Solução numérica via métodos variacionais de problemas em termoelasticidade dinâmica acoplada

Zeferino Antonio da Fonseca Lopez

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA NEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇAO DO GRAU DE MESTRE EM CIENCIAS {M:Sc.)

Aprovada por:

Luiz Carlos Martins

c::3::,.__-Ff-<>e-r, rr11 aai,m, dtroi-v-e-n-â.n.c i o F i 1 h o

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL DEZEMBRO DE 1977

A mi esposa A mis padres A mi hija.

AGRADECIMIENTO

Deseo expresar mi agradecimiento al profesor Raul Fei joo por la sugerencia del tema, asi como tambien por la orienta-ciõn y colaboraciõn que prestõ durante todo el desarrollo del pr~ sente trabajo.

Al profesor Luiz Bevilacqua por las ensenanzas impar-tidas en los cursos dictados en COPPE.

A mis companeros de estudio por el estfmulo dado du -rante la realizaciõn del presente trabajo.

Finalmente, quiero agradecer a quienes dedico este tra bajo por el sacrifício, dedicaciõn y constante colaboraciõn que tuvieron en esta importante etapa de mi vida.

COPPE/UFRJ

Diciembre de 1977

RESUMEN

Se presenta en este trabajo una formulaciõn variacio-nal, equivalente al problema de valor inicial y de contorno, co-rrespondiente a la teorfa lineal de la termoelasticidad dinimica acoplada, en materiales conductores de calor, homogeneos e iso

-trõpicos.

Para la obtenciõn de las soluciones aproximadas, se propone un algoritmo numérico desenvolviéndose su implementaciõn con el Método de los Elementos Finitos.

Por ultimo, se presentan algunos resultados numéricos a los efectos de verificar la eficiencia del algoritmo propuesto.

RESUMO

Este trabalho apresenta uma formulação variacional, equivalente ao problema de valor inicial e de contorno, corres-pondente ã teoria linear da termoelasticidade dinâmica acopla -da, em materiais condutores de calor, homogêneos e isotrÕpicos.

Para a obtenção das soluções aproximadas, propoe-se um algoritmo numêrico desenvolvendo-se sua implementação com o Mêtodo dos Elementos Finitos.

Por utlimo, apresentamse alguns resultados numêri -cosa fim de verificar a eficiência do algoritmo proposto.

ABSTRACT

ln this work, a variational formulation of the initial and boundary value problem, corresponding to the linear theory of coupled dynamic thermoelasticity in homogeneous isotropic heat-conducting materials, is presented.

To obtain approximate solutions, a numerical algorithm was developed and implemented using the Finite Elements Method.

Finally, some numerical results are presented to show the efficiency of the proposed algorithm.

IND ICE

PAG.

INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l

CAPITULO I PRINCIPIOS MECANICOS Y TERMODINAMICOS •...•.

1. l. Conservaciõn de la Masa

...

1. 2. Conservaciõn de la Cantidad de

Movi-miento Lineal y Angular

...

1. 3. Conservaciõn de la Energ,a (Primera

3 4 5 Ley de la Termodinamica) . . . . . . . .. 6 1.4. Desigualdad de Clausius-Duhem . . . . . . • . . 8 1.5. Materiales Elãsticos . . . 10

1.6. Principio de Indiferencia del Obse_!: vador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . 13

1. 7. Consecuencias de la Inecuaciõn de Conducciõn de Calor

...

l 6 l . 8. Teoria Lineal de la Termoelasticidad ... l 7 l . 9 . Isotropia

...

23

CAPITULO II . TERMOELASTICIDAD DINAMICA ACOPLADA . . . 25

2 .1. Ecuaciones Bãsicas . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Formulaciõn Variacional . . . 27

2.3. Esquema Numerico . . . 30

CAPITULO II 1. FUNCIONES DE INTERPOLACION . . . . • . . . . . . . . . . 34

3. l. Funciones de Aproximaciõn ...••.•. 34

PAG.

CAPITULO IV. RESULTADOS NUMERICOS 42

4.1. Formul aciõn del Problema . . . 43

CAPITULO V. BIBLIOGRAFIA NOMENCLATURA

CONCLUSIONES ... .

APENDICE A. RESULTADOS NUMERICOS CORRESPONDIENTES AL SE-GUNDO PROBLEMA DE DANILOVSKAYA (CONVECCIÕN),

59

60

63

La aplicaci6n de métodos variacionales tanto para el desarrollo de la teoria, como para la obtenci6n de soluciones aproximadas del problema de valor inicial y de contorno en ter-moelasticidad acoplada, se inicia con el trabajo pionero de BIOT

[27] en 1956. Posteriormente numerosos autores contribuyeron al desenvolvimiento de esta nueva area de investigaci6n [1], [2], [19], [20], [21], donde existe a su vez una extensa bibliogra -fia al respecto.

El objetivo de este trabajo es presentar una formuli ci6n variacional conjuntamente con un algoritmo numérico,que ha de permitir determinar, enforma aproximada, el campo de despli zamientos, tensiones y temperatura en un cuerpo material termo-elãstico, isotr6pico, homogeneo, cuando sometido a la acci6n de efectos mecãnicos y térmicos.

Desde que toda la formulaci6n variacional estã funda mentada en la teoria lineal de la termoelasticidad acoplada, se ha creido conveniente presentar en el Capitulo I un breve resu-men de dicha teoria. Para un estudio mãs detallado consi.iltese Il].

En el Cap1tulo II se plantea una formulaci6n varia -cional equivalente al problema de valor inicial y de contorno de finido en el cap1tulo anterior. Se propone a su vez, un algori! mo numérico que permitirã la obtenci6n de soluciones aproxima -das del problema varíacíonal establecido. Puede demostrarse[l6J,

[17J, [26], que este algoritmo es convergente e incondicional -mente estable.

En el Capitulo III, se detalla la implementaciõn del Mêtodo de los Elementos Finitos, con el algoritmo numêrico pro-puesto. La construcciõn del espacio de aproximaciõn, a travês del Mêtodo de los Elementos Finitos, es analizada para el caso de elementos isóparamêtricos cuadrãticos.

Por ultimo, en el Capitulo IV, son presentados algu-nos resultados numêricos con el objetivo de mostrar la eficien-cia del algoritmo numêrico.

CAPITULO I

PRINCIPIOS MECANICOS Y TERMODINAMICOS

La teoria de la termoelasticidad estudia el equilibrio de cuerpos, tratados como sistemas termodinãmicos, cuya itera -ciõn con el media ambiente estã limitada al trabajo mecãnico,fue.!: zas externas e intercambio de calor.

As i, en todo proceso termomecãni co, se deben veri fi car cinco ecuaciones bãsicas que definen los siguientes princi -pios:

a) Conservaciõn de la Masa

b) Conservaciõn de la cantidad de Movimiento Lineal c) Conservaciõn de la cantidad de Movimiento Angular d) Conservaciõn de la Energia

e) Segunda Ley de la Termodinãmica

Antes de entrar en la formulaciõn de tales principias, considerese un cuerpo B, cuyos elementos

X,

serãn llamados pun-tos materiales. Para cada instante de tiempo t, estas punpun-tos tie nen una posiciõn en el espacio:

o X = p (X. t) ocupando una cierta regiÕn BtC ffi3

, que serã llamada,configuracíon

de B en el instante t. Para cada t, la aplicaciõn pt: B + Bt se

supone biyectiva.

Por otro lado, la masa m, induce en ffi3 _{para cada t,}

do as i , una densidad de masa p, La masa del cuerpo sera entendi-da como una propieentendi-dad funentendi-damental y por lo tanto asignada a pri _Q

ri como parte de la especificaciõn del cuerpo. De esta manera,p~ toda parte

*

de tendrã:

ra p _B se

m ( P) =

J

p d V

pt

( 1. 1 )

donde Pt es la configuraciõn de Pen el instante t y dv es un di ferenci al de vol umen.

