SIMULAÇÃO DE SISTEMAS AULA 10

(1)

1

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 17 de Outubro 2013

SIMULAÇÃO DE SISTEMAS

AULA 10

2

Sistema de Filas em Série:

Um sistema de filas em série com k estágios é tal que após completar o serviço no estágio j o cliente deve esperar para ser atendido no estágio j+1 e assim até

k. Tal situação é representada na Figura a seguir.

TEORIA DE FILAS

Estágio 1 Estágio 2

•••

Estágio k

Taxa λλλλ

Saída 1 = Entrada 2

S₁ servidores

Taxa µµµµ₁ S2 servidores _Taxa_µµµµ 2

(2)

3

Estágio 1

••••

Estágio 2

•••

_••••

••••

Estágio k

Taxa λλλλ

S₁ servidores Taxa µµµµ₁

S₂ servidores Taxa µµµµ₂

S_k servidores Taxa µµµµ_k Saída 1

= Entrada 2

Saída k-1 = Entrada k Esquematicamente:

4

TEORIA DE FILAS

TEOREMA de Jackson sobre Sistema de Filas em Série:

Para que o tempo entre as chegadas de cada estágio seja exponencial (e assim pode-se aplicar os modelos de fila anteriormente estudados) é necessário que:

(1)O tempo entre as chegadas do sistema de filas em série seja exponencial com taxa λλλλ.

(2)O tempo dos serviços para cada servidor no estágio

i seja exponencial.

(3)Cada estágio tem uma capacidade de espera

(3)

5

TEOREMA de Jackson sobre Sistema de Filas em Série:

Do TEOREMA segue que cada estágio deve ser capaz de lidar com uma taxa λλλλ de chegada. Observando que para cada estágio o modelo M/M/s/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞ pode ser aplicado, então, o número de servidores em cada estágio j = 1, 2, ..., k deve ser tal que: λλλλ < s_jµµµµ_j. Desse modo, o TEOREMA de Jackson pode ser aplicado e o sistema da Figura anterior pode ser tratado como um sistema onde cada estágio j é um modelo M/M/s_j/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞

com tempos médios entre as chegadas com taxa λλλλ e tempo de serviço com média 1/µµµµ_j.

6

Exemplo 1: Considere um linha de montagem de

carros cujos dois últimos estágios

são:

(1)Instalação do motor;

(2)Colocação das rodas.

O sistema tem, em média, uma taxa de

chegada de 54 carros por hora. Para o estágio 1,

um trabalhador pode instalar, em média, 60

motores por hora. Terminado o estágio 1 o carro

deve aguardar atendimento no estágio 2 que conta

com 3 trabalhadores e cada um faz, em média, o

serviço em 3 minutos. Supor chegadas e tempos de

serviço como exponenciais. Determinar:

TEORIA DE FILAS

(4)

7

Instalação

do motor

µµµµ

1

= 60

carros/hora

Estágio 1

Carros

esperam

instalar

o motor

Carros

esperam

instalar

as rodas

Estágio 2

Instalador 1

µµµµ2 = 20 carros/hora

Rodas

Instalador 2

Instalador 3

Carros

prontos

8

TEORIA DE FILAS

Primeiro observa-se que λλλλ = 54 carros por hora, s1 = 1,

µµµµ1 = 60 carros por hora, s2 = 3 e µµµµ2 = 20 carros por hora.

Como λλλλ < µµµµ1 e λλλλ < 3µµµµ2 , então, nenhuma fila irá “explodir” e

o TEOREMA de Jackson é aplicável. Para o estágio 1 (motor), tem-se ρρρρ = λλλλ/µµµµ= 54/60 = 0,90. Usa-se o modelo M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞:

(A) O tamanho médio da fila em cada estágio.

carros

horas

(B) O tempo total médio que o carro espera atendimento.

15 ,

0

54

1 ,

8

1

=

λ

q q

L

W

1 ,

8

90 ,

0

1 )

90 ,

0 (

1

2 2

1

=

−

=

−

=

−

=

ρ

L

(5)

9

Para o estágio 2 (rodas), tem-se ρρρρ = λλλλ/3µµµµ= 54/3(20) = 0,90. Usa-se o modelo M/M/s/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞:

)

9 ,

0

1 (

!

