UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA BIBLIOTECA UNIVERSITÁRIA. William Rafael Tavares

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William Rafael Tavares

EXCITAÇ ÕES MES ÔNICAS SOB INFLU ÊNCIA DE CAMPOS MAGN ÉTICOS FORTES

Florian´opolis 2015

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Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em F´ısica para a obtenção do Grau de Mestre em F´ısica.

Orientador: Prof.Dr. Sidney dos Santos Avancini

Florian´opolis 2015

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Esta Dissertação foi julgada aprovada para a obtenção do T´ıtulo de “Mestre em F´ısica”, e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-Graduação em F´ısica.

Florian´opolis, 30 de janeiro 2015.

Prof. Dr. Luis Guilherme de Carvalho Rego Coordenador

Universidade Federal de Santa Catarina Banca Examinadora:

Prof.Dr. Sidney dos Santos Avancini Orientador

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Prof. Dr. Celso de Camargo Barros Junior Universidade Federal de Santa Catarina

Prof. Dr. Jos´e Ricardo Marinelli Universidade Federal de Santa Catarina

Prof. Dr. Marcus Emmanuel Benghi Pinto Universidade Federal de Santa Catarina

Prof. Dr. Ricardo Luciano Sonego Farias Universidade Federal de Santa Maria

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Gostaria de agradecer o apoio dos meus pais e irm˜aos, que sempre me apoiaram nas minhas escolhas.

Ao professor Sidney dos Santos Avancini, pela sua paciˆencia em me orientar e passar seus ensinamentos.

Aos meus amigos, que me apoiaram desde o in´ıcio desta jornada. E a CAPES, pelo financiamento atrav´es da bolsa de estudos.

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Neste trabalho desenvolvemos as técnicas necessárias para realização do cálculo das massas dos mésons neutros no modelo de Nambu-Jona-Lasinio SU(2) na aproximação de campo médio(MFA) sob a influência de campos magnéticos fortes. Para tanto, utilizando o formalismo de funções de Green apropriadas para a descrição dos quarks em meio magnético, e através da Aproximação de Fase Aleatória (RPA), obteremos expressões para os propagadores dos mésons π0 e σ . Através do cálculo dos pólos dos propagadores obteremos as massas destes mésons.

Para mostrar a consistência do método que estamos empregando, também cal-culamos a equação do Gap já conhecida na literatura e obtivemos a expressão esperada.

Tamb´em pudemos calcular a constante de decaimento do π0_{em meio magn´etico,}

de modo a testar a relação de Gell-Mann-Oakes-Renner e ver que a mesma se preserva quando temos um campo magnético constante.

Palavras-chave: Cromodinâmica Quântica. Modelo de Nambu-Jona-Lasinio. Aproximação de Campo Médio. Funções de Green. Aproximação de Fase Aleatória.

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In this work, are developed the appropriate techniques for the calculation of the neutral mesons masses in the context of the Nambu-Jona-Lasinio SU(2) model. The mean field approximation under strong magnetic fields are used. It is utilized the Green functions formalism in a magnetic medium and using the Random Phase Approximation (RPA) are obtained expressions for the π0 and σ propagators. Through the calculation of the poles of these propagators the meson masses are obtained.

In order to show the consistency of our method, the Gap equation is calculated and our result reproduces the expression of the literature.

The π0 _{decay constant in a magnetic medium is also obtained in order to}

show that the Gell-Mann-Oakes-Renner relation is preserved in a magnetic medium.

Keywords: Quantum Chromodynamics. Nambu-Jona-Lasinio Model. Mean Field Approximation. Green Functions. Random Phase Approximation.

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Figura 1 Atual modelo padrão de part´ıculas elementares (Figura reti-rada da internet). . . 20 Figura 2 Poss´ıvel diagrama de fases da QCD (Figura retirada da inter-net). . . 22 Figura 3 Regras de Feynman do modelo NJL SU (2). . . 29 Figura 4 Série de Dyson: Primeiro termo representa o propagador do quark livre somado com um termo de autointeração(Tadpole). . . 29 Figura 5 Espalhamento de quarks up e down mediante troca de um méson π+. . . 31 Figura 6 RPA, como uma série de infinitos anéis de polarização. . . 32 Figura 7 Em (a), com o tempo indo da esquerda para direita, t0< t, o quark se propagando de x0→ x.Em (b) com t < t0_{, o anti-quark se}

propa-gando de x → x0. . . 36 Figura 8 Fenômeno da catálise magnética, para a parametrização 2 da tabela 1. . . 56 Figura 9 Conjunto de soluções autoconsistentes para a massa do π0em meio magnético, utilizando as parametrizações da tabela 1. . . 57 Figura 10 Comparação entre o método autoconsistente e a aproximação p0_k2≈ p2_{(não auto-consistente), utilizando o set 1. . . 58}

Figura 11 Massa do méson σ , sua massa sofre catálise mediante um campo magnético, onde utilizamos o set 2. . . 59 Figura 12 Constante de decaimento do π0. . . 60 Figura 13 Constante de decaimento do π0_{para campos magnéticos}

bai-xos, onde F_π0= 92, 4MeV é a constante de decaimento do pion no vácuo. 60 Figura 14 Constante de decaimento do π0_{para campos magnéticos}

bai-xos, a partir do resultado apresentado em [33], onde Fπ = 93MeV ´e o

valor escolhido pelo autor para a constante de decaimento no v´acuo. A curva pontilhada reprsenta o limite quiral da teoria onde Mπ= 0. A linha

cont´ınua Mπ= 140MeV . . . 61

Figura 15 Acoplamento efetivo gπ qqsob influˆencia de um campo magn´etico

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Tabela 1 Parametrizac¸˜oes . . . 55 Tabela 2 Massas das part´ıculas importantes para este trabalho. . . 67

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1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 19

1.1 A CROMODIN ˆAMICA QU ˆANTICA . . . 19

1.2 QCD SOB CONDIC¸ ˜OES EXTREMAS . . . 21

2 UM MODELO EFETIVO PARA QCD EM BAIXAS ENER-GIAS . . . 25

2.1 QCD E SUAS SIMETRIAS . . . 25

2.2 O MODELO DE NAMBU-JONA-LASINIO NO V ´ACUO . . . . 27

2.3 MASSAS DOS M ´ESONS π E σ . . . 30

2.4 CONSTANTE DE DECAIMENTO DO PION NO V ´ACUO . . . 34

3 NJL SU (2) COM CAMPO MAGN ´ETICO CONSTANTE . . 35

3.1 A LAGRANGIANA DO MODELO NJL COM CAMPO MAGN ´ETICO EXTERNO CONSTANTE . . . 35

3.2 PROPAGADOR DE FEYNMAN EM UM CAMPO MAGN ´ETICO EXTERNO CONSTANTE . . . 37

3.3 EQUAÇ ÃO DO GAP EM MEIO MAGN ÉTICO . . . 39

3.4 REGULARIZAC¸ ˜AO . . . 41

3.4.1 C´alculo de I . . . 44

3.4.2 C´alculo de Idiv. . . 45

4 EXCITAÇ ÕES MES ÔNICAS EM MEIO MAGN ÉTICO . . 47

4.1 AN ÉIS DE POLARIZAÇ ÃO EM RPA . . . 47

4.2 A CONSTANTE DE DECAIMENTO DO PION EM MEIO MAGN ´ETICO . . . 52

5 RESULTADOS NUM ´ERICOS . . . 55

5.1 PARAMETRIZAC¸ ˜OES . . . 55

5.2 A CAT ´ALISE MAGN ´ETICA . . . 55

5.3 EXCITAÇ ÕES MES ÔNICAS . . . 56

6 CONCLUS ˜OES E PERSPECTIVAS FUTURAS . . . 63

AP ÊNDICE A -- Definições e Convenções . . . 67

AP ÊNDICE B -- Relações matemáticas úteis . . . 73

AP ÊNDICE C -- Cálculo do Traço do propagador SF(x, x0) . 77 AP ÊNDICE D -- Cálculo do Traço da expressão para a massa do méson π0 . . . 81

AP ÊNDICE E -- Cálculo do Traço para o méson σ . . . 89

AP ÊNDICE F -- Cálculo do Traço para a constante de de-caimento do π0_{. . . .} ₉₇

AP ÊNDICE G -- Cálculos de normalização de polinômios de Laguerre para π0e σ . . . 105

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1 INTRODUC¸ ˜AO

A f´ısica contemporânea na área de altas energias vem enfrentando de-safios cada vez mais complicados, que necessitam de técnicas alternativas cada vez mais sofisticadas tanto no âmbito teórico quanto experimental. En-tender propriedades do universo primordial, do plasma de quarks e glúons, estados da matéria que são explorados por laboratórios como os do CERN e do BNL através de colisões de ´ıons pesados, e o estudo de objetos compac-tos, como as estrelas de nêutrons têm sido alguns desses desafios. Na linha deste trabalho, nos focaremos em estudar a f´ısica hadrônica, setor do modelo padrão que trata da interação forte, e que tem alguns dos ingredientes essen-ciais para almejarmos entender estes vários problemas de interesse da f´ısica atual.

1.1 A CROMODIN ˆAMICA QU ˆANTICA

Hádrons são part´ıculas que interagem mediante a força forte, como os p´ıons, os prótons e nêutrons. A interação forte, é a interação que mantêm os núcleos dos átomos coesos, ou seja, mantêm os núcleos estáveis, já que a força de repulsão Coulombiana(Eletromagnética) a princ´ıpio, deveria fazer com que os prótons do núcleo se repelissem. A teoria responsável por expli-car os fenômenos relacionados à interação forte é a Cromodinâmica Quântica (QCD - Quantum Chromodynamics) [1] [2], desenvolvida em meados dos anos 60, após a idéia de adicionar graus de liberdade internos para os hádrons e faz parte do atual modelo padrão. Nesta teoria, os constituintes fundamen-tais são chamados de quarks e glúons, e seriam estes os responsáveis por formar os prótons, nêutrons, p´ıons, entre muitas outras part´ıculas que vinham sendo descobertas nesta época.

