Sobre um sistema de equações do tipo Schrödinger em óptica não linear

Texto

(1)UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. MAICON SARTORI HESPANHA. Sobre um sistema de equações do tipo Schrödinger em óptica não linear. Campinas 2020.

(2) Maicon Sartori Hespanha. Sobre um sistema de equações do tipo Schrödinger em óptica não linear. Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Matemática.. Orientador: Ademir Pastor Ferreira. Este exemplar corresponde à versão final da Dissertação defendida pelo aluno Maicon Sartori Hespanha e orientada pelo Prof. Dr. Ademir Pastor Ferreira.. Campinas 2020.

(3) Ficha catalográfica Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467. H462s. Hespanha, Maicon Sartori, 1991HesSobre um sistema de equações do tipo Schrödinger em óptica não linear / Maicon Sartori Hespanha. – Campinas, SP : [s.n.], 2020. HesOrientador: Ademir Pastor Ferreira. HesDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. Hes1. Boa-colocação local. 2. Boa-colocação global. 3. Equação não-linear de Schrodinger. 4. Existência de solução (Equações diferenciais). 5. Problema de Cauchy. I. Ferreira, Ademir Pastor, 1982-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.. Informações para Biblioteca Digital Título em outro idioma: On a Schrödinger system arizing in nonlinear optics Palavras-chave em inglês: Local well-posedness Global well-posedness Non-linear Schrodinger equation Existence of solution (Differential equations) Cauchy problem Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora: Ademir Pastor Ferreira [Orientador] Alysson Tobias Ribeiro da Cunha Anne Caroline Bronzi Data de defesa: 27-03-2020 Programa de Pós-Graduação: Matemática Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a) - ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0003-4954-8512 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/1586024389799166. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org).

(4) Dissertação de Mestrado defendida em 27 de março de 2020 e aprovada pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.. Prof(a). Dr(a). ADEMIR PASTOR FERREIRA. Prof(a). Dr(a). ALYSSON TOBIAS RIBEIRO DA CUNHA. Prof(a). Dr(a). ANNE CAROLINE BRONZI. A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica..

(5) AGRADECIMENTOS. Agradeço inicialmente ao professor Dr. Ademir Pastor Ferreira por toda orientação dada neste trabalho e pela consideração em me atender sempre que possível. Agradeço aos meus pais Roni José Hespanha e Angela Cristina Sartori por toda a luta que tiveram para que eu pudesse chegar onde estou e realizar parte de um sonho. Agradeço a minha namorada Carolina, que esteve ao meu lado com muita ajuda nessa batalha diária acadêmica, sempre me apoiando e dando forças para continuar. Agradeço à Celso e Rosa por todo apoio dado para que eu pudesse concluir esse curso. Agradeço a UNICAMP, em particular ao IMECC, por me aceitar e dar toda a estrutura necessária para adquirir conhecimento e iniciar minha vida no meio científico. O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001. Finalmente quero agradecer a CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico, porque também o presente trabalho foi realizado com seu apoio financeiro por meio do processo 131298/2018-6 que permitiu concluir este trabalho..

(6) Resumo Neste trabalho estudamos os resultados obtidos em (OLIVEIRA; PASTOR, 2018) sobre um sistema de equações do tipo Schrödinger não-linear. Foram estabelecidos resultados de boa colocação local utilizando o método de Kato resolvendo as equações integrais associada ao problema de Cauchy. Provamos existência de soluções ground states. Também provamos um resultado de alternativa de blow-up o qual é utilizado, juntamente com as soluções ground state, para mostrar a boa colocação global do problema de Cauchy associado ao sistema. Por fim, estabelecemos alguns critérios para que a solução possua blow-up em tempo finito.. Palavras-chave: Sistema de equações de Schrödinger não linear, Ground states, Blow-up, Boa colocação local e global..

(7) Abstract In this work we study the results obtained in (OLIVEIRA; PASTOR, 2018) about a nonlinear Schrödinger system. We first establish local well-posedness by Kato’s method solving the integral equations associated with the Cauchy problem. We prove the existence of ground state solutions. We also prove a blow-up alternative which, together with the ground states, is used to show the global well-posedness. Finally, we establish several criteria for blow-up in finite time.. Keywords: Nonlinear Schrödinger system, Ground states, Blow-up, Local and global well-posedness..

(8) LISTA DE SÍMBOLOS. N. conjunto dos números naturais t1, 2, 3, ...u.. R. conjunto dos números reais.. C. conjunto dos números complexos.. q.t.p.. a menos de conjunto de medida nula.. <pz q. parte real do número complexo z.. Impz q. parte imaginária do número complexo z.. z¯. conjugado do número complexo z.. Rn. espaço Euclidiano de dimensão n.. xy. produto interno entre dois elementos do espaço X.. ||. norma do espaço Rn .. } }X. norma do espaço X.. u xi. BBxu Biu. i. ut ∇u ∆u. BBut du Btu. dt pux , ..., ux q. 1. n ¸. . n. uxi xi .. i 1. Br. tx P Rn; |x| ru..

(9) ». . f. » Rn. f pxqdx.. C k pX q. espaço das funções com derivadas contínuas até ordem k. C08. espaço das funções de classe C 8 com suporte compacto.. Lp pX q. espaço das funções p-integráveis em X.. Lp pI, X q. espaço das funções u : I. S 1 pRn q. espaço das distribuições temperadas em Rn .. W m,p pX q. pm P N, 1 ¤ p ¤ 8q Espaço de Sobolev.. H m pX q. W m,2pX q.. C. constante universal que pode variar de acordo com o contexto.. uˆ. transformada de Fourier de u.. uˇ. transformada de Fourier inversa de u.. e p. it a∆ b. X. qu. ÑY. ã. 0. . ¥ 0 em X.. ÝÑ X tais que uptq P LppX q q.t.p. t P I.. . _ itpa|ξ |2 bq e uˆ0 com a e b constantes.. injeção contínua de X em Y ..

(10) Sumário Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1. PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 2. BOA COLOCAÇÃO LOCAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 3. SOLUÇÕES GROUND STATES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 4. BOA COLOCAÇÃO GLOBAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. 5. BLOW-UP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55. REFERÊNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.

(11) 11. INTRODUÇÃO. Neste trabalho estaremos interessados em estudar o sistema $ ' & iut ' % iσw t. ∆u u. . ∆w µw. 1 2 | u| 9. p9|w|. 2|w| 2. 1 2 u¯ w 0, 3 1 3 2|u|2 qw u 0, 9 2. u. (1). onde u upx, tq e w wpx, tq são funções a valores complexos, px, tq P Rn R, 1 ¤ n ¤ 3, com µ e σ constantes positivas. O interesse por processos não lineares em óptica tem aumentado recentemente. Em (SAMMUT; BURYAK; KIVSHAR, 1998), foi introduzido um novo modelo para a interação ressonante entre um feixe linearmente polarizado com frequência ω propagando num material do tipo Kerr e seu terceiro harmônico (com frequência 3ω). Tal interação é descrita por (1). Para uma explicação mais detalhada dos cálculos e aproximações envolvidas na modelagem do problema consultar (BOYD, 2008) e (SAMMUT; BURYAK; KIVSHAR, 1998). Do ponto de vista matemático, o sistema (1) foi estudado em (ANGULO; PASTOR, 2009), (PASTOR, 2010), (SAMMUT; BURYAK; KIVSHAR, 1998) e (OLIVEIRA; PASTOR, 2018). Em (ANGULO; PASTOR, 2009) os autores estabeleceram boa colocação local e global do problema de Cauchy com dado inicial periódico. Existência de curvas suaves de ondas estacionárias periódicas positivas e resultados sobre estabilidade não linear também foram estabelecidos. Em (PASTOR, 2010) o autor estabeleceu a existência de ondas periódicas que mudam de sinal e provou a estabilidade não linear e espetral. Em (SAMMUT; BURYAK; KIVSHAR, 1998) foi trabalhado a estabilidade linear de soluções estacionárias locais e apresentados algumas simulações numéricas. Os trabalhos mencionados acima foram realizados apenas no caso unidimensional. Para o caso multidimensional, (OLIVEIRA; PASTOR, 2018) provaram existência e estabilidade de soluções ground states, boa colocação global e local e estabeleceram critérios para blow-up em tempo finito..

(12) Introdução. 12. Nesta dissertação, o principal objetivo será estudar o problema de Cauchy associado ao sistema (1) no espaço de Sobolev H 1 pRn q, também designado como espaço energia, devido ao fato que, pelo menos em nível formal, o sistema conserva os funcionais energia e massa, dados respectivamente, por E pu, wq :. 1 2. ». p|∇u| |∇w| |u| 2. 2. e. µ|w|. 2. 2. q. ». M pu, wq :. » . p|u|2. 1 4 |u| 36. 9 4 |w| 4. |u| |w| 2. 2. 1 <epu¯3 wq 9 (2). 3σ |w|2 q.. (3). Nossa principal referência será o trabalho (OLIVEIRA; PASTOR, 2018). Da literatura, sabemos que para a equação de Schrödinger com não linearidade cúbica, ou seja, iut ∆u |u|2 u 0, o espaço Euclidiano de dimensão 2 é crítico no sentido que a existência global de soluções no espaço de energia é garantida desde que o dado inicial tenha norma L2 abaixo da norma do ground state. Além disso, existem dados iniciais com norma L2 igual a norma do ground state que possuem blow-up em tempo finito (veja (WEINSTEIN, 1982/83) ou (CAZENAVE, 2003)). Isto motiva a questão de tentar estender este tipo de resultado para (1). Nosso trabalho será dividido em 5 Capítulos. No primeiro, apresentaremos alguns resultados e definições preliminares que serão utilizados no decorrer do texto. No segundo capítulo, o foco principal é provar a boa colocação local do problema de Cauchy associado ao sistema (1) no espaço de energia. Para tal, utilizaremos o método essencialmente introduzido por T. Kato ( veja(CAZENAVE, 2003), pág. 93) baseado no argumento do ponto fixo e nas estimativas de Strichartz (Teorema 1.3), onde encontraremos uma solução para as equações integrais equivalentes à (1): $ ' ' & u t. »t. p q U ptqu0. ' ' % w t. i. p q W ptqw0. 0». g1 pu, wq . 1 2 |u| 9. 2|w|. 2. u. t. i 0. onde U ptq eitp∆ 1q , W ptq eitpa∆ bq , a pondente a parte linear de (1) e . U pt sqg1 pupsq, wpsqqds,. 1 2 u¯ w 3. (4). W pt sqg2 pupsq, wpsqqds,. 1{σ, b µ{σ sendo o grupo unitário correse g2 pu, wq ap9|u|2. 2|w|2 qw. 1 3 au , 9. (5). as não linearidades. Por boa colocação local queremos dizer que para cada pu0 , w0 q P H 1 H 1 , o sistema (4) possui única solução puptq, wptqq definida em algum intervalo de tempo pT, T q, T ¡ 0, a qual descreve uma curva contínua em H 1 H 1 e depende.