A continuaciõn se escribirãn las formas globales y 1.Q cales de los cinco principias enunciados anteriormente, suponie~ do el campo de funciones lo suficientemente regular como para pe_!: mitir, inclusive, las formas locales de dichos principias.

1.1. CONSERVACION DE LA MASA

Para toda parte PEB y cada in~tante t, se debe verifi ca r:

(,. 2)

La forma local del principio anteriores:

p

+pdiv V= 0 ( 1 . 3)

o su equivalente:

p' + div(pv) = O ( 1 • 4)

Donde v es la descripciõn espacial de la velocidad y donde:

h:

es la derivada material, respecto al tiempo t de h. h': es la derivada espacial, respecto al tiempo t de h.

Sea el sistema de fuerzas {s,b} donde b representa la fuerza de masa por unidad de volumen y s(n,x,t) representa la fuei za por unidad de superficie actuando sobre r(Pt) contorno de Pt' en el punto x, con normal n. Luego se tendrã:

1 .2. CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR Para toda parte P de B y todo t, debe verificarse:

+

f

b dv pt =

f

(x-O)ApV dv pt ( 1 . 5 ) ( 1 . 6 )

donde O es un punto arbitrario, respecto al cual se calcula elmo mento.

En base a los principios anteriores, el teorema de Cauchy, establece la existencia del tensor de tensiones T (ten -sor de tensiones de Cauchy) tal que:

s = Tn div T + b = pv T = TT (simétrico) ( 1. 7) ( 1 . 8) ( 1 . 9 )

siendo (1.8) y (1.9), las formas locales de (1.5) y (1.6) respe~ tivamente.

DefTnase ahora las siguientes funciones:

E energTa interna especTfica

q vector flujo de calor

r suministro de calor por unidad de masa en la unidad de tie_ll! po (absorbido por el cuerpo y suministrado por radiaciõn por el medio ambiente)

n entropia especTfica

e temperatura absoluta, que se supondrã siempre positiva(e>O)

Con estas funciones asi definidas, se tiene:

1. 3. CONSERVACION DE LA ENERGIA (Primera ley de la Termodinãmica) Para toda parte P de B y todo t, debe satisfacerse:

1 d

f

2

dt

v.vp pt dv =

f

v.b pt dv+ (1.10)

donde rs y rq son parte del contorno r en donde s y q estãn defi nidas.

La ecuaciõn anterior puede ser escrita de una mas compacta:

d _W+Q dt(K+U)

=

(1.11) donde: K l d

J

dv ~ cinética

=

2 cIT v.vp energia pt U =

j

Ep dv pt energia interna W =

j

v.b dv+J v.s dr Pt rs(Pt) Q =

J

rp dv-J q.n dr pt rq(Pt)

potencia del sistema de fuerzas

energia calorifica suministrada a B por unidad de tiempo en el instante t

Admitiendo la regularidad necesaria, localmente,la ecua ciõn (1. 10) es equivalente a:

PE - pr + div q - T.L =

o

(1.12)

Dada la simetria de T, se puede escribir:

PE - pr + div q - T.D =

o

_(1.13)

donde L es el gradiente de la velocidad y D es la parte simétri-ca de L. [D = J(L+LT)].

OBSERVACION: Haciendo uso de (1. 10) y (1. 13), sumando y restando

J

T.D dv, la ecuaciÕn(l.10) toma la forma: pt

K =

-J

T.D dv + W

pt

1.4. DESIGUALDAD DE CLAUSIUS-DUHEM (segunda ley de la termodinã mica)

La producciôn total de entropia en una parte P de B, estã definida por:

donde: r

e

.9.

e

r

e

P q.n dr (1.15)

suministro de entropia por radiaciôn

vector flujo de entropia

Supuestas adecuadas condiciones de regularidad, la ecui ciôn (1. 15) puede ser escrita como:

r

=

J

yp

dv

~

o

pt

(1.16)

donde Y es la producciôn especifica de entropia y estã definida por: y = _n

-

r.

+

l

div(q/8)

e

p

-

r + 1 div 1 q.grad

e

(1.17) y = _n q

-e

p8 p82

En base a las definiciones anteriores, para toda par-te P de B y todo t, se debe verificar:

r

>

o

_(1.18)

y

~

o

(1.19) De esta Ültima expresiõn y recordando que e> O, re-sul ta:

l

pen - pr + div q -

e

q.grad e> o (1.20)

Definiendo ahora, las siguientes funciones:

l/J = E - ne (1.21)

. .

a= T.L - p(l/J+ne) (1.22)

ljJ energia libre

cr disipasiõn interna

De (1.21) y (1.22) se pueden obtener las siguientes ecuaciones:

PE = T.L + pn8 - cr

pl/J = T.L - pne - cr

(1.23)

(1.24)

La primera se obtiene derivando (1.21) en relaciõn al tiempo e introduciendo el valor de ljJ en (1.22). La segunda, in

-troduciendo el valor de PE obtenido de la derivaciõn antes indi-cada en (1.23).

Si ahora se sustituye (1.23) en la forma local de la primera ley de la termodinimica (1.12), se obtiene:

p8n = pr - div q + cr _(1.25)

Esta ecuaciõn es importante, puesto que representa la forma local del principio de la conservaciõn de la energia, como

funciõn de la entropia especifica, la disipasiõn interna y las variables de calor q y r.

Sustituyendo (1.25) en (1.20), resulta:

l

a -

e

q.grad e>

o

(1.26)

Esta ecuaciõn es conocida como la forma local de la disipasiõn.

Apesar de haberse formulado todas las ecuaciones que deben satisfacerse en cualquier proceso termomecãnico, es impo-sible, hasta el momento, predecir el comportamiento de dos sÕli dos constitui dos de materiales diferentes. La caracterización del comportamiento de un determinado material viene definida por m! dio de las llamadas ecuaciones constitutivas. Cabe observar,que un estudio profundo de la teoria que envuelve tal tipo de ecua-ciones, escapa al objetivo del presente trabajo, pudiendo ser en contrada en [1], [5], [7], [18].

1.5. MATERIALES ELASTICOS

Un material Qomogeneo, elãstico con conducciõn de ca lor, estã definido por cuatro ecuaciones constitutivas:

1jJ = iJ,(F,e,g) (1.27.a)

-n = -n(F,e,g) (1.27.b) T = T(F,e,g) (l.27.c) q = q(F,e,g) (1.27.d) donde:

g =grade

F _{denota el gradiente de deformaciõn en el punto material} X para el instante t' calculado respecto a una

configu-.-

_{fija de referencia. Si identifica el punto}

rac1on se ma

-terial X con su posic1on .

-

X _{en la configuraciõn de} refe-rencia, resulta:

F = V

xP (

X, t) (1.28)

De la definiciõn anterior, se sigue que las funcio

-nes

w,

n,

T y

q,

dependen de la configuraciõn de referencia adoQ tada. De (1.27.a) se obtiene:

.

.

.

.

w

=

aFw.F

+

a8we

+

a

9

w.g

(1.29) sustituyendo (1.29) en (1.26): (1.30) desde que: (1.31) y ( 1. 32) resulta: (1.33)

arbi-. *

trarios , se concluye que:

-q.g >

o

(1.34.a) (1.34.b) (1.34.c) (1.34.d)

La ecuaciõn (l .34.c) indica que 1JJ es independiente de g, es decir: 1JJ = lJJ(F,e), a su vez, de las dos anteriores se

si-gue que: n

=

n(F,8) y T

=

T(F,8).