A QCD possui 6 quarks que portam carga de cor e sabor, além dos bósons não-massivos, mediadores da interação forte, que são os glúons. Os quarks mais leves, primeiros a serem propostos, são os quarks up e down, e estes formam os hádrons mais conhecidos, os prótons e nêutrons. Dentre as caracter´ısticas mais marcantes da QCD estão o confinamento, na qual os quarks e glúons sempre estariam confinados formando hádrons, e a liberdade assintótica [1], que permite analisar o comportamento da constante de aco-plamento da teoria para os processos de altos momentos transferidos(altas energias) e baixos momentos transferidos(baixas energias).

Embora, esta teoria seja muito bem testada e comprovada num re-gime de altas energias(rere-gime pertubativo) ela apresenta diversas

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dificulda-Figura 1 – Atual modelo padr˜ao de part´ıculas elementares (dificulda-Figura retirada da internet).

des técnicas no regime de baixas energias (regime não-pertubativo). Das al-ternativas que existem atualmente que nos ajudam a exprimir resultados da QCD em baixas energias encontram-se os trabalhos de QCD na rede (Lattice QCD) [3], que é a tentativa, a partir de primeiros princ´ıpios, de discretizar o espaço-tempo e obter resultados diretamente da Lagrangiana da QCD em cálculos numéricos, que em geral, são trabalhosos e requerem um arsenal computacional pesado. Outras técnicas que contribuem para o avanço dos estudos de QCD em baixas energias são os trabalhos de Regras de Soma da QCD [4] e modelos efetivos [5] [6] [7] [8] [9].

Desta forma, pode-se perceber que a QCD é a teoria que trata de des-crever o comportamento dos constituintes que são responsáveis basicamente por quase toda a massa dos átomos conhecidos, já que a massa dos prótons e dos nêutrons é cerca de duas mil vezes maior que a massa dos elétrons. Porém, quase toda essa massa hadrônica é devido as interações dos quarks e glúons internos. Isso ocorre devido ao fato das massas dos quarks mais leves serem extremamente baixas. A massa de um próton é de 938, 3MeV , porém, o mesmo é formado por dois quarks up e um down, portanto, um cálculo ingênuo nos indicaria que cada quark deveria ter cerca de 312, 76MeV de massa. Devido ao confinamento, a massa dos quarks não é acess´ıvel ex-perimentalmente(e é chamada de massa de corrente), mas cálculos teóricos, baseados em quantidades que podem ser medidas no laboratório, indicam que

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a massa destes quarks mais leves devem ser da ordem de 5MeV , e esta massa ´e gerada via mecanismo de Higgs.

Portanto, temos uma cenário interessante, pois embora as massas de corrente dos quarks mais leves sejam muito baixas, estes se comportam como se tivessem uma massa muito maior quando confinados dentro dos hádrons, e para essa massa damos o nome de massa efetiva. O mecanismo responsável por gerar a massa efetiva para os quarks está diretamente relacionado com a quebra dinâmica de simetria quiral1_{, que é uma das caracter´ısticas}

fundamen-tais da QCD.

Neste trabalho o nosso objetivo será trabalhar com o modelo de Nambu-Jona-Lasinio(NJL), na Aproximação de Campo Médio [5] [6] [10] [11] , in-terpretado como um modelo efetivo para QCD em baixas energias incorpo-rando suas mesmas simetrias, embora, em sua forma mais simples não possua caracter´ısticas fundamentais da QCD, como o confinamento e a liberdade as-sintótica. Estamos interessados também, basicamente na primeira geração de quarks, isto é, os mais leves, up e down, que nos dão a versão mais simples do modelo, conhecido como NJL SU (2)(neste caso é o grupo de simetria ca-racter´ıstico do modelo), na qual interpreta-se que a escala de energia do mo-delo é suficientemente baixa para excitar outros quarks mais pesados. Uma generalização na qual inclui-se o quark strange motivaria o uso do modelo de NJL SU (3) [11].

1.2 QCD SOB CONDIC¸ ˜OES EXTREMAS

Incorporar carcater´ısticas como temperatura finita e densidade bariônica (potencial qu´ımico) na QCD têm sido de enorme interesse nas últimas décadas. A partir dos resultados obtidos pelos principais laboratórios do mundo em pesquisas com colisões de ´ıons pesados, espera-se haver um estado em certas temperaturas e/ou densidades finitas, nas quais os quarks e glúons não for-mem mais matéria hadrônica, de modo a obterem um livre caminho médio razoavelmente maior do que o encontrado no interior dos hádrons, e forma-rem então um novo estado da matéria, o plasma de quarks e glúons. Para tanto, como dito anteriormente, isso não é uma terefa simples na QCD no regime não-pertubativo(baixas energias). O uso de modelos efetivos, como o NJL SU (2) tem mostrado resultados frut´ıferos, mesmo quando comparados com os resultados da rede.

Os experimentos de colisões de ´ıons pesados conseguem em um curto 1_{Esta simetria só é exata num limite em que as massas dos férmions do modelo são nulas.}

Na QCD, dizemos que a simetria Quiral ´e aproximada devido a pequena massa dos quarks up e down.

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intervalo de tempo(cerca de 1 f m/c para campos magnéticos intensos), re-produzir as condições extremas dos instantes iniciais da grande explosão do Big Bang, com temperaturas de centenas de milhares de kelvins, densidades extremamente altas e campos magnéticos maiores que 1018G.

Na figura 2 apresentamos o poss´ıvel diagrama de fases da QCD, que deve manifestar-se nos cenários comentados anteriormente, na qual para bai-xas densidades bariônicas e altas temperaturas espera-se um crossover da matéria hadrônica para o plasma de quarks e glúons, já que devido ao fato da simetria quiral não ser exata na QCD, não encontramos de fato transições de fases neste regime. No outro lado, baixas temperaturas e altas densidades bariônicas, espera-se uma transição de primeira ordem. Ainda espera-se que para alt´ıssimas densidades bariônicas exista uma fase de supercondutividade cor, que não será tratada neste trabalho.

Embora este seja um diagrama hipotético, já que as principais informações são tiradas em geral, de modelos efetivos e da QCD na rede, ele nos fornece uma previsão do cenário que a QCD sob essas condições extremas pode apre-sentar.

Figura 2 – Poss´ıvel diagrama de fases da QCD (Figura retirada da internet). Além de incluirmos fatores externos como temperaturas e/ou densida-des finitas, outra caracter´ıstica que pode ser incorporada é o campo magnético. Nas colisões de ´ıons-pesados, núcleos de chumbo ou ouro, ricos em prótons e

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nêutrons, são acelerados a velocidades próximas às da luz, sofrem contração de Lorentz, de modo a ficarem achatados e então colidem. Logo após a colisão, devido à alt´ıssima densidade de energia envolvida na colisão, tem-peraturas alt´ıssimas são alcançadas, e o meio, que é extremamente denso e quente passa a ser formado por quarks e glúons, os constituintes dos prótons e nêutron anteriores. O plasma então resfria e expande rapidamente sofrendo então uma transição , formando matéria hadrônica novamente. Espera-se que nas colisões de ´ıons não-frontais, as part´ıculas que não participam propria-mente da colisão contribuam com intensos campos magnéticos.

O nosso trabalho tem por objetivo, em incluir campos magnéticos intensos, estudar o comportamento dos quarks up e down e as excitações mesônicas do modelo NJL SU (2) sob a influência de um campo magnético constante, através da utilização de diagramas de Feynman.

No segundo cap´ıtulo deste trabalho, são analisados aspectos de sime-tria da QCD em baixas energias e o modelo NJL SU (2) de modo a justificar a utilização do modelo. Ainda incluiremos os principais resultados reprodu-zidos pelo modelo de forma não-pertubativa. No terceiro cap´ıtulo apresenta-remos o modelo NJL SU (2) sob influêcia de um campo magnético constante, e com ele obter os mesmos estudos do segundo cap´ıtulo. No quarto cap´ıtulo, calcularemos as excitações mesônicas do modelo e apresentaremos os resulta-dos no cap´ıtulo 5. Este trabalho ainda contém um conjunto de oito apêndices que darão suporte aos cálculos realizados no decorrer do texto.

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2 UM MODELO EFETIVO PARA QCD EM BAIXAS ENERGIAS No trabalho proposto por Yogiro Nambu e Giovanni Jona-Lasinio em 1969 [5] [6], houve uma tentativa de explicar a interação de nucleons medi-ante troca de mésons, no contexto de f´ısica nuclear da época. O mecanismo de geração da massa foi desenvolvido em analogia à equação do Gap na te-oria BCS. Como era um modelo para f´ısica nuclear anterior a existência da QCD, o confinamento foi completamente ignorado, preservando algumas ca-racter´ısticas, como a conservação (parcial) da simetria quiral. Posteriormente, este modelo pode ser reinterpretado como uma teoria efetiva para QCD em baixas energias.

2.1 QCD E SUAS SIMETRIAS

Apesar de estarmos utilizando um modelo efetivo para tratar a matéria hadrônica e explorar o diagrama de fases da QCD, devemos enfatizar que al-gumas das principais caracter´ısticas da QCD são preservadas. A Lagrangiana da QCD é dada por:

LQCD= − 1 4F µ ν a Fµ νa + ψ i /D− ˜m ψ , (2.1)

onde os Tensores de Forc¸a Faµ νs˜ao definidos por:

F_{µ ν}a = ∂µA a ν− ∂νA a µ+ g fabcA b µA c ν, (2.2)

e os campos ψ ≡ ψ_ij, com o ´ındice de cor j = r, g, b, fica subentendido, e i= 1, ...6, s˜ao os sabores do modelo.

