Fis641RevisaoMatematica

1

Conven¸

c˜

oes

Coord. Cartesianas: P (x, y, z), base (ˆx, ˆy, ˆz) Coord. Cil´ındricas: P (ρ, ϕ, z), base (ˆρρρ, ˆϕϕϕ, ˆz) Coord. Esf´ericas: P (r, θ, ϕ), base (ˆr, ˆθθθ, ˆϕϕϕ) Coord. Gen´ericas: P (x1, x2, x3), base (ˆxxx1, ˆxxx2, ˆxxx3)

Vetor posi¸c˜ao: r = x ˆx + y ˆy + z ˆz = ρ ˆρρρ + z ˆz = r ˆr Coeficientes m´etricos: hi, i = 1, 2, 3

2

Sistemas de Coordenadas

2.1

Coeficientes m´

etricos

Neste sistema, os elementos de deslocamento, superf´ıcie e volume s˜ao, respectivamente:

dr = dl = 3 X i=1 hidxixxˆxi= h1dx1ˆxxx1+ h2dx2xˆxx2+ h3dx3xˆxx3 dSij = hihjdxidxj dV = 3 Y i=1 hidxi= h1h2h3dx1dx2dx3 2.1.1 Coordenadas Cartesianas hx= hy= hz= 1

2.1.2 Coordenadas Cil´ındricas

hρ= hz= 1, hϕ= ρ

2.1.3 Coordenadas Esf´ericas

hr= 1, hθ= r, hϕ= r sen θ

2.2

Gradiente

Considere uma fun¸c˜ao escalar φ(r). A equa¸c˜ao φ(r) = φ0representa uma superf´ıcie no espa¸co euclidiano

em trˆes dimens˜oes. O vetor gradiente de φ num ponto qualquer dessa superf´ıcie ´e perpendicular `a ela no ponto em quest˜ao, sentido de φ crescente, tendo como magnitude a derivada direcional m´axima da fun¸c˜ao naquele ponto. Portanto,

dφ = ∇∇∇φ ··· dr.

A express˜ao do gradiente em um sistema gen´erico de coordenadas ´e:

∇∇∇φ = 3 X i=1 1 hi ∂φ ∂xi ˆ x xxi= 1 h1 ∂φ ∂x1 ˆ x x x1+ 1 h2 ∂φ ∂x2 ˆ x xx2+ 1 h3 ∂φ ∂x3 ˆ x x x3

2.3

Divergente

O divergente de um vetor A(r) num ponto do espa¸co ´e o fluxo daquele vetor que nasce no ponto em quest˜ao, por unidade de volume:

∇ ∇∇ ··· A = lim ∆v→0 1 ∆v I ∆S A ··· ˆn dS.

Da´ı se pode obter facilmente o teorema de Gauss: I S A···ˆn dS = Z v ∇∇∇ ··· A dv. A express˜ao do divergente em um sistema gen´erico de coordenadas ´e:

∇∇∇···A = 1 h1h2h3  _∂ ∂x1 (h2h3A1) + ∂ ∂x2 (h3h1A2) + ∂ ∂x3 (h1h2A3) 

2.4

Rotacional

O componente do rotacional numa dire¸c˜ao ˆn do espa¸co representa a densidade superficial da circula¸c˜ao do vetor num plano perpendicular a ˆn:

(∇∇∇ ××× A) ··· ˆn = lim ∆S→0 1 ∆S I ∆l A ··· dr.

Da´ı se obtem facilmente o teorema de Stokes: I l A ··· dr = Z S ∇∇∇ ××× A ··· ˆn dS. A express˜ao do rotacional em um sistema gen´erico de coordenadas ´e1:

∇ ∇∇×A = 1 h1h2h3            h1xxˆx1 h2xˆxx2 h3xˆxx3 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x3 h1A1 h2A2 h3A3            = 3 X i,j,k=1 ijk ˆ x x xi hjhk ∂(hkAk) ∂xj

