Decomposição modular de grafos não orientados

Decomposição Modular de Graios Não Orientados

Este exemplar corresponde à redação final da

Dissertação devidamente corrigida e defendida

por Vagner Pedrotti e aprovada pela Banca

Ex-aminadora.

Campinas, 9 de março de 2007.

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Célia P~in

de Mello (Orientadora)

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GF:ADUAÇÃO

Ci-'G.jC

Dissertação apresentada ao Instituto de

Com-putação,

UNICAMP, como requisito

parcial

para a obtenção do título de Mestre em Ciência

da Computação.

UNIDADE~

N°CHAMADA:

--_2LUNlcAMP?3~~d

V.

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DATA'

81B-10

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FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA

BIBLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP

Bibliotecária:MiriamCristinaAlves- CRB8a/ 5094

P343d

Pedrotti, Vagner

Decomposição modular de grafos não-orientados

/ Vagner Pedrotti

--

Campinas, [S.P. :s.n.], 2007.

Orientadora: Célia Picinin de Mello.

Dissertação (mestrado)

-

Universidade

Estadual

de Campinas,

Instituto de Computação.

1

1. Teoria dos grafos. 2. Representações dos grafos. 3. Algoritmos

:

de computador. L Mello,Célia Picinin de. n. Universidade Estadual de

1

Campinas. Instituto de Computação. m. Título.

Título em inglês: Modular decomposition ofundirected

graphs

Palavras-chaveem inglês (Keywords): 1. Graph theory. 2. Representation of graphs. 3.

Computeralgorithms

Área de concentração:

Teoria da computação

Titulação: Mestre em Ciência da Computação

Banca examinadora: Profa. Ora. Célia Picinin de Mello (IC-Unicamp)

Profa. Ora. SulamitaKlein (COPPE-UFRJ)

Prof. Dr. Orlando Lee (IC-Unicamp)

Profa. Ora. Christiane Neme Campos (IC-Unicamp)

Data da defesa: 09/03/2007

Programa de Pós-Graduação: Mestrado em Ciência da Computação

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Tese defendida e aprovada em 09 de março de 2007, pela Banca

examinadora composta pelos Professores Doutores:

M4A4

Prot. Dr. Orlando Lee

IC - UNICAMP.

-~

Prafa.

nr2::

Pinicin

de

Mella

IC - UNICAMP.

Universidade Estadualde Campinas

De omposição Modular de Grafos Não Orientados

Vagner Pedrotti 1

7 defevereirode 2007

Ban a Examinadora:

•

Célia Pi inin de Mello (Orientadora)

•

Sulamita Klein

COPPE  Universidade Federal doRiode Janeiro

•

Orlando Lee

IC  Universidade Estadualde Campinas

•

Christiane Neme Campos

IC  Universidade Estadualde Campinas

1

Um módulo de um grafo é um sub onjunto de seus vérti es que não é diferen iado, em relação à adja ên ia, pelos demais vérti es domesmo grafo. Dadoum módulo

M

de um grafo

G

, se todo módulo de

G

que inter epta

M

está ontido nele ou o ontém,

M

é denominado módulo forte. A de omposição modular de um grafo

G

é úni a e pode ser representada poruma árvore de de omposição denida pela relaçãode in lusãode todos os módulos fortes do grafo.

Estadissertaçãoapresentaumestudosobreotemadade omposiçãomodulardegrafos não-orientados, des revendo seus prin ipais on eitos, propriedades e algumasdas té ni- as e algoritmos mais simples e e ientes para a onstrução da árvore de de omposição modularde um grafo.

Adi ionalmente, são des ritas lasses de grafos nas quais a de omposição modular atende a determinadas propriedades, oque possibilitao uso damesma em diversas apli- ações, desta ando-se a soluçãoe iente de problemas de otimização através de té ni as de divisão e onquista.

A module of a graph is a non-distinguishable subset of nodes, regarding the nodes ad-ja en y. Let

M

denote any module of a graph

G

. If every module of

G

whi h overlaps

M

either ontains

M

oris in luded in it,

M

is alled a strong module. Modular de om-position of

G

is unique and may be represented by a de omposition tree dened by the in lusion relationshipamong allstrong modules of

G

.

This dissertation presents a study on modular de omposition of undire ted graphs, explainingitsmainprin iples and properties, amongwithafewsimpleand e ient te h-niques and algorithmsused toprodu e the modular de omposition tree of agraph.

Furthermore,itdes ribesafewgraph lasseswithspe ialproperties,whi hallowsthe use of modular de omposition in several appli ations, spe ially to e iently solve some optimization problems through onquer and divide te hniques.

Gostaria de deixar meus sin eros agrade imentos à minha orientadora Célia Pi inin de Melloportodoauxílio,dire ionamentoeapoioduranteodesenvolvimentodestetrabalho e pelasaulas ministradas;aoCNPq,pelosuportenan eiro atravésdabolsademestrado durantetodooperíododeestudos;eaosmembrosdaban a,pelas onsideraçõesrelevantes levantadas evárias sugestõesque ontribuírampositivamente para este trabalho.

Gratidãoespe ial reservo àtodaminha família,semprepresente eafetuosa, in luindo minha mãe, pelos in entivos e ompreensão, e meu pai e minha avó, que embora não estejam mais presen ialmente onos o, tiveram um importante papelna minha infân ia, que se reete naminhaformação omo pessoa e idadão.

Claro que também é impossível deixar de men ionar todo ompanherismo que en- ontrei em meus amigos, muitos garimpados no próprio instituto e vivendo em situação muito semelhante à minha. Dentre os quais, gostaria de fazer menção espe ial a Edna AyakoHoshino,Mar eloCastilhoCoutoeWellingtondaSilvaMariusso,semprepresentes e prestativos, meauxiliaramem diversos momentosimportantes.

Muitas outras pessoas tiveram parti ipação nesta onquista e em várias de isões da minhavidaquepermitiramqueeu hegasseaela. Emborasejaimpossívelnomeá-los, não serão esque idos.

Resumo v Abstra t vi Agrade imentos vii 1 Introdução 1 2 Módulos 3 2.1 Propriedades . . . 3 2.2 Quo ientes e fatores . . . 7 2.3 Representações . . . 9 2.3.1 De omposição modular . . . 10

2.3.2 Conjuntospar ialmenteordenados modulares . . . 14

3 Algoritmos para De omposição Modular 16 3.1 Partiçãode ongruên iaque isolaum vérti e . . . 16

3.2 Re ursão sobre adja entes enão adja entes . . . 20

3.3 Permutaçõesfatorizadas . . . 26

3.3.1 Obter uma permutação fatorizadade um grafo . . . 27

3.3.2 Obter a de omposiçãomodularda permutaçãofatorizada . . . 30

4 Classes om pou os

P

4

's 37 4.1 Algumas denições . . . 37 4.2 Cografos . . . 40 4.3 P

4

-redutível . . . 43 4.3.1 P

4

-redutível estendida . . . 46 4.4 P

4

-esparso . . . 46 4.4.1 Aranhas . . . 47 4.4.2 Cara terizações . . . 48

4.6 P

4

-leve . . . 54 4.7 P

4

- arregada. . . 55 4.7.1 P

4

- arregadaestendida . . . 56 4.8 P

4

-arrumada. . . 57 4.9 Con lusões. . . 58 5 A lasse P

4

-arrumada 59 5.1 Propriedades . . . 59 5.1.1 Cara terizações . . . 63 5.2 Algoritmo de re onhe imento . . . 66

5.2.1 Cara terização das lasses re onhe idas . . . 66

5.2.2 Algoritmo eanálise . . . 67

5.3 Apli ações . . . 68

5.3.1 Número romáti o e Clique máxima. . . 68

5.3.2 Partiçãomínima em liques e Conjunto independente máximo . . . 70

6 Con lusão 71 A Denições 72 A.1 Conjuntos . . . 72

A.2 Grafos . . . 72

A.2.1 Alguns grafos omuns. . . 74

A.2.2 Operaçõese relações . . . 74

A.2.3 Alguns parâmetros . . . 74

A.2.4 Classes om ara terísti asde interesse . . . 75

A.3 Ordens . . . 76

3.1 Construção dapalavra

P

para o grafoda Figura3.7. . . 31 4.1 Denição daoperação

4 . . . 53 5.1 Valoresde

marca(H)

permitidospara ada

tipo(H)

emalgumas lasses de

2.1 Exemplos de módulos. . . 4

2.2 Exemplos de adja ên ia esobreposição de módulos. . . 5

2.3 Exemplo de módulosfortes enão fortes num grafo. . . 7

2.4 Um grafoe duas de suas partiçõesde ongruên ia. . . 8

2.5 Exemplo de uma árvore de de omposiçãomodular. . . 10

2.6 A árvore de de omposição modular do grafo da Figura 2.5a, om os nós internos rotulados. . . 13

2.7 A onstrução de um CPO modular de um grafo. . . 14

3.1 Um grafo

G

om os módulos de

M(G, c)

e seus módulos fortes maximais próprios desta ados. . . 17

3.2 Um exemplo de de omposição modular segundo a té ni a de Ehrenfeu ht e outros. . . 19

3.3 Uma iteraçãodoAlgoritmo 3sobre o grafo

G

daFigura 3.1. . . 21

3.4 Exemplo de onstruçãoda de omposição de

G/M(G, c)

peloAlgoritmo 5. 23 3.5 Exemplo de apli açãodas regrasusadaspara obter apermutaçãofatorizada. 28 3.6 Exemplo de exe ução do algoritmopara riar uma permutação fatorizada do grafodaFigura 3.1. . . 30