(13) Introdução. 13. continuamente do dado inicial. Além disso, estabeleceremos um resultado de alternativa de blow-up, mais precisamente, se a solução estiver definida em um intervalo maximal pT, T q, onde T, T ¡ 0, e T 8 lim p}∇u}2L2. }∇w}2L q 8.. ÑT . t. (6). 2. 8.. Um resultado similar vale se T. No terceiro capítulo, com o intuito de estender as soluções locais para soluções globais estudaremos a existência de ground states associadas a (1). Mais precisamente, lembremos que ondas estacionárias são soluções especiais de (1) da forma upx, tq eiωt P pxq,. wpx, tq e3iωt Qpxq,. (7). onde P e Q são funções reais com decaimento no infinito. Substituindo (7) em (1), podemos ver que pP, Qq deve satisfazer o sistema $ ' & ∆P. pω ' % ∆Q pµ. 1qP 3σω qQ. . 1 2 P 9. 2. 2Q. p9Q2. P. 2P 2 qQ. 1 2 P Q 0, 3 1 3 P 0. 9. (8). Aqui nosso objetivo será estudar soluções de (8) e algumas de suas propriedades. Por solução de (8) entendemos um par de funções reais pP, Qq P H 1 pRn q H 1 pRn q tal que ». e. ». p∇P ∇f pω. p∇Q ∇gq pµ. 1qP f q . » . 3σω qQg q . 1 3 P 9. 2. 2Q P. 1 2 P Q f 3. » . (9). 3. 9Q. 2. 2P Q. 1 3 P g, 9. (10). para qualquer par pf, g q P H 1 pRn q H 1 pRn q, ou seja, inicialmente estamos interessados em soluções fracas de (8). É fácil ver que estas soluções, também chamadas de bound states, são pontos críticos do funcional ação, definido por S pP, Qq : E pP, Qq. ω M pP, Qq 2. onde E e M são os funcionais energia e massa. Denotando por B de todas as soluções de (8), temos B. Bpω, µ, σq o conjunto. Bpω, µ, σq : tpP, Qq P H 1 H 1; S 1pP, Qq 0u.. Dentre todos os bound states, chamaremos de ground state àqueles que minimizam a ação S. Mostramos que o conjunto das soluções ground state é de fato não vazio, utilizando um método variacional minimizando S na variedade de Nehari. Por fim, daremos uma condição suficiente para que um ground state tenha as duas componentes não triviais. No quarto capítulo, estaremos interessados em estudar a boa colocação global do problema de Cauchy (1) no espaço de energia. Para isso, tendo em vista que a quantidade.

(14) Introdução. 14. M definida em (3) é conservada e equivalente a norma usual em L2 L2 , é suficiente limitar os gradientes de u e w. No caso n 1, tal limitação é facilmente obtida. Entretanto, para os espaços de dimensão n 2 e n 3, daremos condições suficientes em termos da massa e da energia do dado inicial com respeito ao tamanho do ground states (com ressonância µ 3σ) para que tenhamos a boa colocação global. Por fim, no Capítulo 5, estudaremos as solução que possuem blow-up em tempo finito. Iniciaremos mostrando que, pelo menos em ressonância, os resultados encontrados no Capítulo 4 para espaços de dimensão n 2 são ótimos (ou sharp). No caso n 3, também mostraremos que os resultados são ótimos, pelo menos em ressonância, desde que os dados iniciais estejam em H H 1 pR3 q X L2 pRn , |x|2 dxq. Mais ainda, exibiremos algumas condições sobre a solução que implicam em blow-up no tempo. Ao longo deste trabalho, a menos que mencionado o» contrário, o domínio das diferentes integrais será Rn e, por conveniência, denotaremos f dx simplesmente por ». Rn. f . Além disso, C representará uma constante genérica que poderá variar de desigualdade para desigualdade..

(15) 15. CAPÍTULO. 1. PRELIMINARES. Neste capítulo descreveremos alguns conceitos básicos e resultados preliminares necessários para o desenvolvimento do trabalho. Alguns resultados não serão demonstrados e suas provas podem ser encontradas nas referências indicadas no texto. Começaremos definindo alguns espaços que utilizaremos no decorrer do trabalho. Inicialmente, definiremos espaço de Sobolev. Para tal, vamos introduzir um conceito de derivada que generaliza a derivada usual. Dado um aberto U Rn , uma função u P L1loc pU q e α P Nn um multi-índice, dizemos que v P L1loc pU q é uma α-ésima derivada fraca de u se ». upxqD ϕpxqdx p1q|α|. ». α. U. U. v pxqϕpxqdx,. (1.1). para toda função ϕ P C08 pU q. Dizemos que u é fracamente diferenciável k-vezes quando Dα u existe para todos multi-índices α tais que 0 ¤ |α| ¤ k. É fácil ver que a derivada fraca de uma função u, quando existe, é única a menos de um conjunto de medida nula. De fato, suponha que v, v˜ são α-ésimas derivadas fracas de u. Então, dada ϕ P C08 pU q, temos. p1q|α| ou seja,. ». U. vϕdx . » U. ». uD uϕdx p1q|α|. ». α. U. v˜ϕdx, U. pv v˜qϕdx 0, @ϕ P C08pU q.. Portanto, v v˜ 0 q.t.p em U , como queríamos mostrar. Portanto, se u possui uma derivada fraca v podemos denotar v Dα u. Motivados por esse conceito de derivada fraca, definimos os espaços de Sobolev da seguinte maneira. Dado U Rn um aberto, 1 ¤ p ¤ 8, e k P N Y t0u, o conjunto W k,p pU q tu P Lp pU q; Dα u P Lp pU q, @|α| ¤ k u..

(16) Capítulo 1. Preliminares. 16. é chamado espaço de Sobolev. W k,p é espaço de Banach com a norma ¸. }u}W . }Dαu}L . p. k,p. ¤|α|¤k. 0. Quando p 2, definimos W k,2 pU q H k pU q, e equipamos H k com a norma equivalente. }u}H . . ¸. k. ». ¤|α|¤k. U. 0. | D α u| 2. 1{2. .. Assim, o espaço H k é espaço de Hilbert com o produto escalar. xu, vyH k. ¸. ¤|α|¤k. ». Dα uDα v.. <e. 0. U. É possível definir H s pRn q, para s P R da seguinte maneira H s pRn q tu P S 1 pRn q; p1. |ξ |2qs{2uˆ P L2pRnqu,. chamado de espaço de Sobolev de ordem s, com norma dada por. }u}H }p1 |ξ |2qs{2uˆ}L . s. 2. Para mais detalhes, veja (CAZENAVE, 2003), Seção 1.3 e (LINARES; PONCE, 2009), Seção 3.1. Teorema 1.1 (Teorema de Imersão de Sobolev). Se U contínua, então valem as seguintes propriedades: (i) Se 1 ¤ p n, então W. 1,p. Rn. pU q Ñ L pU q, para todo q P ã. q. . p,. tem fronteira Lipschitz. np. np. (ii) Se p n ¡ 1, então W 1,p pU q ãÑ Lq pU q, para todo q. P rp, 8q.. (iii) Se p n 1, então W 1,p pU q ãÑ Lq pU q, para todo q. P rp, 8s.. . .. (iv) Se p ¡ n, então W 1,p pU q ãÑ L8 pU q. Demonstração. Para a prova deste teorema, veja (BREZIS, 2010), seção 9.3, pág. 278. Quando o conjunto U é limitado, mais pode ser dito das imersões acima. Teorema 1.2 (Rellich-Kondrachov). que U é limitado e tem fronteira Lipschitz Suponha np contínua. Assume 1 ¤ p ¤ n e q P p, . Então a imersão W 1,p pU q ãÑ Lq pU q é comnp pacta, ou seja, toda sequência limitada em W 1,p pU q possui uma subsequência convergente em Lq pU q..

(17) Capítulo 1. Preliminares. 17. Demonstração. Ver (GILBARG; TRUNDIGER, 1998.), Teorema 7.22. Algumas estimativas terão grande importância no decorrer deste trabalho e nos permitirão garantir a existência de soluções para (4). Inicialmente, diremos que um par pq, rq é admissível se . 2 1 1 n 2r q e $ ' 2 ' &. ¤ r ¤ 8, 2 ¤ r 8, ' ' % 2 ¤ r ¤ 2n , n2 pe qtPR.. se n 1, se n 2,. se n ¡ 2.. O teorema a seguir descreve as propriedades suavizantes globais do grupo. it∆. Teorema 1.3 (Estimativas de Strichartz). Valem as seguintes propriedades: (i) Para toda ϕ P L2 pRn q, a função t ÝÑ eit∆ ϕ pertence a Lq pR, Lr pRn qq X C pR, L2 pRn qq para todo par admissível pq, rq. Além disso, existe uma constante C tal que. }eit∆ϕ}L pR,L q ¤ C }ϕ}L . q. r. 2. ¯ e t0 P J. Se pγ, ρq é um par (ii) Seja I um intervalo de R (limitado ou não), J I, 1 1 admissível e f P Lγ pI, Lρ pRn qq, então para todo par admissível pq, rq, a função t ÝÑ φf ptq . »t. t0. eiptsq∆ f psqds. pertence a Lq pI, Lr pRn qqX C pJ, L2 pRn qq. Mais ainda, existe uma constante C independente de I tal que }φf }Lq pI,Lr q ¤ C }f }Lγ1 pI,Lρ1 q. (iii) Para todo m P N e |α| m, como Dα eit∆ eit∆ Dα , então existe uma constante C tal que }eit∆ϕ}Lq pR,W m,r q ¤ C }ϕ}H m e }φf }Lq pI,W m,r q ¤ C }f }Lγ1 pI,W m,ρ1 q. Demonstração. Esta prova pode ser encontrada em (CAZENAVE, 2003), Teorema 2.3.3, pág. 33. Observação 1.4. As estimativas de Strichartz continuam válidas se substituirmos o grupo peit∆qtPR por peitpa∆ bqqtPR, onde a e b são constantes..

