Observatório Nacional Ministério da Ciência e Tecnologia

(1)

O N - M C T

Observatório Nacional

Ministério da Ciência e Tecnologia

Área de atuação do Observatório Nacional

- Astrônomia - Geofísica

- Metrologia de tempo e frequência

-Programa de pós-graduação: Astronomia Geofísica

Cosme F. Ponte Neto cosme@on.br

Pesquisador Associado I

(2)

Geofísica

-Geofísica básica:

Estudo do planeta Terra como um corpo físico em escala global: estudo da estrutura interna da Terra, geodinâmica, geotectônica, reconstrução paleogeográficas,

paleoclima global, geodésia fisica (estudo da forma da Terra), Geomagnetismo, Sismologia, Geotermia.

-Geofísica aplicada

Estudo da Terra como corpo físico em escala regional e local: exploração de recursos naturais, exploração mineral, estudo de problemas ambientais, apoio à engenharia. A geofísica aplicada está restrita ao estudo da crosta terrestre em escala regional e local.

(3)

Geofísica

Área da Física Geofísica Básica Geofísica Aplicada

Mecânica Geodésia física, Gravimetria, sismica sismologia

Eletromagnetismo Geomagnetismo Magnetometria

Métodos eletromagnéticos

Termodinâmica Geotermia, vulcanologia

Física Nuclear Geração de calor Levantamentos aero-gama

(4)

Problema inverso em geofísica

- O problema inverso está presente em todas as áreas da geofísica

A inversão é um dos método matemático aplicado na análise dos dados experimentais com o objetivo de determinar um modelo físico que “explique” os dados. Este método matemático tem natureza numérica, ou seja, deve ser implementado na forma de um algoritmo computacional.

Algoritmos computacionais usados no problema inverso:

-Abordagem analítica: métodos gradientes, método de Newton, gradiente conjugado, etc

-Abordagem heurística: Algoritmo genético, simulated annealing, colônia de formigas, etc

(5)

Algoritmo genético “A evolução das espécies” Charles Darwin, 1859

(6)

Estrutura do Algoritmo Genético

- Inicialmente é gerada uma população inicial de soluções. Esta população inicial é gerada aleatoriamente, dentro de valores máximos e mínimos pré-determinados para cada parâmetro (Caixa).

min min max

)

(

_i _i _i i

rand

x

=

−

+

Caixa:

xi = valor inicial do parâmetro x_imax = valor máximo do parâmetro xi x_imim = valor mínimo do parâmetro xi rand = número aleatório entre 0 e 1

(7)

c r o m o s s o m o x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 0 1 1 0 . . . x n 1 1 0 1 0 g e n e a le l o 1 s o l u ç ã o t o t a l ( t o d o s o s p a r â m e t r o s ) 1 p a r â m e t r o e l e m e n t o d e u m p a r â m e t r o R E P R E S E N T A ç ã B áO I N R I A C r u z a m e n t o x 1 = [ 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 ] x 2 = [ 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 ] x 1 '= [ 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 ] x 2 '= [ 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 ] M u t a ç ã o x 1 = [ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 ]1 x 1 '= [ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 ]0

(8)

-Representação real. Nesta representação os genes, ou parâmetros, são representados diretamente por números reais

- Cruzamento aritmético ou “crossover aritmético

1 ).

1 (

.

2 '

2

2 ).

1 (

.

1 '

1 x

rand

x

e

x

rand

x

−

+

=

−

+

=

- Mutação. Será atribuida uma probabilidade, que deve ser pequena, para a mutação dos genes (parâmetros) de cada solução. Esta mutação deverá ocorrer sempre que uma nova população for gerada.

min min max

)

(

_i _i _i imut

rand

x

=

−

+

Estrutura do Algoritmo Genético

- Elitismo.

Após a seleção das melhores soluções, em cada geração, a melhor solução desta seleção será repetida, de modo que a próxima população tenha ¼ dos indivíduos iguais a este indivíduo. O elitismo acelera muito a convergência do Algoritmo Genético.

