REDUC ~
AO DIRETADE MODELOS PORTRUNCAMENTO BALANCEADO
JorgeS. Garcia y , Jo~ ao C.Basilio yy y
InstitutoMilitarde Engenharia
Departamentode Engenharia Eletrica
Praca General Tib urcio, 80
22.290-270 - Riode Janeiro-R.J.
E-mail: jsgarcia@taurus.ime.eb.br
yy
Universidade Federal doRiode Janeiro
Escola de Engenharia- Depto. de Eletrotecnica
CidadeUniversitaria -Ilha doFund~ao
21.945-970 -Riode Janeiro- R. J.
E-mail: basilio@coep.ufrj.br
Resumo| Ocalculo de modelosde ordemreduzida para sistemas deordem n~ao-mnima utilizando
trun-camento balanceadoegeralmente realizadoem tr^espassos, quaissejam, calculo deumarealizac~aode ordem
mnimaparaosistema,construc~aodeumatransformac~aodesimilaridadequelevaaumarealizac~aobalanceada
e nalmenteobtenc~aodeummodelodeordemreduzidacujoerrodeaproximac~aoemenorqueumdeterminado
limite.Nesteartigo,oproblemadereduc~aodeordemportruncamentobalanceadoseranovamenteconsiderado
esera propostoumalgoritmoparaseobterummodeloemordemreduzida emapenasumpasso. Comoo
al-goritmobaseia-seapenasemdecomposic~oesporvaloressingulares,eesperadoqueelesejarobusto. Umaoutra
caractersticaimportantedoalgoritmoequeeleseprestatantoparasistemasescalarescomomultivariaveis.
Abstract| Thecomputationofreducedordermodelsbybalancedtruncationforagivennonminimalorder
systemisusuallycarried outinthreesteps, namely,the computationofaminimalrealizationforthe system
followed by a construction of a similaritytransformation which leadsto a balanced realization and nally a
reducedordermodelwhoseapproximationerrorisbellowaprescribederrorboundisobtained. Inthispaper,
theproblemofmodelreductionbybalanced truncationisrevisitedandanalgorithmtoobtainareducedorder
modelinone steponlyis proposed. Sincethe algorithm relies solelyon singularvalue decompositions, it is
expectedtoberobust.AnotherfeatureofthealgorithmisthatitissuitableforSISOandMIMOsystems
KeyWords| Modelreduction,H1-control,state-spacerealization,multivariablesystems.
1 Introduc~ao
Realizac~oes balanceadas (Moore, 1981) t^em se
mos-trado cruciais tanto nareduc~aode modelos(Glover,
1984)emespacodeestadoscomonoprojeto de
con-troladoresH
1
pelaabordagemde1984(Doyle,1984).
Suaaplicac~aonareduc~aodemodelossebaseiana
me-dic~ao do grau de controlabilidade e observabilidade
dos modos do sistema, e a partir da, desprezam-se
aquelesmodosques~aofracamentecontrolaveisou
ob-servaveis.
Deuma formageral, aobtenc~ao de modelos de
ordem reduzida atraves do truncamento balanceado
desistemasdeordemn~ao-mnimaerealizadaemtr^es
passos: (i) obtenc~aodeumarealizac~ao mnima para
o sistema; (ii) construc~ao de uma transformac~ao de
similaridade,querelacionearealizac~aoobtidano
pas-so(i)comarealizac~aobalanceada(Moore,1981;Laub
etal.,1987) e;(iii)parauma dadamargemdeerro,
efetua-seotruncamentobalanceadoparaareduc~aoda
ordemdosistema(Glover,1984). Ajusti cativapara
essaabordagemdetr^espassosequemodelosdemenor
ordemn~aopodemserobtidosdiretamentedeuma
re-alizac~aoemespacodeestadosn~ao-mnima,vistoque
adecis~aosobreosmodosaseremdesprezadose
basea-danosgramianosdecontrolabilidade/observabilidade
dosistema,aposaobtenc~aodarealizac~aobalanceada.