(18) Capítulo 1. Preliminares. 18. Teorema 1.5 (Desigualdade de Hölder). Sejam 1 g. P Lq , então f g P L1 e }f g}L ¤ }f }L }g}L p. 1. ¤p¤8e. 1 p. 1 q. 1. Se f P Lp e. q. Demonstração. Ver (RUDIN, 1987) pág. 66.. p 8 e q P R tal que. Teorema 1.6 (Desigualdade de Young). Sejam 1. 1 p. 1 q. 1.. Então, para todo par de números reais positivos a, b temos ab ¤. ap p. bq . q. Ou ainda, dado ε ¡ 0, existe constante C pεq tal que ab ¤ εap. C pεqbq .. Demonstração. Seja 0 α 1 e considere ϕptq αt tα , definida para t ¥ 0. Assim, ϕ1 ptq 0 para 0 t 1 e ϕ1 ptq ¡ 0 para t ¡ 1. Segue do Teorema do Valor Médio que ϕptq ¥ ϕp1q e a igualdade vale se, e somente se, t 1. Logo, temos para t ¥ 0. ¤ αt p1 αq. Se A, B são não negativos, pondo t A{B na desigualdade acima e multiplicando por B, tα. obtemos. Aα B 1α. ¤ αA p1 αqB, com a igualdade valendo se, e somente se, A B. Agora, sejam p e q satisfazendo as hipóteses e tomando α 1{p, A ap e B bq , temos ab ¤. ap p. bq . q. Para mostrar a segunda parte, note que ab pδaq. . Escrevendo ε δ p {p, obtemos. b δ. ¤. 1 p δaqp p. ab ¤ εap. 1 q. q. b δ. . δp p a p. 1 q b. qδ q. C pεqbq .. Outra ferramente que será muito utilizada é a derivada de Gateux de um funcional. Seja ϕ : Ω ÝÑ R, onde Ω é um aberto de um espaço de Banach X, dizemos que ϕ tem derivada de Gateux f P X 1 em u P Ω se para todo h P X 1 rϕpu tÑ0 t. lim. thq ϕpuq xf, thys 0.. A derivada de Gateux em u é denotada por ϕ1 puq e dada por 1 xϕ1puq, hy : lim rϕpu tÑ0 t. thq ϕpuqs..

(19) Capítulo 1. Preliminares. 19. Proposição 1.7. Seja Ω um aberto do Rn e 2 p 8. Então, o funcional ψ : Lp pΩq ÝÑ R definido por » ψ puq : |u|p , Ω. é de classe C pL pΩq, Rq e sua derivada de Fréchet é dada por xψ 1 puq, hy p 2. ». p. para todo h P Lp pΩq.. Ω. |u|p2uh,. Demonstração. A prova pode ser encontrada em (WILLEM, 1996), pag. 9. Outro conceito a ser utilizado é o de rearranjo simétrico decrescente. Para tal, considere Ln a medida de Lebesgue n-dimensional e αn : Ln pB1 q. Seja E Rn um conjunto Lebesgue mensurável e u : E ÝÑ r0, 8s uma função Lebesgue mensurável, definimos a função distribuição de u como sendo a função ù : r0, 8q ÝÑ r0, Ln pE qs dada por ù psq : Ln ptx P E; upxq ¡ suq, s ¥ 0. (1.2) Definimos o rearranjo simétrico decrescente de u por u : Rn. ÝÑ r0, 8s dada como u pxq : inf ts P r0, 8q; ù psq ¤ αn |x|n u, (1.3). Tal função é decrescente e vale. }u}L }u}L p. (1.4). p. com 1 ¤ p ¤ 8. Para mais detalhes, ver (LEONI, 2009), pág. 477. A fim de obtermos a existência de ground states, precisamos do seguinte lema. Lema 1.8 (Lema de Strauss). Se u P H 1 pRn q é uma função radialmente simétrica, então sup |x|. P. . n 1 2. x Rn. |upxq| ¤ C }u}L }∇u}L . 1 2. 1 2. 2. 2. (1.5). Se, além disso, u é radialmente não crescente, então sup |x| 2 |upxq| ¤ C }u}L2 . n. P. (1.6). x Rn. Demonstração. É suficiente supor que u P C08 pRn q, pois o caso geral segue por densidade. Assim, temos para r |x|, r uprq2 n 1. ¤2 ¤2. »8 »r8. r »8. »r8. C. »0. d n1 ps upsq2qds ds. rpn 1qsn2upsq2. sn1 |upsq||u1 psq|ds sn1 |upsq||u1 psq|ds. Rn. |upxq||∇upxq|dx.. 2sn1 upsqu1 psqsds.

(20) Capítulo 1. Preliminares. 20. Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos (1.5). Se u é uma função não crescente devemos ter upxq ¥ 0, uma vez que ela se anula para |x| grande. Assim, em qualquer bola Br o valor de u é limitado inferiormente por uprq. Logo,. }u} ¥. ». 2 L2. Br. |upxq|2dx ¥ |Br ||uprq|2,. onde |Br | significa a medida de Br . Lembrado que |Br | é proporcional a rn provamos (1.6). O próximo resultado será fundamental para obtermos os ground states. Lema 1.9. Suponha que pum q seja uma sequência limitada em H 1 pRn q. Suponha além disso que cada um seja radialmente simétrica e não crescente como uma função de |x|. Então existem uma subsequência pumk q e u P H 1 pRn q tais que umk Ñ u em Lp pRn q, onde 2n e 2 p ¤ 8 se n 1. 2 p n2 Demonstração. Como pum q é limitada no espaço de Hilbert H 1 pRn q, existe u P H 1 pRn q e uma subsequência pumk q tal que umk converge fracamente para u em H 1 pRn q. Agora para R ¡ 0 a ser escolhido, podemos escrever. }um u} k. p Lp. ¤ ¤. ». |um u| dx. ». p. |x|¤R » |x|¤R. ». k. |um u|pdx. |x|¤R. |x|¥R. k. |um u| dx p. |x|¤R ». |x|¥R ». k. |um u|pdx k. |um u|p2|um u|2dx k. k. }umk u} p| |¥Rq p 2 L8 x. ». |um u| dx. (1.7). 2. |x|¥R. k. |um u|pdx }um u}Lp82p|x|¥Rq}um u}2L . k. k. k. 2. Agora observe que do Lema de Strauss,. |um pxq| ¤ |xC| }um }L . n 2. k. k. 2. Sendo pumk q limitada em L2 podemos então concluir que umk pxq Ñ 0, quando |x| Ñ 8, uniformemente em relação a mk . Portanto, dado ε ¡ 0, podemos escolher R ¡ 0 suficientemente grande tal que }umk u}pL82p|x|¥Rq}umk u}2L2 2ε . (1.8). Por outro lado, como a restrição de umk à bola BR é limitada em H 1 pBR q, pelo Teorema de Rellich-Kondrachov (veja Teorema 1.2) podemos assumir, a menos de subsequência, que umk Ñ u em Lp pBR q. Logo, para k suficientemente grande, ». |x|¤R. |um u|pdx 2ε . k. De (1.7), (1.8) e (1.9) concluímos o afirmado.. (1.9).

(21) 21. CAPÍTULO. 2. BOA COLOCAÇÃO LOCAL. Neste capítulo estamos interessados em estudar o problema de Cauchy $ ' ' ' iu ' & t ' ' ' ' %. . 2|w|. 1 2 u¯ w 0, 3 1 3 u 0, iσwt ∆w µw p9|w|2 2|u|2 qw 9 upx, 0q u0 pxq, wpx, 0q w0 pxq, ∆u u. 1 2 | u| 9. 2. u. (2.1). para pu0 , w0 q P H 1 pRn q H 1 pRn q, px, tq P Rn R, 1 ¤ n ¤ 3 e σ, µ ¡ 0. Nosso objetivo é provar a boa colocação local do sistema (2.1) como mostra o seguinte resultado. Teorema 2.1. Suponha 1 ¤ n ¤ 3 e u0 , w0 admite única solução. P H 1pRnq. Então o problema de Cauchy (2.1). pu, wq P C ppT, T q; H 1pRnq H 1pRnqq definida no intervalo maximal de existência pT , T q, onde T , T ¡ 0. Ainda mais, vale a seguinte alternativa de blow-up : se T 8 então lim p}∇u}2L }∇w}2L q 8. tÑT Um resultado similar vale se trocarmos T por T . 2. 2. Demonstração. Conforme já dissemos anteriormente, a ideia é aplicar o teorema do ponto fixo de Banach num espaço de funções apropriado. Para começar, vamos fazer algumas estimativas que serão necessárias no decorrer da demonstração. Sejam g1 e g2 como em (5). Um simples cálculo nos mostra que para j 1, 2 e pu1 , w1 q, pu2 , w2 q P H 1 pRn q, temos:. |gj pu1, w1q gj pu2, w2q| ¤ C p|u1|2 |u2|2 |w1|2 |w2|2qp|u1 u2| |w1 w2|q.

(22) Capítulo 2. Boa Colocação Local. 22. 2r1 r1 Para r 4 temos que 1, onde r1 é o expoente conjugado de r (ou seja, r1 r r Portanto, usando a desigualdade de Hölder, temos. 4{3).. }p|u1|2 |u2|2 |w1|2 |w2|2qp|u1 u2|q}rL1 1 » |p|u1|2 |u2|2 |w1|2 |w2|2qp|u1 u2|q|r1 r. Rn. ¤ . » Rn. ». Rn. ¤C. p|p|u1|. 2. p|p|u1|. 2. ». | u2 |. 2. | u2 |. 2. | w1 |. 2. | w1 |. 2. r1 r 2r1. |w2| q| q 2. |w2| q|q 2. Rn. { dx. r 2. |p|u1| |u2| |w1| |w2|q| dx r. { dx. 2r1 {r ». 2r1 {r ». { dx. r1 {r. r1 {r. p|u1 u2|q dx. p|u1 u2|q dx r. Rn. C }p|u1| |u2| |w1| |w2|q}2rL 1 }u1 u2}rL1. p|u1 u2| q r. Rn. 2r1 {r ». r. Rn. r1 r r1. r1 {r. r. e, portanto,. }p|u1|2 |u2|2 |w1|2 |w2|2qpu1 u2q}L 1 ¤ C }p|u1| |u2| |w1| |w2|q}2L }u1 u2}L ¤ C p}u1}2L }u2}2L }w1}2L }w2}2L q}u1 u2}L . r. r. r. r. r. r. r. r. (2.2) Analogamente,. }p|u1|2 |u2|2 |w1|2 |w2|2qpw1 w2q}L 1 ¤ C }p|u1| |u2| |w1| |w2|q}2L }w1 w2}L ¤ C p}u1}2L }u2}2L }w1}2L }w2}2L q}w1 w2}L . r. r. r. r. r. r. r. r. (2.3) Logo, por (2.2) e (2.3), temos para j. 1, 2. }gj pu1, w1qgj pu2, w2q}L 1 ¤ C p}u1}2L }u2}2L }w1}2L }w2}2L qp}u1 u2}L }w1 w2}L q. r. r. r. r. r. r. r. (2.4) Notemos que,. Big1pu1, w1q 2. . 1 | u1 | 2 9. |w1| pu1qx. . 2. i. 1 2 u 9 1. 2 u¯1 w1 3. pu¯1qx. i. 2w¯1 u1. 1 2 u¯ 3 1. pw1qx. i. 2w1 u1 pw¯1 qxi . e, portanto |Bi g1 pu1 , w1 q| ¤ C p|u1 |2 |w1 |2 qp|Bi u1 | |Bi w1 |q. Do mesmo modo, obtemos |Big2pu1, w1q| ¤ C p|u1|2 |w1|2qp|Biu1| |Biw1|q, ou seja,. |∇gj pu1, w1q| ¤ C p|u1|2 |w1|2qp|∇u1| |∇w1|q. Analogamente, |∇gj pu2 , w2 q| ¤ C p|u2 |2. |w2|2qp|∇u2| |∇w2|q e consequentemente,. |∇gj pu1, w1q ∇gj pu2, w2q| ¤ C p|u1|2 |u2|2 |w1|2 |w2|2qp|∇u1| |∇w1| |∇u2| |∇w2|q..

