Gelson Iezzi-Fundamentos de Matemática Elementar 7_ Geometria Analítica (1).pdf

GElSON IEZZI

FUNDAMENTOS DE '"

7

MATEMATICA

ELEMENTAR

GEOMETRIA ANALíTICA

68 exercícios resolvidos com resposta

289 exercícios propostos com resposta

216 testes de vestibular com resposta

\.

Capa

Roberto Franklin Rondino

Sylvio Ulhoa Cintra Filho

Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo

APRESENTACÃO

I

Composição e desenhos

AM Produções Gráficas Ltda.

Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo

Artes

Atual Editora Ltda.

Fotolitos

Marka Silk Screen Ltda.

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Impressão e acabamento

Companhia Melhoramentos de São Paulo

Indústrias de papel

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ATUAL EDITORA LTOA

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785

Telefones:

71-7795 e 549-1720

CEP

04011 - São Paulo - SP - Brasil

Os autores

"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes

elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática,

ao n (vel da escola de

'Z?

grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para

o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames

vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e

também, como

é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interressados na "rainha

das ciências".

No desenvolvimento dos inúmeros cap(tulos dos livros de "Fundamentos"

procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades.

Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições

e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações.

Na estruturação das séries de exerc(cios, buscamos sempre uma ordenação

crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões

que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A

seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exerc(cios. Os exerc(cios

resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação

sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar

a resposta para cada problema proposto e asim, ter seu reforço positivo ou partir

à procura do erro cometido.

/'; última parte de cada volume é constitu(da por testes de vestibulares até

1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria

estudada.

Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando

Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescind(vel para que pudéssemos homenagear

nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas

vidas e sua obras.

Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores

e o valor de sua obra, gostar(amos de receber dos colegas professores uma

apre-ciação sobre este trabalho, notadamente os comentários crl'ticos, os quais

agra-decemos.

fndic~ psra catálogo sistE'rnãtico: 1. Matematica 510

CIr-Brasil. Catalogação-na-Fonte câmarc_ IIl-3silcüa do Livro, S1'

CDD-510 Fundamentos de matemática elementar (por) Gelaon

leui (e outros) são Paulo, Atual Ed .• 1977-7& Co-autores: Carlos Murakami. Osvaldo DoIee e 5a-muel Hazzanôa autoria dos vohDlles individuais va-ria entre os 4 aut.ores.

Conteúdo: v.l. Conjuntos. funções. 1977.-v.2. Logaritmos. 1977,-v.3. TrigoTIOllletria.

1978,-v.4. SequUências, matrizes determinantes. sistemas.

1977.-v.5. C(mlbínatôria, probabilidade. 1977.-v.6. Complexos, polinômios, equações. 1977.-v.7. Geometria analítica. 1979.

1. Matematica (29 grau) I.Dolce, Osvaldo, 1938-11. Iezzi, Gelson, 1939- 111. Hazzan, Samuel, 1946-IV. Murakami. Carlos,

1943-977 .1-7

,

INDICE

CAPITULO I - COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO

I. Noções básicas

.

11. Posições de um ponto em relação ao sistema

.

111.

Distância entre dois pontos

.

IV. Razão de secção

.

V. Coordenadas do ponto divisor

.

VI. Condição para alinhamento de três pontos

.

VII. Complemento-Cálculo de determinantes

.

V

111.

Demonstração de teorema de geometria plana

.

CAPITULO 11 - EQUAÇAO DA RETA

I. Equação geral

.

11.

Intersecção de duas retas

.

111. Posições relativas de duas retas

.

IV. Feixe de retas concorrentes

.

V. Feixe de retas paralelas

.

VI. Formas da equação da reia

.

CAPfTULO 111 - TEOREMA ANGULAR

I. Coeficiente angular

.

11.

Cálculo de m

.

111. Equação de uma reta passando por P(xo'Yo)

.

IV.. Condição de paralelismo

.

V. Condição de perpendicularismo

.

VI. Ângulo de duas retas

.

l-G

3-G

6-G

10-G

12-G

18-G

21-G

24-G

25-G

30-G

31-G

38-G

43-G

45-G

CAPITULO IV - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA

I. Translação de sistema

.

11. Distância entre ponto e reta

.

111. Área do triângu lo . . . .

IV. Variação de sinal da função E(x, y)

=

ax

+

by

+

c

.

V. Inequações do

1'?

grau

.

VI. Bissetrizes dos ângulos de duas retas

.

VII. Complemento-Rotação de sistema

.

CAPITULO

V -

CIRCUNFERENCIA

77-G

78-G

83-G

87-G

90-G

93-G

98-G

RESPOSTAS

Cap(tulo I

Cap(tulo 11

Capl'tulo I11

Capl'tulo IV

Capl'tulo V

Capfwlo VI

Cap(tulo VII

TESTES

183-G

184-G

185-G

188-G

190-G

191-G

194-G

I. Equação reduzida

_

: .

11. Equação normal

.

111. Reconhecimento

.

IV. Ponto e circunferência

.

V. Inequações do

2'?

grau

.

VI. Reta e ci rcunferência

'

.

VII. Duas circunferências

.

CAPITULO VI - PROBLEMAS SOBRE CIRCUNFERENCIAS

99-G

100-G

100-G

106-G

108-G

112-G

117-G

Ponto e reta

195-G

Circunferência

209-G

Cônicas

216-G

Lugares geométricos

221-G

Respostas

229-G

I.

Problemas de tangência

123-G

11. Determinação de circunferências . . . ..

129-G

111. Complemento

140-0

CAPITULO VII - CONICAS

I. Ell'pse

143-G

11. Hipérbole

148-G

111. Parábola . . . ..

153-G

IV. Reconhecimento de uma cônica

158-G

V. Intersecções de cônicas

164-G

VI. Tangentes a uma cônica

:..

165-G

CAPITULO VIII - LUGARES GEOMETRICOS

l.

Equação

de

um

L.G

, 171-G

René Descartes

Geometria e Ãlgebra fazem as pazes

CAPÍTULO I

COORDENADAS

CARTESIANAS NO PLANO

Nestas condições definimos:

a) abscissa de P é o número real xp

=

OP [

b) ordenada de P é o número real Yp

=

OP

2

c) coordenadas de P são os números reais xp e yp, geralmente indicados

na forma de um par ordenado (xp, yp) onde Xp é o primeiro termo.

d) eixo das abscissas é o eixo x (ou

Ox)

e) eixo das ordenadas é o eixo y (ou Oy)

f)

sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular) é o

sistema xOy.

g) origem do sistema é o ponto O

h) plano cartesiano é o plano

O'

René Descartes nasceu na França, de famllia nobre, recebeu suas primeiras

instruções no colégio jesulta de La Fleche, graduando·se em Direito, em Poitier.

Foi participante ativo de várias campanhas militares como a de Maurice, o

Prlncipe de Nassau, a do Duque Maximiliano I da Baviera e a do exército francês

no cerco de La Rochelle. Foi amigo dos maiores sábios da época como Faulhaber,

Desargues e Mersenne e é considerado o "Pai da F ilosofia Moderna".

Em 1637 escreveu seu mais célebre tratado, o

"Discurso do Método"

onde

expõe sua teoria de que o universo era todo feito de matéria em movimento e

qualquer fenômeno poderia ser explicado através das forças exercidas pela

maté-ria contigua. Esta teomaté-ria só foi superada pelo raciocinio matemático de Newton.

Suas idéias filosóficas e cientificas eram muito avançadas para a época mas

sua matemática guardava caracterlsticas da antigüidade tendo criado a Geometria

Analltica numa tentativa de volta ao passado.

Durante o perlodo em que Descartes permaneceu com o exército bávaro, em

1619, descobriu a fórmula sobre poliedros que usualmente leva o nome de Euler:

v

+

f

=

a

+

2 onde v,f e a são respectivamente o número de vértices, faces e arestas

deum poliedro simples.

