origem no Egito e na antiga
Babilônia, com destaque para regras empíricas, mas viáveis, foi apenas com os gregos que tais fatos e regras passaram a ser deduzidos de apenas alguns deles. Euclides, por exemplo, escolheu um conjunto axiomas e dele derivou o influente corpo de teoremas conhecido como geometria euclidiana. A idéia desse percurso de construção dos conhecimentos geométricos estará presente no desenvolvimento desta disciplina, que tem como finalidade ampliar os conhecimentos dos professores mestrandos relativamente à Geometria, focalizando o estudo das transformações geométricas e o estudo de argumentação e prova de fatos geométricos da geometria euclidiana, em especial daqueles que fundamentam os assuntos geralmente apresentados aos alunos do ensino médio.
O aluno tem na mente que o aprender é para passar de ano ou saber, para upgrade pessoal, o que não gera motivação. O começo da aprendizagem deve ser a conscientização no aluno adolescente da crescente complexidade da rede de informações disponíveis para o ser humano e da necessidade de utilizar determinados conhecimentos para a sua vida profissional.
A forma de apresentação de uma resolução de problema não pode ser apresentada de maneira isolada e sim no conjunto de idéias que possam enriquecer e transformar essas idéias numa forma que ajude o aluno a desenvolver o seu raciocínio lógico. Para tanto, devemos despertar o aluno, para que leia textos que tenham desafios, atividades de pesquisas, etc. É importante também que os alunos compreendam cálculos simples, domine os algoritmos, utilizando ferramentas que proporcionem a criatividade utilizando técnicas variadas de cálculos e estimativa, adequando os cálculos aos diferentes contextos matemáticos.
“Na educação, estamos vendo um crescente reconhecimento da importância das relações interculturais. Mas lamentavelmente, ainda há relutância no reconhecimento das relações interculturais”. (D’Ambrosio, 2001, pág. 39)
Os professores sabem que muitos alunos do Ensino Médio quase não têm projeto e que é difícil propor-lhes um. A nostalgia das classes homogêneas e prontas para trabalhar não desapareceu. Porém é preciso trabalhar com a realidade da escolarização em massa. Qualidade e quantidade são pratos opostos na balança da educação, quando se pretende suscitar nos alunos o desejo de saber e a decisão de aprender.
“Os cansativos exercícios com algoritmos devem dar lugar às explorações matemáticas e resolução de problemas”. Com atividades apropriadas, pode-se desenvolver a capacidade e a confiança dos alunos em seus conhecimentos matemáticos.
A abstração geométrica revela-se no tratamento de relações quantitativas e de formas espaciais, destacando-as das demais propriedades dos objetos. A Geometria se move quase exclusivamente no campo dos conceitos abstratos e de suas inter-relações. Para demonstrar suas afirmações, o matemático emprega apenas raciocínios e cálculos.
O uso de práticas que favoreçam o aprendizado passam pela motivação – um aluno motivado memoriza mais os conteúdos – e a motivação por sua vez está ligada à emoção. A emoção produz alterações hormonais e o disparo de estruturas biológicas, que aumenta os processos neurológicos da memória, reforçando o acontecimento central. Sem chegar aos efeitos de uma motivação intensa que alcança a emoção, o aumento do nível de atividade pela motivação, isto é, o esforço, será observado igualmente no nível de persistência do comportamento.
Os problemas de matemática devem envolver muito mais aspectos do que a simples aplicação de operação. A educação, como sabe, deve estar voltada para o desenvolvimento integral do ser humano, tornando-o apto a analisar e criticar o grande volume de informações que recebe, para que possa selecionar aqueles que serão úteis em sua vida diária.
A Geometria é componente importante na construção da cidadania, na medida em que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos científicos e recursos tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar.
O encontro de novas atitudes, mais informativas do que avaliativas, tanto para os alunos como para os professores, a fim de que os resultados negativos sejam utilizados como informações para melhorar a aprendizagem e não como sanção e ataque à competência percebida.
Sem dúvida, o sucesso de um trabalho baseado na resolução de problemas depende do professor. Cabe a ele preparar os alunos para atividades, estar alerta para situações novas que possam surgir no dia-a-dia da escola, conhecer os interesses dos educandos, saber diagnosticar o nível de conhecimentos e as habilidades de seus alunos, visando estimular o desenvolvimento da capacidade do raciocínio lógico, através de situações-problema que instiguem a curiosidade, enfim que levem os alunos a pensar e cheguem às suas próprias respostas, num processo de elaboração do conhecimento matemático.