3.7 Exemplo para té ni a de de omposição porpermutações fatorizadas. . . . 31

3.8 Construção daárvore de fraturas. . . 32

3.9 Remoção de nós daárvore de fraturas que não são módulos. . . 35

4.1 Diagrama de Hasse das lasses, adaptado de [GRT97℄. . . 38

4.2 Grafos de in o vérti es om um

P

4

induzidoe um vérti e adi ional. . . 39

4.3 Um ografo esuas de omposições. . . 41

4.4 Uma representação de uma multi-árvore ujo grafo de omparabilidade asso iado orrespondente ao ografo da Figura4.3a. . . 42

4.5 Dois subgrafos proibidospara a lasse P

4

-redutível (

H

e

H

)e o touro. . . . 44

4.6 Um grafoP

4

-redutívele suas de omposições. . . 45

4.8 De omposição de duas aranhas pelaoperação

3 . . . 50

4.9 A ps-árvore e a de omposiçãomodulardo grafodaFigura 4.8b. . . 50

4.10 Exemplos de extensões próprias. . . 52

4.11 Exemplo de px-árvore. . . 54

4.12 Exemplo de grafoda lasse P

4

-levee sua de omposição modular. . . 55

4.13 Exemplo de grafoda lasse P

4

- arregada. . . 56

4.14 Exemplo de grafoda lasse P

4

-arrumada. . . 58

Introdução

Nesta dissertação serão estudados os módulos de um grafoe sua de omposição modular. Para tal,faz-se uso de on eitos matemáti ose de teoriados grafosque,emsua maioria, estão reunidos no Apêndi e A. Denições ausentes deste apêndi e são dadas no próprio texto ousão terminologias onsagradas naárea (veja[Gol80℄).

Os módulos de um grafo e, prin ipalmente, a de omposição modular de um grafo são assuntos extensivamente estudados na literatura mundial e apli ados na solução de variados problemas. A denição de módulo é atribuída a Gallai [Gal67℄, embora este on eito tenha sido redes oberto várias vezes, re ebendo outros nomes, omo losed set, autonomous set, partitive set, lump e stable set. O primeiroalgoritmo que omputa ade omposição modular éde James, Statone Cowan, de 1972.

Com o ontínuo interesse e pesquisa, mais propriedades da de omposição modu-lar foram des obertas e surgiram vários outros algoritmos para omputá-la, que melho-raramsu essivamentea omplexidadedoprimeiro,de

O(n

4

)

atéalinearidade,nalmente atingida em 1994 por M Connell e Spinrad, para o aso de grafos não orientados. Ao ontrário de en errar a pesquisa, esse trabalho se tornou um mar o na pesquisa sobre a de omposição modular, pois além de aumentara importân iadesta de omposição, dire- ionou apesquisanabus aporalgoritmose ientes emais simplesdeser implementados e ompreendidos.

Como fruto desta pesquisa, novos algoritmos de de omposição foram apresentados, alguns dos quais om omplexidade pou o superior alinearidade, outros queapresentam bonsresultadosemarquiteturasparalelase,ainda,algoritmosquede ompõemestruturas mais abrangentes, omografos orientados, 2-estruturas ehipergrafos.

Ade omposiçãomodularde um grafotem opapelde guia para utilizaçãode té ni as dedivisãoe onquistanasoluçãodeváriosproblemasemgrafos. Suasapli açõesvãodesde osexemplos lássi os,quein luemaorientaçãotransitivadegrafosde omparabilidadeeo re onhe imentodegrafosdepermutação,atéseuusoemalgumas lassesdegrafos. Nestas,

a de omposição apresenta ara terísti asque permitemseu uso na soluçãode problemas bási os e sabidamente difí eis para o aso geral, tais omo oloração de vérti es e lique máxima.

Aprimeira lasseapresentadanaqualade omposiçãotem vastosusos foia lassedos ografos, em1971,porLer hs. Posteriormente, observou-se queade omposiçãotem apli- açõesemváriasoutras lasses,emespe ialaquelasestudadasporJamisoneOlariu, omo as lassesP

4

-redutíveleP

4

-esparso,entreoutras. Aprin ípio,tantoparaos ografos omo para as demais lasses denidas, a orrelação om a de omposição modular não estava estabele ida e, a ada lasse, orrespondia uma de omposição parti ular usada em algu-mas apli ações. Fi oua argode Giakoumakis,RousseleThuillieraextensãodealgumas de tais lasses onhe idas, a determinação do seu rela ionamento om a de omposição modulare a apli açãodamesma para asolução de problemas lássi os de otimização.

Esta dissertação foi motivada pela gama de apli ações da de omposição modular e pela ausên ia de um trabalho de investigação que abranja desde as propriedades da de- omposição até suas apli ações.

OCapítulo 2trata de módulos,suas propriedadesfundamentais erepresentações, in- luindo a de omposição modular. Muitas das armaçõessão provadas de formaa deixar oleitor omtodainformaçãopertinente. Emseguida,oCapítulo3detalhaaestratégiade Ehrenfeu ht,Gabow, M Connell eSullivanparade omposiçãomodularedois algoritmos re entesde omplexidadelinearquea omputam. UmdeDahlhaus,GustedteM Connell, fa ilmente paralelizável, que faz uso da té ni a de Ehrenfeu ht, e um om ontribuições de Habib, Capelle, de Montgoler e Paul, que se desta a por sua simpli idade de imple-mentação. O Capítulo 4 expõe algumas lasses nas quais a apli ação da de omposição modularpermite algoritmose ientes para problemas lássi os de otimização. Entre tais lasses, desta a-se a lasse P

4

-arrumada, para a qual suas propriedades e apli açõessão detalhados no Capítulo5.

O objetivo desta dissertação é estudar propriedades dos módulos e da de omposição modular e suas apli ações, limitada a grafos não orientados, provendo uma fonte de in-formação on isa evasta sobre esta té ni a.

Módulos

Este apítulo forne e asbases doassunto abordado,denindo osmódulos de um grafo e agrupando suas prin ipaispropriedades, operaçõese representações.

O detalhamento das propriedades abrange desde as mais simples àquelas mais elabo-radas. Des reve-se uma das operações mais omuns  ouso de módulos para parti ionar os vérti es de um grafo,ferramentabási a para a representação dos módulos pelaárvore de de omposição modular. Éapresentada, também, uma representação dos módulos por meio de onjuntos par ialmenteordenados (CPOs,veja denição em A.3).

2.1 Propriedades

Um sub onjunto não vazio,

M

, dos vérti es de um grafo

G

é um módulo de

G

se, para todovérti e

v

de

V (G) \ M

, ou

(N

G

(v) ∩ M = ∅)

ou

(M ⊆ N

G

(v))

. De outraforma,um módulo é um onjunto de vérti es de um grafo indistingüíveis pelos demais vérti es. A Figura 2.1a ontém dois exemplosde módulos de um grafo. Notequeos vérti es

e

,

f

e

g

não são vizinhos de nenhum dos vérti es domódulo

{a, b, c}

,enquanto

d

ontém em sua vizinhança todos os vérti es deste módulo. Para maior lareza, per eba que o onjunto de vérti es

A = {d, e}

não formaum módulo, embora

d

seja vizinho de todos os vérti es dografonão ontidosem

A

eovérti e

e

nãosejavizinho denenhumdos vérti esdografo não ontidos em

A

. Isto é, em um módulo, seus vérti es são tratados da mesma forma pelos demaisvérti esdografoe não o ontrário,noqualos vérti es domódulo tratariam da mesma os demais vérti es. Esta seria uma noção de erta forma inversa ao on eito de módulo, o qual não é respeitado pelo onjunto

A

, dado que o vérti e

f

é adja ente a

d

e não a

e

.

São hamados demódulos triviais de um grafo

G

, osmódulos

V (G)

e

{v : v ∈ V (G)}

. Os demais módulos também são onhe idos por onjuntos homogêneos. Um grafo ujos úni osmódulossãoosmódulostriviaisé hamadodegrafoprimo, omoosgrafos (b)e( )

(a)Módulosem umgrafo. (b)Umgrafoprimo. ( )Outrografoprimo.