(23) Capítulo 2. Boa Colocação Local. 23. De maneira similar ao que foi feito em (2.2) e (2.3), obtemos. }∇gj pu1, w1q ∇gj pu2, w2q}L 1 ¤ C p}u1}2L }u2}2L }w1}2L }w2}2L q p}∇u1}L }∇u2}L }∇w1}L }∇w2}L q. r. r. r. r. r. r. r. r. (2.5). r. Passo 1 (existência e unicidade): Neste passo, usaremos o Teorema do ponto fixo de Banach. Para tal, consideremos pq, rq um par admissível e definimos o conjunto. tu P L8pI, H 1pRnqq X Lq pI, W 1,r pRnqq; }u}L8pI,H q ¤ M, }u}L pI,W q ¤ M u, onde I pT, T q e T, M ¡ 0 serão escolhidas posteriormente. Sem perda de generalidade vamos supor que I r0, T q, pois para o caso pT, 0s basta proceder de forma análoga. E. q. 1. 1,r. Munido da métrica dppu1 , w1 q, pu2 , w2 qq }u1 u2 }Lq pI,Lr q. }w1 w2}L pI,L q, q. r. o conjunto E E se torna um espaço métrico completo. Para mais detalhes deste fato, veja (CAZENAVE, 2003), pág. 93. Agora, consideremos a função H : E E ÝÑ E E dada por Hpu, wq pH1 pu, wq, H2 pu, wqq, onde »t. H1 puptq, wptqq U ptqu0. i. H2 puptq, wptqq W ptqw0. U pt sqg1 pupsq, wpsqqds,. »0 t. i 0. W pt sqg2 pupsq, wpsqqds,. com U ptq eitp∆ 1q , W ptq eitpa∆ bq , a 1{σ, b µ{σ. Aqui, devemos encontrar T, M de modo que H esteja bem definida e seja uma contração. Consideremos pu1 , w1 q, pu2 , w2 q P E E. Usando a estimativa (2.4), obtemos. }gj pu1, w1q gj pu2, w2q}L pI,L 1 q ¤ C p}u1 }2L8 pI,L q }w1 }2L8 pI,L q }u2 }2L8 pI,L q }w2 }2L8 pI,L q q q. . r. r. ». r. }u1ptq u2ptq}qL. r. 1{q. ». r. I. r. }w1ptq w2ptq}qL. 1{q . (2.6). r. I. ¤ C p}u1}2L8pI,L q }w1}2L8pI,L q }u2}2L8pI,L q }w2}2L8pI,L qq p}u1 u2}L pI,L q }w1 w2}L pI,L qq 1 e, portanto, gj pu1 , w1 q P Lq pI, Lr q. r. q. r. r. r. r. q. r. Agora, utilizando as desigualdades (2.4) e (2.5), temos. }gj pu1, w1q gj pu2, w2q}W 1 }gj pu1, w1q gj pu2, w2q}L 1 }∇gj pu1, w1q ∇gj pu2, w2q}L 1 ¤ C p}u1}2L }w1}2L }u2}2L }w2}2L qp}u1}L }w1}L }u2}L }w2}L q C p}u1 }2L }w1}2L }u2}2L }w2}2L qp}∇u1}L }∇w1}L }∇u2}L }∇w2}L q ¤ C p}u1}2L }w1}2L }u2}2L }w2}2L qp}u1}W }w1}W }u2}W }w2}W q r. 1,r. r. r. r. r. r. r. r. r. r. r. r. r. r. r. r. r. r. 1,r. r. r. 1,r. r. 1,r. r. 1,r.

(24) Capítulo 2. Boa Colocação Local. 24. Fazendo um processo análogo à (2.6) e, pelo fato de que H 1 pRn q ãÑ Lr pRn q, pois r n ¤ 3, segue que. 4e. }gj pu1, w1q gj pu2, w2q}L pI,W 1 q ¤ C p}u1}2L8pI,H q }w1}2L8pI,H q }u2}2L8pI,H q }w2}2L8pI,H qq p}u1}L pI,W q }w1}L pI,W q }u2}L pI,W q }w2}L pI,W qq. q 1 pq q 1 q 1, usando a desigualdade de Hölder, obtemos Como q. 1,r. 1. q. q. 1. q. 1,r. 1. q. 1,r. 1. q. 1,r. 1,r. q. }gj pu1, w1q gj pu2, w2q}L 1 pI,W q. ¤. ». δq1 ». dt I. I. 1,r. 1q. . » I. 1{q1. q1 dt W 1,r1. }gj pu1, w1q gj pu2, w2q}. }gj pu1, w1q gj pu2, w2q}qW. T δ }gj pu1, w1q gj pu2, w2q}L pI,W q. 1,r. q1 {q 1{q1. 1,r. (2.7). 1 dt. 1q. e, analogamente,. }gj pu1, w1q gj pu2, w2q}L 1 pI,L 1 q ¤ T δ }gj pu1, w1q gj pu2, w2q}L pI,L 1 q, pq q1q . Usando (2.4), (2.6), (2.7) e (2.8) chegamos em onde δ q. r. q. (2.8). r. qq 1. }gj pu1, w1q gj pu2, w2q}L 1 pI,W 1 q ¤ CT δ p}u1}2L8pI,H q }w1}2L8pI,H q }u2}2L8pI,H q }w2}2L8pI,H qq p}u1}L pI,W q }w1}L pI,W q }u2}L pI,W q }w2}L pI,W qq ¤ CT δ M 3. (2.9). }gj pu1, w1q gj pu2, w2q}L 1 pI,L 1 q ¤ C p}u1}2L8pI,L q }w1}2L8pI,L q }u2}2L8pI,L q }w2}2L8pI,L qq p}u1 u2}L pI,L q }w1 w2}L pI,L qq ¤ CT δ M 2p}u1 u2}L pI,L q }w1 w2}L pI,L qq.. (2.10). q. 1,r. 1. q. 1. q. 1,r. 1. q. 1,r. 1. q. 1,r. 1,r. e q. r. r. q. r. r. r. q. q. r. r. r. q. r. Usando as estimativas de Strichartz (Teorema 1.3), para todo par admissível, temos:. }U ptq}L pI,L q ¤ C }u0}L ; }W ptq}L pI,L q ¤ C }w0}L ; }U ptq}L pI,W q ¤ C }u0}H ; }W ptq}L pI,W q ¤ C }w0}H ; }φg pu, wq}L pI,L q ¤ C }g1pu, wq}L 1 pI,L 1 q; }φg pu, wq}L pI,L q ¤ C }g2pu, wq}L 1 pI,L 1 q; }φg pu, wq}L pI,W q ¤ C }g1pu, wq}L 1 pI,W 1 q; }φg pu, wq}L pI,W q ¤ C }g2pu, wq}L 1 pI,W 1 q, q. q. 2. 1,r. q. q. 2. q. 1. r. q. q. 1,r. q. 1,r. q. 1,r. q. 1,r. 1. 1. r. r. r. 2. 1,r. 2. 1. q. r. q. r.

(25) Capítulo 2. Boa Colocação Local. onde φg1 pu, wq i. »t. 25. U pt sqg1 pupsq, wpsqqds e φg2 pu, wq i. »t. Portanto, para todo par admissível pq, rq segue por (2.9) t0. }H1pu, wq}L pI,W q. 1,r. q ¤ C p}u0 }H 1. ¤ C }u0}H. t0. W pt sqg2 pupsq, wpsqqds.. }g1pu, wq}L 1 pI,W 1 qq q. 1,r. CT δ M 3 ,. 1. e. }H2pu, wq}L pI,W q. 1,r. q ¤ C p}w0 }H 1. ¤ C }w0}H. }g2pu, wq}L 1 pI,W 1 qq q. δ. 1,r. 3. CT M .. 1. Consequentemente,. }H}L pI,W q. 1,r. qLq pI,W 1,r q }H1 pu, wq}Lq pI,W 1,r q. 2C p}u0}H. 1. q. ¤ C p}u0}H }w0}H q CT M . }w0}H q e T suficientemente pequeno tal que 1. Tomando M. }H2pu, wq}L pI,W δ. 1. 1,r. q. 3. 1. CT δ M 2. ¤ 21. (2.11). temos. }H}L pI,W qL pI,W q ¤ M2 M2 M. Além disso, como o par p8, 2q é admissível, pelo Teorema 1.3 obtemos q. q. 1,r. 1,r. }H}L8pI,H qL8pI,H q }H1pu, wq}L8pI,H q }H2pu, wq}L8pI,H q ¤ C p}u0}H }w0}H q C p}g1pu, wq}L 1 pI,W 1 q }g2pu, wq}L 1 pI,W 1 qq ¤ C p}u0}H }w0}H q CT δ M 3. Pelas nossas escolhas acima obtemos então que }H}L8 pI,H qL8 pI,H q ¤ M , mostrando assim que H está bem definida de E E para E E. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. q. q. 1,r. 1. 1,r. 1. Para ver que H é uma contração, note que das estimativas de Strichartz e (2.10), dpHpu1 , w1 q, Hpu2 , w2 qq. }H1pu1, w1q H1pu2, w2q}L pI,L q }H2pu1, w1q H2pu2, w2q}L pI,L q ¤ C p}g1pu1, w1q g1pu2, w2q}L 1 pI,L 1 q }g2pu1, w1q g2pu2, w2q}L 1 pI,L 1 qq ¤ CT δ M 2p}u1 u2}L pI,L q }w1 w2}L pI,L qq CT δ M 2dppu1, u2q, pw1, w2qq. q. r. q. q. r. q. r. q. q. r. r. r. Pela nossa escolha acima obtemos dpHpu1 , w1 q, Hpu2 , w2 q ¤ C0 dppu1 , w1 q, pu2 , w2 qq,. (2.12).

