listasParte2

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

Lista 6

Bases Matem´

aticas

Fun¸

c˜

oes I

1 — Dados A e B conjuntos, defina rigorosamente o conceito de fun¸c˜ao de A em B.

2 — Dados os conjuntos A ={a, e, i, o, u} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, diga qual das rela¸c˜oes abaixo definem uma fun¸c˜ao f : A→ B.

a) R ={(e, 1), (o, 2)}

b) R ={(a, 1), (e, 1), (i, 1), (o, 2), (u, 2)} c) R ={(a, 1), (e, 2), (i, 3), (o, 4), (u, 5)} d) R ={(a, 1), (e, 1), (e, 2), (i, 1), (u, 2), (u, 5)}

e) R ={(a, 3), (e, 3), (i, 3), (o, 3), (u, 3)} f) R ={(a, 1), (e, 3), (i, 3), (o, 2), (u, 2)} g) R ={(a, 2), (e, 1), (i, 4), (o, 5), (u, 3)}

3 — Para cada fun¸c˜ao que aparece no exerc´ıcio acima, diga se ´e injetora, sobrejetora e/ou bijetora.

4 — Calcule o dom´ınio máximo D das seguintes fun¸cões (veja observa¸cão, ao final da lista, sobre a nota¸cão usada neste exerc´ıcio):

a) f : D ⊂ N → R, f(n) = n(n+4)(3n+1)1 b) f : D ⊂ R → R, f(x) = 1 x(x+4)(3x+1) c) f : D ⊂ R → R, f(x) = √1 x2₋₁ d) f : D ⊂ R → R, f(x) = √ 1 x(x2₋₄₎ e) f : D ⊂ R → R, f(x) =p√1 + x − x f) f : D ⊂ R → R, f(x) =p|1 + x|−|x2_| g) f : D ⊂ N → R, f(n) =p|1 + n|−|n2_| h) f : D ⊂ R → R, f(x) = q3 1 +p|x| − 3

5 — Defina fun¸cão injetora, sobrejetora e bijetora e a partir dessa defini¸cão, para cada uma das seguintes fun¸cões, prove ou dê contra-exemplos que elas são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.

&

(2)

a) Se A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e f : A → A dada por: f(x) = x, se x ´e ´ımpar x 2, se x ´e par b) Se A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e g : A → A dada por: f(x) = x + 1, se x 6= 7 f(7) = 1 se x = 7. c) f : N → N, f(n) = 3n + 1. d) f : Z → Z, f(n) = n − |n|. e) f : R → R, f(x) = ax + b com a 6= 0. f) f : R → R, f(x) = 2x2 . g) f : (0,∞) → R, f(x) = 1 x. h) f : R∗ → R, f(x) = 1 x2. i) f : [0,∞) → R, f(x) =√x. j) f : R → R × R, f(x) = (x, x). k) f : R → R × R, f(x) = (x, |x|). l) f : R × R → R, f(x, y) = x − |y|. m) f : R × R → R × R, f(x, y) = (x, y3_).

6 — Determine o conjunto imagem da fun¸c˜_{ao f : N → Z dada por} f(n) = (−1)nn.

7 — Considerando a fun¸c˜ao f do exerc´ıcio anterior, determine o conjunto imagem da fun¸c˜ao g : N → Z dada por g(n) = f(n) + f(n + 1).

8 — Para cada uma das seguintes fun¸c˜oes, calcule f−1({0}), f−1({1}), f−1({2}) a) f : N → N, f(n) = 3n + 1.

b) f : R → R, f(x) = x − |(x + 2)2− 1|. c) f : [0,∞) → R, f(x) =√x + 1 −√x. d) f : R × R → R, f(x, y) = x − |y|.

Exerc´ıcios Complementares

9 — Seja dada uma fun¸cão f : A → B. Se X e Y são subconjuntos do dom´ınio A e se V e W são subconjuntos do contradom´ınio B, mostre que:

a) f(X ∪ Y) = f(X) ∪ f(Y). b) f(X ∩ Y) ⊂ f(X) ∩ f(Y). c) f−1_(V_{∪ W) = f}−1_(V)_{∪ f}−1_(W). d) f−1_(V_{∩ W) = f}−1_(V)_{∩ f}−1_(W). e) Se X ⊂ Y ent˜ao f(X) ⊂ f(Y). 2

(3)

f) Se f é injetora então f(X ∩ Y) = f(X) ∩ f(Y). g) Se V ⊂ W então f−1(V)⊂ f−1_(W).

h) X ⊂ f−1(f(X)).

i) Se f ´e injetora ent˜ao X = f−1(f(X)).