Figura2.1: Exemplos de módulos.

daFigura2.1. Oleitorpode observarquegrafosprimosnãosão raros,dadoqueosgrafos

C

n

para

n ≥ 5

e

P

n

para

n ≥ 4

são exemplares.

A propriedade abaixo garante que um grafo e seu omplemento têm exatamente os mesmos módulos.

Proposição 2.1. Se

M

é um módulo de um grafo

G

, então

M

é módulo de

G

.

Demonstração. Sejam

G

umgrafoe

M

um módulo de

G

. Se

M

étrivial,então émódulo de

G

. Considere

M

não trivialesuponha quenãosejaum módulode

G

. Logo, existeum vérti e

v ∈ V (G) \ M

e dois vérti es distintos

a

e

b

ontidos em

M

tais que

{a, v}

é uma aresta de

G

e

{b, v}

nãoé arestade

G

. Istoimpli aque

{a, v} /

∈ E(G)

e

{b, v} ∈ E(G)

e, portanto,

M

não seria módulode

G

.

Como onseqüên ia,o omplementodeumgrafoprimotambéméprimo. Doismódulos de umgrafopodem um onter ooutro, seinter eptar, ouseremdisjuntos. Em ada aso, apresentam propriedadesde interesse.

Lema 2.2 ([Möh85℄). Se

X

é um módulode um grafo

G

e

Y ⊆ X

, então

Y

é um módulo de

G[X]

se e somente se

Y

é módulo de

G

.

Demonstração. Sejam

G

um grafo e

X

e

Y

dois de seus módulos tais que

Y ⊆ X

. Se

Y

não fosse módulo de

G[X]

, então existiriam os vérti es

a

e

b

em

Y

e

v

em

X \ Y

, de forma que

{v, a}

seria arestade

G

e

{v, b}

,não. Assim,

v

testemunhariaque

Y

não seria módulode

G

. Portanto, se

Y

é módulo de

G

, tambémé de

G[X]

.

Agora, suponha que

Y

émódulo de

G[X]

e não é módulo de

G

, então, existiriam

a

e

b

em

Y

e

v

em

V (G) \ Y

de forma que

{a, v}

é aresta de

G

e

{b, v}

não. Se

v ∈ X

,

Y

não seriamódulode

G[X]

e se

v ∈ V (G) \ X

,

X

não seria módulo de

G

. Con lui-se que, neste aso,

Y

é módulo de

G

.

Lema 2.3 ([Möh85℄). Se doismódulos

X

e

Y

de

G

são tais que

X ∩ Y = ∅

, então ou as arestas

{{x, y} : x ∈ X, y ∈ Y }

perten em a

G

ou

G

não ontémnenhumadetais arestas.

(a)Módulosadja entes. (b)Módulosnão-adja entes. ( ) Módulossobrepostos.

Figura2.2: Exemplos de adja ên ia esobreposiçãode módulos.

Demonstração. Sejam

G

um grafoe

X

,

Y

dois módulos de

G

om

X ∩ Y = ∅

. Se ambos os módulos possuíremum vérti e ada, a propriedade se veri a trivialmente. Suponha, então, que existam dois vérti es

a

e

b

de

X

e dois vérti es

c

e

d

de

Y

tais que

{a, c}

é aresta de

G

e

{b, d}

não é aresta de

G

. Se

a = b

,

Y

não seria módulo de

G

e se

c = d

,

X

não o seria. Portanto,

a 6= b

e

c 6= d

. Como

X

é módulo, tem-se que

{b, c} ∈ E(G)

e

{a, d} /

∈ E(G)

, ontradizendo o fato de

Y

ser um módulo. Portanto, ou existem todas

arestas entre

X

e

Y

ounão existe nenhuma delas.

Dados dois módulos

X

e

Y

de um grafo

G

tal que

X ∩ Y = ∅

, se as arestas

{{x, y} :

x ∈ X, y ∈ Y }

perten em a

G

, então eles são hamados adja entes e, aso ontrário, os

módulossão hamados não-adja entes. Alémdisso, sedois módulos

X

e

Y

de

G

são tais

que

X \ Y

,

Y \ X

e

X ∩ Y

sãotodos nãovazios, diz-sequeosmódulossesobrepõem. Note

que se

X

e

Y

são dois módulosque se sobrepõem, então

|X| ≥ 2

e

|Y | ≥ 2

.

Paraexemplosdemódulosadja entes, não-adja entes esobrepostos,vejaaFigura2.2. Noteaindaqueépossívelen ontraroutrosmódulosnestas ondiçõesparaosgrafosdados nesta gura, omo osmódulos

{b, c}

e

{a, e}

, adja entes em(a), osmódulos

{a}

e

{e, f }

, não-adja entes em(b) e osmódulos

{a, b}

e

{b, c}

, sobrepostos em( ).

Lema 2.4 ([Möh85℄). Se

X

e

Y

são módulos de um grafo

G

que se sobrepõem, então

X \ Y

,

Y \ X

,

X ∩ Y

,

X ∪ Y

e

X∆Y

são módulos de

G

.

Demonstração. Sejam

G

um grafoe

X, Y

doismódulosde

G

quesesobrepõem. Prova-se por ontradiçãoque ada um dos onjuntos abaixoé um módulo de

G

. Para tal,sejam

a

e

b

dois vérti es distintosperten entes ao onjunto onsiderado e seja

v

um vérti e de

G

quetestemunhaqueodado onjuntonão éum módulo,istoé,

v

nãoperten eao onjunto

e

{v, a}

é aresta de

G

enquanto

{v, b}

não é aresta de

G

.

• X ∩ Y

: Se

v ∈ V (G) \ X

, então

v

testemunha que

X

não é módulo de

G

, pois

• X \ Y

: Se

v /

∈ X

, então

X

não seria módulo de

G

e, portanto,

v ∈ X ∩ Y

. Seja

c ∈ Y \ X

. Como

Y

é módulo de

G

,

{c, a}

é aresta de

G

. Por sua vez, omo

X

é

módulode

G

,

{c, b}

éaresta de

G

. Finalmente,sendo

Y

módulo,

{b, v}

é arestade

G

, ontradição.

• Y \ X

: Simétri oaoanterior.

• X ∪ Y

: Se

a

e

b

perten erem ambos a

X

(ou

Y

), então este não seria um módulo.

Portanto, sem perda de generalidade, onsidere

a ∈ X \ Y

e

b ∈ Y \ X

. Seja

c ∈ X ∩ Y

(existe, pois

X

e

Y

se sobrepõem). Então

{v, c}

deve ser umaaresta de

G

, aso ontrário,

X

não seria módulo. No entanto,

c

,

b

e

v

atestam que

Y

não é módulode

G

.

• X∆Y

: Se

a

e

b

perten eremambosa

X \ Y

(ou

Y \ X

),então

X

(ou

Y

)não seria

um módulo. Es olhe-se um

c ∈ X ∩ Y

eapli a-seargumentosemelhanteaodo aso anterior.

Ainda na Figura 2.2 , pode-se observar dois módulos que sobrepõem-se e veri ar a validadedas propriedadesanteriores.

Asduaspropriedadesabaixosãodefá ilveri ação. Aprimeiraatestaquesermódulo é propriedade hereditária nos subgrafos induzidos que o ontém, e a segunda estabele e as ondições para o aso inverso.

Lema 2.5. Se

M

é um módulo de um grafo

G

, então

M

é módulo de todo subgrafo induzido,

G[X]

tal que

M ⊆ X ⊆ V (G)

.

Paraveri arseummódulodeumsubgrafoinduzidoémódulodografooriginal,basta pro urar por vizinhos fra os. Dado um grafo e um sub onjunto

X

de seus vérti es, um vérti e é vizinho fra o de

X

senão perten e a

X

e évizinho de algumvérti e de

X

,mas não de todos. Note que este on eito já foi usado anteriormente, por exemplo na prova do Lema 2.4.

Lema 2.6. Seja

G

um grafo e

X ⊆ V (G)

. Se

M

é módulo de

G[X]

, então

M

é módulo de

G

se, e somente se,

M

não possui vizinhos fra os em

V (G) \ X

.

Alguns módulos rela ionam-se om outros módulosde maneiradiferen iada, sem que se sobreponham a nenhum outro. Uma vez que tais módulos têm papel desta ado na de omposição modular, diz-se que um módulo

M

de um grafo

G

é forte se, para todo módulo

P

de

G

, ou

P ∩ M = ∅

, ou

P ⊆ M

ou

M ⊆ P

. Observa-se na Figura 2.3 dois módulos fortes no item (a)e dois módulos sobrepostos (não fortes) para o mesmo grafo em (b). Para veri artalarmação, notequeografonãopossuioutrosmódulosalémdos desta ados na gurae dos módulos triviais. A seguir,estendem-se algumaspropriedades

(a)Doismódulosfortes. (b)Doismódulos nãofortes.