No ensino da Geometria, destacam-se dois aspectos básicos: um consiste em relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas, figuras); outro consiste em relacionar essas representações com princípios e conceitos geométricos. Nesse processo, a comunicação tem grande importância e deve ser estimulada, levando-se o aluno a "falar" e a "escrever" sobre Geometria, a trabalhar com representações gráficas, desenhos, construções, a aprender como organizar e tratar dados. O significado da Matemática para o aluno resulta das conexões que ele estabelece entre ela e as demais disciplinas, entre ela e seu cotidiano e das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos.
CAPÍTULO 1
1.1 História da Geometria
Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação
dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da Geometria. E realizavam operações mentais que depois seriam concretizadas nas figuras geométricas.
1.1.1 Uma medida para a vida
As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates. E o resumo feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de Euclides, obra que data do século V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por importação do Egito.
Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia em mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições admitidos sem demonstração (postulados ou axiomas) para construir de maneira lógica tudo o mais. Assim, três conceitos fundamentais como o ponto, a reta e o círculo e cinco postulados a eles referentes servem de
base para toda a Geometria euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.
1.1.2 O corpo como unidade
As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos os primeiros templos, seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.
1.1.3 Ângulos e figuras
Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos. Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.
O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio
de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 32+42=52, isto é, 9+16=25.
Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros.
1.1.4 Para medir superfícies
Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.
Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo e dividi-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado.
Quando deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido como
triangulação: começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulos
visíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Esse método - em uso até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos curvos.
Terreno Plano
Figura 1.1
De fato, muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio. E construções há que requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Por circunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma superfície. Já os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da Figura 1.1. O comprimento dessa corda conhecido hoje como raio tinha algo a ver com o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência para ver quantas vezes cabia nela, puderam comprovar
que cabia um pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era o mesmo. Assim tiraram algumas conclusões:
a) O comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio;
b) Para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28.
E a área do círculo? A história da Geometria explica-a de modo simples e interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura.
Conta à tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou em determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia na área do círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14. Verificar o cálculo da área do círculo.
O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo π ("pi") representa esse número irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. Seu nome só tem
uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra peripheria, significando circunferência.
1.1.5 Novas figuras
Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras coligiu todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.
Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa "muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos. O que não é de estranhar, desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção.
No primeiro caso, para calcular, por exemplo, à distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um
ângulo de 45º. Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque os dois ângulos agudos mediam 45º cada um, e, portanto os catetos eram iguais. Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa.
Distância de dois observadores até o barco
Figura 1.2
O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo formado pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é isóscele. Basta medir a sombra para conhecer a altura.
1.2 A Geometria Contextualizada
A Geometria pode ter um papel decisivo no ensino e na aprendizagem da Matemática, pois permite resolver problemas do cotidiano e interfere fortemente na
estruturação do pensamento, levando à construção do conhecimento. As pesquisas revelam que a maior dificuldade encontrada pelos alunos está em relacionar a aplicação de conceitos à resolução de problemas. Diante deste fato, há uma urgência em reverter à situação, cabendo ao professor dar o primeiro passo.
Esse trabalho consiste em orientar o professor para mudar sua prática pedagógica, utilizando como método o estudo contextualizado da geometria. Para isso o professor deve estar ciente que o aluno não é uma máquina de pensar, arquivar na memória e, mecanicamente, seguir passos. Mas, pode e deve desenvolver seu próprio raciocínio naturalmente e adquirir habilidades para pensar com independência. Para isso, é necessário que o professor traga para a sala de aula os fatos que ocorrem fora da escola, ou seja, fatos que rodeiam a vida do aluno. A geometria deverá estar contextualizada nestes fatos.
O aluno deverá ver a escola como um lugar para solucionar problemas de sua vida diária. Assim, o ensino da geometria deverá ser interativo e o aluno não poderá ficar passivo, uma vez que o aluno constrói conhecimentos a partir do mundo interior e assim, a geometria assume papel de verdadeiro estabelecedor de estratégias pedagógicas. Por isso é contra-senso impor ao aluno atividades de fora para dentro. Compete ao professor propiciar situações de aprendizagem através de experimentos, situações rotineiras para que o aluno sinta que a aprendizagem requer esforço pessoal que vem somente do seu interior.
Porém há problemas a serem enfrentados: falta de informação e habilidade por parte dos professores, formação precária dos professores, falta de profissional qualificado e até mesmo falta de condições de trabalho adequado. Este trabalho implica, imediatamente, um aumento da motivação dos educadores que, assim, terão condições para educar os jovens
dando-lhes segurança não só para enfrentar o futuro como para construí-lo de forma responsável e com determinação.
1.3 A Importância da Geometria
O problema é um tanto quanto complexo, não somente por parte do aluno, mas com um conjunto inteiro, o qual representa o próprio universo que é a escola.