(26) Capítulo 2. Boa Colocação Local. 26. onde C0 1, ou seja, H é uma contração. Pelo teorema do ponto fixo de Banach, existe único pu, wq P E E tal que pu, wq Hpu, wq P Lq pI, W 1,r q Lq pI, W 1,r q, o que implica que pu, wq é única solução do sistema (2.1). Além disso, do Teorema 1.3 segue que pu, wq P C pI, H 1q C pI, H 1q. A unicidade de solução então nos permite estender a solução obtida acima a um intervalo maximal pT , T ) onde T. suptT ¡ 0; existe solução de (2.1) em r0, T su T suptT ¡ 0; existe solução de (2.1) em rT, 0su.. Passo 2 (Alternativa de blow-up: Seja pu, wq solução de (2.1) definida no intervalo máximo pT , T q. Suponhamos que T 8 e assumiremos que existe M 8 tal que }u}H 1 }w}H 1 M . Como vimos em (2.11), o tempo T de existência da δ solução depende unicamente de M . Assim, seja TM tal que TM p2CM q1. Dada uma sequência tn Ò T , tomando k suficientemente grande tal que tk TM ¡ T e começando de puptk q, wptk qq, podemos estender a solução pu, wq até tk TM , o que contradiz a maximalidade de T . Logo lim p}u}H 1. ÑT . t. Mas, note que. }∇u}2L }u0}2L. }w}2H }w}2L. }∇w}2L }w0}2L. 2. 2. 1. (2.13). 1. }u}2H }u}2L 1. e. }w}H q 8. }∇u}2L. 2. 2. 2. 2. }∇w}2L .. 2. 2. Consequentemente, por (2.13), lim p}∇u}2L2. ÑT . t. }∇w}2L q 8. 2. Analogamente, obtemos o resultado quando t Ñ T .. Passo 3 (Dependência Contínua): Dado pϕ, ψ q P H 1 pRn q H 1 pRn q seja pϕm, ψmq P H 1pRnq H 1pRnq convergindo para pϕ, ψq. Sejam pu, wq e pum, wmq as soluções locais de (2.1) conforme obtidas acima com dados iniciais pϕ, ψ q e pϕm , ψm q, respectivamente. Nosso objetivo é mostrar que na métrica d, pum , wm q converge para pu, wq, em algum intervalo I, ou equivalentemente,. }um u}L pI,L q }wm w}L pI,L q Ñ 0. q. r. q. r. (2.14). Pelo Passo 1, as soluções pu, wq e pum , wm q existem, respectivamente, em algum intervalo pT, T q e pTm, Tmq, onde podemos tomar T e Tm tais que CT δ M 2. 161. and. 2 CTmδ Mm. 14 ,. (2.15).

(27) Capítulo 2. Boa Colocação Local. 27. com M 2C1 p}ϕ}H 1 }ψ }H 1 q e Mm 2C1 p}ϕm }H 1 temos para m suficientemente grande que. }ϕm}H de modo que Mm. }ψm}H q. Agora, pela convergência, 1. }ψm}H 2p}ϕ}H. 1. 1. } ψ }H q ,. 1. (2.16). 1. 2M , ou seja, Mm2 4M 2.. Tm. De fato, de. Afirmamos que para m suficientemente grande temos T (2.15),. 16CM 2 ¡ 4CMm2 T1δ ,. 1 Tδ. m. o que mostra o afirmado. Portanto as soluções pu, wq e pun , wn q estão todas definidas no intervalo comum I pT, T q. Vamos então mostrar (2.14) com I dado acima. De fato, utilizando a equação integral, as estimativas de Strichartz e (2.10), temos. }pum, wmq pu, wq}L pI,L qL pI,L q }Hpum, wmq Hpu, wq}L pI,L qL pI,L q }H1pum, wmq H1pu, wq}L pI,L q }H2pum, wmq H2pu, wq}L pI,L q }pU ptqϕm φg pum, wmqq pU ptqϕ φg pu, wqq}L pI,L q }pW ptqψm φg pum, wmqq pW ptqψ φg pu, wqq}L pI,L q ¤ }U ptqpϕm ϕq}L pI,L q }φg pum, wmq φg pu, wq}L pI,L q }W ptqpψm ψq}L pI,L q }φg pum, wmq φg pu, wq}L pI,L q ¤ C p}ϕm ϕ}H }ψm ψ}H q C p}g1pum, wmq g1pu, wq}L 1 pI,L 1 q C }g2 pum , wm q g2 pu, wq}L 1 pI,L 1 q ¤ C p}ϕm ϕ}H }ψm ψ}H q CT δ M 2 }um u}L pI,L q T δ M 2 }wm w}L pI,L q C p}ϕm ϕ}H }ψm ψ}H q CT δ M 2 }pum , wm q pu, wq}L pI,L qL pI,L q q. r. q. r. q. r. q. q. r. r. q. 1. q. 1. 2. r. q. 2. q. r. 1. q. r. 2. 1. r. q. 1. r. q. 2. r. 1. q. q. 1. r. r. r. 1. q. r. q. 1. r. 1. q. r. q. r. De (2.15) concluímos que. }pum, wmq pu, wq}L pI,L qL pI,L q ¤ C p}ϕm ϕ}H }ψm ψ}H q 1 }pum, wmq pu, wq}L pI,L qL pI,L q 16 q. r. q. r. 1. 1. q. r. q. o que implica. }pum, wmq pu, wq}L pI,L qL pI,L q ¤ C p}ϕm ϕ}H q. r. q. r. 1. Como pϕm , ψm q Ñ pϕ, ψ q em H 1 H 1 , concluímos o desejado.. } ψ m ψ }H q 1. r.

(28) 28. CAPÍTULO. 3. SOLUÇÕES GROUND STATES. O principal objetivo deste capítulo é provar a existência de ground states. Como trabalharemos com funções reais neste capítulo, entenderemos o espaço H 1 como um espaço real e, portanto, o produto escalar fica definido como ». ¸. xu, vyH . Dα uDα v.. 1. ¤|α|¤1. U. 0. Inicialmente, vamos estabelecer dois lemas que nos ajudarão na prova do teorema principal. Lema 3.1. Assuma que (8) tem solução pP, Qq P H 1 pRn q H 1 pRn q. Então as seguintes igualdades são válidas: » . |∇P | pω. 1qP. 2. » . |∇Q| pµ. ». pn 4q p|∇P |. 2. |∇Q| q. 2. 4. 1q. 2. P ∆P. . ». ». P. ∇P ∇P. 2. 2P Q. Demonstração. Usando integração por partes temos ». 1 3 P Q 3. 2. 2P Q. 9Q. npω. 2. 2. 0,. 3σω qQ. 2. e. 1 4 P 9. 2. npµ. 2. 1 3 P Q 9. 3σω q. (3.1). 0,. ». Q2. 0.. (3.2) (3.3). ». |∇P |2,. portanto, multiplicando a primeira equação de (8) por P , a segunda equação por Q e integrando por partes, obtemos (3.1) e (3.2). Note que, ∆P x ∇P. . . n ¸. . i 1. . P xi xi. n ¸. . j 1. x j Pxj. . ¸. . i j. Pxi xi xj Pxi. ¸. . i j. Pxi xi x j Pxi .. (3.4).

(29) Capítulo 3. Soluções Ground States. 29. Integrando ambos os lados da equação e usando integração por partes em relação a xi para a primeira parcela, temos » ¸. . . Pxi xi x j Pxi. i j. n » ¸ xj. . j 1. . n » ¸ BPx2 Bxj j1 j. 2. Px2j 2. » ¸ n. 21. Px2j. . j 1. 12. ». |∇P |2.. (3.5). Para a segunda parcela, incialmente integramos por partes com relação a xi obtendo » ¸. . Pxi xi xj Pxj. ¸». . . i j. Pxi xi x j Pxj. . i j. ¸». . Pxi x j P xi xj ,. (3.6). i j. aplicando integração por partes com respeito a xj no lado direito nos resulta. . ¸». . Pxi x j P xi xj. . i j. ¸». ¸». pPx xj qx Px i. j. i. i j. . ¸». pPx x xj. Pxi qPxi. i j. i j. . ¸». P xi xj x j P xi. . . i j. . Px2i. i j. ¸». pn 1q |∇P |2,. P xi xj x j P xi. . ». i j. o que implica em. ¸». . Pxi xj xj Pxi. » p n 1q |∇P |2. . (3.7). 2. i j. Por (3.4), (3.5), (3.6) e (3.7) temos ». ∆P x ∇P. . n2 2. ». |∇P |2.. (3.8). Mais ainda, ». pω. 1qP x ∇P. pω pω pω. 1q. n » ¸. . P x i P xi. i 1 n » ¸. 1q 1q. . ». pP xiqx P i. i 1 n » ¸. pP. Pxi xi qP. i 1. pω donde. pω. 1q. ». P x ∇P. 1q. . ». nP ». 2. npω. 1q 2. . P x ∇P ,. P 2.. (3.9).

(30) Capítulo 3. Soluções Ground States. Novamente, 1 9. ». 30. P x ∇P. ». . 3. n 1¸ P 3 xi Pxi 9 i1. ». n 1¸ 9 pP 3 3P 2xiPxi qP i1 » » 3 n 4 9 P 9 P 3x ∇P.. Logo,. ». ». 1 n 4 P . (3.10) P 3 x ∇P 9 36 Portanto, multiplicando a primeira equação de (8) por x ∇P e integrando por partes, obtemos. » npω 1q 2 n 4 1 2 n2 2 2 |∇P | P P 2Q P x ∇P P Qx ∇P 0. (3.11) 2 2 36 3. Analogamente, multiplicando a segunda equação de (8) por x ∇Q e integrando por partes, nos resulta. » npµ 3σω q 2 9n 4 1 3 n2 2 2 |∇Q| Q Q 2P Qx ∇Q P x ∇Q 0. (3.12) 2 2 4 9 Temos ainda que, ». p2P. 2. Qx ∇Qq 2. n » ¸. . P 2 Qxi Qxi. i 1 n » ¸. 2. 2. i. . i 1 n » ¸. ». pP 2Qxiqx Q rP 2Q p2P Px Q. P 2 Qxi qxi sQ. ». ». i. i 1. 2 donde,. ». nP Q 4 2. P Qx ∇Q 2. Do mesmo modo,. ». » n. 1 3 P x ∇Q 9 Somando (3.13) e (3.14), obtemos ». 2P Qx ∇Q 2. 1 3 P x ∇Q 9. . 2 » . ». P Q x ∇P 2. P 2Q. n 9. P 2 Qx ∇Q. P Q2 x ∇P .. 1 2 P Qx ∇P 3. 2Q P x ∇P 2. 2. (3.13). (3.14). .. 1 2 P Qx ∇P 3. 2. 2. nP Q. n 3 P Q . 9. Substituindo essa ultima igualdade em (3.12) e somando o resultado com (3.11), chegamos em » » » n2 npω 1q npµ 3σω q 2 2 2 p|∇P | |∇Q| q P Q2 2 2 2. » (3.15) n 1 4 4 3 4 2 2 4 9 P 9Q 4P Q 9 P Q 0..