2.5

Laplaciano

A express˜ao do laplaciano em um sistema gen´erico de coordenadas ´e: ∇2_{φ =} 1 h1h2h3  _∂ ∂x1  h2h3 h1 ∂φ ∂x1  + ∂ ∂x2  h3h1 h2 ∂φ ∂x2  + ∂ ∂x3  h1h2 h3 ∂φ ∂x3 

3

Angulo S´

ˆ

olido

E uma medida da abertura espacial determinada por uma superf´ıcie em rela¸c˜ao a um ponto de referˆencia que n˜ao perten¸ca a ela. Comecemos com uma superf´ıcie em forma de uma calota esf´erica de raio R. O ˆ

angulo s´olido, medido em esfero-radianos ou stereo-radianos (sr) ´e, por defini¸c˜ao Ω = A

R2,

sendo independente do raio da esfera, pois a ´area ´e proporcional ao quadrado do raio. Para generalizar, consideremos um elemento de ´area ∆S muito pequeno; Sendo R a distˆancia do ponto de referˆencia P ao centro de ∆S, e ∆S0 a calota de uma esfera de raio R com centro em P , o ˆangulo s´olido ser´a

∆Ω ≈ ∆S

0

R2 ≈=

∆S ˆn ··· ˆR R2 ,

onde ˆn ´e o versor perpendicular as ∆S0. No limite ∆S0→ 0, temos

dΩ = n ··· ˆˆ R R2 dS =⇒ Ω = Z S ˆ n ··· ˆR R2 dS.

Denotando por r0 o vetor posi¸c˜ao de P , a express˜ao geral fica Ω =

Z

S

(r − r0) ··· ˆn |r − r0_|2 dS.

O ˆangulo s´olido total ao redor de um ponto qualquer ´e 4π sr. Assim, temos que I

S

(r − r0) ··· ˆn

|r − r0_|2 dS = 4π.

Em coordenadas esf´ericas, dΩ = sen θ dθ dϕ.

1_

ijk´e o s´ımbolo de Levi-Civita, definido como ijk=



±1, se i, j, k for uma permuta¸c˜ao par/´ımpar de (1,2,3), respectivamente 0, em caso contr´ario

4

O delta de Dirac

A ”fun¸c˜ao”impulso unit´ario ou delta de Dirac, que n˜ao ´e uma fun¸c˜ao no sentido cl´assico, mas sim uma distribui¸c˜ao2 pode ser definida de v´arias maneiras. Uma das mais comuns ´e a que se segue:

δ (x − a) = 0, para x 6= a, Z ∞ ∞ δ (x − a) = Z a+ε a−ε δ (x − a) = 1. Algumas propriedades importantes:

Z ∞ ∞ f (x)δ (x − a) = Z a+ε a−ε f (x)δ (x − a) = f (a) δ (ax) = 1 |a|δ (x) δ[f (x)] = n X i=1 δ (x − ξi) |f0_(ξ i)| ,

onde os ξi s˜ao os zeros de f (x) (obviamente, f deve possuir apenas zeros simples).

δ (x − a) = d

dxΘ (x − a),

onde Θ(x − a) ´e a fun¸c˜ao degrau unit´ario (igual a 0 para x < a, igual a 1 para x > a). Algumas representa¸c˜oes do delta de Dirac:

δ (x) = 1 πε→0lim ε x2_{+ ε}2 = 1 πε→0lim e−(x/2ε)2 ε = lim ε→0 1 ε[Θ (x + ε/2) − Θ (x − ε/2)] = 1 2π Z ∞ −∞ eıkxdk A fun¸c˜ao delta tri-dimensional ´e definida como

δ (r − r0) = 0, para r 6= r0 e Z

v

δ (r − r0) dv = 1,

onde v ´e qualquer volume de integra¸c˜ao que inclua o ponto r0. Ela satisfaz `a important´ıssima identidade: ∇2 1

|r − r0_| = −∇∇∇ ···

(r − r0)

|r − r0_|3 = −4πδ (r − r 0₎

5

Polinˆ

omios de Legendre

S˜ao as solu¸c˜oes regulares, no intervalo (−1,1), da equa¸c˜ao diferencial (1 − x2)y00− 2xy0+ `(` + 1)y = 0, ` ∈ N,

que pode ser resolvida pelo m´etodo usual de s´erie de potˆencias (Frobenius). Apresentamos os primeiros: P0(x) = 1 P1(x) = x P2(x) = 1 2(3x 2_{−1) P} 3(x) = 1 2(5x 3_{−3x) P} 4(x) = 1 8(35x 4_−30x2_+3).

