Notas_ Equação de Transporte e Difusão

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Notas: Equação de Transporte e Difusão

-22/10/2015 - UFABC - P. C. R. Rossi.

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As notas se baseiam não linearmente nas referências indicadas no nal do texto.

A Pergunta

A primeira pergunta a ser feita é: o que é física de reatores ? Ou o que faz a física de reatores. De maneira geral a física de reatores é responsável por medir e/ou calcular as diversas propriedades de um reator nuclear. Dentre as propriedades/cálculos/análises do reator se encontram, por exemplo:

1. O tamanho crítico e geometria; 2. Distribuição de potência;

3. Capacidade de remoção de calor; 4. Cinética;

5. Analise de segurança;

6. Queima, depleção e geração; 7. Blindagem.

Na referência [2] uma denição bastante precisa é dada, a saber: Física de reatores é a area da Física (aplicada) a qual descreve a distribuição de nêutrons em um reator nuclear, ou em um arranjo experimental o qual é projetado para fornecer informações sobre tais reatores. Esta denição limita bastante a atuação da física de reatores. Por exemplo, o cálculo ou medida de informações da secção de choque microscópica - obviamente importante para o projeto de reatores nucleares - é excluida. Por outro lado, a conversão das informações da secção de choque básica para uma forma na qual é usada no projeto de reatores, i.e., constantes multi-grupo, é apropriadamente parte da física de reatores.

O reator nuclear

Um reator nuclear pode ser denido da seguinte forma : Um Reator nuclear é um arranjo contendo uma quantidade suciente de isótopos ssionáveis de forma que a reação em cadeia seja sustentável.

A reação de ssão para o Urânio é

n +235U → A + B + νn, (1)

onde "A" e "B" são os produtos de ssão e ν é o número médio de nêutrons emitidos por ssão. Devemos notar que ν depende da energia do nêutron incidente e do isótopo ssionável. Para nêutrons térmicos (são nêutrons que possuem energia cinética da ordem de kT) no Urânio temos algo como ν ≈ 2.4.

Olhando ainda para 235_U_{, outras reações são possíveis, competitivamente com a}

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2

n +235U → γ +236U, (2)

Cada uma das possíveis reações com um dado nêutron deve ser considerada em um reator, cada uma possui uma determinada probabilidade de ocorrência.

É oportuno introduzir, neste momento o conceito de secção de choque macróscópica e livre caminho médio. Para tanto considere os possíveis processos entre o nêutron incidente e a núcleo alvo (captura, ssão, espalhamento e entre outros). Dado um processo i associe a ele uma quantidade λi de tal forma que a probabilidade ∆Pi de

que um nêutron sofra este processo ao atravessar uma distância ∆x seja ∆Pi =

∆x λi

, (3)

a quantidade λié chamada de livre caminho médio do processo i e_λ1_i é a probabilidade

por unidade de comprimento deste processo. Para ver o signicado físico do livre caminho médio suponha que n0 nêutrons estão atravessando um dado material em

uma dada direção e estes nêutrons são atenuados por um processo do tipo i. Se n (x) é o número de restantes de nêutrons em uma posição x da fonte então,

−dn (x) = n (x)dx λi

, (4)

o sinal negativo é devido a atenuação. De forma que obtemos a expressão: n (x) = n0e

−x

λi_, (5)

que signica que o feixe de nêutrons é atenuado exponencialmente pelo processo i. A reciproca do livre caminho médio é a secção de choque macroscópica, ie.

Σi =

1 λi

. (6)

Note que a secção de choque macroscópica tem dimensão de [1/cm].

A secção de choque macroscópica para a reação do tipo i para um dado material é a soma ponderada de secção de choque microscópica da reação do tipo i sobre todos os nuclídeos do material, ou seja

Σi =

X

j

Njσji (7)

onde Nj é a densidade de nuclídeos do tipo i e σji é a secção de choque microscópica da

reação. A secção de choque microscópica tem unidade de área usualmente expressa em barn

1b = 10−24cm2 (8)

e a unidade da densidade de nuclídeos é usualmente dada em [1/b.cm]. Obviamente a secção de choque microscópica depende da velocidade (Energia) do nêutron incidente. Podendo depender da direção (anisotropia) do nêutron incidente para alguns cristais, mas em geral este não é o caso em reatores.

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Reação em Cadeia

A reação em cadeia ocorre quando alguns dos ν nêutrons, produzidos no processo de ssão colidem com os nuclídeos ssionáveis adicionais do material os quais ocasionam mais processos de ssão e assim sucessivamente de maneira a gerar uma reação em cadeia.

Para um reator operar a uma taxa de ssão estacionária ( dizemos nesse caso que o reator é "crítico" ) é necessário estabelecer o balanço entre os nêutrons produzidos no processo de ssão e perdas, as quais incluem não só os nêutrons que produzem a próxima ssão ou aqueles capturados por outra reação nuclear qualquer no material físsil, mas também aqueles nêutrons que são capturados por outros nuclídeos do sistrema ( materiais estruturais, refrigerante, moderador e etc) e as perdas por escape (nêutrons que saem do sistema e não retornam).

