Optimisation d’une aire Enoncé
Un triangle ABC isocèle dont l’angle au sommet A est aigu. Ce triangle est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1. Le point H est le pied de la hauteur issue
de A. Soit α la mesure en radian de l’angle .
Il s’agit de déterminer la mesure en radian de α pour laquelle l’aire du triangle ABC est maximale.
1° A l’aide d’un logiciel de géométrie plane, construire les points A, B, C, O et H.
2° Afficher la mesure de α en radian. A quel intervalle, noté I, appartient α ? Appeler l’examinateur pour une vérification de la construction faite.
3° Afficher l’aire du triangle ABC. En observant plusieurs valeurs de α, conjecturer celle qui correspond à une aire maximale.
Appeler l’examinateur pour valider la conjecture.
4° a) Exprimer BC et AH en fonction de α.
b) Montrer que l’aire du triangle ABC, notée f(α) est égale à sinα( 1 + cosα ).
c) Vérifier que, pour tout réel de l’intervalle I, f ’(α) = (2cosα – 1)(cosα + 1 ).
d) Etablir le tableau de variation de f et vérifier la conjecture émise.