(31) Capítulo 3. Soluções Ground States. 31. Mais ainda, somando as equações (3.1) e (3.2) » . 1 4 P 9. 4. 9Q. 2. 4P Q. ». p|∇P |. 4 3 P Q 9. 2. ». |∇Q| q. 2. 2. ppω. 1qP 2. pµ. 3σω qQ2 q. (3.16). Finalmente, somando equações (3.15) e (3.16), obtemos (3.3). Observe que como consequência imediata do Lema 3.1, se assumirmos ω ¡ µ maxt1, u então ω 1 ¡ 0 e µ 3σω ¡ 0. Assim, se n ¥ 4 e P ou Q não nulos, então 3σ ». pn 4q p|∇P |. |∇Q|. 2. npω. 2. 1q. ». P. 2. npµ. 3σω q. ». Q2. ¡ 0,. ou seja, não temos soluções ground state não triviais. Lema 3.2. Seja N : tpu, wq P H 1 pRn q H 1 pRn q; pu, wq p0, 0q e S 1 pu, wq K pu, wqu a variedade de Nehari associada a ação S. Então qualquer solução do problema de minimização inf tS pu, wq; pu, wq P N u (3.17) é um ground state. Demonstração. Note que pu, wq P N se, e somente se, pu, wq p0, 0q e τ pu, wq :. ». |∇u|2 |∇w|2 pω. 1qu2. 1 4 3σω qw2 u4 9w4 4u2 w2 u3 w 0. 9 9 (3.18) ω M pu, wq, temos que 2. De fato, como S pu, wq E pu, wq . S 1 pu, wq . pµ. . ∆u pω ∆w pµ.

(32). 1 1qu 2w u u2 w 3 . 1 3 2 2 3σω qw p9w 2u qw u 9 1 2 u 9. 2. Logo, S 1 pu, wq K pu, wq se e somente se 0. ». ∆u u pω 1qu 2. . 1 2 u 9. 2w. 2. 4 u2 u3 w ∆w w 9. pµ. 3σω qw2 p9w2 2u2 qw2. ou seja, se e somente se τ pu, wq 0. Observe que dado um bound state pP, Qq P B pω, µ, σ q, fazendo f P em (9) e g Q em (10), temos que τ pP, Qq p0, 0q e, portanto, pP, Qq P N o que implica B N . Assim, é suficiente mostrar que todos os pontos críticos de (3.17) são de fato ground states. Note que,. Bτ pu, wq 2∆u Bu e. Bτ pu, wq 2∆w Bw. 2pω 2pµ. 4 4 1qu u3 8uw2 u2 w 9 3 4 3σω qw 36w3 u3 8u2 w, 9.

(33) Capítulo 3. Soluções Ground States. 32. portanto ». xτ 1pu, wq, pu, wqy. L2. 2 ∆u u ∆w w pω. 1qu2. pµ. 3σω qw2. 92 u4 18w4 4u2w2 98 u3w 4u2w2 ». 2 |∇u|2 |∇w|2 pω. 1qu2. pµ. 2 3σω qw2 u4 18w4 9. 4u3w2 98 u3w 8u2w2. ». Se pu, wq P N , então τ pu, wq 0, isto é,. |∇u|. 2. |∇w|. pω. 2. 1qu. 2. pµ. 3σω qw. 2. . ». 1 4 u 9. 9w4. 4 3 uw 9. 4u3 w2. 4u2 w2. e consequentemente,. xτ 1pu, wq, pu, wqy. L2. o que mostra que N. 2. ». |∇u|. 2. |∇w|. pω. 2. 1qu. 2. pµ. 3σω qw. 2. 0. (3.19). τ 1p0q é localmente suave. Mais ainda, temos que . 2∆ Hessτ p0,0q . 2pω 0. 1q. . 2∆. 0 2pµ. 3σω q. portanto, dado ph1 , h2 q p0, 0q, temos ph1 , h2 qHesstτ p0,0q ph1 , h2 q ¡ 0, ou seja, p0, 0q é um mínimo estrito de τ e, consequentemente, ponto isolado do conjunto tτ pu, wq 0u implicando que N é uma variedade completa. Finalmente, vamos mostrar que qualquer ponto crítico de S restrito a N é um ponto crítico de S. De fato, consideremos pu0 , w0 q P N um ponto crítico de S restrito a N . Então, existe um multiplicador de Lagrange λ tal que S 1 pu0 , w0 q λτ 1 pu0 , w0 q. Para mais detalhes da aplicação do Multiplicador de Lagrange para funcionais, veja (AMBROSETTI; MALCHIODI, 2007), pág. 95. Tomando o produto escalar em L2 com pu0 , w0 q. xS 1pu0, w0q, pu0, w0qyL λxτ 1pu0, w0q, pu0w0qyL , 2. 2. isto é, por (3.19), 0 2λ. ». |∇u|. 2. |∇w|. 2. pω. 1qu. 2. pµ. 3σω qw. 2. .. Logo, λ 0 e S 1 pu0 , w0 q 0, como queríamos mostrar. Com auxílio destes dois lemas, mostraremos a existência de ground state para o sistema (8)..

(34) Capítulo 3. Soluções Ground States. Teorema 3.3. Seja 1 ground states dado por. 33. µ ¤ n ¤ 3, σ, µ ¡ 0 e ω ¡ maxt1, 3σ u. Então o conjunto de. G pω, µ, σ q : tpP0 , Q0 q P B ztp0, 0qu; S pP0 , Q0 q ¤ S pP, Qq, @pP, Qq P B u é não vazio. Mais ainda, existe pelo menos um ground state, digamos pP0 , Q0 q que é radialmente simétrico, Q0 é positivo e P0 é positivo ou identicamente nulo. Demonstração. Pelo lema anterior é suficiente provar que o problema de minimização (3.17) tem pelo menos uma solução. Note que para pu, wq P H 1 H 1 , com pu, wq p0, 0q e τ pu, wq ¥ 0, existe t P p0, 1s tal que ptu, twq P N . De fato, se τ pu, wq 0, basta escolher t 1. Caso contrário, note que "». τ ptu, twq t. 2. t. . 2. 1 4 u 9. . |∇u|2 |∇w|2 pω. 9w. 4. 2. 4u w. 4 3 uw 9. 2. 1qu2. *. pµ. 3σω qw2. : t2τu,w ptq. com τu,w p0q ¡ 0 e τu,w p1q 0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe t0 que 0 τu,w pt0 q t20 τu,w pt0 q τ pt0 u, t0 wq. Agora, tomemos uma sequência minimizante puj , wj q m inf tS pu, wq; pu, wq P N u. Como puj , wj q P N , então S puj , wj q . 1 4. ». |∇uj |. 2. |∇wj |. pω. 2. 1q. u2j. pµ. PN. P p0, 1q tal. para o problema. 3σω q. wj2. ,. consequentemente m ¥ 0 e puj , wj q é limitado em H 1 H 1 . Definimos uj e wj como o rearranjo radialmente decrescente de |uj | e |wj |. Sabemos que tal rearranjo preserva a norma em L2 (veja (1.4)). Assim, pela desigualdade de Pölya-Szegö (veja (LEONI, 2009) pág. 487), }∇f }L2 ¤ }∇|f |}L2 , junto com a desigualdade }∇|f |}L2. ¤ }∇f }L , obtemos 2. S puj , wj q ¤ S puj , wj q. Por outro lado, a desigualdade de Hardy-Littlewood (veja (LEONI, 2009) pág. 482) ». |uw| ¤. ». u w ,. combinada com a monotonicidade da aplicação λ ÝÑ λ4 nos dá ». 2. uw. 2. ¤. ». puq2pwq2 e. ». ». |u w| ¤ puq3w. 3. Combinando essas desigualdades, temos τ puj , wj q ¤ τ p|u|, |w|q ¤ τ puj , wj q 0..

(35) Capítulo 3. Soluções Ground States. A seguir, considere tj. 34. P p0, 1s tal que ptj uj , tj wjq P N . Assim, S ptj uj , tj wj q t2j S puj , wj q ¤ S puj , wj q,. e consequentemente, obtemos uma sequência minimizante ptj uj , tj wj q de funções radialmente decrescentes, a qual denotaremos apenas por puj , wj q no que segue. Como essa sequência é limitada em H 1 H 1 , a menos de subsequência, puj , wj q á pu , w q fraco em H 1 H 1. Para obter a convergência em uma topologia forte usaremos o Lema 1.9. De fato, colocando 1 Hrd pRnq tu P Hd1pRnq; u é radialmente decrescenteu, 1 conseguimos a compacidade da injeção Hrd pRnq ãÑ L4pRnq, com 1 ¤ n ¤ 3. Consequentemente, a menos de subsequência, puj , wj q Ñ pu , w q fortemente em L4 e em quase todo ponto. Em particular, isto mostra que pu , w q é radialmente simétrica e não negativa.. Como. ». 1 4 u 36 j. 9 4 w 4 j. deduzimos que. u2j wj2. 1 3 u wj 9 j. Ñ. ». 1 4 u 36 . 9 4 w 4 . u2 w2. 1 3 u w , 9 . τ pu , w q ¤ lim inf τ puj , wj q 0.. Mais uma vez, tomando t P p0, 1s tal que ptu , tw q P N , então m ¤ S ptu , tw q t2 S pu , w q ¤ lim inf S puj , wj q m o que implica que ptu , tw q é um minimizante. Em particular, todas as desigualdades acima são de fato igualdades, o que implica que t 1 e, portanto, pu , w q P N e puj , wj q Ñ pu, wq fortemente em H 1.. Finalmente, é fácil ver que pP0 , Q0 q pu , w q é um ground state que satisfaz as conclusões do teorema. De fato, pela regulariade elíptica, pP0 , Q0 q é solução C 2 e satisfaz . $ ' & ∆P0 ' %. pω 1qP0 ∆Q0 pµ 3σω qQ0 p9Q20 1 2 P 9 0. 1 P0 P02 Q0 ¤ 0 3 1 2P02 qQ0 P03 ¤ 0. 9. 2Q20. Consequentemente pelo princípio do máximo, veja Teorema 3.5 em (GILBARG; TRUNDIGER, 1998.), ambos P0 e Q0 são positivas ou identicamente nulas e, como Q0 é não identicamente nula, a prova está completa. A seguir, daremos atenção para o caso em que duas componentes do ground state são não triviais. Primeiramente, notemos que um ground state da equação escalar ∆w pµ. 3σω qw. 9w3. 0. (3.20).