* 10 — Seja A um conjunto (n˜ao vazio) com n elementos e seja B um conjunto qualquer. Mostre cada uma das seguintes afirma¸c˜oes:

a) Se existe uma fun¸cão injetora f : A → B, então B possui pelo menos n elementos. b) Se existe uma fun¸cão sobrejetora f : A→ B, então B possui no máximo n elementos.

Conclua, das afirma¸cões acima, a seguinte propriedade: dois conjuntos finitos possuem o mesmo número de elementos se, e somente se, existe uma fun¸cão bijetora entre tais conjuntos.

Solu¸

c˜

oes da Lista 6

1. Ver Notas de Aula

2. (a) n˜ao;(b) sim;(c) sim;(d) n˜ao;(e) sim;(f) sim;(g) sim 3. (b) nada;(c) bijetora;(e) nada;(f) nada;(g) bijetora 4. (a) D = N∗; (b) D = R\{−4, −1/3, 0}; (c) D = (−∞, −1) ∪ (1, +∞); (d) (−2, 0) ∪ (2, +∞); (e) D =h1− √ 5 2 , 1+√5 2 i ; (f) D =h1− √ 5 2 , 1+√5 2 i ; (g) D ={0, 1}; (h) D = (−∞, −3] ∪ [3, +∞)

5. (Para as defini¸c˜oes, ver Notas de Aula)

(a) nada; (b) bijetora; (c) injetora; (d) nada; (e) bijetora; (f) nada; (g) injetora; (h) nada; (i) injetora; (j) injetora; (k) injetora; (l) sobrejetora; (m) bijetora

Resolu¸

c˜

ao de alguns itens do exerc´ıcio 5:

c.) A fun¸c˜_{ao f : N → N, f(n) = 3n + 1 ´e injetora pois se}

f(n0) = f(n)⇒ 3n0 + 1 = 3n + 1⇒ n = n0

A fun¸c˜_{ao f : N → N, f(n) = 3n + 1 n˜ao ´e sobrejetora pois 5 pertence ao contradom´ınio,} mas n˜_{ao existe n ∈ N tal que}

f(n) = 5

pois isso implicaria que 3n + 1 = 5 ⇒ 3n = 4 e claramente n˜ao existe nenhum natural com essa propriedade.

(4)

f(x0) = f(x)⇒ ax + b = ax0+ b⇒ ax0 = ax e como a 6= 0 temos que x = x0 e logo a fun¸c˜ao ´e injetora.

A fun¸c˜_{ao f : R → R, f(x) = ax + b com a 6= 0 ´e sobrejetora pois dado y ∈ R ent˜ao} f(x) = y⇒ ax + b = y ⇒ x = y − b

a e f(y−b_a ) = y logo ´e sobrejetora.

j.) A fun¸c˜_{ao f : R → R × R, f(x) = (x, x) n˜ao ´e sobrejetora, pois (1,0) pertence ao} contradom´ınio mas n˜_{ao existe x ∈ R tal que:}

f(x) = (1, 0) pois se isso ocorresse ter´ıamos:

(x, x) = (1, 0) e logo x = 1 e x = 0, o que ´e um absurdo.

l.) A fun¸c˜_{ao f : R × R → R, f(x, y) = x − |y| não é injetora pois:} f((0, 1)) = 1 = f((0, −1)) 6. Im f ={2n | n ∈ N} ∪ {−(2n + 1) | n ∈ N} 7. Im f ={−1, 1} 8. (a) f−1₍{0}) = ∅; f−1₍{1}) = {0}; f−1₍{2}) = ∅; (b) f−1({0}) = ∅; f−1({1}) = ∅; f−1({2}) = ∅; (c) f−1₍_{{0}) = ∅; f}−1₍_{{1}) = {0}; f}−1₍_{{2}) = ∅;} (d) f−1₍{0}) = {(x, y) ∈ R2| x ≥ 0 e y = ±x}; f−1({1}) = {(x, y) ∈ R2| x ≥ 1 e y = ±(x − 1)}; f−1₍_{{2}) = {(x, y) ∈ R}2_{| x ≥ 2 e y = ±(x − 2)}} 9. Demonstra¸cão de alguns itens:

