GEOMETRIA ANALÍTICA PROF. ENZO MARCON TAKARA

1

GEOMETRIA ANALÍTICA

PROF. ENZO MARCON TAKARA

EDIÇÃO 2017

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1- PLANO CARTESIANO ORTOGONAL

Considere num plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das abscissas, e y (Oy), eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortogonal, onde o plano α é o plano cartesiano e o ponto O é a origem do sistema.

IMPORTANTE

Localizações notáveis do plano cartesiano ortogonal

1) Origem (0,0)

2) Um ponto do eixo x ( a,0)

3) Um ponto do eixo y ( 0,a)

4) Um ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares ( a , a) ou ( -a , -a)

5) Um ponto da bissetriz dos quadrantes pares ( -a , a ) ou ( a , -a)

EXERCÍCIO BÁSICO

1) Determine m para que o ponto P(2m - 8, m) pertence ao eixo dos y .

2) Determine r para que o ponto P(r - 12 , 4r - 6)

pertença à primeira dos quadrantes ímpares

3) Determine k para que o ponto P(k, -2) pertença a equação x + 2y - 10 = 0

04-(Unifesp) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, - x - y) e também por (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições,

x

y é igual a

a) -8. b) -6. c) 1. d) 8. e) 9.

GABARITO

3

2-DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distância entre A e B por meio do Teorema de Pitágoras.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

01-(CESGRANRIO)

A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale:

a) 14. b) 13. c) 12. d) 9. e) 8.

02-Calcular a distância entre o ponto P (-6,8) à origem.

03-(UFRG) Sendo os pontos A (- 1, 5) e B(2, 1) vértices consecutivos de um quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado é a) 2.b)

2

2

. c)

3

2

. d) 5. e)

5

2

04-(UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado

ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD,

em unidades de área, é

a) 4

b) 4

2

c) 8

d)8

2

e) 16

05-(PUC) O ponto B = (3, b) é equidistante dos

pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo o ponto B é:

a) (3, 1)

b) (3, 6)

c) (3, 3).

d) (3, 2)

e) (3, 0)

GABARITO

4

3- PONTO MÉDIO

Sejam os pontos A, B, e um ponto M, que divide AB ao meio, podemos dizer que as coordenadas XM e YM do ponto médio M são obtidos por meio da média aritmética das abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais M é ponto médio.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1) Dados os vértices consecutivos , A(-2,1) e B(4,4),

de um paralelogramo, e o ponto E (3,-1), intersecção

de suas diagonais, determinar os outros dois

vértices.

2-(IBMEC) Considere o triângulo ABC, onde

A (2, 3), B (10, 9) e C (10, 3) representam as

coordenadas dos seus vértices no plano cartesiano.

Se M é o ponto médio do lado AB, então, a medida

de MC vale:

a) 2

3

b) 3 c) 5

d) 3

2

e) 6

3-

(PUCMG) Os catetos

AC

e AB de um triângulo retângulo estão sobre os eixos de um sistema cartesiano. Se M = (-1, 3) for o ponto médio da hipotenusa

BC

, é correto afirmar que a soma das coordenadas dos vértices desse triângulo é igual a: a) - 4 b) - 1 c) 1 d) 4

4-(PUCCAMP)Sabe-se que os pontos A = (0; 0), B = (1; 4) e C = (3; 6) são vértices consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas condições, o comprimento da

BD

é

a)

2

b) 3 c) 2

2

d) 5 e) 5

GABARITO

5

4-BARICENTRO

Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3

medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto

ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo).

Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(x

g

, y

g

) do triângulo ABC onde

A(x

a

, y

a

) , B(x

b

, y

b

) e C(x

c

, y

c

) é dado por :

Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C.

Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC

onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1- (Fei) Dado um triângulo de vértices (1,1); (3,1);

(-1,3) o baricentro (ponto de encontro das medianas) é:

a) (1, 3/2) b) (3/2, 1) c) (3/2, 3/2) d) (1, 5/3) e) (0, 3/2)

2-Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?

GABARITO

6

5-ÁREA DE TRIÂNGULO / ALINHAMENTO DE 3 PONTOS

5.1 - Área de um triângulo

Seja o triângulo ABC de vértices A(x

a

, y

a

) , B(x

b

, x

c

) e C(x

c

, y

c

) . A área S desse triângulo é dada por

S =

D

2

1

onde



D



é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vértices A , B e C .

Temos portanto:

A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área)

Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prática regra de Sarrus.

5.2 - Condição de alinhamento de três pontos

Três pontos estão alinhados se são colineares , isto é , se pertencem a uma mesma reta .

É óbvio que se os pontos A , B e C estão alinhados , então o triângulo ABC não existe , e podemos pois considerar que sua área é nula ( S = 0 ) .

Fazendo S = 0 na fórmula de área do item 1.1 , concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 .

Exercício resolvido:

Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :

a) 4

b) 3

c) 3,5 d) 4,5 e) 2

Solução:

7

Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos:

- 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0



y = 9/2 = 4,5.

Portanto a alternativa correta é a letra D.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-Para que valores de a os pontos A (0,a) , B (a, -4) e C (1 , 2) são vértices de um triângulo ?

2-Dados A(3,1) e B (5,5), obter o ponto em que a reta AB intercepta o eixo das ordenadas.

3-Dados A ( 2,-3) e B ( 8,1), obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares.

4-Dados A (7,4) e B( -4,2) , obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes pares.

05-(UERJ) A área do triângulo, cujos vértices são

(1, 2), (3, 4) e (4, -1), é igual a: a) 6. b) 8 c) 9. d) 10. e) 12

06-(PUC) O valor de x para que os pontos (1,3),

(-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é: a) 8. b) 9 c) 11 d) 10 e) 5

GABARITO

1) a≠-1 e a ≠ 4 2) (0,-5) 3) ( -13,-13) 4) (-30/13 , 30/13) 5)A 6)D

8

6- INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE

UMA RETA

6.1- COEFICENTE ANGULAR DA RETA CONHECENDO O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO

Sabemos que em uma reta existem infinitos pontos, com apenas dois desses pontos podemos representar essa mesma reta no plano cartesiano, pois dois pontos distintos sempre serão colineares (pertencerão ou formarão uma reta).

Com o estudo da geometria analítica aprendemos que não é necessário ter dois pontos distintos para formar uma reta, podemos construir uma reta no plano cartesiano conhecendo apenas um de seus infinitos pontos e sabendo o valor do ângulo formado com a reta e o eixo Ox.

Essa outra forma de representarmos uma reta será feita levando em consideração a inclinação da reta e o seu coeficiente angular. Considere uma reta s que intercepta o eixo Ox no ponto M.

A reta s está formando com o eixo Ox um ângulo β. A medida desse ângulo é feita em sentido anti-horário a partir de um ponto pertencente ao eixo Ox. Assim, podemos dizer que a reta s tem inclinação β e o seu coeficiente angular (m) igual a: m = tg β.

A inclinação da reta irá variar entre 0° ≤ β <180°. Veja os exemplos de algumas possibilidades de variação da inclinação da reta e seus respectivos coeficientes angulares:

Exemplo 1:

Nesse exemplo o valor da inclinação é menor que 90º.

Inclinação igual a 45° e coeficiente angular igual a: m = tg 45° = 1. Exemplo 2:

Nesse exemplo o valor da inclinação da reta é maior que 90° e menor que 180°.