É fato conrmado (do experimento) que os nêutrons com energia menor que 1 eV são mais efetivos para manter a reação em cadeia do que nêutrons mais energéticos, os chamados nêutrons rápidos. Por outro lado os nêutrons emitidos no processo de ssão possuem energia da ordem de alguns MeV , neste caso é intuitivo que para aumentar a efetividade da reação é desejável diminuir esta energia e para isso é adicionado no reator materiais (diluídos ou não) os chamados de moderadores 1 _os

quais reduzem a energia do nêutron por colisões elásticas.

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Entendendo a unidade

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A física de reatores é o estudo da população de nêutrons e seus efeitos sobre o sistema nuclear (o reator). O estudo desta distribuição é o objeto principal da física de reatores. De uma maneira geral a distribuição de nêutrons é regida pela equação de transporte de Boltzmann em sua forma linear considerando a não interação entre nêutrons. Esta famigerada equação é materializada através de um simples balanço das possíveis reações no meio nuclear as quais são ponderadas através de dados nucleares básicos vindos preferencialmente do experimento (com alguma seleção-avaliação - é claro!).

Porém, ao olho não treinado, este sistema além de parecer demasiadamente com-plexo e ele não possibilita o entendimento físico do comportamento do sistema de forma simples então por questões didáticas e históricas uma primeira aproximação é realizada de forma a obter uma descrição simplicada: a equação de difusão de nêutrons. O estudo da difusão possibilita um entendimento mais simples dos pro-cessos e relacionamentos envolvidos, bem como a aplicação para uma vasta classe de problemas reais.

A medida que a aproximação de difusão falha algumas técnicas aproximativas são usadas de forma a ajustar o sistema ao problema especico até que somos leva-dos, novamente, à equação de transporte de nêutrons para descrição apropriada do problema.

Os problemas de física de reatores podem ser divididos, inicialmente, em duas classes distintas: (i) estática e (ii) dinâmica de reatores, o primeiro - como o próprio nome sugere - estuda os fenômenos que não envolvem variações temporais, i.e. o sistema em estado estacionário e o segundo estuda fenômenos que envolvem variações temporais. Este ultimo é subdividido, ainda, segundo a sua escala de atuação: (ii-a) curto intervalo de tempo e (ii-b) e longo intervalo de tempo. Os fenômenos que se encaixam no intervalo de variação curto são referenciados na literatura como cinética de reatores enquanto os que envolvem intervalos de variação longos são caracterizados como problemas que envolvem transmutação de materiais, ambos de importância fundamental no controle e gestão de reatores nucleares.

Para começar nosso estudo devemos denir algumas quantidades fundamentais. Considere um meio qualquer que contenha uma certa população de nêutrons se difundindo, olhando para um elemento de volume innitesimal d3_r _{deste meio}

centrado em uma dada posição r em um dado instante t.

Devemos ter em mente que o espaço de fase dos nêutrons consiste de um espaço hepta-dimensional - com três coordenadas espaciais, três coordenadas para a veloci-dade e uma temporal. Indicadas pelo conjunto Λ = (r, v, t), mas em física de reatores é bastante comum escrever (r, E, ˆΩ, t) uma vez que podemos escrever v = v ˆΩ onde Ωé o versor direção e lançamos mão que classicamente temos E = mv₂2.

Neste contexto iniciaremos algumas denições.

Densidade angular de nêutrons.

Seja ψ (r, v, t) dr3_dv3 _{o número de nêutrons encerrado no elemento de volume dr}3

em r e no elemento de volume dv3 sobre v em um instante t. A função ψ é chamada

de densidade angular de nêutrons e representa o número nêutrons por unidade de volume no espaço das velocidades e por unidade de volume canônico em um dado

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6 instante t.

Podemos expressar a densidade angular em termos da energia e direção do nêutron, e deve valer que:

ψ (r, v, t) dr3dv3 = ψ0(r, E, Ω, t) dr3dΩ2dE, (9) note que as quantidades se diferenciam por um elemento Jacobiano dv/dE.

Velocidade média dos nêutrons v (r, t)

A velocidade média da distribuição de nêutrons no meio nuclear deve ser entendida no contexto da teoria cinética que consiste em valores validos estatisticamente (médias em termos de uma distribuição). Desta forma, a denição de velocidade média é uma média ponderada pela distribuição de nêutrons no sistema, ou volume do sistema considerado, ou seja, v (r, t) = ´ wψ (r, w, t) dw3 ´ ψ (r, w, t) dw3 , (10)

se o sistema em questão possui uma distribuição isotrópica de neutrons a distribuição de neutrons ψ deve depender somente da magnitude de w de forma que a velocidade deve se anular, i.e, v (r, t) = 0.

Se estivermos tratando problemas dependentes da energia uma maneira natural de explicitar esta dependência é denindo:

v (r, v, t) = ´

wψ (r, w, t) dΩ2

´

ψ (r, w, t) dΩ2 , (11)

que deve ser interpretada como velocidade média esperada dos nêutrons com uma dada energia (velocidade) especica.