Com a derivada covariante definida por: Dµ = ∂µ− ig

1 2λ

a_Aa

µ, (2.3)

os campos de calibre Aa_µ(x) representam os campos dos glúons, com os in-dices gregos(Lorentz) µ, ν = 0, 1, 2, 3 e os latinos a, b, c = 1...8; a constante de acoplamento é dada por g; as matrizes λa_{são as matrizes de Gell-Mann,}

geradoras do grupo SU (3) caracterizadas pelas constantes de estrutura f_abc; a matriz das massas ˜mé diagonal, e comumente são chamadas de massas de corrente, pois devido ao confinamento as mesmas não são observáveis.

Se nos focarmos no setor da primeira geração de quarks, que são os mais leves, up e down, o que nos dá uma escala de energia de MeV até GeV

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de aplicabilidade, e estudarmos as simetrias envolvidas, veremos que elas permanecem as mesmas quando aplicadas ao modelo de NJL. Portanto, es-crevendo

LQCD=Lud+Lscbt, (2.4)

a LagrangianaL_scbtenvolve os quarks mais pesados strange, charm, bottom e top. Como L_ud envolve os quarks mais leves, podemos redefinir como Lchiral, Lchiral= − 1 4F µ ν a Fµ νa + ψ i /D− ˜m ψ , (2.5)

com a matriz das massas dada por: ˜ m=mu 0 0 md , (2.6) e os espinores ψ: ψ = ψu ψd . (2.7)

Vamos explorar algumas simetrias para essa parte da Lagrangiana da QCD.

A simetria U (1)V ´e preservada frente a mudanc¸a ψ → exp[−iα]ψ e

ψ → exp[iα ]ψ , com α ∈ ℜ. Segundo o teorema de Noether, devemos ter uma quantidade preservada, e esta é o número bariônico:

Z

d3p j0=

Z

d3pψ†ψ . (2.8)

Para a simetria do tipo ψ → exp[−i−→τ .−→θ /2]ψ e ψ → exp[i−→τ .−→θ /2]ψ , com−→τ sendo as matrizes no espac¸o de isospin, referente ao grupo SU (2)V,

com−→θ ∈ ℜ3, a corrente conservada ´e: Ja_µ= ψγµτ

a

ψ , (2.9)

que corresponde a uma rotação no espaço de isospin, portanto dizemos que é uma simetria de isospin. Neste caso, é uma simetria aproximadamente con-servada, visto que os quarks up e down têm massas com valores próximos, mas não iguais. Se tormarmos o limite mu= md= m, a simetria é exata.

Podemos explorar também a transformação ψ → exp[−iγ5−→τ .−→θ /2]ψ e ψ → exp[iγ5−→τ .

− →

θ /2]ψ referente ao grupo SU (2)A, com

− →

θ ∈ ℜ3. É uma simetria aproximada, já que só é verdadeira no limite em que as massas de

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corrente dos quarks ´e nula. A quatidade conservada ser´a:

J_µa= ψγµγ5τaψ . (2.10)

Esta simetria, assim como as outras citadas, é compartilhada no mo-delo NJL e nos dá informações preciosas. Se analisarmos o modo de Golds-tone [10] [11], a quebra espontânea de uma simetria global e cont´ınua, acar-reta a existência de bósons de Goldstone, ou seja part´ıculas não-massivas de spin zero. No nosso modelo, é natural associar estas part´ıculas aos p´ıons, mesmo que num limite aproximado, já que sua massa é pequena comparada à massa dos nucleons mπ/MN≈ 0.15.

Ainda há outra simetria referente ao grupo U (1)A, pela transformação

ψ → exp[−iγµγ5]ψ e ψ → exp[iγµγ5]ψ. Esta ´e outra simetria que se mantˆem,

mas devido à incapacidade de associar um bóson de Goldstone à teoria, ela acabou se tornando um problema. O problema foi resolvido por t’Hooft, porém esta simetria não deve manifestar caracter´ısticas f´ısicas [11].

Mais informações sobre as simetrias da QCD podem ser encontradas nas referências [10] [11]. Podemos escrever que a QCD apresenta as seguin-tes simetrias cont´ınuas:

SU(2)V⊗ SU(2)A⊗U(1)V⊗U(1)A. (2.11)

O modelo NJL assim como a QCD apresenta estas caracter´ısticas, mas falha em incorporar o confinamento, sem a presença dos glúons em seu mo-delo mais simples. É poss´ıvel incorporar o comportamento do confinamento via um campo de fundo, através do Loop de Polyakov [12] [13]. Outro fator que devemos enfatizar é que no modelo NJL como veremos mais tarde, esta-mos limitados a uma faixa de energia de até ≈ 1GeV , considerado um limite de baixas energias, que é dificil de ser explorado pertubativamente na QCD, devido a sua constante de acoplamento ser maior do que 1 neste regime.

2.2 O MODELO DE NAMBU-JONA-LASINIO NO V ´ACUO

A Lagrangiana do modelo em SU(2) ´e dada por: L = ψ iγµ∂µ− ˜m

ψ + G(ψψ)2+ (ψiγ5−→τ ψ )2 , (2.12)

onde, γ são as matrizes gama de Dirac;−→τ são as matrizes de Pauli e os cam-pos fermiônicos ψ ≡ ψ_ijrotulados como na seção anterior. Por simplicidade, deixaremos as somas de cor e do espaço de isospin impl´ıcitas:

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ψ = ψu ψd , (2.13)

e suas respectivas massas de corrente, na simetria de isospin, mu= md= m

dadas por: ˜ m=m 0 0 m . (2.14)

Temos também dois canais de interação, um escalar responsável pela existência de mésons σ no modelo, e um canal pseudo-escalar, responsável pela existência dos p´ıons. A constante de acoplamento G tem dimensão de MeV−2em 3 + 1 dimensões.

O modelo de NJL SU(2) no vácuo tradicionalmente é estudado na Aproximação de Campo Médio(MFA). Desta maneira, analisar o processo de geração de massa efetiva dos quarks em questão fica razoavelmente mais fácil. Fazendo MFA no modelo, ficamos com:

(ψψ)2≈ 2 hψψi ψψ − hψψi2, (2.15) (ψiγ5τ ψ )2≈ 2 hψiγ5τ ψ i ψ iγ5τ ψ − hψ iγ5τ ψ i2, (2.16) onde podemos definir:

σ ≡ hψ ψ i , (2.17)

− →

π ≡ hψ iγ5τ ψ i , (2.18)

sabendo que h i corresponde ao valor esperado do v´acuo, e portanto, a La-grangiana (2.12) fica, em MFA:

LMFA

NJL = ψ iγµ∂µ− ˜m

ψ + G(2σψψ) − σ2+ 2−→π (ψ iγ5τ ψ ) −−→π2 . (2.19) Por argumentos de simetria por transformac¸˜ao de paridade,−→π = 0, e podemos redefinir o termo de massa da Lagrangiana (2.12) como:

M= m − 2Gσ , (2.20)

e portanto, obtemos:

L = ψ iγµ∂ µ_{− M}

ψ − Gσ2, (2.21)

aqui est´a subentendido que M = MI. Podemos definir as regras de Feynman mais simples para o modelo no espac¸o dos momentos, e que utilizaremos

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neste trabalho:

Figura 3 – Regras de Feynman do modelo NJL SU (2).

Em termos de regras de Feynman, o cálculo da massa efetiva nada mais é do que uma série de Dyson, quando percebemos que:

σ ≡ hψ ψ i = −iTr Z _d4_p (2π)4 1 / p− M. (2.22)

A equac¸˜ao (2.20) pode ser reescrita como [10]:

M= m + 8GiNcNf

Z _d4_p

(2π)4

M

p2_{− M}2_{+ iε}, (2.23)

Integrando na vari´avel d p0e colocando em coordenadas esf´ericas,

ob-temos: M= m + 8GNcNfM Z ∞ 0 d p 4π2 |−→p|2 p|−→p|2_{+ M}2. (2.24)

Figura 4 – Série de Dyson: Primeiro termo representa o propagador do quark livre somado com um termo de autointeração(Tadpole).

Esta expressão, é conhecida como a equação de Gap, onde Nc= 3 é o

número de cores, Nf = 2 o número de sabores que estamos usando, o Traço

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Dirac. A equação do Gap é uma completa analogia à teoria BCS, e nos dá o mecanismo de geração dinâmica da massa efetiva dos quarks em termos da massa de corrente e de um termo de auto-interação.

A integral da equação (2.23) diverge, essa caracter´ıstica vem devido à não renormalizabilidade do modelo. Para tanto, é usual escolher um procedi-mento de regularização, e utilizaremos neste trabalho o 3-momentum Cutoff não-covariante, de modo a incluir um limite superior Λ [11] nas integrais em d3_p _{que apresentam divergência ultravioleta. Com isto, ganhamos um}

parâmetro no nosso modelo além de G e m que são escolhidos de maneira a reproduzir o valor da massa do pion mπ= 135MeV , a constante de

decai-mento do p´ıon fπ = 92.6MeV e do condensado dos quarks hψψi que est´a

associado com a massa de corrente dos quarks m = 5.6MeV [10].

Ao resolver a integral da equação do Gap com 3-momentum Cutoff não-covariante, obtemos a seguinte expressão,

Z Λ 0 d p 4π2 |−→p|2 p|−→p|2_{+ M}2= 1 8π2 " Λ p Λ2+ M2_{− M}2_ln Λ + √ Λ2+ M2 M !# , (2.25)

logo, encontramos para a equac¸˜ao do Gap, que deve ser resolvida de forma auto-consistemente: M= m +2GMNfNc 2π2 " Λ p Λ2+ M2_{− M}2_ln Λ + √ Λ2+ M2 M !# . (2.26)

Em uma das parametrizações mais utilizadas [10], Λ = 587.9MeV e G= 2.44/Λ2, obtemos resolvendo de forma autoconsitente a solução não-trivial M = 400MeV .