Em 1628 já estava de posse da Geometria Cartesiana que hoje se confunde

com a Analltica, embora os objetivos do autor fossem diferentes tanto que em seu

"Discurso"

se mostra imparcial quando discute os méritos da Geometria e da

Álgebra. Seu objetivo era por processos algébricos libertar a Geometria da utilização

de tantos diagramas que fatigavam a imaginação, e dar significado às operações da

Álgebra, tão obscura e confusa para a mente, através de interpretações geométricas.

Descartes estava convencido de que todas as ciências matemáticas partem do

mesmo principio básico e aplicando seus conceitos conseguiu resolver o problema

das três e quatro retas de Pappus. Percebendo a eficiência de seus métodos publicou

"A Geometria",

que consta de três livros, onde dá instruções detalhadas para

resol-ver equações quadráticas geometricamente, por meio de parábolas; trata das.ovais

de Descartes importantes em Óptica e ensina como descobrir raizes racionais e

achar solução algébrica de equações cúbicas e quadráticas.

Em 1649, convidado pela Rainha Cristina da Suécia, estabeleceu uma Acade·

mia de Ciências em Estocolmo e como nunca gozou de boa saúde não suportou o

inverno escandinavo, morrendo prematuramente em 1650.

I.

NOÇÕES BÁSICAS

1.

Consideremos dois eixos x e y

per-pendiculares em O, os quais determinam

o plano

0'.

Dado um ponto P qualquer, P

E0',

conduzamos por ele duas retas:

x'

li

x e y'

Ii

y

Denominemos P

1

a intersecção de

x com y' e P

2

a intersecção de y com

x'.

y

o

y'

x

no plano cartesiano lembrando que, no par ordenado, o primeiro número

repre-senta a abscissa e o segundo a ordenada do ponto.

2.

Exemplo

Vamos localizar os pontos

5

E(-7, -3), F(4, -5), G("2'

0(-3,4),

2?

Parte

Dado o par ordenado de números reais

(xp, yp),

existem

P, E x e

P

₂

E Y tais que OP,

=

xp

e OP

2

=

yp.

Se construirmos x'

/I

x por P

₂

e y'

/I

y por P

"

essas retas vão concorrer

em P. Assim, a todo par (xp, yp)

corresponde um único ponto P, P E

Ci.

Esquema: (xp, yp)

~ (PI,

P

2 ) ~

P

y

--- i---

-"114.21

i

+--_~____L_~

J

_

O x

'\ j""

(a, b)

*-

(b, a)

4.

Notemos que os pares ordenados

(4, 2) e (2, 4)

não são iguais. Eles se

diferenciam pela ordem de seus termos e,

portanto, não representam o mesmo

pon-to do plano cartesiano.

De maneira mais geral, se a e b·

são números reais distintos, então:

5.

A principal conseqüência do teorema do item 3

é

que em Geometria

Ana-lítica Plana:

a) "dar um ponto P" significa dar o par ordenado (xp, yp);

b) "pedir um ponto P" significa pedir o par de coordenadas (xp, yp);

I

-f--e-+

_{__}

1 1 1

-x

--1

--t---i

I

!

I

r-I I

t I I t I

I t

I

I

I

,

c

A

-

f----o

B

I

I I

i

t

I I

-!----t---

---I

--e

--f---~-L­

_I

I

j

I

---+----+---+---+--)

._--

1--;

.

-~ -- -'-

-H

I

F

c) todo ponto P procurado representa duas incógnitas (xp e yp) .

3. Teorema

11.

POSiÇÕES DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA

Entre o conjunto dos pontos P do plano cartesiano e o conjunto dos

pa-res ordenados (xp, yp) de números reais existe uma corpa-respondência biunívoca.

Demonstração

la Parte

As definições dadas anteriormente indicam que a todo ponto P, P E

Ci,

cor responde um único par de pontos (P" P

2 )

sobre os eixos x e y

respecti-vamente e,

~rtanto,

um único par ordenado de números reais (xp, yp) tais

que xp

~

OP,

e yp

~

OP

2 .

Esquema: P

--->

(P" P

2 ) --->

(xp, yp)

6.

Os eixos x e y dividem o plano

y

cartesiano em quatro regiões angulares

chamadas quadrantes, que recebem os no-

29 quadrante lI? quadrante

mes indicados na figura.

É

evidente que:

PE 1

<:>

quadrante

==

xp ;;;.

O

e yp

;;;'0

_O

_x

PE

2<:>

quadrante

==

xp

';;;0

e yp

;;;'0

PE

3<:>

quadrante

==

xp

';;;0

e yp

';;;0

3<'> quadrante 49 quadrante

P E

4<:>

quadrante

==

xp

;;;'0

e yp ,;;;

O

nula:

Ox

~

{(a,

O)

I

a E IR}

Isto significa que o eixo das abscissas é o conjunto dos pontos de ordenada

Notemos que, para todo a real, o

ponto

(a, -a)

pertence

à bissetriz b

24 •

b

24 ~

{(a, -a)

I

a

E

IR}

Isto significa que a bissetriz b

24

é o conjunto dos pontos de coordenadas

_L_....L_--.l._-Cl

-..,.----,--,ri-simétricas.

10.

Um ponto pertence

à

bissetriz dos

'quadrantes pares se, e somente se, tiver

coordenadas simétricas:

Um ponto pertence ao eixo das ordenadas se, e somente se, sua abscissa é

P E Ox

=

yP

~

O

7.

Um ponto pertence ao eixo das abscissas se, e somente se, sua ordenada

é nula:

Notemos que, para todo número real a, o ponto (a,

O)

pertence ao eixo

das abscissas.

a.

nula:

nula:

P E Oy

=

xp

~

O

Isto significa que o eixo das ordenadas é o conjunto dos pontos de abscissa

Oy

~ {(O,

b) I b E

IH}

11.

Se uma reta é paralela ao eixo das abscissas, então todos os Seus pontos

têm a mesma ordenada.

Se uma reta é paralela ao eixo das ordenadas, então todos os seus pontos

têm a mesma abscissa.

Também valem as reciprocas dessas duás propriedades.

Notemos que, para todo número real b, o ponto

(O,

b) pertence ao eixo

das ordenadas.

EXERC(CIO

Pergunta-se quais são pertencentes:

a) ~o primeiro quadrante;

bl ao segundo quadrante; c) ao terceiro quadrante; d) ao quartoquadrante; e) ao eixo das abscissas;

f) ao eixo das ordenadas;

g) à bissetriz dos quadrantes ímpares; h) à bissetriz dos quadrantes pares.

9.

Um ponto pertence

à bissetriz dos

quadrantes (mpares se, e somente se,

ti-ver coordenadas iguais:

P E b

13

=

xp

YP

Isto significa que a bissetriz b

13

é o conjunto dos pontos de coordenadas

iguais:

b

13 ~

{(a, a) I a E IR}

Notemos que, para todo a real,

o ponto (a, a) pertence

à bissetriz b

13 .

G.l Dados os pontos:

A1500, 5001 61-600, -600) C1715, -7151 01-1002,1002)

ElO, O)

F1711,01 GiO, -517) H 1-321, O)

111.

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

13. Exemplo

1

14.

Convém observarmos que, como a ordem dos termos nas diferenças de

abs-cissase ordenadas não influi no cálculo de d, uma forma simples da fórmula

da distância é:

Calcular a distância entre os pontos A(-2,

5)

e B

(4, -3).

12.

Dados dois pontos A(x" yIl e B(X2' Y2), calculemos a·distância dentre

eles.

1~

Caso:

AB

li

Ox

_YI

A

B

•

•

d

=

dA, BI

=

I

X2 - XI

I

I, I_,

01

AI

B,

..

X

Y

~

Caso:

AB

li

Oy

B2

T

d

=

_{dA2 B2}

=

IY2 - YII

AI --- A

O

X

:f?