(9)

Definir função objeto População inicial

Cruzamento Mutação

Avaliação da função objeto

Teste de convergência Fim Seleção

Elitismo

Geração de nova população ﾯﾯﾯﾯ s ﾯﾯﾯ

(10)

Determinação do arcabouço de fontes

magnéticas simples através do

algoritmo genético

Coordenação de Geofísica ON/MCT

Autores: Cosme F. Ponte Neto

Valéria C.F. Barbosa

Israel N. Almeida Junior

Observatório Nacional

Ministério da Ciência e Tecnologia

(11)



_{Problema direto ou Modelo direto}

Parâmetro  Modelo direto  Dados sintéticos



_{Problema inverso}



_Testes

Dados sintéticos  Inversão  Parâmetros (incógnitas)

Apresentando resultados satisfatórios

Inversão com os dados reais

Dados experimentais  Inversão  Parâmetro

(12)

Abordagem Clássica do Problema Inverso em Magnetometria

 Vantagens

- O Problema é linear

_Desvantagens

- Muitos parâmetros

- Ambigüidade no volume/magnetização do corpo - Não estima inclinação e declinação

O meio é discretizado e, a partir dos dados observados (curva em azul), será estimada

a propriedade física de cada elemento do meio

discretizado, produzindo assim os dados ajustados

(curva em vermelho)

B

(13)



Nossa proposta

:

 Vantagens

- Poucos parâmetros

- Sem ambiguidade no volume

- Estima o esqueleto ou a estrutura do corpo

_Desvantagens

- Não linear

Estima inclinação, declinação, momento de dipolo magnético e a

posição do esqueleto do corpo curva azul: dados observados curva vermelha: dados ajustados

0 z z '2 z '1 z 'n x '1 x '2 x 'n x B

(14)

x y z a n o m a l i a m a g n é t i c a zk yk xk yi xi zi bi d i p o l o s f o n t e r e a l

_{Dados: Medidas de campo total, representadas pelo vetor:}

0 0

1 N

[b ,..., b ]

T 0

b

A partir de b0_{, serão considerados M dipolos magnéticos com a}

mesma direção de magnetização e com o mesmo momento de dipolo. Na inversão serão determinadas as posições destes dipolos e o

módulo e a direção do momento de dipolo magnético.

(15)

 Campo Magnético Total: 1/ 2 2 2 2 1 1 1 M M M k j j j j j j b bx Fx by Fy bz Fz    �_� _{� �} _{� �} _��  _�  _{� �}  _{� �}  _� �_� _{� �} _{� �} _��

�















 









 



2 0 5 2 0 5 2 0 5 1 2 2 2 2 . . 3. .( - ') - . . . 3. .( - ') - . . . 3. .( - ') - . - ' - ' - ' - ' . - ' . - ' . .

. Campo Magnético Regional . k j j k j j k j j k j k j k j k j k j k j mo x x r l bx r mo y y r m by r mo z z r n bz r e r x x y y z z x x l y y m z z n Fx F L Fy F M Fz F N                  M  _� ﾯ  X Y Z r A X j ' Y j ' Z j ' Z k X k Y k E N o rt e L e s t e

(16)

 Definindo os Parâmetros:

• X_k ,Y_k , Z_k : coordenadas do observador

• X’_j , Y’_j, Z’_j: coordenadas dos dipolos (corpo magnetizado) PARÂMETRO • Decl: declinação da magnetização dos dipolos PARÂMETRO

• Incl: inclinação da magnetização dos dipolos PARÂMETRO

• mo: momento de dipolo magnético dos dipolos PARÂMETRO

• μ:constante

_{Função Objeto}

φ  função objeto (função a ser minimizada) b0

k Dados observados

b_k(q)  Valor calculado pelo modelo matemático

δ(p)  Fator de eqüidistância entre os dipolos magnéticos 0 1 1, , 1 1 | ( ) | . ( ) em que ( ) | | k k M j j j j k b b q p p d d



 



 _ _      

￥

 Vetor dos parâmetros:

� �

p

q =

,

u

' ' ' 1 1 1

[ , , ,...,

x y z

x

_M

',

y

_M

',

z

_M

']

T



p

0

[ , ,

i d m

]

T



u

(17)

- A Função Objeto (Φ) é composta pelo somatório dos módulos dos

resíduos, mais um fator geométrico que mede a eqüidistância entre

os dipolos ( δ(p)). Este fator é multiplicado por

λ

que funciona

como um “peso”. Variando

λ

podemos atribuir maior ou menor

importância à eqüidistância dos dipolos na busca da solução.

- O fator “

δ(p))

” é tanto maior quanto menos eqüidistantes estão os

dipolos, e vale zero quando os dipolos estão perfeitamente

equidistantes. Este fator penaliza a Função Objeto, impondo uma

continuidade espacial na solução, quando a Função Objeto é

minimizada.

(18)



_{Algoritmo Genético}

- O Algoritmo Genético é eficiente na solução de problemas lineares e não lineares de grande complexidade.

- Nesta aplicação, o objetivo é determinar o arcabouço de estruturas geológicas simples. Isso será feito determinando a posição (x,y,z), e as características da magnetização (declinação, inclinação e “momento de dipolo magnético”) de 10 dipolos magnéticos que devem delinear a estrutura principal do corpo a ser estudado de modo a ajustar, o melhor possível, os dados observados, além de respeitar uma condição de eqüidistância entre os dipolos. - Este é um problema não linear com 33 parâmetros onde apenas o “momento de dipolo magnético” tem relação linear com o funcional geofísico.