Com a matemática contextualizada, o aluno procura resolver o problema utilizando estratégias que conheceu ou desenvolvendo outras, pelas transferências que faz entre o conteúdo conhecido e o novo que lhe é apresentado. Através das transferências, retificações e rupturas, o aluno refaz o processo histórico de construção do conhecimento.
Considera-se que não haja dúvidas quanto à importância da Geometria em seu papel básico, não só na Matemática, mas também em diversas áreas tais como: Engenharia, Arquitetura, Física, Astronomia, etc. Além disso, mesmo no ensino dos números são empregados modelos geométricos que devem ser dominados. Por outro lado, esquemas que poderiam auxiliar a visualização de certas propriedades e facilitar a resolução de certos problemas deixam de ser empregados por inaptidão em trabalhar dentro do quadro geométrico.
A aula de geometria hoje é dada na maioria das vezes de uma maneira mecânica e isto é um dos fatores do aluno não ter interesse pelo conhecimento, não ter o prazer em aprender a geometria. Ele não encontra um significado para a compreensão do conteúdo, pois, as aulas são muito repetitivas, entre outros motivos, isto é uma conseqüência da má formação do professor, ou seja, ele não tem preparação para passar a matéria para o aluno.
Como prevê o inciso II do Art. 67, da Lei de Diretrizes de Bases - LDB 9394/96 “aperfeiçoamento profissional continuado, inclusive com licenciamento periódico remunerado
para esse fim”, a formação continuada de professores é uma premissa, pois permite que o mesmo mantenha-se atualizado e de fato inserido nas inovações que envolvem o processo educativo, aperfeiçoando-se o docente se torna mais capaz na condução da construção do conhecimento discente.
A linguagem geométrica está de tal modo inserida no cotidiano que a consciência desse fato não é explicitamente percebida. É dever da escola explicitar tal fato a fim de mostrar que a Geometria faz parte da vida, pois vivemos num mundo de formas e imagens.
Os conteúdos são trabalhados de forma distante e isto parece que contribui para o distanciamento do aluno. Quanto à organização dos conteúdos, é possível observar uma forma excessivamente hierarquizada de fazê-lo. É uma organização, dominada pela idéia de pré-requisito, cujo único critério é a definição da estrutura lógica da Geometria, que desconsidera em parte as possibilidades de aprendizagem dos alunos. Nessa visão, a aprendizagem ocorre como se os conteúdos se articulassem como elos de uma corrente, encarado cada um como pré-requisito para o que vai sucedê-lo.
A modalidade da construção do educando está no perfil do educador, ou seja, do professor. Mobilizar cabeças ou “mentes” diferentes significa está atento a não destruir as “idéias” dos mesmos, pois, cada indivíduo tem os seus próprios preceitos e saberes totalmente diferentes uns dos outros.
A Geometria existe por toda parte.
Partindo do manuseio do material concreto o aluno tem a possibilidade de constatar aspectos inerentes a ele, exercitando então sua criatividade e raciocínio compreendendo melhor ou de forma mais clara a teoria que margeia o conteúdo aplicado.
Este exemplo acima citado é uma forma para que a aula seja produtiva, são aulas que juntamente com materiais, podem se transformar em um ótimo momento de aprendizado.
Estar situado com os problemas relacionados à ética, a sociedade de consumo, princípios de cidadania permitem ao docente uma concepção social que o mesmo poderá contextualizar no universo da sala de aula.
Para descrever o mundo, é necessário medir espaços e formas e encontrar regras que os expliquem. O trabalho com o espaço e a forma está intimamente relacionado à percepção espacial. E ela que nos ajuda a imaginar um trecho que precisamos ladrilhar ou acarpetar, a julgar se o carro cabe ou não numa certa vaga, ou a saber o caminho de casa a partir do colégio.
Além disso, inventaram-se muitas formas desde que os egípcios construíram suas pirâmides. Os artefatos simples e complexos, planejados conscientemente pela humanidade têm sido baseados em sistemas de geometria.
A Geometria é uma teoria matemática que visa a criar uma abstração de um mundo que faz parte de nossa realidade. Os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCNs sinalizam a importância de se trabalhar com a Matemática, em sala de aula, sob dois aspectos: 1) As aplicações no cotidiano.
2) As aplicações e avanços na própria ciência Matemática.
A Geometria ajuda, como já descrito anteriormente, a falar da inserção do homem no espaço Terra, da utilização deste espaço, da sua divisão e da construção de estratégias para resolver problemas relacionados à forma e ao espaço.
1.3.1 O Estudo das Formas: Geometria e Natureza
O homem difere e destaca-se dentre todos os outros animais pela inteligência que possui. Num determinado estágio de seu desenvolvimento ele passou a observar a natureza, especialmente o céu, e inspirado nele registrou, aquilo que examinava, dependendo do seu grau cultural.