Velocidade escalar média dos nêutrons (¯v (r, t))

A velocidade escalar média dos nêutrons (¯v (r, t)) é uma quantidade escalar denida a partir do módulo da velocidade do nêutron, a saber:

¯ v (r, t) = ´ vψ (r, v, t) dv3 ´ ψ (r, v, t) dv3 . (12)

Devemos notar que ¯v (r, t) não é a magnitude de v (r, t), para ver isso basta imag-inar que em uma dada região innitesimal do espaço possuímos dois nêutrons com velocidades em direções opostas mas com mesma magnitude w neste caso teremos v (r, t) = w−w₂ = 0 e ¯v (r, t) = 2w+2w₂ = 2w

Analogamente como denido em (11) para problemas com dependência explicita da energia do nêutron podemos denir:

¯ v (r, v, t) = ´ vψ (r, v, t) dΩ2 ´ ψ (r, v, t) dΩ2 . (13)

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Fluxo de nêutrons

O uxo de nêutrons é a quantidade denida por φ (r, t) =

ˆ

dv3vψ (r, v, t) , (14)

que é interpretado como o número de nêutrons por unidade de área e tempo presentes em um dado ponto r em um instante t. Analogamente a quantidade φ (r, v, t) = vψ (r, v, t) é chamada de uxo angular de nêutrons e nela explicitamos a direção e energia dos nêutrons. Exatamente como feito acima (c.f. (13)) podemos explicitar a dependência da energia como:

φ (r, v, t) = ˆ

dΩ2vψ (r, v, t) . (15)

É bastante comum encontar na literatura a quantidade: ψ (r, t) = ρ (r, t) =

ˆ

ψ (r, v, t) dv3, (16)

que é a densidade integrada (note que é integrada em relação à velocidade e portanto independente desta ) de nêutrons em uma dada posição r.

É natural, portanto, expressar a o uxo integrado como: φ (r, t) =

ˆ

dv3vψ (r, v, t) = ¯v (r, t) ˆ

ψ (r, v, t) dv3 = ¯v (r, t) ρ (r, t) . (17) A unidade do uxo de nêutrons é de número de nêutrons por centímetro quadrado por segundo 1

cm2_s

.

Corrente de nêutrons (J)

A denição da corrente de nêutrons é feita de maneira similar ao uxo, exceto que a velocidade usada na denição agora é o vetor velocidade e não o módulo. Desta forma o corrente angular de nêutrons pode ser escrita como,

J (r, v, t) = vψ (r, v, t) , (18)

e a corrente integrada pode tomar a forma: J (r, t) =

ˆ

dv3vψ (r, v, t) = v (r, t) ρ (r, t) . (19)

A corrente de nêutrons possui a mesma unidade do uxo de nêutrons, ela se diferencia do uxo por ser uma quantidade vetorial, mas o signicado físico de cada uma destas quantidades são bastante distintos.

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8

Interpretaçao das quantidades.

O signicado da corrente é bastante explícito, em um dado meio com uma certa distribuição de nêutrons, o número de nêutrons cruzando uma certa superfície dS é dado pelo produto escalar J.dS.

Figure 1: Esquema ilustrativo para visualização da corrente.

Para ver isso considere um pequeno cilindro innitesimal cujo eixo de simetria é paralelo a velocidade média dos nêutrons como indicado na gura 1.

Obviamente a densidade de nêutrons presente no sistema é do numero de nêutrons presente no sistema por unidade de volume, ou seja,

ρ (r, t) = dN

dV , (20)

mas olhando para o elemento de volume cilíndrico podemos escrever:

dV = (v.ˆn) dtdS = (v.dS) dt, (21)

onde o produto escalar (v.ˆn) representa a projeção do vetor velocidade média na direção ˆn e foi denido dS ≡ dSˆn, portanto:

dN = (v.dS) dtρ (r, t) , (22)

ou

dN

dt = (v.dS) ρ (r, t) = [v (r, t) ρ (r, t)] .dS = J .dS. (23) Com isso a quantidade J.dS representa efetivamente a quantidade de nêutrons que escapam cruzando a supercie dS, ou alternativamente a variação do número de nêutrons no respectivo intervalo de tempo devido o escape pela superfície dS.

Já o signicado físico do uxo deve ser entendido juntamente com a denição da taxa de reação. A taxa de reação de uma reação qualquer, digamos do tipo i, identicada aqui como Ri. De uma maneira geral a taxa de reação depende de todas

as variáveis envolvidas, a saber Ri ≡ Ri(r, v, t)e devemos interpretar a quantidade

Ri(r, v, t) dr3dv3dt como o número de reações do tipo i que ocorrem em um dado

elemento de volume dr3 _{sobre r, um dado elemento dv}3_{sobre v, em um dado intervalo}

(10)

Recordando que a secção de choque microscópica Σi nos fornece o número de

reações do tipo i por intervalo de caminho percorrido, então para um nêutron com uma certa velocidade v a quantidade vΣi(r, v, t) não é nada além da frequência de

reações do tipo i. Se possuimos no sistema uma densidade de nêutron ψ (r, v, t), a quantidade vψ (r, v, t) Σi(r, v, t) deve ser o número de reações ocorrendo em um

dado ponto (r, v) por unidade de tempo, ou seja a própria taxa de reação Ri(r, v, t).

Ou seja,

Ri(r, v, t) = vψ (r, v, t) Σi(r, v, t) = φ (r, v, t) Σi(r, v, t) . (24)

Olhando para a relação acima podemos interpretar o uxo como a distribuição de proporcionalidade com a taxa de reação.