Caso:

AB

*'Iox

e AB »:IOY

Y

d

=

'11

(X2-

xIl 2 + iY2 _ y,)2

=

=

'11

(4

+

2)2

+

(-3 - 5)2

=

'11

36

+

64

=

10

Observemos que, se mudarmos a

ordem das diferenças, d não se altera:

d

=

V(XI-X2)2+(YI-Y2)'

=

'11

(-2 - 4)2

+

(5

+

3)2

=

'11

36

+

64

=

10

A

O

Y

--- B

X

O

Temos inicialmente:

..

X

O

X

onde

Llx

=

X2 - XI

LlY=Y2-Y,

ou

ou

Llx = X, - X2

(é

indiferente)

Lly

=

Y, - Y2

(é indiferente)

AC

Ii

Ox

BC

Ii

Oy

₌

=

Xc

YC

==

YI}

X2

=

C(X2, yIl

De acordo com ·os casos iniciais, temos:

dAC

=

Ixc - xA I

=

I

X2 - xII

dBC

=

I

YB - Yc I

=

I

Y2 - YI

I

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ABC temos:

d2

=

dic +

d~c

=

(X2 - xIl 2 + (Y2 _ y,)2

EXERCICIOS

G.2 Calcular a distância entre os pontos A(1, 31 e Bl-l, 41.

G.3 Calcular a distância do ponto PI--6, BIàorigem do sistema cartesiano.

então:

G.4 Calcular a distância entre os pontos Ala - 3, b+4) e Bla+2, b - 8).

G.5 Calcular o perímetro do triângulo ABC, sendo dados A12, 1), B(-I, 31 e C14, -2).

G.6 Provar que o triângulo cujos vértices são A12, 2), BI-4, -6) e C(4, -12) é retângulo.

Solução

Para demonstrar que um triângulo é retângulo basta provar que as medidas dos seus la-dos verificam a relação de Pitágoras: "o quadrado da medida do' maior lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados".

G)

Ix - 8)2 + Iv - 111 2

~

Ix +41 2 + Iv + 5)2

~ - 16x+ 64+

r -

22x +121 ~ x2 +Sx -24x - 32v ~ -1441

3x +4V lS (1)

+ 16 + V2 + lOV + 25

2

dAB 1&)2 + (i'>y)2 (2 + 4)2 + 12 + 6)2 = 100

d~C

1&)2'+ 16v)2 (4 + 4)2 + 1-6 + 12)2 = 100 dtA 1&)2 +(6V)2 (2 - 4)2 + 12 + 12)2 =200

- d 2 d 2 d 2 entao CA = AB + BC

(3)

Ix +41 2 + Iv +5)2

~

Ix +6)2 + Iv - 91 2

~ +Sx + 16 + V2 +10V + 25 =x2 + 12x + 36 +

t -

lSv +Sl

-4x +2Sv ~ 76

=

-G.7 Determinar x de modo queOtriângulo ABC seja retângulo em B. São dados: AI4,5), Bll, 1) e Clx, 41.

x -7V -19 (2)

G.8 Se P(x, V) eqüidista de AI-3, 71 e B(4, 3), qual é a relação ..xistente entre x e V?

De 121, temos x ~ 7V - 19 que substituindo em (1) dá:

31 7v - 191 +4v = 18

=

25V = 75

=

V~ 3

=

x 7, 3 - 19 =2 R""posta: P(2, 3).

então'

dpA =dpB ==> Ix

+

31 2

+

Iv - 7)2 (x - 4)2 + Iv - 3)2 G.13 Dados os pontos Mia, O) e NIO, a), determinar P de modo que o triângulo MNP seja equilátero.

Resposta: 14x - 8v +33 = O

G.9 Dados Alx, 5), B(-2, 3) e C14, 11, obter x de modo que A seja eqüidistante de B e C.

G.ll Determinar o ponto P, da bissetriz dos quadrantes pares, que eqüidista de A(8, -8) e B(12, -2).

x

Solução

Y

{1) A E v

A(x, V) _{.2) AC}

₁

_AB ==>

={11 x2

=

O 2 2 B

2) d AC +_{d AB d BC}

C

Ix

+

41 2

+

Iv - 1)2 + Ix - 2)2 +Iv - 3)2 12 +41 2 +13 _ 1)2 De (2) temos:

G.14 Dados os pontos B12, 3) e CI-4, 11, determinar o vértice A do triângulo ABC, sabendo que ê o ponto do eixo y do qual se vê BC sob ângulo reto.

16

+

V2 - 6v

+

9

=

==

~ +6x +~ +

Y: -

14V + 49 = x2 - Sx + 16x - 14V

+"

49) - I-Sx + 16 - 6v) = O 14K - 8v + 33 = O

G.10 Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscIssas. sabendo queé eqüidistante dos pontos AIl, 31 e B(-3, 5).

Levando em Conta que x =- O, temos:

16 + (V2 - 2V + 1) +4 + (V2 - 6v +91 = 36 t 4

2V2 - Sv - 10 =O ==> V2 - 4v - 5 = O ==> V~ -1 ou V= 5

Resposta: A(O, -1) ou AlO, 5)

G.15 Dados A(-2, 4) e B(3, -1) vértices consecutivos de um quadrado. determinar os outros dois vértices.

G.16 Dados AIS, 7) e C(-2, -31, extremidades da diagonal de um quadrado, calcular as coordenadas dos vértices B e O, sabendo que xB

>

xO"

I

B~f'

Ú

<

I

J

·~sv

o

circuncentro (centro da circunferência circunscrita ao triângulo) é um ponto P

eqüidistante dos três vértices.

Plx, vi (1) dpA =dPB

l<'J

dpB = dpC

Solução

G~2 Dados os pontos AIS, 11), BI-4, -5) e C(-6, 9), obter o -circuncentro do triân-gulo ABC.

IV.

RAZÃO DE SECÇÃO

15. Dados três pontos--salineares A, B e C (com A

cF

B

cF

C), chama-se razão

de secção do segmento AB pelo ponto C o número real r tal que:

17. Uma pergunta importante é "como se poderia calcular o valor de r quando

\ são dadas as coordenadas de A, B e C?"

Uma primeira idéia seria escreVer:

AC

V

(X3 x,I'

+

(y] _ YI)'

r ---~

CB

V

(X3 -

x,)'

+

(Y3 - y,)'

18.

Contornamos essas dificuldades com a seguinte teoria

2'?)

é muito trabalhosa por causa da fórmula da distância.

3

0_{) dados A, B e r, não é possI"vel determinar C pois ten'amos duas}

incóg-nitas (xc' YC) e uma só equação.

mas esta não é uma boa saI"da pois:

isto é, a fórmula acima daria

incorrerlamos em erro.

IACI dAC

ICB

I

d

_{CB '}

é exterior a

AS

AC

1'?)

r ~ ~ e não

CB

sempre r;:"

O

e quando C

Exemplo

Para esclarecermos a definição dada, consideremos sobre um eixo e os

pon-tos C, D, E, F, G, H, I, J tais que os segmenpon-tos

ciS,

DE, EF. FG, GH,

HI

ejJtêm

comprimento ~. Tomemos A ~ F e B~ H e calculemos as razões (ABC), (ABD),

(ABE), (ABF), (ABG), (ABH), (ABI), (ABJ).

.~ ~ ~ A ~ ~B~ ~

-

,

H,

c,

A,

I

oi

(11

Aplicando o teorema de Tales às transversais AB e A, B, do feixe de

pa-ralelas AA" BB" CC, e notando que

----+ ----+

se AC e CB concordam ou não em

sen-- sen-- + - - +

tido o mesmo ocorre com A,C, e C,B" temos:

la Caso:

AB

não é paralelo a Ox e nem a Oy. e

-2

(não existe)

-3

J

2~

O

AH HB

ÃI

IB

AJ JB

H

(ABI)

(ABJ) (ABH)

AG ~

(ABG) ~~~-~

GB ~

G F

3

5

1

2

1

3

O

E

3~

O

H C

(ABF) (ABC)

(ABD)

(ABE)

(21

Aplicando analogamente o Teorema de Tales para as transversais AB e

A, B, do feixe de paralelas AA" BB" CC" temos:

Se tivermos A(x" VI), B(x" y,l e C(x-" V]), então teremos a partir de

(1) e (2):

1-

-1.