A natureza exibe uma criação de formas e relações matemáticas sob os mais variados aspectos: triângulos, quadrados, círculos, hexágonos, espirais, polígonos estrelados, cubos, paralelepípedos, cilindros, helicóides, cones, esferas, etc.
A simples observação das formas regulares e perfeitas que muitos corpos apresentam, como as flores e as folhas e incontáveis animais, revelam simetrias admiráveis que deslumbram o espírito. Há infinita variedade de formas geométricas espalhadas pela natureza. No disco do Sol, no arco-íris, na borboleta, no diamante, na estrela-do-mar e até em plantas microscópicas.
As figuras criadas pela natureza revelam desde motivos geométricos simples até formas mais arrojadas e complexas. Ver figura 1.3
a) Flor b) Poliedro Convexo
Figura 1.3
O homem transformou elementos da natureza para a sua sobrevivência e nessa caminhada, levado pela curiosidade, compreendeu muitas coisas, criando suas ferramentas e técnicas, construindo objetos e deslocando-os, modificando o espaço. Portanto, necessidade e curiosidade aliam-se à percepção das semelhanças, procurando relacionar geometria (forma) com a aritmética (número).
1.3.2 A Dominação da Forma
A princípio, as noções primitivas de número, grandeza e forma podiam estar relacionadas com contrastes mais do que com semelhanças. Gradualmente deve ter surgido, da massa de experiências caóticas, a realização de que há analogias. Essa percepção de uma propriedade abstrata que certos grupos têm em comum levou à idéia de número.
O número foi criado para que o homem pudesse dominar o movimento das quantidades da natureza. Entretanto, as formas também estão ao nosso redor, fazendo parte do nosso mundo e estão em permanente mudança. Apreender a manejar as formas é o âmago da Geometria. A compreensão do espaço, sua ocupação e medida, as superfícies, suas formas, regularidades e medidas; as linhas, suas propriedades e medidas; e as relações entre todas essas formas geométricas como mostra a Figura 1.4.
Formas geométricas bi e tridimensionais
Figura 1.4
Destaca-se que há muitas áreas da Matemática em que a introdução de um procedimento e uma terminologia geométrica simplifica muito, tanto a compreensão como a apresentação de um determinado conceito ou desenvolvimento. A linguagem da Geometria é muito mais simples e elegante do que a da álgebra e da análise. Às vezes é possível levar a cabo linhas de raciocínio rigorosas em termos geométricos sem traduzi-las para a álgebra e a análise. As imagens geométricas sugeridas freqüentemente levam a resultados e estudos adicionais. Como conseqüência, se ganha, instrumento poderoso de raciocínio indutivo e criativo.
Na constituição do mundo, da natureza em geral, têm-se componentes com suas formas nas quais dominam a irregularidade e o caos; tentar simplificá-las empregando formas usuais da clássica geometria euclidiana, seria inadequado.
1.3.3 A Prática Pedagógica
Na maioria das escolas brasileiras, a prática pedagógica fundamenta-se na transmissão de conteúdos curriculares fragmentados, memorizáveis e mensuráveis, correspondendo aos padrões reconhecidos e aplicáveis no modelo de uma sociedade ultrapassada. É necessário, porém que as mesmas procurem adotar uma prática pedagógica centrada na construção do conhecimento, baseada em teorias cognitivas de aprendizagem, tentando, desta forma, incorporar tendências e comportamentos originários da moderna sociedade da informação.
Quando os eixos temáticos da matemática são abordados, focaliza-se o tratamento da informação como um tema a ser valorizado para que o aluno possa usá-lo em diversas situações do cotidiano. Idéias de matemática, tais como função, proporcionalidade, medidas, probabilidade e teorias de jogos estão intrínsecas a problemas relacionados com: nas relações sociais de cada época, nas transformações e na criação de novas necessidades, nas condições de vida, no cotidiano onde aparecem muitas vezes de forma implícita.
Portanto, é possível identificar relações importantes entre a matemática e os temas transversais, ocorre então o que chamamos de contextualização sócio-cultural.
Veja alguns exemplos conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais/PCN’s:
• O uso da geometria clássica ou da analítica para resolver um mesmo problema pode mostrar duas formas distintas de pensar e representar realidades comparáveis em momentos históricos diferentes.
• Ao se perceber a origem do uso dos logaritmos ou das razões trigonométricas como resultado do avanço tecnológico do período das grandes navegações do século 16,
pode-se conceber a Matemática como instrumento para a solução de problemas práticos e que se desenvolve para muito além deles, ganhando a dimensão de idéias gerais para novas aplicações fora do contexto que deu origem a elas.