Aobtenc~aodiretademodelosdeordemreduzida
apartirdeuma realizac~aoqualquer jafoi
considera-dapor Aldhaheri(1991), cujo algoritmo de reduc~ao
baseia-se na pre e pos multiplicac~ao da realizac~ao
de ordemn~ao-mnima por matrizes retangulares. A
ideiadoprocedimentodeAldhaheri(1991)eencontrar
os autovetores associados com os maiores
autovalo-res(emmodulo)dogramianocruzadoW
co
(Fernando
e Nicholson, 1982; Fernando e Nicholson, 1985). A
de ci^encia dessa abordagem esta no fato de que o
gramiano cruzado imp~oe que o sistema seja escalar
ou simetrico (no caso multivariavel). Entretanto, a
realizac~ao obtida em(Aldhaheri, 1991)n~aoe
balan-ceada, sendoent~aonecessario ouso deumdos
algo-ritmos disponveis na literatura para a obtenc~ao da
realizac~aobalanceada.
Neste artigo seraproposto um algoritmo paraa
obtenc~ao demodelos de ordemreduzida a partirde
umarealizac~aoemespacodeestadosn~aomnima. A
ideia,comoemAldhaheri(1991),econstruirduas
ma-trizes retangulares cuja menordas dimens~ao
corres-ponda a quantidadede valores singulares deHankel
aseremmantidosparaomodelo deordemreduzida.
DiferentedeAldhaheri(1991),arealizac~aoemespaco
deestadosobtidaparaomodelodeordemreduzidaja
estanaformabalanceada. Emaisainda,desdequeo
algoritmobaseia-senadecomposic~aoemvalores
singu-lares,eesperadoqueometodopropostosejarobusto.
nasec~ao2,oproblemadaobtenc~aodemodelosde
or-demreduzidaviatruncamentobalanceadoerevistoe,
nasequ^encia,eformuladooproblemadaobtenc~aoda
realizac~aobalanceadadomodelo deordemreduzida,
diretamenteapartirdeumadadarealizac~aodeordem
n~ao-mnima. Algunsresultadosmatematicos
prelimi-naress~aoapresentadosnasec~ao3. Oresultado
princi-paldoartigoeapresentadonasec~ao4,ondeamatriz
retangularesuainversaadireitas~aoconstrudas. Os
resultadosdoartigos~aoconsolidadosnasec~ao5,onde
um algoritmo e apresentado. Na sec~ao 6, a e cacia
doalgoritmo serailustradapor meiodeum exemplo
numerico,onde oalgoritmo proposto seraaplicado a
umsistemamultivariavel. Finalmente,conclus~oess~ao
apresentadasnasec~ao7.
2 Formulac~aodoproblema
Considere um sistemaestavel cuja realizac~ao em
es-pacodeestadosedadapor:
G(s)= A B C D (1) ondeA2R nn ,B 2R nm ,C 2R pn ,D2R pm e m;n;p2N
com(A;B)=(C ;A)n~ao-controlavel/n~
ao-observavelesejamWc eWoosgramianos de
contro-labilidadee observabilidadedarealizac~ao
representa-dapela equac~ao (1), i.e., Wc e Wo s~ao soluc~oes das
equac~oesdeLyapunov:
AWc+WcA T = BB T ; A T Wo+WoA= C T C
Sabe-seque,comoG(s)eestavel,ent~aoW
c eW
o
s~ao positivos semide nidos e os autovalores do
pro-dutoW
c W
o
s~ao os mesmos paraqualquer realizac~ao
emespacodeestados.
Asrazesquadradasdos
auto-valoresn~ao-nulosdoprodutoWcWoda-se onome de
valoressingularesdeHankeldeG(s).