(a) Se X ∪ Y = ∅, a afirma¸cão é trivial. Caso contrário, seja a ∈ f(X ∪ Y). Então existe b ∈ X ∪ Y tal que f(b) = a. Como b ∈ X ou b ∈ Y, então a ∈ f(X) ou a ∈ f(Y). Assim f(X ∪ Y) ⊂ f(X) ∪ f(Y). Por outro lado, se a ∈ f(X) ∪ f(Y), então existe b ∈ X ou b ∈ Y tal que f(b) = a. Em qualquer um dos casos, existe b ∈ X ∪ Y tal que f(b) = a. Logo, f(X ∪ Y) = f(X) ∪ f(Y).

(d) Se V ∩ W = ∅, ent˜ao a inclus˜ao f−1_(V _{∩ W) ⊂ f}−1_(V)_{∩ f}−1_(W) _´_{e trivial. Sen˜}_ao, seja x ∈ f−1_(V _{∩ W). Como f(x) ∈ V ∩ W, ent˜}_{ao f(x) ∈ V e f(x) ∈ W, e assim} resulta x ∈ f−1(V)∩ f−1_{(W). Logo, vale f}−1_(V_{∩ W) ⊂ f}−1_(V)_{∩ f}−1_{(W). Vice-versa,} se f−1_(V)_{∩ f}−1

(W) = ∅, a inclus˜ao f−1(V)∩ f−1_(W)_{⊂ f}−1_(V_{∩ W) ´e trivial. Sen˜}_ao, seja x ∈ f−1_(V)_{∩ f}−1_{(W). Ent˜}_{ao f(x) ∈ V e f(x) ∈ W, ou seja, f(x) ∈ V ∩ W. Logo,} x∈ f−1_(V_{∩ W), o que prova a inclus˜}_{ao f}−1_(V)_{∩ f}−1_(W)_{⊂ f}−1_(V_{∩ W).}

(f) A inclusão f(X∩Y) ⊂ f(X)∩f(Y) é objeto do item (b). Mostremos somente a inclusão f(X)_{∩ f(Y) ⊂ f(X ∩ Y). Se f(X) ∩ f(Y) = ∅, a inclusão é trivial. Senão, seja dado} a∈ f(X) ∩ f(Y). Então existem b ∈ X e c ∈ Y tais que f(b) = a e f(c) = a. Como a fun¸cão f é injetora (hipótese do exerc´ıcio), deve resultar b = c. Assim, b ∈ X ∩ Y e portanto a ∈ f(X ∩ Y).

(5)

10. Vamos provar as afirma¸cões por indu¸cão sobre o número n de elementos do conjunto A. Denotaremos o número de elementos de um conjunto X por |X|.

(a) P(n) : se um conjunto A tem n elementos e se existe uma fun¸cão injetora f : A→ B, então o conjunto B possui ao menos n elementos. Usaremos a primeira versão do PIF.

Se n = 1, então o conjunto B deve possuir ao menos a imagem de tal elemento. Logo |B| ≥ 1 e P(1) é verdadeira. Agora, assumamos que, para um certo natural k ≥ 1, vale a propriedade P(k), isto é: se |A| = k e se existe uma fun¸cão injetora f : A → B, então |B| ≥ k. Provemos que vale P(k + 1). Para isso, seja dado um conjunto de k + 1 elementos A = {a1, a2, . . . , ak+1} e seja f : A → B uma fun¸cão injetora. Considere os conjuntos A0 = A\{ak+1} e B0 = B\{f(ak+1)} e tome a fun¸cão g : A0 → B0 dada por g(x) = f(x). Note que a fun¸cão g está bem definida e ainda é injetora, pois f é injetora, e note que o conjunto A0 tem k elementos. Pela hipótese indutiva, B0 possui ao menos k elementos. Por como foi constru´ıdo B0, conclu´ımos que B possui ao menos k + 1 elementos, provando P(k + 1). Pelo PIF, P(n) vale para todo n ≥ 1.

(b) P(n) : se um conjunto A tem n elementos e se existe uma fun¸cão sobrejetora f : A→ B, então o conjunto B possui no máximo n elementos. Usaremos a segunda versão do PIF.