I)

r>

O

11)

<

O 111) r O

IV) 1

V)

'V

C, r

----+

16. O sinal da razão r não depende da orientação do eixo que contém AB

----+

nem do sistema cartesiano; depende de uma camparação de sentidos entre AC

...

e CB. Podem ser verificadas facilmente as seguintes propriedades da razão de secção.

->

=

C é inteiror a AB

-+

=

C é exterior a AB

=

C~A

->

=

C é médio de AB

-+

;IJ

caso:

AB

é paralelo a Ox

Neste caso, temos

Y, = Y2 = Y3

e somente podemos escrever:

Y3 - YI

r= - - -

=

r· Y2 - r •Y3 = Y3 - Y,

=

Y3

+

r • Y3 = Y,

+

r • Y2

==

Y2 - Y3

-+

P

caso:

AB

é paralelo a Oy

Neste caso, temos x,

= X2 = X3

e somente podemos escrever:

A

Exemplo

-+

Obter as coordenadas do ponto C que divide

AB

na razão 2, quando

(1, 5)

e

B(4, 17).

Y3

X,

+

r x2

+

r YI

+

r Y2

1

+

r

+

2

4 9

3

+

2

=3

5

+

2

17 39

13

1

+

2

3

} -

CI3, 131

19.

Exemplo

Dados

A(3, 7), B(5, 11)

e

C(6, 13)

calculemos a razão

(ABC):

pelas projeções no eixo Ox

6 - 3

=--=-3

5-6

21.

No caso particular de C ser o ponto médio de

AB

então r

=

1 é:

... X_l_+_X_2__

1

1

Y_l_+_Y_2_

)(3

2

.

.

Y3

=

2

pelas projeções no eixo Oy

Y3 - YI r =

--'....::_-'-'-Y2 - Y3

13 -

7

11-13=-3

Exemplo

Obter o ponto médio do segmento

AB

quando

A = (7, -1)

e

B = (-3,11).

É

evidente que só poder(amos obter

resultado~

iguais.

V.

COORDENADAS DO PONTO DIVISOR

20.

Dados

A(X"

yd,

B(X2' Y2)

e'r(r

*

-1),

calculemos as coordenadas

(X3' Y3) -+

do ponto C que devide

AB

na razão r. Temos:

X,

+

X2 X3 =

2

Y,

+

Y2

Y3

₂

(7)

+

(-3)

2

(-1)

+

(11)

2

2

5

} -

CI2,51

X3 -

x,

+

+

r

~

=

r •

X2 -

r •

"j= "3 - Xl

==

X3

r·

X3 = Xl

r·

X2

=

X2 - X3

==>

12-G

EXERC(CIOS

G.17· Calcular a razão IABCI sendo dados os pontos A(2, 31, B(1 -21 e C(

~,

--}-I,

G.t8 Dados A(4. 31 e BI2, 1), seja C a intersecção da reta AB com o eixo das abscis-sas, Calcula\ a razão (ABCl.

G.19 Determinar as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em três partes iguais, sabendo que A ~ (-1, 71 e B ~ (11, -B),

o

comprimento da mediana AM é a distância entre A eM:

Solução

Resposta: d AM ~ 5

,,-G.23 Dados os vértices consecutivos, AI-2, 1) e B14, 4), de um paralelogramo, e o ponto

E (3, -1), intersecção de suas diagonais, determinar os outros dois vértices.

~ 1

C divide o segmento AB na razão

_2:

H)

+ 1+1(11) 9

xA + r xB 2

3 Xc

1 + r _{+ -}1

""3

2 2

(7) + (.!.)1-8) 6

YA + r' YB 2 2

2

YC _{1 + r 1} ~3~

1 +

2 2

. - - - - .

----~ ---o~

20 ) Ao'/- _o

C

O

~

D divide o segmento AB na razão 2:

YA + r' • YB YO ~ 1 +r'

c

portanto, CI-2, 21 portanto, B(O, O)

XN ~

---r-

xB + Xc

=

-1 ~-2- O + xC

=

Xc ~ -2

YN ~ - - 2 -YB + YC

=

~

₂

=

YC~ 2 XM ~ xA + xB

=

1 ~ 2 + xB

=

xB ~ O

2 2

-YM ~ YA + YB₂

=

2 ~ - 2 -4 + YB

=

YB ~ O

2':') N é o ponto'médio de BC então: Solução

10) M é o ponto médio de AB então:

G.24 Do triângulo ABC são dados: o vértice A(2, 4), o ponto M(l, 2) médio do lado AB e o ponto NI-l, 1) médio do lado BC. Calcular o perfmetro do triângulo ABC.

'-oB

~ ~

~

7 3 -9

~""3 ~-3

1-1) + 2 • 11 1 + 2

7 +2 • (-8)

1

+

2

XA + r' • xB.

1 +r'

XO

Observemos também que D é ponto médio de BC:

2 XO ~ xB + xC

2

Resposta: C13, 2)

111) + (3) 2 e 017, -3)

7 YO ~ YB + YC 1-8)₂

+

2 -3

30 ) perímetro ~ _{d AB + d BC + dCA} ~

~

V

(2 - 0)2 + 14 - 0)2 + Y'i-0"'+'-'-2)-2-+-10---2-)2 +

V

12 + 2)2 + (4 - 2)2

~

.Ji.O

+

Vã

+

.Ji.O

~

4V5 + 2v2

~

212V5 + v2)

Resposta: 2 12V5 + v2)

G.20 Determinar os pontos que dividem AB em quatro partes iguais quando A (-1, -3)

e B ~ 123, 33), G.25 Se M12, 1), N(3, 3) e_{pectivamente, de um triângulo}P(6, 2)_ABe,são os pontos médios dos lados AB, BC e CA, res'_{determinar as coordenadas de A, B e C.}

C

Solução

O baricentro G é a intersecção das medianas do triângulo.

Tomando um triângulo ABC e construin-do as medianas AM e BN, formamos os triângulos ABG e MNG que são se-melhantes, portanto:

AG AB .

.K.-.

2

GM MN - Q,- B

2

G.26 Calcular as coordenadas do baricentro do triângulo ABC cujos vértices são Alxl, YII, B(X2, Y2) e C(X3, Y31.

M

B L._-#-_.L..._!!---'-C 3+5

-2- ~4

7+(-1) ~ 3 2 -XB +xC

2 YB + YC

2 Solução

O ponto M é tal que:

G.22 Calcular o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pon-tos AIO,O), B13, 71 e CI5, -1),

G.21 Até que ponto O segmento de extremos AI+1, -1I e BI4, 51 deve ser prolongado no sentido

M,

para qLie seu comprimento triplique?

isto é, G divide a mediana

AM"

na razão 2. Aplicando a fórmula do ponto divisor, temos:

XI + 2 x2 + x3

xA + 2xM 2 xI + x2 + x3

xG _{1 + 2 2 3}

YI + 2 Y2 +Y3

YA + 2YM 2 YI + Y2 +Y3

YG =

1 + 2 3 3

Resposta:

x2 + 14 - V3x12 _ 16

=

x2 + 16 - 8V3x + 3x 2 - 16

=

=

4x 2 - 8V3x

~

O

=

x - O ou x = 2v'3

=

===> Y =4 ou y = -2 (respectivamente)

Resposta: BI2V3, 21 e CiO, 41 ou C12v3. -21

G.30 Num triângulo ABC são dados:

Ii A12, Oi

111 MI-l, 41 ponto médio de AB III1 dAC = 10

IVI dBC .-

1OV2

A conclusão tirada no problema anterior, isto é, o fato de que "as coordenadas do baricentro são as médias aritméticas das coordenadas dos vértices" poderá ser utilizada

doravante em outros problemas de Anal ítica.

Obter o vértice C do triângulo.

G.31 Provar que os pontos médios dos lados do quadrilátero de vértices A(a, b), Bk, d), C(e, fi e O(g, h) são vértices de um paralelogramo.