Consideremos, ent~ao, a decomposic~ao por
auto-valoresdeW c W o : WcWo=W 2 0 0 0 W 1 onde 2 =blocodiag 2 L ; 2 s ;0 , 2 L e 2 s de nidas como: 2 L =diag 2 1 I m 1 ; 2 2 I m 2 ;:::; 2 r I m r e 2 s = diag 2 r+1 Im r +1 ; 2 r +2 Im r+2 ;:::; 2 k Im k , com i > 0,i=1;2;:::; k e i > j , i<j. Notemosque L
e s s~aoformados, respectivamente, pelos maiorese
menores valores singulares de Hankel. Suponha que
estamos interessados na obtenc~ao de um modelo de
ordemreduzida ~
G(s)paraG(s),demodoqueoerro
nadiferencaentreeles,nosentidodanormaH1,seja
menorouiguala2( r+1 + r +2 ++ k ),asaber: e=kG ~ Gk 1 2( r +1 + r +2 ++ k ):
Ent~aoo problemadese obter umarealizac~ao
balan-ceadadiretamenteapartirdarepresentac~aoemespaco
deestados(1)paraomodelodeordemreduzida ~
G(s)
deG(s)podeserenunciadodaseguinteforma:
encon-tre matrizes retangulares TL 2 R rn e T y L 2 R nr , r = m 1 +m 2 +:::+m r , T L T y L = I r (I r denota a
matrizidentidadedeordemr),talque
~ G(s)= " ~ A ~ B ~ C D # = " TLAT y L TLB CT y L D # (2)
comgramianos decontrolabilidade eobservabilidade
dadospor: ~ W c = ~ W o =diagf 1 I m 1 ; 2 I m 2 ;:::; r I m r g (3)
3 Resultadosmatematicos preliminares
Nesta sec~ao, ser~ao apresentados alguns resultados
uteisparaaconstruc~aodasmatrizesT
1 eT
y
1
aserem
empregadasnaobtenc~aodomodelodeordem
reduzi-da(2),umavezque,conforme caraclaronodecorrer
do texto, as matrizes TL e T y L s~ao submatrizes das matrizesT1 e T y 1
. De agoraemdiante, sera
assumi-doqueT
1 2R
k n
(k<n)e deposto completo, i.e.
(T1)=k.
E imediato veri car queT1 temuma
in-versa a direita T y 1 2 R nk tal que T 1 T y 1 = I k . Os
seguintesresultadospodemserenunciados:
Lema1 A matriz In T y
1
T1 e diagonalizavel e tem
n k autovalores iguaisa 1e k autovalores iguaisa
0.
Prova: A prova baseia-se no fato de que (Horn e
Johnson,1985) T1T y 1 e T y 1 T1 t^emos mesmos
autova-loresn~ao-nulos. Pode-se veri car,portanto, (Garcia,
2000),queT y
1
T1 temadecomposic~aoespectral
T y 1 T1=W I k 0 0 0 W 1
paraalgumamatrizdepostocompletoW e,portanto:
In T y 1 T1=In W I k 0 0 0 V =W 0 k 0 0 In k V; (4) ondeV =W 1
,oqueprovaoresultadodolema.
Lema2 Dados T1 e T y
1
satisfazendo as condic~oes
acima, existem matrizes T
2 2 R (n k )n e T y 2 2 R n(n k ) ,tais que: T 1 T2 T y 1 T y 2 = T 1 T y 1 T 1 T y 2 T 2 T y 1 T 2 T y 2 =I:
Prova: De(4)podemosescrever:
In T y 1 T1= W1 W2 0k 0 0 I n k V T 1 V T 2 ; onde W 1 ;V 1 2 R nk ,W 2 ;V 2 2 R n(n k ) e W 1 V T 1 + W 2 V T 2 =I n . De nindoT 2 =V T 2 eT y 2 =W 2 ,temos: (i)T1T y 1 =I k
,porde nic~ao;
(ii)T2T y 2 =V T 2 W2=In k; (iii)(I n T y 1 T 1 )T y 2 =(I n T y 1 T 1 )W 2 =W 2 =T y 2 . PortantoT1(In T y 1 T1)T y 2 =T1T y 2 ,oqueimplicaem T 1 T y 1 T 1 T y 2 =0ou,equivalentementeT 1 T y 2 =0. (iv)T2(In T y 1 T1)=V T 2 (In T y 1 T1)=V T 2 =T2. PortantoT2(In T y 1 T1)T y 1 =T2T y 1 eprocedendocomo em(iii),obtemos T2T y 1
=0, oquecompletaaprova
dolema.