3 )

9 ,

0 *

3 (

!

2 )

9 ,

0 *

3 (

!

1 )

9 ,

0 *

3 (

!

0 )

9 ,

0 *

3 (

1 )

1 (

!

)

(

!

)

(

1

3 2 1 0 1 0 0

−

+

=

−

+

=

∑

− = s i s i

s

i

s

ρ

π

0249

,

0

15 ,

40

1 8050

,

32 6450

,

3

7 ,

2

1

0

=

+

=

π

)

1 (

!

)

(

)

(

0

ρ

π

ρ

−

=

≥

s

j

P

s

8171

,

0 )

9 ,

0

1 (

!

3 0249

,

0 *

)

9 ,

0 *

3 (

)

3 (

3

=

−

=

≥

j

P

10

TEORIA DE FILAS

clientes

35 ,

7

90 ,

0

1

90 ,

0 *

8171

,

0

1 )

(

2

₋

=

₋

=

≥

=

ρ

s

j

P

L

_q

(B) O tempo total médio que o carro espera atendimento.

horas

138 ,

0

54

35 ,

7

2

=

λ

q q

(6)

11

Instalação

do motor

µµµµ

1

= 60

carros/hora

Estágio 1

Carros

esperam

instalar

o motor

Carros

esperam

instalar

as rodas

Estágio 2 Instalador 1

Rodas

Instalador 2

Instalador 3

Carros

prontos

0,15 horas

+

0,138 horas

= 0,288 horas = 17,28 minutos 8,1 carros 7,35 carros

12

Exercício 1: Qual deveria ser a

taxa média de serviço do estágio 1

para que o tempo médio gasto em

fila para cada estágio seja igual? Ou seja,

para que W

_q1

= W

_q2

?

TEORIA DE FILAS

(7)

13

Para o Estágio 1:

)

(

/

)

(

2 1

1

µ

λ

µ

λ





=

−









−

=

q q

L

W

)

(

)

(

)

(

2 1 1

λ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

µλ

µ

λ

µ

λ

ρ

−

=

−

=

−

=

−

=

L

_q

)

(

/

)

(

)

/

(

)

/

(

1 )

/

(

1

2 2 2 2 1

λ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

ρ

−

=

−

=

−

=

−

=

q

L

14

TEORIA DE FILAS

Para o Estágio 2:

horas

138 ,

0

54

35 ,

7

2

=

λ

q q

L

W

Igualando o valor do Estágio 2 na Eq. do Estágio 1:

138 ,

0 )

54 (

54 )

(

1

=

−

=

−

=

µ

λ

µ

λ

q

W

138 ,

0

54 )

54 (

µ

−

=

µ

0

138 ,

0

54

2

−

µ

−

=

µ

µµµµ

= 60,4709

(8)

15

Redes de Filas Abertas:

As redes de filas abertas são uma generalização do

sistema de filas em série com k estágios. Agora o

estágio j considera as chegadas de outros estágios e uma taxa de chegada rj de fora do sistema de filas.

•••

Estágio k Chegadas

outros estágios

Chegadas outros estágios

S₁ servidores

Taxa µµµµ₁ S2 servidores _Taxa_µµµµ 2

Sk servidores Taxa µµµµ_k Taxa

r₁

Taxa r₂

Taxa rk

16

Assim, em redes de filas abertas, o cliente completa o serviço em um estágio i e com probabilidade pij entra na fila do estágio j. Assim, a fração de clientes que ingressa no estágio j vinda de outros estágios é dada pela seguinte equação:

TEORIA DE FILAS

∑

≠

=

K

j

i

ij

p

,

1 λ

Taxa de chegada de clientes do estágio i Probabilidade de sair

(9)

17

∑

≠ =

K j i i

i ij

p

, 1

λ

Estágio i Estágio j

•••

Interpretação da Equação:

Estágio 1

•••

Estágio K

•••

p

_1j

λλλλ

₁

p

_2j

λλλλ

₂

p

_Kj

λλλλ

_K

18

TEORIA DE FILAS

Definindo λλλλ_j como a taxa de chegada de clientes no

estágio j (somando o que vem de fora do sistema e de outros estágios), então, λλλλ₁, λλλλ₂,...,λλλλ_k podem ser encontrados através da solução do seguinte sistema linear:

(j=1,2,...,K)

∑

≠

=

+

=

K

j

i

ij

j

r

p

,

1 λ

λ

Chegada de clientes no estágio j e que provém

de outros estágios

Chegada de clientes no estágio j e que são de

(10)

19

Estágio i Estágio j

•••

Interpretação da Equação:

Estágio 1

•••

Estágio K

•••

p

_1j

λλλλ

₁

p

_2j

λλλλ

₂

p

_Kj

λλλλ

_K

∑

≠ =

+

= K

j i i

i ij j

j r p

, 1

λ λ

r

_j

20

Para encontrar L, ou seja, o número esperado de clientes no sistema basta somar o número esperado de clientes presentes em cada estágio. Para encontrar W, o tempo médio que um cliente gasta no sistema, basta empregar a fórmula L = λλλλW para todo o sistema e usar

λλλλ = r₁ + r₂ + ... + r_K. A justificativa para este procedimento é que dessa forma λλλλ representa o número médio de clientes por unidade de tempo que chegam ao sistema.

(11)

21

Exemplo 2: Considere dois servidores. Em média

8 clientes por hora chegam de fora

para o servidor 1 e, em média, 17

clientes por hora chegam de fora

para o servidor 2. O servidor 1

pode atender com taxa exponencial 20 clientes

por hora e o servidor 2 atende 30 clientes por

hora. Após terminar o serviço no servidor 1

metade dos clientes vai embora do sistema e a

outra metade vai para o servidor 2. Após terminar

o serviço no servidor 2, ¾ dos clientes completa o

serviço e ¼ retorna ao servidor 1. Encontrar:

(A)Qual fração do tempo o servidor 1 está ocioso, (B) Achar o número esperado de clientes no sistema,

(C) Encontrar o tempo médio que um cliente gasta no sistema, (D) Use (A) e (B): O que ocorre se o servidor 2 só atender 20 c/h.

22

TEORIA DE FILAS

Servidor 1

Servidor 2

Taxa r₁ = 8

Taxa r₂ = 17

(12)

23

Servidor 1

µµµµ

1

= 20

cli/hora

Servidor 2

µµµµ

2

= 30

cli/hora

Taxa r₁ = 8

Taxa r₂ = 17

“O

servidor

1 pode

atender

com

taxa

exponencial 20 clientes por hora e o servidor 2

atende 30 clientes por hora.”

24

TEORIA DE FILAS

Servidor 1

µµµµ

1

= 20

cli/hora

Estágio 1

Peças

esperam

serviço

em 1

Estágio 2

Servidor 2

µµµµ

2

= 30

cli/hora

Peças

prontas

1/2

Taxa r₁ = 8

Taxa r₂ = 17

“Após terminar o serviço no

servidor 1 metade dos

(13)

25

Servidor 1

µµµµ

1

= 20

cli/hora

Estágio 1

Peças

esperam

serviço

em 2

Estágio 2

Servidor 2

µµµµ

2

= 30

cli/hora

Peças

prontas

3/4 1/4

Taxa r₁ = 8

Taxa r₂ = 17

“Após terminar o serviço no servidor 2, ¾ dos clientes completa o serviço e ¼ retorna ao servidor 1.”