Inclinação igual a 125° e coeficiente angular da reta igual a: m = tg 125° = -2. Exemplo 3:

9

Quando a reta for paralela ao eixo Oy, ou seja, tiver uma inclinação igual a 90° o seu coeficiente angular não irá existir, pois não é possível calcular a tg 90°.

Exemplo 4:

Nesse exemplo a reta s é paralela ao eixo Ox, ou seja, seu ângulo de inclinação é igual a 0°, portanto, o seu coeficiente angular será igual a: m = tg 0º = 0.

6.2-COEFICIENTE ANGULAR CONHECENDO AS COORDENADAS DE DOIS PONTOS

O coeficiente angular de uma reta ( m) é a tangente do ângulo de inclinação m = tgα

Porém em muitos casos não vamos conhecer o ângulo de inclinação, mas sim as coorcenadas de dois pontos, A

(

x

a

;

y

a

)

e B

(

x

b

;

y

b

)

Prolongando-se a reta que passa por A e é paralela ao eixo x, formaremos um triângulo retângulo no ponto C.

A B A B B A B A

x

x

y

y

x

x

y

y

tg

m

















adjacente

cateto

oposto

cateto



10

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1) Determine o coeficiente angular e a inclinação

da reta que passa pelos pontos A ( 3,6) e B (4,5).

2- (Ufrs 2007) Considere os coeficientes angulares das retas r, s e t que contêm os lados do triângulo representado a seguir.

A sequência das retas r, s e t que corresponde à ordenação crescente dos coeficientes angulares é a) r, s, t. b) r, t, s. c) s, r, t.

d) s, t, r. e) t, s, r.

3- (Ufscar 2004) Considere a relação gráfica:

Podemos afirmar que

a) o coeficiente linear de I é negativo. b) o coeficiente linear de II é positivo.

c) ambos os gráficos possuem coeficiente linear zero.

d) o coeficiente angular do gráfico II é maior que o do gráfico I.

e) o coeficiente angular do gráfico I é maior que o do gráfico II.

4. (Ufjf-pism 3 2016) Considere os pontos

A



(2, 0),

B

 

( 1, 3)

e

C

  

( 1,

3)

em um plano cartesiano.

a) Determine o ângulo ABC.

b) Calcule a área do triângulo ABC.

5. (Espm 2015) O gráfico abaixo é formado por 3 segmentos de retas consecutivos.

Sabe-se que:

I. A reta que contém o segmento

AB

tem co-eficiente linear igual a

4

II. O coeficiente angular do segmento BC vale metade do coeficiente angular do segmento

AB

III. A ordenada do ponto

D

é 2

3 da ordenada do ponto C

IV. O coeficiente angular do segmento CD é igual a



1

Podemos concluir que a abscissa do ponto

D

vale: a)

17

b) 19 c) 15 d) 18 e) 16

GABARITO

1) m=-1 e α=135  2)C 3)D 4) a) ABC60 . b)

3

3

5)A

11

7- EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA

CONCEITO: É A CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA

QUE UM PONTO P(x;y) PERTENÇA A UMA RETA DE INCLINAÇÃO α E QUE PASSA PELO PONTO A

)

;

(

x

₀

y

₀

A equação fundamenta da reta é:

)

(

0 0 0 0

x

x

m

y

y

x

x

y

y

m















EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(Unitau) A equação da reta que passa pelos pontos (3, 3) e (6, 6) é:

a) y = x. b) y = 3x. c) y = 6x. d) 2y = x. e) 6y = x.

2- (Ufpe) A equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semieixo positivo ox um ângulo de 60° é: a)

2

x - y =

2

- 1 b)

3

x + y = 1 -

3

c)

3

x - y =

3

- 1 d)

3

2

x + y = 1

-3

2

e)

3

2

x - y =

3

3

- 1

3-(Fei ) A equação da reta que intercepta o eixo Ox no ponto x = 3 e o eixo Oy no ponto y = -1 é: a) x - 3y - 1 = 0 b) x - 3y - 3 = 0 c) x - 3y + 3 = 0 d) 3x - y - 1 = 0 e) 3x + y + 1 = 0

4-(Puccamp ) Na figura a seguir têm-se as retas r e s, concorrentes no ponto (1;3).

Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas, então a equação da reta

a) r é

3

x + 3y - 6 = 0 b) s é x + y + 4 = 0 c) r é -

3

x + 3y + 6 = 0 d) s é x + y - 4 = 0 e) r é -

3

x + 3y + 9 = 0

12

5-(Unirio )

A equação geral da reta anterior representada é: a) 3x -

3

y + 6 = 0 b) 3x +

3

y + 6 = 0 c)

3

x - y - 2 = 0 d) y =

3

x + 2

3

e) y =

3

3

(x+2)

6-(Puc) A reta x + y = 1 no plano xy passa pelos pontos

a) (5, -4) e (1/2, 1/2). b) (0, 0) e (1/2, 1/2). c) (0, 0) e (1, 1). d) (1, 0) e (1, 1). e) (5, -4) e (4, -5).

7-(Ufrs ) Considere a figura a seguir.

Uma equação cartesiana da reta r é a) y =

3

3

- x b) y =

3

3

(1-x) c) y = 1 -

3

x d) y =

3

(1-x) e) y =

3

(x-1)

8-(Fatec) No plano cartesiano, considere o triângulo determinado pelo ponto A e pelos pontos de

abscissas -3 e 7, representado a seguir.

A área desse triângulo é a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) 20

13

9-(Ufmg ) Sejam A e B dois pontos da reta de

equação y = 2x + 2, que distam duas unidades da origem. Nesse caso, a soma das abscissas de A e B é

a) 5/8. b) -8/5 c) -5/8. d) 8/5.

10- (Puc ) Para que a reta

(k - 3)x - (4 - k2)y + k2 - 7k + 6 = 0 passe pela origem dos eixos coordenados, o valor da constante k deve ser:

a) ± 2 b) ± 3 c) 1 e 6 d) -1 e -6 e) 2 e 3

11-(Ufpr ) Considere, no plano cartesiano, o triângulo de vértices A = (0, 0), B = (3, 1) e

C = (1, 2) e avalie as afirmativas a seguir. I. O triângulo ABC é isósceles.

II. O ponto D = (2, 1/2) pertence ao segmento AB. III. A equação da reta que passa pelos pontos B e C é 2x + y = 5.

Assinale a alternativa correta.

a) Somente a afirmativa I é verdadeira.

b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.

12-(UFPR) Na figura abaixo estão representados, em um sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado cinza de área 4 unidades, um quadrado hachurado de área 9 unidades e a reta r que passa por um vértice de cada quadrado. Nessas condições, a equação da reta r é:

a)

x



2y

 

4

b)

4x



9y



0

c)

2x



3y

 

1

d)

x

 

y

3

e)

2x

 

y

3

GABARITO

1)A 2)C 3)B 4)D 5)A 6)A 7)B 8)E 9)B 10)C 11)A

12)A

14

8- TIPOS DE EQUAÇÃO DA RETA

8.1-Equação geral da reta

Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:

Em que:

• a, b, e c são números reais;

• a e b não são simultaneamente nulos.

Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:

Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.

8.2-Equação reduzida da reta

Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular

m = tg(α):

15

Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:

Onde:

8.3-Equação segmentária da reta

Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).

Vamos escrever a equação da reta r:

Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

Não é possível usar a equação segmentária da reta quando a reta for paralela a um dos eixos ou passa pela

origem.