Observac~ao: Aimport^anciadoLema2esta
associa-daaofatodequeelenosmostracomo construiruma
matrizquadradaT esuainversaT 1
,apartirdeuma
matrizretangulardeposto completoporlinhas T
1 ,e
sua inversa a direita T y
1
. Note que a construc~ao de
T apartirdeT
1
n~aoeapenas umameraquest~aode
linhasdeT1.IssoocorreporqueainversaadireitaT y
1
tambemedadaeda,comoestabelecidopelolema,as
linhasdeT2devemestarnoespaconuloaesquerdade
T y
1
eascolunasdesuainversaadireita,T y
2
,noespaco
nuloadireitadeT
1
.Issoeconseguido,comovistono
Lema2,tomando-se,respectivamente,os autovetores
de I n T 1 T y 1
e os correspondentes duais associados
comoautovalor1.
4 Resultado principal
Nesta sec~ao, iremos, inicialmente, obter express~oes
paraas matrizesT
1 e T
y
1
, queconduzama uma
rea-lizac~aomnimanaformabalanceadaapartirdeuma
realizac~aoemespacodeestadosn~ao-mnima
represen-tadapelaequac~ao(1),i.e.
G(s)= Ab Bb C b D b = " T1AT y 1 T1B CT y 1 D # ; (5) na qual T1AT y 1
possui todos os modos controlaveis
e observaveis de G(s).
E importante estabelecer a
relac~aoque haentreosmodosdarealizac~aoe os
au-tovaloresdeW
c eW
o
,noquedizrespeitoa
controla-bilidadee observabilidade. Para isso, podemos fazer
usodosseguintesteoremas:
Lema3 Seja
A B
C D
umarealizac~aoemespaco
deestadosdeuma(n~aonecessariamenteestavel)
ma-triz de transfer^encia G(s). Suponha que exista uma
matrizsimetrica
P =P = P1 0 0 0 comP 1
n~ao-singulartalque
AP+PA
+BB
=0:
Separticionamosarealizac~ao(A;B;C ;D)
compativel-mentecomP,daseguintemaneira:
2 4 A11A12 A 21 A 22 B1 B 2 C 1 C 2 D 3 5 ; ent~ao, A11 B1 C1 D
e tambem uma realizac~ao de G(s). E mais ainda,
(A11;B1)econtrolavel seA11 forestavel.
Prova: VideZhouetal.(1996,pag. 72e73).
Lema4 Seja
A B
C D
umarealizac~aoemespaco
deestadosdeuma(n~aonecessariamenteestavel)
ma-triz de transfer^encia G(s). Suponha que exista uma
matrizsimetrica
Q=Q = Q 1 0 0 0 comQ 1
n~ao-singulartalque
QA+A
Q+C
C=0:
Separticionamosarealizac~ao(A;B;C ;D)
compativel-mentecomQ,daseguintemaneira:
2 4 A11A12 A 21 A 22 B1 B 2 C1 C2 D 3 5 ; ent~ao, A11 B1 C 1 D
e tambem uma realizac~ao de G(s). E mais ainda,
(C 1 ;A 11 )eobservavel seA 11
forestavel.
Prova: VideZhouetal. (1996,pag. 73).
Podemosent~aoconcluir,apartirdoslemas3e4
queonumerodemodosn~ao-escondidosdeG(s)eigual
aonumerodeautovaloresn~ao-nulosdoprodutoWcWo
associado comarealizac~ao n~ao-mnima. Portanto, e
necessarioocalculo dosautovalores de WcWo, oque
pode serfeito de um modo maisrobusto, como o
a-presentadopelolemaaseguir.
Lema5 Os valores singulares de Hankel de uma
func~ao de transfer^encia G(s) estavel s~ao iguais aos
valoressingularesn~ao-nulosdeW 1=2 o W 1=2 c .
