EXERCÍCIOS 4
Aqui você encontra a resolução dos exercícios propostos no Capítulo 4 do
livro DINÂMICA DO VOO ESPACIAL, da Editora UFABC, de minha autoria.A teoria necessária para o desenvolvimento dos exercícios propostos encontra se no respectivo capítulo do livro. Desta forma é importante que você estude a teoria para uma completa compreensão dos exercícios.Os exercícios deverão complementar os estudos sobre o movimento de veículos espaciais e te ajudar a fixar os conceitos envolvidos.Duvidas poderão ser esclarecidas através do email: mceciliazanardi@gmail.com.
1) Obter os elementos das matrizes de transformação que relaciona o sistema inercial com o sistema vertical e com o sistema do veículo, em termos dos ângulos de Euler (ψ,θ,ϕ), da latitude e longitude geográficas e do ângulo horário. SOLUÇÃO: Como ( ⃗) ( ⃗) ( ⃗) ( ⃗) tem-se que: ( ⃗) ( ⃗) ( ⃗) ( ⃗) ( ⃗) ( ⃗) sendo que e são conhecidos. Então:
[ ] [ ]
[
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ]
e a matriz que relaciona o sistema inercial ao do veículo é dada por:
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2) Obter os elementos da matriz de transformação que relaciona o sistema do veículo com o sistema geocêntrico.
SOLUÇÃO: ( ⃗) ( ⃗) ( ⃗) ( ⃗) com dada em (4.5). [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3) Obter as velocidades angulares ⃗⃗⃗ ⁄ e ⃗⃗⃗ ⁄ expressas no sistema vertical e no sistema inercial.
SOLUÇÃO:
⃗⃗⃗
⁄ ̇ ⃗ ̇ ⃗
⃗ ⃗ ⃗
Então, ⃗⃗⃗ ⁄ no sistema vertical é dado por: ⃗⃗⃗ ⁄ ̇ ⃗ ̇ ⃗ ̇ ⃗ Da equação (4.6) ⃗⃗⃗ ⁄ ̇ ⃗ ̇ ⃗ ̇ ⃗ Utilizando (4.1) e (4.2) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ então: ⃗⃗⃗ ⁄ ̇ ( ) ⃗ ̇ ( ) ⃗ ̇ ⃗
⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗ ⁄
⃗⃗⃗
⁄ ⃗ ⃗
assim, no sistema inercial: ⃗⃗⃗ ⁄ ̇ ( ) ⃗ ̇ ( ) ⃗ ( ̇ ) ⃗ Como por (4.5) ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗ ( ⃗ ⃗ ) então: ⃗⃗⃗ ⁄ ( ̇ ) ⃗ ̇ ⃗ ( ̇ ) ⃗
e ⃗⃗⃗ ⁄ no sistema vertical é dado por: ⃗⃗⃗
⁄ ( ̇ ) ⃗ ̇ ⃗ ( ̇ ) ⃗
4) Obter ⃗⃗⃗ ⁄ em termos dos ângulos de Euler (ψ,θ,ϕ) e da latitude e longitude geográficas. SOLUÇÃO: De (4.11), (4.10) e do exercício 3: ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗ ⁄ ( ̇ ̇) ⃗ ( ̇ ̇ ) ⃗ ( ̇ ̇ ) ⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ ̇ ⃗ ̇ ⃗ ̇ ⃗ Utilizando (4.9) ⃗ ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗
⃗ ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ logo: ⃗⃗⃗ ⁄ { ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ } ⃗ { ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ } ⃗ { ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ } ⃗
Portanto, ⃗⃗⃗ ⁄ no sistema do veículo é dado por: ⃗⃗⃗ ⁄ { ̇ ̇ ̇( ) ̇ } ⃗ { ̇ ̇ ̇[ ( ) ] ̇( )} ⃗⃗⃗ { ̇ ̇ ̇[ ( ) ] ̇ ( ) } ⃗
5) Pelo princípio de conservação de massa, qual a expressão do fluxo de massa total através da superfície de saída do bocal. Identifique todos os parâmetros.
Pela equação (4.20), o fluxo massa total através da superfície de saída do bocal é dado por
∫ ( ⃗⃗ ⃗⃗)
sendo:
: área na saída do bocal da turbina
: elemento de área na saída do bocal da turbina : densidade do fluido
⃗⃗ : velocidade do elemento do fluido em relação ao volume de controle ⃗⃗ : vetor unitário normal à superfície
6) Defina o raio do CM do fluxo de massa total através da superfície de saída e a velocidade de escape média. Identifique todos os parâmetros.
SOLUÇÃO:
Pela equação (4.21) o raio do CM do fluxo de massa total através da superfície de saída é dado por:
⃗ ∫ ⃗ ( ⃗⃗ ⃗⃗)
sendo:
: fluxo de massa total
⃗ : vetor posição do elemento de massa relativo ao CM do foguete : área na saída do bocal da turbina
: elemento de área na saída do bocal da turbina : densidade do fluido
⃗⃗ : velocidade do elemento do fluido em relação ao volume de controle ⃗⃗ : vetor unitário normal à superfície
Pela equação (4.26) a velocidade de escape ⃗⃗ é dada por:
⃗⃗ ∫ ⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗⃗)
7) Se você não considerar o vetor posição ⃗⃗ praticamente paralelo à ⃗⃗
, o que
acontece com as expressões dos momentos de Coriolis e Relativo?
SOLUÇÃO:
Se ⃗ não é paralelo à ⃗
então a parcela do momento de Coriolis e relativo
∫ ( ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
não pode ser desprezada, devendo ser mantida na expressão do cálculo desses momentos. Essa parcela corresponde ao momentum angular do foguete devido ao momento relativo dos componentes do foguete com respeito ao CM, ou seja, somente os gases de combustão em movimento contribuem para este momentum angular.