Eles obedecem `as seguintes rela¸c˜oes de recorrˆencia, dentre outras:

(n + 1)Pn+1(x) = (2n + 1)xPn(x) − nPn−1(x),

(2n + 1)Pn(x) = Pn+10 (x) − P 0 n−1(x), Fun¸c˜ao geratriz: G(x,t) = √ 1 1 − 2tx + t2 = ∞ X n=0 Pn(x) tn. F´ormula de Rodrigues: Pn(x) = 1 n! 2n d dxn x 2_{− 1}
n . Propriedades: Pn(1) = 1, Pn(−x) = (−1)nPn(x), P2n+1(0) = 0, P2n(0) = (−1)n (2n − 1)!! n! 2n Ortogonalidade no intervalo (−1,1): Z 1 −1 Pn(x)P`(x) dx = 2 2n + 1δn`, Z π 0

Pn(cos θ)P`(cos θ) sen θ dθ =

2 2n + 1δn`. Outras rela¸c˜oes ´uteis:

Pn(−1) = (−1)n, Z 1 0 P2n(x) dx = 0, para n > 0, Z 1 0 P2n−1(x) dx = (−1)n (2n − 3)!! n! 2n , para n > 1

6

Polinˆ

omios Associados de Legendre

S˜ao as solu¸c˜oes regulares, no intervalo (−1,1), da equa¸c˜ao diferencial (1 − x2)y00− 2xy0+  `(` + 1) − m 1 − x2  y = 0, `, m ∈ N, m ≤ |`|. F´ormula de Rodrigues: P`m(x) = (−1)m `! 2` 1 − x 2
m/2 d `+m dx`+m x 2<sub>− 1</sub>
` . Ortogonalidade: Z 1 −1 P_nm(x)P<sub>`</sub>m(x) dx = 2 2` + 1 (` + m)!

(` − m)!δn` Rela¸c˜oes ´uteis: P_{2`</sub>1(0) = 0, P<sub>2`+1}1 (0) = (−1)`+1(2` + 1)!

(2`<sub>`!)</sub>2 = (−1)

`+1(2` + 1)!!

(2`!!)

7

Harmˆ

onicos Esf´

ericos

Defini¸c˜ao: Y`m(θ, ϕ) = s (2` + 1)(` − m)! 4π(` + m)! P m ` (cos θ) e imϕ Ortogonalidade: Z 2π 0 Z π 0 Y`mY`∗0_m0(θ, ϕ) sen θ dθ dϕ = δ``0δ_mm0

Expans˜ao em Harmˆonicos Esf´ericos f (θ, ϕ) = ∞ X `=0 ` X m=−` A`mY`m(θ, ϕ), com A`m= I f (θ, ϕ)Y<sub>`m</sub>∗ dΩ φ(r, θ, ϕ) = ∞ X `=0 ` X m=−`  A`mr`+ B`m r`+1  Y`m(θ, ϕ)

Alguns Harmˆonicos Esf´ericos Y00(θ, ϕ) = 1 √ 4π, Y10(θ, ϕ) = r 3 4πcos θ, Y11(θ, ϕ) = − r 3 8πsen θ e ıϕ_{, Y} 1,−1(θ, ϕ) = r 3 8πsen θ e −ıϕ Y20(θ, ϕ) = r 5 4π  3 2cos 2_{θ −}1 2  , Y21(θ, ϕ) = − r 5 24π3 sen θ cos θ e ıϕ_{, Y} 2,−1(θ, ϕ) = r 5 24π3 sen θ cos θ e −ıϕ_, Y22(θ, ϕ) = r 5 96π3 2 sen θ eı2ϕ, Y2−2(θ, ϕ) = r 5 96π3 2 sen θ e−ı2ϕ