Se n = 1, então Im f só pode conter um elemento. Como Im f = B, resulta|B| = 1, logo P(1) ´_{e verdadeira. Agora, assumamos que, fixado n ∈ N, vale a propriedade} P(k) para todo 1 ≤ k < n, isto é: se |A| = k < n (note que |A| ≥ 1 pois A 6= ∅) e se existe uma fun¸cão sobrejetora f : A → B, então |B| ≤ k. Provemos que vale P(n). Para isso, seja A um conjunto de n elementos e seja f : A → B uma fun¸cão sobrejetora. Escolha b ∈ Im f e considere os conjuntos A0 = A\f−1₍{b}) e B0 _{= B}_\{b}. Tome a fun¸cão g : A0 → B0 dada por g(x) = f(x). Note que a fun¸cão g está bem definida e ainda é sobrejetora. Note, por fim, que o conjunto A0 tem um número k < n de elementos. Pela hipótese indutiva, |B0| ≤ k. Como |B| = |B0| + 1 e k < n, então |B| ≤ n, o que prova P(n). Pelo PIF (segunda versão), a propriedade P(n) vale para todo n ≥ 1.

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Lista 7

Bases Matem´

aticas

Fun¸c˜oes II

1 — Dadas as fun¸c˜oes f(x) = sen x e g(x) = πJxK, determine os dom´ınios e as imagens das fun¸c˜oes compostas f ◦ g e g ◦ f.

2 — Denotando por ı a fun¸c˜ao identidade, mostre que para toda fun¸c˜ao f vale que:

a) ı ◦ f = f e f ◦ ı = f

b) Se f ´e invers´ıvel, ent˜_{ao f ◦ f}−1 _{= ı} _e

f−1_{◦ f = ı}

Em tempo, isso significa que a fun¸cão iden-tidade cumpre o papel de elemento neutro da opera¸cão de composi¸cão de fun¸cões.

3 — Para as fun¸c˜oes abaixo encontre f(x + 2), f(−x), f(x + h) e f(x+h)−f(x)_h _{, sendo h 6= 0:} a) x b) 3x + 4 c) x2 d) 5x2_{+ 1} e) x2_{− x} f) x3_{+ x}2 4 —

a) Como o gr´_{afico de f(|x|) est´a relacionado} como o gr´afico de f(x)?

b) Esboce o gr´_{afico de |x|}3_.

c) Esboce o gr´_{afico de −|x|}5. d) Esboce o gr´_{afico de sen(|x|)}

e) Esboce o gr´_{afico de cos(|x|)}

5 — Encontre uma express˜ao para a

fun¸cão cujo gráfico é a curva abaixo:

1 2 3 4 −1 1 2 3 4 5 6 7 −1 −2 −3 bB bD bE bA

6 — Para cada par de fun¸c˜_{oes f : A ⊂ R → R} e g : B ⊂ R → R abaixo, determine os dom´ınios máximo de defini¸cão de f(x), g(x),(f + g)(x), f(x)g(x), _g(x)f(x), (f◦g)(x) e (g◦f)(x) e finalmente as expressões para (f◦g)(x) e (g◦f)(x):

a)f(x) =p(x + 2) e g(x) = |x| b)f(x) =_x(x−2)1 e g(x) = x2

c)f(x) = _x(x−2)1 e g(x) =√x d)f(x) =√5x3 _{e g : 2}−x

7 — Sejam f : R → R e g : R → R duas fun¸cões cujos gráficos estão apresentados a seguir

2 4 6 −2 2 4 6 8 10 −2 Gráfico de_f(x) 2 4 6 −2 2 4 6 8 10 −2 Gráfico de_g(x) JYRª¦S GSQTSWXE I KV ¤JMGS

(7)

A partir desses gráficos, esboce o gráfico das seguintes fun¸cões:

a) 2f(x) b) 2g(x) c) −f(x) d) −g(x) e) f(−x) f) g(−x) g) f(|x|) h) g(|x| i) f(−|x|) j) 1₂g(x) + 1 k) −1₂g(x) + 1 l) −1₂_{|g(x)| + 1} m) f(1₂x) n) ||f(x)| − 1| o) (f + g)(x) p) (f − g)(x) q) (f + g)(|x|)