As investigações geométricas irão contribuir para perceber aspectos essenciais da atividade matemática, tais como a formulação e teste de conjecturas e a procura e demonstração de generalizações. A contextualização dos conteúdos irá despertar no aluno à vontade de aprender a geometria. Para que isso ocorra é essencial que o aluno manipule os objetos apresentados. O trabalho manipulado associado ao pensamento crítico é fundamental para o desenvolvimento da aprendizagem em geometria. Esse aprendizado tem a intenção de levar de forma diferente o trabalho com a geometria contextualizada, deixando o aluno usar o seu raciocínio lógico e estimulando a sua criatividade.
Uma condição fundamental para o ensino e aprendizagem da matemática é desenvolver a capacidade de aprender, oferecendo um conjunto mais rico de materiais, técnicas e sistemas que visem a contribuir significativamente para a incorporação dessa habilidade.
A resolução de situações-problema contextualizadas estimula a criatividade na elaboração de problemas vivenciados pelo aluno. O trabalho com conteúdos contextualizados enriquece a aula e ajudam a despertar no aluno o gosto pela geometria. Esta relação desenvolve atitudes positivas em relação à matemática.
A preocupação presente neste trabalho é discutir e analisar as dificuldades encontradas pelos alunos no estudo da Geometria, com a intenção de buscar alternativas adequadas para a minimização ou superação dos problemas de aprendizagem nessa parte da Matemática.
A sociedade atual, através de seus meios de comunicação, molda os jovens para uma era do vazio, pois os meios de comunicação insistem em não dizer nada. Rojas, 1996.
O resultado disso são jovens que têm muita iniciativa e pouca “acabativa” (esforço e dedicação), ou seja, eles apresentam dificuldades em manter o entusiasmo e a persistência quando os resultados não são imediatos.
“A ociosidade está na moda; está na moda a vida arrebentada, descosturada, como os personagens sem mensagem interior”.(Rojas, 1996, pag 29).
Cientistas descobriram que o circuito nervoso não está completamente instalado na maior parte dos jovens até 20 anos, o que pode explicar as peculiaridades de comportamento (indisciplina, preguiça, apatia). Brownlee, 1999.
Os gregos acreditavam que o desenvolvimento de todas as potencialidades humanas capacita melhor o indivíduo. O conceito foi perdido na Idade Média quando o Ocidente começou a caminhar em direção à especialização, em detrimento do desenvolvimento integrado e, hoje, presencia-se o custo que esta associação trouxe.
A prática educacional pode e deve ser sustentada no cotidiano do aluno, a fim de contribuir com uma melhor compreensão do conteúdo matemático, isto faz com que desperte no aluno o gosto e a vontade para estudar. Sendo assim, o uso desta prática, pode até mesmo diminuir a evasão escolar.
Através da matemática contextualizada, cuja qual pode ser aplicada no cotidiano do aluno, deve se desenvolver aspectos no dia a dia que desperte a curiosidade para querer saber mais, levando-o a ver que esta ciência exata não é constituída apenas de formulas, números ou equações impossível de ser entendida, mas que isso faz parte de tudo que esta a sua volta.
Conhecimento não se reduz à informação. Este é um primeiro estágio daquele, conhecer implica em um segundo estágio, o de trabalhar as informações classificando-as, analisando-as e contextualizando-as. O terceiro estágio tem a ver com a inteligência, a consciência ou sabedoria. Inteligência tem a ver com a arte de vincular o conhecimento de maneira útil e pertinente, isto é, de produzir novas formas de progresso e desenvolvimento; consciência e sabedoria envolvem reflexão, isto é, capacidade de produzir novas formas de existência de humanização. E é nessa trama que se pode entender as relações entre conhecimento e poder. Um enorme poder flui do conhecimento, mas não daqueles que o produzem. Portanto não basta produzir conhecimento, mas é preciso produzir as condições de produção do conhecimento. (Pimenta, 1996, pág 30).
No entanto para que essa contextualização matemática aconteça tanto professores de matemática quanto à escola, devem aprender a aplicar o que é estudado, no que o aluno faz fora da escola e isso exige do professor mais tempo de dedicação e pesquisa. As avaliações aplicadas aos alunos não são um meio de saber se ele realmente aprendeu, mas experimentos feitos com jogos que trata da matemática podem aguçar os seus sentidos e solidificar mais o seu conhecimento. O uso de materiais alternativos, como jornais, revistas, o uso de uma situação problema referente a um dado conteúdo, filmes, charadas para que possa desenvolver o seu raciocínio lógico e abstrato faz com que o aluno queira se interar mais ao seu estudo.