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8.4-Equação paramétrica da reta

As equações paramétricas são formas de representar as retas através de um parâmetro, ou seja, uma variável irá fazer a ligação de duas equações que pertencem a uma mesma reta.

As equações x = t + 9 e y = 2t – 1 são as formas paramétricas de representar a reta s determinadas pelo parâmetro t. Para representar essa reta na forma geral através dessas equações paramétricas, é preciso seguir os seguintes passos:

Escolher uma das duas equações e isolar o t. E substituir na outra.

x = t + 9



x – 9 = t

y = 2t – 1



y = 2 (x – 9) – 1



y = 2x – 18 – 1



y = 2x – 19



2x – y – 19 = 0 é a equação geral da reta s.

8.5-Reta horizontal

É toda reta do tipo y=k.

8.6-Reta vertical.

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EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(UNESP) Seja B  (0, 0) o ponto da reta de equação y = 2x cuja distância ao ponto A = (1, 1) é igual a distância de A à origem. Então a abscissa de B é igual a:

a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5

2-(UEL) São dados os pontos A = (-2, 1),

B = (0, -3) e C = (2, 5). A equação da reta suporte da mediana do triângulo ABC, traçada pelo vértice A, é:

a) y = 1 b) x = 1 c) x = y d) x - y = 1 e) x + y = 1

3-(PUC) Considere a parábola de equação

y = -x²+ 2x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida pelo vértice da parábola e tem uma inclinação de 135°, então a equação de r é

a) x + y -6 = 0 b) x - y + 2 = 0 c) x + y - 2 = 0 d) x - y - 4 = 0 e) x + y - 4 = 0

4- (Cesgranrio ) A equação da reta mostrada na figura a seguir é:

a) 3x + 4y - 12 = 0 b) 3x - 4y + 12 = 0 c) 4x + 3y + 12 = 0 d) 4x - 3y - 12 = 0 e) 4x - 3y + 12 = 0

18

5-(Ufmg ) Observe a figura a seguir.

Nessa figura, está representada a reta r de equação y = ax + 6. Se A = (-a-4, -a-4) pertence à reta r, o valor de a é

a) - 5 b) - 2 c)

6

5

d) 2 e) 5

6- (Ufrs) Um ponto P (x,y) descreve uma trajetória no plano cartesiano, tendo sua posição a cada instante t (t ≥ 0) dada pelas equações. x 2t

y 3t 2    _{ }  .

A distância percorrida pelo ponto P (x,y) para 0 ≤ t ≤ 3 é

a) 2 b) 3 c) 13 d) 3 13 e) 61

7-(Ufmg ) Um triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6). O vértice C está sobre a reta y = x - 4. Assim sendo, a inclinação da reta que passa pelos vértices B e C é a) 7/17 b) 10/23 c) 9/20 d) 12/25

08- (Fgv) O ponto da reta de equação y = (1/2)x + 3, situado no 1. quadrante e

equidistante dos eixos x e y, tem coordenadas cuja soma é: a) menor que 11. b) maior que 25. c) um múltiplo de 6. d) um número primo. e) um divisor de 20.

GABARITO

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9- POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS NO PLANO

Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma dessas formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano, sem ser preciso construir o gráfico.

9.1-Retas paralelas

Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares forem iguais ou não existirem.

As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir.

As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir.

As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais.

PORTANTO

m

_u



m

_t

e

q

_u



q

_t

As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes angulares serão iguais.

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9.2-Retas concorrentes

Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser

diferentes ou um existir e o outro não.

As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90°. Assim, seus coeficientes angulares serão diferentes.

As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90°, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir, mas o coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

01-(Ufmg ) Observe a figura.

Nessa figura, os pontos B, C e D são colineares, B = (2,3) e a área do triângulo OCD é o dobro da área do paralelogramo OABC. Então, C é o ponto de coordenadas a)

2,

3

5













b)

12

2,

5













c) (2, 1) d) (3, 2) e) (2, 2)

02-(Unaerp) A equação, no plano, x - 3 = 0, representa:

a) Um ponto do eixo das abcissas b) Uma reta perpendicular ao eixo das

ordenadas

c) Uma reta perpendicular à reta x + y = 0 d) Uma reta concorrente à reta x + y = 0 e) Uma reta paralela à reta y - 3 = 0

03-(Cesgranrio ) As retas x + ay - 3 = 0 e 2x - y + 5 = 0 são paralelas, se a vale: a) - 2 b) - 0,5 c) 0,5 d) 2 e) 8

21

04- (Cesgranrio) Se as retas y + (x/2) + 4 = 0 e

my + 2x + 12 = 0 são paralelas, então o coeficiente m vale:

a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.

05-(Ufmg ) A reta r é paralela à reta de equação 3x-y-10=0. Um dos pontos de interseção de r com a parábola de equação y=x2-4 tem abscissa 1. A equação de r é

a) x + 3y + 8 = 0 b) 3x - y + 6 = 0 c) 3x - y - 6 = 0 d) x - 3y - 10 = 0

06 (Ufmg ) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e NÃO intercepta a reta de equação

y = (x/2) - 5. Considerando-se os seguintes pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é a) (7, 6) b) (7, 13/2) c) (7, 7) d) (7, 15/2)

07-(Fatec) Seja a reta r, de equação y=(x/2) +17. Das equações a seguir, a que representa uma reta paralela a r é

a) 2y = (x/2) + 10 b) 2y = - 2x + 5 c) 2y = x + 12 d) y = - 2x + 5 e) y = x + 34

08- (cftmg ) As retas x + ky = 3 e 2x - y = - 5 são paralelas; logo o valor de k é

a) - 2 b) -1/2 c) 1/2 d) 2

09- (Ufrrj ) Sabendo que as retas mx + (m - 2)y = m e (m + 3)x + (m + 5)y = m + 1 são paralelas, o valor de m será:

a) 1/2. b) - 1/2. c) 3/2. d) - 3/2. e) 5/2.

10- (Unemat 2010) Dada a equação de reta (s): 2x - y +1 = 0 , a equação de reta paralela a s pelo ponto P(1,1) será:

a) 2x - y = 0 b) 2x + y +1 = 0 c) 2x + y -1 = 0 d) 2x - y -1 = 0 e) 2x - y + 2 = 0

GABARITO

22

10-INTERSECÇÃO ENTRE RETAS / CURVAS

Relembrado a definição de retas concorrentes:Duas retas são concorrentes se, somente se, possuírem um único ponto em comum, ou seja, a intersecção das duas retas é o ponto em comum.

Considerando a reta t e u e as suas respectivas equações gerais das retas, atx + bty + ct = 0 e aux + buy + cu = 0. Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que são concorrentes, pois possui o ponto A em comum.

O sistema formado com as equações gerais das retas terá como solução o par ordenado (x0, y0) que representa o ponto de intersecção.

Exemplo: As equações gerais das duas retas r e s são respectivamente, x + 4y – 7 = 0 e 3x + y + 1 = 0. Determine o ponto P(x0, y0) comum às retas r e s.

Sabemos que o ponto de intersecção de duas retas concorrentes é a solução do sistema formado por elas. Assim, veja a resolução do sistema abaixo:

x + 4y – 7 = 0 3x + y + 1 = 0 x + 4y = 7 (-3) 3x + y = -1 -3x – 12y = -21 3x + y = -1 -11y = -22 y = 2

Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações iremos obter o valor de x:

x + 4y = 7



x + 4 . 2 = 7



x + 8 = 7



x = 7 – 8



x = -1 Portanto, o ponto P(x0, y0) = (-1,2).