- 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 1 0 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 1 0

(19)



_{Fluxograma do Algoritmo Genético}

Definir função objeto População inicial

Cruzamento Mutação

Avaliação da função objeto

Teste de convergência Fim Seleção

Elitismo

Geração de nova população s ﾯﾯﾯﾯ s ﾯﾯﾯ

(20)

 Exemplo 1  Prisma Vertical (Kimberlito) - 8 0 0 0 - 6 0 0 0 - 4 0 0 0 - 2 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 8 0 0 0 - 6 0 0 0 - 4 0 0 0 - 2 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 d a d o o b s e r v a d o d a d o m o d e l a d o d = 4 4 . 2 ° i = 1 9 . 9 ° ^ ^ d = 4 5 . 0 ° i = 2 0 . 0 °

(21)

- 8 0 0 0 - 6 0 0 0 - 4 0 0 0 - 2 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 8 0 0 0 - 6 0 0 0 - 4 0 0 0 - 2 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0

 Exemplo 2  Dique Vertical

d a d o o b s e r v a d o d a d o m o d e l a d o d = 4 6 . 8 ° i = 1 9 . 1 ° ^ ^ d = 4 5 . 0 ° i = 2 0 . 0 °

(22)

- 8 0 0 0 - 6 0 0 0 - 4 0 0 0 - 2 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 8 0 0 0 - 6 0 0 0 - 4 0 0 0 - 2 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0

 Exemplo 3  Prisma Cúbico

d a d o o b s e r v a d o d a d o m o d e l a d o d = 4 4 . 7 ° i = 2 0 . 1 ° ^ ^ d = 4 5 . 0 ° i = 2 0 . 0 ° x ( k m ) y ( k m ) z( km )

(23)

 Exemplo 4  Tubo inclinado d a d o o b s e r v a d o d a d o m o d e l a d o - 8 0 0 0 - 6 0 0 0 - 4 0 0 0 - 2 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 8 0 0 0 - 6 0 0 0 - 4 0 0 0 - 2 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 z( km ) y ( k m ) x ( k m ) d = 4 5 . 1 ° i = 1 9 . 4 ° ^ ^ x ( k m ) y ( k m ) d = 4 5 . 0 ° i = 2 0 . 0 °

(24)

 Dados reais – Anomalia Magnética da Serra do Cabral

A Serra do Cabral localiza-se no estado de Minas Gerais entre as coordenadas geográficas: Longitude = 42°- 45°W e Latitude = 15° - 19°S . Os dados usados neste trabalho foram digitalizados de mapas produzidos por Ussami em 1981, provenientes do levantamento aeromagnéticos efetuados pela Companhia Alemã Prakla através de um convênio aerogeofísico Brasil-Alemanha no ano de 1971. - 8 0 0 0 0 - 6 0 0 0 0 - 4 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 6 0 0 0 0 8 0 0 0 0 - 6 0 0 0 0 - 4 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 6 0 0 0 0 8 0 0 0 0 - 6 0 0 0 0 - 4 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 6 0 0 0 0 8 0 0 0 0 B r a s i l Á r e a e s t u d a d a

(25)

_{Exemplo: Dados reais – Serra do Cabral} - 8 0 0 0 0 - 6 0 0 0 0 - 4 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 6 0 0 0 0 8 0 0 0 0 - 6 0 0 0 0 - 4 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 6 0 0 0 0 8 0 0 0 0 - 8 0 0 0 0 - 6 0 0 0 0 - 4 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 6 0 0 0 0 8 0 0 0 0 - 6 0 0 0 0 - 4 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 6 0 0 0 0 8 0 0 0 0 - 7 0 0 - 6 5 0 - 6 0 0 - 5 5 0 - 5 0 0 - 4 5 0 - 4 0 0 - 3 5 0 - 3 0 0 - 2 5 0 - 2 0 0 - 1 5 0 - 1 0 0 - 5 0 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 n T

( a )

_{( b )}

Anomalia Magnética da Serra do Cabral. (a) Dados observados (b) Dados ajustados

z( km ) x( km )

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Os resultados obtidos pelo Algoritmo Genético, com 2000 gerações, são os seguintes: -Dipolos Estimados - Profundidade 25 Km - Inclinação 59° - Declinação - 48°

 Levantamento aeromagnético realizado na área da Serra do Cabral no sudoeste do Brasil,MG no Cráton do São Francisco. - Altitude 1.200m