Melhorar a qualidade de ensino é uma questão defendida, hoje, por governantes, educadores, técnicos e especialistas em educação. Uma das exigências para se alcançar um elevado nível de qualidade na educação é aprimorar o conhecimento sobre os processos de ensino-aprendizagem, de forma a torná-los mais capazes de responder às imposições deste novo tempo.
O educador no geral deve formar cidadãos críticos com disposição de querer sempre mais e levá-los a ter um olhar matemático para várias situações distintas.
Numa sociedade cada vez mais complexa e dinâmica e que depende tão completamente da Matemática e da Ciência, acredita-se que o professor é uma figura central.
Logo, ele precisa refletir sobre a concepção da escola, como instituição que transmite o conhecimento e como local que ajuda o aluno a desenvolver seu potencial, ensinando-o a pensar e a descobrir caminhos para transformar o mundo em que vive.
A prática contextualizada pode desenvolver no aluno o interesse pela matemática, sem dúvida, os conhecimentos que permitem compreender a realidade e operar sobre ela, funcionando como instrumento para o desenvolvimento e socialização dos sujeitos e para o exercício de sua cidadania.
Faz-se necessário, portanto, que o professor represente seu papel frente às novas possibilidades que compõe o mundo do conhecimento e da cultura, enfrentando o desafio da formação continuada em cursos de pós-graduação (mestrado e doutorado). Sustenta-se que esses procedimentos concorram para que o educador vivencie sua autonomia intelectual na escolha de metodologias, procedimentos didáticos e paradigmas científicos objetivando melhorar a qualidade do ensino.
Embora as investigações no campo da matemática se situem ora dentro do campo da chamada matemática pura, ora dentro da chamada matemática aplicada, o conhecimento matemático é fruto de um processo de que fazem parte à imaginação, os contra-exemplos, as conjunturas, as críticas, os erros e os acertos que se apresentam de forma descontextualizada, mas o próprio aluno tem que atribuir significados individualmente.
A arte de fazer e ensinar matemática não é criação livre e isolada da mente humana, totalmente descompromissada com a realidade do homem e ao seu momento histórico. Pelo contrário, criar e lecionar essa disciplina é antes de tudo uma busca contagiante do nosso passado epistemológico. O ensino desta disciplina baseado em experiências educacionais do passado tem produzido em nossos estudantes um verdadeiro sentimento de repúdio e apatia. Este modo de abordar a matemática funciona, em parte, nos séculos anteriores, quando não conhecíamos o cinema, o automóvel, o raio laser, a televisão, enfim não existia o mundo moderno e agitado dos computadores. (A. Prandini, 1991, pág 31).
1.4 A Qualidade do Sistema Educacional
Estratégias para facilitar a aprendizagem remontam às origens educacionais. Apesar de que ainda há muitas coisas que se desconhecem sobre a aprendizagem, considera-se sabido que o conhecimento adquirido pelo indivíduo e que o conhecimento previamente aprendido influencia a aquisição de um novo conhecimento e, também, que a aprendizagem pode ser desde essencialmente memorística, com pouca interação com o conhecimento prévio (e geralmente com muito pouca retenção) até altamente significativa, na qual o aprendiz integra novos conceitos, proposições e imagens a estruturas do conhecimento previamente adquirido. Parte da tarefa do professor é ajudar o aluno na busca da sua autonomia, no gerenciamento das informações para a aprendizagem relevante.
Alguns fatos prejudicam o ensino da matemática, por exemplo: o desinteresse dos docentes em aprimorar suas estratégias usando o cotidiano do aluno para introduzir conteúdos mostrando onde aquelas operações aparentemente estranhas podem ser úteis no seu dia-a-dia. Outro fato muito importante também é a falta de recursos didáticos oferecidos pela escola, uma vez que, o ensino da matemática requer criatividade e motivação.
O conhecimento geométrico deve ser apresentado aos alunos como historicamente construído e em permanente evolução. O contexto histórico possibilita ver a Geometria em sua prática filosófica, científica e social e contribui para a compreensão do lugar que ela tem no mundo.
A realidade do aluno tem sido compreendida erroneamente como algo que fica restrito ao conjunto de bens culturais e experiências a que cada aluno tem acesso, no meio social em que vive. Tem sido identificada, exclusivamente como os conhecimentos originados nos contatos com a família, os vizinhos, os amigos, enfim, com os grupos sociais que o aluno freqüenta ou que servem de referência para interpretar as informações que lhe chegam, pelos meios de comunicação. Sendo assim, cria-se uma falsa idéia de que a aprendizagem do aluno limitaria aquilo que a cerca. Na realidade é muito mais do que isso.