23

EXERCÍCIOS BÁSICOS

01-(Ufmg ) Sejam t e s as retas de equações

2x - y - 3 = 0 e 3x - 2y + 1 = 0, respectivamente. A reta r contém o ponto A = (5,1) e o ponto de interseção de t e s. A equação de r é:

a) 5x - y - 24 = 0 b) 5x + y - 26 = 0 c) x + 5y - 10 = 0 d) x - 5y = 0

02- (Puc) O ponto de intersecção entre a reta que passa por (4,4) e (2,5) e a reta que passa por (2,7) e (4,3) é: a) (3, 5). b) (4, 4). c) (3, 4).

d) (7/2, 4). e) (10/3, 13/3).

03- (Fei) As retas representadas pelas equações y = 2x + 1, y = x + 3 e y = b - x passam por um mesmo ponto. O valor de b é:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

04-(Unifesp ) Se P é o ponto de intersecção das retas de equações x - y - 2 = 0 e (1/2) x + y = 3, a área do triângulo de vértices A(0, 3), B(2, 0) e P é

a) 1/3. b) 5/3. c) 8/3. d) 10/3. e) 20/3.

5- (Ufpr ) Sabe-se que a reta r passa pelos pontos A = (-2, 0) e P = (0, 1) e que a reta s é paralela ao eixo das ordenadas e passa pelo ponto Q = (4, 2). Se B é o ponto em que a reta s intercepta o eixo das abscissas e C é o ponto de interseção das retas r e s, então o perímetro do triângulo ABC é:

a) 3 (3 + 5) b) 3 (5 + 3) c) 5 (3 + 5) d) 3 (3 3 ) e) 5 ( 5 + 3)

6- (Unifesp ) Dadas as retas r: 5x - 12y = 42, s:

5x + 16y = 56 e t: 5x + 20y = m, o valor de m para que as três retas sejam concorrentes num mesmo ponto é a) 14. b) 28. c) 36. d) 48. e) 58.

8-(UFMG) A reta de equação y = 3x + a tem um único ponto em comum com a parábola de equação y = x² + x + 2. O valor de a é

a) - 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2

GABARITO 1)A 2)E 3)D 4)D 5)A 6)E 7)D

24

11-CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO

Considere duas retas perpendiculares r e s .

Pelo teorema dos ângulos externos temos :

2



=90+



₁

 

_





_









1 0 1 0 2

90

cos

90







sen

tg

1 0 1 0 0 1 1 0

.

90

cos

.

90

cos

90

cos

.

cos

.

90









sen

sen

sen

sen





=

1 1

cos





sen



=

1

1



tg



PORTANTO

1 2

1





tg

tg





Portanto

r s

m

m





1

, ou seja,

m

r

.

m

s





1

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(FATEC) Se A=(-1,3) e B=(1,1), então a mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz dos quadrantes pares no ponto:

a) (-1,1) b) (-3/4, 3/4) c) (-6.6) d) (-1/2, 1/2) e) (-1/4, 1/4)

2-(Ufmg ) A reta r é perpendicular à reta de equação 2x + y - 1 = 0 no ponto de abscissa -1.

A equação da reta r é

a) x - 2y + 7 = 0 b) 2x + y - 7 = 0 c) -x + 2y + 7 = 0 d) 2x + y + 7 = 0 e) x + 2y - 1 = 0

25

3-(FEI) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e (0, 1), a

reta s é perpendicular a r e passa pela origem, então s contém o ponto:

a) (5, 15) b) (5, 10) c) (5, 5) d) (5, 1) e) (5, 0)

4-(Ufmg ) O lado BC de um ângulo reto ABC está sobre a reta de equação x - 2y + 1 = 0, e o ponto de coordenadas (2,4) pertence à reta que contém o lado BA. A equação da reta que contém o lado BA é:

a) 4x + 2y - 5 = 0 b) x - 2y + 6 = 0 c) x + 2y - 10 = 0 d) 2x + y - 8 = 0

5- (Ufrn ) Sobre as retas y = -x + 3 e y = x + 3, podemos afirmar que elas

a) se interceptam no ponto de coordenadas (-1,2).

b) se interceptam formando um ângulo de 60°. c) são perpendiculares aos eixos OX e OY,

respectivamente.

d) estão a uma mesma distância do ponto de coordenadas (3, 3).

6-(Ufal) As retas de equações y + 3x - 1 = 0 e y + 3x + 9 = 0 são

a) coincidentes. b) paralelas entre si. c) perpendiculares entre si. d) concorrentes no ponto (1, -9). e) concorrentes no ponto (3, 0).

7-(Fgv) No plano cartesiano, o ponto da reta (r) 3x-4y=5 mais próximo da origem tem coordenadas cuja soma vale: a) -2/5 b) -1/5 c) 0 d) 1/5 e) 2/5

8 -(Fgv ) Considere os pontos A = (1, - 2);

B = (- 2, 4) e C = (3, 3). A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem equação:

a) 2y - x - 3 = 0 b) y - 2x + 3 = 0 c) 2y + x + 3 = 0 d) y + 2x + 9 = 0 e) 2y + x - 9 = 0

26

9. (Fgv ) As retas de equações y = - x - 1 e

y = [(-a + 1)/(a - 2)] x + 12 são perpendiculares. O valor de a é:

a) 2 b) 1/2 c) 1 d) -2 e) 3/2

10. ( cftmg ) A equação da reta s perpendicular à reta r: y = 2x + 1, traçada pelo ponto P (4, -1) é

a) y = - (1/2)x - 1 b) y = (1/2)x - 1 c) y = - (1/2)x + 1 d) y = (1/2) x + 1

11-(Pucmg ) Duas retas perpendiculares se cortam no ponto (2, 5) e são definidas pelas equações y = ax + 1 e y = bx + c. Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor do coeficiente linear c é igual a: a) - 4 b) - 2 c) 4 d) 6

12- (Ufscar ) Considere P um ponto pertencente à reta (r) de equação 3x + 5y - 10 = 0 e equidistante dos eixos coordenados. A equação da reta que passa por P e é perpendicular a (r) é

a) 10x - 6y - 5 = 0. b) 6x - 10y + 5 = 0. c) 15x - 9y - 16 = 0. d) 5x + 3y - 10 = 0. e) 15x - 3y - 4 = 0.

13-(FEI) O ponto A', simétrico do ponto A = (1, 1) em relação à reta r: 2x + 2y - 1 = 0 é: a) (1, 1) b) (1/2, -3/2) c) (-1/2, -1/2) d) (-1/2, -3/2) e) (1/2, 3/2)

GABARITO

1)A 2)A 3)A 4)D 5)D 6)B 7)B 8)A 9)E 10)C 11)D 12)A 13)C

27

12-DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

Dado um ponto P=(xo,yo) e uma reta na sua forma geral ax+by+c=0, pode-se obter a distância d deste

ponto P à reta através da expressão matemática:

DISTÂNCIA É SEMPRE PERPENDICULAR

A distância da origem (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é:

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(Fgv ) No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo que a distância do ponto P(m,1) à reta de equação 3x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é:

a) - 16/3 b) - 17/3 c) - 18/3 d) - 19/3 e) - 20/3

2- ( ANGLO) Determine o comprimento da altura relativa ao vértice A do triângulo ABC cujos vértices são A(-1,4) , B (2,3) e C( 3,5)

GABARITO 1)A 2)

2

28

13-RESOLUÇÃO GEOMÉTRICA DE INEQUAÇÕES

Uma inequação do 1

o

grau com duas variáveis admite infinitas soluções que podem ser representadas

num sistema de eixos coordenados por uma região limitada por uma reta, conforme mostra a figura.