Como consecuencia de estos resultados se concluye que

a = O. En efecto, de la ecuaciõn (1.22)

.

.

a= T.L - p(lJJ+ne) l -T · · · a= T.L - p(- TF .F-n8+n8) p T • • -1 a= T.L - TF- .F = T.L - T.FF a= T.L - T.L = O (1.35)

Luego, la forma local del principio de la conservaciõn de la energla queda como:

pen = p r - d i v q ( l . 36)

La ecuaciõn (1.21) puede ahora ser reescrita como:

-E= 1JJ+n8 = ijJ(F,8)+8n(F,8) = Ê(F,8) (1.37)

y se definirã el número:

c

=

c(F,e)

= a

_8Ê(F,e) (1.38)

llamado, "calor especifico''. De acuerdo a la expresiõn anterior se tendrã:

c(F,e) = _{ªel/J + n} + _{ea 8ii} c(F,e) = _-n

-

+

-

n + _{ea 8ii}

c(F,e) = ea 8ii(F ,e) (1.39)

Este resultado sera de gran utilidad mas adelante.

1.6. PRINCIPIO DE LA INDIFERENCIA DEL OBSERVADOR

Este principio establece que las hipõtesis constitu-tivas deben ser independientes del observador.

Si el indice

*

permite representar la magnitud vista por el nuevo observador y Q es el tensor ortogonal asociado a tal cambio, se tiene que las variables mecãnicas y termodinãmi-cas se transforman como sigue:

F* = QF e* =

e

g* = Qg U* =

u

QLQT

.

QT L* = + Q ,j,* = 1jJ n* = _n T* = QTQT q* = Qq

De lo anterior resulta:

1jJ = ijJ(F ,e) = iJJ(F* ,e*) = ijJ(QF,8) (l.40.a)

-

-

-Tl = n(F,e) = n(F*,8*) = n ( QF, 8) (l.40.b)

-Q1T(F*,8*)Q Q1r(QF,e)Q T = T(F,8) = = (l.40.c)

-Q\j(F*,e*,g*) Q\j(QF,8,Qg) q = q(F,8,g) = = (l.40.d)

De la decomposiciõn polar de F, F = RU, adaptando Q = R1 y definiendo el tensor C:

donde:

lI : es el tensor i denti dad

Las ecuaciones (1.40) se transforman en:

-1jJ = iJJ(C,e) Tl = n(C,8) T = FT(C:,8) FT

-

_FTg) q = Fq([,8,

-

-donde T y q estãn relacionados con T y q atravês de: T(U,8) = U T(C,e)U

q(U,8,µ) = Uq(C,8,Uµ)

De la ecuaciõn (l.42.a) se obtiene:

y de ( l . 41) : C =

{[t

1F+F1

t]

= {[F1L1F+F1LF] (1.41) (l.42.a) (l.42.b) (l.42.c) (l.42.d) (1.43) (1.44)

sustituyendo en (1.43), resulta:

(1.45)

Como ªe~ es es un tensor simétrico, la expresiõn ante rior puede escribirse:

(1.46)

Sustituyendo este resultado en la desigual de Clau sius -Duhem:

resulta:

-p~ - pne

+ T.L - 1

_e

q.g >

o

que debe verificarse para todo L,

e

y g, luego:

de donde se concluye que T es simétrico. Ademis:

n = -a

_e

~ (1.47) ( l . 48) ( 1 . 49) De (l.42.b), (1.42.c), (1.48) y (1.49) se conclu.}eque:

-T(C,e) = Pªc~(C,e) -n(C,e) = -a 8~(C,e)

Por ultimo, de (1.47) y (l.42.d) se llega:

- T Fq(C,e,F g).g < O o lo que es lo mismo: ( 1. 50) (1.51) (1.52)

- T T

q((,8,F g).F g < O (1.53)

1.7. CONSECUENCIAS DE LA INECUACION DE CONDUCCION DE CALOR

En esta secciõn se obtendrã una importante consecuen-cia de esta inecuaciõn:

Sea la derivada de q(C,8,FTg), con relaciõn a g,calc~ lada eng= O, representada de la siguiente forma:

- T

I

T

a

9q(C,8,F g) _g=O =-IK(C,8)F ( l. 54)

donde:

*

-

T

IK(t,e) =

-a

T q(t,e,F g)I

F g g=O (1.55)

Desarrollando q(C,8,FTg) en serie de Taylor alrededor de g = O, resulta:

(1.56) para g + O

De esta expresiõn y de (1.53) se llega:

(1.57) para g + O

Esta inecuaciõn se verifica para todo g, solo si:

q([,8,0) = O (1.58)

y ademãs se concluye que el tensor de conductividad es positivo

semi-definido.

La ecuaciõn (1.58) trae como consecuencia:

a

₁êí(C,e,o) = o

a

₈êí(C,e,o) = o

(1.59) (l .60)

Estos resultados seran de utilidad en la prÕxima se -cciõn.

l .8. TEORIA LINEAL DE LA TERMOELASTICIDAD

El sistema completo de ecuaciones diferenciales, para problemas no lineales de termoelasticidad, fue derivado en las secciones anteriores. Estas ecuaciones son:

- Ecuaciõn de movimiento: div T + b = pv (l.61) - Conservaciõn de la Energia:

.

pne = pr - div q (l.62)

-

Ecuaciones Constitutivas:

-1/J = -1/J(C,e) (l.63.a) n = n(C,e) (l.63.b) T = FT(C,e)FT (l .63.c) q _{= Fq(C,e,FTg)} (l.63.d)

Adoptando una configuraciõn de referencia, resulta:

F = li + Vu ( l. 64)

( l . 66)

donde u, representa el campo de desplazamientos.

Por supuesto, las ecuaciones constitutivas deben sa -tisfacer:

T(t,e)

=

pa,~(t,e)

n(t,eJ

=

-a 8~(t,eJ

êj(t,e,veJ.ve .:':. o

(1.67.a) (1.67.b) (l.67.c)

En esta secciõn se determinarã una aproximaciõn lineal del sistema anterior, bajo las siguientes hipÕtesis:

donde:

i) El gradiente del desplazamiento y su tasa de variaciõn respecto al tiempo son pequenos.

ii) La temperatura es aproximadamente igual a la tempera-tura T

0 , llamada temperatura de referencia;

iii) El gradiente de la temperatura y su tasa son pequenos. Luego, se estã asumiendo que:

l11

u] , 1

v

ü J ,

!

e-T

O 1 ,

111 e

l ,

i

e

J , 1

e

1 <

o

(l.68)

o

es pequeno.

En vista de estas suposiciones, se podrã escribir:

F=l[+O(o) _(l.69)

Si se introduce el tensor infinitesimal de deforma:iõn E, definido por:

de acuerdo con (1.64) y (1.68):

y

E

₌

O(o) E

₌

O(o)

e

₌

J [F T F-1I]

₌

J[(TI+VuT)(ll+Vu)-lI]

e

=

} [vu+vu T +vu T vu]

₌

E+O(o2 ) Por lo tanto: C = E

.

.

C = E Para F

=

TI y e

=

T 0 , se tiene:

e

=

o

T = T(O,T) ' o (1.70) (1.71) (1.71.a) ( 1. 72) (l.73) (1.74) (1.75) (1.76)

Es decir, esta ecuaciõn representa la tensiõn residual o sea, la tensiõn que el sõlido teridria en la configuraciõn de re ferencia con temperatura T₀ •

En lo que sigue se supondrã:

(1.77) y que T

0 es una temperatura uniforme.