Podemos denir a taxa de reação integrada, ou independente da velocidade analogamente como denido anteriormente no texto e o resultado é:

Ri(r, t) = φ (r, t) Σi(r, t) . (25)

onde foram denidos

Ri(r, t) = ˆ dv3Ri(r, v, t) (26) e Σi(r, t) = ´ dv3Σi(r, v, t) φ (r, v, t) φ (r, t) . (27)

(11)

Equação de Balanço

(12)

Os fenômenos físicos de maior interesse em um reator nuclear são ou dizem re-speito a variação da distribuição de nêutrons. A descrição matemática desta dis-tribuição é baseada sobre a equação de transporte de nêutrons a qual consiste de uma equação de balanço dos nêutrons no sistema. A equação é uma forma linearizada da equação de Boltzmann - bastante conhecida em fenômenos de transferência - mas esta equação é bastante complicada e suas soluções são possíveis em casos extrema-mente simples2_{, o que obviamente não é adequado na prática para reatores nucleares}

pois reatores são sistemas bastante complexos. Desta forma uma aproximação é geralmente utilizada em análise de reatores. Esta aproximação é conhecida como equação da difusão. Vamos iniciar com a apresentação da equação de transporte para nêutrons.

Equação de transporte de nêutrons.

A equação fundamental para o balanço em um reator nuclear é a equação de trans-porte linear de nêutrons, apresentaremos agora uma dedução heurística desta equação baseada somente no balanço de nêutrons do sistema, uma dedução completa e precisa pode ser encontrada em [1].

Figure 2: Elementos de volume considerados na dedução.

Vamos olhar para um dado elemento de volume V limitado por uma superfície S, podemos portanto escrever a para variação da densidade de nêutrons no tempo 2_{Obviamente uma série de métodos numéricos são disponíveis para o cálculo de transporte, mas}

os cálculos envolvendo difusão são bastante frequentes na operação de plantas nucleares de potência devido o tempo cálculo bastante reduzido ( e que demanda pouco esforço computacional) quando comparado aos de transporte.

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12 neste volume em termos da densidade angular como:

dN = dv3dt ˆ

d

dtψ (r, v, t) dr

3_, ₍₂₈₎

onde a integração é tomada em todo volume V do sistema.

Neste intervalo de tempo ocorrem uma série de reações nucleares no sistema que são as responsáveis por esta variação na densidade angular, para ver mais claramente este processo observe a Figura 3 que exemplica o processo de variação do número de nêutrons, note aqui que os agentes responsáveis pela variação do número de nêutrons no nosso sistema é basicamente composto de 4 fatores: o primeiro fator (#1) é o próprio escape de nêutrons do sistema podemos escrever facilmente este escape em termos da corrente de nêutrons no sistema

#1 = dv3dt ˆ

J (r, v, t) · dS, (29)

onde a integração é tomada em torno de superfície S, transformando o integração de superfície em integração em termos do volume por aplicação da igualdade de Green3

a relação acima se transforma em #1 = dv3dt ˆ J (r, v, t)·dS = dv3dt ˆ vψ (r, v, t)·ˆndS = dv3dt ˆ v·∇ψ (r, v, t) dr3; (30) O segundo fator (#2) esta relacionado com o escape dos nêutrons do sistema mediante o processo de colisão que esta relacionado com a secção de choque total:

#2 = dv3dt ˆ

Σt(r, v, t) vψ (r, v, t) dr3; (31)

O terceiro fator (#3) esta relacionado com os nêutrons provenientes de do espal-hamento em alguma região no reator e este processo de colisão leva a velocidade do nêutron para o elemento de volume dv3 sobre v, e esta relacionado com a secção de

choque de transferência4 _Σ

s(r, v0 → v, t), este termo é escrito como:

#3 = dv3dt ˆ

dv03 ˆ

Σs(r, v0 → v, t) v0ψ (r, v0, t) dr3; (32)

E por m, o quarto termo (#4) os nêutrons oriundos de fontes externas conhecidas que denimos por

#4 = dv3dt ˆ

S (r, v, t) dr3. (33)

Desta forma nosso balanço, pode ser escrito como dN = dv3dt

ˆ d

dtψ (r, v, t) dr

3 _{= (#1) + (#2) + (#3) + (#4).} ₍₃₄₎

3_{Teorema de Gauss (divergência):} ¸

SF · ˆndS =

´

∇ · F dV, onde F é um campo vetorial, S uma superfície fechada, ˆn o vetor normal a superfície e V o volume delimitado pela superfície.

4_{A secção de choque de transferência fornece o número de reaçãoes de espalhamento que levaram}

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Figure 3: Variação da densidade angular no tempo e suas contribuições. ou explicitamente: dv3dt ˆ d dtψ (r, v, t) dr 3 = −dv3dt ˆ v · ∇ψ (r, v, t) dr3 (35) − dv3_dt ˆ Σt(r, v, t) vψ (r, v, t) dr3 + dv3dt ˆ dv03 ˆ Σs(r, v0 → v, t) v0ψ + (r, v0, t) dr3 + dv3dt ˆ S (r, v, t) dr3, evidenciando termo a termo obtermos :

dv3dt ˆ _d dtψ (r, v, t) + v · ∇ψ (r, v, t) + Σt(r, v, t) vψ (r, v, t) −´ dv03Σs(r, v0 → v, t) v0ψ (r, v0, t) − S (r, v, t) dr3 = 0 (36) como a integração é tomada em um volume qualquer a igualdade acima só é

(15)

ver-14 dadeira se d dtψ (r, v, t)+v·∇ψ+Σt(r, v, t) vψ = ˆ dv03Σs(r, v0 → v, t) v0ψ (r, v0, t)+S (r, v, t) , (37) que é a equação de transporte de nêutrons em sua forma linear.