Teorema da Adi¸c˜ao: P`(ˆr···ˆr0) =

4π 2` + 1 ` X m=−` Y`m(θ, ϕ)Y`m∗ (θ 0<sub>, ϕ</sub>0<sub>)</sub> Conseq¨uentemente, 1 |r − r0<sub>|</sub> = 4π r> ∞ X `=0 ` X m=−` 1 2` + 1  r< r> ` Y`m(θ, ϕ)Y`m∗ (θ0, ϕ0)

8

Fun¸

c˜

oes de Bessel

8.1

Equa¸

c˜

ao de Bessel

Equa¸c˜ao de Laplace em coordenadas cil´ındricas: 1 ρ ∂ ∂ρ  ρ∂ϕ ∂ρ  + 1 ρ2 ∂2φ ∂ϕ2 + ∂2φ ∂z2 = 0

Pelo m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis escrevemos φ(ρ, ϕ, z) = F (ρ)G (ϕ)H (z), e obtemos

H00± λ2_{H = 0, λ ∈ R (1)}

G00+ m2G = 0 (2)

ρ2F00+ ρF0+ (∓λ2ρ2− m2)F = 0 (3)

Para o sinal negativo de λ2 _{na primeira equa¸c˜ao teremos}

H(z) = A eλz+ B e−λz

A substitui¸c˜ao λρ = x, y (x) = F (x/λ) na ´ultima conduz `a equa¸c˜ao de Bessel de ordem m x2y00+ xy + (x2− m2_{)y = 0.}

Por outro lado, a escolha dos sinais inversos conduz a

H (z) = A cos λz + B sen λz

e a mesma substitui¸c˜ao com respeito a ρ leva `a equa¸c˜ao modificada de Bessel de ordem m x2y00+ xy − (x2+ m2)y = 0.

Em qualquer caso a solu¸c˜ao azimutal ´e

G (ϕ) = C cos mϕ + D sen mϕ.

Qual op¸c˜ao escolheremos depender´a fundamentalmente das condi¸c˜oes de contorno, conforme exemplica-remos adiante.

8.2

Fun¸

c˜

oes de Bessel de primeira esp´

ecie

Seja a equa¸c˜ao de Bessel de ordem ν:

x2y00+ xy0+ (x2− ν2_{)y = 0.}

Pelo m´etodo de Frobenius, tentamos

y (x) =

∞

X

n=0

anxp+n,

que substitu´ıdo na equa¸c˜ao de Bessel nos leva a

p2− ν2_{= 0 =⇒ p = ±ν.}

Al´em disso, o coeficiente a1e, consequentemente todos os coeficientes de ordem ´ımpar, resultam ser nulos.

Os pares podem ser obtidos recorrentemente em termos de a0pela rela¸c˜ao

an = −

an−2

(n + p)2_{− ν}2, n ≥ 2

A solu¸c˜ao ´e uma s´erie da forma y = a0xνΓ(1 + ν)  ₁ Γ(1 + ν)− 1 Γ(2 + ν)(x/2) 2_{+ · · ·}  = a02ν(x/2)νΓ(1 + ν)  ₁ Γ(1)Γ(1 + ν) − 1 Γ(2)Γ(2 + ν)(x/2) 2_{+ · · ·}  ,

pois Γ(2) = Γ(1) e Γ(p + 1) = pΓ(p).

Definimos a fun¸c˜ao de Bessel de primeira esp´ecie de ordem ν como

Jν(x) = ∞ X n=0 (−1)n n! Γ(n + ν + 1) x 2 2n+ν ,

que ´e solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao (corresponde `a escolha a0= [2νΓ(1 + ν)]−1) e, pode-se mostrar, converge

para todo x.