-e

= atT(C:,e) t=O (l.78) 8=T _o -M = a8T(l,e) _C:=O (l.79) 8=T o

-y se expande en serie de Ta-ylor T(C,e), alrededor ~e C:=0 y 8=T 0 :

i(t,8) = i(O,T₀)+C[E]+(8-T₀ )M+0{5) ( l . 80)

que de acuerdo com (l.77), queda:

i(t,e) = C[E]+{8-To)M+0(5) (l.81) De {l.81), {l.63.c) y (l.69) se sigue: T = [ll+0(5)]T[lI+0{5)] = [1!+0(5)] [i+i 0(5)] -T = T (e, e) + o ( 5) ( 1 . 82) o sea que: T = C[E]+(e-To)M ( l. 83)

Por otro lado, expandiendo q(t,8,VS) alrededor del pu~ to C = O, e = T y ve = O y llevando em cuenta los resultados ob _o tidos en la secciõn 1.7:

q(t,e,ve) = - D<(t,e) ve+o(5) = - ~ve+0(5) ( l . 84) C=O

8=T₀ V8=0

Esta ecuaciõn indica, que a menos de un errar del or-den de 5, el flujo de calor depende linealmente del gradiente de temperatura y es independiente de la deformaciõn y temperatura.

Ahora, solamente resta obtener la forma linealizada de la ecuaciõn de la energia (l.42.a). Asi, de la ecuaciÕn{l.42. b), se tiene:

n =

ºcn(C,8).C

_{+ a8n(C,8)8}

( l . 85)

Pero:

ºcii(C,e) =

ªcii(C,e)

+o{a)

C=O

( l. 86)

8=T

0 y

= a8n{C,e)

+O{o)

C=O

( l. 87)

8=T

0

que juntamente con ( l. 50) y (1.51) dan:

ªcn

= -acºe* =

-aeªc*

= -a (- T)

_{e P}

l

ªcn =

p

ºeT

( l . 88)

Sustituyendo {l.79) en esta expresiõn:

(l .89)

De la ecuaciõn (1.39) se puede escribir:

{l.90)

que representa el calor especifico correspondiente a deformaciõn nula y temperatura constante.

con (1.74) resulta:

n=-.!.ME+_<:_e

P . To (1.91)

Si se multiplica esta ecuaciõn por p8(despreciando los términos de orden superior a ô), resulta:

pen=

- T M.E +pc8

.

o que sustituida en (1.36) dã: ( l. 92) (1.93) ya que, en vista de (1.69), p = p

0 , donde p0 representa la densi

dad de masa en la configuraciõn de referencia.

En definitiva, las ecuaciones bâsicas de la teoria de la termoelasticidad, dentro de la teoria lineal son:

- Ecuaciõn de Movimiento:

d i V T + b =

SÜ

- Ecuaciõn de conducciõn de calor:

.

.

T₀M.E - p 0ce - div q + p0r =

o

- Ecuaciõn cinemãtica: - Ecuaciones constitutivas: q = - IK VfJ (1.94.a) (1.94.b} (1.94.c) (1.94.d) (l.94.e) En la soluciõn de problemas de termoelasticidad, es prãctica comun realizar dos tipos de aproximaciones.

ecuaciõn de conducciõn de calor, obteniindose la llamada solu -ciõn desacoplada. Este nombre proviene del hecho de que(l.94.b) se transforma en la ecuaciõn clãsica de conducciõn de calor y

una vez conocida su soluciõn, la distribuciõn de temperatura en tra como dato en la ecuaciõn de movimiento.

La segunda aproximaciõn, llamada de teoria quasi-es-tãtica, resulta del hecho de eliminar el tirmino

gü

en la ecua-ciõn de movimiento.

Dado que se utilizarãn ticnicas variacionales en la soluciõn del sistema (1.94), no se efectuarã ninguna de estas aproximaciones sobre dicho sistema.

1.9. ISOTROPIA

Si se supone isotropia tanto mecânica cuanto tirmic~

*

el tensor C [E] vi ene dado por :

y

C[E] = 2µ[E] + À(trE)ll

M = mlI D< = klI

donde de nuevo, 1[: representa el tensor identidad.

y

m = -a(3À+2µ)

À,µ: son los coeficientes de lami isotirmicos.

*

_{Detalle en [5] y [18].}

Finalmente, se puede escribir las ecuaciones fundamen tales de la termoelasticidad lineal, para un sõlido homogeneo e isotropico:

- Ecuaciõn de Movimiento div T + b = fê,Ü

- Ecuaciõn de Conducciõn de Calor mTo(trE)-9ice-div q+1nr =

o

- Ecuaciõn cinemãtica - Ecuaciones constitutivas T = 2µ[E]+1c(trE)TI+m(e-T₀ )ll q = -k í/8 (1.96.a) (l.96.b) (1.96.c) (1.96.d) (1.96.e)

CAPITULO II

TERMOELASTICIDAD DINAMICA ACOPLADA

2. l. ECUACIONES BASICAS

Asumase que el cuerpo en estudio, en su configuraciõn de referencia, ocupa la regiõn íl IR3 de contorno r y dado el i~ tervalo [0,to), el problema de valor inicial y de contorno, con-sistirã en:

Dadas las ecuaciones cinemãticas:

las ecuaciones constitutivas:

y dado: T = 2µ[E(u)]+À tr(E(u))l!+m(e-To)] q =-k

ve

( 2 . l ) ( 2 . 2) ( 2 . 3)

i) Las fuerzas de masa b por unidad de volumen y el sumi nistro de calor r por unidad de masa en la unidad de tiempo, definidas en íl x [0,to)

ii) Las tracciones superficiales s en

r,

x [0,to) iii) El flujo de calor q en

r,

x [0,to)

A esta altura es interesante especificar la naturale-za del flujo de calor en

r,

x [0,to).

Existen dos posibilidades a considerar*: * [2] pags. 143-144

**

iii.a) flujo prescripto q₁ definido en r

4p x [0,to) iii.b) flujo producido por convecciõn q₂ definido en r

4c x [0,to) y que viene dado por:

( 2 . 4)

donde:

h: coeficiente de convecciõn

Too: temperatura del fluido que circunda el cuerpo.

iv) La densidad de masa p definida en íl

o

conjunto

Determinar (u,e), de modo que sean satisfechas las si guintes ecuaciones: A. Condiciones Iniciales: u(x,O) = u 0(x) (2.5.a)

.

u(x,O) = _v 0 (x) (2.5.b) e(x,O) = eº (2.5.c) 8. Condiciones de Contorno:

u(x,t) = u(x,t) en (x,t)e:r x[O,t_{0 )}

1 (2.6.a)

e{x,t) = _{e(x,t) en (x,t)e:r}

2x[O,t0) (2.6.b) s(x,t) = T(x,t)n(x) _{en (x,t)e:r3x[O,t}

0 ) (2.6.c) q(x,t) = q ( X , t )•n ( X) en ( x, t) e: r, x [o, to) _(2.6.d) vacio

C. Ecuaciõn de Movimiento:

en ílx[O,t0 ) ( 2. 7)

D. Ecuaciõn de Conducciõn de Calor:

p cé-mT_o 0tr[E(Ü)]=p r-div q en ílx[O,t_o. 0 ) ( 2. 8)

2.2. FORMULACION VARIACIONAL

En esta secciõn, se presentarã una formulaciõn varia-cional que permitirã la obtenciõn de soluciones debiles del pro-blema asociado a la teoria lineal de la termoelasticidad dinâmi-ca acoplada, en cuerpos elãsticos, conductores de dinâmi-calor, homoge-neos e isotrÕpicos. Para ello se definiran:

y

integra

pero:

Luego:

Kin = {(u,8); u y e satisfacen las condiciones de con torno (2.6.a,b)} Var{(Ü,ê);

-

u =

o

en

r

X [O,t_{0 )} 1 Luego, sobre íl: ê =

o

en

_r,

X

[o,

t_{0 )}}

.-si se multiplica 1 a ecuac1on

.