G,27 O baricentro de um triângulo é GI1,6) e dois de seus vértices são A12, 5) e B14, 71.

Determinar o terceiro vértice.

Determinar os vértices B e C de um triângulo equilátero ABe, sabendo Que o

pon-to médio do lado AB é MIV3. 1) e A é a origem do sistema,

b+d+f+h 4 a+c+e+~ 4 +~ 2 2 2

b + h

+ ₂

c +e

2

d +f

2

xN

+

xO

2

YN + YO

2

Solução

1?) Aplicando a fórmula do ponto médio determinemos M, N, PeQ:

B N

MI a +2 c, b +2 d I; I--~

__

C

! / " \

c+e ,/i /~ , "'" \

NI -2-' d ; f );

M!~!

/ R.

s..

"~,,\,P

e+g ~).

PI-_{2- ,} 2 ' ," \

\

Ola+g ~) !

_'V--

JD

2 ' 2 . Ai- C

2?l Provemos que as diagonais do Quadrilátero MNPQ se cortam ao meIO, Isto é, os seus pontos médios, R eS, são coincidentes:

B M

A

5

o ponto médio do lado BC é NI-

2'

-1I

Determinar os vértices A, B, C.

0+ YB

--2-v'3= O_{- 2 - -}+ xB

=

=

XM ₂

=

xB =

2";-:;

_ YA + YB

YM - 2

=

YB =2

Solução 10_{1 Obter B}

xA + xB

.• I ' GI 4 4)

O baricentro de um trlangu o e -

3'

"3 '

1

e o ponto médio do lado AB é MIO,

21.

G,29 G.28

R S

=

MNPO é paralelogramo

é um

pa-e DIO -_,

2.

₂1

a+c+e+g -4 b+d+f+h -4 f + h

2 2

b +d + 2

XM +xp

2

VM + yp

2

s {

xS

YS

O quadrilátero de vértIces

G,32

Q= _{d AB} =

V

12V3 - 0)2 + 12 - 0)2 4

{ 1) dAC Q { 11 Ix - 0)2 + Iv - 0)2 16

=

Clx, vi 21

dBC Q

=

21 Ix -2,,;31 2 + Iy - 21 2 = 16 => { 11 x2+ y2 16

21 x2 +V2 - 4V3x - 4Y=O

De 11) em (2) resulta: 16 - 4V3x - 4y O

=

Y 4 - V3x

Ternos

que substituindo em (1) dá: ralelogramo? Justifique.

10=0

I

=

IA,

8, C coHneare$1

VI.

CONDiÇÃO PARA ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

;!!

parte:

Hipótese Tese

22.

Teorema

Três pontos A(x[, YI), B(X2' Y2), C(X3' Y3) são colineares se, e somente se,

Preliminar:

transformemos a hipótese para uma forma mais conveniente:

D

~

O

=

X3(YI - Y2) - Y3(XI - X2)

+

(XIY2 - X2yt! ~

O

=

D

O.

(H)

Hipótese Tese

Demonstração

Consideremos os

3

casos possl'veis:

19

caso:

dois dos pontos coincidem (C A, por exemplo)

1?

parte

:

IA.

B, Ccolinllare$

Demonstração

Consideremos os

3

casos possíveis:

ou X3 - Xl ~

O

=

X3 ~ Xl ~ X2

=

A, B, C

pertencem

à

mesma reta paralela a Oy, isto

é,

A, B, C são colineares.

ou Y2 - Y3

O

=

Y2 ~ Y3

=

B ~ C

existe uma reta contendo B ~ C e A, isto

é,

A. B, C são colineares.

ou X3 - XI

O

e Y2 - Y3 ~

O

=

B ~ C e A, B, C

pertencem

à

mesma reta para leia a Oy. isto

é,

A. B, C são colineares.

de (H), temos (X3 - xt! • (Y2 - Y3) ~

O

então

19

caso:

=

D ~ O (tem 1~ e 3~ linhas iguais)

2'?

caso:

os três pontos são distintos e pertencem a uma reta paralela a um

dos eixos(#Ox, por exemplo) então

Y[ Y2 ~ Y3

=

D ~ O (tem 2~ e 3~ colunas proporcionais)

_ {XI entao

YI

:f?

caso:

os três pontos são distintos e pertencem a uma reta não paralela a Ox nem a Oy.

Seja r a razão em que C divide AB(r

*'

-1). Temos:

X3 - XI Y3 - YI

r ~

=

(X3 - xt! (Y2 - Y3) ~

X2- X3 Y2-Y3

~ (X2 - X3) (Y3 - yt!

=

X3Y2 - XI Y2

+

Xl Y3 -X2V3 + X2YI - X3Yl =O

=

X3(Yl - Y2) - Y3(XI - X2)

+

(XIY2 - X2yt!

~

O

=

lo

=

01

v

D (segundo leorema de Laplacel

Ver nota sobre o teorema de Laplace no final deste capítulo.

de (H),temos (X3 - xt! • (Y2 - Y3) ~ O então:

ou X3 - Xl ~ O

=

X3 ~ Xl

=

A ~ C

existe uma reta contendo A ~ C e B, isto

é,

A. B. C são colineares.

ou Y2 - Y3 ~

O

=.

Y2 ~ Y3 ~ YI

=

A, B, C

pertencem

à

mesma reta paralela a Ox, isto

é,

A, B, C são colineares.

ou X3 - Xl ~

O

e Y2 - Y3 ~

O

=

A ~ C . e A, B, C

pertencem

à

mesma paralela a Ox, isto

é,

A, B, C são colineares.

jJ

caso:

I

X2 - Xl *-

Oe

V3

-

VI *-

O

I

VII.

COMPLEMENTO - CALCULO DE DETERMINANTES

de

(H)

temos (X3 - XI) • (Y2 - Y3) *-

O

= {

X3 - XI *-

O

V2 - Y3 *-

O

ainda de (H), (X3 - xd (Y2 - Y3) ~ (X2 - X3) (Y3 - yd vem:

Um determinante de 2~ ordem

comparando (1) e (2), temos:

o

~

I:

-~

I

~

1 • 7 - (-5) • 4

~

7

+

20

~

27

Exemplo

Um determinante de 3~ ordem

é

calculado pela fórmula:

(1 )

(2)

X3 - XI ~

V3

-

YI *--1

X2- X3 Y2-Y3

chamemos de r a estes dois quocientes iguais e consideremos o ponto C'(X4, Y4)

--->

que divide AB na razão r.

Pelo item 18, temos:

X4 - _{XI X3}

-

_{XI Y4}

_-

_YI

Y3 - YI

-- r ~ e

=

r ~

==

X2 - _{X4 X2}

_-

_{X3 Y2}

_-

_V4

Y2

-

Y3

=

X3 ~ X4 e Y3

=

Y4

=

C

=

C'

uma vez que A, B, C' são colineares e C = C', então A, B, C são colineares.

23. Exemplos

l?)iMostrarque A(-l,l), B(l,3) e C(7,9) sãocolineares.

ali a12 al3

O

a21 ~2 a23

a31 a32 a33

de acordo com o Teorema de da seguinte maneira:

Xl YI 1

1-

1 1

-I~

O _X2 Y2 ₁ ~ 1 3

~I

_{- I}

~

₁₁

I

₊

X3 Y3 1 7 9

+

I

~

~

I

~

+6 + 6 - 12 =

O

=

A, B, Ccolineares

mejro fator em cada produtoj

4?) somam-se os três produtos obtidos.

Exemplos

l?)'Desenvolvimento de

O

pela 3~ linha:

2?) Para que valores de x os pontos A(x, x), B(3, 1) e C(7, -3), são

colineares? al31 + (-1) • a 32 ja_{a23 a21}ll al31 + (+1) • a331 ali_{a23 a21} a121_a22 =

a13) - a32(all • a23 - a21 • a13) + a33(all • a22 - a21 • a12) =

I~

x

~

I

=

O

A, B, C colineares

₌

O

1

-3

O

x •

I

1

~

I -

_x

I~

I

+

I~

1

I

~

4x + 4x

-3 _-3

~ 8x - 16 ~ O ~ x ~ 2

- 16

~ a31 (a12 • a23 -

an

2?) Calcular

O

o

1

2

3

5

2

2

4 3 1

Temos, pela

1~

linha:

D~+l·l~

~1-3·1~

~1+2'1~

~I

+1

(5 •

1 - 3 . 2) - 3(2 . 1 -

4 •

2) + 2(2 .