8 — Esboce o gráfico das seguintes fun¸cões, utilizando o gráfico de uma fun¸cão mais simples e aplicando as transforma¸cões apropriadas. Para cada uma dessas fun¸cões indique as interseçcões com os eixos x e y, as regiões nas quais as fun¸cões são positivas, negativas, crescentes, decrescentes e os pontos de máximo e m´ınimo local se exis-tirem. a) |2x| + 1 b) (x + 3)4 c) (x + 3)4_{− 1} d) |(x + 3)4_{− 1}_| e) |(x + 3)4_{− 1}_{| − 1} f) |x − 1| + 1 g) cos|x − 1| h) |2x2_{− 1}_| i) |2x2_{− 1}_{| − 1} j) ||2x2_{− 1}_{| − 1| − 2} k) |(x − 4)6_{− 2}_| l) sen(2x) + 3 m) −2|sen(2x) + 3| + 1 n) _{p|x + 2|} o) 2 cos(3x + π) p) 1 + cos(|x − 1|) q) 2(x−π) r) 2(x−π)_{− 5} s) 5|x| t) 5|x+2| u) |3x_{− 5}_| v) f(x) = x, se x < 0 x 2+ 1, se x ≥ 0 w) f(x) = cos(2x), se x < 1 2_{cos(x − 1), se x ≥ 1} x) f(x) = x2− 5x, _{se |x}2_{− 1}_{| + 1 < 0} cos(3x), se |x2_{− 1}_{| + 1 ≥ 0}

9 — Para cada par de fun¸c˜oes f, g abaixo en-contre o dom´ınio e as express˜oes de f◦g, f◦f, g◦f e g◦g. a) f : R → R, f(x) = x 3 g : [1, ∞) → R, g(x) =√x − 1 b) f : R∗ → R, f(x) = − 1 x g : (−∞, 2] → R, g(x) =√2 − x c) f : R∗ → R, f(x) = 1 x g : R\{2, 3} → R, g(x) = _{(x−2)(x−3)}1 d) f : R → R, f(x) =sen(x) g : R+_{→ R,} g(x) =√x

10 — Para as seguintes fun¸c˜oes h(x), decomponha-a como compostas de fun¸c˜oes mais simples¿ a) h(x) = sin(x2₎ b) h(x) = sin(x + x2) c) h(x) = cosec(cos(x)) d) h(x) = sin(cos(x) x ) e) h(x) = sec((x + 1)2_{(x + 2))} f) h(x) = sin((sin7_(x7_{+ 1))}7₎

g) h(x) = tan(x2₊_sin(x2_{+ (cos}2_(x))))

h) h(x) =√1 − x2 i) h(x) = sin(cos(ax+b cx+d)) j) h(x) = √ 1 1+√1+x2 k) h(x) =p1 +√1 + x2 l) h(x) = xxx m) h(x) = e2x n) h(x) = e√1+x o) h(x) = ln(2 + 1_x) p) h(x) = 2ex+1 q) h(x) = tan(√1 1+x2)

(8)

11 — Dado o seguinte gr´afico: 1 2 3 4 5 −1 1 2 3 4 5 6 7 −1

a) Se soubermos que o gráfico anterior é o gráfico de f(x + 1) + 2 como é o gráfico de f(x)?

b) Se soubermos que o gráfico anterior é o gráfico de |f(x)| + 1 como poderia ser o gráfico de f(x)? (Forne¸ca pelo menos duas respostas distintas)

c) Se soubermos que o gráfico anterior é o gráfico de |f(x) + 1| como poderia ser o gráfico de f(x)? (Forne¸ca pelo menos duas respostas distintas)

12 — Os seguintes gráficos foram obtidos a partir do grafico da fun¸cão f(x) = cos(x) através de transla¸cões, homotetias e módulos. Qual fun¸cão que representa cada um dos gráficos a seguir: a) 1 2 −1 1 2 3 −1 −2 −3 b) 1 2 1 2 3 −1 −2 −3 c) 1 2 3 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4

13 — Encontre o dom´ınio máximo de defini¸cão e esboce o gráfico das seguintes fun¸cões,, uti-lizando o gráfico de uma fun¸cão mais simples e

aplicando as transforma¸cões apropriadas. Para cada uma dessas fun¸cões indique as interseçcões com os eixos x e y, as regiões nas quais as fun¸cões são positivas, negativas, crescentes, decrescentes e os pontos de máximo e m´ınimo local se exis-tirem. a) 1 x+7 b) 1 x2_+4x+4 c) _xx+22₋₁. d) _{p|t − 1| − 1} e) log3(x − 2) f) log₂(_|x|) g) log2(2x −|x − 1|) h) tan(x + π) i) tan(−x) + 2 j) |tan(x)| k) tan(|x|) l) tan(2x − |x − 1|)