.

T.Ü+b.Ü)díl =

f

p

ü.Ü

díl íl o

r

div T.Ü J íl y ( 2. 7) por u .:. y se ( 2 . 9) (2.10)

(2.11)

Aplicando el teorema de la divergencia a la primera i.!!_ tegral del segundo miembro, y haciendo uso de la condiciõn de con torno (2.6.c), se tiene:

f

s.t dr-f~r.vt díl

r

3 "

(2.12)

y en vista de la simetria de T y de (2.1) se puede escribir fi-nalmente:

J

_n p ü.t díl+J T.E(6)díl

_°

_n =

J b.t díl+J

_{n r} s.6 dr

3

(2.13)

Obsêrvese que (2.12) constituye un funcional equiva -lente a (1.14).

Si a hora se multiplica la ecuaciõn (2. 8) por ê y se integra sobre íl: =

J

p rê dn-J div q ê díl íl o íl (2.14) pero: ê díl =

r

div(êq)díl-J q.Vê díl

Jn

· n

(2.15)

Aplicando de nuevo el teorema de la divergencia a la primera integral del segundo miembro de esta ecuaciõn y haciendo uso de la condiciõn de contorno (2.6.dJ, se tiene:

=

f

qê

r.

(

-dr-J q.ve dn

Q . (2.16)

De acuerdo a (iii.a) y (iii.b) se transforma en:

r

div qê

Jn

dQ =

J

_r4p q,ê (2.17)

Sustituyendo esta expresiõn en (2.14) y teniendo pre-sente (2.3), queda:

f

_Q p ceê dn-JQmT_o 0tr[E(Ú)]ê dn+fnkve.vê dn =

=

r

_{p rê dn-f q,ê dr-t h(6-T}

00)ê dr (2.18)

J n o r

4p 4c

Entonces, el problema de valor inicial y de contorno es equivalente al de determinar {u,e} E K. , tal que, para todo

. 1 n

t E [o,t_{0 )} y todo {u,ê} E Var, se verifiquen:

JQp₀ü.Ü dn+JQ{2µE(u).E(~)+Àtr E(u)trE(Ü)}dQ+ +Jnm(e-T₀)trE(Ó)dQ = Jnb.Ü dn+Jr s.ü dr 3 =

r

p rê . J Q o dn-f _r4p q1ê dr-f h(6-T00

)ê

dr r4c

con las condiciones iniciales: (u(O),u) = (u

0,u)

(2.19.a)

(2.19.b)

(Ü(O),u)

= (v

0

,u)

(8(0),ê) = (80,ê)

'

(2.19.d) (2.19.e)

OBSERVACION: Puede demostrarse [16], [17] que existe una única so luctõn {u,e} E Kin que satisface (2.19)

2.3. ESQUEMA NUMERICO

Se pueden obtener ioluciones aproximadas para el sis-tema (2. 19) definiendo los espacios de dimensiõn finita

h

y Var e Var.

Las ecuaciones (2.19.a) y (2.19.b) referidas a estos espacios toman la siguiente forma:

(2.20) Jílp 0céhêhdn-JílmT0tr[E(~h)]êhdn+Jílkveh.vêhdíl = =

J

p rêhdn-J q êhdr-J h(eh-T )êhdr nº r 1 r 00 4p 4c (2.21)

Entonces, el problema consiste en determinar (uh,eh)E · Kinh tal que, (2.20) y _{(2.21) se verifiquen para todo t e:[O,t 0})y

-h -h h

todo (u ,e )e: Var , con las condiciones iniciales:

h -h -h

(Úh(O),Üh) = (vº,üh) = (v 0,üh) (2.23) h -h -h (8(0),8 ) = (8 0 ,8 ) (2.24) Dado un entero h N+l, se definirãn en Kin, N > O, siendo At = t 0/(N+l} y n=2, ... , aproximaciones {Un,Sn} para

8(nAt)}, a trav~s del siguiente esquema num~rico:

(2.25.a)

= mT trE U -U êhdíl+ p rêhd~+

f

íl o

[

n+l {2At) n-1]

f

íl o.

(2.25.b)

-h -h h

vãl ido para n=l ,2, ... ,N y todo (u ,8 )e:: Var. donde:

= s

La utilizaciõn del algoritmo en el primer paso (n=l), requiere el conocimiento de {Uº,eº} y {U1 _,91_{} . Estos valores se}

obtendrãn a partir de la condiciones iniciales, la fÕrmula de Taylor y la ecuaciõn (2.19.b) calculada en t ~ At/2.

En efecto, {u0 ,s0} son las condiciones iniciales. y U1 se puede conocer por:

U' = uº+ Uº(At) + O(At) 2 _(2.26)

que debido a (2.23) se transforma en:

u1 = uº + vº(At) + O(AtJ2 _(2.26.a)

y de acuerdo a lo propuesto anteriormente, (2.19.b) toma la for ma:

At

2

(2.27)

OBSERVACION: En el algoritmo propuesto, puede notarse que las ecuaciones (2.25.a) y (2.25.b) son desacopladas en el siguiente sentido: la incõgnita un+l es calcu-lada en (2.25.a) y luego utilizada en (2.25.b) p~ ra el cãlculo de sn+l. Este desacoplamiento es im portante ya que reduce el tiempo computacional de cãlculo.

goritmo numerico (2.25) es incondicionalmente esta ble para todos s(0,1/2] y para cualquier n=l,2, .. N+ 1 .

Nõtese ademãs que el error con respecto al tiempo de la soluciõn aproximada es del orden de (nt)2

•

h h

Una vez estableéida la base para Kin y Var, las ecua ciones variacionales anteriores, se reducen a un sistema de

ecua-. 1 b-. 1· 1 l f ' . un+l "n+l

c1ones age ra1cas 1nea es para os coe 1c1entes y"' .

Las matrices del sistema resultan simetricas y positivas defini

CAPITULO III

FUNCIONES DE INTERPOLACION

3. 1. FUNCIONES DE APROXIMACION

La construcciõn de las funciones de aproximaciõn (fu~

h h

ciones bases para los espacios Kin y Var) sera efectuada

median-te el M~todo de los Elementos Finitos.

El M~todo de los Elementos Finitos propone la discre-tizaciõn de la regiõn

n,

de contorno r(Fig. 3.1), en un número fj_

nito de subregiones "e, e=l,2, ... ,M, llamadas elementos fini -tos, de modo que:

Jt.i

(

FIGURA 3 - ,1 íl . _{1 íl} íl . = q, 'f. ( 3 . 1 ) J 1 , j M íl =

u

e=l "e ( 3. 2)

( 3. 3) (e)

y donde se definen a nivel de cada elemento e, los N nudos aso ciados a tal elemento.

Las funciones de aproximaciõn son construidas a nivel de cada elemento (aproximaciõn local), independientemente de los otros elementos. La funciõn global de aproximaciõn·se obtiene me diante el ensamble adecuado de tolos los elementos.

En particular, se adoptarin, a nivel ~e cada elemen -h to, las siguientes representaciones para las funciones de Kin y

h Va r: (e) (e)

u

₌

u.

w. l -1 (3.4.a) (~) ( ~) u

₌

u. w. l -1 (3.4.b) (e) (e) 9

₌

9. w. l l {3.4.c) (~) (~)

e

=

e.

w. l l (3.4.d)

donde la sumatoria en i queda sobre entendida. El rango de varia ciõn de este indice depende del numero de incõgnitas asociadas a cada nudo.

funciones

Las funciones wi y w. son conocidas

. - l (e)

de interpolaciõn local, siendo U. y

l

con el nombre de (e)

Si los desplaza-mientos y temperatura asociados a dichas funciones de interpola-ciõn.