8.3

Segunda solu¸

c˜

ao: fun¸

c˜

oes de Neumann

Para ν n˜ao inteiro, a segunda solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Bessel tamb´em pode ser obtida pelo m´etodo de Frobenius. Obtemos J−ν(x) = ∞ X n=0 (−1)n n! Γ(n − ν + 1) x 2 2n−ν ,

que ´e linearmente independente de Jν(x). Por´em, para valores inteiros de ν Jν e J−ν s˜ao linearmente

dependentes. De um modo geral, podemos escrever a segunda solu¸c˜ao de (8.2) em termos das

8.4

Fun¸

c˜

oes de Bessel de segunda esp´

ecie ou fun¸

c˜

oes de Neumann

A fun¸c˜ao de Neumann ´e definida por Nν =

Jν(x) cos νπ − J−ν(x)

sen νπ ,

que embora seja indeterminada para ν inteiro, podemos em tal caso aplicar a regra de L’Hospital, obtendo Nn(x) = lim ν→n 1 π  ∂Jν(x) ∂ν − (−1) n∂Jν(x) ∂ν  ν=n

As fun¸c˜oes de Neumann apresentam comportamento divergente quando x → 0.

8.5

Comportamento assint´

otico

Para ν = n ∈ IN , lim x→0Jn(x) = 1 n! x 2 n lim x→0Nn(x) =  −(n−1)!_π x 2
−n , n 6= 0 2 πln x 2
+ γ) , n = 0 lim x→∞Jn(x) = r 2 πxcos  x − nπ 2 − π 4  lim x→∞Nn(x) = r 2 πxsen  x − nπ 2 − π 4 

onde γ = 0,5772 . . . ´e a constante de Euler.

8.6

Fun¸

c˜

oes de Hankel

O comportamento assint´otico para x → ∞ acima sugere a defini¸c˜ao das fun¸c˜oes de Hankel de primeira esp´ecie:

H_n(1)(x) = Jn+ ıNn(x)

Hn(2)(x) = Jn− ıNn(x),

que se comportam assintoticamente como exponenciais complexas (divididas por x1/2), adequadas para a representa¸c˜ao de ondas na nota¸c˜ao fasorial.

8.7

Ortogonalidade

Sendo λmn os zeros da fun¸c˜ao de Bessel de ordem m, Jm(λmn) = 0, pode-se mostrar que

Z a 0 Jm(λmkρ)Jm(λmlρ) ρ dρ = a2 2 [J 0 m(λmk)]2δml= a2 2 [Jm+1(λmk)] 2_δ ml

8.8

Completeza

Num intervalo infinito:

Z ∞ 0 Jm(kρ)Jm(kρ0) k dk = 1 ρδ(ρ − ρ 0_{), ρ, ρ}0_{> 0.}

8.9

S´

erie de Fourier-Bessel

Uma fun¸c˜ao arbitr´aria f (ρ) integr´avel no intervalo [0, a] pode ser desenvolvida em s´erie de Fourier-Bessel de ordem m f (ρ) = ∞ X n=1 βmnJm  λmnρ a  , onde βmn= 2 a2_[J0 m(λmn)]2 Z a 0 f (ρ)Jm  λmnρ a  ρ dρ.

8.10

Transformada de Fourier-Bessel

Analogamente, num intervalo ilimitado ρ > 0, temos o an´alogo do par transformado de Fourier (Fourier-Bessel, neste caso):

F (k) = Z ∞ 0 f (ρ)Jm(kρ) ρ dρ, f (ρ) = Z ∞ 0 F (k)Jm(kρ) k dk.

8.11

Rela¸

c˜

oes de recorrˆ

encia

Jn+1(x) = 2n xJn(x) − Jn−1(x) = Jn−1(x) − 2J 0 n(x) = −xn ∂ ∂x[x −n_J n(x)] ∂ ∂x[x n_J n(x)] = xnJn−1(x) ou Z xnJn−1(x) dx = xnJn(x)

As mesmas rela¸c˜oes s˜ao v´alidas para as fun¸c˜oes de Neumann e de Hankel, isto ´e, substituindo nas express˜oes acima Jn−→ Nn, H

(1) n ou H

(2)

n elas continuam verdadeiras.