Devemos notar aqui que os nêutrons do sistema devem colidir uns com os outros, porém a baixa densidade de nêutrons nos reatores nucleares, tipicamente da ordem de 1010_cm−3_{, comparativamente com a densidade atômica dos materiais, da ordem}

de 1022_cm−3_{, nos permite ignorar a colisões nêutron-nêutron. Ou seja, assumimos}

que a secção de choque macroscópica das colisões nêutron-nêutron são pelo menos 1012 _{vezes menor que as das colisões nêutron-núcleo, o que é bastante razoável já}

que experimentalmente é conhecidos que a secção de choque microscópica nêutrons-nêutrons são da mesma ordem de grandeza das núcleo-nêutron. Tal aproximação é bastante oportuna pois nos fornece uma equação linear.

A equação (37) é comumente apresentada em termos do uxo de nêutrons sob a forma: 1 v dφ dt + Ω · ∇φ + Σt(r, v, t) φ = ˆ dv03Σs(r, v0 → v, t) φ (r, v0, t) + S (r, v, t) . (38)

Quando a distribuição de nêutrons no sistema é independente do tempo, dize-mos que o sistema está em regime estacionário, a equação de transporte assume naturalmente a forma Ω · ∇φ + Σt(r, v) φ = ˆ dv03Σs(r, v0 → v) φ (r, v0) + S (r, v) , (39) ou Ω·∇φ+Σt(r, E, Ω) φ = ˆ dΩ2dEΣs(r, Ω0 → Ω, E0 → E) φ (r, E0, Ω0)+S (r, v) . (40) É possivel mostrar5 _{que as soluções das equações de transporte exibidas acima}

existem e são únicas, dadas as condições de contorno apropriadas, juntamente com a condição inicial para o caso dependente do tempo.

A condição inicial consiste em conhecer em um dado instante de tempo toda a distribuição de nêutrons do sistema, já as condições de contorno estabelecemos as condições para os limites do sistema analisado. Mas sicamente sempre devemos ter o uxo de nêutrons positivo e nito(exceto possivelmente na proximidade de fontes). 5_{A análise detalhada da equação de transporte está completamente fora do escopo destas notas,}

análises detalhadas podem ser encontradas nas seguintes referências:

Duderstadt, J.J. and Martin, W.R., Transport theory, John Wiley e Sons (1979); Case, K.M. and Zweifel, P.F., Linear transport theory, Addison-Wesley Reading (1967); Davison, B. and Sykes, J.B., Neutron transport theory, Clarendon Press Oxford (1957).

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Condições de contorno e interface.

Vamos escrever, apenas por completeza, as condições de contorno e interface co-mumente aplicadas na equação de transporte. Para isso vamos escrever os pontos pertencentes a superfície S0 que delimita o volume do sistema V0 por rs, usaremos

também rs para descrever um ponto que delimita a superfície que separa dois meios

quaisquer 1 e 2.

Figure 4: Condições de contorno e interface - a) contorno; b) interface; c) fonte como uxo de saída.

Condição de vácuo.

Assuma que um dado nêutron sai o sistema e não volta, obviamente se um sistema é delimitado pelo vácuo de um nêutron sair deste sistema ele não retorna de maneira alguma (no vácuo não temos nenhum processo que possibilite o retorno deste nêutron) . Neste sentido denimos a condição de vácuo. Entendemos por condição de vácuo a seguinte relação:

ψ (rs, E, Ω, t) = 0, se Ω · ˆn < 0, (41)

onde ˆn é o versor normal a superfície S0que delimita o sistema, note que somente

temos Ω · ˆn < 0 se o nêutron entrar no sistema (veja a gura 4 - a). Condição de interface.

Agora vamos escrever a condição de continuidade para o uxo angular nas prox-imidades da interface que separa dois meios (veja a gura 4 - b). A condição de continuidade é escrita como:

ψ1 r+s, E, Ω, t = ψ2 r−s, E, Ω, t , (42)

onde os indices + e − se referem ao limite pela esquerda e direita da superfície e ψ1

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16 Condiçaõ de Albedo (reexão).

A condição de albedo consiste em assumir que o uxo angular que sai pela superfície S0 com um determinado Ω retorna com a proporção alterada e com o angulo alterado

Ω0, ou seja

ψ (rs, E, Ω, t) = αψ (rs, E, Ω0, t) , (43)

onde devemos ter Ω · ˆn > 0 e Ω0 _{· ˆ}

n < 0. Quando o parametro α = 1 temos o caso de reexão total.

Condição de innito.

A condição de innito consiste em assumir que em um meio ilimitado o uxo assuma um valor nito mas regiões arbitrariamente distantes, desta forma podemos escrever que

ψ (r, E, Ω, t) < +∞, (44)

quando |r| → ∞.

Últimas considerações.

Devemos realçar que quando falamos sobre contornos estamos falando de contorno ditos contorno convexo, ou seja, a superfície que delimita o sistema não possuem partes reentrantes, um exemplo de contorno não convexo pode ser visto na gura 4 - c, note que o nêutron que escapa pela superfície pode retornar ao sistema isto constitui um problema. Porém é possível dividir o problema com contorno não convexo em partes convexas acopladas por fontes que constituem o uxo saindo por uma dada superfície veja o esquema na gura 4 - c neste caso que teríamos um sistema de equações acopladas pelas fontes escritas em termos do uxo de saída.