8) Sendo conhecida a força de gravidade no sistema vertical ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , obtenha as componentes de ⃗⃗⃗⃗⃗ no sistema do veículo e no sistema geocêntrico.
SOLUÇÃO:
Pela equação (4.9) tem-se que:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Logo, ⃗⃗⃗⃗ no sistema do veículo é dado por:
⃗⃗⃗⃗ { ⃗ ⃗ ⃗ } Pela equação (4.5) :
então:
⃗⃗⃗⃗ { ⃗ ⃗ ⃗ }
9) Obter as coordenadas geográficas em função das coordenadas inerciais do raio do vetor do CM do foguete e do ângulo horário.
SOLUÇÃO: Pela equação (4.45)
com e representados na figura (4.3). Mas, pelas equações (4.1) e (4.2) ( ⃗) ( ⃗) logo: ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ⃗ ⃗ ) ( ⃗ ⃗ ) ⃗ Então:
( )
10) Como se determina os ângulos de elevação, declive e azimute em função dos elementos da matriz LpV. Considere .
SOLUÇÃO:
A matriz é obtida a partir de (4.13)
Uma maneira de obter os ângulos de elevação , declive e azimute é utilizando os elementos da matriz : { {
11) Obter explicitamente o ângulo da trajetória de voo e o ângulo de azimute da trajetória de voo em termos dos ângulos de Euler (ψ,θ,ϕ) e das componentes ⃗⃗⃗ no sistema do veículo.
SOLUÇÃO:
No sistema vertical a velocidade é dada pela equação (4.48). No sistema do veículo, a velocidade é dada por:
⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Assim, utilizando (4.49) e a matriz dada em (4.9), tem-se:
Portando, conhecendo-se as componentes e os elementos da matriz :
{
12) Sendo conhecida a velocidade do veículo no sistema do veículo e a matriz de transformação LpI dados abaixo, determinar a posição do veículo com relação ao
sistema inercial, sendo que t representa o tempo em segundos.. 13) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗⃗ ( ( ) ( ) ( ) ( ) )
SOLUÇÃO:
As velocidades do veículo expressas no sistema do veículo e no sistema inercial se relacionam através da matriz de transformação .
| ⃗⃗ | | ⃗⃗ | | ⃗⃗ | | ⃗⃗ | [ ̇ ̇ ̇ ] [ ] Com dada em (4.13) ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ) ⃗ ⃗ [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ⃗⃗ [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ ] ⃗⃗ [ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ]
Mas no sistema inercial
⃗⃗ ̇ ⃗ ̇ ⃗ ̇ ⃗ logo:
[ ̇ ̇ ̇ ] [ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ]
Considerando que no instante inicial , ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ e sabendo
que: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∫ ⃗⃗ ̇ ( ) ( ) ( ) ∫ [ ( ) ( ) ( )] ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ̇ ̇ ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
Realizando as integrações obtém-se:
14) Se em um dado instante são conhecidos o ângulo de ataque α, o ângulo de ataque lateral β, o módulo da velocidade V e a matriz de rotação LpI, determine as
componentes da velocidade no sistema inercial.
(
)
SOLUÇÃO:
Pelas equações (4.55) e (4.53) no sistema do veículo, as componentes de ⃗⃗ são (ver figura 4.11) Com os dados ( ) ( ) ( ) ( ) Portanto: ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Sabe-se que as componentes de ⃗⃗ no sistema inercial são dadas por:
[ ̇ ̇ ̇
[ ̇ ̇ ̇ ] [ ] [ ] ̇ ̇ ̇
15) Em um dado instante são conhecidos:
( √ ⁄ ⁄ ⁄ √ ⁄ ) λ = 30°, ϕ = 60°, H = 30° ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
Determinar o ângulo de trajetória de voo, o ângulo de azimute da trajetória de voo e os ângulos de Euler (ψ, θ, ϕ) que relacionam o sistema do veículo com o sistema vertical (considere ).
SOLUÇÃO:
A matriz de transformação entre o sistema do veículo e o sistema inercial é dada pela equação (4.13).
( ) ( ) ( )
Sendo:
( ): matriz de transformação entre sistemas geocêntrico e vertical, equação (4.5)
( ): matriz de transformação entre sistemas inercial e geocêntrico, equação (4.2)
: matriz de transformação entre sistemas inercial e do veículo, equação 4.13
: matriz de transformação entre sistemas do veículo e vertical dada pelos ângulos de
Euler, equação 4.9 : ângulo de azimute
: ângulo de elevação : ângulo de declive
A matriz de transformação entre os sistemas do veículo e o vertical pode ser então escrito como:
Conhecidos pode-se obter
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ √ ⁄ ⁄ ⁄ √ ⁄ ] [ ] [ ]
[
]
As velocidades são relacionadas pelas matrizes de transformação com:
( ⃗⃗ ) ( ⃗⃗ ) : velocidade no sistema vertical em relação ao do veículo ( ⃗⃗ ) ( ⃗⃗ ) : velocidade no sistema inercial em relação ao do veículo
De acordo com a equação (4.48) a equação de ( ⃗⃗ ) pode ser reescrita em termos de ⃗ ⃗ ⃗ : [ ] [ ]
Sabendo que , , , é o ângulo da trajetória de voo e é o ângulo de azimute da trajetória de voo.
[ ] [ ] [ ] Sendo √ ( ) }
Para a determinação dos ângulos de Euler é dada por:
( ) [ ]
Mas: [ ] Então: } }