29

Exemplo 1

Resolver graficamente

a) x + y - 2 > 0

e x - y < 0

30

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(Ufal) Seja R a região sombreada na figura a seguir.

Essa região é o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano, com y ≥ 0 e tais que

a) y ≤

x

2

3

+ 3 e y ≤ -3x + 3 b) y ≤

x

3

2

+ 3 e y ≤ -3x + 1 c) y ≤

x

2

3

+ 3 e y ≥ -3x + 3 d) y ≤ 3x + 3 e y ≤-

x

2

3

+ 3 e) y ≥ 2x + 3 e y ≥ -3x -1

2-(Fgv) A região do plano cartesiano determinada pelas inequações x + y ≤ 5 , y ≤ 3 , x ≥ 0 e y ≥ 0 tem uma área A. O valor de A é:

a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 12

3- (Pucrj ) A área delimitada pelos eixos x = 0, y = 0 e pelas retas x + y = 1 e 2x + y = 4 é:

a) 3 b) 2 c) 3,5 d) 2,5 e) 1,5

4- (Fgv) A área da região triangular limitada pelo sistema de

inequações

3x

5y

15

0

2x

5y

10

0

x

0











_

_

_



 



a) 2,5 b) 7,5 c) 5 d) 12,5 e) 3

5- (Puc-rio ) A área do triângulo determinado pelas retas y = x, y = - x e y = 3 é:

a) 8. b) 9. c) 5. d) 4. e) 1.

6-(Ufrs ) A área do triângulo que tem lados sobre as retas de equações y = - 2 x + 9, x = 1 e y = 1 é

a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.

GABARITO 1)A 2)B 3)D 4)A 5)B 6)D

31

14- EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA

A equação reduzida da circunferência é dada por (x-a)² + (y-b)² = r²,

Onde o centro da circunferência é o ponto C(a,b) e o raio é r.

A definição de uma equação de uma circunferência “ é a condição necessária para que um ponto de coordenadas P (x,y) pertença a uma circunferência de centro C(a,b) e raio r “.

Ou seja

d

CP



r

Usando a fórmula da distância entre dois pontos temos:



 

2



2 p c p c CP

x

x

y

y

d









=r



 

2



2

b

y

a

x







=r

Elevando-se os dois lados ao quadrado temos: (x-a)² + (y-b)² = r²,

Exemplo: Determine a equação reduzida da circunferência de centro C(-4,1) e R = 1/3. Basta substituirmos esses dados na equação R2 = (x – a)2 _{+ (y – b)}2

. (x – (-4))2 _{+ (y – 1)}2

= (1/3)2 (x + 4)2 + (y – 1)2

= 1/9

Exemplo: Obtenha o centro e o raio da circunferência cuja equação é (x – 1/2)2

+ (y + 5/2)2 = 9. É preciso que seja feito à comparação das equações:

(x – 1/2)2 + (y + 5/2) 2= 9 (x – a)2 + (y – b)2 = R2 - a = -1/2



a = 1/2 - b = 5/2



b = -5/2 R2 = 9



R = 3

Portanto as coordenadas do centro da circunferência de equação (x – 1/2)2 + (y + 5/2) = 9 é igual a C(1/2, -5/2) e raio igual a R = 3

32

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1- (Ufc ) O segmento que une os pontos de interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados determina um diâmetro de uma circunferência. A equação dessa

circunferência é:

a) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5 b) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 20 c) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25 d) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5 e) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 20

2-(Fatec ) A área do quadrilátero determinado pelos pontos de intersecção da circunferência de equação

(x + 3)2 + (y - 3)2 = 10 com os eixos coordenados, em unidades de área, é igual a

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

3- (Puc ) A distância entre o centro da circunferência de equação (x - 2)2 + (y + 5)2 = 9 e a reta de equação y + 5 x = 0 é

a) - 5 b) 0 c) 2 d) 5 e) 9

4-(Uft ) Considere no plano cartesiano xy, a circunferência de equação (x - 2)2 + (y + 1)2 = 4 e o ponto P dado pela interseção das retas 2x - 3y + 5 = 0 e x - 2y + 4 = 0. Então a distância do ponto P ao centro da circunferência é:

a) o dobro do raio da circunferência b) igual ao raio da circunferência. c) a metade do raio da circunferência. d) o triplo do raio da circunferência.

5-(Ufpel ) O gráfico a seguir representa a função:

f(x) = x2 - 5x + 6.

Com base nessas informações é CORRETO afirmar que a equação da circunferência que passa em B e tem centro em A é:

a) (x - 6)2 + y = 45 b) x2 + (y - 6)2 = 9 c) x2 + (y - 6)2 = 45 d) (x - 6)2 + y2 = 9 e) x2 + (y - 3)2 = 9

6- (Ufrgs ) Os pontos de interseção do círculo de equação (x - 4)2 + (y - 3)2 = 25 com os eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é a) 22. b) 24. C ) 25. d) 26. e) 28

GABARITO

33

15-EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA

A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos

semelhantes.

(x – a)² + (y – b)² = r²

x² – 2xa + a² + y² – 2yb + b² – r² = 0

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o

raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes:

comparação e redução.

Comparação

Dada a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 =

0, temos: –2a = –2



a = 1

–2b = 8



2b = –8



b = –4

a² + b² – r² = 8



1² + (–4)² – r² = 8



1 + 16 – r² = 8



17 – r² = 8



– r² = 8 – 17



– r² = – 9



r = 3

Portanto, a circunferência de equação igual a x

2

_{+ y}

2

_{– 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,– 4) e raio}

igual a r = 3.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1-(Udesc ) Para que a equação x2 + y2 - 4x + 8y + k = 0 represente uma circunferência, devemos ter:

a) K < 20 b) K > 13 c) K < 12 d) K > 12 e) K < 10

2- (Fatec) Sejam O a origem do sistema de eixos

cartesianos e A o centro da circunferência de equação x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é: a) y = 2x + 1 b) y = 2x -1 c) y = x/2 d) y = 2x e) y = x 3-(Cesgranrio) As circunferências x2 + y2 + 8x + 6y = 0 e x2 + y2 - 16x - 12y = 0 são: a) exteriores. b) secantes. c) tangentes internamente. d) tangentes externamente. e) concêntricas.

4. (Ufrs ) A equação x2 + y2 + 4x - 6y + m = 0 representa um círculo se e semente se

a) m > 0 b) m < 0 c) m > 13 d) m > -13 e) m < 13

34

5-(Cesgranrio ) A equação da circunferência de raio 5, cujo centro é o ponto comum às retas

x - y + 1 = 2 e x + y - 1 = 2 é:

a) x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 b) x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0 c) x2 + y2 - 4x + 2y + 20 = 0 d) x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0 e) x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0

6-(Unirio ) A equação x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0 é de uma circunferência cuja soma do raio e das coordenadas do centro é igual a:

a) -2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 15

7-(Unifesp ) A equação x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0, em coordenadas cartesianas, representa uma circunferência de raio 1 e centro

a) (- 6, 4). b) (6, 4). c) (3, 2). d) (-3, -2). e) (6, -4).