3 - 4 • 5)

1

(5 -

6) - 3(2 - 8) + 2(6 - 20)

~

-1 + 18 - 28

~

-11

G.39 Dados A(3, 1) e 8(5, 5), obterO ponto em que a reta AS intercepta o eixo das

orde-nadas.

G.4D Dados A(2, -3) e 8(8, 1 l, obter o ponto em que a reta AS intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares.

G.41 Dados A(7,4) e B{-4, 2), obter o ponto em que a reta AS intercepta a bissetriz dos quadrantes pares.

EXERC(CIOS G.42 Dados AI-3,41, BI2,91, C12, 71 e 014, 51, obter a intersecção das re.tas AB e CO.

G.35 Determinar y para que os pontos AI3, 5), BI-3, 81 e C14, y) sejam colineares.

8

==

y

9

=

1+y 111

2x 2 =====> x

2x +2y - 18=O

=

x+Y=9 121

=0

=

x Y

2 7

4 5

=

5x - 5y+35 o O

=

x - yo -7

Como P, C. O colineares, temos:

Somando 111 e (2). vem: Resposta: P11, 81

I

-3

;

~ ~Ioo

4 1

==

Solução

Seja P(x, y) a intersecção das retas.' Como P, B, A colineares, temos:

l

I

7 O -6 O

são col ineares? C

li

o O

==

o O

=

-12 - 6y + 39 o O

==

~

I

Y 1

O

==

I-~

58

y

- yl3 + 3) + 124 + 151 9

=

Y°"2

2 7 14

col ineares

=415 - 8)

= 6 y = 27 A, B, C Solução

G.34 Os pontos All,3), B12,5) e C149,100)

G.33 Calcular os determinantes:

Resposta: y

_"2

9 G.43 Determinar Plxo, vol colinear simultaneamente com AI-l, -21 e B12, 1I e com

CI-2, 11 e 011, -4).

G.36 Mostrar que Ala, 2a - 1), Bla + 1, 2a + 1) e Cla+ 2, 2a+3) são colineares para

todo valor real dado a a. G.44 Determinar o ponto P da reta AB que está á dlStáncia 5 da origem. Dados A(O, -25)_{e BI-2, -111.}

G.37 Se· AIO, ai, Bla, -41 e Cll, 21, para que valores de a existe o triângulo ABC' Solução

(

1) Ix - 01 2+ Iy - 0)2 o 25

=

₂₁

I

_Ox _-25V 1₁

I

_{= O}

-2 -11 1 P, A, B colineares

{ li

Plx, y)

2)

De (2): -14x - 2y - 50 ~ O

=

y o -7x - 25 que substituindo em 111 dá:

x2 + (-7x -.25)2 =25

=

x2+ 49x 2 + 350x +625 = 25

=

==

50x2 + 350x + 600 o O

=

x =-3 ou x =-4 =

===:> y = -4 ou y = +3 (respectivamente)

Resposta: PI-3, -4) ou PI-4, 3)

-41

2 = O

. I

a1

então l-a

I

a -4

2 xA YA

0= xB YB

Xc yc isto é:

-ala - 1I+ 12a + 41 = O

=

a2 - 3a - 4 = O donde a -1 ou a 4 Resposta: a real, a

cf

-1 e a

cf

4.

Solução

Existe o triângulo se a E IR e os pontos A, B, C não são colineares. Impondo o alinhamento:

G.38 Dados All, 11 e B(10, -21, obter o ponto em que. a reta AB intercepta o eixo das abscissas.

G.45 Determinar na reta AS os pontos eqüidistantes dos eixos cartesianos. DadOS: A(-1,5) e B14, -21

VIII.

DEMONSTRAÇÃO DE TEOREMAS DE GEOMETRIA

PLANA

19) Faz-se a figura correspondente ao teorema

29)

Escolhe-se um sistema cartesiano em posição conveniente

39) Fixam-se as coordenadas dos pontos da figura impondo as hipóteses

49) Faz-se a demonstraçi\o

CAPÍTULO

II

EQUAÇÃO DA RETA

EXERCICIOS

25. Teorema

UA

toda reta r do plano cartesiano está associada ao menos uma equação

da forma ax

+

bV

+

c

=

O onde a, b, c são números reais, a

=1=

O ou b

=1=

O,

e (x, V) representa um ponto genérico de r

U •

G.46 Demonstrar que a mediana

à metade da hipotenusa.

Coordenadas:

A(Q. O), Bla, OI, C(Q, b)

Temos:

XB + Xc a

xM _{2 2}

YB + YC b

YM =

-2 2

relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é igual

Y

C

I.

EQUAÇÃO GERAL

Provar analiticamente que o segmento, cujas extremidades são os pontos médios dos

lados de um triângulo, é paralelo ao terceiro lado e igual à metade deste. Demonstrar que as diagonais de um trapézio isósceles são iguais.

Coordenadas

X

o

O

x

V

x,

V,

X2 V2

Desenvolvendo esse determinante pela regra de Laplace, temos:

Demonstração

Sejam

Q(X" V,)

e

R(X2, V2)

dois

pontos distintos do plano cartesiano. Isto

significa que

X" Vl, X2, V2

são números

reais (constantes) conhecidos.

Seja r a reta definida pelos pontos

Q

e R. Se

P(x,

V)

é um ponto que

percorre r, então x e V são variáveis.

Como P,

Q,

R são colineares temos

ne-cessariamente:

x

B

BC 2 AM

A

}-Alo, O), Bla, O). Clb, c) e D(a - b. c)

y

Demonstração

,

-j

b Va2 _+b2 dAM = 11--0 )2+1"2- 0 )2= 2 d SC = V la - 0)2 + (Q - b)2 = Va2 + b2

Demonstração

d

AC =V'(b---0-')2'--+-(-c-_-0-)-=-2 = V b2 + c2 } d BD =

V

la - b - a)2 + (c - 0)2 =

~

=?

AC

= BD

G.48

G.47

G.49 (EPUSP-47) Demonstrar que, num trapézio, os pontos médios das bases, a

inter-secção das diagonais e o ponto de interinter-secção dos lados não paralelos são colineares.

G_50 IEPUSP-44) Derr:onstrar que, num quadrilátero ABCD, os pontos médios das

diago-nais e o ponto médio do segmento cujos extremos são os pontos de intersecção de dois

lados opostos são colineares.

I

V,

1\

I

x,

1+

I

x,

V,

I

=

O

x -

- V •

V2

1

X2 X2 V2

(Vl - V2)

- x

+

(X2

x,)

V

+

(X,V2' - X2V,)

O

'--.,----J '--.,----J - y - - - /

a b c

que é equivalente

à anterior. Assim, a equação da reta é

mais simples) ou qualquer equação equivalente a esta.

Se escolhermos (4,3) e

(O, -1)

vem:

=

O

=

4x - 4V - 4

X -

Y - 1

=

O

(a O

y

O

0 = x-y-1

X V

4

3

O -1

X V

2

1

1

O

2<?)

Obter a equação da reta da

fi-Devemos escolher dois pontos

da-dos para montar o determinante

junta-mente com o ponto (x,

V)

variável. Se

escolhermos

(2, 1)

e

(1,

O)

vem:

gura.

Fazendo YI - Y2

=

a, X2 - XI

=

b e XI Y2 - X2VI

=

c, decorre que todo

ponto P

E

r deve verificar a equação

ax

+

by

+

c

=

O

I

1<?)

Ficou provado que toda reta (por mais "esquisita" que seja sua posição)

tem equação gera

I.

2<?)