2.3 MASSAS DOS M ´ESONS π E σ

Além de explorarmos este mecanismo que gera a massa dos quarks, podemos analisar a massa dos mésons presentes no modelo, estudando o ca-nal escalar responsável pela existência de méson σ e pseudo-escalar pelos p´ıons. Usando o mesmo método apresentado [11] [10] podemos aproximar o propagador do méson em questão através da aproximação de fase aleatória ou em inglês Random Phase Approximation (RPA). Para tanto, primeiro ana-lisamos uma Lagrangiana efetiva de interação de p´ıons com nucleons:

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Lπ NN= igπ NNψ (x)γ5−→τ .−→π ψ (x). (2.27)

Fazemos então uma reinterpretação desta Lagrangiana de interação em termos de quarksLπ NN→Lπ qqe identificando:

− →

τ .−→π = τ+.π++ τ−.π−+ τ3.π3, (2.28) com os operadores π+e π−como operadores de criação e aniquilação, e as matrizes τ±definidas no apêndice A. Temos então:

π±=√1

2(π1∓ iπ2). (2.29)

O nosso diagrama de espalhamento da figura (5), é obtido então através das regras de Feynman como feito em [11], onde u, (u) e d, (d) correspondem aos espinores de Dirac dos quarks(anti-quarks); D+_F é o propagador do π+e gπ qq

´e a constante de acoplamento. [d0_iγ

5τ−u][(igπ qq)2]D +

F(k2)[u0iγ5τ+d]. (2.30)

Figura 5 – Espalhamento de quarks up e down mediante troca de um m´eson π+.

O espalhamento da figura (5) pode ser estudado mediante o modelo NJL utilizando a aproximação em RPA, que é uma soma de infinitos termos diretos (que corresponde a uma aproximação de Hartree ou aproximação de ordem 1/Nc) de Loops de polarização quark-antiquark, que pode ser

lem-brado como uma progressão geométrica. Nesta aproximação, mesmo não tendo influência dos glúons no modelo, associamos os mésons através de es-tados ligados de quark-antiquark [10] [11].

(32)

iUi j(k2) = (iγ5)Ti 2iG + 2iG 1 iΠps(k 2₎ 2iG+ 2iG 1 iΠps(k 2₎ 2iG 1 iΠps(k 2₎ 2iG + ... (iγ5)Tj ⇒ iUi j(k2) = (iγ5)Ti _2iG 1 − 2GΠps(k2) (iγ5)Tj, (2.31)

onde Ui j corresponde ao lado esquerdo da figura 6, e Ti= Tj= τ3 s˜ao

ne-cess´arias para gerar π0 _{e T}

i = τ± e Tj = τ∓ para gerar π±. O Loop de

polarização para o canal pseudo-escalar é dado por:

1 iΠps(k 2_{) = −}Z d4p (2π)4Tr[γ5TiiS(p + 1 2k)γ5TjiS(p − 1 2k)], (2.32) E analogamento para o canal escalar:

1 iΠs(k 2_{) = −}Z d4p (2π)4Tr[TiiS(p + 1 2k)TjiS(p − 1 2k)]. (2.33)

Figura 6 – RPA, como uma série de infinitos anéis de polarização. Assim, utilizando a expressão calculada em RPA, vemos que para ob-termos as massas dos mésons em questão, devemos calcular o pólo de (2.31) quando tivermos para os momentos externos transferidos, k2= m2

π:

1 − 2GΠps(m2π) = 0. (2.34)

Após calcular explicitamente o Loop de polarização (2.32), obtemos: 1 − 2GΠps(k2) =

m

M+ 4iNcNfk

(33)

onde: I(k2) = Z _d4_p (2π)4 1 (p2_{+ m}2_{)((p + k)}2_{+ m}2₎. (2.36) Aplicando k2_{= m}2

π, obtemos para a ´ultima express˜ao:

m2_π= −m M

1 4iGNcNfI(m2π)

. (2.37)

No limite em que m = 0, a massa do p´ıon se anula, a simetria quiral é reestabelecida e o p´ıon se torna um genu´ıno bóson de Goldstone. Porém, os quarks up e down não têm massas de correntes nulas, e neste contexto, os p´ıons são normalmente chamados de pseudo-bósons de Goldstone do modelo. E com o mesmo procedimento realizado para os p´ıons, podemos obter a expressão para a massa do méson σ :

m2_σ= 4M2+ m2_π. (2.38) Por completeza, podemos analisar a magnitude do acoplamento gπ qq

da express˜ao (2.30) associando-o com o propagador em RPA (2.31), de ma-neira a representarmos uma troca efetiva de m´eson π no espalhamento da figura (5) [10] [11]: DM_F = ig 2 Mqq k2_{− m}2 M ,

onde M representa a part´ıcula mediadora da interação efetiva (2.27). Se asso-ciarmos este propagador da nossa interação efetiva com o propagador calcu-lado em RPA, obtemos:

g2_Mqq k2_{− m}2 M ≈ 2iG 1 − 2GΠM(k2) ,

associando agora o res´ıduo de DM_F que ocorre em k2= m2

M, com o propagador

em RPA(2.31), obtemos para o m´eson π [14]:

g2_{π qq}= ∂ Πps ∂ k2 −1 |_k2_=m2 π, (2.39)

e da mesma forma para o m´eson σ :

g2_{σ qq}= ∂ Πs ∂ k2 −1 |_k2_=m2 σ. (2.40)

(34)

2.4 CONSTANTE DE DECAIMENTO DO PION NO V ´ACUO

O pion π0decai mediante interação fraca, mediada pelo bóson Z0. Em baixas energias, somente a corrente vetorial axial contribui para o elemento de matriz que representa o processo de decaimento do π0, devido ao fato de que o p´ıon ter paridade negativa [15]. Pode-se calcular a constante de decaimento do pion, utilizando o elemento de matriz da corrente axial Ji

5µ entre o estado do p´ıon e o v´acuo: D 0 J i 5µ π iE_, _(2.41)

que equivale a realizar o c´alculo de:

ikµfπ0δi j= − Z _d4_p (2π)4Tr iγµγ5 τi 2iS(p + 1 2k)igπ qqγ5τ j_{iS(p −}1 2k) . (2.42) O cálculo expl´ıcito está na referência [11]. Obtemos para este:

f2

π0= −4iNcMI(0), (2.43)

partir deste resultado, podemos reproduzir a Relac¸˜ao de Gell-Mann-Oakes-Renner [16] [11]:

m2_πf2

π0= mM(2G)

−1_. _(2.44)

Podemos ainda recobrar rapidamente em primeira ordem a relac¸˜ao de-sejada:

m2_πf_π20= 1

2(mu+ md) hψψi . (2.45) Usando estes resultados, é poss´ıvel obter também, a n´ıvel de quarks a relação de Goldberger-Treiman [11]: f2 π0g 2 π qq= M 2_. _(2.46)

(35)

3 NJL SU (2) COM CAMPO MAGN ´ETICO CONSTANTE

Este cap´ıtulo será dedicado a explorar o modelo de NJL SU (2) sob in-fluência de um campo magnético externo constante [11] [17] [18] [19] [20]. O tratamento se baseará em apresentar como a equação do Gap é obtida via propagador dos quarks em meio magnético na Aproximação de Campo Médio. Este procedimento pode ser feito de várias maneiras diferentes, como o método de Schwinger-Dyson [21], ou pelo método de Ritus [22]. Também vale lembrar que é poss´ıvel obter a mesma expressão para equação de Gap em meio magnético e térmico via minimização do Potencial Grande-Canônico [17].

3.1 A LAGRANGIANA DO MODELO NJL COM CAMPO MAGN ´ETICO EXTERNO CONSTANTE

Ao utilizarmos a mesma Lagrangiana (2.1) do cap´ıtulo anterior, po-demos acopla-l´a a um potˆencial quadrivetor Aµ_{= (φ ,}−→_A_{) na QED [2]. Para}

isso, adicionamos ao modelo a Lagrangiana do Campo Eletromagn´etico:

L = LNJL+LEM, L = ψ γµ(i∂µ− QqAµ) + ˜m ψ + G(ψψ)2_{+ (ψiγ} 5−→τ ψ )2 − 1 4F µ ν_F µ ν, (3.1) via acoplamento m´ınimo, acima teremos a mudanc¸a i∂µ _{→ i∂}µ_{− Q}

qAµ =

Dµ_{, que é a derivada covariante do modelo. O campo eletromagnético é}

re-presentado por Fµ ν= ∂µAν− ∂νAµ. Os campos ψ e a matriz diagonal com

simetria de isospin ˜ms˜ao definidas como no cap´ıtulo 2. A matriz das cargas Qq´e dada por:

Qq= e 2 3 0 0 −1₃ , (3.2)

nesta notação, a soma no espaço das cores está impl´ıcita, visto que que esta-mos usando notação apenas para os ´ındices de sabores.

Aplicando a Aproximação de campo médio em (3.1) e seguindo a mes-mas definições feitas no cap´ıtulo 2, obtemos:

(36)

LMFA NJL →LNJLMFA= ψi /D− M ψ + Gσ2−1 4F µ ν_F µ ν. (3.3)

Podemos agora escolher um calibre ao nosso gosto, de modo a repro-duzir um campo magnético constante em alguma direção espec´ıfica. Nossa escolha será Aµ_{= δ}

µ 2x1B, que corresponde a ∇ ·

− →

A = 0 e ∇ ×−→A =−→B = B ˆe3,

ou seja, um campo magnético constante na direção z. Com a equação do Gap, dada como antes:

M= m − 2Gσ = m − 2G hψψi . (3.4)

Como no cap´ıtulo 2, o Traço é sobre os espaços de sabor, cor e de Dirac. Vamos definir:

iSF(x, x0) ≡0 | T ψ(x)ψ(x0) | 0 , (3.5)

como o propagador de Feynman para um férmion na presença de um campo magnético externo, que no nosso caso, serão os quarks up e down, com T representando o ordenamento temporal que será utilizado na contração dos espinores [2]. Em termos de diagramas de Feynman, corresponde:

Figura 7 – Em (a), com o tempo indo da esquerda para direita, t0< t, o quark se propagando de x0→ x.Em (b) com t < t0_{, o anti-quark se propagando de}

x→ x0_.