Prova: Denoteosvaloressingulareseautovalorespor
(:)e(:),respectivamente. Ent~ao:
(W 1=2 o W 1=2 c )= 1=2 (W 1=2 o W 1=2 c W 1=2 c W 1=2 o ) = 1=2 (W 1=2 o WcW 1=2 o )= 1=2 (WcWo):
Note que olado direito daequac~ao corresponde aos
valoressingulares deHankel,oqueprovaolema.
Observac~ao: Neste momento, e importante notar
que W
c e W
o
s~ao matrizes positivas semide nidas,
cujas razes quadradas podemser simplesmente
cal-culadas atravesdadecomposic~aoemautovalores (ou
equivalentemente, peladecomposic~aoemvalores
sin-gulares)eextraindo-searaizquadradadosautovalores
(valoressingulares).
Alemdofatodeserumamaneirarobustade
cal-cularosautovaloresdeWcWo,adecomposic~aoem
va-lores singulares de W 1=2 o W 1=2 c tambem desempenha
umimportantepapelnaconstruc~aodasmatrizesT1e
T y
1
,queconduzemarealizac~aomnima(5),conforme
aseguir.
Teorema1 Seja G(s) uma matriz de transfer^encia
estavel cujarepresentac~aonoespaco deestadose
da-da por (1) e com gramianos W
c e W
o
. Alemdisso,
suponha queWcWo tem aseguintedecomposic~ao por
autovalores: W c W o =W 2 0 0 0 V; comWV =I;
o que implica, pelo Lema 5 que W 1=2 o W 1=2 c tem a
seguintedecomposic~aoporvaloressingulares:
W 1=2 o W 1=2 c = X 1 X 2 0 0 0 Y T 1 Y T 2 =X 1 Y T 1 : De nindo T1= 1=2 X T 1 W 1=2 o eT y 1 =W 1=2 c Y1 1=2 ; (6)
ent~ao, arealizac~ao (5)e mnimaetemgramianos de
Prova: ParaT1eT y
1
,de nidosem(6),encontreduas
matrizes T2 e T y
2
(lemma 2) e construa uma
trans-formac~ao de similaridade T e sua inversa T 1 , do seguintemodo: T= T1 T 2 eT 1 = T y 1 T y 2 : Portanto, G(s)= " ^ A ^ B ^ C ^ D # = TAT 1 TB CT 1 D
tem gramianos de controlabilidade e observabilidade
^
Wce ^
Wo,respectivamente,dadospor:
^ Wc= T 1 T2 Wc T T 1 T T 2 = T 1 W c T T 1 T 1 W c T T 2 T2WcT T 1 T2WcT T 2 ^ Wo= (T y 1 ) T (T y 2 ) T Wo T y 1 T y 2 = (T y 1 ) T WoT y 1 (T y 1 ) T WoT y 2 (T y 2 ) T W o T y 1 (T y 2 ) T W o T y 2 :
Pode-severi carque
^ Wc= 0 0F e ^ Wo= 0 0 L ondeF =T 2 W c T T 2 eL=(T y 2 ) T W o T y 2 . Noteque FL=T2WcT T 2 (T y 2 ) T WoT y 2 =T2W 1=2 c (W 1=2 o T y 2 T2W 1=2 c ) T W 1=2 o T y 2 =0
vistoque,deacordocomoLema2eequac~ao(6),
W 1=2 o T y 2 T2W 1=2 c =W 1=2 o (In T y 1 T1)W 1=2 c =W 1=2 o W 1=2 c W 1=2 o W 1=2 c Y 1 1 X T 1 W 1=2 o W 1=2 c =0: Particionemos ^ A, ^ B e ^ CcompativelmentecomT daseguinteforma: G(s)= " ^ A ^ B ^ C ^ D # = 2 6 4 ^ A11 ^ A12 ^ A21 ^ A22 ^ B1 ^ B2 ^ C1 ^ C2 ^ D 3 7 5 ; onde ^ A11 =T1AT y 1 , ^ B1 = T1B e ^ C1 =CT y 1 . A m
deprovarqueAb,BbeCb,dadosem(5)s~aoiguaisa,
respectivamente, ^ A11, ^ B1e ^
C1,dadosacima,noteque
desdequeFL=0,ent~aoumasdasseguintes
possibi-lidadespodeocorrer:
(i)PelomenosumadasmatrizesF ouLe
iden-ticamentenula. Nestecaso,oresultadoeuma
conse-qu^enciaimediatadoslemas3ou4.