Asi, sustituyendo las expresiones (3.4) en las ecua -ciones (2.25.a) y (2.25.b), se obtiene:

. I [

p

J

n+ 1 ü.{ 0 w .. w.+2µsE(w.).E(w.)+AstrE(wJ.)trE(wi) díl U. -1 íl(l'lt)2-J-l -J -1 . - -e J 2 .

-f

Í Po w .. w.-2µ(1-2s)E(w.).E(w.)-A(l-2s)trE(w.)trE(w 1

.)J.

DL(l'lt)2 -J -1 -J -1 · -J -: díl

_u.+

n

f

l

Po J íl (l'lt} 2 w .. w. +2 µs E ( w . ) . E ( w. ) + As trE ( w . ) t rE ( w. )] . -J -1 -J -1 -J -1 n-1

f

n

J

J

.díl U. + m w.trE(w.)díl(S -T) - b.w 1.díl- s.w.dr} J

a

J . -1

º .

a -

r

-1 J 3 =

o

( 3. 5)

-

e.{{

J

~P o c

J

f

n+ 1 2At w.w.+skV(w.).V(w.). díl+ hsw.w.dr}S. + 1

a "

J1 J 1 r J1 J 4c

+{f

Í(l-:,2s)kV(w.).V(w.)]díl+f h(l2s)w.w.dr}e~ -íl - J. 1 r J .1 J 4c

J [;

oc

J

f.

n-1 -{ 2At w.w.-skV(w.) .V(w.) díl- hsw.w.dr}9. -D " J1 J 1 r J1 J 4c

f

n+l n-1

j

f

- mT E(w.)w.díl(U . -U ) - p rw.díl- hT w.w.dr+ a o -J 1 2t,t . D o 1 r "' J 1 J 4c

+f

q₁w.dr} = O

r

1 4p ( 3. 6)

donde el 1ndice (e) ha sido eliminado para simplificar la nota -ciõn.

.

En vista de que tanto u como ê son arbitrarias, las eucaciones anteriores pueden escribirse como:

y y donde: [MJ i j [H 1] .. l J =

J

p w .. w.dn n o-J -1 = fl2µE(w.).E(w.)+AtrE(w.)trE(w.fdn n -J -1 -J . -1 r

f

mw.trE(~ 1-)díl íl J . = ·J· b.w.dn+J s.w.dr _{-1 -1} n r ₃ [MzJ .. =

J

p cw.w.díl l J íl o J l = JnkV(w.).V(w.)díl+J hw. w.dr ,, J 1

r

J 1 4 i: = JnmTttE(w.)w.díl " o -J l

[F,)

i =

r

p rw.dn+J hT w.w.dr-J q w.dr i n º · 1 r 00 J1 r 11 4c . 4p ( 3. 7) ( 3. 8) ( 3. 9) (3.10) {3.11) (3.12) (3.13) (3.14) (3.15) (3.16)

.Y

un+l: vector de incõgnitas del elemento e-ésimo asociado ades plazamientos y correspondientes al instante t=(n+l)6t

8 n+l: idem a lo anterior pero con temperatura

Si se introduce ahora las ecuaciones (3.4) en (2.27)se llega a:

r

M, K2

J

₁ - + - El 6t 2 = [ : : -K 2

J

o

u

1

-uº

- El +H2 ( )+F21 2 6t 6t 2 (3.17)

El ensamble adecuado sobre todos los elementos de las ecuaciones (3.7) y (3.8) conducirã a un sistema del tipo:

que despues de

h

puestas en Kin

(3.18)

(3.19)

la introducciõn de las condiciones de contorno im

h

y Var, se transforma en el sistema de ecuaciones algebrâicas correspondientes a las ecuaciones variacionales(2.25.a) y (2.25.b). De igual forma, del ensamblaje de (3.17) resultarãn

los valores de 91•

3.2. ELEMENTO ISOPARAMETRICO CUADRATICO

Las funciones de interpolaciõn w. y w. dependen del ti

-1 1

-pode elemento empleado en la discretizaciõn de cada problema. Debido a que en la soluciõn de los problemas propuestos en el prf ximo capitulo se utilizõ el elemento isoparametrico cuadrâtico,se pasarã a la formulaciõn de dichas funciones de interpolaciõn.

Para ello considirese una regi6n bidimensional íl y

sea íle' el elemento isoparamitrico cuadritico con 8 nudos loca-les (Fig. 3.2). 4 X(e) ( U11 ,U12 ,86) 6 X(8) X~e) FIGURA 3 - 2

Si se considera íl referido a un sistema de ejes orto

e

N N

gonales, {X1 ,X2 } seran las coordenadas, referidas a tal sistema,

N del nudo local X(e)·

En este tipo de elemento las coordenadas de cualquier punto X,{X1 ,X2 } , estin definidas por la siguiente transformaci6n:

donde: X = 1 8

l

i = l 8

l

i = l i q,. (l';,n)X l 1 l <P, = 4(1+1';)(1-n)(l';-n-l) -l<i=;,n<l -1<1';,n<l

<P 2

=

i(l+s)(l+n)(s+n-1) <P 3

=

{( 1-s) ( l +n) (-t;+n-1) l <P 4

=

-(l-t;)(l-n)(-s-n-1) ₄ <P s

=

{(l+s)(l-n2) <P 6

=

{(l-t; 2_)(l+n) <P 7

=

{(l-s)(l-n 2 ) <P a

=

{(l-s 2_)(l-n)

De acuerdo a lo anterior y la numeraciõn indicada en la Fig. 3.2 para las incõgnitas, las funciones de interpolaciõn seran:

~1

=

{,p1 ,O}; ~2

=

·{o,,p1}; ~3

=

{<P2 ,O};

~.

= {o' <P2};

~s = {$3,0}; ~6 = {0,$3}; ~7 = {,P.,0}; ~8 = {0,<1>.};

~9 = {,PS ,O}; ~ 1 O= ·{o,,ps}; ~ 1 1.= . {cj> . 6 ,O}; w -12

=

·{o,<1>6}; ~ 1 3 = { cj> 7 ' o } ; ~1.= {0,cj,7}; W· _{- l 5} = {cj>B,O}; ~ l 6

=

{ O ' <P a } .

y

w1 = cj> 1 ; W· ₂

=

_{<P 2 ; W3} = _<P 3 ; w. = cj> 4; ws = <P s ; WG = cj> 6 ;

W7 = cj> 7 ; w

=

cj> B ,

B

OBSERVACION: Con estos elementos, el orden de las matrices defi-nidas en (3.9)-(3.16) es:

M 1 , K 1 16 X 16 M2, K2 8 X 8 F1 16 X l F2 8 X l H i l 6 X 8 H2 .8 X 16

CAPITULO IV RESULTADOS NUMERICOS

Se atribuye a Danilovskaya la primera soluciõn analí-tica del problema de valor inicial y de contorno en termoelasti-cidad dinimica desacoplada en el ano de.1950.

El problema estudiado consistiõ en un semi-espacio elii tico lineal, homogeneo e isotrõpico, expuesto subitamente a un cambio brusco de temperatura en el plano de contorno, que se asu me libre de tensiones. Mis tarde, en el ano de 1952, Danilovskaya extendiÕ sus resultados, haciendo que en el contorno, la transfe rencia de calor tuviera lugar por convecciõn.