Observando a express˜ao (3.5), temos que o valor esperado do v´acuo dado por:

hψψi ≡ lim

x0→x+0 | T [ψ(x)ψ(x

0_{)] | 0 ,} _(3.6)

que corresponde ao Tadpole da figura (4). Portanto, para prosseguirmos no cálculo da equação de Gap, precisamos obter as expressões para os propa-gadores em meio magnético para assim conseguirmos realizar o cálculo da

(37)

express˜ao (3.4).

3.2 PROPAGADOR DE FEYNMAN EM UM CAMPO MAGN ´ETICO EX-TERNO CONSTANTE

Como pode ser estudado em mais detalhes nas referências [23] [24], pode-se obter a solução da seguinte equação:

γµ(i∂µ− Qqδµ 2x1Beˆ2) − Mψ (x) = 0, (3.7) que é a equação de Dirac do férmion não interagente em meio magnético obtida mediante o uso de equações de Euler-Lagrange da expressão (3.1).

Mostraremos nesta breve seção, definições importantes referentes às soluções da equação de Dirac em meio magnético.

´

E poss´ıvel encontrar as soluc¸˜oes de energias positivas em uma caixa de volume V = LxLyLz, dada por:

ψn,p(+)2,p3,s(x) =

e−i(Enx0−p2x2−p3x3) p2En(En+ M)LyLz

Un,p(+)2,p3,s(ξ ), (3.8) onde n = 0, 1, 2, 3...; indica os n´ıveis de Landau; p2,p3 s˜ao as

componen-tes do momentum do férmion em questão; Ly,Lz são as componentes de

normalização sobre as direções x2e x3, e s = ±1 são os números quânticos relacionados ao spin; En é a energia do quark, que depende dos n´ıveis de

Landau, obtidas através dos auto-valores da Hamiltoniana dos férmions em questão em um meio magnético não interagente [23], que são dados por:

En=

q M2_{+ p}2

3+ 2 | Qq| Bn. (3.9)

Os biespinores tˆem valores diferentes para s = ±1:

U_n,p(+) 2,p3,s=−1(ξ ) =        0 (En+ M)Vn(ξq(+)) −ip2 | Qq| BnVn−1(ξq(+)) −p3Vn(ξq(+))        , (3.10)

(38)

U_n,p(+) 2,p3,s=+1(ξ ) =        (E_n+ M)V_n−1(ξq(+)) 0 −p3Vn−1(ξq(+)) ip2 | Qq| BnVn(ξ (+) q )        , (3.11)

o estado fundamental é não-degenerado,isto é, a solução só existe para s = −1, quando n = 0. A variável ξ(+)_{é definida por:}

ξq(+)= q | Qq| B x1+ p2 | Qq| B . (3.12)

Para não deixar a notação carregada, definiremos:

ξq(+)≡ ξ(+). (3.13)

As funções Vn são definidas em termos de polinômios de Hermite

Hn(ξ ): Vn= (| Qq| B) 1 4 p 2n_n!√_π exp (− ξ2 2 )Hn(ξ ), (3.14) Hn= (−1)neξ 2 dn dξnexp (−ξ 2_), _(3.15)

com a seguinte normalizac¸˜ao:

Z ∞

−∞| Vn(ξ ) | 2_dx

= 1. (3.16)

As soluções de energia negativa são obtidas trocando os sinais de (3.8)-(3.10)-(3.12) para os valores de En, p2e p3.

No nosso tratamento podemos observar que o quark está limitado a se mover livremente apenas na direção z, enquanto realiza órbitas quantizadas pelos n´ıveis de Landau n, de raiop2 | Qq| Bn no plano x e y, como é

deta-lhado em [23]. O centro do seu pacote de onda gaussiano na direção x é dado por −p2

|Qq|Bque pode ser notado pela express˜ao (3.12).

Usando o mesmo procedimento visto em [23] [24], podemos derivar uma expressão para o propagador do férmion em meio magnético, visto que já estão obtidas as expressões para os espinores ψ. Definindo βq= |Qq|B,

obtemos, aplicando a definição (3.5) para SF(x, x0) no espaço de isospin :

SF(x, x0) =

Su(x, x0) 0

0 Sd(x, x0)

,

(39)

com Sq(x, x0) = ∞

∑

n=0 Sq,n(x, x0), (3.17)

onde q = u, d; e Sq,ndepende dos n´ıveis de Landau, e ´e dado por:

Sq,n(x0, x) = i 2n_n! r βq π exp (−βq (x1)2+ (x01)2 2 ) Z _{d p} 0d p2d p3 (2π)3 × ×exp (−i(p(X − X 0₎₎₎ k p2_k− M2_{− 2β} qn+ iε exp −p 2 2 βq − p2[x1+ x01− i(x2− x02)] × ×[(pγ)k+ m][Π−Hn(ξ )Hn(ξ0) + 2nΠ+Hn−1(ξ )Hn−1(ξ0)]+ +i2n q βqγ1[Π−Hn−1(ξ )Hn(ξ0) − Π+Hn(ξ )Hn−1(ξ0)] , (3.18) devemos identificar (a · b)k= a0b0− a3b3, (a · b)⊥= a1b1+ a2b2; j´a que

(p(X − X )0)k= p0(x0− x00) − p3(x3− x03); os projetores Π±s˜ao dadas por:

Π±=

1 2(I ± iγ

1

γ2), (3.19)

com as condições , Π±Π±= Π±e , Π±Π∓= 0, onde I é a matriz identidade.

Agora que temos uma expressão para o propagador em meio magnético, podemos aplicar diretamente na definição da equação do Gap.

3.3 EQUAÇ ÃO DO GAP EM MEIO MAGN ÉTICO

Para facilitar o tratamento, vamos considerar a identidade, onde f (±En)

é uma função arbitrária dependente da energia En:

f(±En) 2En e∓i(En(x0−x00))_| t≶t0= i 2π Z ∞ −∞ d p0f(p0)e−p0(x 0_−x00₎ p2 k− M2− 2βqn+ iε , (3.20)

aplicando a expressão (3.20) no propagador (3.18), realizamos a integração em d p0. Pela definição do condensado de quarks que temos que calcular para

aplicar na equac¸˜ao de Gap, devemos calcular TrSF(x, x), o que simplifica

(40)

TrSF(x, x) = 1 i _q=u,d

∑

tr Z _{d p} 2d p3 (2π)2 1 2 q p2₃+ M2_{+ 2β} qn × Ω(ξ , ξ ), (3.21)

onde Ω(ξ , ξ ) representa a parte matricial do propagador (3.18) e está definido no apêndice C, que depende de matrizes γ e dos polinômios de Hermite,

TrSF(x, x) = 1 iNc_q=u,d

∑

Z _{d p} 2d p3 (2π)2 1 2qp2₃+ M2_{+ 2β} qn × trΩ(ξ , ξ ), (3.22)

realizamos o trac¸o sobre as componentes de cor, o que nos resulta em Nc; o

trac¸o sobre as componentes de sabor nos d˜ao ∑q=u,d, com os ´ındices u, d para

indicar as cargas dos quarks up e down.

O traço que nos resta é no espaço de Dirac no termo Ω(ξ , ξ ). O traço é feito no apêndice C, e nos fornece:

trΩ(ξ , ξ ) = 2M(Vn,n+Vn−1,n−1), (3.23)

onde:

Vn,n= Vn(ξ )Vn(ξ ), (3.24)

e o nosso propagador fica reescrito como:

TrSn(x, x) = 1 iNc_q=u,d

∑

Z _{d p} 2d p3 (2π)2 2M(Vn,n+Vn−1,n−1) 2 q p2₃+ M2_{+ 2β} qn . (3.25)

Se obervarmos, temos a seguinte integrac¸˜ao no nosso propagador:

Z d p2(Vn,n+Vn−1,n−1) = q βq Z dξ (Vn,n+Vn−1,n−1) q βq, (3.26)

lembrando que ξ é definido por (3.12), e utilizando a seguinte mudança de variáveis:

d p2=

q

βqdξ , (3.27)

e pela normalização dos polinômios de Hermite, teremos:

Z

(41)

assim como:

Z

dξVn−1(ξ )Vn−1(ξ ) = βq, ∀ n= 1, 2..., (3.29)

portanto, podemos identificar: βq

Z

dξ (Vn,n+Vn−1,n−1) = βqgn, (3.30)

e definiremos o fator de degenerescˆencia: gn= βq(2 − δn,0).

este resultado reflete uma propriedade importante de estarmos tratando férmios em meio magnético, o n´ıvel de Landau mais baixo n = 0 é o único que não é duplamente degenerado. Portanto obtemos para SF:

iTrSF(x, x) = MNc (2π)2 ∞

∑

n gn

∑

q=u,d βq Z ∞ −∞d p3 1 q p2₃+ M2_{+ 2β} qn . (3.31)

A expressão (3.31) junto com a equação (3.4) nos fornece a equação do Gap em um campo magnético externo constante. Esta integral diverge, devido a soma nos n´ıveis de Landau, e devemos então regularizar a integral de modo a isolar as divergências.