(ii) As matrizes F e L s~ao ambas n~
ao-identicamente nulas. Istoimplica que as colunas de
LpertencemaoespaconuloadireitadeF ou,
equiva-lentemente,aslinhasdeF pertencemaoespaconulo
aesquerdadeL. IstofazcomqueF tenhaaseguinte
decomposic~aoporautovalores:
F=U T F F 0 0 0 U F onde F =diag f 1 ; 2 ;:::; f g, i j >0,i<je f<n k.
Considere agoraa seguintetransformac~ao de
si-milaridade: T= I k 0 0 U F e T 1 = I k 0 0 U T F : Portanto, G(s)= " T ^ A T 1 T ^ B ^ C T 1 ^ D # = 2 6 4 ^ A11 ^ A12U T F U F ^ A 21 U F ^ A 22 U T F ^ B1 U F ^ B 2 ^ C 1 ^ C 2 U T F ^ D 3 7 5 (7) temgramianos W (1) c = 0 0 U F FU T F = 2 4 0 0 0 F 0 0 0 0 3 5 W (1) o = 0 0 UFLU T F = 2 4 0 0 0 L 11 L 12 0 L21 L22 3 5 :
Particionando-se a realizac~ao representada pela
equac~ao(7)compativelmentecom W (1) c ,obtemos: G(s)= 2 6 6 4 ^ A 11 A 12 A 13 A21 A22 A23 A 31 A 32 A 33 ^ B 1 B2 B 3 ^ C1 C2 C3 ^ D 3 7 7 5 ;
e aplicando-se olema 3 arealizac~ao de G(s) acima,
obtemos: G(s)= 2 6 4 ^ A 11 A 12 A21 A22 ^ B 1 B2 ^ C 1 C 2 ^ D 3 7 5 (8)
cujosgramianoss~ao:
W (2) c = 0 0 F e W (2) o = 0 0 L 11 : Noteque: F L 11 =0
umavezque
W (1) c W (1) o = 2 4 2 0 0 0 F L 11 F L 12 0 0 0 3 5 e W (1) c W (1) o = T ^ Wc ^ Wo T 1 = 2 0 0 0 :
Poroutrolado,noteque,comoF tem,porde nic~ao,
postocompleto,ent~ao
L
11
deveseridenticamente
nu-lo. Portanto: W (2) o = 0 0 0 :
Finalmente, aplicando-seolema 4aequac~ao(8),
re-sulta na equac~ao (5), com ^ A11 = Ab, ^ B1 = Bb e ^ C1=C b .
Uma vez obtida arealizac~ao mnima para G(s)
naformabalanceada, areduc~aodemodelo por
trun-camentobalanceadopodeserempregadadiretamente
arealizac~ao(5). Issoefeitodeacordocomoseguinte
Teorema2 Considere a realizac~ao balanceada de
G(s)dadaem(5)eassumaqueosgramianosde
con-trolabilidadeeobservabilidades~ao=diagfL;sg,
onde L = diagf1Im 1 ;2Im 2 ;:::;rIm r g e s = diagf r +1 I m r +1 ; r+2 I m r +2 ;:::; k I m k g com i > j, i=1;2;:::; k, i<j e mi e a multiplicidade de i
. Particionando-se(5)deacordocom,daseguinte
forma: G(s)= 2 4 A b 11 A b 12 Ab 21 Ab 22 B b 1 Bb 2 Cb 1 Cb 2 Db 3 5 ;
ent~aoosistematruncado
~ G(s)= A b 11 B b 1 C b1 D b (9)
eestavelebalanceado. Alemdisso:
kG ~ Gk 1 2( r+1 + r+2 ++ k ): (10)
Prova: videGlover(1984,pag. 1170)e(Zhouetal.,
1996,pag. 158).