8-(Ufv ) Considere a equação x2 + y2 - 6x + 4y + p = 0. O maior valor inteiro p para que a equação anterior represente uma circunferência é:

a) 13 b) 12 c) 14 d) 8 e) 10

9- (Pucpr ) A distância do ponto P(1; 8) ao centro da circunferência x2 + y2 - 8x - 8y + 24 = 0 é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6

10-(Ufrs ) As extremidades de uma das diagonais de um quadrado inscrito em um círculo são os pontos (1, 3) e (-1, 1). Então, a equação do círculo é

a) x2 + y2 + 4y - 2 = 0. b) x2 + y2 - 4y + 2 = 0. c) x2 + y2 - 2y + 2 = 0. d) x2 + y2 + 2 = 0. e) x2 + y2 - 4y = 0.

35

11 (Fatec) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais,

considere a circunferência λ e a reta r, de equações x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 7y - 21 = 0. A reta s, que é paralela a r e contém o centro de λ, tem equação

a) 3x + 7y - 2 = 0 b) 3x - 7y - 2 = 0 c) 3x - 7y + 5 = 0 d) 3x + 7y - 16 = 0 e) 7x + 3y - 2 = 0

12- ( cftmg ) O lado do quadrado circunscrito à circunferência de equação x2 + y2 - 4x - 5 = 0 mede a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

13- (Ufrs ) Na figura a seguir, o octógono regular está inscrito no círculo de equação

x2 + y2 - 4 = 0.

A área do octógono é

a) 5

2

. b) 8

2

. c) 10. d) 10

2

. e) 20.

14- (Ufjf ) Considere uma circunferência c1 de equação x2 + y2 + 8x - 2y - 83 = 0. Seja agora uma circunferência c2 de centro em O(13, - 2) que passa pelo ponto P(9, 0). A área da figura plana formada pelos pontos internos à

circunferência c1 e externos à circunferência c2, em unidades de área, é:

a) 20π. b) 80π. c) 100π. d) 120π. e) 200π.

15-(GV) Dada a equação x² + y² = 14x + 6y + 6, se p é o maior valor possível de x, e q é o maior valor possível de y, então, 3p + 4q é igual a

a) 73 b) 76 c) 85 d) 89 e) 92.

16- (Ufsm ) A massa utilizada para fazer pastéis folheados, depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da circunferência que limita o círculo é x2 + y2 - 4x - 6y - 36 = 0 e adotando π = 3,14, o diâmetro de cada disco e a área da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, respectivamente,

a) 7 e 113,04 b) 7 e 153,86 c) 12 e 113,04 d) 14 e 113,04 e) 14 e 153,86

36

17-(Fgv ) Dada a circunferência de equação

x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de P e:

a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1

18-(Fgv 2011) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é: a) x2y2



2 10 x

 

 2 10 y 10



 0

b) x2y2

   

2 8 x 2 8 y 8 0 c) x2y2



2 10 x

 

 2 10 y 10



 0 d) x2y2

   

2 8 x 2 8 y 8 0 e) x2y24x4y 4 0

19-(Ueg 2012) Considere num plano cartesiano duas retas r e s. perpendiculares. A reta r tem equação e a reta s intercepta o eixo x no ponto B (10,0). Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos A (0,0), B (10,0) e C, que é o ponto de interseção das retas r e s.

20) (Ufjf 2012) No plano cartesiano, considere os pontos

A( 1,2) e B(3,4).



a) Encontre a equação da reta r que passa por A e forma com o eixo das abscissas um ângulo de 135º, medido do eixo para a reta no sentido anti-horário.

b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à reta r. Encontre as coordenadas do ponto P , determinado pela intersecção das retas r e s .

c) Determine a equação da circunferência que possui centro no ponto Q(2,1) e tangencia as retas r e s.

GABARITO

1) A 2) D 3)D 4)E 5)A 6)B 7)D 8)B 9)D 10)B 11)A 12)D 13)B 14)C 15)D 16)E 17)A 18)B 19) (x-5)² +y²=25 20)a) y=-x+1 b) y=x+1 c) (x-2)² +(y-1)² =2

37

16-POSIÇÕES RELATIVAS: RETA E CIRCUNFERÊNCIA

CASO 1 – RETA EXTERNA À CIRCUNFERÊNCIA

DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MAIOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA

A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ <0

CASO 2 – RETA TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA

DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É IGUAL AO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA

A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0

CASO 3 – RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA

DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MENOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA

A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0

Uma forma de encontrar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência é verificando a sua intersecção, ou seja, analisando se a reta e a circunferência terão dois pontos em comum, apenas um ponto em comum ou nenhum ponto em comum.

38

O valor dessa intersecção é a solução do sistema formado com a equação geral da reta e com a equação reduzida da

circunferência. Considerando a equação geral da reta ax+by+c = 0 e a equação reduzida da circunferência

(x - a)2 + (y - b)2 = R2. Resolvendo o sistema é possível encontrar uma equação do segundo grau, analisando o seu descriminante Δ é possível determinar a posição da reta em relação à circunferência:

Δ > 0 reta secante à circunferência Δ = 0 reta tangente à circunferência Δ < 0 reta externa à circunferência.

Se o discriminante Δ for maior ou igual à zero, para descobrir as coordenadas dos pontos é preciso terminar a resolução da equação do segundo grau.

Exemplo: Verifique se a circunferência (x+1)2 + y2 = 25 e a reta x + y – 6 = 0 possui algum ponto de intersecção. Resolução:

x + y – 6 = 0 → equação 1 (x+1)2 + y2 = 25 → equação 2

Escolhemos uma das duas equações e isolamos uma das incógnitas. x + y – 6 = 0

x = 6 – y

Substituímos o valor de x na equação 2. (6 – y +1)2 + y2 = 25 (-y + 7)2 + y2 = 25 (-y)2 – 14y + 49 + y2 = 25 y2 – 14y + 49 – 25 + y2 = 0 2y2 – 14y + 24 = 0 (: 2) y2 – 7y + 12 = 0 Δ = b2 _{– 4ac} Δ = (-7)2 _{– 4 . 1 . 12} Δ = 49 – 48 Δ = 1

Como o descriminante Δ é maior que zero sabemos que essa reta é secante à circunferência, agora para descobrir o valor das coordenadas dos dois pontos pertencentes à circunferência é preciso terminar de resolver a equação.