14 — Fa¸ca os gr´aficos das seguintes fun¸c˜oes modulares: a) |x| b) |x| + |x − 1| c) |x| + |x − 1 + |x − 2|| d) x2− x + 3 e) x2− x + x2+ 1 3

(9)

Respostas dos Exerc´ıcios

3 a.)f(x) = x, f(x + 2) = x + 2, f(−x) = −x e f(x+h)−f(x)h = x+h−x h = 1 d.)f(x) = 5x 2 _{+ 1,} f(x + 2) = 5(x + 2)2_{+ 1, f(−x) = 5(−x)}2_{+ 1 = 5x}2_{+ 1} e f(x+h)−f(x)h = 5(x+h)2_+1−5x2₋₁ h = 5xh+h2 h = 5x + h

4 a.)O gr´afico de f(|x|) coincide com o gr´afico de f(x)

para x ≥ 0, isto ´e, do lado direito do eixo y. Para

x < 0, o gráfico de f(|x|) é a reflexão do gráfico de f(x)

relativamente ao eixo y. b.) 1 2 3 4 1 2 −1 −2 |x|3 x3 d.) −2 2 4 6 −2 −4 −6 −8 sin |x| sin x

5 O gráfico corresponde à fun¸cão

f(x) =        1 se x < −1 −x _{se −1 ≤ x < 0} 2x se 0_{≤ x < 2} −2x+16 3 se 2≤ x

6 _{1. Dom f = [−2, +∞), Dom g = R, Dom(f+} g) =_{Dom fg = [−2, +∞);}

Dom f ◦ g = R, Dom g ◦ f = [−2, +∞) e (f◦ g)(x) =p|x| + 2; (g ◦ f)(x) =√x + 2 2. Dom f = R\{0, 2}, Dom g = R, Dom(f +

g) =Dom fg = R\{0, 2}; Dom f ◦ g = R\{0, −√2,√2}_{, Dom g ◦ f =} R\{0, 2} e (f_{◦ g)(x) =} _x2_(x12₋₂₎; (g ◦ f)(x) = 1 x2_(x−2)2

3. Dom f = R\{0, 2}, Dom g = R+, Dom(f +

g) =_{Dom fg = R}+\{0, 2}; Dom f ◦ g = R+\{0, 4}, Dom g ◦ f = R∗ e (f_{◦ g)(x) =} _√ 1 x(√x−2); (g ◦ f)(x) = 1 √ x(x−2)

4. Dom f = R, Dom g = R, Dom(f + g) = Dom fg = R; Dom f ◦ g = R, Dom g ◦ f = R e (f_{◦ g)(x) =}√5 2−§_{; (g ◦ f)(x) = 2}−√5x3 7 a.) 2 4 6 8 −2 2 4 6 8 10 −2 f(x) 2f(x) b.) 2 4 −2 −4 2 4 6 8 10 −2 f(x) −f(x) j.) 2 4 6 −2 2 4 6 8 10 −2 g(x) 1 2(g(x) + 1 8 a.) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 −0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 −0.5 −1.0 −1.5 −2.0 |2x| |2x| + 1 b.) 1 2 3 1 −1 −2 −3 −4 (x + 3)4 x4 e.)

(10)

−2 −3 −4 (x + 3)4 − 1 − 1 j.) 2 −2 2 −2 m.) −2 −4 −6 −8 2 4 6 −2 −4 −6 r.) 5 10 −5 5 −5 u.) 2 4 6 2 −2 −4 −6 −8 −10 12 a.)cos(x) + 2) b.)|cos(x)| + 1 c.)|2 cos(x) + 1| 13 d.) 5 10 20 −10 −20 l.) 5

(11)

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Lista 8

Bases Matem´

aticas

Fun¸cões Quadráticas, Exponenciais, Logar´ıtmicas e Trigonométricas

Fun¸c˜oes Quadr´aticas

1 — Esboce o gráfico das seguintes fun¸cões, in-dicando em quais intervalos as fun¸cões são cres-centes e decrescres-centes e encontrando as coorde-nadas dos pontos de máximo e/ou m´ınimo.

a) f(x) = (x − 4)2_{+ 2} b) f(x) = (x − 4)2_{− 2} c) f(x) = −(x + 4)2+ 2 d) f(x) = −(x + 4)2− 2 e) f(x) = x2− 1 f) f(x) = x2_{− x} g) f(x) = 6 − 4x + x2 h) f(x) = 2x2_{− 7x + 4} i) f(x) = x2_{+ 1} j) f(x) = 3x4_{− 12x}2_{− 1}

2 — Um fazendeiro pretende construir um chiqueiro retangular e para isso possui 100m de cerca. Ache as dimensões do chiqueiro de modo a maximizar a área do mesmo. Qual é essa área?