Convém notar que a mesma reta admite várias (infinitas) equações gerais

pois, se usarmos

Q'(xí,

ví)

e

R'(xí, Yí)

para definirmos r, com

Q'

'*

Q

e

R'

'*

R,

obteremos provavelmente uma outra equação: a'x

+

b'V

+

c'

=

O.

Veremos, no item 35, que

a'x

+

b'y

+

c'

=

O é, entretanto, equivalente a

ax

+

by

+

c

=

O

26. Comentários

chamada equação geral de r.

Isto significa que a toda reta r do plano cartesiano está associado um

con-junto de equações equivalentes entre si.

3

0 )

Os coeficientes a e b não podem ser simultaneamente nulos pois:

a

0 = Y,

b

=

O

=

X2

e Q

'*

R por hipótese.

28. Teorema

"A toda equação da forma ax

+

bV

+

c

=

O, com a, b, c

E

IR, a

'*

O

ou

b

'*

O,

está associada uma única reta r do plano cartesiano cujos pontos

P( X,

V)

são as soluções da equação dada".

27.

Exemplos

-bVI -

C

-bY2 -

C

-bV3 -

C

(-bV3 - c) - (-bYI - c)

(-bV2 - c) - (-bV3 - c)

====> axI

==

aX2

===> aX3

Temos ainda:

aXI

+

bYI

+

c

=

O

aX2

+

·bY2

+

c

O

aX3

+ bY3 + c

O

X3 - X,

X2 - X3

Y3 - YI

Y2 - V3

portanto P

"

P2 e P3 são colineares.

Demonstração

Faremos a demonstração apenas para o caso geral em que a

'*

O e b

'*

O.

Sejam P"X"

vd,

_{P2(X2, Y2) e P3(X3, Y3) três pontos dois a dois}

distin-tos que satisfazem a equação dada. Então temos:

x

O

X

+

V - 7

~

~

4x

+

4V -

28

=

O

O Y

7

3

X

O

4

1<?)

Obter a equação da reta que

pas-sa por Q(4,

3)

e R(O,

7).

Entendemos por equação da reta

a condição que as coordenadas do

P( X, V)

devem satisfazer para

seja colinear com Q e R. Se

R são colineares, então:

QR

ponto

que P

P,

Q e

isto é, todo ponto da reta QR deve apresentar soma das coordenadas igual a sete.

29. Comentários

1'?) Este teorema mostra que, dada a equação ax

+

by

+

c

=

O, o

conjun-to dos pares (x, y) que a satisfazem é uma reta.

Está provado que todo ponto

P

3

(variável), que satisfaz a condição

ax

+

by

+

c

=

O, pertence necessariamente à reta P,P

2

(que existe e é única),·

à

qual daremos o nome r.

EXERCfclOS

31.

O anulamento de um dos coeficientes da equação geral da reta revela uma

propriedade especial da reta. Assim, temos:

I)

a =

O ===> YI - Y2

=

O ===> YI

=

Y2 ===>

r

li

x

isto é, quando a equação não tem o termo em x (exemplos:

3y - 4

O,

7y

+

11 = O),

a reta é paralela ao eixo das abscissas.

11) b

=

O

~

xi

-

Xl

=

O

===> XI

=

X2 ===> r

li

Y

isto é, quando a equação não tem o termo em Y (exemplos:

7x

-f

5

=

O,

9x - 4

= O),

a reta é paralela ao eixo das ordenadas.

111) c

=

O

===>

ax

+

by

=

O

===> (O,

O) satisfaz a equação pois

a • O

+

b • O

=

O

===>

(O, O) E r

isto é, quando a equação não tem o termo independente (exemplos: 3x

+

4y

=

O,

2x - 13y

= O),

a reta passa pela origem .

Já vimos que a

=

O e b

=

O é impossível, mas é possível:

IV)

(a

=

O

e c

=

O)

=

(r

li

x e

(O, O) E

r) ==> r

=

x

V) (b

=

O e c

=

O)

=

(r

li

y e

(O,

O) E r)

==>

r

y

Assim:

x

=

O, 7x

=

O,

Y2.

x

=

O

são equações do eixo dos y.

y

=

O, 5y

=

O, -513y

=

O são equações do eixo dos x.

y

x

=

O

==

O

+

2y -

6

=

O

==

==

y

=

3

x

=

6

==

6

+ 2y -

6

=

O

==

=

y =

O

isto é, os pontos

(O,

3) e

(6, O)

definem a reta.

Exemplo

Construir o gráfico dos pontos que

verificam a equação x

+

2y -

6

=

o.

. Como já sabemos, o grafico é uma

reta e, para localizá-Ia, basta localizar dois

de seus pontos. Assim, temos:

2'?) Este teorema mostra também que

SÓ

os pontos que satisfazem

à equação

ax

+

by

+

c

=

O pertencem à reta, portanto, um ponto está sobre uma reta

somente se suas coordenadas verificam a equação da reta.

30.

A principal conseqüência dos teoremas dos itens 25 e 28! é que em

Geo-metria Analítica Plana:

a)

"dar uma reti}' significa dar uma das equações da reta;

b)

"pe~ir

uma reta" significa pedir uma das equações da reta.

Exemplo

Verificar se A(2,2), B(4,

1) é'"

C(7, -1) pertencem

à reta r de equação

x

+

2y -

6

=

O.

Basta substitu ir x e y na equação dada pelas coordenadas de cada ponto e

verificar se a igualdade obtida é verdadeira ou falsa:

Resposta: 3x - y = O, x + y - 4 = O, y = O. = O=>4y = O~ Y= O

= O=> 3x +3y - 12= O ~ x +y - 4 = O ~ O=>3x - y = O

x y

1 3

O O

reta BC

x y

1 3

4 O

reta CA

x y

4 O

O O

G.51 Determinar as equações das retas suportes dos lados do triângulo cujos vértices

são A(O, O), B(l, 3) e C(4,01.

Solução

Cada reta édefinida por dois vértices:

reta AB

AEr B E r

C

~

r

(verdadeira)

(verdadeira)

(falsal

(2)

+

2(2) -

6

=

O

(4)

+

2(1) - 6 = O (7)

+

2(-1) -

6 = O A ---+

B ---+ C ---+

passa pela origem. Qual é a relação

Vamos resolver o sistema pelo

mé-todo da ad ição:

x -

V +

O

(D

+

®

2x

+ V -

2

O

3x

1

O

=

X -

1

3

~)

3

4

3'

P( .!.

3'

O

=

V~

(D.!.-V+1

3

Logo a intersecção de r com s

é

GJ2' Determinar a equação da reta definida pelos pontos AI

2

~

I e BI-

~

-

2)

2' 2 2' 2'

Dodos A(-5. -51. B(l, 51, C(19, OI e (r)5x - 3y O, verificar se r passa pelo

baricentro do triângulo ASC.

Provar que os pontos A(a; b+el, B(b; a+c) e e(e; a+b) são colineares e dctcrminnr a equação da feta Que os contém.

G.53 A reta determinada por AIa, OI e BIO,bl passa por C13,

41.

Oual éa relação

en-/ .trt'! a e b?

~

A ,eta determinada por A(p, ql e B(3, -21

entrp. p e q?

111. POSiÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS

Solução

Conforme vimos no G.26. as coordenadas do baricentro são:

XG XA + XB +

xc

1-51t (1) + (191

3 3 ~ 5

YG YA+YB+YC (-51 + (51 + (O)

3 3 O 33.

Dadas duas retas r e s cujas equações são:

Desenhar no plano cartesiano as retas cujas equações são dadas abaixo:

Rf~sposta: G

ti

r

Substituindo G(5, O) na equação de r, temos:

5151 - 3(01 ~ O (falsal

=

G

fi{

r

elas podem ocupar apenas três posições relativas no plano cartesiano. Essas

posições são definidas com base no número de pontos comuns às retas, isto é:

r e s concorrentes

==>

um único ponto comum

r e s paralelas e distintas

==>

nenhum ponto comum

r e s coincidentes

==>

infinitos pontos comuns

cl x - Y+ 5 = O

fi x-y-4=Õ

bl x + Y = 5 e) 2y + x

=

O ai Y~ 2x

di x • Y+ 3 ~ O

11. INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS

32.