Figura2.3: Exemplo de módulos fortes enão fortes num grafo.

Proposição 2.7. Se

M

é um módulo forte de um grafo

G

, então é módulo forte de

G

. Demonstração. Suponha que

M

seja módulo fortede um grafo

G

e não seja do grafo

G

. Portanto, neste grafo,exite um módulo

Y

que se sobrepõe a

X

. Pela Proposição 2.1,

Y

é módulo forte de

G

e, omo se sobrepõe a

X

, este não seria móduloforte de

G

.

Lema 2.8([Möh85℄). Se

M

éummódulodeumgrafo

G

e

N ⊂ M

, então

N

éummódulo forte de

G

se, e somente se,

N

é módulo forte de

G[M]

.

Demonstração. Seja

X ⊂ M

, um módulo forte de

G[M]

. PeloLema 2.2,

X

émódulo de

G

. Suponha que

X

não sejaum módulofortede

G

. Então existeum módulo

Y

em

G

que se sobrepõe a

X

. Note que

Y

não está ontido em

M

pois

X

é módulo forte de

G[M]

. Todavia, pelo Lema 2.4,

M \ Y

e

M ∩ Y

são módulos de

G

, propriamente ontidos em

M

, epeloLema 2.2, são módulosde

G[M]

. Se

M \ Y 6⊆ X

,

M \ Y

sobrepõe-se a

X

, aso ontrário,

M ∩ Y

sobrepõe-se a

X

. Em ambos os asos, ontradiz-seque

X

seja módulo forte de

G[M]

.

Seja

X

um módulofortede

G

propriamente ontidoemoutromódulo,

M

, de

G

. Pelo Lema 2.2,

X

émódulode

G[M]

. Caso

X

nãosejamódulofortede

G[M]

,então existeum módulo

Y

, de

G[M]

, que sesobrepõea

X

. Pelo Lema 2.2,

Y

é módulo de

G

e, portanto,

X

não émódulo fortede

G

, ontradição.

2.2 Quo ientes e fatores

Dene-se uma partição de ongruên ia

P

omouma partiçãodos vérti es de um grafo

G

de formaque ada parteéum módulode

G

. Destaforma, omotodos aspartesde

P

são módulosdoisadoisdisjuntos,peloLema2.3,sãodoisadoisadja entesounão-adja entes. Representa-searelaçãodeadja ên iaentreaspartesde

P

porumgrafodenominadografo quo iente, denido abaixo:

Dado um grafo

G

e uma partição de ongruên ia

P = {M

1

, M

2

, . . . , M

k

}

para

G

, o grafoquo ientede

G

emrelaçãoa

P

éografo

G/P

dadopor

V (G/P) = {M

1

, M

2

, . . . , M

k

}

(a)Umgrafoeuma desuas par-tiçõesde ongruên ia.

(b) Outra partiçãode ongruên- iadomesmografo.

( ) O grafo quo iente da partiçãoem(a).

(d) O grafo quo iente da partiçãoem(b).

Figura2.4: Um grafoe duas de suas partiçõesde ongruên ia.

e

E(G/P) = {{M

i

, M

j

} : M

i

, M

j

∈ P

,

M

i

e

M

j

adja entesem

G}

. Nãoseráfeitadistinção

na notação entre um vérti e de

G/P

e a orrespondente parte de

P

, de forma que um vérti ede

G/P

serátomado omomódulode

G

evi e-versa,quando abível. NaFigura2.4 estão representadas duas partiçõesde ongruên ia domesmo grafo, om seus respe tivos grafos quo iente.

Denominam-sefatores,ossubgrafosinduzidospor adamembro de

P

em

G

. Aseguir, mostra-se que os módulos de

G

que não se sobrepõem a nenhuma parte de

P

estão rela ionados aos módulosdo quo ientee dos fatores de

P

.

Lema 2.9 ([Möh85℄). Sejam

G

um grafo e

P

uma partiçãode ongruên ia de

G

. Então,

M ⊆ P

é um módulo de

G/P

se, e somente se,

S

X∈M

X

é módulo de

G

.

Demonstração. Sejam

G

um grafo,

P

uma partiçãode ongruên ia de

G

e

M ⊆ P

um módulo de

G/P

. Se

U =

S

X∈M

X

não for módulo de

G

, então existem

a

e

b

em

U

e

v /

∈ U

tais que

{a, v}

é aresta de

G

e

{b, v}

não é aresta de

G

. Se

a

e

b

perten erem a

algum

Y ∈ M

,então

Y

nãoseriamóduloe

P

nãoseriapartiçãode ongruên ia. Portanto

a ∈ A

,

A ∈ M

e

b ∈ B

,

B ∈ M

e

v ∈ V

,

V ∈ P \ M

om

A 6= B

. Sendo

A

,

B

e

V

disjuntos, pelo Lema 2.3, em

G/P

,

{A, V }

é aresta e

{B, V }

não é aresta, de forma que

M

não é módulo. Seja

U =

S

X∈M

X

um módulo de

G

esuponha que

M

não sejaum módulode

G/P

. Então,existem

A

e

B

em

M

e

V

em

P \ M

,taisque,em

G/P

,

{A, V }

éaresta e

{B, V }

não é aresta. Pela denição de grafo quo ientee peloLema 2.3, existem

a ∈ A

,

b ∈ B

e

v ∈ V

taisque, em

G

,

{a, v}

é arestae

{b, v}

não éaresta. Como

V

édisjuntode

U

, este não émódulo de

G

.

Agora, é possível mostrar uma propriedade importante das partições de ongruên ia formadas pormódulos fortes de

G

:

Corolário 2.10. Se

G

é um grafo e

P

é uma partiçãode ongruên ia de

G

formada por módulos fortes, então todos os módulos de

G

são dados pelos módulos de

G/P

e pelos módulos dos fatores de

G

em relação a

P

.

Demonstração. Como as partes de

P

são módulos fortes, ada módulo de

G

ou está ontido em uma parte de

P

ou é formado pela união de partes de

P

. Então, pelos lemas 2.2 e 2.9, um módulo de

G

ou é módulo de algum fator de

P

ou é dado por um módulode

G/P

.

OCorolário2.10tornainteressanteoestudodaspartiçõesde ongruên ia ujaspartes sejam módulos fortes do grafo, das quais pode-se observar dois exemplos na Figura 2.4, itens (a)e (b). Abaixo,mostra-se queas informaçõessobre osmódulos fortes são preser-vadas pelas partiçõesde ongruên ia.

Lema 2.11. Dado um grafo

G

e uma partição de ongruên ia

P

de

G

, então

M /

∈ P

é um módulo forte de

G

se, e somente se, ou

M

é módulo forte de

G[K]

para um

K ∈ P

tal que

M ⊂ K

, ou existe

U ⊆ P

tal que

M =

S

X∈U

X

e

U

é módulo forte de

G/P

. Demonstração. Quando

M

está ontido em uma parte

K

de

P

o Lema 2.8 é su iente. Então, seja

M

um módulo forte de

G

, união dos elementos de um sub onjunto

U

das partes de

P

. PeloLema 2.9,

U

é um módulo fortede

G/P

.

Seja

U

módulo forte de

G/P

e suponha que exista um módulo

Y

de

G

que se sobre-ponha a

M

. Considere um vérti e

a ∈ M \ Y

e o onjunto

Y = {Q : Q ∈ P, Q ∩ Y 6=

∅}\{Z}

,noqual

a ∈ Z

e

Z ∈ P

. PeloLema2.4,

S

X∈Y

X

émódulode

G

epeloLema2.9,

Y

émódulode

G/P

, mas ele sesobrepõea

M

.

2.3 Representações

O número de módulos de um grafo pode ser exponen ial no seu tamanho, por exemplo, qualquer sub onjunto não vazio dos vérti es de um

K

n

ou

S

n

é um módulo dografo  e existem

2

n

_{− 1}

. Assim sendo, torna-se interessante en ontrar um meio de representá-los que o upeespaçopolinomialepermita asoluçãoe ientede problemas omodeterminar se um dado onjunto de vérti es é um módulo, ontar os módulos do grafo ou mesmo listá-los emtempo ompatível om sua quantidade.

(a)Ografousadonasguras2.4(a)e(b). (b)Ade omposiçãomodulardografo(a). Os nós foram mar ados om os módulos fortes asso iados.

Figura2.5: Exemplo de uma árvore de de omposição modular.

2.3.1 De omposição modular

Pode-se de ompor os módulos de um grafo

G

usando partições de ongruên ia e então de ompornovamente ada grafofator,emsu essão, atéque todos osgrafosfatoressejam grafos triviais. Esta de omposição pode ser representada omo uma árvore, ujos nós orrespondemamódulosde

V (G)

. Araizdaárvore oresponde aomódulotrivial

V (G)

e os lhos de ada nó orrespondem àspartes de uma partiçãode ongruên ia dosubgrafo induzido pelos módulo asso iado àquele nó.