8.12

Representa¸

c˜

oes integrais

Mais do que ocasionalmente, as seguintes representa¸c˜oes integrais s˜ao ´uteis: Jm(x) = 1 π Z π 0 cos(nθ − xsenθ) dθ Jm(x) = 1 2πım Z 2π 0 eı(x cos ϕ+mϕ)dϕ = 1 2π Z 2π 0 eı(x sen ϕ−mϕ)dϕ, Jν(x) = 1 √ π(ν − 1/2)! x 2 νZ π 0 e±ıx cos θ 2νsen θ dθ H₀(1)(x) = −ı π Z ∞ −∞ eı√x2_+u2 √ x2_{+ u}2du

8.13

Fun¸

c˜

oes de Bessel Modificadas

Como visto, as fun¸c˜oes de Bessel modificadas s˜ao as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial x2y00+ xy − (x2+ m2)y = 0.

Elas podem ser obtidas a partir das fun¸c˜oes de Bessel e Neumann atrav´es de uma mudan¸ca do argumento (x → ix):

Im(x) = ımJm(ıx),

onde o fator ım_{´e escolhido para tornar I}

m real. Ao inv´es de definir a segunda solu¸c˜ao em termos de Nn

apenas, ´e prefer´ıvel defin´ı-la a partir de uma das fun¸c˜oes de Hankel: Km(x) = π 2ı m+1_H(1) m (ıx) = π 2ı m+1_[J m(ıx) + ıNm(ıx)] .

O comportamento dessas fun¸c˜oes quando x → 0 e x → ∞ s˜ao delineados a seguir: lim x→0In(x) = 1 n! x 2 n lim x→0Kn(x) =  (n−1)! 2 x 2
−n , n 6= 0 −ln x 2
+ γ , n = 0 lim x→∞In(x) = 1 √ 2πxe x lim x→∞Kn(x) = r π 2xe −x

9

Fun¸

c˜

oes de Bessel Esf´

ericas

9.1

Defini¸

c˜

ao

Fun¸c˜oes de Bessel e Neumann esf´ericas s˜ao assim definidas: jm(x) = r π 2xJm+1/2(x), nm(x) = r π 2xNm+1/2(x). F´ormulas expl´ıcitas: jm(x) = (−x)m  1 x.x m_{sen x} x nm(x) = −(−x)m  1 x.x m cos x x .

9.2

Valores limites e assint´

oticos

Valores limites: lim x→0jm(x) = xm (2m + 1)!!, x→0limnm(x) = − (2m − 1)!! xm+1 .

Valores assint´oticos: lim x→∞jm(x) = 1 xsen  x − mπ 2  , lim x→∞nm(x) = − 1 xcos  x − mπ 2  . Definem-se tamb´em as fun¸c˜oes de Hankel esf´ericas:

h(1,2)_m = jm(x) ± ınm(x),

com comportamentos limites

lim x→0h (1,2) m (x) = ∓ı (2m − 1)!! xm+1 e assint´oticos lim x→∞h (1,2) m (x) = (−1) m+1e±ıx x

9.3

Ortogonalidade e completeza

Denominando γmn o en´esimo zero de jm(x), jm(γmn) = 0, n = 1, 2, 3, · · · , temos a rela¸c˜ao de

ortogona-lidade Z a 0 jm(γmnρ/a)jm(γmkρ/a) ρ2dρ = a3 2 j 2 m+1(γmn)δnk e a de completeza 2 π Z ∞ 0 jm(kρ)jm(kρ0) k2dk = 1 ρδ(ρ − ρ 0_).

9.4

Expans˜

oes em ondas planas

Em duas dimens˜oes: r = ρ ˆρρρ = ρ(cos ϕ ˆx + sen ϕ ˆy):

eık·r= eıkρ cos ϕ= ∞ X m=−∞ ımJm(kρ) eımϕ Em trˆes dimens˜oes: r = r ˆr: eık·r= eıkr cos θ = ∞ X `=0 (2` + 1)ı`j`(kr)P`(cos θ)

Sendo ϑ o ˆangulo entre r e r0, cos ϑ = ˆr·ˆr0 e r<, r> respectivamente o menor e o maior dentre r e r0,

temos eık|r−r0| |r − r0_| = ık ∞ X n=` (2` + 1)j`(kr<)h (1) ` (kr>)P`(cos ϑ) e 2 π Z ∞ 0 j`(kr)j`(kr0) dk = 1 2` + 1 r_<` r`+1> .