De maneira geral podemos escrever a fonte incidente em uma superfície em termos do uxo incidente (ψin) sobre ela como

Qs(r, E, Ω, t) = − (Ω · ˆn) ψin(r, E, Ω, t) , (45)

onde ˆn é o versor normal desta superfície.

Aproximação para uma velocidade

A equações de transporte expostas acima são extremamente gerais, porém usaremos, a menos que seja dito o contrário, a aproximação chamada de aproximação de uma velocidade, nesta aproximação consideramos que o processo de espalhamento não varia a energia do nêutrons, desta forma o módulo da velocidade v entra como parâmetro na equação. Esta aproximação é usada por motivos pedagógicos e a velocidade deve ser assumida (pensada) como um valor médio em termos do espectro de energia. Na aproximação de uma velocidade a equação de transporte toma a forma: 1 v dφ dt + Ω · ∇φ + Σt(r, Ω, t) φ = ˆ dΩ02Σs(r, Ω0· Ω, t) φ (r, Ω0, t) + S (r, Ω, t) (46)

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Podemos denir neste contexto as seguintes denições para uxo e corrente in-tegradas - ou independentes da direção:

φ (r, t) = ˆ dΩ2φ (r, Ω, t) , (47) J (r, t) = ˆ dΩ2Ωφ (r, Ω, t) . (48)

Neste ponto vamos colocar a equação acima em termos da corrente e uxo inte-grados, para isso integramos membro a membro (46) em termos de dΩ2,

1 v d´ dΩ2φ dt = −∇ · ˆ dΩ2Ωφ (49) − ˆ dΩ2Σt(r, Ω, t) φ (50) + ˆ dΩ2 ˆ dΩ02Σs(r, Ω · Ω0, t) φ (r, Ω, t) (51) + ˆ dΩ2S (r, Ω, t) , (52)

e denindo as quantidades médias como: Σi(r, t) = ´ dv3_Σ i(r, Ω, t) φ (r, Ω, t) φ (r, t) , (53) Σs(r, Ω, t) = ˆ dΩ02Σs(r, Ω · Ω0, t) , (54) S (r, t) = ˆ dΩ2S (r, Ω, t) , (55) e Σs(r, t) = ´ dΩ2_Σ s(r, Ω, t) φ (r, Ω, t) φ (r, t) , (56)

com isso escrevemos a equação sob a forma: 1 v dφ dt + ∇ · J + Σt(r, t) φ (r, t) = Σs(r, t) φ (r, t) + S (r, t) , (57) ou alternativamente como 1 v dφ dt + ∇ · J + Σa(r, t) φ (r, t) = S (r, t) , (58)

onde usamos a denição a denição usual:

Σt(r, t) = Σa(r, t) + Σs(r, t) . (59)

A equação (46) juntamente com as condições de contorno é suciente para deter-minar unicamente a solução, e a solução existe. Porem as condições de contorno e partida não possibilita determinar a solução de φ e J (unicamente) em (57) - assu-mindo que são funções independentes, necessitamos para isso de uma outra condição que relacione ambos φ e J, esta relação é uma aproximação chamada Lei de Fick.

(19)

18

Lei de Fick e Equação da Difusão

A lei de Fick é a aproximação introduzida em (57) de forma a obter a equação de difusão, ela nos fornece o relacionamento entre J e φ de forma a estabelecer uma condição suciente para que (57) adimita solução. Para isso vamos expandir o uxo angular φ (r, Ω, t) em termos da direção Ω, via séria de potências, como:

φ (r, Ω, t) = 1

4π[A (r, t) + 3B (r, t) · Ω + ...] , (60)

onde a função A e o vetor B são os termos da expansão e os fatores 1

4π e 3 na relação

acima são escolhidos por conveniência.

Devemos determinar A e B em termos de φ e J, para isso - considerando a expansão em truncada em primeira ordem - integrando (60) em termos de Ω segue que6_: ˆ dΩ2φ (r, Ω, t) = 1 4π ˆ dΩ2A (r, t) + ˆ dΩ23B (r, t) · Ω , (61) ˆ dΩ2φ (r, Ω, t) = 1 4π ˆ dΩ2A (r, t) + 3 ˆ dΩ2B (r, t) · Ω = A (r, t) (62) ou A (r, t) = ˆ dΩ2φ (r, Ω, t) = φ (r, t) , (63)

A é a própria densidade de nêutrons. Para determinarmos B devemos multiplicar (60) por Ωz e integrar, ou seja7:

ˆ dΩ2φ (r, Ω, t) Ωz = 1 4π ˆ dΩ2A (r, t) Ωz+ 3 ˆ dΩ2B (r, t) · ΩΩz , (64) J (r, t) = ˆ dΩ2φ (r, Ω, t) Ωz = 1 4π  A (r, t) ˆ dΩ2Ωz+ 3   Bx ´ dΩ2_Ω xΩz+ +By ´ dΩ2ΩyΩz +Bz ´ dΩ2_Ω2 z +    , (65) J (r, t) = ˆ dΩ2φ (r, Ω, t) Ωz = 3Bz 4π ˆ dΩ2Ω2_z, (66) ou

6_{Aqui usamos o fato de que} ´ _dΩ2 _{= 4π} _e ´_dΩ2_{B (r, t) · Ω = 0}_{, mostre isso ! Cosidere as}

projeções como na gura abaixo.