Como visto, se forem usadas para tal de omposição partições de ongruên ia ujas partes sejammódulos fortes, om auxíliodos grafosquo iente de ada partição,pode-se obter todos osmódulos do grafo. Contudo,é interessante restringirainda mais o tipode partiçãoutilizada,poispartiçõesemmódulosfortesnão sãoúni as(naFigura2.4asduas partiçõesexibidas para ografo ontêm apenas módulos fortes) e podem ser degeneradas, omo partiçõesnasquais adaparteéformada porumvérti edografo. Alémdisso, seria ne essário identi armódulosnosgrafosquo ientes paradeterminarosmódulosdografo. A de omposição modular de um grafo é denida omo a de omposição re ursiva do onjunto de vérti es do grafo em módulos fortes maximais próprios. Um módulo é um módulo fortemaximal próprio seé ummódulo maximalentre osmódulosfortes dografo, ex luindo o próprio onjunto de vérti es do grafo. A árvore que representa esta de om-posiçãoé hamadadeárvore dede omposiçãomodular eestáexempli adanaFigura2.5. Será visto que, usando tais partições de ongruên ia para a de omposição, os grafos quo ientes asso iados a ada nóda árvore de de omposição são restritos de forma que é possível identi ar seus módulos de maneira trivial. Além disso, tais partições possuem outras propriedades interessantes, que são des ritas aseguir.

próprios é úni a.

Demonstração. Suponha que existam duas partições,

P

1

e

P

2

, distintas, dos vérti es de um grafo

G

emmódulosfortes maximaispróprios. Então, existe

X ∈ P

1

talque

X /

∈ P

2

. Além disso,

X

não sesobrepõea nenhum móduloperten entea

P

2

, poisestes são fortes. Portanto, ou

X

ontém uma parte

Y

de

P

2

, ou está ontido emuma parte

Y

de

P

2

, ou

X ∩ Y = ∅

paratodo

Y ∈ P

2

. Então,

X

ou

Y

nãosãomaximaisou

P

2

nãoéumapartição

dos vérti es de

G

.

Como onseqüên iaimediata daProposição 2.12:

Corolário 2.13. Dado um grafo

G

, a sua árvore de de omposição modular é úni a. Lema 2.14. Os úni os grafosque não possuem módulos fortes não triviais são os grafos primos, os grafos ompletos e os grafossem arestas.

Demonstração. Será provado por indução no número de vérti es que, se

G

é um grafo, não é primo, não é ompleto e possui alguma aresta, então ele ontém um módulo forte não trivial. Sejam

G

um grafo que satisfaz as hipóteses e

X

um módulo não trivial de tamanho mínimo de

G

. Note que tal módulo existe, pois o grafo não é primo. Deste módulo,obtem-se um módulo fortenão trivialpara o grafo.

•

Se

|X| ≥ 3

, então

X

é um módulo forte não trivial, pois, se algum módulo

Y

de

G

sobrepusesse

X

, pelo Lema 2.4,

X ∩ Y

e

X \ Y

seriam módulos, um dos quais onteria ao menosdois vérti es e

X

não seria mínimo.

•

Se

|X| = 2

, onsidere o grafo

G

′

obtido de

G

pela ontração de

X = {a, b}

a um novo vérti e

x

. Note que

{X} ∪ (V (G) \ X)

éuma partição de ongruên ia de

G

e

G

′

é isomorfo aografo quo ientedesta partição.

 Se

G

′

nãopossuirarestas,então

{a, b}

éumaarestade

G

( aso ontrário

G

não possuiria arestas)eéum móduloforte nãotrivialde

G

. Qualquer móduloque sesobrepusessea

{a, b}

, onteria

a

enão onteria

b

,semperdadegeneralidade. Mas issonão a onte e, pois

b

sóé vizinho de

a

.

 Se

G

′

for ompleto, pelo aso anterior

X

é um módulo forte não trivial de

G

e, pelaProposição 2.7, de

G

.

 Se

G

′

for primo, então

X

é um módulo fortenão trivialde

G

. Caso ontrário, haveria um módulo,

Y

, de

G

que sesobrepõe a

X

e, peloLema 2.4,

X ∪ Y

e

Y \ X

são módulos de

G

. Logo, se

|X ∪ Y | < |V (G)|

ou

|Y \ X| ≥ 2

, pelo

Lema 2.9,

G

′

 Nosdemais asos,porhipótesede indução,seja

X

′

um módulofortenãotrivial de

G

′

. PeloLema 2.11, ou

X

′

é módulo forte não trivial de

G

, se

x /

∈ X

′

, ou

X ∪ (X

′

_{\ {x})}

oé.

Corolário 2.15. Dadoumgrafo

G

esuaúni apartiçãode ongruên ia

P

ujaspartessão módulos fortes maximais próprios, então

G/P

é primo, ompleto ou não ontém arestas. Demonstração. O grafo quo iente

G/P

não ontém módulos fortes não triviais, senão peloLema 2.11, os membros de

P

não seriam maximais. Então, pelo Lema 2.14,

G/P

é primo, ompleto ou não ontém arestas.

Proposição 2.16. Osnósda árvorede de omposiçãomodularde umgrafo orrespondem exatamente a todos os seus módulos fortes.

Demonstração. Porinduçãononúmerodevérti esdografo. O asobase éografotrivial. Dado um grafo

G

, onsidere os lhos da raiz daárvore de de omposição modular,

T

, de

G

,queformam apartiçãode ongruên ia de

G

emmódulos fortes maximaispróprios. Por indução, todo módulo forte de um dos fatores desta partição está representado em sua respe tiva árvore de de omposição modular,que éo ramo de

T

apartir do nó orre-spondente aolho. PeloCorolário 2.15 e peloLema 2.11,

G

não ontém outros módulos fortes.

Como onseqüên iada Proposição 2.16, outra maneirade onstruir a árvore é en on-trar todos osmódulosfortes de um grafo, riarum nópara ada um deles eentão denir omo pai de um nó omenor módulo forteque o ontém.

Rotula-se ada nó interno da árvore de de omposição modular, segundo sua lassi- ação pelo ritérioabaixo. Se o grafoquo ienteda partiçãode ongruên iausada nasua de omposição for ompleto, o nó é hamado de serial e é rotulado om S; se não on-tiver arestas,o nó é hamadode paralelo e érotulado om P; e sefor primo, é hamado de vizinhança e é rotulado om N. Os nós rotulados omo paralelos ou seriais também são onhe idos omo degenerados enquanto osrotulados omo vizinhançasão onhe idos tambémporprimos. A Figura2.6exibe aárvore de de omposição modularpreviamente apresentada naFigura2.5, adi ionando os rótulosdos nós internos.

Noteaindaarelaçãoqueexisteentre osubgrafo

H

induzidopelomódulorepresentado num nó da árvore de de omposição modular e o tipo do nó. Se o tipo do nó for serial, então ografoquo iente orrespondenteé ompleto omdois oumaisvérti ese, portanto, seu omplemento é des onexo, por onseguinte

H

é des onexo; se for paralelo, então o grafoquo iente orrespondentenãopossuiarestasmaspossuidoisoumaisvérti es,sendo, portanto, des onexo e, onseqüentemente,

H

também é des onexo; e se for vizinhança,

Figura 2.6: A árvore de de omposição modular do grafo da Figura 2.5a, om os nós internosrotulados.

Lema 2.17. Se

G

é um grafo e

T

é a sua árvore de de omposição modular, então um sub onjunto

M ⊆ V (G)

é um módulo de

G

se, e somente se, uma das armativas vale:

1.

M

é um nó de

T

;

2.

M

é a união de lhos de um nó de

T

de rótulo serial ou paralelo.

Demonstração. Seja

G

um grafo e

T

sua árvore de de omposição modular, hame de

P

a partiçãode ongruên iade

G

usadana raiz de

T

.

Prova-se que um módulo

M

de

G

atende às ondições propostas, por indução no número de vérti es de

G

. Se

M = V (G)

ouse

M

for uma parte de

P

, então é um nóde

T

. Caso ontrário,peloCorolário2.10:

• M =

S

X∈U

X

para algum

U

, módulo de

G/P

. Nota-se que

1 < |U| < |P|

e, pelo Corolário 2.15,

G/P

é ompleto ou sem arestas e, assim o nó raiz de

T

é rotulado omo serial ouparalelo; ou

• M

émódulode

G[X]

paraalgumaparte

X

de

P

. Porhipótesedeindução,

M

atende às ondições propostas para a árvore de de omposição modular,

T

X

,de

G[X]

, mas

T

X

éum ramode

T

.