26

TEORIA DE FILAS

Servidor 1

µµµµ

1

= 20

cli/hora

Estágio 1

Peças

esperam

serviço

em 1

Peças

esperam

serviço

em 2

Estágio 2

Servidor 2

µµµµ

2

= 30

cli/hora

Peças

prontas

Peças

prontas

3/4 1/4

1/2

1/2 Taxa

r₁ = 8

(14)

27

Servidor 1

µµµµ

1

= 20

cli/hora

Estágio 1

Peças

esperam

serviço

em 1

Peças

esperam

serviço

em 2

Estágio 2

Servidor 2

µµµµ

2

= 30

cli/hora

Peças

prontas

Peças

prontas

Taxa λλλλ1

Taxa λλλλ2

O modelo anterior pode ser transformado em:

28

TEORIA DE FILAS

Servidor 1

µµµµ

1

= 20

cli/hora

Servidor 2

µµµµ

2

= 30

cli/hora

Taxa λλλλ

Taxa r₁ = 8

Taxa r₂ = 17

Dado L, para se achar W, usa-se:

λ = r1 + ... + rK

(15)

29

Primeiro observa-se que tem-se uma rede de filas abertas com r₁ = 8 clientes por hora e r₂ = 17 clientes por hora. Além disso, p₁₂= 0,5 p₂₁ = 0,25, p₁₁ = p₂₂= 0. Para encontrar λλλλ1 e λλλλ2 basta resolver o sistema de equações dado pela seguinte

equação:

(A) Qual fração do tempo o servidor 1 está ocioso.

(j=1,2,...,K)

∑

≠

=

+

=

K

j

i

ij

j

r

p

,

1 λ

λ

30

TEORIA DE FILAS

Primeiro observa-se que tem-se uma rede de filas abertas com r1 = 8 clientes por hora e r2 = 17 clientes por hora. Além

disso, p12 = 0,5 p21= 0,25, p11 = p22 = 0. Para encontrar

λλλλ1 e λλλλ2 basta resolver o seguinte sistema:

Isto é:

(j=1,2,...,K)

2 21 1

1

λ

=

r

+

p

1 12 2

2

λ

=

r

+

p

∑

≠ =

+

=

K

j i i

i ij j

j

r

p

, 1

λ

2 1

8

0 ,

25 λ

λ

=

+

1 2

17

0 ,

5 λ

λ

=

+

14

1

=

λ

cli/h

24

2

=

(16)

31

Agora o primeiro servidor pode ser tratado como um modelo

M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞ com λλλλ1 = 14 clientes por hora e µµµµ= 20 clientes

por hora. Se ρρρρ = λλλλ1/µµµµ= 14/20 = 7/10 = 0,7, então:

ππππ

0

= (1 -

ρρρρ

)

32

por hora. Se ρρρρ = λλλλ1/µµµµ= 14/20 = 7/10 = 0,7, então:

ππππ

0

= (1 -

ρρρρ

) = (1 - 0,7) = 0,3

(17)

33

(B) Achar o número esperado de clientes no sistema.

(B.1) Achar o número esperado de clientes no servidor 1.

Se o primeiro servidor pode ser tratado como um modelo

M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞ com λλλλ₁ = 14 clientes por hora e µµµµ= 20 clientes por hora. Se ρρρρ = λλλλ₁/µµµµ= 14/20 = 7/10 = 0,7, então:

)

1 (

1

ρ

−

=

L

34

TEORIA DE FILAS

M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞ com λλλλ₁ = 14 clientes por hora e µµµµ= 20 clientes por hora. Se ρρρρ = λλλλ₁/µµµµ= 14/20 = 7/10 = 0,7, então:

3

7 )

7 ,

0

1 (

7 ,

0 )

1 (

1

=

−

=

−

=

ρ

(18)

35

Para o segundo servidor pode-se usar o modelo M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞

com λλλλ2 = 24 clientes por hora e µµµµ= 30 clientes

por hora. Se ρρρρ = λλλλ2/µµµµ= 24/30 = 0,8, então:

)

1 (

2

ρ

−

=

L

36

TEORIA DE FILAS

4

2 ,

0

8 ,

0 )

8 ,

0

1 (

8 ,

0 )

1 (

2

=

−

=

−

=

ρ

L

O número médio de clientes no sistema é a soma do número médio de clientes em cada servidor, isto é:

(19)

37

(C) Encontrar o tempo médio que um cliente gasta no sistema.