7_{Onde vamos usar as relações:} ´_Ω zdΩ2= ´ ΩzΩxdΩ2= ´ ΩzΩydΩ2= 0e ´ Ω2 zdΩ2= 4π3.

(20)

J (r, t) = ˆ

dΩ2φ (r, Ω, t) Ωz = Bz. (67)

Repetindo o processo para x e y é facil mostrar que :

Jx(r, t) = Bz(r, t) , (68)

Jy(r, t) = Bz(r, t) , (69)

Jz(r, t) = Bz(r, t) , (70)

ou simplismente

B (r, t) = J (r, t) . (71)

Desta forma nossa aproximação pode ser reescrita como φ (r, Ω, t) = 1

4π[φ (r, t) + 3J (r, t) · Ω] . (72)

Agora para estabelecer o relacionamento entre φ e J devemos substituir a relação acima na equação de transporte (46), porém por simplicidade vamos assumir a fonte externa como isotrópica:

S (r, Ω, t) = 1

4πS (r, t) . (73)

Realizando a substituição obtemos de :    1 v 1 4π dφ dt + 3 dJ dt · Ω + +_4π1 Ω · [∇φ + 3∇J · Ω] + +Σt(r, Ω, t)_4π1 [φ + 3J · Ω]    = ˆ dΩ02Σs(r, Ω0· Ω, t) 1 4π[φ + 3J · Ω 0 ]+ 1 4πS (r, t) , (74) 1 v 1 4π dφ dt + 3 dJ dt · Ω = − 1 4πΩ · [∇φ + 3∇J · Ω] (75) − Σt(r, Ω, t) 1 4π[φ + 3J · Ω] (76) − Σt(r, Ω, t) 1 4π[φ + 3J · Ω] (77) + ˆ dΩ02Σs(r, Ω0· Ω, t) 1 4π[φ + 3J · Ω 0 ] (78) + 1 4πS (r, t) (79)

(21)

20 1 v 1 4π   dφ dt + 3   dJx dt Ωx+ +dJy dt Ωy+ +dJz dt Ωz     = − 1 4πΩ · [∇φ + 3∇ [JxΩx+ JyΩy+ JzΩz]] (80) − Σt(r, Ω, t) 1 4π[φ + 3 [JxΩx+ JyΩy+ JzΩz]] + ˆ dΩ02Σs(r, Ω0· Ω, t) 1 4πφ + ˆ dΩ023Σs(r, Ω 0_{· Ω, t)} 4π JxΩ 0 x+ JyΩ0y + JzΩ0z + 1 4πS (r, t) ,

multiplicando novamente por Ωz e integrando, após denir a quantidade ¯µ (r, t) por

ˆ

dΩ2ΩzΣs(r, Ω0· Ω, t) = Σs(r, t) ¯µ (r, t) Ω0z, (81)

que não é nada mais nada menos que o cosseno médio de espalhamento. Então a integração de (80) resulta em : 1 v dJz dt = − 1 3 ∂φ ∂z − Σt(r, t) Jz (82) + ˆ dΩ2 ˆ dΩ02 3Σs(r, Ω 0_{· Ω, t)} 4π JzΩ 0 zΩz , (83)

onde usamos o fato de que: _ˆ

dΩ2ΩvΩwΩu = 0, (84)

então a equação acima toma a forma8 _de:

1 v dJz dt = −3 ∂φ ∂z − Σt(r, t) Jz (88) + JzΣs(r, t) ¯µ (r, t) + S (r, t) , (89) ou 1 v dJz dt +3 ∂φ ∂z + [Σt(r, t) − Σs(r, t) ¯µ (r, t)] Jz = 0, (90)

8_{Cálculo do termo de transferência:}

ˆ dΩ2 ˆ dΩ02 3Σs(r, Ω 0_{· Ω, t)} 4π JzΩ 0 zΩz = 3Jz 4π ˆ dΩ02 ˆ dΩ2[Σs(r, Ω0· Ω, t) Ωz] Ω0z (85) = 3Jz 4π ˆ dΩ02Σs(r, t) ¯µ (r, t) Ω0zΩ0z (86) = JzΣs(r, t) ¯µ (r, t) , (87)

(22)

denindo a secção de choque de transferência como a quantidade: [Σt(r, t) − Σs(r, t) ¯µ (r, t)] = Σtr(r, t) , (91) obtemos: 1 v dJz dt + 1 3 ∂φ ∂z + Σtr(r, t) Jz = 0. (92)

Repetindo o processo para x e y segue que o resultado é: 1 v dJ dt + 1 3∇φ + Σtr(r, t) J = 0, (93)

mas essa ainda não é a lei de Fick, para obter a lei devemos ainda supor que o termo

1 v

dJ

dt é nulo, o que é bem razoável para reatores térmicos pois temos que v ≈ 10 5 cm

s

e Σtr ≈ 1_cm1 , de forma que devemos uma variação signicante de J em um intervalo

de de tempo ≤ 10−5

s, em reatores rápidos v é ainda maior, de forma que a variação de J ainda menos provável. Estes argumentos justicam esta aproximação.