3.4 REGULARIZAC¸ ˜AO

Antes de regularizar, vamos reescrever a integral (3.31) em uma representação de função Zeta de Rienmann [25]. Para tanto:

iTrSF(x, x) = MNc (2π)2 ∞

∑

n=0q=u,d

∑

βq 2 Z ∞ −∞ d p3 1 En − δn,0 Z ∞ −∞ d p3 1 En , (3.32) reescrevendo: iTrSF(x, x) = MNc (2π)2

∑

q=u,d βq " 2 ∞

∑

n=0 Z ∞ −∞ d p3 1 En − Z ∞ −∞ d p3 1 E0 # , (3.33)

(42)

e agora, colocando em evidˆenciap2βq En= q 2βq s p2 3+ M2 2βq + n, (3.34)

e aplicando em (3.33), de modo que:

∞

∑

n=0 1 En = ∞

∑

n=0 1 p2βq r p2 3+M2 2βq + n = 1 p2βq ζ (1 2, p2₃+ M2 2βq ), (3.35)

onde ζ (a, b) é a função de Zeta de Rienmann-Hurwitz [25].

iTrSF(x, x) = MNc (2π)2

∑

q=u,d βq " 2 1 p2βq Z ∞ −∞ d p3ζ (1 2, p2₃+ M2 2βq ) − Z ∞ −∞ d p3 1 E0 # , (3.36)

Agora, usando a seguinte representação de função zeta de Rienmann-Hurwitz [27]:

Z ∞ 0

dyyz−1exp[−κy] coth(αy) = Γ[z]21−zα−zζ (z, κ 2α) − κ

−z_, _(3.37)

onde Γ[z] é a Função Gama [26]. Fazendo então, a identificação:

α = |Qq|B ≡ βq, (3.38)

κ = M2+ p23, (3.39)

z=1

2, (3.40)

e portanto, reescrevendo (3.37) resolvida para ζ , obtemos:

ζ (1 2, κ 2α) = 1 Γ[1₂] Z ∞ 0

dyy−1/2exp(−κy) coth(βqy) + κ−1/2

! 2−12_β 1 2 q, (3.41) usando esta express˜ao para iTrSF(x, x), e sabendo que Γ[1₂] =

√

(43)

ter: iTrSF(x, x) = MNc (2π)2

∑

q=u,d Z ∞ −∞ d p3 βq √ π Z ∞ 0

dyy−1/2exp(−κy) coth(βqy) + βqκ−1/2 + −βq Z ∞ −∞ d p3 1 E0 , (3.42) os dois ultimos termos se cancelam, e ficamos com:

iTrSF(x, x) = MNc (2π)2√_π

∑

q=u,d βq Z ∞ −∞d p3 Z ∞ 0

dyy−1/2exp(−κy) coth(βqy).

(3.43) Usando agora que κ = p2₃+ M2_{e integrando em d p}

3: Z ∞ −∞ d p3exp(−p23y) = 1 √ y Z ∞ −∞ d pexp(−p2) = r π y, (3.44) a express˜ao (3.43) pode ser reescrita como:

iTrSF(x, x) = MNc (2π)2

∑

q=u,d βq Z ∞ 0

dyy−1exp(−M2y) coth(βqy). (3.45)

Vamos isolar a divergˆencia, percebendo que a expans˜ao de coth βqy

quando βqy 1, nos fornece:

coth(βqy) = 1 βqy +βqy 3 + ..., (3.46) portanto: iTrSF(x, x) = MNc (2π)2

∑

q=u,d βq Z ∞ 0 dyy−1exp(−M2y) ₁ βqy +βqy 3 + ... , (3.47) apenas a primeira integral nos fornece uma divergência e não depende do campo magnético, de modo que ∑q=u,d = Nf. Podemos definir a integral

divergente como: Idiv≡ MNc (2π)2

∑

q=u,d βq Z ∞ 0 dyexp(−M2y) 1 βqy2 , (3.48) reescrevendo iTrSF(x, x):

(44)

iTrSF(x, x) = [iTrSF(x, x) − Idiv] + Idiv= I + Idiv iTrSF(x, x) = MNc (2π)2

∑

q=u,d βq Z ∞ 0 dyexp(−M 2_y) y2 ycoth(βqy) − 1 βq + + MNc (2π)2

∑

q=u,d βq Z ∞ 0 dyexp(−M2y) 1 βqy2 , (3.49)

onde I foi definido como:

I= [iTrSF(x, x) − Idiv] . (3.50)

Agora nosso trabalho est´a em calcular a integral I e regularizar Idiv.

Primeiro calcularemos I.

3.4.1 C´alculo de I

Primeiro, colocaremos nossa express˜ao para I da seguinte forma:

I= lim ε →0 MNc (2π)2

∑

q=u,d βq Z ∞ 0 dyy−2+εexp(−M2y) ycoth(βqy) − 1 βq . (3.51)

Utilizaremos novamente a representação de função ζ de Hurwitz-Rienmann, com z = ε, κ = M2e α = βq, assim como a função Gama, definida em (B.12)

de modo a obtermos: I= lim ε →0 MNc (2π)2

∑

q=u,d β_q1−ε   Γ[ε ] 2 1−ε ζ ε ,M 2 2βq − M 2 βq −ε! − Γ[−1 + ε ] M2 βq −1+ε   , (3.52) neste ponto, é interessante utilizarmos as seguintes identidades (B.4) até (B.10) do apêndice B:

(45)

I= lim ε →0 MNc (2π)2

∑

q=u,d β_q1−ε (1 ε− γE)2(1 − ln 2ε)(ζ (0, xq) + ζ 0 (0, xq)ε) − (1 − ln(2xq)ε)] +( 1 ε+ 1 − γE)2xq(1 − ln(2xq)ε) , (3.53) onde xq= M 2

2βq. Após realizar o cálculo algébrico expl´ıcito, obtemos:

I=MNc 2π2

∑

q=u,d βq ln Γ[xq] − 1 2ln 2π − 1 2ln xq(2xq− 1) + xq . (3.54) 3.4.2 C´alculo de Idiv

Podemos relacionar esta integral com a expressão (2.26) obtida no cap´ıtulo 2 para a equação do Gap, onde o limite superior das integrações foi colocado como Λ devido a divergências ultravioletas naturais do modelo. Assim, no cap´ıtulo 2, para obtermos uma expressão do Gap no vácuo, de-ver´ıamos calcular a seguinte integral:

M= m − 8GNcNfM Z ∞ 0 d p 2π2 |−→p|2 p|−→p|2_{+ M}2. (3.55)

Utilizando a seguinte representação de função da função Beta, B(x, y) [26] : Z ∞ 0 dxxµ −1_{(1 + x}2₎ν −1₌1 2B _µ 2, 1 − ν − µ 2 , (3.56)

e sabendo que a função Beta pode ser dada em termos de funções Gama: B(x, y) =Γ[x]Γ[y]

Γ[x + y], (3.57)

´e poss´ıvel ent˜ao reescrever a integral de (3.55):

M2 2(2π)2B 3 2, −1 = 1 (2π)2 Z ∞ 0 |−→p|2_{d p} p|−→p|2_{+ M}2 = lims→0 Γ[−1 + s] (M−2₎−1+s_8π2. (3.58) A Integral I_div pode ser escrita também como uma representação de

(46)

func¸˜ao Γ, visto que: Idiv= MNc (2π)2

∑

q=u,d Z dyexp(−M2y)1 y2= MNc (2π)2_M−2

∑

q=u,d Z ∞ 0 duexp(−u)1 u2 = lim s→0 MNc (2π)2

∑

q=u,d Γ[−1 + s] (M−2)−1+s. (3.59) Portanto, acabamos mostrando que a contribuição dada pela Integral Idiv é a mesma que seria obtida, no caso onde o campo magnético B = 0.

A partir daqui, escolheremos o método de regularização do 3D Cutoff não-covariante como feito no cap´ıtulo 2.

Idiv= MNc (2π)2

∑

q=u,d 2 Z Λ 0 |−→p|2_{d p} p|−→p|2_{+ M}2, (3.60)

que, como visto no cap´ıtulo 2, o c´alculo desta integral nos fornecer´a:

Idiv= MNcNf 2π2 Λ p Λ2+ M2− M2ln " Λ + √ Λ2+ M2 M #! , (3.61)

neste termo de vácuo, ∑q=u,d → Nf já que não há soma propriamente nas

cargas, como deveria ser.

Portanto, a equac¸˜ao do Gap deve ser:

M= m +2GMNfNc 2π2 Λ p Λ2+ M2− M2 " Λ + √ Λ2+ M2 M #! + +

_∑

u,d 2GMNc |Qq|B 2π2 ln Γ[xq] − 1 2ln 2π + xq− 1 2(2xq− 1) ln xq . (3.62)

Portanto, conseguimos o mesmo resultado já obtido na literatura através do formalismo de Funções de Green dos quarks em meio magnético. Como veremos no cap´ıtulo 5, esta equação é resolvida de maneira autoconsistente para M, e obtemos como resultado o interessante fenômeno da Catálise Magnética.

(47)

4 EXCITAÇ ÕES MES ÔNICAS EM MEIO MAGN ÉTICO

Neste cap´ıtulo, daremos seguimento a análise do modelo NJL SU (2) sob a influência de um campo magnético constante na Aproximação de Campo Médio, e calcularemos as massas dos mésons neutros π0e σ , assim como a constante de decaimento do p´ıon neutro f_π0.