Todo ponto de intersecção de duas retas tem de satisfazer às equações de

ambas as retas, portanto, obtemos o ponto comum

P(x

o, Vo)

a duas retas

concorrentes resolvendo o sistema formado pela suas equações:

(5)

)(r) a, . x

+

b, •

~

+

c,

~

O

t(s) az' x

+

_{bz .}

V

+

Cz

~

O

Y

o

r

X

s

Y Y

x

O

r

~

s

x

Exemplo

Obter a intersecção das retas:

(r) x - y

+

1 ~ O e (s) 2x

+

y - 2

O

Com o símbolo

r X s

indicaremos que

r e s são concorrentes; com

r

n

s

~

1>

indicaremos que r e s são paralelas e distintas; com r

~

s

indica-remos que

r e s são coincidentes (ou paralelas coincidentes).

Notemos que r

li

s significa r

n

s

~

1>

ou

r

~

s.

34. Todo ponto comum a r e s é solução do sistema (2::). Resolvendo

o sistema (2::) pelo método da adição, temos:

(Dx

b2

=

_{a l b2 x}

₊

_{b l b2 V}

₌

_{c l b2}

}8

@x

(-b j )

=

_{-a2 b jX - bl b2 V}

=

_{-c2 b j}

₊

(ai b2 - a2 b dx

=

lei

_{b2 - c2bd}

CDx

(- a2)

=

_{-ala2 x - b l a2V}

₌

_{-C l a2}}

@x

a j

=

_ala2x

₊

_alb2v

₌

_alc2

8

(ai b2 - a2 bdv (al~ - a2 cd

Fazendo:

Quando a2

*

O, b2

*

O e C2

*

O, temos:

=1

ai bl

I

alb2

=

a2 bl ai bl

D O <==> <==>

-a2 b2 a2 b2

Dl

=

I

c, bl

I

O <==> Cj b2

=

~bl <==> b j CI

C2 b2 b2 C2

=I

:~

Cl

1=

O ai Cl

D2 <==> _a,~

=

a2 Cl <==>

~ ~ ~

e a teoria pode ser simplificada para:

1~)

As retas (r) x

+

2V

+

3

=

O e (s) 2x

+

3V

+

4

=

O são

concorren-tes pois

ai b2 - a2 b l a j b,

_j

D

a2 b2

Cl b2 - c2b l c l b l

I

Dl

~ b2

ai _{c l}

I

=

at c2- a2cI _D2

a2 _c2

o sistema (2: ) fica reduzido a:

(~)e'x

Dl

@)

D·V _D2

@

cuja discussão é imediata.

r)(s

<==>

r=s <==>

36.

Exemplos

ai

*

b

l

az

bz

ai

₌

E.L

*

CI

a2

b

2 ~

ai

₌

J2.

₌

CI

a2

b

2 ~

35. São possíveis três casos:

isto

O

são paralelas

são concorrentes pois

*0

isto é,

1

= -2

*

3

3 6

1

O

e (s) 2x

+

4V

+

6 =

O

são coinciden·

isto é -

1

-2 3

2 4 6

(s) V

+

4 = O

:~

I I

_{~ ~}

I

=

1

D

=

ai

=

bl _ CI

a2

1l;' -

~'

4~)As retas (r) x - 2 =

O

e

~

=

~

*..:..J...

a2 b2 ~

3~) As retas (r) x

+

2V

+

3

tes pois

2~) As retas (r) x

+

2V

+

3 =

O

e (s) 3x

+

6V

+

1

e dL;tintas pois

*

O } <==> (l:) não tem solução <==> r

n

s

<==> (l:) tem infinitas

_solu~3es

<==> r = s

I'?

caso:

D

*

O

<==> (2::) tem uma única solução <==> r

X

s

2?

caso:

:P.

caso:

32-G

5?)As retas (ri x

+

y

+

m ~

O

e (s) x

+

y

+

2

O

são paralelas pois

aI bl _{isto é,}

1

1

-~' -

-a2

1

1

para m 2, temos (coincidentes)

para m

'*

_{2 e}

mE

IR, temos r

n

s ~

_r/J

(paralelas distintas)

G.ij1 Demonstrar que as retas

Irl x - 2y = O, (s) x + 2y - 8 = O e (t) 11 + klx + 211 - kly - 8 O

são concorrentes no mesmo ponto P,

V

k E IR.

Solução

1?) Obtemos a intersecção de r e s

EXERCICIOS

r

Xx - 2y = O

l

+ 2y - 8 = O

resolvend~ x 4 c y 2 4 P(4, 2)

Determinar a para que as retas de equações x + 2y - 2a = O. ax - Y - 3 e 2x - 2y - a =O sejam concorrentes no mesmo ponto.

/

G.59

IMAPOFE 1- 741 Determinar a intersecção das retas x + 2y o 3 e 2x + 3y

As retas suportes dos lados do triângulo ABC são (AB) 3x - 4y o O,

IBC) x + y - 7 ~ O e (CAI 4x - 3y o O.

Mostrar que ABC é um triângulo isósceles.

5.

G.6,2

/

2°1 Provamos que PEt

(1 + k)x_p + 211 - klyp - 8 11 + kl4 + 2 (1 - k)2-8 -4 + -4k + -4 - -4k - 8 = O,

V

kE IR

O

O

O

/

/

/

I

Se B Es, então as coordenadas verificam a equação de s.

Fé.!-YB = b, decorre: xB ~ -5Y8 :::::} x8

Solução

1?) Se A E r, então as coordenadas de A verificam a equação de r.

Fa-zendo xA ;:.: a, decorre:

YA = 3 xA ~ y A ~ 3a ~ Ala, 3al

Determinar m de modo que as retas de equações 3x +y - m =O, 3x - y +

e 5x - y - 1 = O definam um tr'lângulo.

Demonstrar que as retas de equações 2x + 3y =O, 12k + 1 Ix + 13k - 2)y + 5

e x _ 2y + 5 :;::. O são concorrentes no mesmo ponto, qualquer Que seja k.

1t

G.65 Oual é a equação da reta que passa por P13, 11, intercepta Irl 3x - y = O em A e (5) x+ 5y =: O em B tais que P é médio do segmento AB.

{A} = AB

n

CA ----;.

{3X

-

4y = O

4x - 3y = O

{3X - 4y = O

{B} AB

n

BC ----;.

x +y - 7 =O

{C} BC

n

CA ----;. {"+ Y- 7 = O 4x - 3y o O

2°1 Calculemos as medidas dos lados Ai;! e AC

dABOv'(Q-412+(0-3)2~5}

-

-2 ~-2 =>AB

=o

AC dAC o v'lO - 31 + lo - 41 = 5

~

Resolvendo os três sistemas formados, temos: A " lO, O), 8 o 14, 3) c C o 13, 4)

Solução

1?) Cada vértice do triângulo é a intersecção de duas retas suportes:

1°) Determinemos P, intersecção da 1~ com a 2~

{2X +3y - 1 - O

resolvendo

-+ x -1 e y +1 ---->P(-l. +11 x + y = O

2'?) Pro'Jemos que P pertence à 3~ reta

3xp + 4yp - 1 31-11 + 4(+11 - 1 _. -3 + 4

,

- n

Resolvendo o sistema formado por (1) e (2), temos a -= 1e b = -1, portanto,

A _ 11, 3) c 8 ~ (5. -11. XA + x8

~3 a - 5b ~a-5b=6 11I

xp =

2 2

YA + Y8 _{~~3a +b = 2}

,

₁₂₁

~1

yp

-2 2

4C:l AequJçJo da reta AB é: _ O~ 4x +4y - 18 O

x Y

1 3

5 -1 ~x+y-4=O

P é ponto médio de AB, então: 3'?)

O. O e 3x +4y - 1

o, x + y

2~ + 3y - 1 Provar que as retas de equações

concorrem na mesmo ponto P.

Solução

~60