Sternberg y Chakravorty [20], determinaron en 1959,e~ presiones analTticas para los desplazamientos en el primer caso y obtuvieron las soluciones para los desplazamientos y esfuerzos

en el caso de que el semi-espacio este sujeto a un cambio gra -dual ije temperatura en su plano de contorno. Posteriormente, en 1968, Nickell y Sackman [19], propusieron un algoritmo numérico para la obtenciõn de soluciones aproximadas en la teoria de termoelasticidad dinimica acoplada. El algoritmo propuesto pores -tos autores es diferente al del presente trabajo, siendo el sis-tema de ecuaciones resultante, acoplado en las variables un+l 8n+ 1.

y

Con el finde poner de manifiesto la validez del alg~ ritmo numerico propuesto en el CapTtulo II, se resolvieron los problemas antes mencionados. En todos los casos, la soluciõn nu-mérica es comparada con la soluciõn ''exacta", obtenida por inver

siõn numérica de la transformada de Laplace, extrai da de [19].

4.1. FORMULACION DEL PROBLEMA

Sea el semi-espacio lineal, homogeneo e isotrõpico (X1 > O) con el plano X1 = O libre de tensiones para todo ins

-tante de tiempo. Dicho plano se supone expuesto a dos tipos (no simultaneos) de comportamiento de temperatura:

1) Exposiciõn subi ta a una alta temperatura ambiental T₀₀ (convecciõn; segundo problema de Danilosvskaya); 2) Temperatura prescrita, que puede ser sübita y cons

-tante para todo ins-tante de tiempo (primer problema de Danilovskàya), o variable, cresciendo en una for-ma lineal hasta un cierto intervalo de tiempo finito a partir del cual permanece constante (problema de Sternberg-Chakravorty).

Se supone ademãs que sobre el cuerpo no actuan fuer-zas de masa, que no hay suministro de calor por radiaciõn y que el problema es unidimensional. Luego:

u ₂

=

u ₃

=

o

Las condiciones iniciales (2.5.a,b,c) son:

( 4 . 1 )

( 4. 2)

( 4. 3)

(4.4.a)

(4.4.c)

y las condiciones de contorno (2.6.a,b,c,d) son: ri

=

r ₃

=

r _4p

=

cj) cj) cj) (4.5.a) (4.5.b) (4.5.c) , y para la temperatura, dependiendo del problema a analizar seran:

a)

b)

Para el caso de convecc1on:

.-q2 = h(8-T₀₀) (4.5.d)

Para el caso de exposic1on

.-

subi ta del cuerpo a la tem peratura:

(4.5.e)

donde: 8

1 es una temperatura constante y w(t) es la funciõn

de Heaviside, definida por: w(t) = O

w(t) = l

para -oo < t < O

para D<t<oo

c) Para el caso de exposiciõn gradual de temperatura: 8(0,t) = f(t) con: f( t) =

o

f ( t) = (4.5.f) para -00 < t < O para

f( t) =

e

1 para

Graficamente, esta condiciõn de contorno corresponde:

. , .

-To - = _o lo

'

.

+=

FIGURA 4 - 1

Introduciendo las variables adimensionales

ª2 c\+2µ

i

_i; a X 1 = = fZ Po T,, a2t o = B T₀ T = -k.-e-T a(À+2µ)u 1 -& = o

~

u. = li _B T o

o

= B2T 0/p0c(À+2µ) donde: k. = K B = -m Po c

Con estas variables adimensionales, las condiciones iniciales (4.4.a,b,c) pasan a ser:

uo

=

o

VO

=

o

eº

=

o

y las condiciones de contorno (4.5.d,e,f) pasan a ser: a) Para el caso de convecciõn:

b) c) q = H ( -&-l ) 2 donde: H = lz h aK Para el caso de peratura: -fr(Ü,T)

=

w(T) con: w(T)

=

o

W{T)

₌

1 Para el caso de peratura: con: f(T) = Ü .- _{subi ta de l} exposic1on cuerpo para -oo _< T _<

o

para

_o

< T < 00 .

-

_{gradual del} exposic1on cuerpo para -00 < _T < O (4.6.a) (4.6.b) (4.6.c) (4.7.a) a la tem (4.7.b) a la tem (4.7.c)

- 0 0

para

para T < T < co

o

-Graficamente, esta condiciõn de contorno corresponde

a :

l

ê:o

+oo

FIGURA 4 - 2

donde:

Cada uno de los problemas descritos en (1) y (2) fue-ron calculados para tres valores diferentes de ó:

ó= 0,00 (correspondiente a la teoria desacoplada) ó= 0,36

ó = 1, 00

H = 0,50 H = 5,00

Tales problemas fueron estudiados para una regiÕn fi-nita (entre x,

=

O y x₁

=

4), la cual fue discretizada en 40 ele mentos isoparametricos cuadrãticos iguales. Se tomõ un valor de tiempo adimensional T igual a 2.00, siendo el intervalo de tiem-po AT = 0,01. A su vez, por ionveniencia se tomõ:

El valor de s E(O,l/2] considerado fué de 1/4.

De la figura (4.3) a la (4.5), se muestran las distri buciones de temperatura, desplazamientos y tensiones en el plano

f

= l .00, como una funciõn del tiempo, para el segundo problema

de Danilovskaya (convecciÕn)con H = 0,50. Las figs. (4.6), (4.7)

y (4.8) corresponden al mismo problema pero con H = 5.00. De

mo-do anãlogo, de la fig. (4.9) a la fig. (4.14) se muestran los re sultados del problema de Sternberg-Chakravorty para T = 0,25 y

o T

0 = ].00.

Las figs. (4.15) y (4.16) muestran como varia la tem-peratura entres secciones diferentes del semi-espacio; ~ = 0.5, l • O , l • 5 •

En todas las figuras mencionadas hasta aqui, la ''solu ciõn exacta" representa la soluciõn obtenida mediante la técnica

de la inversiõn numêrica de la transformada de Laplace

En los tres Últimos grãficos puede notarse la influ-encia del factor T

0 en el problema de Sternberg-Chakravorty con ô= O (teoria desacoplada) en la distribuciõn de temperatura,de2 plazamientos y tensiones. Nõtese ademãs la relaciõn inversa en-tre los esfuerzos y T

0 . Para el caso presentado, el esfuerzo mã

ximo para T

0 = 0,25 es el 67.64% del esfuerzo mãximo para 1c=O,OO,

siendo para T

0=1.00 apenas el 37.37%.

Por ultimo en el Apêndice A, se presentan los resul-tados numêricos para el segundo problema de Danilovskaya con

-2

'

0.20 o 1-' cl, "

..

i

!e 0.1

•

..

..

"

..

..

DANILOVSK"""', convec:cion,H=kh/ak=O.!I Temperatura en ~= ax/k=I.O Sol. oxocto

,_ _ _ • Sol. oprox. MEF. i=0.00 • Sol. aprox. MEF. í=0.36

A Sol. oprox. MEF. li= 1.00

O ~ L - - - - . l - - - . . . l . - - - . . l . . . - - - _ _ . . J

o . !I 1.0 1.!I 2.0

Fl&URA 4-3

DAIILOVS-A, CIIIMCCIDa, H= kll/ak=O,!I Temperatura en \ =ax/ll •1.0

_ 0 . 0 6 1 - - - ' - - - + - - - + - - - I

..

.! Sol. exacta

":?,. • Sol. aprox. MEF. i=o.oo

'

• Sol. oprox. MEF. l =0.36

:,

& Sot. aprox. MEF. S = 1.00

" 0.04

t---N

1

_..

"

"

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..

0.02

t---1--=

~ .J

..

•

..

"

_o

_{!:--oc::::!::::...~----+----L---...J}

O ·!I ~ 1~ 2.0 Fl&UIIA 4-4

nna1 u _ , H•llll/ã•0.5 ~ • t•u/l•I.O

'::' "tl.1 ... -'I::, '

1

•

-0.2 ...

+

-O 1.

't'.*

-Sal.--• IDI. ...,._ taF. S•O.O

... '•Q.95 • Sal..,._

m: ,.