4.1 AN ÉIS DE POLARIZAÇ ÃO EM RPA

Utilizaremos o mesmo método do cap´ıtulo 2 para calcular as massas dos mésons, porém, os propagadores agora serão aqueles calculados em meio magnético como no cap´ıtulo 3. Entretanto, para facilitar os cálculos, é útil mudar da representação do propagador iSF(x, x0) em termos de polinômios

de Hermite do cap´ıtulo 3 para uma representação em termos de polinômios de Laguerre como visto no apêndice B pelas transformações (B.13),(B.14) e (B.15). Com estas mudanças, o nosso propagador se torna:

Sq(x, x0) = ∞

∑

n=0 eiΦ(x,x0)q_S n(x − x0), (4.1)

onde separamos o propagador em um termo dependente do calibre e da carga que quebra a simetria translacional, e um termo invariante por esta mesma simetria, e portanto: Sn(Z) = iβq 2πexp −βq 4 Z 2 ⊥ Z d2p k (2π)2 e(ip·Z)k p2_k− M2_{− 2β} qn . _h (pγ)k+ M i Π−Ln βq 2 Z 2 ⊥ + Π+Ln−1 βq 2 Z 2 ⊥ +2in(Z · γ⊥) Z2 ⊥ Ln βq 2 Z 2 ⊥ − Ln−1 βq 2Z 2 ⊥ . (4.2)

Vamos indicar tamb´em Z = x − x0, de modo que Z2

k= (Z02− Z23) e Z⊥2= (Z12+

Z2₂); Ln(x) s˜ao polinˆomios de Laguerre definidos por:

Ln(x) = 1 n!e x dn dxn x n_e−x_, _(4.3)

(48)

Φ(x, x0)q= −

βq

2(x

1_{+ x}10_)(x2_{− x}20_), _(4.4)

este fator quebra a invariância translacional e de calibre. Porém, para os nos-sos propósitos, como discutido em [23], esta fase não será um problema.

Como utilizaremos a aproximação em RPA, deveremos calcular a polarização própria π0dos quarks. Para tanto, deveremos utilizar uma representação no espaço das coordenadas [11].

1 iΠps(k

2_{) =}Z _d4_{(x − x}0

)Tr[γ5TiiS(x, x0)γ5TjiS(x0, x)]eik(x−x

0₎ , (4.5) no caso do π0, Ti= Tj= τ3, obtemos: 1 iΠps(k 2_{) =} ∞

∑

n=0 ∞

∑

m=0q=u,d

∑

Z

d4Ze−ik·Ztr[γ5i ˆSn,q(Z)γ5i ˆSn,q(−Z)]eiΦ(x,x

0₎ q_eiΦ(x0,x)q_, ⇒1 iΠps(k 2_{) =} ∞

∑

n,m=0q=u,d

∑

Z d2Z⊥ (iβq)2 (2π)2e −βq₂Z_⊥2Z d2Zk × Z d2p k (2π)2 Z d2p 0 k (2π)2 ei[Z(p 0 −p)]_k

e−ik·Ztrhiγ5Ξ( pk, Z⊥)iγ5Ξ( p0_k, −Z⊥)

i [p02

k− M2− 2βqm][p2k− M2− 2βqn]

,

(4.6) como é discutido em [23], os fatores de fase na expressão acima simplificam-se eiΦ(x,x0)eiΦ(x0,x)= 1. E vale ressaltar, que o traço Tr é sobre o espaço de isospin, e o traço tr é sobre as componentes de cor e de Dirac.

Podemos perceber que d4Z= d2_Z

kd2Z⊥, e tamb´em que e−ik·Z= ei(k·Z)⊥e−i(k·Z)k,

e assim observar que podemos integrar em d2Zkas exponenciais em ei[Z·(p

0

−p)]k_e−i(k·Z)k de modo a obtermos func¸˜oes Delta de Dirac:

Z

d2Zkei[Z(p

0

−p−k)]_k

= (2π)2δ2(p0− p − k)k, (4.7)

(49)

1 iΠps(k 2_{) =} ∞

∑

n,m=0q=u,d

∑

Z d2Z⊥ (iβq)2 (2π)2e −βq₂Z_⊥2 e−(Z·k)⊥_(2π)2_δ2_(p0_{− p−k)} k × Z _d2_p k (2π)2 Z d2p 0 k (2π)2 tr h iγ5Ξ( pk, Z⊥)iγ5Ξ( p0k, −Z⊥) i [p02 k − M2− 2βqm][p2k− M2− 2βqn] ,

definindo que Ξ(p0_k, Z⊥) como a parte matricial do propagador (4.2); e

defi-nimos p0_k2= (p0+ k0)2− (p3+ k3)2. Realizando o c´alculo do trac¸o em (4.6),

obtemos como pode ser visto no apˆendice C:

tr[iγ5Ξ( pk, Z⊥)iγ5Ξ( p0k− Z⊥)] = − 2Nc[M2− p0(p0+ k0) + p3(p3+ k3)] Ln βq 2 Z 2 ⊥ Lm βq 2 (−Z) 2 ⊥ − 2Nc[M2− p0(p0+ k0) + p3(p3+ k3)] Ln−1 βq 2 Z 2 ⊥ Lm−1 βq 2 (−Z) 2 ⊥ − Nc 16 Z_⊥2 βq 2 Z 2 ⊥ 2 L0_n βq 2 Z 2 ⊥ L0_m βq 2 (−Z) 2 ⊥ , (4.8) onde: L0_n(u) = d duLn(u), (4.9)

Ao utilizarmos (4.8) em (4.6), devemos realizar algumas integrações, que são feitas no apêndice F. Teremos como resultado:

1 iΠps(k 2_{) =} Nc

∑

q=u,d 2βq ∞

∑

n=0 gn Z d2p k (2π)3 [−M2_{+ p} 0(p0+ k0) − p3(p3+ k3) − 2βqn] [p2 k− M2− 2βqn][p 0₂ k− M2− 2βqn] , (4.10) separando em frac¸˜oes parciais :

(50)

1 iΠps(k 2_{) =} ∞

∑

n=0 gn

∑

q=u,d 2βqNc Z d2p k 2(2π)3 1 p2_k− M2_{− 2β} qn + 1 p0_k2− M2_{− 2β} qn ! − ∞

∑

n=0 gn

∑

q=u,d 2βqNc k2 0 2 − k2₃ 2 Z d p k (2π)3 1 [p2 k− M2− 2βqn][p 0₂ k − M2− 2βqn] . (4.11) A segunda integral, denominaremos:

In(k2) = Z d2pk 1 [p2_k− M2_{− 2β} qn][p 0₂ k− M2− 2βqn] . (4.12)

Utilizando a representação integral da Parametrização de Feynman [2]: 1 AB= Z 1 0 dx 1 [xA + (1 − x)B]2, (4.13)

podemos representar esta integral Incomo:

Z d2pk 1 [p2 k− M2− 2βqn][p 0₂ k− M2− 2βqn] = Z 1 0 dx Z d2pk 1 [p2_k+ x(1 − x)(k2_k) − M2_{− 2β} qn]2 , (4.14)

foram feitas as seguintes mudanças de variáveis para obtermos a expressão acima [28]:

A= (p + k)2_k− M2− 2βqn,

B= p2_k− M2− 2βqn,

e após feitas estas mudanças, a seguinte substituição pode ser feita: pk= pk+ kkx,

e ent˜ao, basta fazer pk→ pk.

Definindo agora x(1 − x)(k_k2) − M2_{= M}2_(k

(51)

In(k2) = Z 1 0 dx Z d2pk 1 [p2 k− M2(kk) − 2βqn]2 , (4.15) e portanto: 1 iΠps(k 2_{) =} ∞

∑

n=0 gn2

_∑

q=u,d βqNc Z _d2_p k (2π)3 1 p2_k− M2_{− 2β} qn − k 2 k 2(2π)3In(k 2₎ ! . (4.16) Identificandok 2 0 2− k2₃ 2 = k2_k 2.

Na primeira integral da equação (4.16), podemos resolvê-la na variável p0, fazendo primeiramente uma rotação de Wick p0→ −ip(0,E):

−i Z d p (0,E)d p3 (2π)3 1 ˜ p2_k− M2_{− 2β} qn , (4.17)

observando que o indice E é para indicar nossa mudança para o espaço 4-Euclidiano, e ˜p2_k= −p2 (0,E)− p23, portanto: i Z d p_(0,E) 1 p2_k+ M2_{+ 2β} qn = iπq 1 p2₃+ M2_{+ 2β} qn . (4.18)

Ao calcular a equação de Gap para os quarks no modelo NJL em meio magnético, chegamos em (3.31): − M − m0 2MG =

_∑

n=0 gn

_∑

q=u,d 2βqNc 2(2π)2 Z d p3 1 q p2 3+ M2+ 2βqn , (4.19)

que é exatamente a primeira integração que temos em (4.16) usando (4.18). Usando este resultado:

1 iΠps(k 2_{) = −i} M − m0 2MG −

_∑

n=0 gn

∑

q=u,d 2βqNc k2_k 2(2π)3In(k 2_), _(4.20)

e aplicando a condic¸˜ao 1 − 2GΠps(m2π) = 0, onde k 2

k= m2πpodemos

(52)

m2_π(B) = − m0 M(B)

(2π)3

∑n=0gn∑q=u,di2GβqNcIn(m2π)

. (4.21)

Agora, para calcularmos o comportamento da massa do π0_{em meio}

magn´etico, devemos calcular a integral Inque ´e uma integral que diverge

de-vido a presença dos n´ıveis de Landau. Para tanto, utilizando um procedimento semelhante ao realizado no cap´ıtulo 3 para a o cálculo da massa efetiva dos quarks em meio magnético, podemos regularizar esta integral, e escolhere-mos novamente o 3-momentum Cutoff para regularizar In, como é discutido

no apˆendice H. In= iπ βq Z 1 0 dx " −ψ M 2_(m π) 2βq + 1 ! + βq M2_(m π) ! + ln M 2_(m π) 2βq ! +2   Λ q Λ2+ M2_(m π) − sinh−1 Λ M2_(m π)    , (4.22)

onde ψ é a função Poligama [26]. O último termo de (4.22), como é comen-tado no apêndice H reflete a contribuição do vácuo ao modelo. A massa do méson σ é calculada de acordo com o mesmo procedimento, a diferença está apenas no cálculo dos traços devido à definição (2.33) do cap´ıtulo 2. Para o méson σ , obtemos:

m2_σ(B) = 4M2(B) + m2

π0(B), (4.23)

análoga à expressão obtida para o vácuo no cap´ıtulo 2. ´

E possivel ainda realizar os mesmos cálculos utilizando uma aproximação em que p0_k2≈ p2

knas integrais In, como ´e feito em [11] [29]. Assim ´e poss´ıvel

mostrar que há pouca a diferença para o caso em que se leva a aproximação para o caso real que é feito de maneira autoconsistente. O resultado é mos-trado no próximo cap´ıtulo e o cálculo é apresentando no apêndice G.