(36) Capítulo 3. Soluções Ground States. 35. é solução no sentido fraco que minimiza a ação S0 pwq : S p0, wq dentre todas as soluções de (3.20). Como sabemos, veja por exemplo (BERESTYCKI; LIONS, 1983) , para µ 3σω ¡ 0, (3.20) tem única solução ground state, a menos de translação, que é positiva, radialmente simétrica e decai exponencialmente no infinito. É fácil ver que se p0, Qq é solução ground state de (8), então Q é ground state de (3.20). A questão é se a recíproca é válida, ou seja, se Q é um ground state de (3.20), é verdade que p0, Qq é um ground state de (8)? Nosso primeiro resultado mostra que depende dos parâmetros µ e σ. Proposição 3.4. Suponha que as hipóteses do Teorema 3.3 são válidas e assuma µ 3σ 4 e µ ¡ 9 4n . Então existe um par pP , Q q na variedade de Nehari N tal que S pP , Q q S p0, Qq, onde Q é ground state de (3.20). Em particular, p0, Qq não é ground state de (8). Demonstração. Sejam u, w. P H 1, definimos os funcionais. N pu, wq : e. ». 1 4 u 36. 9 4 w 4. K pu, wq }∇u}2L2. 1 3 u w, 9. u2 w2. (3.21). }∇w}2L .. (3.22). 2. De acordo com o Lema 3.2 é suficiente mostrar a existência de θ, t P R e W P H 1 tais que ptθW, tQq P N e S ptθW, tQq S p0, Qq. Já vimos que ptθW, tQq P N se, e somente se, τ ptθW, tQq 0, com τ definido em (3.18). Como K ptu, twq t2 K pu, w), M ptu, twq t2 M pu, wq, N ptu, twq t4 N pu, wq e τ pu, wq K pu, wq então,. τ ptθW, tQq t2. tomando t2. p1. pK pθW, Qq p1. ω qM pu, wq 4N pu, wq . ω qM pθW, Qq t2 4N pθW, Qq. K pθW, Qq4N pp1θW,ωQqqM pθW, Qq ,. (3.23). com θ ¡ 0, W ¡ 0 obtemos τ ptθW, tQq 0. Portanto, daqui em diante tomaremos t como em (3.23). Em vista da identidade K ptθW, tQq p1 ω qM ptθW, tQq 4N ptθW, tQq e.

(37) Capítulo 3. Soluções Ground States. 36. (3.23), deduzimos ω M ptθW, tQq 2. S ptθW, tQq E ptθW, tQq. 1 pK ptθW, tQq 2. M ptθW, tQqq N ptθW, tQq. 12 pK ptθW, tQq p1. ω M ptθW, tQq 2. ω qM ptθW, tQqq N ptθW, tQq. 41 pK ptθW, tQq p1. ω qM ptθW, tQqq. 2. t4 pK pθW, Qq p1 ωqM pθW, Qqq p K pθW, Qq p1 ω qM pθW, Qqq2 . 16N pθW, Qq Assim, S ptθW, tQq S p0, Qq se, e somente se, pK pθW, Qq p1. ω qM pθW, Qqq2. 4N pθW, Qq pK p0, Qq p1. ω qM p0, Qqq ,. (3.24). pois S p0, Qq . 1 pK p0, Qq p1 ωqM p0, Qqq. Note que ambos os lados de (3.24) são po4 linômios de grau 4 em θ. O coeficiente líder no lado esquerdo é pK p0, Qq p1 ω qM p0, Qqq2 , enquanto o coeficiente líder do lado direito é 1 9. ». 4. W. pK p0, Qq p1. ω qM p0, Qqq ,. portanto, (3.24) vale, para θ suficientemente grande desde que. pK p0, Qq p1. ω qM p0, Qqq. 2. . 1 9. ». W. 4. pK p0, Qq p1. ω qM p0, Qqq .. (3.25). Assim, nos resta mostrar que (3.25) vale para algum W P H 1 . Para isso, assuma que W pxq Qpλxq, onde λ P R será determinado. Com isso, (3.25) é equivalente a » 2. λ. |∇Q|. p1. 2. ωq. ». . 2. Q. λn{2 pK p0, Qq 3. p1. ω qM p0, Qqq. {. ». 1 2. Q. 4. 1{2. .. Em vista de (3.3), temos que K p0, Qq . ». |∇Q| 2. nµp1 ω q 4n. ». Q2 ,. (3.26). usando (3.2) e (3.26), temos ». . 4. Q. 1 9. ». |∇Q|. 2. µp 1. ω qQ. 2. . µp1. ωq. ». 9. n. 4n. 2. Q. 2. Q. . 4 µp1 ω q 9 4n. ». Q2 . (3.27). Substituindo (3.26) e (3.27) em (3.25), resulta. p1 ωq » Q2 p1 ωq » Q2 4n » λn{2 nµp1 ω q Q2 µp1 3 4n. 2 nµ. λ. ωq. ». Q. 2. 1{2 . 4 µp1 ω q 9 4n. ». Q. 2. 1{2. ,.

(38) Capítulo 3. Soluções Ground States. 37. o que é equivalente a. . ou seja,. Defina f pλq :. 1. nµ 2 λ 4n. nµ 2 λ 4n. 4µ λn{2 9p4 nq. p1. 4µ nµ 2 λ 1 λn{2 4n 9p4 nq 4µ 1 λn{2 . Então 9p4 nq. f 1 pλ0 q 0 ô. 2nµ λ0 9p4 nq. ωq. ». Q2. 0,. 0.. (3.28). n{21 9p42nµ λ0 nq. ô 9 λ0n{22 λ0pn4q{2 ô 92{p4nq λ0. Portanto, f tem mínimo global em λ0 92{p4nq . Mais ainda, f pλ0 q 1 µλ20 . Finalmente, como f pλ0 q 0 então µ ¡ 94{p4nq e, consequentemente, (3.28) vale para λ λ0 e a prova da proposição está completa. A seguir, estudaremos o caso em que 1 ω µ 3σω, e mostraremos que as soluções ground state de (8) são precisamente da forma p0, Qq, onde Q é ground state de (3.20). Para tal, definimos os funcionais I pu, wq . ». p|∇u|. 2. |∇w| q. ». 2. p1. ω qu2. pµ. 3σω qw2 q. 2. 4 3 uw , 9. » . e. 1 4 ˜ pu, wq 1 N pu, wq N u 9w4 4 9 e, para λ ¡ 0, considere o problema de minimização Iλ. inf tI pf, gq; pf, gq P H 1 H 1. 2. 4u w. ˜ pf, g q λu. com N. (3.29). Nosso objetivo é mostrar que para um λ específico tal ínfimo é atingido por um ground ˜ pλu, λwq λ4 N ˜ pu, wq. state de (8). Inicialmente, notemos que I pλu, λwq λ2 I pu, wq e N ˜ pf, g q 1, definindo f1 λ1{4 f e g1 λ1{4 g Portanto, dado pf, g q P H 1 H 1 tal que N ˜ pf1 , g1 q λ e I pf1 , g1 q λ1{2 I pf, g q. Logo Iλ ¤ I pf1 , g1 q λ1{2 I pf, g q e isto temos que N ˜ pf, g q λ, então, implica que Iλ ¤ λ1{2 I1 . Por outro lado, se pf, g q P H 1 H 1 é tal que N ˜ pf2 , g2 q 1 e I pf2 , g2 q λ1{2 I pf, g q. Logo, pondo f2 λ1{4 f e g2 λ1{4 g, temos que N ˜ pf, g q λ. Isto implica que λ1{2 I1 ¤ Iλ . Logo, λ1{2 I1 ¤ I pf, g q, com N Iλ. λ1{2I1.. (3.30). Mais ainda, aplicando a desigualdade de Hölder (Teorema 1.5) com p 1 1 tendo em vista que ab ¤ C pap bq q, se 1, então p q. ». 4 e q 43. ,e. ». 3. uw. ¤ |u|3|w| ¤ }u3}L }w}L }u}3L }w}L ¤ C pp}u}3L q }w}4L q C p}u}4L }w}4L q 4 3. 4. 4. 4. 4. 4 3. 4. 4. 4.

(39) Capítulo 3. Soluções Ground States. e u2 w2. 38. ¤ |u|2|w|2 ¤ C pp|u|2q2 p|w|2q2q C p|u|4 |w|4q, portanto ». ». 2. uw. 2. ¤ C |u|4 |w|4 C p}u}4L. 4. }w}4L q. 4. ˜ pu, wq ¤ C p}u}4 4 }w}4 4 q, onde C é uma constante universal. Usando a desigualLogo, N L L dade de Gagliardo-Nirenberg. }f }4L ¤ C }∇f }nL }f }L4n 4. 2. 2. temos. }u}4L. 4. . }w}4L ¤ C }∇u}nL }u}4Ln }∇w}nL }w}L4n ¤ C }∇u}2L }∇w}2L n{2 pω 1q}u}2L ¤ CI pu, wq2. 4. 2. 2. 2. 2. Logo,. e Iλ. 2. 2. 2. pµ. 3σω q}w}2L2. 2n{2. (3.31). ˜ pu, wq ¤ CI pu, wq2 N. ¡ 0, para todo λ ¡ 0.. ˜ pu, wq Lembremos ainda, que se pu, wq P G pω, µ, σ q então, por (3.16), N I pu, wq. Consequentemente, devemos escolher λ tal que Iλ λ. Em vista de (3.30), devemos escolher λ λ1 onde λ1 : pI1 q2 . (3.32) Antes de prosseguirmos para nosso resultado, precisaremos de um Lema que nos ajudará na demonstração. Lema 3.5. Suponha que as hipóteses do Teorema 3.3 sejam válidas e considere m inf tS pu, wq; pu, wq P N u. Então λ1 4m.. . Demonstração. Do Teorema 3.3 sabemos que o problema de minimização inf tS pu, wq; pu, wq P N u tem uma solução ground state. Assim, fixemos pu, wq P H 1 H 1 satisfazendo m S pu, wq. ˜ pu, wq I pu, wq e Como pu, wq P G pω, µ, σ q, então N m S pu, wq E pu, wq. ω 1 1 1˜ M pu, wq I pu, wq N p u, wq I pu, wq, 2 2 4 4. ou seja, I pu, wq 4m. Agora definindo pU, W q p1{p4mqq1{4 pu, wq, então 1 ˜ pU, W q N ˜ p1{p4mqq1{4 pu, wqq 1 N ˜ pu, wq N I pu, wq 1 4m I pu, wq e I pU, W q I p1{p4mqq. { pu, wqq . 1 4. . 1 4m. 1{2. I pu, wq p4mq1{2 .. (3.33).