As propostas pedagógicas devem enfatizar a resolução de problemas, na exploração da Geometria a partir dos problemas vividos no cotidiano. Com a geometria contextualizada o aluno procura resolver o problema utilizando estratégias que conheceu ou desenvolvendo outras pelas transferências que faz entre o conteúdo conhecido e o novo que lhe é apresentado. Através das transferências, retificações e rupturas, o aluno refaz o processo histórico de construção do conhecimento.
A geometria apesar de ser uma matéria de caráter abstrato, os seus conceitos e resultados tem origem no mundo real e encontram muitas aplicações em outras ciências e em inúmeros aspectos práticos da vida diária: na indústria, no comércio e na área tecnológica.
A exploração de diferentes tipos de investigações geométricas pode também contribuir para concretizar a relação entre situações da realidade e situações geométricas, além de desenvolver capacidades, tais como a visualização espacial e o uso de diferentes formas de representação, evidenciar conexões geométricas e ilustrar aspectos interessantes da história e da evolução da Geometria.
1.4.1 – O Estudo da Geometria
De um modo geral o estudo da Geometria, enfatiza a compreensão da relação com o espaço e as atividades geométricas percebidas favorecem:
a) o desenvolvimento da noção de espaço.
Percepção espacial diz respeito à habilidade de orientar-se no espaço, coordenar diferentes ângulos de observação e de objetos no espaço. Essas habilidades contribuem para o melhor desempenho do indivíduo em suas ocupações cotidianas. São exigidas em maior grau em atividades como cristalografia, bioquímica, cirurgia, aviação, escultura, arquitetura, coreografia, decoração, etc.;
b) o desenvolvimento da habilidade de observação do espaço tridimensional e da
elaboração de meios de se comunicar a respeito desse espaço.
Isso é importante num mundo onde as fontes de informação utilizam predominantemente a imagem (cinema, televisão, cartazes, etc). Modos de representação tais como perspectiva, planificações, cortes, projeções e outros são fundamentais para a interpretação das mensagens;
c) o desenvolvimento de uma atitude positiva em relação ao estudo da Matemática. A escrita dos números envolve a noção de posição. Para efetuar medições, devemos comparar figuras. Assim, dificuldades de percepção espacial poderão tornar os alunos tensos diante de suas tarefas. Atividades de Geometria poderão prevenir essas dificuldades. Atividades com material manipulativo estimulam a participação e ajudam o desenvolvimento de atitudes positivas em relação à Geometria e por extensão à Matemática. d) a integração com outras áreas.
Informações relativas a várias áreas do conhecimento são dadas por medidas que utilizam gráficos, tabelas, desenho em escala, mapas. O estudo da órbita dos planetas, cortes em caules, disposição de flores e folhas nas plantas, decodificar formas da natureza, projetar
sólidos de revolução de menor área e maior volume, proporcionam momentos de integração da Geometria com as outras áreas. O estudo da Geometria enriquece o referencial de observação com o qual apreciamos e analisamos um quadro, azulejos, tapeçarias, edifícios.
Hoje, muitas pesquisas indicam que o processo de ensino deve orientar-se pelo modo como os alunos elaboram a apresentação pessoal dos conteúdos com os quais interagem. É certo que a maioria dos conhecimentos que estudamos não serve imediatamente para o dia-a-dia, mas com certeza vai ser usado em alguns momentos de sua vida.
O estudo da Geometria é, portanto, um forte instrumento para o desenvolvimento do raciocínio lógico.
Logo, a escolha da Geometria é justificada por ser a mesma considerada uma ferramenta para a compreensão, descrição e inter-relação com o espaço em que vivemos. É, também, à parte da Matemática mais intuitiva, concreta e ligada com a realidade. Como disciplina escolar, apóia-se no extensivo processo de formatização realizado durante esses últimos 2000 anos, em níveis cada vez de maior rigor, abstração e generalização e sem fazer conexão entre a Geometria intuitiva e a formatização.
CAPÍTULO 2
2.1 Fundamentação Teórica
Através das diferentes estratégias utilizadas no processo ensino aprendizagem da Geometria, o aprendiz tem a possibilidade de desenvolver a capacidade de ativar suas estruturas mentais, facilitando a passagem do estágio das operações concretas para o das operações formais. A Geometria é, portanto, um campo fértil para o exercício de aprender a fazer e aprender a pensar, porque a intuição, o formalismo, a abstração e a dedução constituem a sua essência. (Herschkovitz, 1987; Fainguelernt, 1990, pág 42) .
Destaca-se a importância da Geometria, dentro de um contexto histórico, social contemporâneo, pois se obtêm muitas coisas em Matemática, de modo especial em Geometria, que fazem parte do cotidiano e que o aluno adolescente não percebe. Como conseqüência devem-se buscar práticas pedagógicas que funcionem na apreensão das idéias geométricas e que gerem a consciência de que a Geometria é fundamental para o mundo moderno. Investigar por que os alunos apresentam tantas dificuldades na aprendizagem de
Geometria deve levar em conta não só a atuação didática do professor, mas também, e, principalmente, a participação do aluno na construção do conhecimento.