Assumindo a derivativa nula obtemos nalmente a lei da Fick,

J = − 1

3Σtr(r, t)

| {z }

≡D(r,t)

∇φ, (94)

onde o termo de proporcionalidade D (r, t) é chamado de coeciente de difusão. Aplicando a lei de Fick em (57) obtemos a equação de Difusão,

1 v

dφ

dt − ∇ · D (r, t) ∇φ + Σt(r, t) φ = Σs(r, t) φ + S (r, t) (95) ou mais comumente escrita como

1 v

dφ

dt − ∇ · D (r, t) ∇φ + Σa(r, t) φ = S (r, t) . (96)

Condições de contorno para a equação de difusão de nêutrons.

Como comentado anteriormente para o caso de transporte para determinar a solução completa de (96) devemos a condição inicial e as condições de contorno.

A condição inicial deve ser conhecida e indicada de maneira completa, isto não fornece diculdades práticas em sua especicação, já as condições de contorno devem ser especicadas por considerações físicas em relação ao sistema. Trataremos três contornos especícos, os quais são:

1. Contorno no innito;

2. Contorno entre dois meios materiais (separação ente interfaces); 3. Contorno entre o meio material e o vácuo.

(23)

22 Contorno no innito.

Neste caso assumimos que no innto, ou em regiões arbitrariamente distantes, uxo de nêutrons permanece nito o que reete uma realidade física bastante razoável. Isto deve ser válido sempre, exceto possivelmente nas proximidades de fontes externas (veremos isso mais tarde).

Contorno entre dois meios materiais (separação ente interfaces).

Em transporte esta condição é bastante clara, devemos ter a densidade angular con-tínua na interface. Esta condição não pode ser expressa exatamente em difusão, mas heuristicamente devemos assumir que a corrente J (r, t) e o uxo φ (r, t) devem ser contínuos na interface. Mais explicitamente, olhando para o contorno exemplicado na Figura 4 - b, podemos escrever estas condições como:

φ1(rs, t) = φ2(rs, t) , (97)

n · J1(rs, t) = −n · J2(rs, t) , (98)

onde os subíndices se referem aos diferentes maios 1 e 2. Contorno entre o meio material e o vácuo.

A condição de contorno entre o meio material e o vácuo, ou simplesmente condição de vácuo não pode ser expressa exatamente como em (41). Mas podemos assumir que a corrente que sai pela superfície que delimita o sistema não retorna.

Para exemplicar assuma que nossa superfície é um plano perpendicular ao eixo z, então podemos escrever para o uxo angular aproximado:

ˆ Ω.n<0 Jz(r, Ω) dΩ2 = ˆ Ω.n<0 Ωzφ (r, Ω) dΩ2 = 0, (99)

onde a integração é tomada somente nos valores negativos (os nêutrons não retornam para o sistema). Ou,

ˆ Ω.n<0 Ωzφ (r, Ω) dΩ2 = 0 = 1 4π ˆ Ωz<0 dΩ2[φ (r) + 3Jz(r) Ωz] , (100) explicitando os cálculos: 1 4π ˆ Ωz<0

sin θ cos θdθdφ [φ (r) + 3Jz(r) cos θ] = 0, (101)

1 4π ˆ 0 −1 ˆ 2π 0

dθdφ sin θ cos θ [φ (r) + 3Jz(r) cos θ] = 0, (102)

1 2 ˆ 0 −1 dµµ [φ (r) + 3Jz(r) µ] = 0, (103) φ (r)µ 2 2 + 3Jz(r) µ3 3 0 −1 = 0, (104)

(24)

φ (r) = 2Jz(r) , (105)

que fornece a seguinte expressão que deve ser válida próximo do contorno: 1 φ (r) ∂φ (r) ∂z = − 1 2D. (106)

Suponha que na proximidade do contorno possamos aproximar o uxo por uma função linear da forma, onde z = 0 na supercie do contorno

φ (z) = φ0(1 + κz) , (107)

logo

Jz = φ0κ, (108)

mas na superfície vale a relação (106) de forma que em z = 0 tenhamos 1 φ (r) ∂φ (r) ∂z = φ0κ φ0 = κ = − 1 2D, (109) ou κ = −3Σtr 2 e φ (z) = φ0 1 − 3Σtr 2 z

. Contudo, o uxo deve se anular a uma distância dl do contorno, o subíndice l adivém da aproximação linear para o uxo

adotada, que é φ (dl) = φ0 1 −3Σtr 2 dl = 0 (110) então dl= 2 3Σtr , (111)

que é chamado de distância extrapolada (C.f. Figura 5).

vácuo meio d d_l ﬂuxo ﬂuxo extrapolado linearmente

Figure 5: Representação da distância extrapolada - linearmente e real.

Devemos ter em mente que a distância extrapolada é uma maneira de ajustar, a descrição para a aproximação de difusão.

O cálculo da distância extrapolada pode ser realizado a partir da equação de transporte e é função do espalhamento (grau de anisotropia), ssão e absorção do meio material bem como da curvatura da superfície que delimita o material. Para

(25)

24 o caso particular de um sistema puramente espalhador, a superfície plana e con-siderando o espalhamento isotrópico é possível mostrar que:

d = 0.7104 Σtr

= 0.7104λtr. (112)

Vamos adotar para todos os casos que (112) é valido, para efeito de cálculos somente.

(26)

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