Agora, mostra-se quese

M

atendeàs ondiçõespropostas,então é módulode

G

. Um nó de

T

éum módulode

G

segundo a Proposição 2.16. Prova-se porindução nonúmero de vérti esdografoque,se

M

forumauniãodelhosde umnóde

T

rotulado omoserial ou paralelo,então é um módulo de

G

:

•

Se

M =

S

X∈U

X

para algum

U

, módulo de

G/P

e araiz de

T

tem rótuloserial ou paralelo, então

G/P

é ompleto ou sem arestas e, portanto,

U

é módulo de

G/P

. Então peloLema 2.9,

M

é módulo de

G

.

(a) Um grafo isomorfoaoda Figura2.4a.

(b)Ografo

D

3

. ( ) Ografo

P

3

. Figura 2.7: A onstrução de um CPO modular de um grafo.

•

Caso ontrário,

M

éaunião dos lhosde algum nóde

T

quenão araiz e,portanto está ontido em alguma parte

X

de

P

. Por hipótese de indução

M

é módulo de

G[X]

e,peloLema 2.2, é módulo de

G

.

2.3.2 Conjuntos par ialmente ordenados modulares

Em [KS03℄, Klein e Szwar ter propuseram uma representação para os módulos de um grafo que onsiste em um onjunto de CPOs e que foi usada para resolver problemas rela ionados aos módulos de um grafo. Espe i amente, os problemas tratados foram: listar osmodulosde um grafo, ontar o número de módulosdo grafo (sem enumerá-los), en ontrar um módulo maximal de um grafo que satisfaz ertas propriedadeshereditárias e en ontrar um módulo não trivialde um grafo ujo subgrafoinduzido é onexo.

Dado um grafo

G

, a representação proposta para seus módulos onsiste em um on-junto de CPOs, um para ada vérti e de

G

. Para onstruir estes CPOs, primeiramente denote por

v

i

,

1 ≤ i ≤ |V (G)|

, ada um dos vérti es de

G

e então onsidere o grafo orientado

D

i

, ujosvérti es são dadospor

V (G) \ {v

i

}

e ujo onjuntode arestas ontém

(v

j

, v

k

)

se, esomentese:

• {v

j

, v

k

} ∈ E(G)

e

v

j

∈ N

/

G

(v

i

)

; ou

• {v

j

, v

k

} /

∈ E(G)

e

v

j

∈ N

G

(v

i

)

.

Ao ontrairas omponentesfortemente onexasde

D

i

aumúni ovérti ee,emseguida, adi ionar os ar os para formar o fe ho transitivo do grafo (veja Seção A.2), obtem-se o grafo

P

i

. Este grafo representa um CPO e é denominadoCPO modular de

G

emrelação a

v

i

(a Figura2.7exempli aa onstruçãodos grafos

D

i

e

P

i

). O onjuntodos grafos

P

i

para todovérti e

v

i

dografo

G

forma sua representação.

ParaexpraspropriedadesdosCPOsmodulares,serãone essáriasalgumasdenições. Considere um CPO denidosobre um onjunto

S

edado pelografoorientado

P

. Oideal

deste CPO é um sub onjunto

I ⊆ S

tal que para toda aresta

(x, y) ∈ E(P )

, se

y ∈ I

, então

x ∈ I

. A de omposição em amadas do mesmo CPO éuma seqüên ia

(L

1

, . . . , L

k

)

naqualtodo

L

i

∈ S

e

S

1≤i≤k

L

i

= S

. Cada

L

i

ontémosfontesdografo

P [S \

S

1≤j<i

L

j

]

.

Quando um CPO admite uma de omposição em amadas de forma que

(x, y) ∈ E(P )

sempre que

x ∈ L

i

e

y ∈ L

i+1

,diz-se que eleé um CPO em amadas.

Oteorema abaixo estabale e arelação entre os CPOs modularese osmódulos de um grafo.

Teorema 2.18. Dados um grafo

G

, um de seus vérti es

v

i

e o CPO modular

P

i

de

G

relativoa

v

i

, então existeumabijeção entre osideaisde

P

i

e os módulosde

G

que ontém

v

i

.

Pode-se observar, naFigura 2.7, que os ideais doCPO modular

P

3

(

∅

,

{v

2

}

,

{v

2

, v

4

}

,

{v

2

, v

4

, v

1

,5

}

) estão em orrespondên ia biunívo a om os módulos do grafo que ontêm

v

3

(

{v

3

}

,

{v

3

, v

2

}

,

{v

3

, v

2

, v

4

}

e

{v

3

, v

2

, v

4

, v

1

, v

5

}

).

Alémdisso, os CPOs modularesapresentam importantes propriedades rela ionadasa sua de omposição em amadas.

Teorema 2.19. As seguintes armações são equivalentes:

• P

i

é um CPO modular de algum grafo

G

, relativoa um de seus vérti es;

• P

i

é um CPO em amadas;

• P

i

é o fe ho transitivo de um torneio bipartido a í li o.

O uso da representação e destas propriedades permitiu aos autores a solução dos problemas já men ionadosnoiní io desta seção. Uma desvantagem da representação é o seu espaço,

O(V (G)

3

)

, emrelação à árvore de de omposição modular,que o upaapenas

Algoritmos para De omposição

Modular

Neste apítulosão tratadas duas formas e ientes para onstrução da árvore de de om-posiçãomodulardeumgrafo,umalineareoutramais omplexaporumfatorlogarítmi o. Muitos algoritmos que exe utam esta tarefa foram apresentados na literatura, dentre os quais, os algoritmos e ientes são de notável di uldade para ompreensão e implemen-tação. Os algoritmoses olhidos se desta am porserem mais re entes e mais simples que seus prede essores de mesma omplexidade.

A Seção 3.1 trata da estratégia para de omposição apresentada por Ehrenfeu ht e outros,posteriormenteusadapeloalgoritmodeDahlhaus,GustedteM Connell,abordado na Seção 3.2. Terminao apítulo,a Seção 3.3, om dois algoritmospropostos porHabib e outros, queutilizam uma té ni a ompletamente diferente.

3.1 Partição de ongruên ia que isola um vérti e

Dado um grafo

G

e um de seus vérti es,

v

, dene-se

M(G, v)

omo o onjunto formado por

{v}

e os módulos maximais entre os módulos de

G

que não ontém

v

, ou seja,

{v}

e todo módulo

X

tal que

v /

∈ X

e qualquer

Y ⊃ X

,

Y

módulo de

G

, então

v ∈ Y

. A Figura 3.1a ontém um exemplo destes onjuntos.

Lema 3.1. Dado um grafo

G

e um de seus vérti es,

v

,

M(G, v)

é uma partição de ongruên ia de

V (G)

.

Demonstração. Se algum

u ∈ V (G)

não perten esse a nenhum membro de

M(G, v)

, o módulo maximal que ontém

u

e não ontém

v

não foi adi ionado a

M(G, v)

; por outro lado, se dois membros distintos,

X

e

Y

, de

M(G, v)

não forem disjuntos então, pelo

(a) Aspartesde

M(G, c)

. Qualquermódulo de

G

não ontidoemumadestaspartes, on-tém

c

.

(b) Osmódulosmaximaisfortesprópriosde

G

. Estaéapartiçãodaraizdade omposição modulardografo.

Figura 3.1: Um grafo

G

om os módulos de

M(G, c)

e seus módulos fortes maximais próprios desta ados.

de

X

e

Y

. Além disso, omo todos os omponentes de

M(G, v)

são módulos de

G

,

M(G, v)

é uma partiçãode ongruên ia.

Alémdesta propriedade, Ehrenfeu ht eoutros, notaram que esta partiçãoé útil para onstrução da de omposiçãomodular:

Lema 3.2([EGMS94℄). Todos osmódulos nãounitáriosde

G/M(G, v)

ontêm

{v}

e são fortes.

Demonstração. Sehouvesseummódulonãounitário

X

de

G/M(G, v)

quenão ontivesse

{v}

, então, pelo Lema 2.9,

S

M ∈X

M

seria um módulo de

G

que não ontém

v

e, om isso, ontradiria a maximalidade dos módulos ontidos em

M(G, v)

. Agora, suponha que existam dois módulos não triviais

X

e

Y

de

G/M(G, v)

, que se sobreponham. Pelo Lema2.4,

X ∆Y

seriamódulonãotrivialde

G/M(G, v)

e, omo

{v} ∈ X ∩Y

,então

X ∆Y

não onteria

{v}

e ontradiriaa maximalidade dos módulos ontidos em

M(G, v)

. Lema 3.3 ([EGMS94℄). Um sub onjunto

X

de

M(G, v)

que ontém

{v}

é um módulo forte de

G/M(G, v)

se, e somente se,

S

M ∈X

M

for um módulo forte de

G

(que ontém v). Todos demais módulos fortes de

G

 aqueles quenão ontem

v

 são sub onjuntos de alguma parte de

M(G, v)

.