3 — Uma calha é feita dobrando uma folha de alum´ınio de 40cm de largura de modo que as lat-erais formem um ângulo reto com o fundo. De-termine a profundidade da calha que maximiza o volume de água que a calha suporta.

4 — Um fazendeiro possui 2000m de cerca para construir 6 currais conforme mostrados na figura abaixo. Ache as dimensões que maximizam a área cercada. Determine essa área.

5 — Um projetil é lan¸cado no ar. A fun¸cão que descreve sua altura em rela¸cão ao solo em fun¸cão do tempo é dada por:

h(t) = h0+ v0t +

gt2 2

sendo h0 a altura inicial, v0a velocidade inicial e

g a for¸ca da gravidade (constate).

a) Em que instante de tempo a altura m´axima ´e atingida?

b) Depois de quanto tempo o projetil atinge o solo?

c) Determine a altura m´axima atingida pelo projetil se ele for lan¸cado do solo.

d) Para um projetil lan¸cado do solo, o que acontece com sua altura se dobrarmos a velocidade inicial?

Exponencial

6 — Esboce o gráfico das seguintes fun¸cões, utilizando o gráfico de uma fun¸cão mais simples e aplicando as transforma¸cões apropriadas. Para cada uma dessas fun¸cões indique as interseçcões com os eixos x e y, as regiões nas quais as fun¸cões são positivas, negativas, crescentes, decrescentes

(12)

e os pontos de m´aximo e m´ınimo local se exis-tirem. a) 2(x−π) b) 3 · 2(x−π) c) 1 2 (x+π) d) 2(x−π)_{− 5} e) 5|x| f) 5|x+2| g) 1₃x+1+ 2 h) 1 3 |x| − 2

7 — Esboce o gr´afico das fun¸c˜oes f(x) e g(x) no mesmo sistemas de coordenadas cartesianas:

a) f(x) = 3x _{e g(x) = 3}−x

b) f(x) = h−1_(x) _{com h(x) = 3}x _{g(x) = 3}−x_.

8 — A explosão da usina de Chernobil em 1986 lan¸cou aproximadamente 1000 quilogramas do elemento radioativo césio 137 na atmosfera. Sabendo que o césio 137 possui uma meia vida de 30 anos, ou seja, a cada 30 anos a quantidade de césio 137 cai pela metade.

a) Escreva a fun¸cão que descreve a massa de césio na atmosfera em fun¸cão do tempo. b) Determine em quanto tempo a massa de

c´esio na atmosfera reduzir´a a 1kg. Logaritmo

9 — Determine o dom´ınio das seguintes fun¸c˜oes:

a) log 1 + x2

b) log 1 − x2 c) log1+x_x d) log cos(x)

10 — Esboce os gr´aficos das seguintes fun¸c˜oes: a) log(x + 1)

b) log x2

c) log −x

d) log |x|

11 — Use as propriedades do logaritmo para expandir as express˜oes abaixo o m´aximo poss´ıvel:

a) log₉9x b) log₉ 9_x c) log4 √64_x+1 d) logq3 x2_y3 25 e) log1000x4 3 √ (5−x) 3(x+4)2

12 — Use as propriedades do logaritmo para condensar as express˜oes abaixo o m´aximo poss´ıvel:

a) 1₃(log₄(x) −log₄(y)) b) 4

3(log4(x) − 2log4(y))

c) 4 log x + 7 log x + log z d) 3 log(x) − 1

2log z

e) 2₃(log4x −log4y) + 2log4(x + 3)

13 — Resolva as seguintes equa¸c˜oes: a) 10x = 15 b) 10x−3 = 100 c) 22x+ 2x− 12 = 0 d) 52x+3 = 3x−1 e) log5(x − 7) = 2 f) log3(x − 4) = −3 g) log6(x + 5) +log6(x) = 2 h) log2( √ x + 3) = 1

i) log2(x − 3) +log2(x) −log2(x + 2) = 2

Fun¸c˜oes Trigonom´etricas

14 — Determine o dom´ınio das seguintes fun¸c˜oes: a) tg(1 − x) b) 1 cos(x) c) arccos_1+x2x d) 3 |cos |x| − 1| 2