4.2 A CONSTANTE DE DECAIMENTO DO PION EM MEIO MAGN ´ETICO

Seguindo o mesmo procedimento do cap´ıtulo 2, é poss´ıvel realizar o cálculo da constante de decaimento do p´ıon neutro, e assim podemos verifi-car se as relações de Gell-Mann Oakes Renner e de Treiman-Goldeberger se preservam. É um cálculo muito semelhante ao realizado para a massa do p´ıon

(53)

neutro, onde a principal mudança se encontra no cálculo do traço. Seguindo a expressão (2.42) do cap´ıtulo 2 para o elemento de matriz, obtemos:

f2 π0(B) = −i ∞

∑

n=0 gn

_∑

u,d βq (2π)3NcM 2_I(0), _(4.24)

onde I(0) ≈ I(m2_π) e podemos utilizar o resultado (4.22) da seção anterior. Se relacionarmos f_π0 com a massa do p´ıon m_π0, vemos que a relação de Gell-Mann-Oakes-Renner se preserva em meio magnético:

m2 π0(B) f 2 π0(B) = 1 2(Mu+ Md) hψψi , (4.25) ou seja, deve reproduzir o comportamento do condensado de quarks em meio magnético. A relação de Treiman-Goldeberger também se preserva:

f2

π0(B)g 2

π qq(B) = M

2_(B), _(4.26)

onde g2_{π qq}(B) é a constante de acoplamento do espalhamento de quarks up e downmediante a troca de um méson π0_{sob influência de um campo magnético}

externo constante que ´e definido por:

g2_{π qq}= ∂ Πps ∂ k2 −1 |_k2_=m2 π (4.27)

De maneira an´aloga como calculado no cap´ıtulo 2, por´em agora gπ qq

(54)

(55)

5 RESULTADOS NUM ´ERICOS

Neste cap´ıtulo apresentaremos os resultados numéricos a partir das expressões obtidas nos cap´ıtulos 3 e 4, que são as massas efetivas dos quarks em meio magnético, resultados já conhecidos na literatura, porém calculados por métodos diferentes dos nossos, as massas dos π0 _{e σ , assim como a}

constante de decaimento f_π0em meio magn´etico.

5.1 PARAMETRIZAC¸ ˜OES

O modelo de NJL SU (2) depende de três parâmetros, que são escolhi-dos de modo a reproduzir quantidades fenomenológicas como discutido no cap´ıtulo 2. Basicamente, a n´ıvel de comparação, estaremos interessados em um conjunto de quatro parametrizações [10]:

set Λ(MeV ) GΛ2 m(MeV) M(MeV) huui1/3

1 664, 3 2,06 5,0 300 -250,8

2 587, 9 2,44 5,6 400 -240,8

3 569, 3 2,81 5,5 500 -242,4

4 568, 6 3,17 5,1 600 -247,5

Tabela 1 – Parametrizac¸˜oes

5.2 A CAT ´ALISE MAGN ´ETICA

Escolhendo o set 2 da tabela, podemos estudar o fenômeno da Catálise Magnética. No cap´ıtulo 3, encontramos a equação do Gap para os quarks em meio magnético, e esta deve ser resolvida autoconsistemente para cada valor de campo magnético. O nosso cálculo, envolveu a utilização da função de Green dos quarks em meio magnético, de modo que, na Aproximação de Campo Médio, obtemos como deveria esperar-se o mesmo resultado obtido quando utiliza-se o potencial efetivo [17]. No sistema de unidades naturais, utilizaremos como unidade para [eB] = MeV2, que será dado em frações da massa do π0, mπ= 140MeV no vácuo.

Na figura (8), vemos que, para campos fracos, a massa dos quarks sobe basicamente de forma quadr´atica, e para campos fortes, a massa se comporta

(56)

de forma praticamente linear.

Espera-se, de forma qualitativa, que a ligação entre os quarks fique mais intensa a medida que o campo magnético fique mais intenso, ou seja, o campo magnético fortalece a quebra da simetria quiral. Isso se dá, pois o condensado de quarks, que temos na equação de Gap é formado por um par quark-antiquark, que têm cargas e spins opostos. Desta maneira os seus momentos magnéticos apontam na mesma direção, podendo-se alinhar com o campo magnético, fortalecendo a ligação, o contrário do que ocorre no Efeito Meissner [30], já que o par de Cooper é composto por dois elétrons, com spins opostos e mesma carga, e portanto os seus momentos magnéticos estão anti-alinhados. 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 M[MeV] eB/mπ₀ 2 M[MeV] x eB/mπ₀ 2 Set-2

Figura 8 – Fenômeno da catálise magnética, para a parametrização 2 da tabela 1.

5.3 EXCITAÇ ÕES MES ÔNICAS

As express˜oes para as massas dos m´esons πo _{e σ foram calculadas}

no cap´ıtulo 4. Continuamos a utilizar as funções de Green para os quarks em meio magnético no cálculo dos Anéis de Polarização (RPA), e utilizando a técnica usual de regularização, conseguimos eliminar as divergências que

(57)

aparecem devido às somas nos n´ıveis de Landau. Utilizando o conjunto de parametrizações da tabela 1, e resolvendo de forma autoconsistente, de modo a utilizarmos os valores das massas dos quarks em meio magnético, obtemos os resultados mostrados na figura (9).

110 115 120 125 130 135 140 145 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 m π0 eB/mπ₀ 2 mπ₀ x eB/mπ₀ 2 Set-1(autoconsistente) Set-2(autoconsistente) Set-3(autoconsistente) Set-4(autoconsistente)

Figura 9 – Conjunto de soluções autoconsistentes para a massa do π0em meio magnético, utilizando as parametrizações da tabela 1.

Vemos na figura (9) que, embora o m´ınimo seja diferente para cada parametrização, o campo magnético referente ao m´ınimo pouco se desloca. Ainda é interessante ressaltar que, quando o campo magnético alcança regi-mes próximos ou acima do cutoff Λ do modelo, a massa do méson π0passa a sofrer uma poss´ıvel catálise magnética. Resultado este que entra em con-traste com [20], que, logo após alcançarem o regime acima de cerca 700MeV a massa do π0passa a ser negativa(comportamento taquiônico).

No cálculo apresentado no cap´ıtulo 4, realizamos a parametrização de Feynman, para resolver as integrais In. Embora, seja o método correto, uma

aproximação pode ser tomada, como é feito em [11] e [29], na qual tomamos p0_k2= p2_{. Com esta aproximação, o cálculo não se torna mais autoconsistente.}

De modo a comparar os dois m´etodos, obtemos a figura (10):

Os resultados para a massa do π0est˜ao qualitativamente de acordo com o resultado apresentado por [31] , e pelos resultados da rede [32], onde

(58)

110 115 120 125 130 135 140 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 mπ 0 eB/mπ0 2 mπ0 x eB/mπ0 2 Set-1 Set-1(autoconsistente)

Figura 10 – Comparação entre o método autoconsistente e a aproximação p0_k2≈ p2_{(não auto-consistente), utilizando o set 1.}

afirma-se que a estrutura interna do π0deve sofrer influência do campo magnético, em especial, uma catálise magnética após o campo magnético ter ultrapassado 1GeV2, embora seja necessário adicionar outras interações aos diagramas em RPA. Este resultado está em contraste com o obtido por [11] [29], devido ao método de regularização utilizado, onde o π0basicamente não sofre inflência do campo magnético.

Por fim, podemos apresentar a massa do méson σ na figura (11), e a constante de decaimento do f_π0, como calculada no cap´ıtulo 4 é apresentada na figura (12). Para baixos campos magnéticos, f_π0 apresenta o resultado da figura (13) que demonstra boa concordância com o resultado apresentado por [33], como ilustra a figura (14).

A massa do méson σ sofre uma intensa catálise magnética. Pela ex-presão (4.23) vemos que, sua massa é expressa em termos da massa do π0_e

da massa dos seus quarks constituintes. Se buscarmos o limite quiral, em que m_π0= 0, vemos que toda a sua massa é devido a catálise magnética sofrida pelos seus quarks internos. O resultado semelhante é obtido por [29].

A partir do c´alculo apresentado para o acoplamento gπ qq, obtemos as

(59)

800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 m σ eB/mπ0 2 mσ x eB/mπ0 2 Set-2(autoconsistente)

Figura 11 – Massa do méson σ , sua massa sofre catálise mediante um campo magnético, onde utilizamos o set 2.

mos uma n´ıtida diferença dos valores de gπ qqde acordo com a parametrização

utilizada, embora o comportamento qualitativo das curvas esteja de acordo com o resultado apresentado em [11].

(60)

90 100 110 120 130 140 150 160 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 fπ 0 eB/m π0 2 fπ0 x eB/mπ0 2 Set-2

Figura 12 – Constante de decaimento do π0.

Figura 13 – Constante de decaimento do π0_{para campos magn´eticos baixos,}

(61)

Figura 14 – Constante de decaimento do π0 para campos magn´eticos bai-xos, a partir do resultado apresentado em [33], onde Fπ= 93MeV ´e o valor

escolhido pelo autor para a constante de decaimento no v´acuo. A curva pon-tilhada reprsenta o limite quiral da teoria onde Mπ = 0. A linha cont´ınua

(62)

Figura 15 – Acoplamento efetivo gπ qqsob influˆencia de um campo magn´etico