1.0 P 1 - 4-5

,_ •: a,, ;

.-H-•1111/•=e.o T•+• JJ!wa a,

t

•Gll/ll•I.O

o.•----_;.,---;,---1---t

-Sol--o Sd. 11111111, 11111:1'. ~ •O.O

t! !l Sol . - . IIIEF. 6 •o.9

~ • Sal. . . . . IIEF:

b

~-º

: ~-41---T"""---~

_• à, "

•

.

1

.5 1.0 FII 7 - 4-•

:, ::[, N -.ovsourr•, co,,..ccion,H•~ll/oll=!i.O Tln .... OIIR •• ~ =ox~=LO + 0 . 1 1 + -,<

..

•

:, --Sol. exaclo

o Sot. aprox. MEF.

•

Sol. aprox. IIIEF.

•

Sol. aprox. MEf.

. !i 1.0

'( ºª'

•-,r-FleUIIA - 4 -7

Do\l&OYSIUIIII: convec:cion, H=kh/ak=!i.O

TlmjNiiah,o en

t

=ox~=I.O ~ oi-~---t---t---t ~ .... " 0 . 6 1 + -o . !i

•

1.0

?:-~

_{- K} •O.O =0.5 • 1.0 l.!i

•

--Sol. exac!a

• Sol. - · MEF. ! =O.O

• Sol. - · IIEF. l,•O.lll

• Sol. aprox. IIEF. /;= 1.0

l.!i

FI.UIIA - 4 - a

2.0

STERN8ERG - CHMC:Nl&VORTY -i;., 0.25 Temperatura en f =ax/k=I.O 0.6 o

..

'

-

..

o ' (1) n 0.4

..

_.

i'! _:o

li

..

1 _0.2 Sol. exocta

.. ..

_•

Sol. aprox . _MEF. )=O.O

li Sol. aproa. MEF. ~=0.36

•

Sol. aprOl . MEF. b= 1.0

o o .5 1.0 o

t' •

a• t K F16URA - 4 - 9 STE:RNIEIIG - CNAKRAVORTY 0 2 1 - - - + Temperatura en

f

=a1/k=I.O

"'

N 0 . 1 1 +

-,t

o " :o o - Sal. Hacta

•

Sol. apro1 . MEF. õ =O.O

..

SOi. Cl!lrDl • MEF. à•0.36

•

Sal. aproa • MEF. ~• 1.0

0.08

L....---...L.---"L-.---...L.---'

o .5 1.0 1.5 2.0

•

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1 d> • e !I

o.z

o -0.5 SffMIK . . .. CNAICftAVCNlrrY TN+IIGIUiG H ~ =01/k•I.O Sol. e1DCl<I

o Sol. aprox. IIIEF.$ = O.O

• Sol. aprea. MEF. r•0.3CI

• Sol. - · IIIEF. ~ = 1.0 t'•s0.15 -1.0'.:---+----...,..,,....---~---~ _{O .5 1.0 t Z.} 0.1 ..,.., - ,ia t v - K STEIIIIIIEtG - CHAKIIAVORTY TH4•aluro ..,

f

=u/k•tO S o l .

-• Sol. aproa. MEF. J-o.o

11 Sol. a,ro,,. IIIEF. l,-0.51

• 9111. . . . IIIEF. b • 1.0 ~,.ou i, ... !ê 02 1 1 1 -"'

i

..

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ºL--..::~--"'---'---.,_ ____ ___.

O .5 1.0 1.5 1.0

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2

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i

0.06 e N

i

STEfltllERG - CHAKRAVORTY Temperatun, ••

f

= ax/k=I.O t..

'Ἴ

--Sol. exacta

e Sol. aproa . MEF.' =O.O

"

Sol. aprox. MEF. lt.=0.36

& Sol. aproa. ltlEF. s. • 1. o

OL... _ _ _ c:2:::i_ _ _ _ _ --1L_ _ _ _ _ ...1... _ _ _ _ ...J O .5 1.0 -,, a• t 1., =---ir-FNIURA - 4 - 13

r..

,.oo 1.5 STERNIIER8 - CHAKRAVOltTY T1111p1rat1ra ••

f

= ax/k=I.O O t - - - n : : : : : - - - + - - - f - - - f - - - A i! ~ 0 . 2 1 + - I-' 7

•

o N :'-0.4 il

•

..

- - Sol. 1xacta

D Sol. apn,x. MEF. ~ =o.o

a Sol. aprax. MEF. <l •0.36 & Sol. aproa. MEF. à• 1.0

2.0 -0.6,...._ _ _ _ _ _ ._ _ _ _ _ _ ._ _ _ _ _ _ ._ _ _ _ _ __, o .5 1.0 -,., _ a• t u - --ir-F18URA - 4 - 14 UI 2.0

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1-ô, O.!I STIIIIIIIPll~CNMIII MIi 1'.-02!1 • 0.!11---~

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-• Sol . . - . MEF. 11 ao.o - - - Sal - · MEF . • ri .O 1.0

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• SOi. aprax. MEF. '(o =0.00

-&-Sal. apnll. MEF. a =0.25 ...,._ Sol. aprox. MEF. ,:'o= 1.00

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l

=ax/k=l.00 6=0.00 Sol. Q. Estotica

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• Sol. aproa. MEF. 't'o=0.00 -+-Sol. aprox. MEF. '(o=0.25 ... Sol.•-- MEF. 't'o= 1.00

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,5 1.0 1.5 2.0

-,: -..r.L

- k

CAPITULO V CONCLUSIONES

De los resultados obtenidos y mostrados en las figu -ras del Capitulo IV, se puede afirmar que el algoritmo propuesto conjuntamente con el Método de los Elementos Finitos, es eficie~ te y conduce a resultados comparables a los presentados en [19], con la ventaja de que en el algoritmo del presente trabajo, las variables un+l y sn+l estãn desacopladas, reduciendo por lo tan-to el tiempo computacional de cãlculo.

Si bién los ejemplos numéricos correspondieron a pro-blemas unidimensionales, el programa elaborado permite analizar problemas bidimensionales, pudiendo facilmente ser extendido pa-ra analizar problemas axisimétricos y tridimensionales.

Por otra parte, el empleo de una formulaciõn variacio nal, conjuntamente con el Método de los Elementos Finitos, perml te abordar problemas donde las condiciones y forma de contornos pueden ser mãs complejas que las tratadas en los ejemplos.

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[27] BIOT, M.A., "Thermo-elasticity and irreversible thermo-dy na mi c s " , J . A p p 1. P hy s . 2 7 ( l 9 5 6 ) 2 4 O .

NOMENCLATURA

m masa

p densidad de masa en la configuraciõn deformada p

0 densidad de masa en la configuraciõn de referencia t tiempo

b fuerza de masa por unidad de volumen s fuerza por unidad de superfície

T tensor de tensiones en la configuraciõn deformada energia interna especifica

q vector flujo de calor

r suministro de calor por unidad de masa en la unidad de tiempo

n entropia especifica

e

temperatura absoluta K energia cinética U energia interna

W potencia del sistema de fuerzas Q energia calorifica

L gradiente de velocidad

~ producciõn total de entropia

~ energia libre

o disipasiõn interna

F c D< 1[ E C! À, \1 k k íl

r

h w. _-1 'w. _l

o

w n gradiente de deformaciõn calor especifico tensor de conductividad tensor identidad

tensor infinitesimal de deformaciõn coeficiente de dilataciõn têrmica coeficientes de Lamê isotêrmicos conductividad têrmica

difusividad têrmica

regiõn de dominio del problema contorno de íl

coeficiente de convecciõn

temperatura del medio que rodea íl

temperatura de referencia funciones de interpolaciõn conjunto vacio parâmetro de acoplamiento temperatura inicial velocidad inicial funciõn de Heaviside entropia especifica