Servidor 1

µµµµ

1

= 20

cli/hora

Servidor 2

µµµµ

2

= 30

cli/hora

Taxa λλλλ

Taxa r₁ = 8

Taxa r₂ = 17

38

TEORIA DE FILAS

Para calcular o tempo médio gasto no sistema com L = 19/3 e:

λλλλ

= r

₁

+ r

₂

+ ... + r

_K

= 8 + 17 = 25

clientes/hora

horas

(20)

39

λλλλ

= r

₁

+ r

₂

+ ... + r

_K

= 8 + 17 = 25

clientes/hora

horas = 15,2 minutos

75

19

25 )

3 /

19 (

=

λ

L

W

Para calcular o tempo médio gasto no sistema com L = 19/3 e:

40

TEORIA DE FILAS

(D) Use (A) e (B): O que ocorre se o servidor 2 só atender 20 c/h

24

2

=

λ

cli/h

(21)

41

(D) Use (A) e (B): O que ocorre se o servidor 2 só atender 20 c/h

24

2

=

λ

cli/h

Do item (A) tem-se que:

Do modelo M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞sabe-se que só existe estado estacionário se λλλλ < s_jµµµµ_j, mas neste caso: λλλλ = 24 > 1*20 e, assim, não existe estado estacionário.

42

Exercício 2: Considere o problema do Exemplo 2.

O que ocorreria caso ½ dos clientes qu

e termina o serviço no servidor 2

vão para o servidor 1 e este atende

agora em média 24 clientes.

TEORIA DE FILAS

(j=1,2,...,K)

∑

≠ =

+

=

K

j i i

j ij j

j

r

p

, 1

λ

ππππ

0

= (1 -

ρρρρ

)

1 (

ρ

−

=

L

_λλλλ

_{= r}

₁

_{+ r}

₂

_{+ ... + r}

_K

(22)

43

Primeiro observa-se que tem-se uma rede de filas abertas com r1 = 8 clientes por hora e r2 = 17 clientes por hora. Além

disso, p12 = 0,5 p21= 0,5, p11 = p22 = 0. Para encontrar

λλλλ1 e λλλλ2 basta resolver o seguinte sistema:

Isto é:

(j=1,2,...,K)

2 21 1

1

λ

=

r

+

p

1 12 2

2

λ

=

r

+

p

∑

≠ =

+

=

K

j i i

j ij j

j

r

p

, 1

λ

2 1

8

0 ,

5 λ

λ

=

+

1 2

17

0 ,

5 λ

λ

=

+

22

1

=

λ

cli/h

28

2

=

λ

cli/h

44

por hora. Se ρρρρ = λλλλ1/µµµµ= 22/24 = 11/12, então:

ππππ

0

= (1 -

ρρρρ

) = (1 – 11/12) = 1/12

(23)

45

M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞ com λλλλ₁ = 22 clientes por hora e µµµµ= 24 clientes por hora. Se ρρρρ = λλλλ₁/µµµµ= 22/24 = 11/12, então:

11 )

12 /

11

1 (

12 /

11 )

1 (

−

=

−

=

ρ

L

46

TEORIA DE FILAS

14

07 ,

0

93 ,

0 )

93 ,

0

1 (

93 ,

0 )

1 (

−

=

−

=

ρ

L

O número médio de clientes no sistema é a soma do número médio de clientes em cada estágio, isto é:

(24)

47

Para calcular o tempo médio gasto no sistema usa-se que:

λλλλ

= r

₁

+ r

₂

+ ... + r

_K

= 8 + 17 = 25

clientes/hora

horas= 60 minutos

25

25 =

=

λ

L

W

48

TEORIA DE FILAS

APLICAÇÃO EM UM PROBLEMA REAL

Servidor Vídeos

•••

Servidor Propaganda

•••

Servidor do tipo

Taxa λλλλ

Taxa 0,9λλλλ

Taxa 0,1λλλλ

Taxa 0,1λλλλ

Taxa 0,2ββββ

Taxa 0,8ββββ

(25)

49