Demonstração. Seja

M

um módulo forte de

G

que ontém

v

. Assim, osdemais módulos de

G

ou estão ontidos em

M

, ou o ontêm, ou são disjuntos de

M

. Como os módulos de

G

que ontém

M

não perten em a

M(G, v)

,

M(G, v)

é formado por módulos de

G

disjuntos de

M

epormódulosde

G

ontidos em

M

e,então, existe um

X ⊂ M(G, v)

tal que

S

V ∈X

V = M

e,peloLema 2.9,

X

é módulo de

G/M(G, v)

e,portanto,forte.

Seja, agora,

X

um módulo (forte) de

G/M(G, v)

e suponha que

S

V ∈X

V = M

não

v /

∈ Y

, es olha um vérti e

u ∈ Y ∩ M

e seja

U ∈ M(G, v)

tal que

u ∈ U

, então, omo

U ⊂ M

, ou

U ⊂ Y

, ou

U

e

Y

sobrepõem-se e, pelo Lema 2.4,

Y ∪ U

é módulo de

G

e

não ontém

v

, e, portanto,

U

não é maximal. Se

v ∈ Y

, es olha

u ∈ M \ Y

e sele ione

U

da mesma forma. PeloLema 2.4,

M∆Y

émódulo de

G

, e então, ou

U ⊂ (M∆Y )

, ou

U

sobrepõe-se a

(M∆Y )

e

U ∪ (M∆Y )

é um módulode

G

quenão ontêm

v

, mostrando que

U

não é maximal.

Todo módulo

M

de

G

que não ontém

v

é um sub onjunto de alguma parte de

M(G, v)

. Caso não fosse, onsidere uma parte

X ∈ M(G, v)

tal que

M ∩ X 6= ∅

.

Então

X

nãoé maximalporque ou

M ⊃ X

, ou,peloLema2.4,

M ∪ X

éum módulo. Apli andoa Proposição 2.16 sobre os lemas 3.2e 3.3, veri a-se que os an estrais de

v

naárvore de de omposição modular de

G

são exatamenteos nós internos da árvore de de omposição modular de

G/M(G, v)

. Além disso, os demais nós da árvore de de om-posição modular de

G

são

v

e os módulos fortes de

G

que não ontêm

v

, os quais, pelos lemas 3.3 e 2.8 são os nós das árvores de de omposição modular dos grafos

G[X]

para

todo

X

em

M(G, v)

distintode

{v}

.

E, om isto, tem-se uma estratégia geral para omputar a de omposição modular de um grafo, esboçada no Algoritmo 1, abaixo, juntamente om um exemplo de seu uso na Figura 3.2. A ondição internavalida que

X

é um módulo forte de

G

, removendo-o aso não seja.

Algoritmo 1 Estratégia para de omposição modularporEhrenfeu ht e outros.

Entrada:

T

e

T

X

, árvores de de omposição modular de

G/M(G, v)

e de todo

G[X] :

X ∈ M(G, v)

.

Saída:

T

é aárvore de de omposição modular de

G

. Para todafolha

X

de

T

faça

Seja

T

X

a árvore de de omposição modular de

G[X]

. Seja

R

X

araiz de

T

X

.

Seja

R

o paide

X

em

T

.

Se

R

e

R

X

ambosestão rotulados omo serial ouparalelo então Remova

X

de

R

e adi ioneos lhos de

R

X

om lhos de

R

. Senão

Remova

X

de

R

e adi ione

R

X

omolho de

R

. Fim Se

Fim Para Retorne

T

.

Emseu trabalho,Ehrenfeu hteoutros[EGMS94℄apresentamum algoritmore ursivo, ujo tempo total de exe ução é

O(n

2

)

, semelhante aodado no Algoritmo2. O tempode exe ução é devido, prin ipalmente, a té ni a usada para omputar da árvore de

de om-(a) O quo iente

G/M(G, c)

dografodaFigura3.1. (b)Ade omposição modu-larde(a). ( )Asde omposiçõesmodulares dosfatoresde

M(G, c)

. (d) A de omposição modular de

G

, obtidapeloAlgoritmo1.

(e)Árvoreobtida asooAlgoritmo1 não ombinassepaiselhosPeS.

Figura 3.2: Um exemplo de de omposição modular segundo a té ni a de Ehrenfeu ht e outros.

posição modular de

G/M(G, v)

, que, por este motivo, não será des rita. Ao invés, será exposto, na próxima seção, uma maneira de usar a té ni a apresentada que resulta em um algoritmolinear.

Algoritmo 2 De omposição modular por Ehrenfeu ht eoutros. Entrada:

G

é um grafo simples.

Saída:

T

é árvore de de omposição modularde

G

. Se

G

ontém apenas um vérti e então

Faça

T

=

G

. Senão

Es olhaum vérti e

v

, qualquer, de

G

. Compute apartição

P = M(G, v)

.

Compute aárvore de de omposição modular

T

Q

de

G/P

. Para todafolha

X

de

T

Q

faça

Compute re ursivamentea de omposição modular de

G[X]

em

T

X

. Fim Para

Useo Algoritmo1 om

T

Q

e todos os

T

X

: X ∈ M(G, v)

para obtera árvore

T

. Fim Se

3.2 Re ursão sobre adja entes e não adja entes

Usando estratégia semelhante, Dahlhaus e outros [DGM01℄ apresentaram um algoritmo linear para de omposição modular. Seu diferen ial é a forma usada para omputar

G/M(G, v)

, sua de omposição modular e as árvores de de omposição modular de seus

membros, que são detalhadas abaixo.

OAlgoritmo3esboçaospassosbási osparaobterasárvoresdede omposiçãomodular

de

G/M(G, v)

e dos grafos fatores da partição

M(G, v)

. Um exemplo da apli ação de

uma iteração é dado na Figura 3.3, na qual as de omposições em (b) e (d) são obtidas re ursivamente.

O primeiro passo para detalhar o algoritmo é a des rição do ál ulo das restrições das árvores de de omposiçãomodularnopasso2,tarefa desempenhadapeloAlgoritmo4. Este algoritmo al ula apenas a retrição da árvore de de omposição modular de

G

em relação aosvizinhos de

v

. Oalgoritmopara obterarestriçãoemrelaçãoaos não vizinhos é essen ialmente omesmo, apenas substituindo

N

G

(v)

por

N

G

(v)

.

Aapli açãodoAlgoritmo4sobreasárvores(b)e(d)daFigura3.3produzexatamente as árvores de de omposição modular dos fatores de

G

em relação a

M(G, c)

, vistos na Figura3.2 . Noteque, embora osvérti es

d

e

e

tenhamsido separados noprimeiropasso doalgoritmo,quandoapli adosobreaárvoredaFigura3.3d,elessãounidosnovamenteno

Algoritmo 3 De omposição modular por Dahlhause outros. Entrada:

G

é um grafo.

Saída: Para algum vérti e

v

de

G

,

M

é

M(G, v)

,

T

é árvore de de omposição modular

de

G/M(G, v)

e

T

X

éaárvore dede omposição modularde

G[X]

para todo

X ∈ M

.

1: En ontre as árvores de de omposição modular

T

N

e

T

N

, de

G[N

G

(v)]

ede

G[N

G

(v)]

,

re ursivamente.

2: Cal ule asrestriçõesdaárvore de de omposiçãomodularde

G

em relaçãoa

N

G

(v)

e a

N

G

(v)

usando

T

N

e

T

N

.

{Tais restrições forne em

T

X

para todo

X ∈ M(G, v)

}

3: Compute

M

, agrupandoos vérti es de ada árvore obtidano passo anterior. 4: Compute

T

, aárvore de de omposiçãomodularde

G/M(G, v)

.

Algoritmo 4 Cál ulodas restriçõesdade omposição modular.

Entrada:

G

é um grafo e

T

N

éa árvore de de omposição modularde

G[N

G

(v)]

. Saída:

T

∗

N

éa restriçãoda árvore de de omposição modularde

G

a

N

G

(v)

.

Removade

T

N

todos osnós quenão são módulos de

G

. Os lhosdos nós removidosse tornamnovasárvores. Chameessa orestade

T

∗

N

.

Agrupenovamentedois oumaislhos de ummesmonóserial ouparalelo,removidode

T

N

, desde que seus vérti espossuamos mesmosvizinhos em

V (G) \ N

G

(v)

.

(a)Ografo

G[N

G

(c)]

. (b)A de omposição modularde(a).

( ) Ografo

G[N

G

(c)]

.

(d) A de omposição modularde( ).

segundopasso,pois

d

e

e

têmomesmo onjuntodevizinhosem

V (G)\N

G

(c)

,queé

{a, f }

. Em seguida, mostra-se que este passo realmenteobtém as de omposições modularesdos grafos induzidos pelas partes de

M(G, v)

.