(13)

15 — Esboce os gr´aficos das seguintes fun¸c˜oes: a) cos 3x b) 2 sen(3x + π) c) sen(x) + x d) tg(|x|) e) x sen(x) 16 — Calcule

a) sen(a) sabendo que cos(a) = b e 0 ≤ a ≤ π/2

b) sen(a) sabendo que tg(a) = b/c e 0 ≤ a ≤ π/2

c) sen(a) sabendo que tg(a) = b/c e π/2 ≤ a ≤ π

d) arcsen(a) sabendo que tg(a) = b/c e 0 ≤ a ≤ π/2

e) cotg(a) sabendo que sen(a) = b/c e 0 ≤ a ≤ π/2 17 — Calcule a) arcsen(−√₂3) b) arctan(1) − arctan(−1) c) arcsen(cos(2x)) 0 ≤ x ≤ π/2 d) arcsen(cos(2x)) π/2 ≤ x ≤ 3π/2 3

(14)

Respostas dos Exerc´ıcios

1 a.)Coordenadas do ponto de m´ınimo (4, 2). A

fun¸c˜ao ´e crescente para x ≥ 4 e decrescente para x ≤ 4

1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 bA b

j.)Dica: Fa¸ca a substitui¸c˜ao t = x2_{para encontrar}

as ra´ızes e os pontos de m´aximo e m´ınimo. Ra´ızes:

−2, 2 Pontos de m´ınimo: (−√2, −13) e (√2, −13) . Decrescente para x ≤ −√2e x ∈ [0,√2] 10 −10 1 2 3 −1 −2 −3

2 A área do chiqueiro é dada pela fun¸cão A(x) = x(20 − x) = 20x − x2

x x

20 − x

A coordenada x do vértice da parábola é −b/2a. Logo o máximo ocorre quando x = 10 e nesse caso o chiqueiro é um quadrado de área 100

5 a.)A altura m´axima ´e atingida no tempo t = −v0/g

b.)Dica: procure a maior raiz da equa¸c˜ao quadr´atica

c.)Nesse caso h0= 0 6 a.) 1 2 3 4 −1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 Transla¸c˜ao porπ 2(x−π) 2x e.) 2 4 6 8 10 12 −2 0.5 1.0 1.5 −0.5 −1.0 −1.5 5x 5|x|

g.)O gr´afico de 1₃(x+1)+ 2 ´e obtido transladando

o gr´afico de 1

3 x

uma unidade para a esquerda e duas unidades para cima.

2 4 2 4 −2 1 3 (x+1) + 2 1 3 x 9 a.)R b.)−1 < x < 1 c.)x < −1 ou x > 0 d.)O

dom´ınio ´e a uni˜ao dos intervalos da forma [−π/2 + 2 ∗

k ∗ π, π/2 + 2 ∗ k ∗ π] com k ∈ N.

10 b.)Dica: log x2_{= 2}_{log x.}

11 a.)1 + log₉x b.)1 − log₉x d.)log (y) +2 log(x)₃ −

2 log(5) 3

(15)

12 a.)log4 x y 1 3

13 a.)log₁₀15b.)5 c.)Dica: fa¸ca t = 2x_{. d.)}

14

R_{\{1 − π/2 + kπ}} _{com k ∈ N}

(16)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

Lista 11 - Bases Matem´

aticas

Limite de Fun¸c˜oes

1 — Calcule os seguintes limites: a) lim x→1 3x 3₊ 1 x + 4 b) lim x→0cos(x) c) lim x→3 −5x3+ x d) lim x→2(x 3_{+ 2)(x}2_{− 5x)} e) lim x→1 x3₋₁ x2₋₁ f) lim t→4 4 − t 2 −√t g) lim t→0 (a + t)3− a3 t h) lim t→0 √ 2 + t −√2 t i) Prove que lim

x→0x 2₂cos 1 x = 0.

2 — Prove,a partir da defini¸cão de continuidade, que as seguintes fun¸cões são cont´ınuas no ponto indicado

a) x2 _{no ponto x = 2}

b) x2 no ponto x = 0 c) |x| no ponto x = 0 d) JxK no ponto x = 1/2

(17)

Respostas dos Exerc´ıcios

1 a.)8 b.)1 c.)132 d.)−60 e.)3

2 f.)4 g.)3a

2 _h.) 1