A aplicac~ao direta do Teorema 2 a equac~ao (5)
conduzaoseguinteresultado:
Corolario 1 Particionando-se as matrizes T
1 e T
y
1
compativelmentecomogramiano,dadonoTeorema
2,doseguintemodo: T 1 = TL T s e T y 1 = T y L T y s ; (11) ent~ao, ~ G(s)= " T L AT y L T L B CT y L D # etalque kG ~ Gk 1 2( r+1 + r +2 ++ k ).
Prova: NotequematrizesA
b 11 ,B b 1 eC b 1 de(9)s~ao obtidasdeA b ,B b eC b daseguinteforma: Ab 11 = Ir0 r(k r) Ab Ir 0 (k r)r ; Bb 1 = Ir0 r(k r) BbeCb 1 =Cb I r 0 (k r)r ; onde r = P r i=1 m i e k = P k i=1 m i . Desta forma, substituindo-seAb =T1AT y 1 ,Bb =T1B eCb=CT y 1
naequac~aoacima,enotandoque
TL= Ir0 r(k r) T1 eT y L =T y 1 Ir 0 (k r)r
obtem-seoresultadodesejado.
Observac~ao: Note que, das de nic~oes de T
1 e T y 1 , dadasem(6),edeTL eT y L ,dadasem(11),podemos escrever: T 1 = TL T s = " 1=2 L 0 0 1=2 s # X T L X T s W 1=2 o T y 1 =W 1=2 c Y L Y s " 1=2 L 0 0 1=2 s # e,portanto, TL= 1=2 L X T L W 1=2 o e T y L =W 1=2 c YL 1=2 L : (12) 5 Oalgoritmo
Osresultadosobtidosnasec~aoanteriorpodemser
con-solidadosnoseguintealgoritmo:
Algoritmo 1 Para uma matriz de transfer^encia
G(s) : pm, racional, propria e estavel com uma
representac~aoemespacodeestadosn~ao-mnimadada
por: G(s)= A B C D ;
omodelodeordemreduzida ~
G(s),naforma
balancea-da,podeserobtidodaseguinteforma:
Passo 1: Calcule osgramianos decontrolabilidadee
observabilidade Wc eWo, respectivamente,mediante
aresoluc~aodasequac~oesdeLyapunov:
AW c +W c A T = BB T A T W o +W o A= C T C :
Passo 2: Obtenhaadecomposic~aoemvalores
singu-laresdeWceWo, Wc=UccU T c eWo=UooU T o respectivamente,eencontre W 1=2 c =U c 1=2 c U T c eW 1=2 o =U o 1=2 o U T o :
Passo 3: Calcule adecomposic~ao porvalores
singu-laresdoprodutoW 1=2 o W 1=2 c eaparticionedaseguinte forma: W 1=2 o W 1=2 c = XLXs X2 2 4 L 0 0 0 s0 0 0 0 3 5 2 4 Y T L Y T s Y T 2 3 5
onde L = diagf1Im
1 ;2Im 2 ;:::;rIm r g e s = diagf r+1 I m r+1 ; r +2 I m r +2 ;:::; k I m k g s~ao
forma-doscomosvaloressingularesdeHankelaserem
man-tidosedescartados,respectivamente.
Passo 4: FormeasmatrizesTLeT y L daseguinte for-ma: T L = 1=2 L X T L W 1=2 o e T y L =W 1=2 c Y L 1=2 L :
Passo5: Obtenhaomodelodeordemreduzida ~ G(s): ~ G(s)= " T L AT y L T L B CT y L D # : 6 Exemplo
Nesta sec~ao, os resultados do artigo ser~ao
ilustra-dos por meio um exemplo numerico (sistema
mul-tivariavel) cuja matriz de transfer^encia e dada por
(Zhouetal.,1996): G(s)= 1 d(s) 2 4 s+1 (s+1)(2s+1) s(s+1) s+2(s+2)(s 2 +5s+3)s(s+2) 1 2s+1 s 3 5 ; onde d(s) = (s+1) 2 (s+2). A partir da forma
de Smith-McMillan de G(s), v^e-se que os polos s~ao
2 e 1 (multiplicidade 3) e o unico zero e 2 e,
portanto,qualquer realizac~aodeordemmnimapara
[A;B;C ;D]em espaco de estados para G(s) e dada por: A= 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 32 0 0 0 00 10 0 0 0 00 0 0 2 2 0 00 0 0 0:50 0 00 0 0 0 0 4 40 0 0 0 0 1:2501 0 0 0 0 0:5 00 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5 ; B= 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 1 0:5 0:250:25 0 0 1:5 0:5 0:25 0:5 0 0 0 0 0 0:5 0:25 0:250:25 0 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5 C= 2 4 2000000 0020000 0000100 3 5 eD= 2 4 000 010 000 3 5 ;
queeclaramenten~ao-mnma.