(40) Capítulo 3. Soluções Ground States. 39. ¤ p4mq1{2, isto é, λ1 ¤ 4m. ˜ pz, v q 1. Tomando pZ, V q Por outro lado, seja pz, v q P H 1 H 1 tal que N p4mq1{4pz, vq, temos N˜ pZ, V q 4m e I pZ, V q p4mq1{2I pz, vq. Portanto. Isto implica que I1. 1 1˜ S pu, wq ¤ S pZ, V q I pZ, V q N pZ, V q 2 4 12 p4mq1{2I pz, vq m S pu, wq1{2I pz, vq S pu, wq, donde 2S pu, wq1{2 Logo, λ1. ¤ I pz, vq ô p4mq1{2 ¤ I pz, vq ñ p4mq1{2 ¤ I1 ñ 4m ¤ λ1.. 4m como queríamos demosntrar.. Proposição 3.6. Suponha que as hipóteses do Teorema 3.3 são válidas. Então pu, wq P ˜ pu, wq λ1 . Em particular, o conjunto de G pω, µ, σ q se, e somente se, I pu, wq Iλ1 e N soluções do problema de minimização (3.29) com λ λ1 é não vazio. Demonstração. Inicialmente, se pu, wq P G pω, µ, σ q, por (3.33) e o Lema 3.5 temos que ˜ pu, wq I pu, wq λ1 . I pu, wq 4m λ1 Iλ1 e N. ˜ pu, wq λ1 . Reciprocamente, assumimos que pu, wq é tal que I pu, wq Iλ1 e N Pelo Teorema do Multiplicador de Lagrange, existe η P R tal que para qualquer pf, g q P H1 H1 ». ». p∇u∇f p1. p∇w∇g pµ. ω quf q 2η 3σω qwg q 2η. » . 1 3 u 9. 2w u. 9w3. 2u2 w. » . 2. 1 2 uw f 3. 1 3 u g. 9. Tomando pf, g q pu, wq e somando as duas identidades anteriores temos ˜ pu, wq. Entretanto, como I pu, wq 2η N. {. 1 2. λ1 I1. Iλ I pu, wq 2ηN˜ pu, wq 2ηλ1, 1. {. segue que I1 2ηλ1 2η pI12 q1{2 isto é, 2η 1. Consequentemente, pu, wq P B pω, µ, σ q e ˜ pu, wq. Resta mostrar que pu, wq é de fato um ground state. Com efeito, tome I pu, wq N ˜ pz, v q ¡ 0. De (3.16), temos I pz, v q N ˜ pz, v q K qualquer pz, v q P B pω, µ, σ q e seja K : N e 1 1˜ K S pz, v q I pz, v q N p z, v q . 2 4 4 ˜ pZ, V q λ1 N ˜ pz, v q λ1 e Definindo pZ, V q pλ1 {Kq1{4 pz, v q, temos N K 1 2. {. 1 2 λ1 I1. I pu, wq ¤ I pZ, V q . . λ1 K. 1{2. I pz, v q . . λ1 K. 1{2. {. K λ1 K1{2 . 1 2.

(41) Capítulo 3. Soluções Ground States. Isto implica K ¥ pI1 q2 pu, wq P G pω, µ, σq.. 40. λ1. Logo S pz, vq K{4 ¥ λ1{4 S pu, wq e consequentemente,. Proposição 3.7. Em adição as hipóteses do Teorema 3.3, suponha que ω 1 µ 3σω. Se pu, wq P G pω, µ, σ q então u 0 e w é ground state de (3.20). Em particular, a menos de translações, os ground states são únicos. Demonstração. Seja pu, wq P G pω, µ, σ q. Da proposição anterior, temos que I pu, wq Iλ1 ˜ pu, wq λ1 . Defina F : R2 ÝÑ R por F px, y q 1 x4 9y 4 4x2 y 2 4 x3 y. É fácil eN 9 9 ver que F restrita ao círculo unitário possui dois máximos, à saber p0, 1q e p0, 1q e que a F p0, 1q 9. Assim, definindo U pxq upxq2 wpxq2 ¡ 0, então ˜ pu, wq N. ». F pupxq, wpxqq . ¤ Além disso, notemos que Uxi que 2ab ¤ a2. . ». F ». F p0, 1qU pxq. uux. 4. wwxi. i. U. b2 , temos. |∇U |2 ∇U ∇U 2 Uu 2 |∇u|2. 1 pupxq, wpxq U pxq4 U pxq. . ». ˜ p0, U pxqq F p0, U pxqq N. e, portanto, ∇U. u∇u U. (3.34). w∇w . Usando U. uw w2 ∇u ∇w |∇w|2 U U2 2 2 ¤ Uu 2 |∇u|2 U22 p|u||∇w|qp|w||∇u|q Uw 2 |∇w|2 2 2 ¤ Uu 2 |∇u|2 U12 pu2|∇w|2 w2|∇u|2q Uw 2 |∇w|2 u2 w 2 u2 w2 2 | ∇w|2 U 2 |∇u| 2 U 2 2 |∇u| |∇w| . 2. Logo, I p0, U q . » ». |∇U pxq|2 pµ. 3σω q|U pxq|2. ¤ |∇u|2 |∇w|2 p1 I pu, wq.. ω qu2. pµ. 3σω qw2. ˜ , existe t P p0, 1s tal que N ˜ p0, tU q Em vista de (3.34) e a homogeneidade de N ˜ pu, wq λ1 . Consequentemente, N I p0, tU q t2 I p0, U q ¤ I p0, U q ¤ I pu, wq. ˜ λ1 , então devemos ter t 1. Portanto, Lembrando que pu, wq é mínimo de I restrito a N ˜ p0, U q λ1 e I p0, U q I pu, wq Iλ1 . A proposição anterior garante que p0, U q P N.

(42) Capítulo 3. Soluções Ground States. 41. G pω, µ, σ q e, consequentemente, U é ground state de (3.20). Definindo pz, v q U 1 pu, wq, podemos escrever pupxqwpxqq U pxqpz pxq, v pxqq com pz pxq, v pxq P S1 , @x P Rn . Como ». 9U pxq. 4. . ». ˜ p0, U q N ˜ pu, wq F p0, U pxqq N. então,. ». ». F pU pxqpz pxq, v pxqqq . ». F pz pxq, v pxqqU pxq4. U pxq4 p9 F pz pxqv pxqqq 0.. Assim, F pz pxq, v pxqq 9 para quase todo ponto x P Rn , o que implica que pz pxq, v pxqq p0, 1q ou pzpxq, vpxqq p0, 1q para quase todo ponto x P Rn. Consequentemente, pupxq, wpxqq p0, U pxqq ou pupxq, wpxqq p0, U pxqq para quase todo ponto x P Rn, como queríamos demonstrar..

(43) 42. CAPÍTULO. 4. BOA COLOCAÇÃO GLOBAL. Neste capítulo, estaremos interessados em mostrar a boa colocação global do problema de Cauchy (2.1). Para tal, em vista do Teorema 2.1, apenas necessitamos que o funcional K puptq, wptqq }∇uptq}2L2 }∇wptq}2L2 ,. seja uniformemente limitado em relação a t no intervalo de existência da solução puptq, wptqq. Para n 1 tal limitação é simples de ser obtida, entretanto para n 2 e n 3, ficamos dependentes da massa inicial M pu0 , w0 q. Nestes casos, estudaremos o quão pequena deve ser tal massa para que obtenhamos a boa colocação global do nosso problema. Com efeito, lembremos que a energia e a massa são dados, respectivamente, por E pu, wq . 1 2. ». p|∇u| |∇w| |u| 2. 2. e. µ|w|. 2. M pu, wq . 2. q. ». » . p|u|2. 1 4 |u| 36. 9 4 |w| 4. |u| |w| 2. 2. 1 <epu¯3 wq 9. 3σ |w|2 q.. Assim, usando a conservação de energia temos K pu, wq ¤ K pu, wq. }u}2L µ}w}2L }∇u}2L }∇w}2L }u}2L µ}w}2L » » » » 2 2 2 |∇u| |∇w| |u| µ |w|2 2. 2E pu0, w0q ¤ 2E pu0, w0q. 2. 2. 2. » . 2. 1 4 2 |u| 36 » 1 4 2 |u| 36. 2. 9 4 |w | 4 9 4 |w | 4. | u| | w | 2. 2. | u| 2 | w | 2. 1 <epu¯3 wq 9. 1 3 |u| |w|q . 9.

(44) Capítulo 4. Boa Colocação Global. 43. Agora usando o mesmo argumento para obter (3.31) temos 2. » 1. |u| 36. 4. 9 4 |w | 4. 1 3 | u| |w|q ¤ C p}u}4L4 9. | u| | w | }w}4L q ¤ C }∇u}nL }u}L4n C }∇w}nL }w}L4n ¤ C p}∇u}2L }∇w}2L qn{2p}u}2L 3σ}w}2L q2n{2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 4. (4.1). 2. 2. 2. Portanto,. }∇w}2L qn{2p}u}2L 2E pu0, w0q 2CK pu, wqn{2M pu0, w0q2n{2,. K pu, wq ¤ 2E pu0 , w0 q. 2C p}∇u}2L2. 2. 2. 3σ }w}2L2 q2n{2. (4.2). onde C é uma constante positiva universal. Assuma inicialmente que n 1. Então (4.2) fica K pu, wq ¤ 2E pu0 , w0 q. 2CK pu, wq1{2 M pu0 , w0 q3{2 .. Dado ε ¡ 0 pela desigualdade de Young (Teorema 1.6), se p b M pu0 , w0 q3{2 , então 2K pu, wq1{2 M pu0 , w0 q3{2. ¤ εK pu, wq. (4.3). q 2, a K pu, wq1{2 e. 1 M pu0 , w0 q3 , ε. consequentemente, de (4.3),. p1 CεqK pu, wq ¤ 2E pu0, w0q Tomando ε . C M pu0 , w0 q3 . ε. 1 , temos 2C K pu, wq ¤ 4E pu0 , w0 q. 4C 2 M pu0 , w0 q3 .. (4.4). o que nos fornece o seguinte Corolário. Corolário 4.1. Assuma n globalmente bem posto.. 1 e u0, w0 P H 1pRq. Então o problema de Cauchy (2.1) é. Demonstração. Em vista de (4.4) e da alternativa de blow-up do Teorema 2.1 segue que a solução do problema de Cauchy é global. Para os casos n 2 e n 3, não conseguimos uma limitação imediata do funcional K pu, wq. Entretanto, se n 2, podemos reescrever (4.2) como. p1 2CM pu0, w0qqK pu, wq ¤ 2E pu0, w0q.. (4.5). e portanto, sempre que M pu0 , w0 q 1{2C, a última desigualdade nos fornece uma limitação para K pu, wq. Nosso foco agora passa a ser o quão pequeno deve ser a massa inicial para.