Para y’= 4

x = 6 – y



x = 6 – 4



x = 2 Para y’’ = 3

x = 6 – y



x = 6 – 3



x = 3

39

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1- (Fei ) O comprimento da corda que a reta

x + y = 3 determina na circunferência de centro em (2,1) e raio 5

2 é:

a)

2

b) 2

2

c) 3

2

d) 4

2

e) 5

2

2-(Fei ) Qual deve ser o raio da circunferência com centro no ponto O = (0,0) para que a reta x - 2y - 10 = 0 seja tangente a essa circunferência?

a) 4

2

b) 2 5 c) 20 d) 5

2

e) 4 5

3-(Ufrs ) O centro O = (x, y) de uma circunferência que passa pelos pontos (-1, 1) e (1, 5), tem as coordenadas na relação

a) 2y + x = 6 b) 5y + 2x = 15 c) 5y + 3x = 15 d) 8y + 3x = 25 e) 9y + 4x = 36

4- (Ufes ) Sabe-se que b > 0 e que a reta 5y + b(x - 5) = 0 é tangente à circunferência x2 + y2 = 9. O valor de b é

a) 15/4 b) 16/3 c) 6 d) 20/3 e) 7

5-(Ufsm ) Dada a circunferência β: x2 + y2 - 4x - 12 = 0, então a circunferência α, que é concêntrica à circunferência β e tangente à reta r: x + y = 0, é

a) x2 + (y + 2)2 = 4 b) y2 - 4x + y2 = 0 c) x2 + y2 + 4y + 2 = 0 d) x2 + y2 - 4x + 2 = 0 e) (x + 2)2 + y2 = 2

6-(Ufsm ) A equação da circunferência de centro C(2,1) e tangente à reta 3x - 4y + 8 = 0 é

a) (x2 + 2)2 + (y - 1)2 = 8 b) (x2 - 2)2 + (y - 1)2 = 2 c) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 2 d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4 e) (x - 2)2- (x - 1)2 = 4

40

7- (Fgv ) A reta de equação y = x - 1 determina, na

circunferência de equação x2 + y2 = 13, uma corda de comprimento:

a) 4

2

b) 5

2

c) 6

2

d) 7

2

e) 8

2

8-(Ufsm ) As retas r e s tangenciam a circunferência de equação x2 + y2 - 4x + 3 = 0, respectivamente, nos pontos P e Q e passam pelo ponto O (0, 0). A medida do ângulo PÔQ vale

a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°

9- (Ufpi ) Se uma circunferência no segundo quadrante, tangente a ambos os eixos, toca o eixo y no ponto (0, 3), então o centro dessa circunferência é o ponto:

a) (-3, 0) b) (-3, 3) c) (3, 3) d) (-4, 3) e) (2, 3)

10-(Ufrrj ) Se a área de uma figura é representada pela solução do sistema 2 2

x

y

9

x

y

3

0

 





  



, pode-se afirmar que esta área corresponde a a)

9

4

π

b)





9

2

4

π



. c)





3

3

2

π



. d)





3

3

4

π



. e)





3

3

π



.

11- (Ufrs ) Considere a região plana limitada pelos gráficos das inequações y ≤ - x - 1 e x2 + y2 ≤ 1, no sistema de coordenadas cartesianas. A área dessa região é a) π/4 - 1/2 b) π/4 - 1/3 c) π/2 - 1 d) π/2 + 1 e) 3π/2 - 1

12-(Fgv ) No plano cartesiano, a reta de equação x = k tangencia a circunferência de equação

(x - 2)2 + (y - 3)2 = 1. Os valores de k são: a) -2 ou 0 b) -1 ou 1 c) 0 ou 2 d) 1 ou 3 e) 2 ou 4

41

13- (Ufes) Em um sistema de coordenadas cartesianas com

origem O, considere a circunferência C dada pela equação x2 + y2 - 4x - 8y + 15 = 0, cujo centro indicamos por P. A reta OP intersecta C em dois pontos A e B, onde A é o mais próximo da origem. A equação da reta que tangencia a circunferência C no ponto A é

a) x - 2y + 3 = 0 b) x + 2y - 5 = 0 c) 2x + y - 4 = 0 d) 2x + y - 5 = 0 e) 2x - y - 4 = 0

14- (Ufjf ) Sobre o conjunto de pontos de interseção da circunferência x2 + (y - 2)2 = 2 com a reta mx - y + 2 = 0, onde m é real, podemos afirmar que:

a) contém um único ponto. b) é o conjunto vazio. c) contém dois pontos. d) contém três pontos. e) depende de m.

15- (Pucmg ) Considere a circunferência C de equação (x + 1)2 + (y - 1)2 = 9 e a reta r de equação x + y = 0. É

CORRETO afirmar: a) r é tangente a C. b) r não corta C.

c) r corta C no ponto (1, 1). d) r passa pelo centro de C.

16- (Pucrs) O raio da circunferência centrada na origem que tangencia a reta de equação y = x -1 é

a) 1 b)

1

2

c)

2

d)

2

2 e)

2

-1

42

17-(Fatec ) Considere que R é a região do plano cartesiano

cujos pontos satisfazem as sentenças (x - 2)2+ (y - 2)2 ≤ 4 e x ≤ y. A área de R, em unidades de superfície, é a) π b) 2π c) π2 d) 4π e) 4π2

18-(Pucrs ) A área da região do plano limitada pela curva de equação (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4 com x ≥ 1 e y ≤ 2 é a) 4π b) 2π c) π d) π/2 e) π/4

19- ( cftmg ) Analisando a equação da reta r: x - 2y = 0 e da circunferência λ: x2 + y2 - 10y + 5 = 0, podemos afirmar que a) a reta é tangente à circunferência.

b) a reta é secante à circunferência. c) a reta é exterior à circunferência.

d) a reta está em plano distinto da circunferência.

20- (Uece ) A soma das coordenadas do centro da

circunferência que tem raio medindo 1 u.c., que está situada no primeiro quadrante e que tangencia o eixo dos y e a reta 4x - 3y = 0, é

a) 3 u.c. b) 5 u.c. c) 4 u.c. d) 6 u.c.

21-(Ufc ) Em um sistema Cartesiano de coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta y = x + b é tangente ao círculo de equação

x2 + y2 = 1 é:

a) 2 b) 1 c)

2

d) 1

2 e) 3

GABARITO

1)E 2)B 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)D 9)B 10)B11)A 12)D 13)B 14)C 15)D 16)D 17)B 18)C 19)A 20)C 21) C

43

17-CÔNICAS E RECONHECIMENTO DE CURVAS

1-ELIPSE

Entende-se por elipse o lugar geométrico de um plano onde a soma da distância de sua extremidade a dois pontos fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em uma constante 2a, onde 2a > 2c.



 



1

2 2 0 2 2 0









b

y

y

a

x

x



 



1

2 2 0 2 2 0









a

y

y

b

x

x

44

Nas ilustrações das elipses acima temos:

F1 e F2 são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c). O segmento A1A2 é o maior eixo da elipse e sua medida é a soma da definição 2a. O segmento B1B2 é o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a 2b. O centro C

(

x

0

;

y

0

)

é o ponto médio entre os eixos da elipse e os focos F1 e F2.

A excentricidade da elipse é calculada pela razão entre c e a.

Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que:

a² = b² + c²

ÁREA DE UMA ELIPSE É DADA O A=abπ

Exemplo 1

Vamos determinar as equações das seguintes elipses: a) a² = b² + c² a² = 6² + 8² a² = 100 a = 10 Equação: b)

a² = b² + c²



a² = 5² + 12²



a² = 25 + 144



a² = 169



a = 13 Equação:

45

Exemplo 2

Vamos determinar os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 9x² + 36y² = 144.

Temos que 16 > 4, portanto, o eixo maior está na abscissa (x). Dessa forma: a² = 16 → a = 4

b² = 4 → a = 2

a² = b² + c² → 16 = 2 + c² → c² = 16 – 2 → c² = 14

Os focos são F1(14,0) e F2(–14,0) e as extremidades dos eixos maiores são A1(5,0) e A2(–5,0). A elipse possui uma importante aplicação na Astronomia, pois os planetas descrevem movimentos elípticos em órbita do sol, estando localizados nos focos da elipse. Essa teoria foi descoberta e comprovada por Johannes Kepler (1571 – 1630), grande astrônomo alemão.