Lema 3.4. As de omposições modulares de

G[X]

para

X ∈ M(G, v)

são dadas pelas restrições das de omposições modulares de

G

a

G[N

G

(v)]

e a

G[N

G

(v)]

.

Demonstração. Seja

X ∈ M(G, v)

,

X 6= {v}

. Como

X

é um módulo de

G

disjunto de

{v}

, está totalmente ontido em

N

G

(v)

ou em

N

G

(v)

 hame de

N

o onjunto dentre estes que ontém

X

. PeloLema 2.5,

X

é módulo de

G[N]

epeloLema 2.17, oué um nó da árvore de de omposição modular,

T

, desse grafo oué a união de alguns lhos de um nó serialouparalelode

T

. Como

X

émódulo de

G

,opro esso de restriçãode

T

a

G[X]

, que produz

T

′

, não remove de

T

nenhum dos submódulos de

X

. Se

X

era um nó de

T

, ontinua sendo em

T

′

; se era a união de dois ou mais lhos de um nó serial ou paralelo de

T

, tais lhos foram mantidos em

T

′

e, aso seu pai tenha sido ex luído, um novo foi adi ionado ontendo todos oslhos que formam

X

. Para nalizar,

X

não possui um pai em

T

′

, pois neste aso talpai seria um módulo de

G

(já que não foi removido durante a restrição) quenão ontém

v

e, portanto,

X

não seria maximal.

Oúltimopasso é a onstrução daárvore de de omposiçãomodular de

G/M(G, v)

no passo 4 doAlgoritmo 3. Este passo se resume a en ontrar todos osmódulos fortes de

G

que ontêm

v

e determinar sua relaçãode in lusão.

Primeiramente,o onjuntode vérti es

V (G) \ {v}

éparti ionadoem lasses de equiv-alên ia determinadaspelarelaçãodenida de formaque dois vérti es

x

e

y

serela ionam se satiszerem uma das seguintes ondições:

•

Se

x

e

y

perten em à

N

G

(v)

:



x

e

y

perten em a mesma omponente onexa de

G[N

G

(v)]

; ou



x

e

y

perten ema omponentes onexasdistintasde

G[N

G

(v)]

,ambas ontidas emum módulode

G

totalmente ontido em

N

G

(v)

.

•

Se

x

e

y

perten em à

N

G

(v)

:



x

e

y

perten em a mesma omponente onexa de

G[N

G

(v)]

; ou



x

e

y

perten ema omponentes onexasdistintasde

G[N

G

(v)]

,ambas ontidas emum módulode

G

totalmente ontido em

N

G

(v)

.

A transitividade da relação vem do fato de que a união de dois módulos que se so-brepõemem

G

tambémémódulode

G

. As lassesdenidasporestarelaçãosão hamadas de blo os bási os. Denota-se por

B

e

B

os onjuntos daqueles blo os bási os ontidos em

(a)Blo osbási osde

G[N

G

(c)]

. (b)Blo osbási osde

G[N

G

(c)]

.

( )Ografo

F

. (d)Ografo

F

′

.

Figura3.4: Exemplo de onstruçãoda de omposição de

G/M(G, c)

peloAlgoritmo 5.

N

G

(v)

e em

N

G

(v)

, respe tivamente. Os blo os bási os são módulos de

G[N

G

(v)]

ou de

G[N

G

(v)]

. Noteque,naFigura3.4b,osvérti es

d

e

e

foramunidosnomesmoblo obási o poisformam um módulo em

G

.

Constrói-se, agora, um grafo orientado bipartido

F

,de bipartição

{B, B}

. As arestas do grafo são denidas de forma que

(X, Y ) ∈ E(F )

se e somente se

X ∈ B

,

Y ∈ B

e existem

x ∈ X

e

y ∈ Y

tais que

{x, y} ∈ E(G)

, ou

X ∈ B

,

Y ∈ B

e existem

x ∈ X

e

y ∈ Y

taisque

{x, y} /

∈ E(G)

.

Oobjetivodografo

F

émostrarasrelaçõesdein lusãoforçadaspormódulos ontendo

v

,ouseja,se

(X, Y ) ∈ E(F )

,então qualquermódulode

G

que ontenha

{v} ∪ X

, onterá

Y

. Assim sendo, uma omponente fortemente onexa neste grafo signi a que qualquer módulo de

G

que ontenha

v

e um dos blo os bási os da omponente obrigatoriamente ontém todaela.

Toma-se, então, o grafo

F

′

obtido de

F

substituindo suas omponentes fortemente onexas por novos vérti es que ontém a união dos blo os bási os de ada omponente. O grafo

F

′

é a í li o e admite uma ordenação topológi a úni a (veja Seção A.3). Um suxo de uma ordem

O

sobre um onjunto

S

é um onjunto

U ⊆ S

tal que, se

a ∈ U

, então

b ∈ U

para todo

b ∈ S

tal que

b ≥ a

em

O

. Os suxos da ordenação topológi a dada pelo grafo

F

′

da Figura 3.4d são

∅, {B}, {C, B}

e

{AD, C, B}

(

AD

representa um úni o elemento). A união de

{v}

om os vérti es ontidos nos elementos dos suxos da ordenação topológi a,forne e os módulos fortes de

G

que ontêm

v

. Para ografo

F

′

da mesma gura, taismódulos são

{c}

,

{c, b}

,

{c, b, d, e}

e

{c, b, d, e, a, f, g, h, i, j}

.

O Algoritmo 5 resume os passos des ritos. Um exemplo do pro edimento é dado na Figura 3.4.

Algoritmo 5 Cál ulode

G/M(G, v)

por Dahlhaus eoutros

Entrada:

G

é um grafo simples,

v

é um de seus vérti es e

M

é

M(G, v)

. Saída:

T

é árvore de de omposição modularde

G/M(G, v)

.

En ontre osblo os bási osde

G

em relaçãoa

v

.

Compute o grafoorientado de impli ação

F

a partir dos blo os bási os. Compute o grafofortemente onexo

F

′

de

F

. Obtenha a ordenação topológi a

O

de

F

′

.

Seja

T

tal que

V (T ) = {v}

e

E(T ) = ∅

.

Para todo vérti e

x

de

F

′

, visitado naordem inversa de

O

faça Adi ione uma nova raiz

u

aárvore a

T

.

Ligue anova raiz a antiga.

Adi ione omo lho de

u

um vérti e para ada elementode

M \ {v}

ontido em

x

. Rotuleo vérti e

u

segundo ografo quo ienteda partiçãoque onó representa. Fim Para

Primeiramente, serão mostradas a relação entre os módulos de

G

que ontém

v

e as estruturas dos grafos

F

e

F

′

.

Lema 3.5. Um onjunto

X

formado por

v

e a uniãode blo os bási os é ummódulode

G

se, e somente se, não existe uma aresta

(A, B)

no grafo

F

tal que

A ⊆ X

e

B 6⊆ X

. Demonstração. Suponha que

X

não é um módulo de

G

, então existe um vérti e

r /

∈ X

que distingüe dois vérti es ontidos em

X

. Se

r ∈ N

G

(v)

,então

r

deve ser não adja ente a algum vérti e

s ∈ X

(note que

s 6= v

). Se

s ∈ N

G

(v)

,

r

e

s

estariam no mesmo blo o bási o(justamenteporque

r

e

s

sãonãovizinhos), ontradição. Assim,

s ∈ N

G

(v)

eexiste uma aresta

(A, B)

no grafo

F

do blo o bási o

A

que ontém

r

ao blo o bási o

B

que ontém

s

. Com ra io ínio análogo (tro ando-se adja ên ia por não adja ên ia) trata-se

do aso emque

r ∈ N

G

(v)

. Portanto,pela ontrapositiva,se nãoexiste arestanografo

F

de um blo o bási o ontido em

X

a outro, não ontido em

X

, então

X

émódulode

G

. Para ompletaraprova,suponhaqueexisteumaarestanografo

F

de umblo obási o

A

ontido em

X

a outro,

B

, não ontido em

X

. Suponha que

A ∈ B

e, portanto,

B ∈ B

. A arestano grafo

F

impli a que existe uma aresta

{a, b}

em

G

, talque

a ∈ A

e

b ∈ B

e, assim,

b

distingüe

a

de

v

, fazendo om que

X

não seja módulo. O aso emque

A ∈ B

é simétri o, invertendo o papel das adja ên ias e não-adja ên ias.

NotequeoLema3.5nãoimpli aquetodomódulode

G

que ontém

v

podeserformado pelauniãode

v

om vérti esde blo os bási os,oque, de fato,é falso. Em ontrapartida, aarmaçãovaleparamódulosfortesde

G

que ontém

v

, omodemonstradonoLema3.6. Lema 3.6. Um onjunto

X

de

V (G)

que ontém

v

é ummódulo fortede

G

se,e somente

se,

X \ {v}

é aunião de blo os bási os e não existeuma aresta

(A, B)

no grafo

F

tal que