O trabalho inicial consiste em criar condições para que os alunos analisem os problemas textos, envolvendo atividade contextualizada. Uma vez que os alunos são capazes de compreender o problema, passa-se à etapa da busca por soluções. Para isso, há uma série de procedimentos que devem se levar em conta: reler o problema, verificar se o problema tem informações desnecessárias e listar as informações importantes do problema. É interessante apresentar uma situação-problema que leve os alunos a buscarem estratégia para que possam resolvê-la discutindo idéias utilizadas dentro das situações apresentadas. Este trabalho ajuda o aluno a expressar claramente seus pensamentos, defender opiniões, entender o ponto de vista das outras pessoas. O professor durante a troca de informações deve dar ênfase à forma apresentada que cada educando apresenta de acordo com seu aspecto sociocultural, às suas expectativas e o nível de seus conhecimentos.
Durante a troca de informações, o professor deve observar as duplas, mas nunca apresentar a solução-problema. É importante acompanhar as discussões, fazendo perguntas que direcionem os alunos no sentido de perceber possíveis variantes no encaminhamento do raciocínio.
Descoberta a solução, algumas duplas apresentam as estratégias que adotaram, representando à sua maneira o caminho percorrido para resolver o problema.
Confira em seguida, os princípios básicos para apresentar uma situação-problema que desafie sua classe:
• A situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática. Os conteúdos podem ser abordados com apresentação de problemas. As situações devem exigir dos alunos algum tipo de estratégia para resolvê-las;
• O problema não deve requerer um ato de resolução mecânica, com a simples aplicação de fórmulas ou processos operatórios aprendidos durante a aula. Um problema só existe quando o aluno for levado a interpretar a questão e a estruturar e contextualizar a situação apresentada. Lembrar de que a solução não deve estar disponível de início, mas ser construída;
• O saber matemático deve ser considerado como um conjunto de idéias. A situação-problema tem que privilegiar esse aspecto. Assim, o aluno percebe que para resolver a questão é necessário recorrer ao conhecimento já aprendido e que precisa estar interligado;
• A resolução de problemas não deve ser apresentada como uma finalidade em si. Ela é uma orientação para a aprendizagem. Com base nela, é possível desenvolver conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas;
• Ao aluno, estando diante de um problema, proporcionar-lhe elaborar um ou vários procedimentos de resolução, comparar o resultado com os colegas e validar seus procedimentos. PCN, 2000.
Assim, na forma de intervenção, o modelo intercultural implica uma dialética em constante contradição, assegurando a diferença sem a sustentar. Desse modo, o interculturalismo implica reconhecer as diferenças e, também, fazer com que seja origem de inovações e situações de enriquecimento recíproco pela troca. (Vieira, 1995, pág 44).
Ao se deparar com um problema, o ser humano se questiona, questiona outros seres humanos, pesquisa, buscam respostas possíveis para solucionar o desafio que está a sua frente, testa suas hipóteses, confirma-as, reformula-as, nega-as, abandona-as, retoma-as, etc. Por meio desse movimento, realiza o esforço da aprendizagem para construir o seu saber, relacionando conhecimentos anteriores aos atuais, ampliando, construindo novos conhecimentos e novos saberes. A cada solução, novos problemas se impõem. Estas respostas, as experiências que vão acumulando ao buscá-las, constituem o conhecimento de um indivíduo ou um grupo. Nesta concepção, o conhecimento nasce da ação, da relação entre os seres e com sua intervenção no mundo em que vive, novo conhecimento vai sendo construído.
Nessa perspectiva, o professor de Matemática deve buscar a reflexão em todos os momentos de sua ação. Ser educador na área de Matemática nos dias atuais é enfrentar as barreiras e transpor a cortina que inviabiliza a boa formação do aluno, levando a uma incredulidade na aprendizagem matemática.
Aqui a contextualização está diretamente conectada com a interdisciplinaridade, não há como separar uma da outra, exatamente para dinamizar a educação passada ao aluno. Há necessidade de terem estudado as aplicações da matemática no cotidiano do aluno, o que neste caso envolveria todas as demais disciplinas.
A prática educacional sustentada no cotidiano do aluno pode contribuir para uma melhor compreensão do conteúdo matemático, ou seja, levar para a sala de aula o que é vivenciado pelo aluno, isso trás sentido para ele do porquê de se estudar a matemática. É importante que não se deixe de trabalhar o conteúdo programático, é exatamente partindo deste que deverá ser trabalhado o que os alunos observam nas ruas, o que fazem no trabalho,