2-HIPÉRBOLE

No estudo da geometria analítica, as diversas figuras geométricas são estudadas do ponto de vista

algébrico. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra. As cônicas, que são figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito

exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas. Vejamos como a hipérbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analítica.

Definição de hipérbole: Considere F1 e F2 como sendo dois pontos distintos do plano e 2c a distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).

A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equação varia em cada um dos casos. Vamos deduzir sua equação para cada um dos casos citados.

Hipérbole com focos sobre o eixo x.

Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse

caso, a equação da hipérbole será do tipo:



 

₂



1

2 0 2 2 0









b

y

y

a

x

x

46

Hipérbole com focos sobre o eixo y.

Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a

equação da hipérbole será do tipo:



 

₂



1

2 0 2 2 0









b

x

x

a

y

y

Elementos e propriedades da hipérbole:

Centro

(

x

0

;

y

0

)

2c → é a distância focal.

c2 = a2 + b2 → relação fundamental.

A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole. 2a → é a medida do eixo real.

2b → é a medida do eixo imaginário. c/a → é a excentricidade

Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades. Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10.

Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que: 2a = 16 → a = 8

Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que:

c2 = a2 + b2 102 = 82 + b2 b2 = 100 – 64 b2 = 36 b = 6

47

Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação:

Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c).

Da equação da hipérbole obtemos que: a2 = 16 → a = 4

b2 = 9 → b = 3

Utilizando a relação fundamental, teremos: c2 = a2 + b2

c2 = 16 + 9 c2 = 25 c = 5

Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5).

3- PARÁBOLA

2-Como traçar uma parábola.

Com pregos, barbante e um lápis, você consegue desenhar circunferência, elipse e também uma parábola. Parábola é o lugar geométrico tal que distam igualmente de uma reta fixa d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F, não

pertencente à diretriz, chamado foco.

Imagine uma reta d, um ponto F (foco) e o barbante preso ao prego no ponto F.

O comprimento do barbante tem que ser constante e a sua outra ponta deve correr livre sobre a reta d, o lápis deve se deslocar, mas sempre o barbante, entre o lápis e a reta d, deve ser perpendicular à reta:

2-Definição

Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:

Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que PF = Pd onde:

PF = distância entre os pontos P e F

48

Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2

3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem

Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'

Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:

Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:

y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.

3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)

Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:

(y - y0)

2

= 2p(x-x0)

3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem

Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será:

x2 = 2py

3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)

Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica: (x - x0)

2

= 2p(y - y0)

Exercícios resolvidos

49

Solução: Temos p/2 = 2  p = 4

Daí, por substituição direta, vem: y2 = 2.4.x  y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.

2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?

Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2  p = 4.

Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 y2 = 8(x-2)  y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola. 3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2  p = 8.

Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2)  y2 - 6y + 9 = 16x - 32  y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada. 4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2  p = 6. Logo,

(x - 0)2 = 2.6(y - 1)  x2 = 12y - 12  x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.

Lógico que você já ouviu falar das antenas parabólicas. Se você observar a figura e a definição de parábola, deve deduzir sua utilização.

Todas as retas que incidam perpendicularmente na parábola "refletem" e se concentram no foco. As antenas

parabólicas recebem raios paralelos e concentram estes raios no foco onde existe um receptor em que todos os sinais fracos se concentram tornando-se um sinal forte.

EXERCÍCIOS

1-(Ufv ) O gráfico da equação x3y + xy3 - xy = 0 consiste de:

a) duas retas e uma parábola. b) duas parábolas e uma reta. c) dois círculos e uma reta. d) duas retas e um círculo. e) um círculo e uma parábola.

2. (Cesgranrio) A segunda lei de Kepler mostra que os planetas se movem mais rapidamente quando próximos ao sol do que quando afastados dele. Lembrando que os planetas descrevem órbitas elípticas nas quais o sol é um dos focos, podemos afirmar que, dos pontos assinalados na figura, aquele no qual a velocidade da Terra é maior é o ponto:

50

3. (Uff ) As equações y - 2x = 0, y + x2 = 0 e

y2 - x2 + 1 = 0 representam no plano, respectivamente:

a) uma reta, uma hipérbole e uma parábola b) uma parábola, uma hipérbole e uma reta c) uma reta, uma parábola e uma elipse d) uma elipse, uma parábola e uma hipérbole e) uma reta, uma parábola e uma hipérbole 4. (Unirio) As equações x2 - 9y2 - 6x - 18y - 9 = 0, x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 e x2 - 4x - 4y + 8 = 0 representam, respectivamente, uma:

a) hipérbole, uma elipse e uma parábola. b) hipérbole, uma circunferência e uma reta. c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola. d) elipse, uma circunferência e uma parábola. e) elipse, uma circunferência e uma reta.

5. (Cesgranrio ) O gráfico que melhor representa a curva de equação x2 + 16y2 = 16 é:

6. (Unirio ) _{A área do triângulo PF1F2, onde P(2,-8)} e F1 e F2 são os focos da elipse de equação x2/25 + y2/9 = 1, é igual a:

a) 8 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64

7. (Cesgranrio) A equação 9x2 + 4y2 - 18x - 27 = 0 representa, no plano cartesiano, uma curva fechada. A área do retângulo circunscrito a essa curva, em unidades apropriadas, vale:

a) 36 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12

8. (Uece) A área do quadrilátero cujos vértices são as interseções da elipse 9x2+25y2=225 com os eixos coordenados é igual, em unidades de área, a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36

9. (Ufc ) Um segmento de reta desloca-se no plano cartesiano de tal forma que uma de suas

extremidades permanece sempre no eixo y e o seu ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a sua outra extremidade desloca-se ao longo de uma:

a) circunferência. b) parábola. c) reta. d) elipse. e) hipérbole.

10. (Ufpi ) O gráfico da equação x2 - y2 = 4 representa uma hipérbole. Os focos dessa hipérbole são: a)

1

,0

2













e

1

,0

2



_











b) (2, 0) e (-2, 0) c) (2

2

, 0) e (-2

2

, 0) d) (0,

2

) e (0, -

2

) e)

0,

1

2













e

1

0,

2



_











11. (Ufc ) O número de pontos de interseção das curvas x2 + y2 = 4 e (x2/15) + (y2/2) = 1 é igual a: a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

12. (Fgv) No plano cartesiano, a curva de equações paramétricas x=2cost e y=5sent com t lR é:

a) uma senoide b) uma cossenoide c) uma hipérbole d) uma circunferência e) uma elipse

13. (Cesgranrio 2002) Uma montagem comum em laboratórios escolares de Ciências é constituída por um plano inclinado, de altura aproximadamente igual a 40cm, com 4 canaletas paralelas e apoiado em uma mesa, forrada de feltro, cuja borda é curvilínea. Sobre a mesa há um ponto marcado no qual se coloca uma bola de gude. A experiência consiste em largar, do alto do plano inclinado, outra bola de gude, a qual, depois de rolar por uma das canaletas, cai na mesa e colide sucessivamente com a borda da mesa e com a primeira bola. A borda da mesa tem a forma de um arco de: a) elipse, e o ponto marcado é um de seus focos. b) parábola, e o ponto marcado é seu foco. c) hipérbole, e o ponto marcado é um de seus

focos.

d) hipérbole, e o ponto marcado é seu centro. e) circunferência, e o ponto marcado é seu centro.