Oproximopasso naobtenc~ao domodelo de
or-demreduzida paraG(s) consiste emobtera
decom-posic~aoemvaloressingularesdeW 1=2 o W 1=2 c =XY T .
Procedendo-sedessaforma,veri camosqueG(s)tem
osseguintesvaloressingularesdeHankel:
H=f1:34600;0:56144;0:22955;0:12175; 0:9944810 8 ;0:3775110 8 ;0:1377910 8 g:
Observequeostr^esultimos valoressingularesde
Han-kelsendodesprezados,acarretamnumerrode
aproxi-mac~ao kG ~
G k1 menor ou igual a 3:019610 8
.
Portanto, formando as matrizes TL (T y
L
) com as 4
primeiras colunas (linhas) de X (Y T
), obtemos o
seguintemodelo deordemreduzida
~ G(s)= " ~ A ~ B ~ C D #
paraG(s),cujasmatrizes ~ A, ~ B, ~ Cs~aodadaspor: ~ A= 2 6 6 4 1:19912 1:17669 0:20410 0:08115 0:22153 0:61453 0:23408 0:09276 1:20966 0:99303 2:28659 :50952 0:23454 0:34857 0:25357 0:89976 3 7 7 5 ~ B= 2 6 6 4 0:31978 1:71569 0:42683 0:66409 0:22411 0:44588 0:09831 0:85714 0:55265 0:10835 0:25235 0:37904 3 7 7 5 ~ C= 2 4 0:77478 0:19715 0:82738 0:32752 1:58965 0:78316 0:06424 0:16676 0:31744 0:19452 0:60092 0:28986 3 5
quepossuios gramianos decontrolabilidade e
obser-vabilidadeiguais,i.e.:
W
c =W
o
=diagf1:34600;0:56144;0:22955;0:12175g
sendo,portanto,balanceada. Notequeovalor
calcu-lado de kG ^ Gk 1 e aproximadamente1:510 15 ,
queesensivelmentemenorqueolimiteparaoerro.
Observac~ao: Umarealizac~aocommenosestadosque
a realizac~aoacima poderiaser obtida seguindo-se os
passos do Algoritmo 1. Defato, suponha que
esta-mosinteressadosemmanterapenasostr^esprimeiros
valoressingularesdeHankel. Nestecaso, procedendo
deacordocomoAlgoritmo1,obtemosumarealizac~ao
balanceadadetr^esestadosparaaqualovalor
calcula-dodekG ^
G k
1
eolimitesuperiordoerronaequac~ao
(10)s~ao,ambos,aproximadamenteiguais0.2435.
7 Conclus~oes
Neste artigo, o problemada reduc~ao demodelo por
truncamento balanceado foi estudado e um
algorit-mo simples foi apresentado. O modelo de ordem
reduzida e obtido em apenas um passo, pela pre e
pos-multiplicac~aodarealizac~aoemespacodeestados
n~ao-mnimapormatrizesretangulares. Outras
carac-tersticasdaabordagems~ao: arealizac~aoobtidapara
omodelode ordemreduzida jaesta naforma
balan-ceadaeoalgoritmotendeaserrobusto, vistoque se
baseiaemoperac~oesdedecomposic~aoemvalores
sin-gulares.
Agradecimentos
Estetrabalhofoiparcialmente nanciadopeloCNPq
(projetodepesquisano
352810/96-3).
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